Relatório EDOs e epidemiologia matemática

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
COORDENAÇÃO GERAL DE PROGRAMAS
ACADÊMICOS E DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
PROGRAMA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA
PIBIC/PIBITI/PIBIC-AF/PIVIC/PIVITI
Controle, limites assintóticos e problemas inversos de
EDPs não lineares
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias
Orientador: Fágner Dias Araruna
Departamento de Matemática, CCEN
Orientando: João Marcelo Fernandes Gualberto de Galiza
Departamento de Engenharia Mecânica, CT
João Pessoa, 2020
Resumo
Neste trabalho, estudamos os aspectos qualitativos e quantitativos das Equações
Diferenciais Ordinárias (EDOs). Enfatizamos o estudo da teoria qualitativa das
EDOs na impossibilidade de se resolver, explicitamente, parte das equações.
Dessa forma, investigamos algumas propriedades das mesmas, com um rigor
mais qualitativo. Analisamos o problema de existência e unicidade de uma
solução para um problema de valor inicial (PVI), usando o Teorema de Pi-
card, bem como estudamos o Teorema de Poincaré-Bendixson. Dentre as várias
aplicaçõe, motivados pelo delicado momento que vivemos, abordamos também
um modelo interdisciplinar em epidemiologia matemática, o modelo SIR.
Palavras-chave: Equações Diferencias Ordinária. Existência e Unicidade. Te-
orema de Picard. Teorema de Poincaré-Bendixson. Modelo SIR.
Title: Introduction to Ordinary Differential Equations
Abstract
In this work, we study the qualitative and quantitative aspects of Ordinary Dif-
ferential Equations (ODEs). We emphasize the study of qualitative ODEs the-
ory in the impossibility of explicitly solving part of the equations. Therefore,
we investigate some properties of the same, with a more qualitative rigor. We
analyzed the problem of the existence and uniqueness of a solution to an initial
value problem (IVP), using Picard’s Theorem, as well as studying the Poin-
caré-Bendixson Theorem. Among the various applications, motivated by the
delicate moment we are experiencing, we also address an interdisciplinary mo-
del in mathematical epidemiology, the SIR model.
Keywords: Ordinary Differential Equations. Existence and Uniqueness. Pi-
card’s Theorem. Poincaré-Bendixson Theorem. SIR Model.
Sumário
1 Introdução 4
2 Procedimentos metodológicos 4
3 Resultados e discussões 5
3.1 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Conceitos de Espaços Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Conceitos Básicos das Equações Diferenciais Ordinárias . . . . 6
3.3.1 Solução de uma Equação Diferencial e o Problema de
Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Existência e Unicidade de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Sistemas Autônomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5.1 Teorema de Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Aplicação: Modelos Epidemiológicos . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6.1 Modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Análise dos dados: Resultados e Discussões 22
5 Conclusões 23
Referências 24
4
1 Introdução
As equações diferenciais constituem uma rica área da matemática moderna
que busca reproduzir e modelar fenômenos fı́sicos, quı́micos, biológicos e das
mais diversas áreas. Constitue uma área de vasta aplicação e de extrema im-
portância, principalmente para compreendimento e controle processos e siste-
mas.
Podemos citar o Professor Doutor Enrique Zuazua Iriondo (Universidade
Autónoma de Madrid - UAM), que realizou um estudo intitulado ”DyCon Pro-
ject: Control of PDEs involving non-local terms”, em 2017, onde ele expõe
algumas aplicações das equações diferenciais, como:
1. Equações de Boltzmann associadas à dinâmica de gases;
2. A equação de Navier-Stokes na Mecânica dos Fluidos;
3. Algoritmos de processamento de imagem;
4. Modelos de distorçao anômala;
5. Descrição de preços associados à finanças.
O Estudo das equações diferenciais começou no século XVII, com o estudo
de cálculo por Newton e Leibniz. Newton forneceu a base para a aplicação das
equações diferenciais no século XVIII, através do desenvolvimento do cálculo e
explicações dos princı́pios básicos da Mecânica Clássica. Depois, vieram outros
matemáticos, como Jakob e Johann Bernoulli, que desenvolveram métodos para
resoluções de alguns problemas.
2 Procedimentos metodológicos
O material utilizado para o decorrer da pesquisa foi a bibliografia básica
proposta pelo orientador. Semanalmente, foram apresentados seminários na
presença do orientador, com o intuito de demonstrar o que foi estudado no de-
correr da semana, bem como a participação do curso de verão de ”Introdução à
Topologia Geral”, realizada pelo Departamento de Matemática da UFPB (DM-
UFPB) nos meses de janeiro e fevereiro de 2020. Com a pandemia do COVID-
19, foram realizadas exposições virtuais com o auxı́lio de plataformas de comu-
nicação.
https://cmc.deusto.eus/wp-content/uploads/2017/03/poster_PDEs.pdf
https://cmc.deusto.eus/wp-content/uploads/2017/03/poster_PDEs.pdf
5
Foram realizados cursos de introdução à linguagem de programação R, que
possibilitou a modelagem do nosso sistema abordado como exemplo principal.
No decorrer do trabalho, abordamos temas como:
1. Conceitos básicos de teoria dos conjuntos;
2. Introdução à Análise Real;
3. Introdução à Topologia Geral;
4. Equações Diferenciais Ordinárias, enfatizando o aspecto qualitativo das
mesmas.
5. Transformada de Laplace e aplicações;
6. Estudo de sistemas autônomos e Teorema de Pincaré-Bendixson.
3 Resultados e discussões
3.1 Conceitos Preliminares
Definição 1. Uma função f : X → R chama-se lipschitziana quando existe
uma constante k > 0 (chamada constante de Lipschitz da função f ) tal que
|f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|, ∀x, y ∈ X .
Definição 2. Uma função f : X → R chama-se uma contração quando existe
uma constante k ∈ (0, 1] tal que |f(y)− f(x)| ≤ k|y − x|, ∀x, y ∈ X
3.2 Conceitos de Espaços Métricos
Definição 3. Dado um conjunto M 6= ∅, chamamos de uma métrica em M uma
função d : M ×M → R, que associa a cada par ordenado (x, y) ∈ M ×M ,
um número real d(x, y), chamado distância de x a y, de modo que satisfaça às
seguintes condições para dados x, y, w ∈M :
(i) d(x, x) = 0;
(ii) Se x 6= y, d(x, y) > 0;
(iii) d(x, y) = d(y, x);
(iv) d(x,w) ≤ d(x, y) + d(y, w).
Um Espaço Métrico é um conjunto munido de uma métrica. Em outras pala-
vras, é um par ordenado (M,d), em que M 6= ∅ e d é uma métrica em M .
6
Definição 4. Uma sequência x em um conjunto M é uma função x : N → M
que a cada número n ∈ N associa a um valor da sequência que é chamado o
n-ésimo termo da sequência e denotamos por xn
x : N→M
n 7→ xn
A sequência será indicada por (xn) e o conjunto dos termos que formam a
mesma será denotado por xn, tal que n ∈ N.
Definição 5. Dada (xn) uma sequência num espaço métrico M , dizemos que o
ponto a ∈M é limite da sequência (xn) se, para qualquer ε > 0 dado, pode-se
encontrar n0 ∈ N tal que n > n0 =⇒ d(xn, a) < ε. Escrevemos, limxn = a,
limn→∞ xn = a ou xn → a.
A sequência (xn) ∈ M é convergente em M , se existir a = limxn ∈ M , e
converge para a. Se não existir limxn ∈M , então a sequência é dita divergente
em M.
Definição 6. Seja M um espaço métrico. Uma sequência (xn) ∈ M é dita
sequência de Cauchy se, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m,n >
n0 =⇒ d(xm, xn) < ε.
Proposição 1. Toda sequência convergente de um espaço métrico é de Cauchy.
Demonstração: SejaM um espaço métrico e (xn) uma sequência que converge
para a. Dessa forma, dado ε > 0, ∃n0 ∈ N;∀n > n0 =⇒ d(xn, a) < ε2 . Se
m,n > n0, temos:
d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(a, xn) = d(xm, a) + d(xn, a) < ε2 +
ε
2 = ε
Logo, a sequência (xn) é de Cauchy.
Definição 7. Um espaço métrico M é chamado de espaço métrico completo
quando toda sequência de Cauchy em M é convergente.
Corolário1. O conjunto R é um espaço métrico completo.
3.3 Conceitos Básicos das Equações Diferenciais Ordinárias
As equações diferenciais podem ser classifcadas quanto ao tipo, a ordem e
a sua linearidade. Quanto ao tipo, podem ser classificadas em: ordinárias e
parciais.
7
Definição 8. Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) são equações diferen-
ciais que contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis de-
pendentes, em relação a uma única variável independente. É uma relação do
tipo:
F (t, u(t),
du
dt
,
d2u
dt2
, · · · , d
nu
dtn
) = 0
Onde u = u(t), d
nu
dtn é a n-ésima derivada de u de ordem n e F é uma função
dada inicialmente.
Exemplo 1. t3 + u4 =
du
dt
, onde u = u(t). É uma EDO e que u é uma variável
dependente de t, que por sua vez é independente.
t3 + u4 =
du
dt
⇔t3 + u4 − du
dt
= 0
F (t, u(t),
du
dt
) = t3 + u4 − du
dt
Exemplo 2 (Pêndulo Simples). O pêndulo simples consiste de uma partı́cula de
massa m fixada na extremidade inferior de um fio leve inextensı́vel de compri-
mento l, cuja extremidade superior está fixada . Supondo que o movimento do
pêndulo seja apenas no plano vertical. Seja θ o ângulo do fio com a vertical.
Figura 1: Pêndulo Simples
Fonte: Djairo Guedes de Figueiredo, 2005
A equação que define o movimento do pêndulo é:
lθ̈ + g sin θ = 0
onde g é a aceleração da gravidade e θ̈ é a segunda derivada temporal do
ângulo θ.
Definição 9. Equações Diferenciais Parciais (EDPs) são equações diferenciais
que envolvem as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes, em
relação a uma ou mais variáveis independentes. É uma relação do tipo:
F (x1, x2, · · · , xn, u,
∂u
∂x1
, · · · , ∂u
∂xn
,
∂2u
∂xi∂xj
, · · · , ∂
ku
∂xk11 ∂x
k2
2 · · · ∂x
kn
n
) = 0
8
Onde k1 + k2 + · · · + kn = k e u = u(x1, x2, · · · , xn) é a função a ser en-
contrada nas variáveis independentes x1, x2, · · · , xn,
∂ku
∂xk11 ∂x
k2
2 · · · ∂x
kn
n
é a de-
rivada parcial de k-ésima ordem em relação as variáveis independentes e F é
uma função dada inicialmente.
Exemplo 3 (Equação de Onda Transversal em uma Dimensão). Seja uma onda
se propagando em uma dimensão na direção x. A deflexão dessa onda é descrita
por uma função de duas variáveis u = u(x, t) . Por exemplo, para uma corda de
densidade constante ρ e tensão T , pode-se demonstrar que essa função satisfaz
à equação de onda:
∂2u
∂x2
=
1
c2
∂2u
∂t2
Onde: c =
√
T
ρ
é a velocidade de propagação da onda na corda.
3.3.1 Solução de uma Equação Diferencial e o Problema de Valor Inicial
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém deri-
vadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada, ou seja, a funlçao que
quando substituida na equação, a transforma em uma identidade.
Uma equação diferencial que satisfaz condições impostas pelo problema é
denominado Problema de Valor Inicial (PVI). Ou seja, satisfaz :
dy
dx
= f(x, y) y(x0) = y0
Na maioria dos casos, existe uma infinidade de funções que satisfazem a
EDO, para obter uma solução particular, o valor y0 da função solução tem de
ser conhecido para algum ponto t0, o que determina a solução particular da
EDO.
Figura 2: Famı́lia de Soluções de uma EDO
Fonte: Luso Academia, 2016
9
3.4 Existência e Unicidade de Soluções
Nesta subseção, adentraremos, de fato, na teoria qualitativa das EDOs, de-
monstraremos um teorema que dá condições suficientes para a existência e uni-
cidade de solução do problema de valor inicial.
Teorema 1 (Existência e Unicidade). Seja f : Ω → R contı́nua definida num
aberto Ω do plano (x, y). Suponhamos que a derivada parcial com relação
à segunda variável, fy : Ω → R, seja contı́nua também. Então, para cada
(x0, y0) ∈ Ω, existem um intervalo aberto I contendo x0 e uma única função
diferenciável Φ : I → R com (x,Φ(x)) ∈ Ω, para todo x ∈ I , que é solução
do problema de valor inicial (P.V.I.)
y′ = f(x, y) (1)
y(x0) = y0 (2)
Através do lema a seguir, conseguimos transformar o problema do valor ini-
cial (1)− (2) num problema de resolução de uma equação integral.
Lema 1. Seja f : Ω → R uma função contı́nua num aberto Ω do plano (x, y).
Então, uma função diferenciável Φ : I → R é uma solução do problema de
valor inicial (1)− (2) se e somente se for uma solução da equação integral
y(x) = y0 +
∫ x
x0
f(s, y(s))ds, x ∈ I (3)
Demonstração: Se Φ é solução do P.V.I. (1) − (2), então pelo teorema funda-
mental do cálculo, Φ é solução da integral (3). Reciprocamente, se Φ : I → R
é contı́nua que é solução de (3), então, pelo teorema fundamental do cálculo, Φ
é diferenciável e é também solução do P.V.I. (1)− (2). �
Devemos resolver a equação integral (3).
Dado (x0, y0) ∈ Ω, tomemos a e b positivos tais que o retângulo
B = B(a, b, x0, y0) = {(x, y); |x− x0| ≤ a e |y − y0| ≤ b}
esteja contido em Ω.
Como f é contı́nua e B é compacto, então f é limitada em B.
Sejam:
M = max{|f(x, y)|; (x, y) ∈ B}
0 < a ≤ min
{
a, bM
}
Ja é o intervalo fechado [x0 − a, x0 + a]
10
Seja C o conjunto de todas as funções contı́nuas g : Ja → R tais que g(x0) =
y0 e |g(x)− y0| ≤ b. Isto é, queremos em C as funções contı́nuas cujos gráficos
passem pelo ponto (xo, y0) e que estejam contidas no retângulo B.
Definimos em C a seguinte métrica:
d(g1, g2) = max{|g1(x)− g2(x)|;x ∈ Ja}
Figura 3: Conjunto Ω, retângulo B e o intervalo Ja
Fonte: Djairo Neves de Figueiredo, 2005
Considerando a função Φ definida em C e que a cada y ∈ C associa a função
g(x) = y0 +
∫ x
x0
f(s, y(s))ds.
Observando que g(x) é contı́nua para x ∈ Ja , que g(x0) = y0 e que
|g(x)− y0| ≤
∣∣ ∫ x
x0
|f(s, y(s))|ds
∣∣ ≤M|x− x0| ≤ Ma ≤ b
consequentemente g ∈ C. Logo, Φ : C → C.
A equação (3) pode ser exposta na sua forma funcional:
y = Φ(y)
Portanto, as soluções de (3) são os pontos fixos de Φ. Utilizaremos o princı́pio
das contrações para isso.
Teorema 2 (Ponto Fixo de Banach ou Princı́pio da Contração). Seja C um
espaço métrico completo. Suponha que Φ : C → C é uma contração, isto é,
existe uma constante 0 ≤ k < 1,tal que
d(Φ(g1),Φ(g2)) ≤ kd(g1, g2).
Para todos g1, g2 ∈ C. Então, existe um e somente um g ∈ C tal que g = Φ(g).
11
Que nos dá o seguinte resultado:
|Φ(g1)(x)− Φ(g2)(x)| =
∣∣ ∫ x
x0
[f(s, g1(s))− f(s, g2(s))ds]
∣∣. (4)
O integrando do segundo membro será estimado utilizando o seguinte lema:
Lema 2. Seja f : Ω → R uma função contı́nua definida em um aberto Ω do
plano (x, y) e tal que a derivada parcial fy : Ω → R seja também contı́nua.
Dado um subconjunto limitado Ω0 ⊂ Ω0 ⊂ Ω, existe uma constante K > 0 tal
que
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ K|y1 − y2| (5)
Para todos (x, y1), (x, y2) ∈ Ω0.
Demonstração: Seja δ ≤ dist(Ω0, ∂Ω), onde ∂Ω é a fronteira do conjunto Ω
e designemos por Ωδ = {(x, y) ∈ Ω; dist((x, y),Ω0) < δ2} uma vizinhança de
Ω0.
Dados (x, y1), (x, y2) ∈ Ω0 com |y1 − y2| < δ. Temos que o segmento
[x, λy1 + (1− λ)y2], com 0 ≤ λ ≤ 1, está contido em Ωδ.
Utilizando o teorema do valor médio, temos:
f(x, y1)− f(x, y2) = fy(x, ξ)(y1 − y2) y1 > y2, (6)
Onde ξ está no segmento descrito acima.
Seja
M∞ = max{|fy(x, y)|; (x, y) ∈ Ωδ},
De (6), obtemos
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ M∞|y1 − y2|,
que é válida para (x, y1), (x, y2) ∈ Ω0 com |y1 − y2| < δ. Para os pontos com
|y1 − y2| ≥ δ, segue-se a estimativa abaixo
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ 2M≤ 2Mδ |y1 − y2|,
ondeM é o max|f(x, y)| para (x, y) ∈ Ω0.
Logo, para obter (5), basta tomar K = max
{
M∞, 2Mδ
}
�
Voltando ao problema (4).
Utilizando o lema anterior, obtemos
12
|Φ(g1)(x)− Φ(g2)(x)| ≤ K
∣∣∣ ∫ x
x0
|g1(s)− g2(s)|ds
∣∣∣ ≤ Kad(g1, g2)
Daı́,
d(Φ(g1),Φ(g2)) ≤ Kad(g1, g2)
com isso, Φ é uma contração se Ka < 1. Basta tomar a < 1K . Dessa forma, o
teorema (1) fica demonstrado com I = (x0 − a, x0 + a). �
Até agora, foi mostrado a existência de uma solução do P.V.I. (1)− (2) num
intervalo I = (x0 − a, x0 + a), onde a dependeda função f e da distância do
ponto (x0, y0) à fronteira ∂Ω de Ω.
Lema 3. Se κ ⊂ Ω é compacto, então um mesmo a pode ser escolhido de modo
a servir para todas as condições iniciais (x0, y0) ∈ κ.
Demonstração: Considerando uma δ-vizinhança κδ de κ tal que
κ ⊂ κδ ⊂ κδ ⊂ Ω
Figura 4: δ-vizinhança de κ
Fonte: Djairo Neves de Figueiredo, 2005
Podemos escolher a e b tais que o retângulo B esteja contido em κδ para todos
os pontos (x0, y0) ∈ κ. Portanto, basta tomar
M = max{|f(x, y)|; (x, y) ∈ κδ},
e a satisfazendo
a < min
{
a,
b
M
,
1
K
}
,
onde K é a constante dada pelo lema anterior, com Ω0 = κ0. �
13
Lema 4. Sejam Φ1(x) e Φ2(x) soluções do P.V.I. (1)− (2) definidas respectiva-
mente em, intervalos abertos I1 e I2 contendo x0. Então Φ1 e Φ2 coincidem em
I1 ∩ I2.
Demonstração: Temos que I1 ∩ I2 := Ĩ , que é aberto.
Seja J ⊂ Ĩ definido por:
J = {x ∈ Ĩ; Φ1(x) = Φ2(x)}
Temos que J é fechado em Ĩ e J 6= ∅, pois x0 ∈ J .
Também, J é aberto em Ĩ pelo teorema de existência e unicidade.
Logo, J = Ĩ �
Teorema 3. Sob as mesmas hipóteses do teorema de existência e unicidade.
Toda solução do P.V.I. (1) − (2) pode ser estendida a um intervalo maximal, o
qual é aberto.
Definição 10. Dizemos que o intervao I = (ω−, ω+) é maximal quando ele
contém todos os intervalos onde o problema de valor inicial tem solução.
Demonstração: Seja Φi o conjunto de todas as soluções do P.V.I. (1) − (2)
definidas em intervalos abertos Ii contendo x0.
Seja I =
⋃
Ii e Φ : I → R tal que dado x ∈ I , como x ∈ Ii para algum i,
definimos Φ(x) = Φi(x).
Temos que Φ é bem definida devido ao lema anterior. Além disso, Φ é solução
do P.V.I. (1)− (2), pois Φi o é, e I é aberto.
Utilizando a notação I = (w−, w+) e afirmamos que I é maximal. Isto é, não
há intervalo contendo propriamente I onde o P.V.I. (1)− (2) tenha solução Φ̃.
De fato, se houvesse um intervalo, este teria que conter uma das extremida-
des. Supondo w+. Pelo teorema de existência e unicidade, a solução de
y′ = f(x, y)
y(w+) = Φ̃(w+)
existiria num intervalo (w+ − a, w+ + a).
Por Φ̃ ser solução definida em w+, implica que o ponto (w+,Φ(w+)) ∈ Ω,
que é aberto.
Dessa forma, podemos aplicar o teorema de existência e unicidade.
Dessa forma, a função Φ definida em Î = (w−, w+ + a) por
Φ̂(x) =
{
Φ(x), x ∈ (w−, w+)
Φ̃, x ∈ [w+, w+ + a)
14
é solução do P.V.I. (1)− (2). Só que I é a reunião de todos os abertos contendo
x0 onde o problema tem solução, e I ⊂ Î propriamente.
Dessa forma, contraria o exposto anteriormente. �
Teorema 4. Se Φ(x) é solução do P.V.I. (1) − (2) com intervalo maximal I =
(w−, w+), então (x,Φ(x)) → ∂Ω quando x → w+ (o mesmo para x → w−),
isto é, dado κ ⊂ Ω compacto, existe τ < w+ tal que (x,Φ(x)) /∈ κ para
x ∈ (τ, w+).
Demonstração: 1) Se w+ = +∞, dado κ compacto em Ω, tomemos
τ = sup(x)
(x, y) ∈ κ
Portanto, (x,Φ(x)) /∈ κ se x > τ .
Figura 5: Compacto κ e a solução Φ
Fonte: Djairo Neves de Figueiredo, 2005
2) Se w+ < +∞, dado κ ⊂ Ω temos, pelo terceiro lema, que o raio a pode
ser escolhido para todas as condições iniciais em κ.
Se (x1,Φ(x1)) ∈ κ, então Φ está definida em (x1 − a, x1 + a).
Tomando τ = w+ − a, temos que (x,Φ(x)) /∈ κ se x ∈ (τ, w+), pois se x1 ∈
(τ, w+) e (x1,Φ(x1)) ∈ κ, temos que Φ(x) estaria definida em (x1− a, x1 + a).
E como
x1 + a > τ + a = w+,
terı́amos uma contradição com o fato de I ser maximal. �
Lema 5 (Lema de Gronwall). Sejam α, β e δ funções contı́nuas definidas em
um intervalo (a, b), tais que β ≥ 0 e
δ(x) ≤ α(x) +
∫ x
x0
β(s)δ(s)ds. (7)
Então
δ(x) ≤ α(x) +
∫ x
x0
β(s)α(s)e
∫ x
s
β(u)duds. (8)
Em particular, se α(x) = K = const, temos:
δ(x) ≤ Ke
∫ x
x0
β(s)ds
. (9)
15
Demonstração: Seja
ω(x) =
∫ x
x0
β(s)δ(s)ds.
Então
ω′(x) = β(x)δ(x)
Utilizando (7), temos
ω′(x) ≤ β(x)α(x) + β(x)ω(x),
que pode ser reescrita como:
[ω(x)e−B(x)]′ ≤ β(x)α(x)e−B(x),
onde B′(x) = β(x).
Daı́,
ω(x)e−B(x) ≤
∫ x
x0
β(s)α(s)e−B(s)ds
Logo,
δ(x) ≤ α(x) + eB(x)
∫ x
x0
β(s)α(s)e−B(s)ds,
provando (8).
Para provar (9), basta utilizar β(s)e
∫ x
s
β(u)du = − dds
(
e
∫ x
s
β(u)du
)
. �
Teorema 5. Suponhamos que Ω seja a faixa {(x, y) : a < x < b} e que
f : Ω → R seja uma função contı́nua. Suponhamos que a derivada parcial
fy : Ω→ R seja contı́nua e limitada. Então para cada (x0, y0) ∈ Ω, existe uma
única função diferenciável Φ : (a, b)→ R que é solução do P.V.I. (1)-(2).
Demonstração: Deve-se mostrar que para cada ε > 0 dado, a solução do P.V.I.
(1)− (2) está definida em (a− ε, a+ ε).
Sejam
K1 = max{|f(x, y0)|; a+ ε ≤ x ≤ b− ε}
K2 = sup{|fy(x, y)|; (x, y) ∈ Ω}.
Pelo teorema do valor médio,
|f(x, y)| ≤ |f(x, y0)|+ |f(x, y)− f(x, y0)| ≤ K1 +K2|y − y0|
e utilizando do primeiro lema, temos
|y(x)− y0| ≤ K3 +K2
∫ x
x0
|y(s)− y0|ds.
16
Utilizando o lema de Gronwall, ele nos dá o seguinte resultado:
|y(x)− y0| ≤ K3eK2(x−x0) ≤ const
o que nos mostra que y(x) não tende a infinito. Logo, o intervalo de definição
da solução é (a− ε, a+ ε). �
Alem da questão de existência e unicidade de solução do P.V.I. (1)−(2), para
que a teoria tenha sentido fisicamente, é preciso mostrar que as soluções depen-
dem continuamente das condições iniciais. Vamos estabelecer essa propriedade
nos próximos teoremas.
Teorema 6. Sob as mesmas hipóteses do Teorema 1, se Φ1 e Φ2 são soluções
de (1) definidas em [x0, x1], então existe K > 0 tal que
|Φ1(x)− Φ2(x)| ≤ |Φ1(x0)− Φ2(x0)|eK(x−x0),
para todo x ∈ [x0, x1].
Demonstração: Dadas Φ1(x) e Φ2(x) soluções de (1) definidas em [x0, x1],
podemos tomar Ω0 como no segundo lema, e de modo que Ω0 contenha o gráfico
das funções Φ1 e Φ2. Seja K a constante dada pelo lema 2.
Figura 6: Φ1, Φ2 soluções do PVI contidas em Ω0
Fonte: Djairo Neves de Figueiredo, 2005
Como
Φ′1(x)− Φ′2(x) = f(x,Φ1(x))− f(x,Φ2(x))
Desenvolvendo a igualdade, temos
Φ1(x)− Φ2(x) = Φ1(x0)− Φ2(x0) +
∫ x
x0
[f(s,Φ1(s))− f(s,Φ2(s))]ds.
Pelo lema 2,
17
|Φ1(x)− Φ2(x)| ≤ |Φ1(x0)− Φ2(x0)|+
∫ x
x0
K|Φ1(s)− Φ2(s)|ds,
utilizando a desigualdade de Gronwall, obtemos:
|Φ1(x)− Φ2(x)| ≤ |Φ1(x0)− Φ2(x0)|eK(x−x0)
�
3.5 Sistemas Autônomos
Analisamos sistemas da forma{
ẋ = f(x, y)
ẏ = g(x, y)
que são denominados de sistemas autônomos, pois independem explicitamente
da variável temporal, t.
As soluções (x(t), y(t)) são curvas parametrizadas no plano de fases (x, y)
denominadas órbitas. Uma importante consequência do Teorema de Existência
e Unicidade é que uma reparametrização de (x(t), y(t)) conduz à mesma órbita
no plano de fases (x, y). Podemos então considerar condições iniciais (x0, y0, t0),
onde t0 = 0. Uma órbita não se auto-instersecciona e nem intersecciona outras
órbitas.
Um papel muito importante no estudo da geometria do plano de fases é de-
sempenhado pelas soluções constantes (x(t), y(t)) = (x0, y0) do sistema, as
quais são precisamente os zeros do sistema{
f(x,y) = 0
g(x,y)=0
essas soluções são chamadas de pontos de equilı́brio ou singularidades. Os
ponto não singulares são chamados regulares.
3.5.1 Teorema de Poincaré-Bendixson
O teorema de Poincaré-Bendixson é uma afirmação sobre o comportamento
a longo prazo de órbitas de sistemas dinâmicos contı́nuos no plano e em outras
configurações. Primeiramente, definiremos alguns termos:
Sejam ∆ um subconjunto aberto de Rn eX : ∆→ Rn um espaço vetorial de
classe Ck, k ≥ 1. Seja φ(t) = φ(t, p) a curva integral a X passando pelo ponto
p, definida no seu intervalo Ip, Ip = (ω−(p), ω+(p)). Se ω+(p) = ∞, define-se
o conjunto
18
ω(p) = {q ∈ ∆;∃(tn) com tn →∞ e φ(tn)→ q, quando n→∞}.
Analogamente, temos
α(p) = {q ∈ ∆;∃(tn) com tn → −∞ e e φ(tn)→ q, quando n→∞}.
Esses dois conjuntos são chamados, respectivamente, de conjuntos ω - limite e
α - limite.
Observação: Se p é um ponto singular do campo X , então qualquer que seja o
ponto p, ω(p), α(p) = {p}, pois neste caso φ(t) = p, para todo t ∈ R.
Observação: Se γp é a órbita de X pelo ponto p e q ∈ γp, entãoω(p) = ω(q).
Se q ∈ γp, existe c ∈ R tal que φ(t, p) = φ(t + c, q). Analogamente para
α(p) = α(q).
Definição 11. O conjunto ω-limite de uma órbita γ é o conjunto w(p), para
qualquer p ∈ γ. Da mesma forma para o conjunto α-limite.
Sejam φ(t) = φ(t, p) a curva integral do campo X pleo ponto p e ψ(t) =
ψ(t, p) a curva integral do campo −X pelo ponto p, então ψ(t, p) = φ(−t, p).
Com isso, sabemos que o ω-limite de ψ(t) é igual ao α-limite de φ(t) e a
recı́proca também é verdadeira. Dessa forma, estudando as propriedades ge-
rais dos conjuntos ω-limite de órbitas é suficiente para inferir sobre o α-limite.
Teorema 7. Sejam X : ∆ → Rn um campo de classe Ck, com k ≥ 1, definido
num aberto ∆ ⊂ Rn e γ+(p) = {φ(t, p); t ≥ 0} a semi-órbita positiva do
campo X pelo ponto p. Se γ+(p) está contida num subconjunto compacto K ⊂
∆, então:
a) ω(p) 6= ∅;
b) ω(p) é compacto;
c) ω(p) é invariante por X (isto é, se q ∈ ω(p), então a curva integral de X
por q está contida em ω(p));
d) ω(p) é conexo.
Definição 12 (Seção transversal a um campo). Sejam X : Ω → Rn um campo
de classe Cr, r ≥ 1,Ω ⊂ Rn aberto e A ⊂ Rn−1 um aberto. Uma aplicação
diferenciável f : A → Ω de classe Cr chama-se seção tranversal local de X
(de classe Cr) quando, para todo a ∈ A,Df(a)(Rn−1) e X(f(a)) geram o
esboço Rn.
19
Teorema 8 (Teorema do Fluxo Tubular). Seja p um ponto não singular de X :
Ω → Rn um campo de classe Ck. Então, existe uma vizinhança V de p em
U e um difeomorfismo CkF : (−ε, ε) × B → V , onde ε > 0 e B é uma
bola aberta em Rn−1 tal que F é uma Ck-conjugação entre o campo constante
Y : (−ε, ε)×B → Rn dado por Y ≡ (1, 0, . . . , 0) ∈ Rn e o campo X|V .
Teorema 9 (Teorema de Poincaré-Bendixson). Seja φ(t) = φ(t, p) uma curva
integral deX , definida para todo t ≥ 0, tal que γ+p esteja contida num compacto
K ⊂ ∆. Suponha que o campo X possua um número finito de singularidades
em ω(p). Têm-se as seguintes alternativas:
a) Se ω(p) contém somente pontos regulares, então ω(p) é uma órbita periódica.
b) Se ω(p) contém pontos regulares e singulares, então ω(p) consiste de um
conjunto de órbitas, cada uma das quais tende a um desses pontos singu-
lares quando t→ ±∞.
c) Se ω(p) não contém pontos regulares, então ω(p) é um ponto singular.
Utilizaremos os seguintes lemas para auxiliar na demonstração do teorema.
Lema 6. Se p ∈ Σ ∩ ω(γ), onde Σ é uma seção transversal a X e γ = φ(t)
alguma órbita de X , então p pode ser expresso como limite de uma sequência
de pontos, φ(tn), de Σ, onde tn →∞.
Lema 7. Seja Σ uma seção transversal ao campo X contida em ∆. Se γ é uma
órbita de X e p ∈ Σ ∩ γ, então γ+p = {φ(t, p); t ≥ 0} intercepta Σ numa
sequência monótona p1, p2, . . . , pn, . . . .
Lema 8. Se Σ é uma seção transversal de X e p ∈ ∆ , então Σ intercepta ω(p)
no máximo em um ponto.
Lema 9. Sejam p ∈ ∆, com γ+p contida num compacto, e γ uma órbita de X
com γ ⊂ ω(p). Se ω(p) contém somente pontos regulares, então γ é uma órbita
fechada e ω(p) = γ.
Dessa forma, os casos do Teorema de Poincaré-Bendixson são provados:
a) Sob as hipóteses de a e q ∈ ω(p), então γq ⊂ ω(p).
Sendo ω(p) compacto, resulta ω(γq) 6= ∅.
Decorre, do lema 4, que ω(p) = γq = órbita fechada.
20
Figura 7: situação a do Teorema de Poincaré-Bendixson
Fonte: Sotomayor, 1979
b) Sob as hipóteses de b e γ é uma órbita contida em ω(p), γ não reduzida a
um ponto singular, então, pelo lema 4 e por α(γ) e ω(γ) serem conexos,
sai que α(γ) e ω(γ) são ambos pontos singulares do campo X (X tem
apenas um número finito de singularidades em ω(p))
Figura 8: situação b do Teorema de Poincaré-Bendixson
Fonte: Sotomayor, 1979
c) Decorre diretamente do fato de ω(p) ser conexo e do fato de X possuir
somente um número finito de singularidades, em ω(p).
Figura 9: situação c do Teorema de Poincaré-Bendixson
Fonte: Sotomayor, 1979
3.6 Aplicação: Modelos Epidemiológicos
Epidemiologia é a área que estuda quantitativamente a distribuição dos fenômenos
de saúde e/ou doença, e seus fatores condicionantes e determinantes, nas populações
humanas.
21
A Epidemiologia Matemática propõe modelos que possam ajudar a traçar
polı́ticas de controle dessas doenças . Na busca de analisar determinados com-
portamentos de doenças e determinar a quantidade de infectados e possı́veis
infectados a epidemiologia matemática passou a ser utilizada.
A modelagem matématica supõe algumas etapas principais (Biembengut,
2007), como:
1. Interação: etapa de reconhecimento e familiarização do problema.
2. Matematização: é realizada a formulação do problema e a resolução da
situação problema sendo esta feita por meio de uma linguagem matemática.
Nesta etapa da modelagem o objetivo é chegar a um conjunto de expressões
que permitam chegar à solução ou dedução de uma solução.
3. Modelo Matemático: consiste na análise e interpretação do modelo, bem
como a adequabilidade do mesmo.
Temos que fazer certas hipóteses para realizar um modelo matemático.
Suponhamos que os indivı́duos deuma população sejam classificados entre
as seguintes três categorias:
i) Indivı́duos Suscetı́veis - S(t): são aqueles que podem adquirir a doença
quando entram em contato com os indivı́duos infectados e, após um deter-
minado perı́odo de infecção, estes podem se tornar transmissores.
ii) Indivı́duos Infectados - I(t): portadores da doença, os quais também são
transmissores sejam de forma direta ou indiretamente.
iii) Indivı́duos Recuperados - R(t): são aqueles que foram isolados, falece-
ram ou foram imunizados, ou por vacinas ou obtiveram a cura logo após
contrair a doença.
Descrevemos a população como N = S + I +R, onde N é constante.
Utilizaremos um dos principais modelos compartimentais aplicados à epide-
miologia matemática: o modelo SIR.
3.6.1 Modelo SIR
Foi proposto por Kermack e McKendrick, em 1927. Este modelo supõe que
um indivı́duo pode passar sucessivamente entre as três classes:
S → I → R
22
Neste modelo, adotamos que a razão de variação da população suscetı́vel é
proporcional ao número de encontros entre as populações suscetı́vel e infec-
tada e a razão de variação da população removida é proporcional à população
infectada. o sistema de equações diferenciais que descreve a dinâmica desta
epidemia pode ser dado por:
dS
dt
= −αSI
dI
dt
= −αSI − βI
dR
dt
= −βI

R(0) = 0
I(0) = I0
S(0) = S0 = N − I0
onde α e β são, respectivamente, o coeficiente de transmissão que determina
a taxa a que novas infecções surgem como consequência do contato entre in-
divı́duos suscetı́veis e infectados e a taxa de recuperação.
4 Análise dos dados: Resultados e Discussões
A pandemia do COVID-19, causada pelo coronavı́rus encoontrado em mui-
tas espécies diferentes de animais (principalmente morcegos), teve inı́cio em
fevereiro de 2020 após a testagem positiva de um indivı́duo no estado de São
Paulo.
Considerando o método SIR, podemos realizar uma modelagem do COVID-
19 no cenário brasileiro. Foi considerado α = 0, 17789 e β = 0, 1 para
realização da modelagem, sendo estes os considerados para a maioria dos estu-
dos realizados por apresentar uma boa aproximação com os dados reais.
Figura 10: Comparativo entre Suscetı́veis, Infectados e Recuperados com o tempo
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020
23
Figura 11: Evolução da taxa de infectados
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020
Para essas suposições, o pico da taxa de infectados no Brasil ocorre entre os
meses de setembro e outubro. Depois, o número de indivı́duos infectados tende
a diminuir.
A modelagem foi realizada utilizando as linguagens de programação: Python
e R. O algoritmo está disponı́vel em: github.com/Joaomarcelo002/SIRcovid19BR.
5 Conclusões
Nota-se uma riqueza de idéias, métodos e informações obtidas com o estudo
e desenvolvimento das equações diferenciais ordinárias e suas aplicações. Isto
fezcom que diversas áreas da matemática e de outras áreas fossem mais dense-
volvidas, como: análise funcional, teoria do controle, fluidos, transferência de
calor e massa, epidemiologia e outras.
Demonstramos dois teoremas bastante importantes para um estudo sobre
equações diferenciais ordinárias: o Teorema de Picard, que estabelece a existência
local, isto é, em torno de alguma vizinhança da condição inicial e o Teorema
de Poincaré-Bendixson, que estabelece para quais tipos de conjuntos limites as
trajetórias de um campo vetorial devem convergir. Bem como o desenvolvi-
mento de aplicações das EDOs nos diversos âmbitos, evidenciado pelo modelo
compartimental SIR.
https://github.com/Joaomarcelo002/SIRcovid19BR/blob/master/SIR_br_COVID19
24
Referências
[1] LIMA, E. L. Análise Real - Volume 1: 10a ed, Rio de Janeiro, IMPA, 2009.
[2] FIGUEIREDO, D.G; NEVES, A.F. Equações diferenciais aplicadas: 2a ed,
Rio de Janeiro, IMPA, 2005.
[3] SOTOMAYOR, L. Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Rio de Ja-
neiro, IMPA, 1979.
[4] ENDO, D. H. C. Espaços Métricos: uma introdução, São Carlos, DM-
UFSCAR, 2015.
[5] HÖNIG, C. S. Aplicações da Topologia à Análise, Rio de Janeiro, IMPA,
1976.
[6] ALVARENGA, L. R. Modelagem de epidemias através de modelos basea-
dos em indivı́duos, Belo Horizonte, UFMG, 2008.
[7] SANTOS, A. J. O Teorema de Poincaré-Bendixson para campos vetoriais
planares, suaves por partes e na garrafa de Klein, Itajubá, UNIFEI, 2019.
[8] FRANCO, C. M. R. Modelos Matemáticos em Epidemiologia Aplicação:
Evolução Epidêmica da COVID-19 no Brasil e no estado da Paraı́ba, Cam-
pina Grande, UFCG, 2020.
	Introdução
	Procedimentos metodológicos
	Resultados e discussões
	Conceitos Preliminares
	Conceitos de Espaços Métricos
	Conceitos Básicos das Equações Diferenciais Ordinárias
	Solução de uma Equação Diferencial e o Problema de Valor Inicial
	Existência e Unicidade de Soluções
	Sistemas Autônomos
	Teorema de Poincaré-Bendixson
	Aplicação: Modelos Epidemiológicos
	Modelo SIR
	Análise dos dados: Resultados e Discussões
	Conclusões
	Referências