Matemática ENEM 2017 aula 16

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Aula 16
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2017 (Com videoaulas)
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AULA 16: Princípios de contagem 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 18 
3. Questões apresentadas na aula 54 
4. Gabarito 71 
 
 
Olá! 
Nesta décima sexta aula aprenderemos os tópicos relacionados aos 
princípios de contagem, assunto fundamental para que depois possamos 
estudar a probabilidade. Tenha uma excelente aula. Permaneço à 
disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Instagram, onde posto 
dicas gratuitas para seu estudo: profarthurlima 
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1. TEORIA 
1.1 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 
 
 Imagine que você possui em seu armário 3 calças , 4 camisetas e 2 
pares de tênis. De quantas maneiras diferentes você pode se vestir? Ora, 
basta imaginar que para cada calça você pode utilizar qualquer uma das 4 
camisetas, e para cada conjunto calça-camiseta você pode usar qualquer 
dos 2 pares de tênis. 
 O princípio fundamental da contagem, ou regra do produto, nos diz 
que para obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta 
multiplicar o número de calças pelo número de camisas e pelo número de 
tênis, isto é: 
Maneiras de se vestir = 3 x 4 x 2 = 24 
 
 Em outras palavras, quando temos acontecimentos sucessivos e 
independentes (escolha da calça, da camiseta e do tênis), basta 
multiplicarmos as quantidades de possibilidades de cada acontecimento 
�LVWR�p����SRVVLELOLGDGHV�SDUD�R�DFRQWHFLPHQWR�³HVFROKD�GD�FDOoD´����SDUD�D�
³HVFROKD�GD�FDPLVHWD´�H���SDUD�D�³HVFROKD�GR�WrQLV´��� 
Vejamos um outro exemplo: quantos números de 3 algarismos 
podemos formar utilizando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
1RWH�TXH�SUHFLVDPRV� IRUPDU�Q~PHURV� FRP�R� IRUPDWR� ³$%&´��RQGH�
cada letra simboliza um algarismo. Para a posição A temos 6 opções de 
algarismos. Para a posição B temos novamente 6 opções. E o mesmo 
ocorre na posição C. Portanto, a quantidade de números de 3 algarismos 
é dada pela multiplicação: 
 
6 x 6 x 6 = 216 possibilidades 
 
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E se o exercício dissesse que os números de 3 algarismos formados 
devem ter os 3 algarismos distintos? Neste caso, teríamos também 6 
opções para preencher a posição A. Para preencher a posição B, não mais 
podemos usar o número que já foi utilizado para A. Portanto, temos 5 
opções. E para a posição C, restam apenas 4 opções. Assim, teríamos: 
 
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades 
 
E se o exercício houvesse dito que, além de formar números com 
algarismos distintos, o algarismo 2 sempre deve estar presente? Ora, 
precisamos calcular quantos números podemos formar tendo o 2 na 
posição A, depois na posição B, e depois na posição C. 
6H�R���HVWLYHU�QD�SRVLomR�$��WHUHPRV�Q~PHURV�GR�WLSR�³�%&´��3DUD�D�
posição B temos 5 opções de algarismos, pois o 2 já foi utilizado. E para a 
posição C temos 4 opções. Portanto, teremos 1 x 5 x 4 = 20 
possibilidades de números do tipo 2BC. Analogamente, para números do 
WLSR� ³$�&´�� WHPRV� �� [� �� [� �� � ��� SRVVLELOLGDGHV�� 7HPRV� RXWUDV� ���
SRVVLELOLGDGHV� SDUD� Q~PHURV� GR� WLSR� ³$%�´�� 2X� VHMD�� DR� WRGR� WHPRV� ���
possibilidades. 
Você reparou que nos exemplos anteriores nós haviamos efetuado 
apenas multiplicações para chegar no resultado, e neste último exemplo 
foi preciso efetuar a soma 20 + 20 + 20? Uma dica para você saber 
quando somar e quando multiplicar é perceber a presença das expressões 
³(´�H�³28´��9HMD�FRPR�ID]HU�LVso: 
- no exemplo das camisetas, calças e tênis, tínhamos 4 possibilidades 
para as camisetas E 3 possibilidades para as calças E 2 possibilidades 
para os tênis. Por isso, multiplicamos 4 x 3 x 2. 
- para formar números de 3 algarismos distintos com os elementos {1, 2, 
3, 4, 5, 6}, tínhamos 6 possibilidades para o primeiro algarismo E 5 
possibilidades para o segundo E 4 possibilidades para o terceiro, de modo 
que novamente efetuamos a multiplicação 6 x 5 x 4. 
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- já para obter números de 3 algarismos distintos onde o 2 estivesse 
presente, vimos que o 2 podia estar na primeira posição OU na segunda 
posição OU na terceira posição. Foi por isso que tivemos que somar as 20 
possibilidades de ter o 2 na primeira posição com as 20 possibilidades de 
ele estar na segunda posição e com as 20 possibilidades de ele estar na 
terceira posição. 
 Lembrando-VH�TXH�R�³(´�UHPHWH�j�PXOWLSOLFDomR�H�R�³28´�UHPHWH�j�
soma, você dificilmente errará uma questão. Em uma abordagem mais 
acadêmica, dizemos que: 
- o princípio multiplicativo é utilizado no caso de eventos independentes 
(a escolha da camiseta independe da escolha da calça, que independe da 
escolha do tênis); 
- o princípio aditivo é utilizado no caso de eventos mutuamente 
excludentes (a presença do 2 em uma posição exclui a possibilidade de 
ele estar nas demais posições). 
 
Sobre este assunto, tente resolver a questão a seguir: 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Imagine que numa alguém possui em seu 
armário 90 pares de sapatos, todos em caixas, numeradas de 1 a 90. De 
quantas maneiras podemos retirar quatro caixas desse armário de forma 
que a terceira caixa retirada seja a de número 20? 
RESOLUÇÃO: 
 Queremos que a 3ª caixa seja a de número 20. Assim, ao retirar a 
primeira caixa, podemos pegar qualquer uma das 90 caixas, exceto a de 
número 20. Logo, existem 89 caixas que podem ser pegas na 1ª 
tentativa, obedecendo a regra do enunciado. 
 No momento de retirar a 2ª caixa, veja que não podemos obter 
nem a caixa 20 e nem a caixa que já foi eliminada na 1ª tentativa. 
Temos, portanto, 88 possibilidades restantes. 
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 Para a 3ª retirada só temos uma possibilidade que atende o 
enunciado: a caixa 20. Já para a 4ª retirada, podemos pegar qualquer 
uma das 87 caixas restantes. Veja isso resumido na tabela abaixo: 
Retirada 1 Retirada 2 Retirada 3 Retirada 4 
89 
possibilidades 
(pois a caixa 
20 não pode 
estar aqui, só 
na retirada 
3) 
88 
possibilidades 
(pois nem a 
caixa 20 nem 
a da retirada 
1 podem 
estar aqui)1 
possibilidade 
(caixa 20) 
87 
possibilidades 
(90 menos a 
caixa 20 e as 
das retiradas 1 
e 2) 
 
 Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 
89 88 1 87 681384Possibilidades u u u 
 
1.2 Permutação simples 
 Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5 pessoas que devem 
se sentar em uma fileira do cinema, uma ao lado da outra. De quantas 
maneiras diferentes podemos sentar essas pessoas? 
 Na primeira cadeira, podemos colocar qualquer uma das 5 pessoas. 
Isto é, temos 5 possibilidades. Já na segunda cadeira, temos apenas 4 
possibilidades, pois necessariamente uma pessoa já estará ocupando a 
primeira cadeira. Para terceira cadeira sobram 3 possibilidades, assim 
como sobram 2 possibilidades para a quarta cadeira, e uma para a última. 
Veja isso na tabela abaixo: 
Cadeira 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 
Possibilidades 
de ocupação 
5 4 3 2 1 
 
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Feito isso, podemos utilizar novamente a regra do produto para 
obter o número total de formas de sentar as pessoas: 
Total de formas de sentar = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
 
Observe um detalhe importante neste problema: em cada uma 
dessas 120 possibilidades de arrumação das pessoas, as mesmas 5 
pessoas estão presentes. O que torna diferente uma possibilidade da 
outra é somente a ordem de posicionamento das pessoas. 
 (VVH�WLSR�GH�SUREOHPD��RQGH�R�REMHWLYR�p�DUUXPDU�³Q´�HOHPHQWRV�HP�
³Q´� SRVLo}HV� GLVWLQWDV� �QR� FDVR�� �� SHVVRDV� HP� �� FDGHLUDV��� H� RQGH� a 
ordem de arrumação dos elementos diferencia uma possibilidade da 
outra, é chamado de PERMUTAÇÃO SIMPLES. O cálculo da permutação 
simples de n elementos é dada pela fórmula abaixo: 
P(n) = n! 
 
 1HVWD� IyUPXOD��Q��VLJQLILFD� ³Q� IDWRULDO´��1D�PDWHPiWLFD��FKDPDPRV�
de fatorial GH�XP�Q~PHUR�³Q´�R�SURGXWR�GH�WRGRV�RV�Q~PHURV� LQWHLURV�H�
positivos iguais ou inferiores a n, isto é: 
n! = n x (n ± 1) x (n ± 2) x ... x 1 
 
 Exemplificando, 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Portanto, se fossemos 
aplicar esta fórmula na questão das cadeiras do cinema, teríamos: 
P(5) = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de posicionar as pessoas 
 
 Atenção para um detalhe: só podemos usar a fórmula de 
permutação simples nos problemas onde D�RUGHP�GH�DUUXPDomR�GRV�³Q´�
objetos torne uma possibilidade diferente da outra! Vamos nos deparar 
com vários problemas onde a ordem não torna uma possibilidade 
diferente da outra ± e não poderemos resolvê-los de maneira tão simples 
como a vista aqui. 
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 Vejamos um outro exemplo de permutação simples: quantos 
anagramas podemos formar utilizando todas as letras da palavra BRASIL? 
 Um anagrama é um rearranjo das letras. SILBRA, por exemplo, é 
um anagrama da palavra BRASIL. Veja que em BRASIL temos 6 letras 
distintas entre si, isto é, sem repetição. Assim, cada anagrama será 
formado por 6 letras, distribuídas entre 6 posições: 
Posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 
Letras 
disponíveis 
6 5 4 3 2 1 
 
 Veja que o total de anagramas será dado por 6!, isto é, 6 x 5 x 4 x 
3 x 2 x 1 = 720. Utilizando a fórmula: 
P(6) = 6! = 720 
 
1.3 Permutação com repetição 
 Imagine que você queira calcular o número de anagramas da 
palavra ARARA. A princípio você usaria a fórmula de permutação simples, 
como fizemos no caso de BRASIL. Porém ARARA possui 3 repetições da 
letra A e 2 repetições da letra R. Isso faz com que alguns anagramas 
sejam, na verdade, repetições uns dos outros. 
 Exemplificando, podemos construir o anagrama ARRAA, onde 
simplesmente trocamos de posição o 2º R com o 2º A. Este mesmo 
anagrama poderia ter sido construído trocando de posição o 1º R com o 
2º A, e, a seguir, colocando o 1º A na última posição. Não podemos 
contar 2 vezes esses anagramas, pois eles são idênticos. 
 Por isso, quando há repetição devemos usar a fórmula da 
permutação simples, porém dividir o resultado pelo número de 
permutações de cada letra repetida. Como ARARA tem 5 letras, sendo 
que o A repete-se 3 vezes e o R repete-se 2 vezes, temos: 
5!(5 ; 3 2) 10
3! 2!
PR e u anagramas 
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 Generalizando, podemos dizer que a permutação de n elementos 
com repetição de m e p é dada por: 
!( ; )
! !
nPR n m e p
m p
 u 
 
1.4 Arranjo simples 
 Imagine agora que quiséssemos posicionar aquelas 5 pessoas nas 
cadeiras do cinema, mas tivéssemos apenas 3 cadeiras à disposição. De 
quantas formas poderíamos fazer isso? 
 Para a primeira cadeira temos, novamente, 5 pessoas disponíveis, 
isto é, 5 possibilidades. Já para a segunda cadeira, restam-nos 4 
possibilidades, dado que uma já foi utilizada na primeira cadeira. Por fim, 
na terceira cadeira poderemos colocar qualquer das 3 pessoas restantes. 
Veja que sempre sobrarão duas pessoas em pé, afinal temos apenas 3 
cadeiras. A quantidade de formas de posicionar essas pessoas sentadas é 
dada pela multiplicação abaixo: 
Formas de organizar 5 pessoas em 3 cadeiras = 5 x 4 x 3 = 60 
 
 8P� FDVR� FRPR� HVVH�� RQGH� SUHWHQGHPRV� SRVLFLRQDU� ³Q´� HOHPHQWRV�
HP� ³P´� SRVLo}HV� �P� PHQRU� TXH� Q��� H� RQGH� a ordem dos elementos 
diferencia uma possibilidade da outra, é chamada de ARRANJO SIMPLES. 
Sua fórmula é dada abaixo: 
!( , ) ( )!
nA n m
n m
 � 
 
 Em nosso exemplo temos n = 5 e m = 3. Portanto, teríamos: 
!( , ) ( )!
5! 5! 5 4 3 2 1(5,3) (5 3)! 2! 2 1
(5,3) 5 4 3 60
nA n m
n m
A
A
 �
u u u u � u
 u u 
 
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 Lembre-se: estamos falando novamente de casos onde a ordem dos 
elementos importa, isto é, a ordem dos elementos diferencia uma 
possibilidade de outra. Imagine que as 5 pessoas sejam: Ana, Beto, 
Carlos, Daniela e Eduardo. Uma forma de posicionar essas pessoas em 3 
cadeiras seria: 
Cadeira 1ª 2ª 3ª 
Ocupante Beto Daniela Eduardo 
 
 Neste caso, Ana e Carlos estão de fora. Outra forma de 
posicionamento seria: 
Cadeira 1ª 2ª 3ª 
Ocupante Daniela Beto Eduardo 
 
 Veja que, novamente, Ana e Carlos estão de fora. E Eduardo está 
no mesmo lugar. A única mudança foi a inversão de posições entre Beto e 
Daniela. Ou seja, uma simples alteração na ordem dos elementos gera 
uma nova possibilidade de posicionamento. É isso que quero dizer quando 
aILUPR�TXH�³D�RUGHP�LPSRUWD´�SDUD�RV�FDVRV�GH�3HUPXWDomR�H�$UUDQMR� 
 Note ainda que podemos usar a fórmula de Arranjo para resolver 
um problema de Permutação simples. Isto porque a permutação também 
p�XPD�RUGHQDomR�GH�³Q´�HOHPHQWRV�HP�³P´�SRVLo}HV��SRUpP�QRs casos de 
permutação n = m. Sabendo que 0! é, por definição,igual a 1, podemos 
calcular o número de permutações de 5 pessoas em 5 cadeiras de cinema 
com a fórmula de arranjo: 
 
!( , ) ( )!
5! 5! 5 4 3 2 1(5,5) (5 5)! 0! 1
(5,5) 120
nA n m
n m
A
A
 �
u u u u �
 
 
 
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Antes de avançarmos, trabalhe esta questão: 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) De quantas maneiras diferentes podemos 
pintar cinco portas, uma ao lado da outra, sabendo que possuímos apenas 
8 cores distintas? 
RESOLUÇÃO: 
 Se temos 8 cores disponíveis, a primeira porta poderá ser pintada 
de 8 maneiras distintas. A segunda porta poderá ser pintada com uma 
das 7 cores restantes, já que uma cor já foi utilizada na primeira porta. A 
terceira porta poderá ser pintada de 6 maneiras diferentes, a quarta de 5 
maneiras, e a quinta de 4 maneiras distintas. O que disse aqui está 
refletido no esquema abaixo: 
Porta 1 Porta 2 Porta 3 Porta 4 Porta 5 
8 opções 7 opções 6 opções 5 opções 4 opções 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras 
distintas de pintar as portas é de: 
8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 
 
Já chegamos à resposta. Mas repare que se trata de um arranjo 
simples, afinal queremos dispor 8 elementos (cores) em 5 posições 
(portas), e a ordem das cores torna uma disposição diferente da outra. 
Isto é, pintar uma porta de Azul e a seguinte de Verde é diferente de 
pintar a primeira de Verde e a segunda de Azul. Utilizando a fórmula de 
arranjo, teríamos: 
!( , ) ( )!
nA n m
n m
 � 
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8! 8! 8 7 6 5 4 3 2 1(8,5) (8 5)! 3! 3 2 1
(8,5) 8 7 6 5 4 6720
A
A
u u u u u u u � u u
 u u u u 
 
 
1.5 Arranjo com repetição 
 Imagine que temos à disposição as letras A, B, C e D. Queremos 
utilizá-las para formar placas de carros. Assim, precisamos formar grupos 
de 3 letras, sendo que essas letras podem ser repetidas. Isto é, podemos 
ter placas como: AAA, AAB, ABA, BAA, ABC etc. 
 3DUD�FDOFXODU�R�Q~PHUR�GH�DUUDQMRV�SRVVtYHLV�GH�³Q´�HOHPHQWRV�HP�
JUXSRV� GH� ³P´�� e podendo repetir os elementos, usamos a fórmula do 
Arranjo com repetição: 
 
A (n, m) = nm 
�OHLD��³DUUDQMR�GH�Q�HOHPHQWRV��P�D�P��p�GDGR�SRU�Q�HOHYDGR�D�P� 
 
 Portanto, se temos 4 letras (n = 4) e queremos formar grupos de 3 
(m = 3) podendo repetir as letras, será possível formar o total de 
arranjos abaixo: 
3
( , )
(4,3) 4
(4,3) 64 arranjos
mA n m n
A
A
 
 
 
 
 
 Você pode resolver esse tipo de exercício sem o auxílio de fórmulas, 
apenas utilizando o princípio multiplicativo. Basta lembrar que você quer 
montar placas assim: __ __ __. E tem 4 possibilidades de letras para 
cada uma das lacunas. Portanto, basta multiplicar 4 x 4 x 4 = 43 = 64 
possibilidades. 
 
1.6 Combinação 
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 Imagine agora que você tem à sua disposição 5 pessoas e precisa 
formar uma dupla para participar de um determinado evento. Quantas 
duplas distintas é possível formar? 
 Veja que agora a ordem não importa mais. A dupla formada por 
Ana e Beto é igual à dupla formada por Beto e Ana. Nesses casos, 
estamos diante de um problema de Combinação. 
 Será preciso calcular quantas combinações de 5 pessoas, duas a 
duas, é possível formar. Isto é feito através da fórmula abaixo: 
� �
!( , )
! !
n nC n m
m m n m
§ · ¨ ¸ �© ¹
 
 Veja que 
n
m
§ ·¨ ¸© ¹
 p�XPD�RXWUD� IRUPD�GH�VLPEROL]DU� ³FRPELQDomR�GH�Q�
HOHPHQWRV��P�D�P´��(IHWXDQGR�R�FiOFXOR�SDUD o exemplo acima, temos: 
� �
� �
!( , )
! !
5 5! 5!(5,2)
2 2! 5 2 ! 2! 3!
5 5 4 3 2 1(5,2) 10
2 2 1 3 2 1
n nC n m
m m n m
C
C
§ · ¨ ¸ �© ¹
§ · ¨ ¸ � u© ¹
§ · u u u u ¨ ¸ u u u u© ¹
 
 
 Portanto, há 10 combinações de 5 elementos, dois a dois. Isto é, há 
10 formas de criar duplas tendo para isso 5 pessoas disponíveis. Vejamos 
quais seriam as 10 duplas: 
- Ana e Beto; Ana e Carlos; Ana e Daniela; Ana e Eduardo 
- Beto e Carlos; Beto e Daniela; Beto e Eduardo; 
- Carlos e Daniela; Carlos e Eduardo; 
- Daniela e Eduardo. 
 A respeito de combinações, fica aqui uma dica para facilitar as 
contas. Ao invés de utilizar a fórmula acima, você pode chegar ao mesmo 
caso fazendo o seguinte: 
���PXOWLSOLFDQGR�RV�³P´�SULPHLURV�WHUPRV�GH�³Q�´ 
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2. dividindo esse resultado por m! 
 No caso do nosso exemplo, bastava multiplicar os 2 primeiros 
termos de 5! (que são 5 e 4) e dividir por 2! (2x1): 
5 4 20(5,2) 10
2! 2
C u 
 
 Outra dica para facilitar as contas: a combinação de 5 elementos, 2 
a 2, é igual à combinação de 5 elementos, 3 a 3. Isto porque 3 = 5 ± 2. 
Da mesma forma, a combinação de 15 elementos, 14 a 14, é igual à 
combinação de 15 elementos, 1 a 1 (pois 1 = 15 ± 14). Generalizando: a 
combinação de n elementos, m a m, é igual à combinação de n 
elementos, (n-m) a (n-m): 
n n
m n m
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸�© ¹ © ¹ 
 
Veja abaixo uma questão sobre este assunto: 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Determinada empresa tem no seu quadro 
de funcionários 7 engenheiros e 3 arquitetos. De quantas maneiras é 
possível formar duplas desses funcionários com a participação de pelo 
menos um engenheiro em cada dupla? 
RESOLUÇÃO: 
 6HPSUH� TXH� R� REMHWLYR� IRU� IRUPDU� ³HTXLSHV´�� ³GXSODV´�� ³WULRV´, 
³JUXSRV´� ³FRPLVV}HV´�e etc. fique atento: provavelmente estamos diante 
de um caso de Combinação. Afinal nestes agrupamentos não interessa 
saber a ordem de escolha dos integrantes, interessa saber apenas quem 
são os integrantes. 
Neste exercício, note que na escolha de 2 profissionais, a ordem 
não importa: a dupla formada pelos técnicos A e B é igual à dupla 
formada pelos técnicos B e A. Isto confirma que temos um caso de 
Combinação. 
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 As equipes são formadas por 2 profissionais, e precisam ter pelo 
menos 1 engenheiro. Portanto, teremos as equipes com 1 e com 2 
engenheiros. Vejamos cada caso: 
Î Equipes com 1 engenheiro: neste caso, teremos também 1 
arquiteto. Portanto, temos 7 possibilidades para o engenheiro a ser 
escolhido e 3 possibilidades para o arquiteto, totalizando 7 x 3 = 21 
possibilidades. 
Î Equipes com 2 engenheiros: neste caso, o número de formas de 
escolher 2 engenheiros em um grupo de 7 é dado pela combinação 
de 7, 2 a 2. Isto é: 
7 76(7,2) 21
2 2 1
C § · u ¨ ¸ u© ¹ 
 Portanto, ao todo temos 21 + 21 = 42 equipes distintas. 
 
1.7 Permutação circular 
Vimos que a permutação de n elementos é dada por P(n) = n!. 
Entretanto, temos um caso particular de permutação, muito presente em 
provas de concurso, que é a Permutação Circular. 
Ao estudar a permutação simples, calculamos de quantas maneiras 
distintas podemos permutar 5 pessoas em uma fileira de cinema com 5 
lugares. E se, ao invés da fileira do cinema, tivéssemos uma mesa 
redonda com 5 lugares? Observe as duas disposições abaixo das pessoas 
A, B, C, D, e E ao redor da mesa: 
 
 
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Do ponto de vista de permutação, essas duas disposições são iguais 
(afinal, a pessoa A tem à sua esquerda E, e à sua direita B, e assim 
sucessivamente). Não podemos contar duas vezes a mesma disposição. 
Repare ainda que, antes da primeira pessoa se sentar à mesa, 
todas as 5 posições disponíveis são equivalentes. Isto porque não existe 
uma referência espacial. Nestes casos, devemos utilizar a fórmula da 
permutação circular de n pessoas, que é: 
Pc (n) = (n-1)! 
 
 Em nosso exemplo, o número de possibilidades de posicionar 5 
pessoas ao redor de uma mesa será: 
Pc(5) = (5-1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 
 
1RWH�TXH�VH�KRXYHVVH�XPD�SRVLomR�GD�PHVD�FRP�XPD�FDGHLUD�³GH�
RXUR´�� SRU� H[HPSOR�� SDVVDUtDPRV� D� WHU� XPD� RULHQWDomR� HVSDFLDO� HP�
relação a esta cadeira, e deixaríamos de ter uma permutação circular. 
 
1.8 Comentários finais para resolução de exercícios 
 Agora que já conhecemos os arranjos, permutações e combinações, 
gostaria de reforçar as diferenças entre estas ferramentas. Como você 
verá ao longo dos exercícios, é essencial saber diferenciar se estamos 
diante de um caso de arranjo, permutação ou combinação, para só então 
resolvê-lo. 
 Ao se deparar com uma questão, você deve responder sempre a 
seguinte pergunta: 
- a ordem de escolha ou de disposição dos elementos torna uma 
escolha/disposição diferente da outra? 
 
Exemplificando, imagine que você tenha 5 soldados (A, B, C, D, e E) 
à disposição, e o seu objetivo é formar equipes de 3 soldados. Veja que a 
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equipe formada pelos soldados A, B, C é igual a equipe formada pelos 
soldados B, A, C, que também é igual à equipe formada pelos soldados C, 
B, A, e assim por diante. Isto é, a ordem de escolha dos soldados não é 
relevante, não torna uma escolha diferente da outra. 
Já se você quisesse formar filas com 3 soldados, a fila A-B-C é 
diferente da fila B-A-C que é diferente da fila C-B-A, e assim por diante. 
Em uma fila, a ordem importa. Se trocamos a posição do primeiro 
colocado com a do último, temos uma fila diferente. Portanto, neste caso 
a ordem de escolha dos soldados é relevante, ou seja, torna uma escolha 
diferente da outra. 
Feita a pergunta, você tem duas possibilidades: 
- se a ordem NÃO É RELEVANTE: utilizar a fórmula de combinação. Isto é 
muito comum em questões onde o objetivo é formar equipes, grupos, 
comissões etc. Em nosso exemplo acima, o resultado seria C(5,3), 
concorda? 
- se a ordem É RELEVANTE: utilizar o princípio fundamental da contagem 
(aquela multiplicação simples), que se resume nas fórmulas de arranjos e 
permutações. No exemplo da fila acima, o resultado seria 5x4x3, 
concorda? Dependendo do caso, você precisa fazer alguns ajustes, como 
no caso de haver repetição. Isto é: 
- se houver repetição, basta dividir o resultado encontrado por n!, 
onde n é o número de repetições (ou usar direto a fórmula da permutação 
com repetição); 
- se houver mais de um item se repetindo, é preciso dividir por n!, 
s!, t! etc. (conforme o número de itens se repetindo). 
 
&DVR� �� VROGDGRV� IRVVHP� ³LGrQWLFRV´�� GH� WDO� PRGR� TXH� QmR� IRVVH�
possível diferenciá-los (digamos que D = E), quantas filas diferentes 
conseguiríamos formar? Ora, temos uma repetição de 2 elementos, certo? 
Portanto, o número de filas seria 
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5 4 3
2!
u u
 
 
E se quiséssemos distribuir os 5 soldados em torno de uma mesa 
redonda? Aí teríamos a permutação circular, que é dada por (n-1)!, ou 
seja, 4! = 24. 
 
 Por fim, qual a diferença entre Arranjo e Permutação? Imagine que 
você dispõe daqueles 5 soldados e pretende montar uma fila. 
- Quantas filas de 3 soldados você consegue? 5x4x3 = 60 
- E quantas filas com os 5 soldados você consegue? 5x4x3x2x1 = 120 
 
O primeiro caso é um arranjo, o segundo uma permutação. A 
diferença é que a permutação SEMPRE envolve TODOS os elementos 
disponíveis (você calcula quantas formas possíveis de dispor os 5 
elementos possíveis), já o arranjo não envolve todos os elementos (para 
cada arranjo foi preciso usar apenas 3 dos 5 soldados, concorda?) 
 
Se você entendeu as explicações acima, conseguirá resolver a 
grande maioria das questões. Vamos aos exercícios! 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Trabalharemos agora alguns exercícios do ENEM e questões de 
vestibulares. Lembre-se: é muito importante que você execute os cálculos 
à mão, pois é assim que você deverá fazer na hora da prova. Além disso, 
é com a prática que vamos ficar cada vez melhores. 
 
 
4. ENEM - 2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de 
mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo. 
 
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de 
mamíferos ² uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a 
terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem 
ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a 
A) 1.320. 
B) 2.090. 
C) 5.845. 
D) 6.600. 
E) 7.245. 
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RESOLUÇÃO: 
 A questão nos pede para formar grupos ou conjuntos distintos de 
animais. De quantas formas podemos escolher um cetáceo dentro de um 
grupo de 2 cetáceos? De duas formas! E assim por diante. Veja a tabela 
abaixo: 
Cetáceos Primatas Roedores 
2 20 33 
 
 Pelo princípio fundamental da contagem temos: 2 x 20 x 33 = 
1.320 conjuntos distintos podem ser formados com essas espécies para 
esse estudo. 
Resposta: A 
 
5. ENEM - 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos 
no qual cada caráteré um conjunto de 6 pontos dispostos em forma 
retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. 
Por exemplo, a letra A é representada por 
 
O número total de caracteres que podem ser representados no sistema 
Braile é 
(A) 12. 
(B) 31. 
(C) 36. 
(D) 63. 
(E) 720. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos seis pontos. Cada ponto pode ser destacado ou não, 
ou seja, cada ponto pode assumir duas formas. Aqui a ordem é relevante, 
visto que se a alterarmos podemos acabar formando outro caractere. Pelo 
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princípio fundamental da contagem temos que o total de caracteres que 
poderia ser formado é: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26 = 64. No entanto, desse 
resultado precisamos excluir aquela opção na qual todos os pontos são do 
tipo não-destacado. Veja que o enunciado falou que em cada caractere 
pelo menos um ponto se destaca em relação aos demais. Logo, temos: 64 
± 1 = 63 caracteres. 
Resposta: D 
 
6. ENEM - 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai 
realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por 
sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a 
lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os 
interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, 
apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do 
candidato que tiver recebido o número 75 913 é: 
A) 24 
B) 31 
C) 32 
D) 88 
E) 89 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que os números são formados por 5 algarismos distintos. 
Assim o número mais baixo a ser formado, que corresponderia ao número 
1, seria 13579. Queremos determinar qual a posição do número 75913. 
Vejamos então quantos números existem antes do 75913. 
Veja que todos os números iniciados com 1, 3 ou 5 estão antes do 
75913. Logo, para os números iniciados em 1 podemos ter 4 opções de 
algarismos para vir logo em seguida ao 1, que seriam 3 ou 5 ou 7 ou 9; 
depois temos 3 opções para o algarismo seguinte, depois 2 opções e 
depois uma. Logo, para números iniciados em 1 temos: 4 x 3 x 2 x 1 = 
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24 possibilidades. Da mesma forma, podemos concluir que temos 24 
possibilidades de números que começam em 3 e mais 24 possibilidades 
de números que começam em 5. Chegamos, portanto, aos números que 
começam com o algarismo 7. 
Todos aqueles números iniciados em 71 e 73 estão abaixo do 
75913. Começando com 71 temos 3 x 2 x 1 = 6 números possíveis. 
Começando com 73 também existem 6 possibilidades possíveis. 
Chegamos aos números que começam com 75. 
Começando com 75 podemos ter, em ordem, os seguintes 
números: 75139; 75193; 75319; 75391; 75913; 75931. Veja que o 
número que queremos apareceu na quinta posição dentre aqueles que 
começam com 75. Assim, somando as possibilidades de números 
encontradas temos: 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 5 = 89. 
Resposta: E 
 
7. ENEM - 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, 
localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser 
representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto 
ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, 
E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número 
indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as 
cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das 
cidades. 
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Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de 
menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe 
que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos 
ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para 
examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme 
apresentado. 
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências 
possíveis no problema é de 
A) 60 min 
B) 90 min 
C) 120 min 
D) 180 min 
E) 360 min 
RESOLUÇÃO: 
 João mora em A. Ele vai visitar 5 clientes em locais distintos. Logo, 
para o primeiro lugar a ser visitado temos 5 opções: B, C, D, E ou F. Já 
para o segundo lugar temos 4 opções, e assim por diante. Assim, pelo 
princípio fundamental da contagem temos: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
maneiras de visitar os 5 clientes. No entanto, cada uma dessas maneiras 
tem uma simétrica correspondente. O enunciado já nos deu um exemplo 
GLVVR�DR�IDODU�TXH�³os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo´�� 
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 Outro exemplo poderia ser dizer que os trajetos ADFBCEA e 
AECBFDA têm o mesmo custo e, portanto, são simétricos, como 
denominou o enunciado. 
 Assim, precisamos dividir por 2 o número de maneiras de visitar os 
clientes, o que nos dá 60. Fizemos isso porque o enunciado nos deu o 
WHPSR� TXH� -RmR� JDVWD� ³para examinar uma sequência e descartar sua 
simétrica´�� $VVLP�� SRGHPRV� GL]HU� TXH� R� WHPSR� WRWDO� SDUD� -Rmo fazer 
verificar todas as sequências possíveis é de 60 x 1min30s = 60 x 1,5min 
= 90 min. 
Resposta: B 
 
8. ENEM ± 2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I,II,III,IV e V) 
participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada 
um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 
7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na 
soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a 
que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito 
Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no 
momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no 
quesito Bateria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado 
B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? 
(A) 21 
(B) 90 
(C) 750 
(D) 1250 
(E) 3125 
RESOLUÇÃO: 
 As escolas I, III e V não podem ser campeãs, visto que, caso 
recebessem nota máxima no quesito bateria pelo jurado 4, o número 
máximo de pontos que conseguiriam seria 65, 60 e 64, respectivamente, 
abaixo dos 66 pontos que a escola II já possui sem a nota do último 
quesito. 
 O enunciado nos dizque, em caso de empate, a campeã será a que 
alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito 
Enredo e Harmonia. Logo, entre as escolas II e IV quem será campeã em 
caso de empate é a escola II, visto que ela soma 20 pontos no quesito 
Enredo e Harmonia, ao passo que a escola IV soma 19 pontos. 
 Para que a escola II seja campeã, ela tem que no mínimo empatar 
com a escola IV. Para isso, a diferença entre a nota dada pelo jurado B no 
quesito Bateria para a escola II deve ser pelo menos dois pontos superior 
à nota dada para a escola IV. 
 Caso a escola II receba nota 10 do jurado B no quesito bateria, a 
escola IV poderia receber notas 6, 7 ou 8, que a escola II ainda seria a 
campeã. (três possibilidades). 
 Caso a escola II receba nota 9 do jurado B no quesito bateria, a 
escola IV poderia receber notas 6 ou 7 que a escola II ainda seria a 
campeã. (mais duas possibilidades). 
Caso a escola II receba nota 8, a escola IV poderia receber apenas 
nota 6 no mesmo quesito para que a escola II ainda fosse campeã. (mais 
uma possibilidade). 
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 Caso a escola II receba nota 7 ou menor, já não seria mais possível 
ela ser campeã, visto que não haveria uma pontuação possível para a 
escola IV que fosse dois pontos inferior à pontuação da escola II (as notas 
só vão de 6 a 10). 
 Assim, mostramos acima seis possibilidades de notas do jurado B 
no quesito Bateria em que a escola II seria campeã. No entanto, devemos 
considerar que em cada uma dessas seis possibilidades de vitória, as 
outras três escolas poderia ter sido avaliadas de 5 maneiras diferentes 
cada uma (recebendo ou 6, ou 7, ou 8, ou 9, ou 10 como nota naquele 
quesito). 
 Logo, temos 6 x 5 x 5 x 5 =750 configurações distintas das notas a 
serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria que tornariam a escola 
II campeã. 
Resposta: C 
 
9. ENEM ± 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após 
decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea 
e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na 
figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas 
com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
 
 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é 
calculado por: 
(A) 
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(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 9 poltronas livres no avião e precisamos acomodar 7 
pessoas. De quantas maneiras podemos escolher 7 assentos em 9 
disponíveis? A ordem aqui não é relevante. Temos, portanto uma 
combinação de 9 elementos 7 a 7, dada por: 
9,7
9 9! 9!
7 7!(9 7)! 7!2!C
§ · ¨ ¸ �© ¹ 
 
 No entanto, o problema não termina aqui. Veja que temos 7 adultos 
para se sentarem e aqui a ordem importa, visto que se começamos 
sentando determinada pessoa A no assento mais ao fundo do avião, por 
exemplo, temos uma disposição diferente de quando começamos 
sentando a pessoa B naquele assento. Então devemos multiplicar a 
combinação de 9 assentos 7 a 7 pela permutação das 7 pessoas, da 
seguinte forma: 
9,7 7
9! 9!7!
7!2! 2!
C Pu u 
Resposta: A 
 
10. ENEM - 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol 
amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: 
primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, 
entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo 
de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
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campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas 
possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do 
jogo de abertura podem ser calculadas através de 
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
D) duas combinações. 
E) dois arranjos. 
RESOLUÇÃO: 
 A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A é obtida 
através da combinação de 12 times 4 a 4. Repare que a ordem aqui não 
importa, o grupo formado pelos times ABCD é o mesmo grupo formado 
pelos times BCDA. 
 Para escolhe os times do jogo de abertura a ordem passa a ser 
importante. Veja que o primeiro time sorteado vai jogar em seu próprio 
campo. Assim, o sorteio de A e B é diferente do sorteio de B e A. Como a 
ordem importa, estamos diante de um caso de permutação ou arranjo. 
Como queremos apenas 2 times dentro de um grupo de 4, não estamos 
utilizando todos os elementos do grupo, portanto, trata-se de um arranjo. 
Resposta: A 
 
11. ENEM - 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos 
de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com 
exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o 
comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo 
construído com essas características. 
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A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que 
podem ser construídos é 
A) 3. 
B) 5. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que não é qualquer combinação de palitos que pode formar um 
triângulo. Imagine que temos um lado de 6 palitos, um lado de 1 palito e 
um lado de 10 palitos. Você acha que é possível formar um triângulo 
nessas condições? Não! 
Para que um triângulo de lados XYZ exista ele deve satisfazer às 
duas condições abaixo: 
x A diferença de dois de seus lados, em módulo, deve ser 
inferior ao terceiro lado. Em linguagem matemática temos: 
|X ± Y| < Z 
x A soma de dois de seus lados deve ser maior que o terceiro 
lado. Em linguagem matemática temos: 
X + Y > Z 
 
 Como exemplo, vamos aplicar essas condições ao triângulo que 
mencionamos acima. Para isso, vamos supor que X = 10, Y = 1 e Z = 6. 
Assim, temos: 
|X ± Y| < Z Æ |10 ± 1| = 11 > 6 
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X + Y > Z Æ 10 + 1 = 11 > 6 
 
 Veja que a primeira condição não foi respeitada, comprovando o 
que dissemos anteriormente. 
 Voltando ao exercício, temo 17 ± 6 = 11 palitos para construir os 
dois lados que faltam do triângulo. Vamos fazer uma tabela mostrando 
quais são as alternativas possíveisde tamanhos de lados (X e Y) para o 
nosso triângulo e ver se eles satisfazem as condições mencionadas: 
 
X Y |X ± Y| < 6 X + Y > 6 
1 10 Não Sim 
2 9 Não Sim 
3 8 Sim Sim 
4 7 Sim Sim 
5 6 Sim Sim 
 
Veja que nossa tabela parou em X = 5 e Y = 6. Não fomos até X = 
10 e Y = 1 visto que a partir de X = 5 e Y = 6 para frente a tabela 
FRPHoD� D� VH� ³UHSHWLU´�� 7HU� XP� ODGR� GH� YDORU� �� H� RXWUR� GH� YDORU� �� p� D�
mesma coisa que ter um lado de valor 6 e um de valor 5. No triângulo 
essa ordem não é relevante. 
Pela tabela, somente em três casos tivemos as duas condições 
satisfeitas. Portanto, essa é a resposta. 
Resposta: A 
 
12. ENEM - 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de 
sempre alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega 
outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora 
recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de 
drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 
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lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um 
de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente 
alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos 
sejam visto e sem que nenhum filme seja repetido. 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta 
em prática? 
A) 220 X 8! + (3!) 
B) 8! X 5! X 3! 
C) 8
8! 5! 3!
2
X X
 
D) 2
8! 5! 3!
2
X X
 
E) 8
16!
2
 
RESOLUÇÃO: 
 Lembre-se que os filmes são diferentes, logo, a ordem é relevante. 
Estamos diante de um caso de permutação. 
Na primeira locação temos 8 opções de filmes de ação e 5 de 
comédia. Na segunda locação temos 7 opções de filmes de ação e 4 de 
comédia. E assim por diante. Na quinta locação temos 4 opções de filmes 
de ação e 1 de filme de comédia. Assim, temos 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 5! 
maneiras de formar essas duplas de filmes compostas por um filme de 
ação e um de comédia. 
 A partir da sexta locação temos 8 ± 5 = 3 opções de filmes de ação 
e 3 de drama. Na sétima locação temos 2 opções de filmes de ação e 2 de 
drama. Na oitava locação temos 1 opção de filme de ação e 1 de drama. 
Assim, temos 3 x 2 x 1 x 3! maneiras de formar essas duplas de filmes 
compostas por um filme de ação e um de drama. 
 Agora só precisamos multiplicar o número de maneiras de 
formar duplas de filmes compostas por um filme de ação e um de 
comédia pelo número de maneiras de formar duplas de filmes compostas 
por um filme de ação e um de comédia: 
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8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 5! x 3 x 2 x 1 x 3! = 
= 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 5! x 3! 
= 8! x 5! x 3! 
Resposta: B 
 
13. ENEM - 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma 
senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, 
para acesso à conta corrente pela Internet. Entretanto, um especialista 
em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco 
recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de 
uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do 
alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra 
maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, 
era proibido o uso de outros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação 
do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de 
possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora 
da alteração recomendada é: 
A) 
6
6
62
10
 
B) 
62!
10!
 
C) 
62!4!
10!56!
 
D) 62! - 10! 
E) 6 662 - 10 
RESOLUÇÃO: 
 Antes tínhamos 10 dígitos. O número de senhas do sistema antigo 
era de 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106. 
 O novo sistema conta com 10 algarismos (0 a 9) e 26 x 2 = 52 
letras (26 minúsculas e 26 maiúsculas). Ao todo são 10 + 52 = 62 
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caracteres. O número de senhas do sistema novo é de 62 x 62 x 62 x 62 
x 62 x 62 = 626. 
 O coeficiente de melhora é a razão do novo número de 
possibilidades de senhas em relação ao antigo: 
6
6
62
 
10
Coeficiente de melhora 
Resposta: A 
 
14. ENEM - 2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras 
brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir 
joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato 
de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que 
dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A 
figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C 
e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras. 
 
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse 
formato, o artesão poderá obter? 
A) 6 
B) 12 
C) 18 
D) 24 
E) 36 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que as posições A, B, C e D foram definidas, sendo diferentes 
entre si. Logo, não se trata de uma permutação circular. 
Começando pela posição A, temos 3 opções de pedra para por em 
seu lugar. Já em B temos 2 opções, pois não podemos colocar a mesma 
cor de A. Em C temos 2 opções, pois voltamos a poder usar a cor de A 
mas não podemos usar a de B. Em D temos 1 opção, pois voltamos a 
poder usar a cor de B mas não podemos usar as cores nem de A nem de 
C. Assim, ao todo temos 3 x 2 x 2 x 1 = 12 joias diferentes possíveis. 
Resposta: B 
Obs.: A resolução mostrada acima provavelmente é a que o ENEM queria 
que o aluno fizesse na prova, visto que esse foi o gabarito. No entanto, 
achamos que análise é mais complexa. Veja o quadro abaixo: 
 
 
 Substituímos a cor azul pela cor amarela apenas para facilitar a 
visualização. Em cada linha da planilha acima temos representada cada 
configuração de cores possível para a joia. Repare que a terceira pedra 
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(C) pode ter a mesma cor da primeira pedra (A) ou não. Portanto, 
achamos que a análise deve ser feita da seguinte forma: 
 
1) Caso em que a terceira pedra tem a mesma cor da primeira ± aqui 
temos 3 opções de cores para A, 2 para B, 1 para C (visto que terá a 
mesma cor que A) e 2 para D (D pode assumir a corde B ou a cor que 
ainda não foi utilizada na joia), ou seja, 3 x 2 x 1 x 2 = 12 possibilidades. 
 
2) Caso em que a terceira pedra tem cor diferente da cor da primeira ± 
aqui temos 3 opções de cores para A, 2 para B, 1 para C (para ser 
diferente de A sem poder assumir a cor de B só resta uma opção pra C), e 
1 opção para D (a opção de cor que seja diferentes das cores em A e C), 
ou seja, 3 x 2 x 1 x 1 = 6 possibilidades. 
Portanto, ao todo temos 12 + 6 = 18 possibilidades de joias diferentes. 
 
15. ENEM - 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de 
terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 
objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens 
esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da 
brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e 
em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos 
decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. 
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo 
aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno 
estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O 
diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
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RESOLUÇÃO: 
 De quantas formas possíveis podemos formar um conjunto de um 
objeto (dentre 5), uma personagem (dentre 6) e um cômodo (dentre 9)? 
5,1 6,1 9,1 5 6 9 270C C Cu u u u 
 
 Portanto, temos 280 ± 270 = 10 alunos a mais do que possíveis 
respostas distintas. 
Resposta: A 
 
16. ENEM - 2012) O designer português Miguel Neiva criou um sistema 
de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O 
sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores 
primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois 
desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que 
é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados 
por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que 
simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco 
também podem estar associados aos símbolos que identificam cores, 
significando se estas são claras ou escuras. 
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 
18 fev. 2012 (adaptado). 
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo 
sistema proposto? 
A) 14 
B) 18 
C) 20 
D) 21 
E) 23 
RESOLUÇÃO: 
 O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as 
cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Logo, já temos 3 cores aqui. 
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 Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite 
identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado 
com o azul). Aqui temos uma combinação. A ordem não é relevante, visto 
que, conforme o exemplo dado, o verde pode ser obtido a partir do 
amarelo combinado com o azul assim como do azul combinado com o 
amarelo. Assim, combinação de 3 cores 2 a 2 nos dá outras 3 cores. Até 
aqui temos 6 cores. 
 Some-se a isso o preto e branco que são identificados por pequenos 
quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o 
branco é vazio. 
 Os símbolos que representam o preto e branco também podem 
estar associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas 
são claras ou escuras. Ou seja, para cada cor que tínhamos encontrado 
temos também sua versão clara e sua versão escura. Como tínhamos seis 
cores, passamos a ter 6 + 6 claras + 6 escuras = 18. Somando as cores 
preta e branca chegamos às 20 possíveis de serem representadas pelo 
sistema proposto. 
Resposta: C 
 
17. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2012) Em uma sorveteria há sorvetes 
nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas 
nessa sorveteria? 
 a) 10 maneiras 
 b) 9 maneiras 
 c) 8 maneiras 
 d) 7 maneiras 
 e) 6 maneiras 
RESOLUÇÃO: 
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 A ordem aqui é irrelevante. Uma casquinha de flocos e creme é 
igual a uma casquinha de creme e flocos. Logo, estamos diante de um 
caso de combinação de 4 sabores, 2 a 2. 
C4,2 = 4! / (2!2!) = 4 x 3 / 2 = 6 
 
 No entanto, falta considerar os casos de casquinhas com duas bolas 
do mesmo sabor, que são em número de 4. Logo, ao todo, temos 6 + 4 = 
10 maneiras distintas de montar uma casquinha com duas bolas nessa 
sorveteria. 
Resposta: A 
 
18. URCA ± CEV/URCA ± 2012) Em uma sala há x homens e 8 
mulheres. Os homens cumprimentam-se entre si e cumprimentam todas 
as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si. Houve 50 
cumprimentos. Quantos homens haviam na sala? 
 a) 6 
 b) 8 
 c) 4 
 d) 5 
 e) 7 
RESOLUÇÃO: 
 Nesse caso é mais fácil trabalharmos diretamente as respostas. 
Começando pela letra A, temos 6 homens. Quando eles cumprimentarem 
as 8 mulheres teremos 6 x 8 = 48 cumprimentos. E ainda faltaria 
considerar os cumprimentos dados entre os homens. Ou seja, 6 homens é 
um número alto e extrapola os 50 cumprimentos do enunciado. Assim, 
podemos descartar a alternativa A e também as alternativas B e E, visto 
que apresentam um número de homens ainda maior que da letra A. 
 Na letra C temos 4 homens. Ao cumprimentarem 8 mulheres, terão 
sido feitos 4 x 8 = 32 cumprimentos. Ao se cumprimentarem entre si, são 
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mais 6 cumprimentos, totalizando 32 + 6 = 38, número inferior aos 50 
previstos no enunciado. 
 Só nos sobrou a letra D, na qual temos 5 homens. Ao 
cumprimentarem 8 mulheres, terão sido feitos 5 x 8 = 40 cumprimentos. 
Ao se cumprimentarem entre si, são mais 10 cumprimentos, totalizando 
os 50 cumprimentos previstos no enunciado. 
 A figura abaixo facilita a visualização dos 10 cumprimentos 
existentes entre os 5 homens, sendo que cada homem foi representado 
por uma das letras A, B, C, D ou E. 
 
Resposta: D 
 
19. UFRN ± COMPERVE ± 2008) Uma pessoa foi ao dentista e 
constatou que estava com cinco cáries, cada uma em um dente. Ficou 
decidido que seria restaurado um dente cada vez que ela voltasse ao 
consultório. O dentista combinou que marcariaas datas em cinco 
semanas seguidas, um dia a cada semana. 
Considerando-se apenas os dias úteis e sabendo-se que, nesse período, 
ocorreriam, ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, o número de 
maneiras distintas para se programar o tratamento do paciente seria: 
 a) 3.125 
 b) 1.875 
 c) 1.600 
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 d) 2.000 
RESOLUÇÃO: 
 O dentista vai marcar as datas em cinco semanas seguidas, um dia 
a cada semana. Considerando-se apenas os dias úteis e sabendo-se que, 
nesse período, ocorrem, ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, 
temos então três semanas de 5 dias úteis e 4 semanas de 4 dias úteis. 
Suponha que as semanas com feriado sejam as duas últimas. Na primeira 
semana temos 5 dias úteis e queremos escolher um. Temos 5 maneiras 
diferentes de fazê-lo. Nas semanas 2 e 3 também. Na quarta e quinta 
semanas temos 4 opções de dias úteis para marcar o tratamento. Logo, 
ao todo temos 5 x 5 x 5 x 4 x 4 = 2000 maneiras distintas para 
programar o tratamento do paciente. 
Resposta: D 
 
20. UNIFESP ± VUNESP ± 2007) Quatro pessoas vão participar de um 
torneio em que os jogos são disputados entre duplas. O número de 
grupos com duas duplas, que podem ser formados com essas 4 pessoas, 
é 
 a) 3. 
 b) 4. 
 c) 6. 
 d) 8. 
 e) 12. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o exercício não pediu o número de duplas que podemos 
formar. Ele nos pediu o número de grupos de duas duplas que é possível 
formar. 
Como queremos formar grupos e a ordem não é relevante, visto 
que o grupo composto pelas duplas A e B é o mesmo grupo das duplas B 
e A, estamos diante de uma questão de combinação. 
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Temos 4 pessoas, o que nos permite formar duas duplas. Duas 
duplas já definem um grupo, logo, o que precisamos descobrir é quantos 
pares de duplas são possíveis de formar com 4 pessoas. 
O número total de duplas que podemos formar com 4 pessoas é 
dado pela combinação de 4 pessoas 2 a 2: 
C4,2 = 4! / (2!2!) = 4 x 3 / 2 = 6 
 
 No entanto, em cada grupo precisaremos de duas duplas. Logo, 
temos 6 / 2 = 3 formas distintas de montar grupos de duas duplas. 
Resposta: A 
 
21. UNB ± CESPE ± 2012 - adaptada) Nos períodos em que ocorrem 
interferências eletromagnéticas causadas por tempestades solares, a 
comunicação entre os robôs em Marte e os centros de comunicação 
espacial na Terra fica mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja 
lançado, em um desses períodos, de um laboratório na Terra até um de 
dois satélites ² Y e Z ² disponíveis, e seja redirecionado para o Planeta 
Vermelho, apresenta 85% de chance de ser corretamente recebido pelo 
satélite Y, e 75% de ser corretamente recebido em Marte, a partir desse 
satélite. Caso o sinal fosse enviado para o satélite Z, a chance de ele não 
ser completamente decifrado seria de 10%, e de 20% a de não ser 
perfeitamente recebido em Marte, após a transmissão feita a partir desse 
satélite. 
Com base nessas informações, julgue o item abaixo: 
 
O número de maneiras distintas de escolher os satélites disponíveis para 
enviar cinco mensagens a Marte é superior a 30. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 2 satélites, Y e Z. A cada mensagem enviada temos duas 
opções, enviar por Y ou enviar por Z. Ao todo são 5 mensagens. Portanto 
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temos 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 32 maneiras distintas de escolher os 
satélites. 
RESPOSTA: Certo 
 
Utilize o texto a seguir para responder as questões de 22 a 24 
Suponha que doze amigos irão assistir a uma partida de futebol e que 
sete deles vestirão a camisa da seleção brasileira; três, camisa de times 
de futebol; e os outros dois, camisa relacionada a outros esportes. 
Suponha, ainda, que esses torcedores irão sentar-se em uma única fileira, 
em 12 cadeiras contíguas. 
 
22. UNB ± CESPE ± 2013 - adaptada) Todos os sete torcedores 
vestidos com camisa da seleção poderão sentar- se em cadeiras contíguas 
de 7! × 6! maneiras distintas. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos 12 assentos e precisamos que os amigos com camisa da 
seleção sentem-se um ao lado do outro. Esse conjunto de 7 amigos da 
seleção é fixo! Logo, é como se tivéssemos 3 colegas com camisas de 
time de futebol, 2 colegas com camisas de outros esportes e um conjunto 
de colegas com camisa da seleção. Ou seja, temos 3 + 2 + 1 = 6 
elementos para distribuir ao longo de 6 posições. Para a primeira posição 
temos 6 opções, para a segunda 5, e assim por diante, de forma que 
temos 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! maneiras de distribuir os 6 elementos 
nas 6 posições. 
No entanto, um desses elementos é o grupo de 7 colegas com 
camisa da seleção. Para cada posição que o conjunto deles assumir, os 7 
colegas poderão estar de 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! maneiras distintas 
dentro daquele conjunto de amigos com camisa da seleção. Portanto, ao 
todo temos 7! X 6! maneiras distintas de sentar os sete torcedores 
vestidos com camisa da seleção em cadeiras contíguas. 
RESPOSTA: Certo 
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23. UNB ± CESPE ± 2013 - adaptada) Existem 20 × 9! maneiras 
diferentes de arranjar os torcedores nas 12 cadeiras, tal que aqueles que 
estiverem usando camisas relacionadas a outros esportes ocupem os 
assentos das extremidades. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos dois amigos utilizando camisas relacionadas a outros 
esportes. Cada um vai ocupar o assento de uma extremidade. Sobram 10 
assentos para os outros 10 colegas. Para o primeiro desses 10 assentos 
temos 10 opções de pessoas a sentar; para o segundo temos 9 opções, e 
assim por diante, de forma que ao todo temos 10 x 9 x 8 x ... x 3 x 2 x 1 
= 10! maneiras distintas. No entanto, os dois colegas que ocupam as 
extremidades tem duas formas de fazê-lo: cada um pode ocupar uma 
extremidade ou outra. Assim, basta multiplicar por 2 a quantidade de 
maneiras distintas que havíamos calculado: 2 x 10!. 
 Outra maneira de escrever isso é: 2 x 10! = 2 x 10 x 9! = 20 x 9!. 
RESPOSTA: Certo 
 
24. UNB ± CESPE ± 2013 - adaptada) Considere que os sete 
torcedores vestidos com camisa da seleção brasileira ocupem as sete 
cadeiras contíguas a partir de uma das extremidades, e as cinco cadeiras 
restantes sejam ocupadas por torcedores vestidos com camisa de times 
de futebol, tal que, entre estes, sempre fique um torcedor vestido com 
camisa de outro esporte. Nesse caso, o número de maneiras distintas de 
ocupação dos assentos pelos torcedores é inferior a 100.000. 
RESOLUÇÃO: 
 A partir de uma das extremidades temos 7! para o número de 
maneiras de sentar os 7 torcedoresvestidos com camisa da seleção 
brasileira; após temos 3 opções de torcedor com camisa de time x 2 
opções de torcedor com camisa de outro esporte x 2 opções de torcedor 
com camisa de time x 1 opção de torcedor com camisa de outro esporte x 
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1 opção de torcedor com camisa de time. Portanto, temos: 7! x 3 x 2 x 2 
x 1 x 1 = 7! x 12 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 12 = 60.480. 
 Devemos agora multiplicar o nosso resultado por 2 tendo em vista 
que os torcedores vestidos com camisa da seleção podem ocupar 
qualquer uma das duas extremidades. Portanto, temos um número de 
maneiras distintas de ocupação dos assentos pelos torcedores superior a 
100.000. 
RESPOSTA: Errado 
 
25. UCS ± VESTIBULAR ± 2015) Um supermercado está selecionando, 
entre 15 candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para 
GHVHPSHQKDU�D�IXQomR�GH�³FDL[D��� 
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha? 
 a) 5 
 b) 45 
 c) 215 
 d) 360 
 e) 455 
RESOLUÇÃO: 
 Esta é uma questão de combinação visto que precisamos formar 
grupos de 3 a partir de 15 elementos e a ordem é irrelevante, ou seja, o 
grupos formado por ABC é igual ao grupo formado por ACB. 
15,3
15 15!
3 3!(15 3)!C
§ · ¨ ¸ �© ¹ 
15! 15 14 13 12! 15 14 13 5 7 13 455
3!(15 3)! 3! 12! 3 2 1
u u u u u u u � u u u 
RESPOSTA: E 
 
26. USP ± FUVEST ± 2009) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos 
para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 
podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma 
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vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o 
número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 
3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 
 a) 551 
 b) 552 
 c) 553 
 d) 554 
 e) 555 
RESOLUÇÃO: 
 O número total de senhas de 4 dígitos possíveis de serem criadas a 
partir de 5 algarismos é dado por 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Desse total, vamos 
excluir aquelas opções em que o 13 aparece. 
 Senhas do tipo 13XX: 1 x 1 x 5 x 5 = 25 
 Senhas do tipo X13X: 1 x 5 x 5 x 1 = 25 
Senhas do tipo XX13: 1 x 1 x 5 x 5 = 25 
 No entanto, a senha 1313 está sendo contada duas vezes, uma vez 
nas senhas do tipo 13XX e uma vez nas senhas do tipo XX13. Logo, 
devemos excluir uma dessas vezes. 
Ao todo, o 13 aparece em 75 ± 1 = 74 senhas. Assim, Maria tem 
625 ± 74 = 551 maneiras distintas de escolher sua senha. 
RESPOSTA: A 
 
27. UFG ± CS/UFG ± 2014) Uma subestação de distribuição de energia 
possui uma linha central, P, e outras quatro linhas secundárias, A, B, C e 
D. Pretende-se conectar essas linhas da seguinte forma: uma linha 
secundária será conectada à linha principal P, após essa conexão, duas 
outras linhas secundárias serão escolhidas e conectadas à linha 
secundária já conectada à P. O número de maneiras de se conectar essas 
linhas é: 
 a) 4 
 b) 6 
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 c) 12 
 d) 16 
 e) 24 
RESOLUÇÃO: 
 Primeiro, uma linha secundária será conectada à linha principal P: 
temos 4 opções possíveis, A, B, C ou D. 
 Depois, duas outras linhas secundárias serão escolhidas e 
conectadas à linha secundária já conectada à P: como escolhemos uma 
linha secundária no primeiro passo, nos sobraram apenas 3 opções, das 
quais precisamos escolher duas. Como a ordem não é relevante, visto que 
escolher as linhas B e C é o mesmo que escolher C e B, temos uma 
combinação de 3 elementos 2 a 2 Æ C3,2 = 3. 
 O número de maneiras de se conectar essas linhas é 4 x 3 = 12 
RESPOSTA: C 
 
28. FGV ± VESTIBULAR ± 2015) Um grupo de oito alunos está sendo 
liderado em um passeio por dois professores e, em determinado 
momento, deve se dividir em dois subgrupos. Cada professor irá liderar 
um dos subgrupos e cada aluno deverá escolher um professor. A única 
restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um aluno. O número 
de maneiras distintas de essa subdivisão ser feita é 
 a) 128. 
 b) 64. 
 c) 248. 
 d) 254. 
 e) 256. 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro aluno a escolher com qual professor seguir tem duas 
opções de escolha. O segundo aluno também. E assim por diante até o 
último aluno. Portanto, a princípio teríamos 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 
28 = 256 maneiras distintas de fazer essa divisão. 
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 No entanto, o exercício nos colocou a restrição de que cada 
subgrupo deve ter pelo menos um aluno. Imagine que do primeiro ao 
último aluno escolhessem o professor 1. O professor 2 não teria ninguém 
para liderar. Existe também a chance de todos os alunos escolherem o 
professor 2 e aí o professor 1 ficaria sem ninguém para liderar. 
Precisamos excluir essas duas hipóteses. 
 Logo, o número de maneiras distintas de essa subdivisão ser feita é 
256 ± 2 = 254. 
RESPOSTA: D 
 
29. UNEMAT ± VESTIBULAR - 2011) Uma determinada agência 
bancária adotou, para segurança de seus clientes, uma senha de acesso 
de 7 (sete) dígitos, em que os três primeiros dígitos são 3 (três) letras 
distintas e os quatro últimos dígitos são 4 (quatro) números distintos. 
Considerando o alfabeto de 26 (vinte e seis) letras e o conjunto de 
números de 0 (zero) a 9 (nove), o número possível de senhas distintas 
que podem ser criadas é: 
a) 26! x 10! 
b) C26,3 x C10,4 
c) A26,3 x A10,4 
d) A36,7 
e) C36,7 
RESOLUÇÃO: 
 Neste caso a ordem importa visto que se trata de uma senha. É 
diferente uma ABC1234 em relação a BAC1234. Portanto, temos um 
arranjo, tanto para as 3 letras (já que das 26 letras do alfabeto 
utilizaremos apenas 3, e elas devem ser distintas) quanto para os 4 
números (já que dos 10 algarismos utilizaremos apenas 4, e eles devem 
ser distintos). 
 Assim, o número possível de senhas distintas que podem ser 
criadas é dado por A26,3 x A10,4. 
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RESPOSTA: C 
 
30. FAME - FUNDEP ± 2014) Para a realização de um teste final para 
comediantes, pretendentes a três vagas em uma emissora de TV, foram 
selecionados nove finalistas. Como último teste, os jurados planejam 
separar, aleatoriamente, os nove finalistas em três grupos com três 
pessoas cada um, de forma a criar condições favoráveis à avaliação 
durante esse teste. 
Onúmero de formas distintas de se organizar os nove finalistas, de 
acordo com a maneira descrita anteriormente é igual a 
 a) 105. 
 b) 280. 
 c) 630. 
 d) 1.680. 
RESOLUÇÃO: 
 Para formar o primeiro grupo temos 9 opções de comediantes 
disponíveis. Portanto, temos combinação de 9 comediantes 3 a 3 Æ C9,3. 
 Para formar o segundo grupo temos 6 opções de comediantes 
disponíveis, visto que 3 já formam o primeiro grupo. Portanto, temos 
combinação de 6 comediantes 3 a 3 Æ C6,3. 
Para formar o terceiro grupo temos 3 opções de comediantes 
disponíveis, visto que 3 já formam o primeiro grupo e outros 3 formam o 
segundo. Portanto, temos combinação de 3 comediantes 3 a 3 Æ C3,3. 
Pelo princípio fundamental da contagem o número de formas 
distintas de se organizar os nove finalistas, de acordo com a maneira 
descrita é igual a: 
C9,3 x C6,3 x C3,3 = 84 x 20 x 1 = 1680 
RESPOSTA: B 
 
31. ENEM ± 2016) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a 
prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A 
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experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o 
número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 
345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível 
do número esperado de participantes para o último dia é 
A) 3 x 345 
B) (3 + 3 +3) x 345 
C) 33 x 345 
D) 3 x 4 x 345 
E) 34 x 345 
RESOLUÇÃO: 
 No primeiro dia temos 345 visitantes. No segundo temos o tripo de 
345, ou seja, 3 x 345. No terceiro temos o triplo de (3 x 345), ou seja, 3 
x 3 x 345, ou 3² x 345. No quarto dia temos o triplo de 3² x 345, ou seja, 
3 x 3² x 345 = 3³ x 345. 
Resposta: C 
 
32. ENEM ± 2016) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o 
seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de 
cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de 
modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores 
diferentes. 
 
De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? 
A) 6 
B) 12 
C) 18 
D) 24 
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E) 72 
RESOLUÇÃO: 
 São 4 círculos e três cores. Vamos dividir o problema em dois 
casos: aqueles nos quais as cores de A e C são iguais e aqueles casos nos 
quais A e C têm cores diferentes. 
 A e C têm cores iguais Æ Se começarmos o preenchimento em A, 
teremos 3 cores disponíveis para A, 2 para B, 1 para C (visto que deve 
ser igual a de A) e 2 para D. Portanto, temos 3 x 2 x 1 x 2 = 12 formas 
de fazer esse preenchimento. 
 A e C têm cores diferentes Æ Se A e C têm cores diferentes, 
teremos apenas uma opção de cor tanto para B quanto para D, visto que 
A e C já estarão utilizando duas das três cores disponíveis. Assim, se 
começarmos o preenchimento em A, teremos 3 cores disponíveis para A, 
1 para B, 2 para C e 1 para D. Portanto, temos 3 x 1 x 2 x 1 = 6 formas 
de fazer esse preenchimento. 
 No total, temos 6 + 12 = 18 formas distintas. 
Resposta: C 
 
33. ENEM ± 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa 
escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os 
algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o 
alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula 
difere da minúscula em uma senha. 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez 2012. 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é 
dado por 
A) 2 210 26˜ 
B) 2 210 52˜ 
C) 2 2
4!
10 52
2!
˜ ˜ 
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D) 2 2
4!
10 26
2! 2!
˜ ˜ ˜ 
E) 2 2
4!
10 52
2! 2!
˜ ˜ ˜ 
RESOLUÇÃO: 
 Uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Como o 
alfabeto tem 26 letras, ao todo temos 52 caracteres formados com letras 
maiúsculas e minúsculas do alfabeto. Já para os algarismos temos 10 
opções, de 0 a 9. 
 Aqui a ordem importa. Uma senha AB89 é diferente de uma senha 
AB98, por exemplo. Assim, estamos diante de um caso de permutação 
entre as quatro 4 casas que compõem a senha. No entanto, para escolher 
o caractere que vai preencher cada uma dessas casas, vamos utilizar a 
combinação. 
 Precisamos dividir a contagem de senhas em 4 tipos possíveis: 
1 ± senhas com todos os caracteres distintos 
2 ± senhas com dois algarismos iguais e duas letras distintas 
3 ± senhas com duas letras iguais e dois algarismos distintos 
4 ± senhas com duas letras iguais e dois algarismos iguais 
 Vamos calcular cada um desses casos e soma-los ao final. 
 
1 ± senhas com todos os caracteres distintos 
 Aqui basta fazer C(52, 2) x C(10, 2) x 4!. Ou seja, de 52 letras 
escolhemos duas: C(52, 2). Dos 10 algarismos escolhemos 2: C(10, 2). 
Depois permutamos esses 4 caracteres: 4!. 
 
2 ± senhas com dois algarismos iguais e duas letras distintas 
 Aqui basta fazer C(52, 2) x C(10, 1) x 4!/2!. Ou seja, de 52 letras 
escolhemos duas: C(52, 2). Dos 10 algarismos escolhemos 1: C(10, 1) ± 
o outro algarismo vai ter que ser igual a esse escolhido. Depois 
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permutamos esses 4 caracteres, com repetição de dois algarismos iguais: 
4!/2!. 
 
 
3 ± senhas com duas letras iguais e dois algarismos distintos 
 Aqui basta fazer C(52, 1) x C(10, 2) x 4!/2!. Ou seja, de 52 letras 
escolhemos uma: C(52, 1) ± a outra letra vai ter que ser igual à essa 
escolhida. Dos 10 algarismos escolhemos 2: C(10, 2). Depois 
permutamos esses 4 caracteres, com repetição de duas letras iguais: 
4!/2!. 
 
4 ± senhas com duas letras iguais e dois algarismos iguais 
 Aqui basta fazer C(52, 1) x C(10, 1) x 4!/(2!.2!). Ou seja, de 52 
letras escolhemos uma: C(52, 1) ± a outra letra vai ter que ser igual à 
essa escolhida. Dos 10 algarismos escolhemos 1: C(10, 1) ± o outro 
algarismo vai ter que ser igual a esse escolhido. Depois permutamos 
esses 4 caracteres, com repetição de duas letras iguais e dois algarismos 
iguais: 4!/(2!.2!). 
 
 Somando tudo temos: 
 
 
 
 
 
 
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Resposta: E 
 
34. ENEM ± 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a 
ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto 
ou destro.Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são 
canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida 
de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos 
canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a 
partida de exibição 
A) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
�u u 
B) 
10! 4!
8! 2!
� 
C) 
10!
2
2! 8!
�u 
D) 
6!
4 4
4!
� u 
E) 
6!
6 4
4!
� u 
RESOLUÇÃO: 
 A condição é que não poderão ser ambos canhotos. Portanto, 
podemos ver de quantas formas podemos formar duplas entre 10 pessoas 
e subtrair apenas aquelas duplas formadas por 2 canhotos. Assim, 
temos: 
C(10,2) ± C(4,2) = 10!/(2!*8!) ± 4!/(2!*2!) 
Resposta: A 
 
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Fim de aula!!! Nos vemos na aula 17. 
Abraço, 
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Imagine que numa alguém possui em seu 
armário 90 pares de sapatos, todos em caixas, numeradas de 1 a 90. De 
quantas maneiras podemos retirar quatro caixas desse armário de forma 
que a terceira caixa retirada seja a de número 20? 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) De quantas maneiras diferentes podemos 
pintar cinco portas, uma ao lado da outra, sabendo que possuímos apenas 
8 cores distintas? 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Determinada empresa tem no seu quadro 
de funcionários 7 engenheiros e 3 arquitetos. De quantas maneiras é 
possível formar duplas desses funcionários com a participação de pelo 
menos um engenheiro em cada dupla? 
 
4. ENEM - 2007) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de 
mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo. 
 
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Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de 
mamíferos ² uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a 
terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem 
ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a 
A) 1.320. 
B) 2.090. 
C) 5.845. 
D) 6.600. 
E) 7.245. 
 
5. ENEM - 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos 
no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma 
retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais. 
Por exemplo, a letra A é representada por 
 
O número total de caracteres que podem ser representados no sistema 
Braile é 
(A) 12. 
(B) 31. 
(C) 36. 
(D) 63. 
(E) 720. 
 
6. ENEM - 2011) O setor de recursos humanos de uma empresa vai 
realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por 
sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a 
lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os 
interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, 
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apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do 
candidato que tiver recebido o número 75 913 é: 
A) 24 
B) 31 
C) 32 
D) 88 
E) 89 
 
7. ENEM - 2010) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, 
localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser 
representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto 
ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, 
E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número 
indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as 
cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das 
cidades. 
 
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de 
menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe 
que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos 
ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para 
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examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme 
apresentado. 
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências 
possíveis no problema é de 
A) 60 min 
B) 90 min 
C) 120 min 
D) 180 min 
E) 360 min 
 
8. ENEM ± 2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I,II,III,IV e V) 
participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada 
um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 
7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na 
soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a 
que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito 
Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no 
momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no 
quesito Bateria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado 
B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II? 
(A) 21 
(B) 90 
(C) 750 
(D) 1250 
(E) 3125 
 
9. ENEM ± 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após 
decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea 
e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na 
figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas 
com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
 
 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é 
calculado por: 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
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10. ENEM - 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebolamador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: 
primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, 
entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo 
de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas 
possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do 
jogo de abertura podem ser calculadas através de 
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
D) duas combinações. 
E) dois arranjos. 
 
11. ENEM - 2014) Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos 
de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com 
exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o 
comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo 
construído com essas características. 
 
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que 
podem ser construídos é 
A) 3. 
B) 5. 
C) 6. 
D) 8. 
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E) 10. 
 
12. ENEM - 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de 
sempre alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega 
outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora 
recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de 
drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 
lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um 
de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente 
alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos 
sejam visto e sem que nenhum filme seja repetido. 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta 
em prática? 
A) 220 X 8! + (3!) 
B) 8! X 5! X 3! 
C) 8
8! 5! 3!
2
X X
 
D) 2
8! 5! 3!
2
X X
 
E) 8
16!
2
 
 
13. ENEM - 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma 
senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, 
para acesso à conta corrente pela Internet. Entretanto, um especialista 
em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco 
recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de 
uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do 
alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra 
maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, 
era proibido o uso de outros tipos de caracteres. 
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Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação 
do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de 
possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora 
da alteração recomendada é: 
A) 
6
6
62
10
 
B) 
62!
10!
 
C) 
62!4!
10!56!
 
D) 62! - 10! 
E) 6 662 - 10 
 
14. ENEM - 2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras 
brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir 
joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato 
de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que 
dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A 
figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C 
e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras. 
 
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse 
formato, o artesão poderá obter? 
A) 6 
B) 12 
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C) 18 
D) 24 
E) 36 
 
15. ENEM - 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de 
terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 
objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens 
esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da 
brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e 
em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos 
decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. 
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo 
aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno 
estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O 
diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 
A) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
B) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
C) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
D) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
 
16. ENEM - 2012) O designer português Miguel Neiva criou um sistema 
de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O 
sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores 
primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois 
desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que 
é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados 
por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que 
simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco 
também podem estar associados aos símbolos que identificam cores, 
significando se estas são claras ou escuras. 
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Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 
18 fev. 2012 (adaptado). 
De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo 
sistema proposto? 
A) 14 
B) 18 
C) 20 
D) 21 
E) 23 
 
17. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2012) Em uma sorveteria há sorvetes 
nos sabores morango, chocolate, creme e flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas 
nessa sorveteria? 
 a) 10 maneiras 
 b) 9 maneiras 
 c) 8 maneiras 
 d) 7 maneiras 
 e) 6 maneiras 
 
18. URCA ± CEV/URCA ± 2012) Em uma sala há x homens e 8 
mulheres. Os homens cumprimentam-se entre si e cumprimentam todas 
as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si. Houve 50 
cumprimentos. Quantos homens haviam na sala? 
 a) 6 
 b) 8 
 c) 4 
 d) 5 
 e) 7 
 
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19. UFRN ± COMPERVE ± 2008) Uma pessoa foi ao dentista e 
constatou que estava com cinco cáries, cada uma em um dente. Ficou 
decidido que seria restaurado um dente cada vez que ela voltasse ao 
consultório. O dentista combinou que marcaria as datas em cinco 
semanas seguidas, um dia a cada semana. 
Considerando-se apenas os dias úteis e sabendo-se que, nesse período, 
ocorreriam, ao todo, dois feriados, em semanas diferentes, o número de 
maneiras distintas para se programar o tratamento do paciente seria: 
 a) 3.125 
 b) 1.875 
 c) 1.600 
 d) 2.000 
 
20. UNIFESP ± VUNESP ± 2007) Quatro pessoas vão participar de um 
torneio em que os jogos são disputados entre duplas. O número de 
grupos com duas duplas, que podem ser formados com essas 4 pessoas, 
é 
 a) 3. 
 b) 4. 
 c) 6. 
 d) 8. 
 e) 12. 
 
21. UNB ± CESPE ± 2012 - adaptada) Nos períodos em que ocorrem 
interferências eletromagnéticas causadas por tempestades solares, a 
comunicação entre os robôs em Marte e os centros de comunicação 
espacial na Terra fica mais difícil. Assim, um sinal de rádio que seja 
lançado, em um desses períodos, de um laboratório na Terra até um de 
dois satélites ² Y e Z ² disponíveis, e seja redirecionado para o Planeta 
Vermelho, apresenta 85% de chance de ser corretamente recebido pelo 
satélite Y, e 75% de ser corretamente recebido em Marte, a partir desse 
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satélite. Caso o sinal fosse enviado para o satélite Z, a chance de ele não 
ser completamente decifrado seria de 10%, e de 20% a de não ser 
perfeitamente recebido em Marte, após a transmissão feita a partir desse 
satélite. 
Com base nessas informações, julgue o item abaixo: 
O número de maneiras distintas de escolher os satélites disponíveis para 
enviar cinco mensagens a Marte é superior a 30. 
 
Utilize o texto a seguir para responder as questões de 22 a 24 
Suponha que doze amigos irão assistir a uma partida de futebol e que 
sete deles vestirão a camisa da seleção brasileira; três, camisa de times 
de futebol; e os outros dois, camisa relacionada a outros esportes. 
Suponha, ainda, que esses torcedores irão sentar-se em uma única fileira, 
em 12 cadeiras contíguas. 
 
22. UNB ± CESPE ± 2013 - adaptada) Todos os sete torcedores 
vestidos com camisa da seleção poderão sentar- se em cadeiras contíguas 
de 7! × 6! maneiras distintas. 
 
23. UNB ± CESPE ± 2013 - adaptada) Existem 20 × 9! maneiras 
diferentes de arranjar os torcedores nas 12 cadeiras, tal que aqueles que 
estiverem usando camisas relacionadas a outros esportes ocupem os 
assentos das extremidades. 
 
24. UNB ± CESPE ± 2013 - adaptada) Considere que os sete 
torcedores vestidos com camisa da seleção brasileira ocupem as sete 
cadeiras contíguas a partir de uma das extremidades, e as cinco cadeiras 
restantes sejam ocupadas por torcedores vestidos com camisa de times 
de futebol, tal que, entre estes, sempre fique um torcedor vestido com 
camisa de outro esporte. Nesse caso, o número de maneiras distintas de 
ocupação dos assentos pelos torcedores é inferior a 100.000. 
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25. UCS ± VESTIBULAR ± 2015) Um supermercado está selecionando, 
entre 15 candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para 
GHVHPSHQKDU�D�IXQomR�GH�³FDL[D��� 
De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa escolha? 
 a) 5 
 b) 45 
 c) 215 
 d) 360 
 e) 455 
 
26. USP ± FUVEST ± 2009) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos 
para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 
podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma 
vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o 
número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 
3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? 
 a) 551 
 b) 552 
 c) 553 
 d) 554 
 e) 555 
 
27. UFG ± CS/UFG ± 2014) Uma subestação de distribuição de energia 
possui uma linha central, P, e outras quatro linhas secundárias, A, B, C e 
D. Pretende-se conectar essas linhas da seguinte forma: uma linha 
secundária será conectada à linha principal P, após essa conexão, duas 
outras linhas secundárias serão escolhidas e conectadas à linha 
secundária já conectada à P. O número de maneiras de se conectar essas 
linhas é: 
 a) 4 
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 b) 6 
 c) 12 
 d) 16 
 e) 24 
 
28. FGV ± VESTIBULAR ± 2015) Um grupo de oito alunos está sendo 
liderado em um passeio por dois professores e, em determinado 
momento, deve se dividir em dois subgrupos. Cada professor irá liderar 
um dos subgrupos e cada aluno deverá escolher um professor. A única 
restrição é que cada subgrupo deve ter no mínimo um aluno. O número 
de maneiras distintas de essa subdivisão ser feita é 
 a) 128. 
 b) 64. 
 c) 248. 
 d) 254. 
 e) 256. 
 
29. UNEMAT ± VESTIBULAR - 2011) Uma determinada agência 
bancária adotou, para segurança de seus clientes, uma senha de acesso 
de 7 (sete) dígitos, em que os três primeiros dígitos são 3 (três) letras 
distintas e os quatro últimos dígitos são 4 (quatro) números distintos. 
Considerando o alfabeto de 26 (vinte e seis) letras e o conjunto de 
números de 0 (zero) a 9 (nove), o número possível de senhas distintas 
que podem ser criadas é: 
a) 26! x 10! 
b) C26,3 x C10,4 
c) A26,3 x A10,4 
d) A36,7 
e) C36,7 
 
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30. FAME - FUNDEP ± 2014) Para a realização de um teste final para 
comediantes, pretendentes a três vagas em uma emissora de TV, foram 
selecionados nove finalistas. Como último teste, os jurados planejam 
separar, aleatoriamente, os nove finalistas em três grupos com três 
pessoas cada um, de forma a criar condições favoráveis à avaliação 
durante esse teste. 
O número de formas distintas de se organizar os nove finalistas, de 
acordo com a maneira descrita anteriormente é igual a 
 a) 105. 
 b) 280. 
 c) 630. 
 d) 1.680. 
 
31. ENEM ± 2016) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a 
prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações culturais. A 
experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o 
número de visitantes no evento é triplicado. É esperada a presença de 
345 visitantes para o primeiro dia do evento. Uma representação possível 
do número esperado de participantes para o último dia é 
A) 3 x 345 
B) (3 + 3 +3) x 345 
C) 33 x 345 
D) 3 x 4 x 345 
E) 34 x 34532. ENEM ± 2016) Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o 
seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de 
cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de 
modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores 
diferentes. 
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De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu? 
A) 6 
B) 12 
C) 18 
D) 24 
E) 72 
 
33. ENEM ± 2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa 
escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os 
algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o 
alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula 
difere da minúscula em uma senha. 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez 2012. 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é 
dado por 
A) 2 210 26˜ 
B) 2 210 52˜ 
C) 2 2
4!
10 52
2!
˜ ˜ 
D) 2 2
4!
10 26
2! 2!
˜ ˜ ˜ 
E) 2 2
4!
10 52
2! 2!
˜ ˜ ˜ 
 
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34. ENEM ± 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a 
ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto 
ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são 
canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida 
de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos 
canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a 
partida de exibição 
A) 
10! 4!
2! 8! 2! 2!
�u u 
B) 
10! 4!
8! 2!
� 
C) 
10!
2
2! 8!
�u 
D) 
6!
4 4
4!
� u 
E) 
6!
6 4
4!
� u 
 
 
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01 * 02 ** 03 *** 04 A 05 D 06 E 07 B 
08 C 09 A 10 A 11 A 12 B 13 A 14 B 
15 A 16 C 17 A 18 D 19 D 20 A 21 C 
22 C 23 C 24 C 25 E 26 A 27 C 28 D 
29 C 30 B 31 C 32 C 33 E 34 A 
 
* 681384 
** 6720 
*** 42 
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