Teorema de Existência de Soluções para EDO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
Departamento de Matematica
Semina´rio de EDO
Teorema de Existeˆncia de Soluc¸o˜es para
Equac¸o˜oes Diferenciais com as Condic¸o˜es de
Caratheodory
Farlei Ferreira Silva
Belo Horizonte, Dezembro de 2016
1
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 3
2 Pre´-requisitos 4
2.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Condic¸o˜es de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Teorema 6
4 Refereˆncias 10
2
1 Introduc¸a˜o
O Teorema da Existeˆncia de Carathe´odory diz que uma equac¸a˜o diferen-
cial ordina´ria tem uma soluc¸a˜o em condic¸o˜es relativamente suaves. E´ uma
generalizac¸a˜o do teorema de existeˆncia de Peano . O teorema de Peano re-
quer que o lado direito da equac¸a˜o diferencial e´ cont´ınua, enquanto que o
teorema de Caratheodory mostra a existeˆncia de soluc¸o˜es (num sentido mais
geral) para algumas equac¸o˜es descont´ınuos.
Considere a equac¸a˜o diferencial
{
x˙(t) = f(t, x(t))
x(t0) = x0
onde o f func¸a˜o e´ definida em um domı´nio retaˆngular de forma: R =
{(t, x) ∈ R×Rn : |t− t0| ≤ a, |x− x0| ≤ b}.
O Teorema da existeˆncia de Peano afirma que se f e´ cont´ınua , enta˜o
a equac¸a˜o diferencial tem pelo menos uma soluc¸a˜o de uma vizinhanc¸a da
condic¸a˜o inicial.
No entanto, tambe´m e´ poss´ıvel considerar equac¸o˜es diferenciais com um
lado direito descont´ınuo, como a equac¸a˜o.
{
x˙(t) = h(t)
x(0) = 0
onde h indica a func¸a˜o de Heaviside definido pela condic¸a˜o,
h(t) =
{
0, t ≤ 0
1, t > 0
Faz sentido de considerar a func¸a˜o de rampa
x(t) =
∫ t
0
h(s)ds =
{
0, t ≤ 0
t, t > 0
como uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
Estritamente falando, pore´m, ela na˜o satisfaz a equac¸a˜o diferencial em
t = 0, pois a func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel em t = 0. Isto sugere que a ideia
de uma soluc¸a˜o ser alargada para permitir soluc¸o˜es que na˜o sa˜o em todos os
lugares diferencia´vel.
3
2 Pre´-requisitos
Para falar da Integral de Lebesgue de func¸o˜es reais definidas em subcon-
juntos da reta, definir uma estrutura chamada de σ−algebra em um conjunto
arbitra´rio X e, atrave´s dessa estrutura, no´s vamos definir o que seriam os
espac¸os mensura´veis e, sobre estes espac¸os, vamos definir o que seriam as
func¸o˜es mensura´veis. Apo´s isso, vamos definir um tipo especial de func¸a˜o
chamado de medida e, a partir da´ı, iremos construir o conceito de Integral
de Lebesgue.
2.1 Definic¸o˜es
1 - σ-a´lgebra . Uma famı´lia ℑ de subconjuntos de um conjunto X e´
chamada de σ − algebra se satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
i. ø, X, ∈ ℑ.
ii.A ℑ ⇒ Ac ∈ ℑ.
iii.Se (An)n∈N e´ uma sequeˆncia de conjuntos de ℑ, enta˜o
⋃
n∈N
An ∈ ℑ.
Obs.: E´ imediato que dado um conjunto X , o conjunto de suas partes
P (X), assim como o conjunto {ø, X} sa˜o σ − algebra de X , sendo respecti-
vamente a maior e a menor das σ − algebra de X .
2 - espac¸o mensura´vel . Um espac¸o mensura´vel e´ um par (X,ℑ) onde
X e´ um conjunto qualquer e ℑ e´ uma σ − algebra de X . Os elementos de
X sera˜o chamados de conjuntos σ-mensura´veis, ou, quando a σ − algebra
estiver impl´ıcita, sera˜o chamados apenas de mensura´veis.
3 - func¸a˜o mensura´vel . Seja X = (X,ℑ) espac¸o mensura´vel. Uma
func¸a˜o f : X → R e´ mensura´vel se, para cada α ∈ R o conjunto {x ∈
X ; f(x) > α} esta´ em ℑ, ou seja, e´ mensura´vel.
Obs.: Como ja´ introduzi a noc¸a˜o de espac¸o mensura´vel (X,ℑ), que con-
siste em um conjunto. Vamos agora considerar func¸o˜es, chamadas de me-
didas, definidas em ℑ e tomando valores em R = R ∪ +∞. Estas func¸o˜es
podem ser intuitivamente interpretadas como a a´rea, comprimento e massa.
Portanto, e´ natural que o seu valor seja nulo no conjunto Ø e que esta seja
aditiva para a unia˜o de conjuntos disjuntos.
4
4 - medida . Uma medida e´ uma func¸a˜o µ definida em uma σ−algebra ℑ
de um conjunto X e tomando valores em R = R ∪+∞ tal que.
i. µ(ø) = 0.
ii.µ(A) ≥ 0, ∀ A ∈ ℑ.
iii.Se (Ai)i∈N ∈ ℑ e´ uma sequeˆncia de conjuntos disjuntos entre si,
enta˜o µ(
⋃
n∈N
Ai) =
∑
i∈N
µ(Ai).
5 - espac¸o de media . Um espac¸o de media e´ uma tripla (X,ℑ, µ).
6 - func¸a˜o simples . Uma func¸a˜o f : X → R R e´ simples quando
seu conjunto imagem e´ finito. Temos que uma func¸a˜o simples f pode ser
representada da seguinte forma.
f =
n∑
i=1
aiℑAi, onde ai ∈ R e Ai ℑ, para todo i = 1, ..., n.
7 - Integral de uma func¸a˜o simples . Seja f ∈ X = (X,ℑ, µ) uma
func¸a˜o simples com representac¸a˜o dada por f =
n∑
i=1
aiℑAi.
Enta˜o a integral de f com respeito a medida µ e´ definida como
∫
fdµ =
n∑
i=1
aiℑAi
2.2 Teoremas
1 - Contunuidade Uniforme. Seja I = [a, b] um intervalo limitado
fechado e seja f : I → R cont´ınua em I. Enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua
em I.
2 - Convergeˆncia Mono´tona . Se (fn)n ∈ N ∈ X e´ uma sequeˆncia de
func¸o˜es mono´tonas com fn(x) ≤ fn+1(x), ∀ x ∈ X e (fn)n ∈ N convergindo
pontualmente para uma func¸a˜o f , enta˜o
∫
fdµ = lim
n→∞
∫
fndµ
5
, com f ∈ X .
3 - Convergeˆncia Dominada . Seja (fn)n ∈ N ∈ X ; fn −→ f com
respeito a medida µ, com f uma func¸a˜o mensura´vel. Suponha que existe g
integra´vel, g ∈ X ; |fn(x)| ≤ g(x), ∀ x ∈ X, ∀ n ∈ N. Enta˜o∫
fdµ = lim
n→∞
∫
fndµ
4 - Arzela`-Ascoli . Seja f : [a, b] → R; f ∈ ℑ, onde ℑ e´ o conjunto
das func¸o˜es cont´ınuas. Com as seguintes condic¸o˜es:
i. Equicontinuidade: ou seja, ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0; |x − y| < δ =⇒
|f(x)− f(y)| < ǫ, ∀f ∈ ℑ.
ii. Equilimitac¸a˜o: ou seja, ∃ K; |f(x)| < K, ∀ x ∈ [a, b], ∀f ℑ. Enta˜o
existe uma subsequeˆncia fn e uma f ; fn(x) −→ f uniformemente.
2.3 Condic¸o˜es de Caratheodory
Condic¸o˜es : Seja f de finida em R = {(t, x) ∈ R × Rn : |t − t0| ≤
a, |x− x0| ≤ b}, tal que:
i. f(t, x) cont´ınua em x para t fixo.
ii. f(t, x) e´ mensura´vel em t para x fixo.
iii. |f(t, x)| ≤ g(t) ; g(t) e´ soma´vel, com |t− t0| ≤ a, ∀ (t, x) ∈ R. (Aqui
soma´vel e´ no sentido da integral de Lebesgue).
Uma EDO que satisfaz essas condic¸o˜es e´ chamada de EDO de Caratheo-
dory.
3 Teorema
Teorema: Seja f de finida em R = {(t, x) ∈ R × Rn : |t − t0| ≤
a, |x− x0| ≤ b}. Se f(t, x) satisfaz as condic¸o˜es de Caratheodory. Enta˜o no
intervalo fechado [t0, t0 + β] existe uma soluc¸a˜o ϕ para a EDO,{
x˙(t) = f(t, x)
x(t0) = x0
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Dem: Considero t ≥ t0, sera´ ana´logo para t ≤ t0.
Defino G(t) =


∫ t
t0
g(s)ds, t0 ≤ t ≤ t0 + a (1)
0, t < t0 (2)
Claramente G e´ cont´ınua na˜o-decrescente, pois g ≥ 0, e G(t0) = 0. Por-
tanto (t, x0 ± G(t)) ∈ R para algum intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + β ≤ t0 + a,
onde β e´ uma constante positiva. Tomo β > 0 e defino uma aproximac¸a˜o
ϕj, j = 1, 2...,
ϕj(t) =


∫ t−β
j
t0
f(s, ϕj(s))ds, t0 +
β
j
< t ≤ t0 + β (3)
x0, t0 ≤ t ≤ t0 +
β
j
(4)
Claramente ϕ1 esta´ definida em t0 ≤ t ≤ t0 + β, para x0 constante. Para
algum j ≥ 1, (4) define ϕj em t0 ≤ t ≤ t0 +
β
j
e desde que (t, x) ∈ R para
t0 ≤ t ≤ t0+
β
j
, e em (3) ϕj e´ uma func¸a˜o cont´ınua em t0+
β
j
< t ≤ t0+
2β
j
.
Nesse u´ltimo intervalo,
|ϕj(t)− x0| ≤ G(t−
β
j
) (5)
Em virtude de (iii) da condic¸a˜o de Cratheodory e (1), (2). Assumo que ϕj
esta´ definida em t0 ≤ t ≤ t0 +
kβ
j
, para k ∈ (1, j). Enta˜o (3) define ϕj para
t0+
kβ
j
< t ≤ t0+
(k + 1)β
j
, desde que seja mensura´vel em t0 ≤ t ≤ t0+
kβ
j
.
Tambe´m, em t0 +
kβ
j
< t ≤ t0 +
(k + 1)β
j
, ϕj satisfaz (5) em virtude da
condic¸a˜o (iii) de Caratheodory e (1), (2). Portanto, por induc¸a˜o em (3) e
(4), defino todas as ϕj cont´ınuas em t0 ≤ t ≤ t0 + β, na qual satisfaz,
ϕj(t) = x0 t0 ≤ t ≤ t0 +
β
j
(6)
|ϕj(t)− x0| ≤ G(t−
β
j
) t0 +
β
j
< t ≤ t0 + β (7)
7Se t1 e t2 esta˜o no intervalo [t0, t0+β], enta˜o da condic¸a˜o (iii) de Carathe-
odory, (1), (2), (3) e (4), tenho
|ϕj(t1)− ϕj(t2)| ≤ |G(t1 −
β
j
)−G(t2 −
β
j
)| (8)
Como G e´ cont´ınua em [t0, t0 + β], pelo Teorema− 1 G e´ uniformemente
cont´ınua. Isso implica por (8), que o conjuto das {ϕj} sa˜o equicont´ınuas
em [t0, t0 + β]. Tambe´m, por (7), o conjunto das {ϕj} e´ uniformemente
limitada em [t0, t0 + β]. Assim, por Arzela`-Ascoli ( Teorema - 4), existe uma
subsequeˆncia {ϕjk} na qual converge uniformemente em [t0, t0 + β] para a ϕ
cont´ınua, quando k −→ ∞. Assim, por (i),(iii) de Caratheodory,
|f(t, ϕjk(t))| ≤ g(t), (t, t + β)
f(t, ϕjk(t)) −→ f(t, ϕ(t)), k −→∞
para todo t fixo em [t, t + β]. Agora pelo Teorema da Convergeˆncia
Dominada, tenho
lim
k→∞
∫ t
t0
f(s, ϕjk(s))ds =
∫ t
t0
lim
k→∞
f(s, ϕjk(s))ds =
∫ t
t0
f(s, ϕ(s))ds (9)
∀ t ∈ [t, t+ β]. Mas
ϕjk(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ϕjk(s))ds−
∫ t
t−
β
jk
f(s, ϕjk(s))ds
onde
∫ t
t−
β
jk
f(s, ϕjk(s))ds −→ 0, k −→∞.
Agora passando o limite dos dois lados da equac¸a˜o,
ϕjk(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ϕjk(s))ds temos,
lim
k−→∞
ϕjk(t) = lim
k−→∞
(x0+
∫ t
t0
f(s, ϕjk(s))ds) = x0+ lim
k−→∞
∫ t
t0
f(s, ϕjk(s))ds
Assim,
8
lim
k−→∞
ϕjk(t) = x0 + lim
k−→∞
∫ t
t0
f(s, ϕjk(s))ds
↓ ↓
ϕ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ϕ(s))ds �
O Teorema esta´ provado. E´ interessante observar que as aproximac¸o˜es
originais (3) e (4) devem convergir para uma soluc¸a˜o no caso em que uma
soluc¸a˜o u´nica e´ conhecida. Esta situac¸a˜o na˜o se obte´m para as aproximac¸o˜es
sucessivas normais.
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4 Refereˆncias
1. Apeˆndice - Durrett,R.(1996).Probability:Theory and Examples, 3rd
ed.Duxbury Press.
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s existence theorem
3. E. Coddington e N. Levinson, Theory of ODEs, Sec¸a˜o 2.1
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