Apostila de Conversão 2018.2

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UFT – Palmas – Engenharia Elétrica 
Conversão de Energia 
Profa. Dra. Stefani Freitas 
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MÓDULOS DA DISCIPLINA 
“Conversão de Energia” 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estes módulos são um compilamento acerca do conteúdo abordado na disciplina. Partes de textos, 
tabelas e figuras foram extraídos de referências mencionadas no início de cada módulo e de páginas 
da internet. 
 
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MÓDULO I 
Revisão de Magnetismo e Eletromagnetismo 
Este módulo é um compilamento acerca do conteúdo abordado. Textos, tabelas e figuras foram 
extraídos da referência abaixo. 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
NEVES, E. G. C., MÜNCHOW, R. Capítulo 2 – Características magnéticas dos materiais magnéticos. 
Circuitos magnéticos. Disciplina de Máquinas e Transformadores Elétricos. UFPEL. 
 
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1.1 INTRODUÇÃO 
O transformador é um importante componente do processo global de conversão 
energética. As técnicas desenvolvidas na análise de transformadores formam a base da 
discussão sobre máquinas elétricas, que seguirão em disciplinas seguintes a esta. 
Praticamente todos os transformadores e máquinas elétricas usam material 
ferromagnético para direcionar e dar forma a campos magnéticos, os quais atuam como 
meio de transferência e conversão de energia. 
Materiais magnéticos permanentes, ou imãs, também são largamente usados. Sem 
esses materiais, não seriam possíveis as implementações práticas da maioria dos 
dispositivos eletromecânicos de energia. A capacidade de analisar e descrever sistemas que 
contenham esses materiais é essencial ao projeto e entendimento desses dispositivos 
eletromecânicos de conversão de energia. 
Na maior parte das vezes os campos magnéticos, antes de constituírem em um fim em 
si mesmo, são um meio utilizado para alcançar um resultado; em outras palavras, 
geralmente não há sentido em gerar um campo magnético sem que este se destine à 
obtenção de algum outro tipo de fenômeno. 
Uma das maiores utilidades de um campo magnético é servir como "intermediário" 
para a transformação de energia elétrica em mecânica – e vice-versa -, em um processo 
conhecido como conversão eletro-mecânica de energia, presente nas máquinas elétricas. No 
caso de um gerador, por exemplo, a energia mecânica fornecida por uma fonte externa 
(digamos, um motor a gasolina) é transformada em energia elétrica, como mostra a figura 
1.1; é o campo magnético quem propicia esta transformação. 
 
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ENERGIA 
MECÂNICA
CAMPO 
MAGNÉTICO
ENERGIA 
ELÉTRICA
 
Figura 1.1 – Fluxo de energia em um gerador elétrico. 
Máquinas e transformadores que utilizam campos magnéticos têm seus elementos 
constitutivos projetados de forma a proporcionar uma otimização na distribuição espacial 
destes campos. Esses dispositivos se constituem em verdadeiros circuitos magnéticos, 
distribuindo os fluxos magnéticos de maneira adequada ao bom funcionamento da máquina 
ou transformador. 
1.2 PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 
A permeabilidade magnética, simbolizada pela letra grega μ, é uma grandeza 
característica de cada material e se refere à sua capacidade em "aceitar" a existência de 
linhas de indução em seu interior. Assim, quanto maior for a permeabilidade de um 
material, mais facilmente se "instalarão" linhas de indução em seu interior. 
A permeabilidade magnética de um material pode ser comparada à condutância de um 
corpo: enquanto esta exprime o grau de "facilidade" com que a corrente elétrica percorre 
este corpo, aquela mede o grau de "facilidade" com que o fluxo magnético se estabelece no 
interior de um material. 
 
(a) (b) 
Figura 1.2 - Distribuição das linhas de indução geradas pela corrente i em um enrolamento: (a) com núcleo de 
ar; (b) com núcleo de material de alta permeabilidade magnética relativa. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL) 
Denomina-se permeabilidade magnética relativa (μr) de um material à relação. 
𝜇𝑟 =
𝜇
𝜇0
 (1.1) 
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onde μ é a permeabilidade do material e μo = 4𝜋10-7 Wb/A.m é a permeabilidade magnética 
do vácuo. Então, um material com μr = 1.000 é capaz de aceitar em seu interior um número 
de linhas mil vezes maior que o vácuo. 
Para melhor visualizar esta propriedade, observe-se a figura 1.2, que mostra dois 
casos de distribuição de linhas de indução geradas pela corrente i que circula num 
enrolamento. Em (a) não existe núcleo (ou, como se costuma dizer, a bobina tem núcleo de 
ar ) e as linhas se espalham por todo o espaço em torno do enrolamento; já em (b), as linhas 
de indução se concentram no interior do núcleo em torno do qual é feito o enrolamento, 
graças à elevada permeabilidade relativa do material, resultando em um fluxo magnético 
mais intenso. As poucas linhas que "escapam" através do espaço em torno do núcleo 
constituem o chamado fluxo de dispersão. 
A classificação magnética dos materiais é feita de acordo com sua permeabilidade 
magnética (ver tabela 1.1): 
a) Materiais paramagnéticos são aqueles que cuja permeabilidade relativa é pouco 
maior que 1. Tais substâncias são levemente atraídas por campos magnéticos 
excepcionalmente fortes, porém esta atração é tão fraca que são consideradas não 
magnéticas. Nessa classe se encontra um grande número de substâncias, como o ar, o 
alumínio e a madeira. 
b) Materiais diamagnéticos, como o bismuto, o cobre e a água, possuem 
permeabilidade relativa um pouco menor que 1, sendo levemente repelidos por campos 
magnéticos muito fortes. Também aqui estas forças são muito fracas, sendo esses materiais 
considerados não-magnéticos. 
c) Materiais ferromagnéticos, ou simplesmente materiais magnéticos, possuem 
permeabilidade relativa muito maior que 1, sendo fortemente atraídos por campos 
magnéticos em geral. Nesta categoria se incluem substâncias como o ferro, o cobalto, o 
níquel e algumas ligas industriais. 
A tabela 1.1 mostra o valor da permeabilidade magnética relativa de alguns materiais. 
É importante observar que se tratam de valores médios de permeabilidade, já que, como se 
verá adiante, esta pode variar significativamente de acordo com a intensidade dos campos 
magnéticos a que são submetidos os materiais. 
 
 
 
 
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Tabela 1.1 – Permeabilidade e classificação magnética de alguns materiais. 
 
(1) Liga composta por ferro (17%), molibdênio (4%) e níquel (79%). 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL) 
 
 
 
1.3 TEORIA DE GAUSS-EWING 
Embora sejam usadas há muito tempo, as propriedades magnéticas dos materiais até 
hoje não são perfeitamente explicadas. Acredita-se que a "fonte" do magnetismo está no 
movimento orbital dos elétrons em torno dos núcleos, gerando campos magnéticos 
infinitesimais. 
A chamada Teoria de Gauss-Ewing postula que em grande parte dos materiais esses 
campos se cancelam mutuamente devido ao movimento desordenado dos elétrons; nos 
materiais ferromagnéticos, entretanto, certos grupos de átomos estão "pareados", de forma 
que seus campos se somam, formando o que se chama de domínios magnéticos, cada um 
dos quais pode ser representado por um dipolo magnético semelhante a um ímã. Porém, 
numa dada amostra de material ferromagnético, o alinhamento dos domínios é também 
desordenado, como se mostra na figura 1.3 (a), de formaque o material como um todo não 
apresenta qualquer característica magnética (uma exceção seria um mineral conhecido como 
magnetita, que naturalmente apresenta-se magnetizado; é, portanto, o único ímã natural que se 
conhece). 
No entanto, se um campo magnético externo de intensidade H for aplicado à amostra, 
os domínios tendem a se alinhar por ele, como se vê na figura 1.3 (b), reforçando assim as 
propriedades magnéticas do material. A amostra comporta-se como um ímã, cujos pólos são 
mostrados na figura; como se verá na Seção 1.4, esta "imantação" poderá ou não ser 
permanente, isto é, subsistir após a retirada do campo externo, dependendo do valor do 
mesmo. 
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(a) (b) 
Figura 1.3 - Domínios em uma amostra de material: (a) não-magnético ou não magnetizado; (b) magnetizado 
pela aplicação de um campo magnético externo H. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
Esta teoria explica satisfatoriamente algumas características dos materiais 
magnéticos: 
 imãs naturais já teriam os domínios naturalmente alinhados, de forma a 
produzir os efeitos magnéticos sem a necessidade de campo externo; 
 não se consegue isolar os pólos de um ímã: se um desses for partido ao meio 
obtém-se dois ímãs completos, cada um com um pólo N e outro S; 
 quando um ímã é submetido a choque mecânico ou aquecimento, pode perder 
sua imantação: é que a energia fornecida ao material nesses casos pode ser 
suficiente para desarranjar a orientação dos domínios; 
 para se magnetizar uma agulha deve-se "esfregá-la" com o pólo de um ímã 
passado sempre no mesmo sentido: o ímã produz o papel de campo externo 
necessário e a movimentação constante promove um alinhamento dos 
domínios sempre no mesmo sentido. 
Quando um material magnético é submetido a um campo externo �⃗⃗� , a indução 
magnética �⃗� é dada pela soma dos efeitos devidos ao campo externo e ao vetor chamado 
polarização magnética �⃗⃗� , isto é: 
�⃗� = 𝜇0(�⃗⃗� + �⃗⃗� ) 
equação que, em módulo, pode ser colocada sob a forma 
𝐵 = 𝜇0 (1 +
𝑀
𝐻
)𝑀 
 
O termo entre parênteses representa a permeabilidade magnética relativa do material, 
portanto 
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𝐵 = 𝜇0. 𝜇𝑟 . 𝐻 
portanto, de acordo com a equação 1.1 
𝐵 = 𝜇.𝐻 (1.2) 
 
1.4 CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO 
Medidas realizadas em laboratório mostram que a relação B x H dada pela equação 1.2 
é essencialmente não-linear: se for traçado um gráfico relacionando o campo externo H com 
a indução magnética B no material, obtém-se uma curva do tipo mostrado na figura 1.4, 
conhecida como curva de magnetização ou característica B x H do material. A Teoria de 
Gauss-Ewing também explica o comportamento dessas curvas: 
 
Figura 1.4 - Curva de magnetização típica de materiais magnéticos. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
 
 Na região I acontece um crescimento dos domínios favoravelmente alinhados com o 
campo externo. Nessa região as alterações são reversíveis: se o campo externo for 
retirado, os domínios voltarão a sua situação original, sem haver "fixação" das 
características magnéticas na amostra. 
 Se H for aumentado até a região II, o aumento dos domínios é acompanhado de uma 
tendência de alinhamento de outros domínios com o campo externo. A partir dessa 
região, os efeitos magnéticos tornam-se irreversíveis, de forma que o material fica 
magnetizado mesmo se o campo externo for anulado. 
 Na região III, a maioria dos domínios já está alinhada com o campo externo, de modo 
que é necessário um grande incremento de H para se conseguir um discreto aumento 
de B. 
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 Na região IV, todos os domínios da amostra estão alinhados com o campo externo; 
portanto um aumento de H não produz qualquer alteração de B. Diz-se que, nesta 
situação, o material atingiu a saturação magnética. 
Se for estabelecida uma pequena alteração ∆H no valor do campo magnético, haverá 
um correspondente incremento ∆B na indução magnética. A equação 1.2 permite concluir 
que 
𝜇 =
∆𝐵
∆𝐻
 
 
Se ∆𝐻 → 0 esta equação se transforma em uma derivada, que pode ser representada 
geometricamente pela tangente à curva B x H em cada ponto. Vê-se, então, que a 
permeabilidade magnética não pode ser considerada uma constante: no ponto a mostrado 
na Fig. 1.4 a permeabilidade é maior que no ponto b. A exceção é feita para o vácuo, onde a 
permeabilidade é considerada constante e igual a 4𝜋.10-7 Wb/A.m. Na figura 1.5 são 
mostradas as curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos usados em aplicações 
comerciais. 
 
Figura 1.5 - Curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos comerciais. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
* 1 Gauss (G) = 10-4 Tesla (T); 1 Tesla (T) = 104 Gauss(G) 
 
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1.5 HISTERESE 
Suponha-se que uma amostra de material magnético seja submetida a um campo 
magnético de intensidade H variável com o tempo (este é o caso típico de núcleos em torno 
dos quais são feitos enrolamentos excitados por CA). Se a amostra estiver inicialmente 
desmagnetizada e o campo for aumentando até o valor H1, a curva B x H segue a linha 0-a 
mostrada na figura 1.6. Caso o valor de H1 seja suficientemente elevado para atingir a região 
II da curva de magnetização, quando o campo externo decrescer a curva seguirá pela linha 
a-b, de modo que para H = 0 o valor de B será dado pela ordenada 0-b; este valor é chamado 
de magnetização residual, pois é a magnetização que "resta" no material após o campo 
externo ter-se reduzido a zero. 
 
Figura 1.6 - Formação do laço de Histerese. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
 
Para desmagnetizar a amostra será necessário inverter o sentido do campo e 
aumentar sua intensidade, valor conhecido como força coercitiva (este termo é derivado 
do verbo coagir, que significa obrigar, forçar. Se o campo continuar aumentando até o valor 
- H1 (isto é, no sentido contrário ao inicial), a curva B x H seguirá a linha c-d. No semiciclo 
seguinte o raciocínio é o mesmo, de forma que após completado um ciclo obtém-se uma 
curva semelhante à mostrada na figura 1.6, chamada curva de histerese. 
A forma do laço de histerese de um dado material depende do máximo valor do campo 
atingido no ciclo (H1). A curva obtida pela ligação dos vértices dos laços de histerese obtidos 
para diferentes valores de H1é chamada curva normal de magnetização. 
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Quando um material é submetido a um campo magnético externo alternado, seus 
domínios estarão em contínuo movimento, buscando alinhar-se com H. Isso causa um 
"atrito" entre os domínios, aquecendo o material e ocasionando as chamadas perdas por 
histerese. Demonstra-se que essas perdas são proporcionais à área encerrada na curva de 
histerese. 
Comprova-se experimentalmente que a potência dissipada por unidade de volume de 
material durante um ciclo de histerese é dada por 
𝑃ℎ = 𝑘ℎ . 𝑓. 𝐵𝑀
𝑛 (1.3) 
onde Kh e n são constantes que dependem do material e da própria densidade do campo 
magnético, enquanto f é a frequência do campo magnético (em Hz) e BM é o máximo valor 
de B alcançado durante o ciclo. 
 
1.6 CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
Nos dispositivos eletromecânicos e transformadores – e aí se incluem geradores, 
motores, contatores, relés, etc. – a utilização de enrolamentos e núcleos objetiva o 
estabelecimento de fluxos magnéticos como meio de acoplamento na transformaçãode 
energia elétrica. Nesses dispositivos, a função do núcleo é "canalizar" para os pontos 
desejados as linhas de indução do campo magnético geradas pelos enrolamentos. Fazendo 
uma analogia com os circuitos elétricos, os enrolamentos seriam como fontes, os fluxos 
magnéticos equivaleriam a correntes e os núcleos fariam o papel de condutores. 
Para tornar mais evidente esta analogia, tome-se um núcleo toroidal, como o da figura 
1.7 (a), com seção transversal circular de raio r, confeccionado com um material de elevada 
permeabilidade magnética 𝜇. Em torno do mesmo é feito um enrolamento de N espiras 
onde circula a corrente constante I, gerando um campo magnético. Como a permeabilidade 
do material magnético é muito maior que a do ar que o circunda, é válido pensar que as 
linhas de indução estarão confinadas ao núcleo. 
 
(a) (b) 
Figura 1.7 - Bobina toroidal: (a) aspecto físico; (b) circuito elétrico análogo. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
Pode-se deduzir que o campo magnético no interior desse núcleo não é uniforme, já 
que as espiras estão mais próximas entre si na parte interna do que na externa, o que 
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significa que o campo vai enfraquecendo em direção à parte exterior do núcleo. Para 
contornar esse problema, que dificulta o processo de cálculos, toma-se a linha de indução 
correspondente a um raio médio R, representada por uma linha tracejada na figura 1.7(a) e 
aplica-se a Lei de Ampère. Como cada uma das espiras transporta a corrente I e contribui 
para a formação do campo no interior do núcleo, a corrente total é NI, então 
∮ �⃗⃗� 𝑑𝑙 = 𝐻𝑙 = 𝑁𝐼 
 
onde l = 2𝜋R corresponde ao comprimento médio do núcleo. 
Uma vez que a corrente no enrolamento é a "fonte" geradora do magnetismo, o termo 
NI é chamado de força magnetomotriz (abreviadamente f.m.m.), simbolizada por F. Então 
ℱ𝑚𝑚 = 𝑁𝐼 = 𝐻𝑙 (1.4) 
As principais unidades de f.m.m. são: 
 Ampère-espira (A-e) – usada no Sistema Internacional 
e 
 Gilbert = 0,7958 A-e. 
O fluxo magnético 𝛷 no interior do núcleo será: 
𝜙 = 𝐵𝑆 = 𝜇𝐻𝑆 = 𝜇
𝑆
𝑙
ℱ𝑚𝑚 
 
ou, ainda 
ℱ𝑚𝑚 = (
1
𝜇
.
𝑙
𝑆
)𝜙 (1.5) 
O termo entre parênteses nessa equação lembra a expressão para o cálculo da resistência 
elétrica R de um corpo, dada por 
𝑅 =
1
𝜎
.
𝑙
𝑆
 
 
onde 𝜎 é a condutividade elétrica do material, l é o comprimento do condutor e S é a área de 
sua seção transversal. Por esta razão, denomina-se relutância (ℛ) à relação 
ℛ =
1
𝜇
.
𝑙
𝑆
 (1.6) 
cuja unidade no Sistema Internacional é o Ampère-espira/Webber (A-e/Wb). Assim, a 
equação 1.5 pode ser reescrita como 
ℱ𝑚𝑚 = ℛ. 𝜙 (1.7) 
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que é a chamada Lei de Ohm para circuitos magnéticos, dada sua semelhança com a lei 
homônima para circuitos elétricos. 
A semelhança entre os circuitos magnéticos e elétricos é evidente. Na tabela 1.2 
mostra-se a analogia entre as grandezas mais comumente encontradas em um e outro tipo 
de circuito. O circuito elétrico análogo ao da figura 1.7(a) é mostrado na figura 1.7(b). 
Tabela 1.2 - Analogia entre grandezas dos circuitos elétricos e magnéticos. 
 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL) 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 1. Uma bobina é confeccionada com 500 espiras enroladas em torno de um núcleo 
toroidal semelhante ao da figura 1.7(a), sendo a = 11 cm e b = 9 cm. Desejando-se estabelecer 
no interior desse núcleo um fluxo magnético médio igual a 0,2 mWb, determinar a corrente I 
necessária, supondo-se que o material é: 
(a) plástico; 
(b) ferro fundido; 
(c) aço fundido. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Em circuitos magnéticos práticos, tais como em máquinas elétricas e transformadores, 
normalmente existem peças móveis, de modo que os núcleos possuem espaços livres 
chamados entreferros. Ao cruzarem o entreferro, as linhas de indução se deformam - 
criando o chamado efeito de espalhamento – devido ao aumento da relutância neste trecho, 
como se vê na figura 1.8(a). Na maioria das situações esse efeito pode ser desconsiderado; 
porém, se forem necessários cálculos mais precisos pode-se corrigir a influência dessa 
deformação somando-se à cada uma das dimensões relativas à seção do entreferro o 
comprimento do mesmo. Assim, se a e b forem respectivamente a largura e a profundidade 
do núcleo e g for o comprimento do entreferro, como se mostra na figura 1.8(b), a seção 
reta do entreferro será dada por 
𝑆 = (𝑎 + 𝑔). (𝑏 + 𝑔) (1.8) 
 
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(a) (b) 
Figura 1.8 - Efeito de espalhamento: (a) deformação das linhas de indução no entreferro; (b) dimensões 
usadas para a correção. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
Outro fator que deve ser considerado em cálculos mais precisos é o fluxo de dispersão, 
já mencionado na Seção 1.2. Porém, desde que o material tenha permeabilidade magnética 
relativa muito alta, este fluxo tem valor muito baixo e sua influência nos resultados é 
desprezível. 
Um último aspecto a ser considerado nos cálculos em circuitos magnéticos é que 
normalmente os núcleos são laminados, como forma de redução das correntes parasitas. 
Então, a espessura do isolamento que separa cada par de lâminas deve ser descontada no 
cálculo da área; em outras palavras, a área efetivamente disponível para o fluxo (Sf) é 
menor que a área total do núcleo (S). 
 
Figura 1.9 – Laminação do núcleo. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
 
A relação entre essas duas áreas é chamada de fator de empilhamento (fep) (esta 
relação também é conhecida como fator de ferro ou fator de laminação), isto é 
𝑓𝑒𝑝 =
𝑆𝑓
𝑆
 (1.9) 
valor que também pode ser expresso em termos percentuais. 
A analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos pode ser estendida. A relutância 
ao longo de um dispositivo eletromagnético pode variar, devido à mudança de dimensões, 
de permeabilidade (quando se usam materiais diferentes, por exemplo) ou à existência de 
entreferros. Então, a relutância de cada um desses trechos pode ser considerada um 
"elemento", de sorte que haverá circuitos série ou paralelo. 
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a) Circuito magnético série: quando todos os elementos são "atravessados" pelo 
mesmo fluxo magnético 𝜙. Se n for o número de elementos associados em série, a 
f.m.m. total será dada pela soma das f.m.m. parciais, isto é 
ℱ𝑚𝑚ℱ = ℱ𝑚𝑚1 + ℱ𝑚𝑚2 + ⋯+ ℱ𝑚𝑚𝑛 (1.10) 
que equivale à Lei das Tensões de Kirchoff dos circuitos elétricos. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2. O circuito magnético da figura 1.10(a) tem enrolamento de 1.500 espiras. 
Determinar a corrente I necessária para estabelecer um fluxo de 10 mWb nos entreferros, 
sabendo que o fator de empilhamento do elemento de aço-silício é igual a 90%, enquanto que 
o elemento de aço fundido é maciço. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de 
dispersão. 
 
 
(a) (b) 
Figura 1.10 - (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Circuito magnético paralelo: a f.m.m. em cada um dos elementos é aproximadamente 
a mesma; o fluxo magnético total é dado pela somaalgébrica dos fluxos magnéticos 
individuais, isto é 
𝜙ℱ𝑚𝑚 = 𝜙1 + 𝜙2 + ⋯+ 𝜙𝑛 (1.11) 
onde n é o número de elementos (percursos) do núcleo. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3. O núcleo da figura 1.11(a) é de aço fundido maciço, sendo o enrolamento dividido 
em duas partes, cada qual com número N de espiras. Sabendo que uma corrente de 0,8 A 
produz no entreferro um fluxo magnético igual a 5 mWb, determinar o valor de N. Desprezar o 
efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão. 
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(a) (b) 
Figura 1.11 - (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Nos exercícios anteriores observa-se que, apesar de seu pequeno comprimento, o 
entreferro "concentra" uma f.m.m. bastante elevada; isto se deve à sua elevada relutância a 
qual, por sua vez, resulta da baixa permeabilidade magnética do ar. Esta constatação é útil 
na solução de outro tipo de problema: a determinação do fluxo magnético uma vez 
conhecida a f.m.m. Nesse caso, como não se conhece o valor de B no núcleo, não é possível o 
cálculo de H – e consequentemente ℱ𝑚𝑚 de – no elemento. 
Um método simplificado para a solução nesses casos é o das aproximações sucessivas: 
Supõe-se, inicialmente, que toda a relutância do circuito está contida no entreferro e 
calcula-se a ℱ𝑚𝑚 requerida, comparando-a à ℱ𝑚𝑚 real. Ajusta-se, então, o valor de B para 
mais ou para menos e repete-se os cálculos. Prossegue-se assim até que a f.m.m. dada e a 
calculada atinjam uma diferença pré-fixada (por exemplo, 5%) e, por fim, calcula-se o fluxo. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 4. Dado o núcleo maciço de aço fundido da figura 1.12(a), determinar o fluxo 
magnético em seu entreferro, sabendo-se que I = 0,5 A e N = 1.000 espiras. Desconsiderar os 
efeitos do espelhamento e do fluxo de dispersão. 
 
(a) (b) 
Figura 1.12 - (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo. 
Fonte: (NEVES e MÜNCHOW, UFPEL).
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MÓDULO II 
Transformadores 
Este módulo é um compilamento acerca do conteúdo abordado. Trechos de textos, tabelas e figuras 
foram extraídos das referências abaixo e de algumas páginas da web. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
FITZGERALD, A. Máquinas Elétricas. São Paulo: Mc-Graw-Hill do Brasil. 
KOSOW, I. W. Máquinas elétricas e transformadores. São Paulo: Globo, 5ª edição, 1998. 
OLIVEIRA, J. C. Transformadores, teoria e ensaios. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 1984. 
http://www.escoladoeletrotecnico.com.br – Curso preparatório para concursos. Aula 2, 2009. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.1 DEFINIÇÕES FUNDAMENTAIS 
O transformador opera segundo o princípio da indução mútua entre duas (ou mais) 
bobinas ou circuito indutivamente acoplados. Um transformador teórico de núcleo a ar, no 
qual dois circuitos são acoplados por indução magnética, é visto na figura 2.1. Observe que 
os circuitos não são ligados fisicamente (não há conexão condutiva entre eles). 
O circuito ligado à fonte de tensão alternada, V1, é chamado primário (circuito 1). O 
primário recebe sua energia de uma fonte alternada. Dependendo do grau de acoplamento 
magnético entre dois circuitos, Eq. 2.1, esta energia é transferida do circuito 1 ao circuito 2. 
Se os dois circuitos são frouxamente acoplados, como no caso do transformador a núcleo de 
ar, mostrado na figura 2.1, somente uma pequena quantidade de energia é transferida do 
primário (circuito 1) para o secundário (circuito 2). Se as duas bobinas ou circuitos estão 
enrolados sobre um núcleo comum de ferro, eles estão fortemente acoplados. Neste caso, 
quase toda a energia recebida da fonte, pelo primário, é transferida por ação 
transformadora ao secundário. 
 
Figura 2.1 – transformador de núcleo de ar, indutivamente acoplado, com os símbolos definidos. 
Fonte: KOSOW (1982). 
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17 
 
As seguintes definições aplicam-se ao transformador da figura 2.1. 
 V1 – é a tensão de suprimento aplicada ao primário, circuito 1, em volts. 
 r1 é a resistência do circuito primário, em ohms. 
 L1 é a indutância do circuito primário, em henries. 
 XL1 é a reatância indutiva do circuito primário, em ohms. 
 Z1 é a impedância do circuito primário, em ohms. 
 I1 é o valor médio quadrático da corrente drenada da fonte pelo primário, em 
ampères. 
 E1 é a tensão induzida no enrolamento primário (ou circuito). 
 E2 tensão induzida no enrolamento secundário (ou circuito). 
 I2 é o valor médio quadrático da corrente entregue pelo circuito secundário à carga 
ligada a seus terminais 
 r2 resistência do circuito secundário (excluída a carga), em ohms. 
 V2 é a tensão que aparece nos terminais do enrolamento secundário, em volts. 
 L2 é a indutância do circuito secundário, em henries. 
 XL2 é a reatância indutiva do circuito secundário, em ohms. 
 Z2 é a impedância do circuito secundário (excluída a carga), em ohms. 
 𝜙1 é a componente de dispersão do fluxo que concatena apenas com a bobina 1. 
 𝜙2 é a componente de dispersão do fluxo que concatena apenas com a bobina 2. 
 𝜙𝑚 é o fluxo mútuo, compartilhado por ambos os circuitos, concatenando as bobinas 
1 e 2. 
 M indutância mútua entre as duas bobinas (ou circuitos) produzidas pelo fluxo 
mútuo (𝜙𝑚), em henries. 
Note-se o significado da convenção dos pontos, usada na figura 2.1 para mostrar a 
polaridade instantânea positiva da tensão alternada induzida em ambos os enrolamentos, 
primário e secundário, como resultado da tensão de transformação. Assim, quando V1 é 
instantaneamente positivo, uma tensão E1 é induzida no enrolamento primário, de uma 
polaridade tal eu se opõe a V1, de acordo com a lei de Lenz, como mostra a figura 2.1. 
Também deve-se notar na figura 2.1 que a corrente I2 está em oposição em relação a 
corrente I1. Isto também está de acordo com a Lei de Lenz, uma vez que I1 produz 𝝓𝒎 , I2 
deve circular numa direção tal que se oponha a I1, e (ao mesmo tempo) que esteja conforme 
a polaridade instantânea E2, como se vê na figura 2.1. A polaridade instantânea de E2 e I2 
estabelece a polaridade instantânea de V2 (terminal positivo) e a direção da corrente na 
carga. 
O coeficiente de acoplamento, k, entre duas bobinas, é a relação do fluxo mútuo para o 
fluxo total, definido como: 
𝑘 =
𝜙𝑚
𝜙𝑚 + 𝜙1
=
𝑀
√𝐿1. 𝐿2
 (2.1) 
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18 
 
Onde todos os termos foram definidos. 
Se as duas bobinas estão frouxamente acopladas, como no transformador de núcleo de 
ar, da figura 2.1, termos 𝜙𝑚 e 𝜙2 são pequenos em comparação a 𝜙1. Como consequência, 
os termos 𝐿2 e M são pequenos em comparação 𝐿1. A substituição na eq. 2.1 leva um valor 
pequeno do coeficiente de acoplamento k. Isto por sua vez, leva a um valor pequeno de E2 e 
V2 (em comparação a E1 e V1). Para qualquer carga dada, assim, um pequeno valor de V1 
leva um pequeno valor da corrente de carga I2. Estabelece-se simplesmente, então, que para 
o acoplamento frouxo, a potência transferida ao circuito secundário, E2.I2, é relativamente 
pequena. 
Transformadoresque têm acoplamento frouxo são usados principalmente em 
comunicação em alta frequência e em circuitos eletrônicos. Praticamente, todos os 
transformadores usados em aplicações relativas a máquinas e potência, entretanto, são 
transformadores de núcleo de ferro, fortemente acoplados. 
Se as bobinas ou circuitos são estreitamente acoplados, e os fluxos dispersos 𝜙1 𝑒 𝜙2 
são relativamente pequenos em comparação a 𝜙𝑚 , a indutância mútua M entre as duas 
bobinas é grande como o são os termos E2, I2 e V2. Neste caso, a energia transformadora 
E2.I2.t . Tanto quando possível, o projeto dos transformadores de potência, de núcleo de 
ferro, tenta fazê-los atingir um coeficiente de acoplamento unitário ( k = 1 ) tal que na eq. 
2.1 𝑀 = √𝐿1. 𝐿2, como no caso de um transformador ideal. 
O acoplamento entre os dois circuitos é aumentado se porções de ambas as bobinas 
são enroladas no mesmo formato e se são colocadas sobre um núcleo magnético de baixa 
relutância. Tais considerações tendem a reduzir 𝜙1 𝑒 𝜙2. Mas, mesmo com ótimos projetos, 
é impossível atingir condições de transformador ideal – um que não tenha fluxos dispersos 
no primário ou no secundário, e tenha acoplamento unitário. Apesar disto, a discussão 
subsequente começa com um transformador ideal, com a finalidade de simplificar a 
compreensão das relações do transformador que se seguem. Após, será abordado o 
transformador prático de potência. 
 
2.2 RELAÇÕES NO TRANSFORMADOR IDEAL 
Considere um transformador ideal, de núcleo de ferro, conforme mostra a figura 2.2, 
onde os fluxos dispersos 𝜙1 e 𝜙2 = 0 e k = 1. Tal transformador possui apenas fluxo 
mútuo 𝜙𝑚, comum a ambas as bobinas, primária e secundária. Quando V1 é 
instantaneamente positivo, como se vê na figura 2.2, a direção da corrente primária I1 
produz a direção do fluxo mútuo 𝜙𝑚, como se vê. 
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19 
 
 
Figura 2.2 – Transformador de núcleo de ferro, caso ideal. 
Fonte: KOSOW (1982). 
A força eletromotriz induzida primária, E1, de acordo com a convenção dos pontos e 
com a lei de Lenz, produz uma polaridade positiva na parte superior da bobina primária, 
que se opõe instantaneamente à tensão aplicada V1. Semelhantemente, no secundário, para 
a direção de 𝜙𝑚 mostrada, a polaridade positiva de E2 deve ser tal que crie um fluxo 
desmagnetizante oposto 𝜙𝑚 (Lei de Lenz). Uma carga ligada aos terminais do secundário 
produz uma corrente secundária I2, que circula em resposta à polaridade de E2 e produz um 
fluxo desmagnetizante. 
Estamos agora em condições de compreender qualitativamente como um 
transformador desenvolve potência secundária e transfere potência do primário para o 
secundário, na forma seguinte: 
1. Imagine um circuito aberto, impedância infinita ou carga zero no secundário, e I2 = 
0. 
2. Como resultado do fluxo alternativo mútuo 𝜙𝑚 (criado pela tensão aplicada) são 
produzidas forças eletromotrizes E1 e E2 tendo a polaridade instantânea mostrada 
como respeito a 𝜙𝑚 (figura 2.2). 
3. Uma pequena corrente primária, Im, conhecida como corrente de magnetização, deve 
circular mesmo quando o transformador está descarregado. A corrente é pequena, 
porque a fem induzida primária, E1, se opõe à tensão aplicada, V1, a cada instante. O 
valor de Im é uma função primariamente da relutância do circuito magnético, Rm, e 
do valor de pico do fluxo magnetizante, 𝜙𝑝𝑚, para um dado número de espiras 
primárias. 
4. Como mostra a figura 2.3(a), o valor pequeno de Im se atrasa, em relação à tensão 
primária, de 90° produzindo 𝜙𝑚. 
 
 
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(a) 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
Figura 2.3 – Relações fasoriais no transformador ideal: (a) relações primárias a vazio; (b) relações 
secundárias, transformador carregado; (c) relações primárias, transformador carregado. 
Fonte: KOSOW (1982). 
5. 𝜙𝑚, por sua vez, requer 90° para produzir as tensões induzidas primária e 
secundária, E1 e E2. Estas tensões induzidas estão em fase uma com a outra, por 
serem ambas produzidas por 𝜙𝑚. Note que E1, na figura 2.3 (a) opõe-se a V1 (lei de 
Lenz). Sem carga, a figura 2.3 (a) representa todas as relações de corrente e tensão 
num transformador ideal. 
6. Imagine uma carga em atraso (indutiva) ligada aos terminais do secundário do 
transformado ideal da figura 2.2. Tal carga produz uma corrente I2 atrasada em 
relação a E2 de um ângulo 𝜃2, como se vê na figura 2.3 (b). 
7. Os ampère-espiras secundários, N2I2, como mostra a figura 2.2, tendem a produzir 
um fluxo desmagnetizante que reduz o fluxo mútuo 𝜙𝑚, e as tensões indizidas E2 e 
E1, instantaneamente. 
8. A redução de E1 produz uma componente primária da corrente de carga, I1’ que 
circula no primário, tal que I1’N1 = I2N2, restabelecendo 𝜙𝑚 em seu valor original. 
Note-se que, na figura 2.3(b), I1’ se atrasa em relação a V1 de 𝜃1
′ , enquanto I2 se 
atrasa em relação a E2 de 𝜃2, tais que 𝜃1
′ = 𝜃2. Esta última igualdade é necessária a 
fim de que os ampère-espiras primários restaurados N1I1’ sejam iguais e opostos aos 
ampère-espiras secundários desmagnetizantes N2I2. 
9. O efeito da componente primária da corrente de carga I1’ é visto na figura 2.3 (c), 
onde a corrente primária I1 é a soma fasorial de Im e I1’. Dois pontos devem ser 
notados no que diz respeito às relações do fator de potência no circuito primário da 
figura: 
a) O ângulo de fase do primário diminui de seu valor original sem carga de 90° a seu 
valor 𝜃1 com carga, e 
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b) O ângulo de fase do circuito primário não é exatamente o mesmo do circuito 
secundário. (para uma carga em atraso 𝜃1 > 𝜃2). 
Os passos citados revelam a maneira pela qual o circuito primário responde à carga no 
circuito secundário. 
A igualdade entre a fmm desmagnetizante do secundário N2I2 e a componente 
primária da fmm N1 I1’, que circula devido à carga para equilibrar sua ação 
desmagnetizante, como se descreveu no item 8, pode ser sumarizada e rearranjada como: 
𝐼1
′𝑁1 = 𝐼2𝑁2 (2.2a) 
ou 
𝐼2
𝐼1
′ =
𝑁1
𝑁2
= 𝛼 (2.2b) 
Sendo: 
𝛼 é a relação das espiras primárias para as secundárias ou a relação de transformação; 
𝐼1
′ é a componente de carga da corrente primária; 
𝐼2 é a corrente secundária ou de carga; 
𝑁1 e 𝑁2 são os números de espiras do primário e secundário, respectivamente. 
O significado da relação de transformação, 𝛼, na eq. 2.2b, é que ela é fixa (não 
constante) para qualquer transformador dado (já construído) dependendo de sua 
aplicação. Consequentemente, a componente de carga da corrente primária pode ser 
calculada para qualquer valor da corrente secundária de carga. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 1. O lado de alta tensão de um transformador tem 500 espiras, enquanto o de 
baixa tensão tem 100 espiras. Quando ligado como abaixador, a corrente de carga é de 12 A. 
Calcule: 
a) A relação de transformação 𝛼. 
b) A componente de carga da corrente primária. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 2. Calcule a relação de transformação do transformador do exercício 1, quando 
usado como transformador elevador. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Os exercícios 1 e 2 mostram que a relação de transformação, 𝛼, é fixa parauma dada 
aplicação, mas não constante. Quando usado como transformador abaixador, 𝛼 = 5, mas, 
quando usado como transformador elevador, 𝛼 = 0,2. Desde que os termos elevador e 
abaixador referem-se às tensões, bem como aos lados de alta tensão e baixa tensão, a 
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22 
 
relação de transformação pode ser estabelecida em função das tensões, usando a 
quantificação de Neumann da Lei de Faraday. 
𝐸1 = 𝑁1
𝑑𝜙𝑚
𝑑𝑡
 (2.3) 
e 
𝐸2 = 𝑁2
𝑑𝜙𝑚
𝑑𝑡
 (2.4) 
Uma vez que a relação de variação do fluxo mútuo que concatena primário e 
secundário é a mesma, 
𝑑𝜙𝑚
𝑑𝑡
, dividindo a eq. 2.3 pela eq. 2.4 teremos 𝛼 em função das tensões 
ou 
𝛼 =
𝑁1
𝑁2
=
𝐸1
𝐸2
=
𝑉1
𝑉2
 (2.5) 
A equação 2.5 estabelece que as relações das tensões primárias para as secundárias são 
proporcionais às relações dos números de espiras primárias para secundárias. Também se 
verifica que a relação de transformação, 𝛼, é a maior que a unidade para um transformador 
abaixador, mas é menor que a unidade para um transformador elevador. 
Considerando as equações 2.2b e 2.5, tem-se: 
𝛼 =
𝑁1
𝑁2
=
𝐼2
𝐼1
′ =
𝐸1
𝐸2
=
𝑉1
𝑉2
 (2.6) 
Que pode ser transposta para conduzir à relação fundamental de potência entre o primário 
e o secundário. 
𝐸1𝐼1
′ = 𝐸2𝐼2 (2.7) 
E, se a componente de carga da corrente primária, 𝐼1
′ , é muito maior que a corrente de 
magnetização, Im, pode-se escrever: 
𝐸1𝐼1 = 𝐸2𝐼2 (𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼𝑚 é 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧í𝑣𝑒𝑙) (2.8) 
Para um transformador ideal, sem perdas, não tendo fluxos dispersos primários nem 
secundários (reatâncias de dispersão nulas), podemos dizer que: 
𝑉1𝐼1 = 𝑉2𝐼2 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙) (2.9) 
A eq. 2.9 verifica a definição fundamental de um transformador como dispositivo que 
transfere energia de um circuito para outro. Para um transformador ideal, os volt-ampères 
drenados da fonte alternativa, V1I1 são iguais aos volt-ampères transferidos ao secundário e 
entregues à carga V2I2, onde todos os termos foram definidos na seção 2.1. A eq. 2.9 também 
estabelece um meio de especificar um transformador volt-ampères (VA) ou quilovolt-
ampères (kVA), onde V1 e I1 são os valores nominais da tensão e da corrente primária, 
respectivamente, e V2 e I2 os valores nominais secundários da tensão e da corrente, 
respectivamente. 
 
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Exercício 3. Um transformador de 4,6 kVA, 2300/115 V, 60 Hz foi projetado para ter uma 
fem induzida de 2,5 volts/espira. Imaginando-o um transformador ideal, calcule: 
a) O número de espiras do enrolamento de alta. 
b) O número de espiras do enrolamento de baixa. 
c) A corrente nominal para o enrolamento de alta. 
d) A corrente nominal para o enrolamento de baixa. 
e) A relação de transformação funcionando como elevador. 
f) A relação de transformador funcionando como abaixador. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Como visto no exercício 3, a relação volts/espiras é a mesma para ambos os 
enrolamentos, de alta e baixa tensões. 
Pode-se mostrar que este valor é diretamente proporcional ao valor de pico do fluxo 
mútuo, 𝜙𝑝𝑚, e à frequência, conforme expressa a relação volts/ espira. 
𝐸2
𝑁2
=
𝐸1
𝑁1
= 4,44. 𝑓. 𝜙𝑝𝑚. 10
−8𝑣𝑜𝑙𝑡/𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 = 𝑘𝑓(𝐵𝑚𝐴) (2.10) 
Sendo que: 
Bm é a máxima densidade de fluxo permissível 
A é a área do núcleo do transformador 𝜙𝑝𝑚 = 𝐵𝑚𝐴 
O significado da eq. 2.10 não pode ser desconsiderado, por que estabelece o máximo 
fluxo permissível ou a máxima densidade de fluxo permissível a uma dada frequência e a 
uma dada tensão. Assim, os transformadores projetados para operação a uma dada 
frequência não podem ser operados em outras frequências sem as correspondentes 
alterações na tensão aplicada. 
Nestas condições, para o caso de um transformador com dois enrolamentos, 
considerando um mesmo k e mesmo 𝜙𝑝𝑚, a alteração na tensão aplicada no transformador 
por conta da modificação da frequência de operação pode ser calculada com a seguinte 
relação: de ser feita do modo seguinte: 
𝑉𝑓𝑝
𝑉𝑓0
=
𝑘. 𝑓𝑝 . 𝜙𝑝𝑚
𝑘. 𝑓𝑜 . 𝜙𝑝𝑚
 
Sendo: 
𝑉𝑓𝑝 a tensão de projeto; 
𝑉𝑓0 a tensão de operação; 
𝑓𝑝 a frequência de projeto; 
𝑓𝑜 a frequência de operação. 
 
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Nota: Dedução da equação 2.10 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 4. Um transformador de 1kVA, 600/20 V, 400 Hz, 3000/100 espiras deve ser 
utilizado a partir de uma rede de 60 Hz. Mantendo a mesma densidade de fluxo permissível, 
calcule: 
a) A máxima tensão que se pode aplicar nos enrolamentos de alta e baixa tensão. 
b) A relação Volt/espira a 400 Hz e a 60 Hz na AT. 
c) A capacidade em kVA no transformador a 60 Hz. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 5. Um transformador de 1 kVA, 220/110 V, 400 Hz deve ser usado em 60 Hz. 
Calcule: 
a) A tensão que pode ser aplicada no lado de alta tensão e a máxima saída do lado de 
baixa tensão. 
b) Os kVA nominais do transformador sob as condições de frequência reduzida. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.3 IMPEDÂNCIA REFLETIDA, TRANSFORMAÇÃO DE IMPEDÂNCIA E TRANSFORMADORES 
REAIS 
O transformador a núcleo de ferro da figura 2.2, é mostrado novamente na figura 
2.4(a), com uma carga ZL ligada aos terminais do secundário. Note-se que, se a carga for 
removida, o transformador fica a vazio, I2 = 0; e a impedância, ZL, é infinita (desde que ZL = 
V2/ I2). Para qualquer valor da impedância de carga, ZL, a impedância secundária, vista 
olhando-se os terminar secundário a partir da carga, como mostra a figura 2.4(b), é 
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𝑍2 =
𝑉2
𝐼2
 (2.11) 
Similarmente, a impedância equivalente de entrada, olhando-se os terminais 
primários a partir da fonte, como mostra a figura 2.4(b), é 
𝑍1 =
𝑉1
𝐼1
′ (2.12) 
Desde que qualquer alteração na impedância de carga e na corrente do secundário 
reflete-se como uma alteração na corrente primária, é, algumas vezes, conveniente 
simplificar o transformador representando-o por um único circuito equivalente. Isto 
implica refletir a impedância secundária ao primário, como 
𝑍1 =
𝑉1
𝐼1
′ 
Mas 𝑉1 = 𝛼𝑉2, como se viu na eq. 2.5, e 𝐼1
′ = 𝐼2/𝛼, como mostra a eq. (2.6); então 
𝑍1 =
𝛼𝑉2
𝐼2/𝛼
= 𝛼2
𝑉2
𝐼2
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Figura 2.4 – Impedância refletida ao secundário e ao primário: (a) Transformador real com carga; (b) 
Impedância equivalente de saída e de entrada; (c) Impedância equivalente refletida. 
Fonte: KOSOW (1982). 
Mas V2/ I2, é a impedância secundária Z2, como mostra a eq. 2.11. Então, 
𝑍1 = 𝛼
2𝑍2 𝑜𝑢 
𝑍1
𝑍2
= 𝛼2 = (
𝑁1
𝑁2
)
2
 (2.13) 
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A figura 2.4(c) mostra a impedância olhando-se para dentro dos terminais a partir da 
fonte quando a impedância secundária foi refletida de volta ao primário. Admita-se agora 
que o secundário está a circuito aberto, com forme a figura 2.4(c),e que a impedância do 
enrolamento secundário é desprezível comparada à impedância da carga ZL, que é igual a 
Z2. A eq. 2.13 estabelece que a relação da impedância de entrada para a de saída é (igual a) 
o quadrado da relação de transformação. Desde que 𝑍1 = 𝛼
2𝑍2, esta relação implica em que 
os transformadores podem servir como dispositivos para o acoplamento de impedâncias, 
de modo a prover a máxima transferência de potência de um circuito a outro. Um exemplo 
comum é o caso de um transformador de saída, usado para acoplar a impedância da carga 
do alto falante à impedância de saída de um amplificador de áudio. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 6. O lado de alta tensão de um transformador abaixador tem 800 espiras e o lado 
de baixa tensão tem 100 espiras. Uma tensão de 240 V é aplicada do lado de alta e uma 
impedância de carga de 3 Ω é ligada do lado de baixa tensão. Calcule: 
a) A corrente e a tensão secundárias. 
b) A corrente primária. 
c) A impedância de entrada do primário a partir da relação entre a tensão e a corrente 
primárias. 
d) A impedância de entrada do primário por meio da eq. (2.13). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 7. Um servo- amplificador CA tem uma impedância de saída de 250 Ω e o servo- 
motor CA, que ele deve acionar, tem uma impedância de 2,5 Ω. Calcule: 
a) A relação de transformação do transformador que faça o acoplamento da 
impedância do servo- amplificador à do servo-motor. 
b) O número de espiras do primário se o secundário tem 10 espiras. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.4 O TRANSFORMADOR REAL 
Um transformador real, de núcleo de ferro, carregado é representado na figura 2.5(a). 
Embora “hermeticamente” acoplado pelo núcleo de ferro, uma pequena porção do fluxo 
disperso é produzida nos enrolamentos primário e secundário, 𝜙1 e 𝜙2, respectivamente, 
além do fluxo mútuo, 𝜙𝑚, como mostra a figura 2.5(a). 
O fluxo disperso primário𝜙1 produz uma reatância indutiva primária XL1. O fluxo 
disperso secundário 𝜙2 produz uma reatância indutiva secundária, XL2. Além disto, os 
enrolamentos primário e secundário são constituídos de condutores de cobre, que têm 
certa resistência. A resistência interna do enrolamento primário é r1 e a do secundário é r2. 
As resistências e reatâncias dos enrolamentos do primário e secundário, 
respectivamente, produzem quedas de tensão no interior do transformador, como 
resultado das correntes primária e secundária. Embora estas quedas de tensão sejam 
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internas, é conveniente representá-las externamente como parâmetros puros em série com 
um transformador ideal, como mostra a figura 2.5(b). 
 
(a) Fluxos dispersos em um transformador real carregado. 
 
 
(b)Resistências e reatâncias primárias e secundárias, ocasionando quedas de tensão. 
Figura 2.5 – Transformador real. 
 
O transformador ideal, mostrado na figura 2.5(b), é imaginado sem quedas internas 
nas resistências e reatâncias de seus enrolamentos. A dispersão foi incluída na queda de 
tensão primária I1Z1, e na queda de tensão secundária I2Z2. Uma vez que estas são quedas de 
tensão indutivas, pela teoria da corrente alternada podemos dizer que a impedância interna 
primária do transformador é 
𝑍1 = 𝑟1 + 𝑗𝑋𝐿1 , sendo que todos os termos foram definidos na seção 2.1 (2.14) 
E a impedância secundária interna do transformador é 
𝑍2 = 𝑟2 + 𝑗𝑋𝐿2 ,sendo que todos os termos foram definidos na seção 2.1 (2.15) 
É possível agora ver a relação entre as tensões terminais e induzidas do primário e 
secundário, respectivamente. De acordo com a equação 2.10, as fem induzidas primária e 
secundária podem ser avaliadas a partir da relação fundamental: 
𝐸1 = 4.44𝑓𝑁1𝐵𝑚𝐴. 10
−8𝑉 (2.16) 
𝐸2 = 4.44𝑓𝑁2𝐵𝑚𝐴. 10
−8𝑉 (2.17) 
Onde todos os termos foram definidos anteriormente. 
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28 
 
Mas, desde que é relativamente difícil avaliar 𝐵𝑚, a máxima densidade de fluxo 
permissível no transformador a partir de medições de tensão e corrente, as relações que 
seguem, e que também provem da figura 2.5(b), permitem que sejam computadas as fem 
induzidas primária e secundária: 
𝐸1̇ = 𝑉1̇ − (𝐼1𝑍1̇) = 𝑉1̇ − 𝐼1(𝑟1 + 𝑗𝑋𝐿1) (2.18) 
𝐸2̇ = 𝑉2̇ + (𝐼2𝑍2̇) = 𝑉2̇ + 𝐼2(𝑟2 + 𝑗𝑋𝐿2) (2.19) 
Note-se, pela figura 2.5(b) e eq. 2.18, que a tensão aplicada ao primário, V1, é maior 
que a fem induzida no enrolamento primário, E1. E também pela figura 2.5(b) e eq. 2.19, que 
as fem induzida no enrolamento secundário, E2, é maior que a tensão nos terminais 
secundário, V2. Assim, pode-se escrever: 
𝑉1 > 𝐸1 e 𝐸2 > 𝑉2 (2.20) 
Para um transformador real, carregado. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 8. Um transformador abaixador de 500 kVA, 60 Hz, 2300/230 V, tem os seguintes 
parâmetros: r1 = 0,1 Ω, XL1 = 0,3 Ω, r2 = 0,001 Ω, XL2 = 0,003 Ω. Quando o transformador é 
usado como abaixador e está com carga nominal, calcule: 
a) As correntes primária e secundária. 
b) As impedâncias internas primária e secundárias. 
c) As quedas internas de tensão primária e secundária. 
d) As fem induzidas primária e secundária, imaginando-se que as tensões nos terminais 
e induzidas estão em fase. 
e) A relação entre as fem induzidas primária e secundária, e entre as respectivas 
tensões terminais. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 9. A partir das tensões terminais e correntes primárias e secundárias do exercício 
8, calcule: 
a) A impedância de carga ZL. 
b) A impedância primária de entrada, Zp. 
c) Compare ZL com Z2 e Zp com Z1. 
d) Estabeleça as diferenças entre as impedâncias do item c. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2.5 CIRCUITOS EQUIVALENTES PARA UM TRANSFORMADOR REAL DE POTÊNCIA 
É possível usar transformações de impedância para desenvolver o circuito equivalente 
de um transformador real. Um tal circuito equivalente é útil na solução de problemas 
correlatos com o rendimento e regulação em tensão de um transformador. 
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29 
 I1 I’2 r1 α
2r2x1 α
2x2
α2.ZLRm Xm
Im
V1
 
(a) Circuito equivalente de um transformador de potência. I1 I’2 α
2r2 α
2x2
α2.ZLRm Xm
Im
V1 αV2
 
(b) Circuito equivalente aproximado com resistências e reatâncias refletidas ao primário. 
α V2
I1 Re1 xe1
α2.ZLV1
 
(c) Circuito equivalente simplificado imaginando nula a corrente de magnetização (Im<<I1). 
Figura 2.6 – Circuitos equivalentes para o transformador de potência. 
A figura 2.6(a) mostra um circuito com a impedância de carga e a reatância internas 
secundárias refletidas de volta ao primário. Nota-se que a corrente primária, I1, é a soma da 
componente primária de magnetização, Im, e da componente correspondente à corrente de 
carga, I’2. Rm representa o parâmetro equivalente às perdas de potência no ferro e no núcleo 
do transformador (perdas por histerese e correntes parasitas) e devidas à corrente de 
magnetização, Im. Xm está em paralelo com Rm e representa a componente reativa do 
transformador.A figura 2.6(a) é a representação de um transformador que satisfaz as condições dele 
a vazio e carregado. Se o secundário do transformador mostrado está a circuito aberto, I’2 = 
0 e apenas Im circula (I1 = Im) produzindo uma pequena queda interna de tensão na 
impedância primária Z1 e a queda de tensão primária I1.Z1 são relativamente pequenas, é 
possível obter-se um circuito equivalente aproximado deslocando o ramo paralelo L-R 
diretamente junto à fonte de suprimento V1. Fazendo isto, é possível agrupar as resistências 
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30 
 
e reatâncias internas dos circuitos primário e secundário, respectivamente, como mostra a 
figura 2.6(b), de modo a produzir os seguintes parâmetros equivalentes: 
𝑅𝑒1 = 𝑟1 + 𝛼
2𝑟2 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜 
𝑋𝑒1 = 𝑥1 + 𝛼
2𝑥2 = 𝑟𝑒𝑎𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜 
𝑍𝑒1 = 𝑅𝑒1 + 𝑋𝑒1 = 𝑖𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚á𝑟𝑖𝑜 
Se o transformador é algo carregado, e a componente primária da corrente de carga, 
I’1, excede Im, esta pode ser considerada como desprezível, como mostra o circuito 
equivalente da figura 2.6(c). Para um transformador carregado, a corrente primária, 
dependendo da natureza da carga, é 
𝐼1 =
𝑉1
�̇�𝑒1 + 𝛼2�̇�𝐿
=
𝑉1
(𝑅𝑒1 + 𝑗𝑋𝑒1) + 𝛼2(𝑅𝐿 ± 𝑗𝑋𝐿)
 
𝐼1 =
𝑉1
(𝑅𝑒1 + 𝛼2𝑅𝐿) + 𝑗(𝑋𝑒1 ± 𝛼2𝑋𝐿)
 
Sendo: 
+jXL representa a reatância de uma carga indutiva e, 
-jXL representa a reatância de uma carga capacitiva. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 10. Para o transformador dado no exercício 8, calcule: 
a) A resistência interna equivalente referida ao primário. 
b) A reatância interna equivalente referida ao primário. 
c) A impedância interna equivalente referida ao primário. 
d) A impedância secundária equivalente a uma carga de 0,1057 Ω (resistiva), referida 
ao primário. 
e) A corrente primária de carga se a fonte é de 2300 V. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
A aproximação da figura 2.6(c) despreza a componente de magnetização, Im, da corrente 
primária, I1. Com efeito, isto significa que o ângulo de fase da carga secundária é refletido 
diretamente para primário sem alteração. Se a componente de magnetização da corrente 
primária é desprezada, obtém-se um diagrama fasorial equivalente simples para o 
transformador carregado sob quaisquer condições de carga em atraso, em adianto ou fator 
de potência (FP) unitário, como mostra a figura 2.7. 
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31 
 
 
(a) Carga com FP em avanço. 
A corrente de carga secundária refletida, 𝐼2/𝛼, adianta-
se em relação à tensão secundária refletida da carga, 
𝛼𝑉2, de um ângulo de fase em avanço 𝜃2. A diferença 
fasorial entre 𝛼𝑉2 e 𝑉1, é a queda de tensão na 
impedância equivalente 𝐼1𝑍𝑒1. A queda na resistência 
equivalente 𝐼1𝑅𝑒1 está em fase com 𝐼1. A queda na 
reatância equivalente, 𝐼1𝑋𝑒1, adianta-se 90° em relação 
a 𝐼1. Devido a estas quedas de tensão equivalentes, a 
tensão 𝑉1 ainda se adianta em relação a 𝐼1 de um ângulo 
𝜃1. O ângulo de adianto 𝜃1 é, necessariamente menor 
que 𝜃2, devido ao fato de o transformador ser, 
internamente, indutivo. 
 
(b)Carga com FP em atraso. 
A corrente de carga secundária refletida, 𝐼2/𝛼, atrasa-se 
em relação à tensão secundária refletida da carga, 𝛼𝑉2, 
de um ângulo de fase em avanço 𝜃2. A diferença fasorial 
entre 𝛼𝑉2 e 𝑉1, é a queda de tensão na impedância 
equivalente 𝐼1𝑍𝑒1. Neste caso, o ângulo em atraso 𝜃1 é 
maior que o ângulo de fase emm atraso 𝜃2, devido de o 
transformador ser altamente indutivo e isto tornar o 
circuito mais indutivo ainda. 
 
(c) Carga com FP unitário. 
A corrente de carga secundária refletida, 𝐼2/𝛼, está em 
fase com a tensão secundária refletida da carga, 𝛼𝑉2, a 
um FP unitário, sendo resistiva a carga no secundário 
do transformador. A diferença fasorial entre 𝛼𝑉2 e 𝑉1, é 
a queda de tensão na impedância equivalente 𝐼1𝑍𝑒1. A 
corrente primária 𝐼1 atrasa-se em relação a 𝑉1 de um 
pequeno ângulo 𝜃1. Com FP unitário no secundário, o 
primário vê um pequeno atraso entre a corrente 
primária e a tensão primária, devido a indutância 
interna total equivalente do transformador. 
Figura 2.7 – Transformador de potência com condições variáveis de carga secundária. 
Fonte: KOSOW (1982). 
 
 
2.6 REGULAÇÃO DE TENSÃO DE UM TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA 
A regulação de tensão de um transformador (trafo) é definida como sendo a variação 
de tensão nos terminais do secundário quando se passa da condição sem carga para carga 
total. É expressa usualmente como uma percentagem da tensão em plena carga. Em 
aplicações de sistemas de potência, a regulação é uma figura de mérito de um 
transformador: um valor baixo indica que as variações de carga do secundário do 
transformador não afetam de forma significativa o valor da tensão fornecida à carga. É 
calculada supondo que a tensão do primário permanece constante quando a carga é 
removida do secundário do transformador. Portanto, regulação percentual de tensão é: 
𝑅𝑒𝑔% =
|𝐸2 − 𝑉2|
|𝑉2|
. 100% (2.21) 
 
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32 
 
Sendo: 
𝐸2= módulo da fem induzida no secundário do trafo. 
𝑉2= módulo da tensão terminal no trafo com carga nominal. 
𝐸2 = 𝑉2𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝐼2𝑅𝑒2 + 𝑗(𝑉2𝑠𝑒𝑛𝜃2 ± 𝐼2𝑋𝑒2) (2.22) 
 
- carga capacitiva + carga indutiva 
𝑋𝑒2 = 𝑥1
′ + 𝑥2 
𝑅𝑒2 = 𝑟1
′ + 𝑟2 
Lembrando que: 
𝑥1
′ =
𝑥1
𝛼2
 
𝑟1
′ =
𝑟1
𝛼2
 
 
Figura 2.8 – Regulação da tensão secundária de transformadores – todas as tensões e correntes referidas ao 
secundário – tensão secundária usada como fator de referência. 
Fonte: KOSOW (1982). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11. Foram feitas medidas num transformador de 500kVA, 2300/230V e 
encontraram-se os seguintes valores para reatância e resistência equivalente referidos ao 
secundário (230V). 
𝑋𝑒2 = 0,006 𝛺 
𝑅𝑒2 = 0,002 𝛺 
Calcule: 
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33 
 
a) A fem induzida, E2 quando o transformador estiver entregando a corrente nominal 
secundária a uma carga de FP unitário. 
b) Para uma carga com cos 𝜃2 = 0,8 em atraso. 
c) Para uma carga com cos 𝜃2=0,6 em avanço. 
d) A regulação de tensão para os itens a, b e c. 
e) Comente as diferenças na regulação de tensão com referência à figura 2.8. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2.7 PARÂMETROS DE TESTES 
O transformador embora não seja propriamente um dispositivo de conversão 
eletromecânica de energia, é um dispositivo importante na análise global de um sistema de 
energia. Sendo um componente que transfere energia de um circuito elétrico à outro, o 
transformador toma parte nos sistemas elétricos e eletromecânicos, seja simplesmente 
para isolar eletricamente os circuitos entre si, seja para ajustar a tensão de saída de um 
estágio do sistema à tensão de entrada do seguinte, seja para ajustar a impedância do 
estágio seguinte à impedância do anterior (casamento de impedância), ou para todas essasfinalidades ao mesmo tempo. 
O transformador opera segundo o princípio da indução mútua entre duas (ou mais) 
bobinas ou circuitos indutivamente acoplados. Importante salientar que os circuitos não 
são ligados fisicamente, ou seja, não há conexão condutiva entre eles. 
O circuito ligado à fonte de tensão é chamado primário e o circuito no qual a carga é 
conectada, é denominado secundário. 
 
2.8 ENSAIO EM VAZIO 
O ensaio à vazio de transformadores tem como finalidade a determinação de: 
 Perdas no núcleo (Ph + PF) 
 Corrente à vazio (Io) 
 Relação de transformação (α) 
 Impedância do ramo magnetizante (Zm) 
 
2.8.1 PERDAS NO NÚCLEO 
O fluxo principal estabelecido no circuito magnético é acompanhado dos efeitos 
conhecidos por histerese e correntes parasitas de Foucault. 
Observação: O fluxo magnético na condição de carga ou à vazio é praticamente o mesmo. 
As perdas por histerese são dadas por: 
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34 
 
𝑃ℎ = 𝑘ℎ. 𝑓. 𝐵
𝑀 (2.23) 
 
Lembrando que: 
𝑘ℎ é coeficiente de Steimmetz (depende do material) 
𝑓 frequência em Hz 
B é a indução no núcleo 
Estando o núcleo sujeito a um fluxo alternado, nele serão induzidas forças 
eletromotrizes com o consequente aparecimento das correntes de Foucault. O produto da 
resistência do circuito correspondente pelo quadrado da corrente significa um consumo de 
potência. 
As perdas por correntes parasitas de Foucault, PF, são dadas por: 
𝑃𝐹 = 2,2 𝑓
2𝐵2𝑑210−3 (2.24) 
Sendo: 
𝑓 frequência em Hz. 
B é a indução máxima em Wb/m2. 
d = espessura da chapa em mm. 
Somando as duas perdas analisadas, obtemos as perdas totais no núcleo (Po): 
𝑃𝑜 = 𝑃ℎ + 𝑃𝐹 (2.25) 
 
2.8.2 CORRENTE A VAZIO 
É a corrente absorvida pelo primário para suprir as perdas e para produzir o fluxo 
magnético. Sua ordem de grandeza é em torno de 5% da corrente nominal de enrolamento. 
 
2.8.3 RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO 
É a proporção que existe entre tensão do primário e do secundário. 
𝛼 =
𝐸1
𝐸2
=
𝑁1
𝑁2
≅
𝑉1
𝑉2
 
 
2.8.4 IMPEDÂNCIA DO RAMO MAGNETIZANTE (Zm) 
O ramo magnetizante é formado por uma resistência Rm (relacionada com as perdas no 
núcleo) e por uma reatância Xm (relacionada com a produção do fluxo principal). 
Para o cálculo de Rm e Xm considera-se um dos circuitos a seguir: 
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35 
 
 
Figura 2.9 - Ramo magnetizante série. 
 
Figura 2.10 - Ramo magnetizante paralelo. 
 
Ramo Magnetizante Série 
𝑅𝑚𝑠 =
𝑃𝑜
𝐼𝑜2
 
𝑍𝑚𝑠 =
𝐸1
𝐼𝑜
 
𝑋𝑚𝑠 = √𝑍𝑚𝑠
2 − 𝑅𝑚𝑠
2 
𝜑0 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑃𝑜
𝑉𝑜. 𝐼𝑜
) 
 
 
Ramo Magnetizante Paralelo 
𝑅𝑚𝑝 =
𝑉1
𝐼𝑝
 
𝑋𝑚𝑝 =
𝑉1
𝐼𝑞
 
𝜑0 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 (
𝑃𝑜
𝑉𝑜. 𝐼𝑜
) 
𝐼𝑝 = 𝐼𝑜. 𝑐𝑜𝑠𝜑0 
𝐼𝑞 = 𝐼𝑜. 𝑠𝑒𝑛𝜑0 
 
 
 
Observação: O módulo da impedância do ramo magnetizante é muito maior que o módulo 
da impedância dos enrolamentos primário ou secundário. 
𝑍𝑚 ≫ 𝑍1 𝑒 𝑍𝑚 ≫ 𝑍2 
 
 
2.8.5 EXEMPLO DA EXECUAÇÃO DO ENSAIO 
I. Material Necessário: 
 1 transformador 1φ; 
 1 varivolt 1 φ; 
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 1 voltímetro; 
 1 amperímetro; 
 1 wattímetro; 
 cabos para conexões. 
 
II. Preparação: 
Registrar os dados de placa: Tensões de AT e BT, Correntes de AT e BT, relação 
de transformação, potência, frequência, etc. 
 
III. Montagem: 
Ligar o transformador a uma fonte de tensão, alimentando-o pelo lado de baixa e 
deixando o lado de alta tensão em aberto, conforme a figura a seguir: 
 
Figura 2.11 – Ensaio a vazio. 
 
Para tensão e frequência nominais anote os valores medidos no amperímetro, wattímetro e 
voltímetro. 
 
Questionário para os alunos referente ao ensaio a vazio: 
1. Qual enrolamento (AT ou BT) é normalmente utilizado para a execução do ensaio à 
vazio? Justifique. 
 
2. Porque as perdas no cobre podem ser desprezadas no ensaio a vazio? 
 
3. Analisar o problema das perdas se um transformador com frequência nominal de 50 
Hz trabalha com 60 Hz. 
 
4. Caso o ensaio fosse realizado com um transformador trifásico que alterações seriam 
necessárias? 
 
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37 
 
5. Porque a laminação do núcleo dos transformadores reduz as perdas por correntes 
parasitas (Foucault)? 
 
6. Pesquise informações sobre a corrente transitória de magnetização (INRUSH). 
 
7. Desenhe o circuito equivalente do transformador quando este opera a vazio e 
justifique o desprezo da impedância primária para o cálculo da impedância do ramo 
magnetizante. 
 
 
2.9 ENSAIO EM CURTO-CIRCUITO 
Seja o circuito equivalente de um transformador monofásico (referido primário). 
 
Figura 2.12 – Circuito equivalente do transformador monofásico. 
 
Caso apliquemos um curto-circuito no secundário serão nulos: 
 A tensão terminal secundária (V2 = 0) 
 A impedância de carga (Zcarga = 0) 
Além disso, considerando que Vcc é baixo (da ordem de 10% de Vn), a indução no 
núcleo reduz-se na mesma proporção, conseqüentemente as perdas por histerese (Ph B1,6) e 
as perdas por corrente de Foucaut (PF α B2) podem ser desprezadas. 
O circuito equivalente para o ensaio em curto então fica: 
 
Figura 2.13 – Circuito equivalente para o ensaio. 
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38 
 
Sendo: 
𝑅𝑒1 = 𝑟1 + 𝑟′2 
𝑋𝑒1 = 𝑥1 + 𝑥′2 
 
Vcc = Tensão aplicada ao primário, quando o secundário está em curto-circuito, e que faz 
circular a corrente nominal do enrolamento primário. 
Para a realização do ensaio faz-se necessário circular a corrente nominal do 
transformador, portanto é aconselhável executar o ensaio no enrolamento de AT que possui 
uma menor corrente nominal. Assim, os instrumentos de medição serão ligados no 
enrolamento de AT e curto-circuita-se o enrolamento de BT. 
 
Os objetivos do ensaio em curto-circuito são a determinação de: 
 Perdas no cobre; 
 Queda de tensão interna; 
 Impedância, resistência e reatância de dispersão. 
 
2.9.1 PERDAS NO COBRE (Pj) 
A corrente que circula no transformador depende da carga alimentada pelo mesmo. 
As perdas nos enrolamentos, que são por efeito joule, podem ser expressas por: 
 
Sendo: 
𝑅1 = 𝑟1 + 𝑟′2 
𝑅2 = 𝑟′1 + 𝑟2 
Como as perdas nos enrolamentos são proporcionais ao quadrado da corrente circulante, 
torna-se necessário estabelecer um ponto de operação a fim de caracterizar as perdas no 
cobre. Esse ponto de operação corresponde à corrente nominal. 
 
2.9.2 QUEDA DE TENSÃO INTERNA (ΔV) 
A queda da tensão interna referida à AT, conforme o circuito equivalente simplificado 
é dada por: ΔV = Z1 I1. 
Pode-se afirmar que, ao fechar o secundário em curto-circuito, a tensão aplicada ao 
primário será a própria queda de tensão procurada. 
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39 
 
Naturalmente, sendo a queda de tensão função da corrente, isso força a especificação 
do ponto de operação do transformador que, como anteriormente, corresponderá ao 
nominal. 
 
2.9.3 IMPEDÂNCIA, RESISTÊNCIA E REATÂNCIA DE DISPERSÃO 
A tensão induzida no secundário pelo fluxo resultante no núcleo iguala a queda de 
tensão na impedância de dispersão do secundário e na corrente nominal. Como esta tensão 
é apenas uma parcela reduzida da tensão nominal, o valorde fluxo magnético no núcleo é 
reduzido e a admitância de excitação, pode então ser omitida. Nestas condições as correntes 
de primário e secundário são quase iguais quando referidas ao mesmo lado. A potência de 
entrada pode ser assumida igual a perda total no cobre nos enrolamentos da alta tensão e 
baixa tensão. 
Com base nestas medições do instrumentos de medição, calcula-se os parâmetros do 
transformador. 
𝑍𝑒1 =
𝑉𝑐𝑐
𝐼𝑐𝑐
 
𝑅𝑒1 =
𝑃𝑐𝑐
𝐼𝑐𝑐2
 
𝑋𝑒1 = √𝑍𝑒1
2 − 𝑅𝑒1
2 
 
2.9.4 PERDAS ADICIONAIS 
No ensaio em curto-circuito, verifica-se que há outras perdas além das nos 
enrolamentos, a saber: nas ferragens, nas cabeças de bobinas e outras. Deste modo, ao se 
referir ao fato de que a leitura do wattímetro não corresponde precisamente à potência 
perdida nos enrolamentos, presumem-se essas outras perdas. Nessas circunstâncias o valor 
da potência obtida pela leitura dos instrumentos será: 
𝑃𝑐𝑐 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐽 
Sendo: 
𝑃𝑐𝑐 é a potência lida no ensaio; 
𝑃𝐴 são as perdas adicionais; 
𝑃𝐽 são as perdas nos enrolamentos. 
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40 
 
Deviso à natureza das perdas adicionais, uma expressão para seu cálculo é bastante difícil 
de se obter, o que leva ao uso de daods empíricos. Para a obtenção das perdas adicionais é 
recomendado utilizar a relação: 
𝑃𝐴 ≅ 15% 𝑎 20% 𝑃𝑜 
 
2.9.5 EXEMPLO DA EXECUAÇÃO DO ENSAIO 
I. Material Necessário: 
 1 transformador 1φ; 
 1 varivolt 1 φ; 
 1 voltímetro; 
 1 amperímetro; 
 1 wattímetro; 
 cabos para conexões. 
 
II. Preparação: 
Registrar os dados de placa: Tensões de AT e BT, Correntes de AT e BT, relação 
de transformação, potência, frequência, etc. 
 
IV. Montagem: 
Ligar o transformador à fonte de tensão, alimentando o lado de AT e curto-
circuitando o lado de BT conforme o esquema a seguir: 
 
Figura 2.14 – Circuito de montagem do ensaio em cc. 
Após conectar os equipamentos conforme o esquema acima, fazemos circular corrente 
nominal no transformador. Para tal aumenta-se cuidadosamente o nível de tensão até que 
Icc = I1 nominal. 
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41 
 
A potência medida pelo wattímetro (Pcc) corresponde aproximadamente à potência 
dissipada nos enrolamentos. 
A tensão medida pelo voltímetro (Vcc) corresponde aproximadamente à queda de 
tensão interna. 
 
Questionário para os alunos referente ao ensaio de curto-circuito 
 
1. Justifique porque normalmente se utiliza o enrolamento de AT para a execução do 
ensaio em curto-circuito. 
2. Qual a vantagem e desvantagem de um transformador que tenha grande Vcc em 
sistemas elétricos? 
3. Durante o ensaio em curto-circuito, o que ocorre com a indução no núcleo do 
transformador? Justificar. 
4. Ao ensaiar transformadores trifásicos, que alterações são introduzidas no 
procedimento de cálculo dos parâmetros de transformadores? (Parâmetros de 
excitação e dispersão). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 12. Um transformador monofásico de 10kVA, 7967/240 Volts, apresenta uma perda a 
vazio de 55Watts. Considerando o ramo magnetizante paralelo, determine: 
a) Iop e Ioq 
b) o fator de potência do transformador em vazio. 
c) Os parâmetros do ramo magnetizante. 
Dado I0 = 0,0234969A referida ao lado de tensão superior. 
I0
AC
A
V
W
A.T. B.T.
 
Figura 2.15 – Ensaio a vazio. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Exercício 13. Certo transformador monofásico de 50 kVA, 60 Hz, 2400/ 240 V apresentou os 
seguintes resultados nos ensaios de curto-circuito e a vazio: 
 Vazio: Vo = 240V; Io = 5,41 A; Po = 186 W. 
 Curto-circuito: Vcc = 48 V; Icc = nominal (A); Pcc = 617 W. 
Baseando-se nestes dados, responda as seguintes questões: 
a) Calcule os parâmetros do ramo magnetizante. 
b) Calcule os parâmetros de dispersão. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
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42 
 
Exercício 14. Um transformador de 10kVA, 60Hz, 4800/240 V apresenta os seguintes resultados: 
 
Tensão (V) I (A) P (W) Ensaio 
240 1,5 60 Vazio 
180 2,08 180 Curto-circuito 
 
Determinar o circuito equivalente: 
a) Referido a A.T. 
b) Referido a B. T. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
2.10 LIGAÇÕES TRIÂNGULO E ESTRELA DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS 
O transformador trifásico é construído a partir de três transformadores monofásicos, 
cujos enrolamentos primário e secundário podem ser ligados em Estrela (Y) ou em 
Triângulo (∆). 
𝑆3𝜙 = 3. 𝑆1𝜙 
𝑆3𝜙: potência aparente trifásico 
𝑆1𝜙: potência aparente monofásico 
 
 
 
Tipos de ligações 
a) Ligação ∆-∆ 
 
Figura 2.16 – Ligação ∆ - ∆. 
Fonte: http://www.escoladoeletrotecnico.com.br. 
 Na ligação delta (∆), a tensão de linha (VL) é igual à tensão de fase (VF). 
 
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43 
 
b) Ligação Y–Y 
 
Figura 2.17 – Ligação Y – Y. 
Fonte: http://www.escoladoeletrotecnico.com.br. 
 Na ligação estrela (Y), a corrente de linha (IL) é igual à corrente de fase (IF). 
 
 
 
 
 
c) Ligação Y-∆ 
 
Figura 2.18 – Ligação Y - ∆. 
Fonte: http://www.escoladoeletrotecnico.com.br. 
 
 
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44 
 
d) Ligação ∆-Y 
 
Figura 2.19 – Ligação ∆ - Y.. 
Fonte: http://www.escoladoeletrotecnico.com.br. 
Sendo: 
VL1 - a tensão de linha no primário do transformador 
VL2 - a tensão de linha(entre duas fases) no secundário do transformador 
VF1 - a tensão de fase(entre uma fase e o neutro) no primário do transformador 
VF2 - a tensão de fase no secundário do transformador 
IL1 - a corrente de linha no primário do transformador 
IL2 - a corrente de linha no secundário do transformador 
IF1 - a corrente de fase no primário do transformador 
IF2 - a corrente de fase no secundário do transformador 
a (α) - a relação de transformação do transformador ou a relação de espiras 
 
 Os transformadores de potência possuem transdutores de temperatura, de pressão e 
de corrente. 
 O fato de um transformador ter a polaridade aditiva e a outra subtrativa, não impede 
que eles sejam ligados em paralelo, basta ter o cuidado de interligar terminais de 
mesma polaridade. 
 Só se pode ligar em paralelo transformadores monofásicos que têm as mesmas 
tensões. 
UFT – Palmas – Engenharia Elétrica 
Conversão de Energia 
Profa. Dra. Stefani Freitas 
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Exercício 15. Numa ligação Y-∆ trifásica, cada transformador tem uma razão de tensão de 
4:1. Se a tensão de linha do primário for de 660 V, calcular: 
a) a tensão de linha do secundário. 
b) a tensão através de cada enrolamento do primário. 
c) a tensão através de cada enrolamento secundário. 
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Exercício 16. A tensão de linha do secundário de um conjunto de transformadores ∆ - Y é de 
411 V. Os transformadores têm uma razão de espiras de 3:1.