Problemas de Combinatória

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1º CAPÍTULO 
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1. Uma pessoa quer viajar de uma cidade A para a cidade C, passando pela 
cidade B. As cidades A e B estão ligadas por três estradas: d1, d2 e d3; e 
as cidades B e C estão ligadas por quatro estradas: e1, e2, e3 e e4. De 
quantos modos diferentes essa pessoa pode fazer o percurso ABC? 
 
 
2. Com três tipos de macarrão e dois tipos de molho, quantos pratos 
diferentes podem ser preparados com um tipo de macarrão e um tipo de 
molho? 
 
3. No Brasil, as placas de automóvel têm três letras seguidas de quatro 
algarismos. Quantas são as possibilidades de placas diferentes? 
 
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4. Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais 
de um prêmio, de quantas maneiras podem ser distribuídos o primeiro e o 
segundo prêmio? 
 
5. Ao lançarmos uma moeda e um dado, quantas são as possibilidades de 
resultado? 
 
6. Quantos são os números de 4 algarismos? 
 
7. A seleção para certo concurso é feita por uma prova com seis questões. 
Para cada questão, há três opções de resposta. Os candidatos marcam as 
seis respostas em um cartão. Quantas respostas diferentes podem ser 
dadas? 
 
8. Quantos números entre 1.000 e 8.000 podemos formar usando os 
algarismos 1, 3, 5, 7 e 9 sem repeti-los? 
 
9. No código Morse, as letras são representadas por pontos e traços, em 
agrupamentos ordenados de 1 a 4 desses sinais para cada letra. Quantas 
letras distintas podem ser representadas nesse código? 
 
10. Calcule o valor de: 
a) ଻!
ସ!
 = 
 
b) ଷ! ∙ ଻!
ସ! ∙ ଺! 
 = 
 
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11. Simplifique: 
a) ௡!(௡ିଵ)! = 
 
b) (௡ାଶ)!
௡!
 = 
 
12. Calcule n, sabendo que: 
a) ௡!(௡ିଶ)! = 30 
 
13. Calcule: 
a) ∑ 3 ∙ k =ହ௞ୀଵ 
 
b) 3 ∙ ∑ 3 ∙ k =ହ௞ୀଵ 
 
14. Escreva as sentenças a seguir usando a notação de somatório: 
a) 1² + 2² + 3² + ... + 50² = 
 
b) ଵ
ଶ
+ ଶ
ଷ
+ ଷ
ସ
+ ⋯ + ଽଽ
ଵ଴଴
= 
 
15. Dada a expressão ∑ ௡!(௡ି௜)! ∙௜! ∶
௡
௜ୀ଴ 
a) calcule seu valor para n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4. 
 
 
b) represente-a por uma potência. 
 
Retomada de conceito 
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1. Simplifique: 
a) (௡ିହ)!(௡ିଷ)! = 
 
b) (ଶ௡ାଷ)!(ଶ௡ାଵ)! = 
 
2. Calcule o valor de x: 
a) ௫!
ଷ! ∙(௫ିଷ)!
= ହହ௫
ଷ
 
b) (௫ାଶ)!
ସ! ∙(௫ିଶ)!
= 11 ∙ ௫!
ଶ! ∙ (௫ିଶ)!
 
 
3. Calcule: 
a) ∑ 5𝑛ସ௡ୀ଴ 
 
b) ∑ (2𝑛 + 1)଻௡ୀଵ 
 
4. Um restaurante oferece três tipos de entrada, dois pratos principais e 
quatro tipos de sobremesas. Quantas opções uma pessoa terá, se decidir 
comer uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? 
 
5. Considere todos os números de três algarismos formados com os 
algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Entre eles, a quantidade de números pares com 
exatamente dois algarismos iguais é: 
 
6. Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se 
esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro 
algarismo era 8, o segundo par, o terceiro menor que 5 e o quarto e último 
era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito 
de acertar a senha? (Considere que o banco não bloqueie as diversas 
tentativas.) 
 
7. Se (௡ିଵ)!(௡ାଵ)!ି௡! = 
ଵ
଼ଵ
, então n é igual a: 
 
 
8. Em uma gaveta de armário de um quarto escuro há 6 camisetas 
vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o número 
mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas 
cores, para que: 
a) se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores diferentes. 
 
b) se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor. 
 
c) se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor. 
 
9. A quantidade de números naturais de três algarismos distintos cuja soma 
dos algarismos é 20 é: 
 
 
10. Quantos são os números inteiros positivos de cinco algarismos que não 
têm algarismos adjacentes iguais? 
 
 
Capítulo 2 
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1. Quantos são os anagramas formados pela palavra SABER? 
 
2. Quantos números de cinco algarismos distintos podemos escrever com 
os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
3. Dos anagramas da palavra CORAGEM, quantos começaram por A? 
 
4. Uma família com cinco pessoas possui um automóvel de cinco lugares. 
Sabendo que somente duas pessoas sabem dirigir, de quantos modos 
poderão se acomodar para uma viagem? 
5. Com duas bandeiras vermelhas indistinguíveis, três azuis também 
indistinguíveis e uma branca, quantos sinais diferentes podemos emitir 
pendurando todas elas no mastro de um navio? 
 
 
6. Com os algarismos 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 e 3, quantos números distintos de 
nove algarismos podemos escrever no sistema decimal de numeração? 
 
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7. Deseja-se arrumar em uma estante quatro livros de matemática, três de 
química e cinco de português. Quantas são as possibilidades de arrumação 
se: 
a) não houver restrições? 
 
b) os livros de uma mesma matéria permanecerem juntos? 
 
8. De quantos modos podemos guardar dez objetos em três caixas: a 
primeira com cinco objetos, a segunda com três e a terceira com dois 
objetos? (Sugestão numere os objetos: cinco objetos com o número 1, três 
com o número 2 e dois com o número 3.) 
 
 
9. De quantos modos uma família de seis pessoas pode se sentar em torno 
de uma mesa redonda de forma que o pai e a mãe fiquem sempre juntos? 
 
 
10. Calcule: 
a) Aଵ଴,ହ = 
 
b) Aଵ଴,ହ − Aହ,ଶ = 
 
c) Aଵ଴,ହ ∙ Aହ,ସ = 
 
11. Determine o número x inteiro, e x ≥ 2, para que A௫,ଶ = 156. 
 
12. Uma sala possui seis portas. De quantas maneiras uma pessoa pode 
entrar por uma porta e sair por outra diferente? 
 
13. Dispomos de oito cores e queremos pintar uma bandeira de cinco 
listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 
 
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14. De quantos modos três pessoas podem se sentar num sofá de cinco 
lugares? 
 
15. Cinco cavalos disputam um páreo. Qual é o número de possíveis 
resultados para as três primeiras colocações? 
 
16. Quantos números existem entre 100 e 1.000, escritos com algarismos 
distintos? 
 
Retomada de conceito 
1. Numa fábrica, um inspetor de produção visita operários de seis máquinas 
diferentes durante o dia. Para evitar que os operários saibam a ordem da 
inspeção, de quantos modos diferentes essas visitas podem ser feitas? 
 
2. Oito clientes de um banco, dos quais três são mulheres, estão na fila 
única dos caixas. De quantas maneiras as pessoas dessa fila podem se 
posicionar de modo que as mulheres fiquem juntas? 
 
3. Com as letras da palavra PROVA quantos são os anagramas: 
a) que começam por vogal? 
 
b) que começam e terminam por consoante? 
 
4. O mapa de uma cidade é formado por seis bairros distintos. Deseja-se 
pintar esse mapa com as cores azul, vermelha e verde, de modo que dois 
bairros sejam azuis, um seja vermelho e os demais sejam verdes. De 
quantas maneiras distintas é possível pintar esse mapa? 
 
 
5. Um processo industrial deve passar pelas etapas A, B, C, D e E. 
a) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem 
ficar juntas no início do processo e A deve preceder B? 
 
b) Quantas sequências de etapas podem ser delineadas se A e B devem 
ficar juntas, em qualquer ordem, e não necessariamente no início do 
processo? 
 
6. Qual é a soma de todos os números de cinco algarismos distintos que 
podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
Capítulo 3 
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1. Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. 
De quantas formas ele poderá escolher essas 10 questões? 
 
2. Sobre uma circunferência são marcados nove pontos distintos. Quantos 
triângulos podem ser construídos utilizando-oscomo vértice? 
 
3. Quantas são as diagonais de um polígono convexo de n lados? 
 
4. Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas com um grupo 
de sete pessoas? 
 
5. Numa experiência na aula de química, um professor coloca à disposição 
de seus alunos seis substâncias: cloro (Cl), potássio (K), cálcio (Ca), 
chumbo (Pb), água (H2O) e cobre (Cu). Os alunos devem selecionar três 
dessas substâncias e usar 1mL de cada uma para formar uma nova 
solução. Quantas são as possíveis escolhas? 
6. Ao sair de uma festa, dez amigos se despediram com um aperto de mão. 
Quantos apertos de mão foram trocados? 
 
7. Usando as cinco vogais e os algarismos de 0 a 9, quantos conjuntos de 
cinco elementos podemos formar, sendo duas letras diferentes e três 
algarismos distintos? 
 
8. Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade para seis 
doces cada uma. Sabendo-se que ele fabrica quinze tipos diferentes de 
doce, quantos tipos de embalagem, com seis doces diferentes, ele poderá 
organizar? 
 
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9. Considere sete pontos distintos sobre uma reta e quatro pontos também 
distintos sobre outra reta e quatro pontos também distintos sobre outra reta, 
paralela à primeira. Quantos triângulos podemos obter ligando três 
quaisquer desses onze pontos? 
 
 
10. Na Câmara Municipal de uma cidade, há nove vereadores. Sabendo 
que as desavenças entre dois desses vereadores os impedem de participar 
de uma mesma comissão, calcule de quantos modos pode ser constituída 
uma comissão de cinco vereadores. 
 
 
11. Desenvolva e depois simplifique os termos das seguintes potências: 
a) (1 − 5𝑝)ହ = 
 
b) (𝑥 − 𝑦)଺ = 
 
c) (2𝑎−2𝑏ଷ)ଷ = 
 
d) (௫³
ଶ
+ 2𝑥𝑦)ହ = 
 
12. Calcule o valor das expressões a seguir: 
a) ቀ30ቁ + ቀ
3
1ቁ + ቀ
3
2ቁ + ቀ
3
3ቁ = 
 
b) ቀ40ቁ + ቀ
4
1ቁ + ቀ
4
2ቁ − ቀ
4
3ቁ − ቀ
4
4ቁ = 
 
13. Simplifique: 
a) ቀ2 + 82 ቁ + ቀ
2 +8
2 +1ቁ − ቀ
2 + 8 + 1
8 ቁ = 
 
b) ቀ𝑟 + 𝑠𝑠 ቁ + ቀ
𝑟 + 𝑠
𝑠 + 1ቁ − ቀ
𝑟 + 𝑠 + 1
𝑟 ቁ = 
 
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14. Resolva as equações a seguir: 
a) ቀ4𝑒 + 26 ቁ = ቀ
4𝑎 + 1
𝑎 + 1 ቁ + ቀ
4𝑎 + 1
𝑎 + 2 ቁ 
 
b) ቀ6𝑡ቁ = ቀ
4
2𝑡ቁ 
 
15. Usando a definição de número binomial, mostre que as igualdades são 
verdadeiras: 
a) ቀ𝑛𝑘ቁ = ቀ
𝑛
𝑛 − 𝑘ቁ 
 
 
b) ቀ𝑛𝑘ቁ + ቀ
𝑛
𝑘 + 1ቁ = ቀ
𝑛 + 1
𝑘 + 1ቁ 
 
 
c) 𝑘 ∙ ቀ𝑛𝑘ቁ = 𝑛 ∙ ቀ
𝑛 − 1
𝑘 − 1ቁ 
 
d) ଵ
௞ାଵ
∙ ቀ𝑛𝑘ቁ =
ଵ
௡ାଵ
∙ ቀ𝑛 + 1𝑘 + 1ቁ 
 
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1. Uma urna contém três oblas vermelhas e cinco bolas azuis. De quantas 
maneiras diferentes podemos retirar três bolas de modo que não saiam 
somente bolas vermelhas? 
 
2. Em um congresso de educação, há seis professores de física e seis de 
matemática. Quantas comissões de cinco professores podem ser formadas, 
havendo em cada uma dois professores de matemática e três de física? 
 
3. Quantos triângulos podem ser determinados por oito pontos num plano, 
não havendo três colineares? 
 
4. Duas retas r e s são paralelas. Se temos cinco pontos distintos em r e 
sete pontos distintos em s, quantos triângulos distintos poderemos formar 
com esses pontos? 
 
5. No final de uma festa, alguns amigos se despediram trocando, ao todo, 
28 apertos de mão. Sabendo-se que cada um deles cumprimentou todos os 
outros, quantos amigos estavam na festa? 
 
Capítulo 4 
1. Aplicando o cálculo da soma dos elementos de uma mesma coluna, 
obtenha o valor da expressão a seguir: 
ቀ66ቁ + ቀ
7
6ቁ + ቀ
8
6ቁ + ቀ
9
6ቁ + ቀ
10
6 ቁ
ቀ115 ቁ
− 2 = 
 
2. Determine a soma de todos os elementos do triângulo de Pascal até a 
linha 7. 
 
 
 
3. Determine o coeficiente do termo em 𝑎ହ no desenvolvimento da 
expressão (𝑎 + 1)ହ + (𝑎 + 1)଺ + (𝑎 + 1)଻. 
 
 
4. Desenvolva as potências abaixo: 
a) (𝑎 + 2)ଷ 
 
b) (𝑝𝑞 − 𝑝𝑟 )ସ 
 
c) (2௫ − 1)ହ 
 
d) (𝑒௫ − 𝑥)ଷ 
 
5. Determine a soma dos coeficientes dos termos obtidos no 
desenvolvimento dos binômios: 
a) (𝑥 + 𝑦)ହ Soma dos coeficientes: 
 
b) (𝑥 + 𝑦)ଵ଴ Soma dos coeficientes: 
 
c) (𝑥 + 𝑦)ଵସ Soma dos coeficientes: 
 
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1. Calcule ቀ61ቁ + ቀ
6
2ቁ + ቀ
6
3ቁ + ቀ
6
4ቁ + ቀ
6
5ቁ. 
 
 
2. Desenvolva os binômios: 
a) (2𝑥 + 3)ହ b) (𝑥ଶ − 3)ଷ 
 
 
3. Calcule o oitavo termo do desenvolvimento do binômio ൫√𝑥 − 𝑥൯
ଵଷ. 
4. Determine o coeficiente de 𝑥ଵଶ no desenvolvimento de (𝑥ଶ − 2𝑥)ଵ଴. 
 
 
5. Calcule o décimo primeiro termo do desenvolvimento dos binômios a 
seguir (segundo expoentes decrescentes de x): 
a) (𝑥 + 5𝑦)௡ 
 
b) (2𝑥 − 𝑦)ଵସ 
 
c) (𝑥 + 𝑦ିଵ)௡ 
 
6. Obtenha a soma da linha do triângulo de Pascal de acordo com as 
seguintes indicações: 
a) obtenha o desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)ସ 
 
b) substitua a e b por 1 no desenvolvimento obtido no item anterior. Qual é 
o valor da expressão? 
 
c) substitua a e b por 1 na expressão (𝑎 + 𝑏)ସ. O valor encontra é igual ao 
do item anterior? 
 
7. Encontre a soma dos coeficientes de (3𝑥 − 2𝑦)ଶ଻ 
 
8. Se a soma dos coeficientes de (3𝑥 + 1)௠ é 1.024, determine o valor de 
m. 
 
9. O coeficiente de x³ no desenvolvimento de ቀ3𝑥 + ଵ
ଷ
ቁ
ହ
 é: 
 
10. No desenvolvimento do binômio (𝑥 + 𝑎)଺, segundo as potências 
decrescentes de x, o termo central é 540𝑥ଷ. Nessas condições, o valor de a 
é: