Fisica matematica Barata

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Universidade de Sa˜o Paulo
Instituto de F´ısica
Departamento de F´ısica Matema´tica
2005
Curso de F´ısica-Matema´tica
Notas de Aula
Joa˜o Carlos Alves Barata
Versa˜o de 11 de abril de 2005
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Prefa´cio 13
Notac¸a˜o e Adverteˆncias 15
I´ndice
I Cap´ıtulos Introduto´rios 18
1 Noc¸o˜es Ba´sicas 19
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1 Operac¸o˜es ba´sicas com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Cardinalidade. Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.4 I´nfimos e Supremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.2 Corpos e Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.3 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.5 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.6 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-
domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3 Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . . . . . 62
1.3.1 Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.3.2 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 63
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . . . 71
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.6 To´picos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2
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1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 Espac¸os Vetoriais 86
2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.1 Sub-Espac¸os e Espac¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.2 Bases Alge´bricas de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.1.3 O Dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . 100
2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2.2 Formas Sesquilineares, Produtos Escalares e a Desigualdade de Cauchy-Schwarz 105
2.3 Normas em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espac¸os de Dimensa˜o Finita . . . . . . . . . . . 118
II To´picos de A´lgebra Linear 123
3 To´picos de A´lgebra Linear I 124
3.1 Rudimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2 Noc¸o˜es Ba´sicas sobre o Espectro de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.1 O Trac¸o de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3 Polinoˆmios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.4 Matrizes Diagonaliza´veis e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.4.1 Diagonalizac¸a˜o Simultaˆnea de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unita´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.6 O Teorema de Decomposic¸a˜o de Jordan e a Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . 164
3.6.1 Resultados Preparato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.6.2 O Teorema da Decomposic¸a˜o de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.6.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representac¸a˜o Canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.6.4 A Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4 To´picos de A´lgebra Linear II 182
4.1 Uma Topologia Me´trica em Mat (
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2 Exponenciais, Logaritmos e Func¸o˜es Anal´ıticas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 188
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4.2.1 A Exponenciac¸a˜o de Matrizes e os Grupos GL(
�
, n) e GL( � , n) . . . . . . . . 196
4.3 A Fo´rmula de Lie-Trotter e a Fo´rmula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.4 Aplicac¸o˜es Lineares em Mat (
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.5 A Fo´rmula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.6 A Fo´rmula de Duhamel e Algumas de suas Consequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . 214
III Equac¸o˜es Diferenciais 219
5 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias. Uma Introduc¸a˜o 220
5.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.1.1 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.1.2 To´picos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.2 Uma Se´rie de Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.2.1 Equac¸o˜es Ordina´rias de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.2.2 Equac¸o˜es Ordina´rias de Segunda Ordem. Exemplos de Interesse . . . . . . . . . 230
5.3 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.4 Discussa˜o sobre Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.4.1 Problemas de Valor Inicial. Patologias e Exemplos a se Ter em Mente . . . . . . 239
5.4.2 Teoremas de Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.4.3 Soluc¸o˜es Globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.4.4 Dependeˆncia Cont´ınua de Condic¸o˜es Iniciais e de Paraˆmetros . . . . . . . . . . . 247
6 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares 249
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2 Unicidade e Existeˆncia de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2.1 Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2.2 Existeˆncia. A Se´rie de Dyson .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.2.3 Propriedades de D(s, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.3 Equac¸o˜es com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.3.1 Alguns Exemplos e Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4 Teoria de Perturbac¸o˜es de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5 Mais sobre a Se´rie de Dyson. Produtos de Tempo Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.6 Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais Lineares no Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . 275
6.6.1 O Caso Anal´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
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6.6.2 Resoluc¸a˜o por Se´ries de Poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.6.3 Sistemas com Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.6.4 Sistemas com Pontos Singulares Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.7 Sistemas Provenientes de EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.7.1 Pontos Singulares Simples em EDO’s de Ordem m . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.7.2 Singularidades no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.7.3 Alguns Exemplos de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
7 Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Lineares no Plano Complexo 307
7.1 Soluc¸o˜es em Se´ries de Poteˆncias para Equac¸o˜es Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
7.1.1 A Equac¸a˜o do Oscilador Harmoˆnico Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
7.1.2 A Equac¸a˜o de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
7.1.3 A Equac¸a˜o de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.1.4 A Equac¸a˜o de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.1.5 A Equac¸a˜o de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.1.6 O Caso de Equac¸o˜es Regulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2 Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Singulares Regulares. O Me´todo de Frobenius . . . . . . . . . . . 324
7.2.1 Equac¸o˜es Singulares Regulares. O Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
7.2.2 A Equac¸a˜o de Euler Revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.2.3 A Equac¸a˜o de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.2.4 A Equac¸a˜o de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
7.2.5 A Equac¸a˜o Hipergeome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.2.6 A Equac¸a˜o Hipergeome´trica Confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.3 Algumas Equac¸o˜es Associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.3.1 A Equac¸a˜o de Legendre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
7.3.2 A Equac¸a˜o de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7.3.3 A Equac¸a˜o de Bessel Esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.A Prova da Proposic¸a˜o 7.1. Justificando os Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . 366
7.B Provando (7.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.C Justificando os Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.D Provando (7.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
7.E Porque λ deve ser um Inteiro Positivo na Equac¸a˜o de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . 373
8 Propriedades de Algumas Soluc¸o˜es de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias e Aplicac¸o˜es376
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8.1 Discussa˜o Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.1.1 Definic¸o˜es e Considerac¸o˜es Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.1.3 Fo´rmulas de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.1.4 Func¸o˜es Geratrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.2 Propriedades de Algumas Func¸o˜es Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.2.1 Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.2.2 Propriedades dos Polinoˆmios de Legendre Associados. Harmoˆnicos Esfe´ricos . . 394
8.2.3 Propriedades dos Polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
8.2.4 Propriedades dos Polinoˆmios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
8.2.5 Propriedades dos Polinoˆmios de Laguerre Associados . . . . . . . . . . . . . . . 411
8.2.6 Propriedades das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.2.7 Propriedades das Func¸o˜es de Bessel Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.3 Algumas Aplicac¸o˜es Selecionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.3.1 As Equac¸o˜es de Helmholtz e de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.3.2 O Problema da Corda Pendurada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.3.3 O Problema da Membrana Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
8.3.4 O Oscilador Harmoˆnico na Mecaˆnica Quaˆntica e a Equac¸a˜o de Hermite . . . . . 447
8.3.5 O A´tomo de Hidrogeˆnio e a Equac¸a˜o de Laguerre Associada . . . . . . . . . . . 448
8.A Provando (8.43) a` Forc¸a Bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
9 Introduc¸a˜o ao Problema de Sturm-Liouville 454
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9.2 O Problema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
9.2.1 Resolvendo o Problema de Sturm. A Func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . 460
9.2.2 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.3 O Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
9.4 Propriedades Ba´sicas dos Autovalores e das Autofunc¸o˜es de Problemas de Sturm-Liouville466
9.4.1 Realidade dos Autovalores. Ortogonalidade de Autofunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . 467
9.4.2 A Simplicidade dos Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.4.3 Condic¸o˜es Suficientes para a Positividade dos Autovalores . . . . . . . . . . . . 471
9.5 A Equac¸a˜o Integral de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
9.6 Uma Aplicac¸a˜o do Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
9.7 Comenta´rios Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
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9.7.1 O Problema de Sturm-Liouville Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
9.A Prova do Teorema 9.1. Existeˆncia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
9.B Prova da Proposic¸a˜o 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
9.C Comenta´rio Sobre o Determinante Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
9.D Auseˆncia de Autovalores em um Problema Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
9.E Demonstrac¸a˜o do Teorema 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
9.F Prova da Desigualdade (9.E.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
IV Grupos 496
10 Grupos. Alguns Exemplos 497
10.1 O Grupo de Permutac¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.1.1 Ciclos, Transposic¸o˜es e Transposic¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
10.2 Alguns Grupos Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
10.2.1 Os Grupos GL(n) e SL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
10.2.2 O Grupo de Borel e Grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
10.2.3 Grupos Associados a Formas Bilineares e Sesquilineares . . . . . . . . . . . . . . 511
10.2.4 Os Grupos Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
10.2.5 Os Grupos Unita´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
10.3 Os Grupos SO(2), SO(3), SU(2) e SL(
�
, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
10.3.1 Os Grupos SO(2), O(2), SO(1, 1) e O(1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
10.3.2 O Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
10.3.3 O Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
10.3.4 A Relac¸a˜o entre SO(3) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
10.3.5 O Grupo SL(
�
, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
10.4 Generalidades sobre os grupos SU(n) e SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
10.4.1 Os Grupos SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
10.4.2 O Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
10.4.3 Os Grupos SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
10.5 O Grupo Afim e o Grupo Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
10.6 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
10.6.1 O Espac¸o-Tempo, a Noc¸a˜o de Intervalo e a Estrutura Causal . . . . . . . . . . . 548
10.6.2 A Invariaˆncia do Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
8/1122
10.6.3 O Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
10.6.4 Alguns Sub-Grupos do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
10.6.5 A Estrutura do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
10.6.6 Os Geradores do Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
10.7 O Grupo de Poincare´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
10.8 SL(
�
, 2) e o Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
10.A Prova do Teorema 10.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
10.B Um Isomorfismo entre SL(
�
, 2)/{ � ,− � } e L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
11 Grupos de Lie e A´lgebras de Lie. Uma Breve Introduc¸a˜o 600
11.1 Variedades e Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
11.2 Breves Considerac¸o˜es sobre Grupos Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
11.3 Grupos de Lie Matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
11.3.1 Uma Topologia Me´trica em GL(
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
11.3.2 O Grupo de Lie GL(
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
11.3.3 Sub-Grupos Uniparame´tricos e seus Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
11.3.4 Sub-Grupos Uniparame´tricos e A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
11.3.5 Subgrupos Fechados de GL(
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
11.4 A Relac¸a˜o entre Grupos de Lie Matriciais e suas A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . 622
11.4.1 A´lgebras de Lie Nilpotentes, Solu´veis, Simples e Semi-Simples . . . . . . . . . . 623
11.4.2 Questo˜es sobre a Exponenciac¸a˜o de A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 627
11.4.3 Alguns Exemplos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
12 Uma Breve Introduc¸a˜o a` Teoria das Representac¸o˜es de Grupos 636
12.1 Representac¸o˜es de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
12.2 Representac¸o˜es Irredut´ıveis de SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
12.3 A Medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
12.4 Representac¸o˜es de Grupos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
12.5 O Teorema de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
V Topologia, Teoria da Medida e Integrac¸a˜o 656
13 Espac¸os Me´tricos 657
13.1 Me´tricas e Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
9/1122
13.2 Topologia de Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
13.3 Pseudo-Me´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
13.4 Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
13.4.1 Espac¸os de Sequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
13.A Algumas Desigualdades Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694
13.B Nu´meros reais e p-a´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
13.C Aproximac¸o˜es para pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
14 O Teorema do Ponto Fixo de Banach e Algumas de Suas Consequ¨eˆncias 709
14.1 O Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
14.1.1 Aplicac¸a˜o a Equac¸o˜es Nume´ricas. O Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . 712
14.1.2 Uma Generalizac¸a˜o do Teorema de Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . 716
14.2 As Equac¸o˜es Integrais de Fredholm e de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
14.3 Aplicac¸o˜es a` Teoria das Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
14.3.1 O Teorema de Picard-Lindelo¨f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
14.3.2 Generalizando o Teorema de Picard-Lindelo¨f. Soluc¸o˜es Globais . . . . . . . . . . 730
14.3.3 Um Teorema de Comparac¸a˜o de Soluc¸o˜es de EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . 731
14.4 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita e o Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . 735
14.4.1 O Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735
14.4.2 O Teorema da Func¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
14.A O Lema de Gro¨nwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741
15 Espac¸os Topolo´gicos e Espac¸os Mensura´veis. Definic¸o˜es e Propriedades Ba´sicas 742
15.1 Definic¸o˜es, Propriedades Elementares e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743
15.2 Algumas Construc¸o˜es Especiais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
15.2.1 Topologias e σ-a´lgebras Geradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
15.2.2 Bases de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752
15.2.3 Topologias e σ-a´lgebras Induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
15.2.4 Topologias e σ-a´lgebras Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760
15.3 Interior e Fecho de Conjuntos em Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760
15.3.1 Fecho de Conjuntos em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 764
16 Medidas 766
16.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766
10/1122
16.2 Medidas de Conjuntos. Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades Ba´sicas . . . . . . . . . . . 769
16.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . 773
17 A Medida de Lebesgue 782
17.1 A Construc¸a˜o da Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
17.1.1 A σ-a´lgebra de Borel em � e a Medida de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . 785
17.1.2 A Medida Produto e a Medida de Lebesgue em � n . . . . . . . . . . . . . . . . 788
17.2 Conjuntos de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
17.3 Bases de Hamel e a Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
18 Convergeˆncia, Pontos Limite e Pontos de Acumulac¸a˜o em Espac¸os Topolo´gicos 806
18.1 Primeiras Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
18.2 Espac¸os Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
18.3 O Limite do I´nfimo e o Limite do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
18.4 Redes e o Caso de Espac¸os Topolo´gicos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
18.4.1 Redes em Espac¸os Me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
19 Continuidade de Func¸o˜es em Espac¸os Topolo´gicos 818
19.1 Func¸o˜es Cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818
19.2 Outras Caracterizac¸o˜es do Conceito de Continuidade em Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . 820
19.2.1 Continuidade e Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
20 Elementos da Teoria da Integrac¸a˜o 824
20.1 Comenta´rios Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825
20.2 A Integrac¸a˜o no Sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827
20.2.1 A Integral de Riemann Impro´pria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837
20.2.2 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
20.3 A Integrac¸a˜o no Sentido de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
20.3.1 Func¸o˜es Mensura´veis e Func¸o˜es Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
20.3.2 A Integral de Lebesgue. Integrac¸a˜o em Espac¸os Mensura´veis . . . . . . . . . . . 850
20.3.3 A Integral de Lebesgue e sua Relac¸a˜o com a de Riemann . . . . . . . . . . . . . 860
20.3.4 Teoremas Ba´sicos sobre Integrac¸a˜o e Convergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
20.3.5 Alguns Resultados de Interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
20.4 Os Espac¸os Lp e Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
20.4.1 As Desigualdades de Ho¨lder e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871
11/1122
20.4.2 O Teorema de Riesz-Fischer. Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875
20.A Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
20.B Caracterizac¸o˜es e Propriedades de Func¸o˜es Mensura´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
20.C Prova do Lema 20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
20.D Demonstrac¸a˜o de (20.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
20.E A Equivaleˆncia das Definic¸o˜es (20.23) e (20.24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
20.F Prova do Teorema da Convergeˆncia Mono´tona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887
20.G Prova do Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
20.H Prova do Teorema da Convergeˆncia Dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
20.I Prova dos Teoremas 20.2 e 20.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
20.J Prova das Desigualdades de Ho¨lder e Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893
20.K Prova do Teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895
21 Alguns To´picos Especiais em Topologia e Ana´lise 898
21.1 Uma Coletaˆnea de Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898
21.2 A Noc¸a˜o de Topologia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
21.3 A Topologia Produto de Espac¸os Topolo´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
21.4 O Teorema da Categoria de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
21.5 Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907
21.5.1 Aproximac¸a˜o de Func¸o˜es Cont´ınuas por Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . 907
VI Ana´lise Funcional 913
22 Noc¸o˜es Ba´sicas Sobre Espac¸os de Hilbert 914
22.1 Aspectos Topolo´gicos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914
22.2 Aspectos Geome´tricos Ba´sicos de Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916
22.2.1 Bases Ortonormais Completas em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 921
22.3 Funcionais Lineares e o Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . 935
22.3.1 O Teorema da Representac¸a˜o de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
23 Operadores Lineares Limitados em Espac¸os de Banach e de Hilbert 939
23.1 Operadores Lineares em Espac¸os Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
23.1.1 Espac¸os de Banach de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
23.1.2 O Dual Topolo´gico de um Espac¸o de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
12/1122
23.1.3 O Teorema de Hahn-Banach e Algumas Consequ¨eˆncias do Mesmo . . . . . . . . 953
23.1.4 O Teorema de Banach-Steinhaus ou Princ´ıpio de Limitac¸a˜o Uniforme . . . . . . 959
23.1.5 O Teorema da Aplicac¸a˜o Aberta e o Teorema do Gra´fico Fechado . . . . . . . . 960
23.2 Operadores Limitados em Espac¸os de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
23.2.1 O Adjunto de um Operador em um Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 970
23.3 A´lgebras de Banach e A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
23.3.1 A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978
23.3.2 A Inversa de Operadores Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981
23.3.3 O Espectro de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 987
23.3.4 O Homomorfismo de Gelfand em A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997
23.3.5 Ra´ızes Quadradas de Operadores em A´lgebras de Banach . . . . . . . . . . . . . 1000
23.3.6 Elementos Positivos de A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
23.3.7 O Lema da Raiz Quadrada em espac¸os de Hilbert. A Decomposic¸a˜o Polar . . . 1005
23.4 Um Pouco sobre Estados e Representac¸o˜es de A´lgebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 1009
23.5 O Espectro de Operadores em Espac¸os de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019
23.6 Operadores Compactos em Espac¸os de Banach e de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
23.6.1 O Teorema Espectral para Operadores Compactos Auto-adjuntos . . . . . . . . 1040
23.7 O Teorema Espectral para Operadores Limitados Auto-adjuntos em Espac¸os de Hilbert 1048
23.7.1 O Ca´lculo Funcional Cont´ınuo e o Homomorfismo de Gelfand . . . . . . . . . . 1049
23.7.2 Generalizando o Ca´lculo Funcional Cont´ınuo. As Medidas Espectrais . . . . . . 1051
23.7.3 Medidas com Valores em Projec¸o˜esOrtogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061
23.7.4 Os Projetores Espectrais e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
23.7.5 A Relevaˆncia do Teorema Espectral para a F´ısica Quaˆntica (um pouco de F´ısica,
finalmente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
23.A Prova do Teorema 23.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
24 Noc¸o˜es de Estruturas Alge´bricas 1083
24.1 A´lgebras Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084
24.2 Ac¸a˜o de Uma A´lgebra Universal sobre uma Outra A´lgebra Universal (*) . . . . . . . . 1091
25 O Limite Indutivo de A´lgebras 1096
13/1122
Prefa´cio
intenc¸a˜o ba´sica destas Notas e´ fornecer a estudantes de F´ısica noc¸o˜es matema´ticas impor-
tantes para uma melhor compreensa˜o de desenvolvimentos modernos da F´ısica Teo´rica e da
Matema´tica.
De modo geral o texto e´ de leitura auto-suficiente, mas vez por outra algum estudo complementar
e´ sugerido. Estas Notas, pore´m, na˜o sa˜o substituto a` leitura dos bons livros sobre os assuntos aqui
tratados. Entretanto, procuramos apresentar (muitas vezes em exerc´ıcios!) o maior nu´mero poss´ıvel
de exemplos e contra-exemplos para as va´rias situac¸o˜es tratadas de modo a motivar melhor definic¸o˜es
e resultados, o que e´ menos comum em textos com tratamentos mais sistema´ticos. Parte do material
pode ser encontrada em diversas fontes, citadas na bibliografia, mas a apresentac¸a˜o e sua ordem sa˜o
pro´prias. Ha´ tambe´m nestas Notas demonstrac¸o˜es do pro´prio autor de resultados conhecidos que sa˜o,
por alguma raza˜o, dificilmente encontradas na literatura.
Fazemos notar que estas notas esta˜o ainda sendo trabalhadas e alguns cap´ıtulos e sec¸o˜es podem
vir a ser alterados, corrigidos ou acrescidos de material. Ale´m disso, novos cap´ıtulos sera˜o escritos. O
material ja´ presente e´, pore´m, u´til a todos aqueles que queiram iniciar-se nos assuntos aqui expostos.
Verso˜es atualizadas sera˜o colocadas na “rede” (no enderec¸o acima indicado) sempre que poss´ıvel.
O autor agradece a todos os que apresentarem sugesto˜es. Fabulosas somas em dinheiro sa˜o ofere-
cidas a todos aqueles que encontrarem erros no texto. Entre os ja´ aquinhoados encontram-se os Srs.
Matheus Grasselli, Alexandre T. Baraviera, Marcos V. Travaglia, Daniel Augusto Cortez, Djogo F. C.
Patra˜o, Cle´ber de Mico Muramoto, Katiu´scia Nadyne Cassemiro, Urbano Lopes Franc¸a Junior, Gus-
tavo Barbagallo de Oliveira, Priscila Vieira Franco Gondeck, Darielder Jesus Ribeiro, Henrique Scemes
Xavier, Daniel Augusto Turolla Vanzella, Leonardo Fernandes Dias da Motta, Krishnamurti Jose´ de
Andrade, Pedro Tavares Paes Lopes, Diego Cortegoso Asseˆncio, Fleury Jose´ de Oliveira Filho e Paulo
Henrique Reimberg, aos quais somos muito gratos.
As Sec¸o˜es 10.B, pa´gina 592, e 14.3.1, pa´gina 725, sa˜o de autoria de Daniel Augusto Cortez, a quem
especialmente agradecemos.
Joa˜o Carlos Alves Barata Sa˜o Paulo, 11 de abril de 2005.
Departamento de F´ısica Matema´tica do IFUSP
14/1122
“O comportamento de um f´ısico em relac¸a˜o a` Matema´tica e´ similar a de um ladra˜o inteligente em
relac¸a˜o ao co´digo penal: ele estuda apenas o suficiente para evitar punic¸o˜es”.
I. M. Gelfand (1913-).
“A mente na˜o e´ um vaso a ser repleto, mas uma tocha a ser acesa”.
Plutarco (46?-120).
“Talvez eu na˜o tenha tido eˆxito em fazer as coisas dif´ıceis tornarem-se fa´ceis, mas pelo menos eu nunca
fiz um assunto fa´cil tornar-se dif´ıcil”.
F. G. Tricomi (1897-1978).
“In science, self-satisfaction is death. Personal self-satisfaction is the death of the scientist. Collective
self-satisfaction is the death of the research. It is restlessness, anxiety, dissatisfaction, agony of mind
that nourish science”.
Jacques Lucien Monod (1910-1976), in New Scientist, 1976.
“Na˜o existe nenhuma categoria da Cieˆncia a` qual se possa dar o nome de Cieˆncia Aplicada. O que
existe sa˜o a Cieˆncia e as aplicac¸o˜es da Cieˆncia, intimamente ligadas, como frutos a` a´rvore que os
gerou”.
Louis Pasteur (1822-1895), in “Pourquoi la France n’a pas trouve´ d’hommes supe´rieurs au moment du
pe´ril”, Revue Scientifique (Paris, 1871).
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Notac¸a˜o e Adverteˆncias
Para facilitar a consulta e a leitura, listamos aqui sem muitos comenta´rios um pouco da notac¸a˜o
que empregaremos nestas Notas.
� Se z e´ um nu´mero complexo denotaremos seu complexo conjugado por z. A notac¸a˜o z∗ (mais
comum em textos de F´ısica) pode ocorrer mais raramente.
� O s´ımbolo A := B ou B =: A denota que A e´ definido pela expressa˜o B. O s´ımbolo A ≡ B indica
que A e B sa˜o duas notac¸o˜es distintas para o mesmo objeto.
� Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores reais com n componentes (ou seja, elementos
de � n) enta˜o definimos
〈x, y〉 � := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em � n.
� Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores complexos com n componentes (ou seja,
elementos de
�
n) enta˜o definimos
〈x, y〉 � := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se do produto escalar usual em
�
n.
� Se x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) sa˜o vetores complexos com n componentes (ou seja,
elementos de
�
n) enta˜o definimos
〈x, y〉 � := x1y1 + · · ·+ xnyn .
Trata-se de uma forma bilinear em
�
n.
� Mat( � , n) ou Mat(n, � ) designa o conjunto de todas as matrizes reais n × n. Mat( � , n) ou
Mat(n,
�
) designa o conjunto de todas as matrizes complexas n× n.
� Se A e´ um elemento de Mat( � , n) ou de Mat(
�
, n), enta˜o AT designa a matriz transposta de
A, ou seja, a matriz cujos elementos de matriz ij sa˜o
(
AT
)
ij
= Aji.
� Se A e´ um operador linear em um espac¸o vetorial complexo (com um certo produto escalar),
seu adjunto e´ denotado por A∗. Em textos de F´ısica e´ mais comum denota´-lo por A†, mas na˜o
usaremos isso aqui.
Assim, se A ∈ Mat( � , n), enta˜o A∗ sera´ a adjunta de A (em relac¸a˜o ao produto escalar usual,
acima). O elemento de matriz ij de A∗ sera´ (A∗)ij = Aji.
� Denotaremos o operador identidade agindo em um espac¸o vetorial (a matriz identidade, agindo
em um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita) pelo s´ımbolo � . Esse s´ımbolo tambe´m representara´ a
unidade de uma a´lgebra.
16/1122
� Designaremos um produto escalar entre dois vetores u e v sempre por 〈u, v〉 e nunca por (u, v),
para na˜o causar confusa˜o com a notac¸a˜o para par ordenado. Outra notac¸a˜o poss´ıvel e´ aquela
empregada frequ¨entemente em textos de Mecaˆnica Quaˆntica: 〈u | v〉, mas faremos raramente uso
dessa notac¸a˜o.
� Ainda sobre produtos escalares, seguiremos sempre a convenc¸a˜o dos textos de F´ısica: um produto
escalar em um espac¸o vetorial sobre os complexos e´ linear em relac¸a˜o ao segundo argumento e
antilinear em relac¸a˜o ao primeiro. Assim, se α e β sa˜o nu´meros complexos, teremos 〈αu, βv〉 =
αβ〈u, v〉. Textos de Matema´tica adotam por vezes a convenc¸a˜o oposta (ou mesmo ambas!).
� Sobre o emprego das palavras func¸a˜o, aplicac¸a˜o, mapeamento, mapa, funcional, operador, operac¸a˜o,
produto e forma, que por vezes causam perplexidade em estudantes, remetemos ao comenta´rio a`
pa´gina 23.
� Dado um conjunto X 6= ∅, denota-se por � (X) a colec¸a˜o de todos os sub-conjuntos de X. � (X)
e´ denominado o conjunto das partes de X.
� A topologia usual da reta real � sera´ denotada aqui por τ � .
� A σ-a´lgebra de Borel de � sera´ (quase sempre) denotada aqui por M[τ � ].
� A σ-a´lgebra dos sub-conjuntos de � mensura´veis por Lebesgue sera´ (quase sempre) denotada
aqui por MµL.
� Para x ∈ � , o s´ımbolo bxc designa o maior inteiro menor ou igual a x. O s´ımbolo dxe designa o
menor inteiro maior ou igual a x.
� Ha´ ainda nestas Notas um problema na˜o totalmente sanado quando ao conjunto dos nu´meros
naturais� . Em algumas sec¸o˜es adotou-se 0 ∈ � , ou seja, � = {0, 1, 2, 3, . . .} em outras,
adotou-se 0 6∈ � , ou seja, � = {1, 2, 3, . . .}. Esperamos que isso seja definitivamente corrigido
futuramente. Por ora, pedimos atenc¸a˜o ao leitor.
� O s´ımbolo 2 indica o fim de um enunciado. O s´ımbolo indica o fim de uma demonstrac¸a˜o. O
s´ımbolo 6 indica o fim do enunciado de um exerc´ıcio. O s´ımbolo ◊ indica o fim do enunciado de
um exemplo.
�
B(X) designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Banach X. B(H)
designa o conjunto de operadores limitados agindo em um espac¸o de Hilbert H.
� C(L) designa o conjunto de todas as func¸o˜es cont´ınuas (reais ou complexas, dependendo do caso),
definidas em L (na topologia que se estiver considerando em L).
� B(L) designa a colec¸a˜o de todos os conjuntos Borelianos de L (em relac¸a˜o a` topologia que se
estiver considerando em L). Bl(L) designa a colec¸a˜o de todas as func¸o˜es Borelianas (reais ou
complexas, dependendo do caso), definidas em L.
� O domı´nio de um operador T (agindo em um espac¸o de Banach ou de Hilbert) sera´ denotado
por D(T ) ou por Dom(T ). A imagem (“range”) de T sera´ denotada por R(T ) ou por Ran (T )
ou, mais raramente, por Im (T ), mas essa u´ltima notac¸a˜o pode causar confusa˜o com a da parte
17/1122
imagina´ria de um nu´mero complexo ou mesmo com a da parte imagina´ria de um operador agindo
em um espac¸o de Hilbert: Im (T ) := 1
2i
(T − T ∗).
Parte I
Cap´ıtulos Introduto´rios
18
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Ba´sicas
Conteu´do
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.1 Operac¸o˜es ba´sicas com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Cardinalidade. Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.1.4 I´nfimos e Supremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.2 Corpos e Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.3 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.5 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.2.6 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-
domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3 Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . 62
1.3.1 Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.3.2 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . 63
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . 65
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . 71
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.6 To´picos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
19
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 20/1122
ste cap´ıtulo introduto´rio pretende (re)apresentar ao leitor uma se´rie de noc¸o˜es matema´ticas
ba´sicas abrangendo rudimentos da teoria dos conjuntos e algumas estruturas alge´bricas. O
objetivo na˜o e´ um tratamento extensivo dos diversos assuntos, ja´ que va´rios deles sera˜o desen-
volvidos em cap´ıtulos futuros. Trata-se quase de um guia de consulta onde sa˜o apresentadas,
junto com exemplos simples, va´rias noc¸o˜es e definic¸o˜es ba´sicas que utilizaremos. O estudante deve
retornar a este cap´ıtulo sempre que necessa´rio.
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es
1.1.1 Operac¸o˜es ba´sicas com conjuntos
Partiremos do pressuposto de serem familiares as noc¸o˜es ba´sicas envolvendo conjuntos.
Sejam X e I conjuntos arbitra´rios na˜o-vazios e seja associado a cada α ∈ I um sub-conjunto Aα de
X. O conjunto I sera´ frequ¨entemente denominado conjunto ou famı´lia de ı´ndices. Vamos introduzir
alguma notac¸a˜o a ser usada em todas estas Notas. Definimos⋃
α∈I
Aα := {x ∈ X tal que x ∈ Aα para algum α ∈ I} (1.1)
e ⋂
α∈I
Aα := {x ∈ X tal que x ∈ Aα para todo α ∈ I}. (1.2)
Para A, B ⊂ X denotamos por A \B a chamada diferenc¸a entre os conjuntos A e B, a saber
A \B := {x ∈ X tal que x ∈ A mas x 6∈ B}. (1.3)
Por vezes usa-se a notac¸a˜o A−B para A \B. Para A ⊂ X denota-se por Ac o chamado complemento
de A em relac¸a˜o a X: Ac := X \A. Note-se que ao usar-se o s´ımbolo Ac deve estar subentendido qual
o conjunto X ao qual o complemento se refere. E´ fa´cil ver que se A, B ⊂ X enta˜o A \B = Bc ∩ A.
Dizemos que um conjunto B ⊂ A e´ um subconjunto pro´prio de A se A \B 6= ∅, ou seja, se houver
elementos em A que na˜o esta˜o em B.
Se A e B sa˜o conjuntos e A∩B = ∅ enta˜o A∪B e´ dita ser uma unia˜o disjunta de A e B. A mesma
nomenclatura se aplica para unio˜es gene´ricas
⋃
α∈I
Aα desde que Aα ∩ Aβ = ∅ para α 6= β.
Se X e´ um conjunto denota-se por
�
(X) a colec¸a˜o de todos os subconjuntos de X.
�
(X) e´ por
vezes chamado de conjunto das partes de X. Por convenc¸a˜o adota-se sempre que ∅ ∈ � (X). Assim,
dizer que A ⊂ X equivale a dizer A ∈ � (X).
E. 1.1 Exerc´ıcio. Sejam B ⊂ X e {Aα ⊂ X, α ∈ I} uma colec¸a˜o arbitra´ria de subconjuntos de X.
Prove as seguintes relac¸o˜es:
B \
(⋃
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
(B \ Aα) , B \
(⋂
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
(B \ Aα) , (1.4)
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 21/1122
(⋂
α∈I
Aα
)
\B =
⋂
α∈I
(Aα \B) ,
(⋃
α∈I
Aα
)
\B =
⋃
α∈I
(Aα \B) , (1.5)
B ∪
(⋂
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
(B ∪ Aα) , B ∩
(⋃
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
(B ∩ Aα) , (1.6)
B ∪
(⋃
α∈I
Aα
)
=
⋃
α∈I
(B ∪ Aα) , B ∩
(⋂
α∈I
Aα
)
=
⋂
α∈I
(B ∩ Aα) . (1.7)
As relac¸o˜es (1.7) sa˜o bastante o´bvias. As relac¸o˜es, (1.4) implicam(⋃
α∈I
Aα
)c
=
⋂
α∈I
(Aα)
c ,
(⋂
α∈I
Aα
)c
=
⋃
α∈I
(Aα)
c . (1.8)
6
Por A4B denota-se a chamada diferenc¸a sime´trica entre A e B:
A4B := (A ∪B) \ (A ∩B). (1.9)
E. 1.2 Exerc´ıcio. Mostre que A4B = B4A e que (A4B)4C = A4(B4C). 6
• Intervalos
Ainda na˜o introduzimos os nu´meros reais nem a relac¸a˜o de ordem entre eles mas, como essas noc¸o˜es
sa˜o conhecidas, vamos colocar aqui uma palavra sobre a nomenclatura usada para descrever intervalos
da reta real. Para a < b ∈ � o conjunto
(a, b) = {x ∈ � , com a < x < b}
e´ dito ser um intervalo aberto. Para a ≤ b ∈ � o conjunto
[a, b] = {x ∈ � , com a ≤ x ≤ b}
e´ dito ser um intervalo fechado. Para a < b ∈ � os conjuntos
[a, b) = {x ∈ � , com a ≤ x < b}
e
(a, b] = {x ∈ � , com a < x ≤ b}
sa˜o ditos ser intervalos semi-abertos (ou semi-fechados).E´ importante dizer que a nomenclatura “aberto” ou “fechado” acima e´ usada independentemente
da topologia usada em � (a noc¸a˜o de topologia sera´ introduzida adiante).
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 22/1122
• Pares Ordenados
Outro conceito importante que introduziremos e´ o de par ordenado. O conceito de par ordenado
(a, b) formado por dois elementos gene´ricos a, b ∈ X e´ intuitivo. A intuic¸a˜o e´ que entende-se como par
ordenado uma lista de dois elementos sendo que um deles assume a posic¸a˜o de “primeiro” elemento
da lista (no caso, a) e o outro a de “segundo” (no caso, b). Formalmente define-se (a, b) como sendo
o conjunto {a, {b}}. Esta definic¸a˜o formal corresponde a` intuic¸a˜o pois, no conjunto C = {a, {b}}, ha´
uma distinc¸a˜o entre o papel de a e de b, dado que a e´ um elemento do conjunto C, enquanto que b
e´ um elemento de um subconjunto de C, a saber do conjunto C \ {a}. Apesar de existir a definic¸a˜o
formal acima, recomenda-se ao estudante fiar-se inicialmente na intuic¸a˜o por tra´s do conceito.
Dados dois conjuntos A e B definimos por A × B o conjunto de todos os pares ordenados (a, b)
sendo a ∈ A e b ∈ B. O conjunto A× B e´ chamado de produto Cartesiano1 de A e B. Note que, em
geral, A× B 6= B × A. Por queˆ?
1.1.2 Relac¸o˜es e Func¸o˜es
• Relac¸o˜es
Sejam A e B conjuntos e seja o produto Cartesiano A × B. Um subconjunto de A× B e´ dito ser
uma relac¸a˜o bina´ria, ou simplesmente relac¸a˜o entre A e B.
Exemplo. Seja A o conjunto de homens vivos e B o conjunto de mulheres vivas e seja R ⊂ A× B
o conjunto R := {(a, b), a e´ irma˜o de b}. R representa uma relac¸a˜o (de irmandade) entre homens e
mulheres.
Outros exemplos vira˜o abaixo.
Dada uma relac¸a˜o G ⊂ A×B entre conjuntos A e B ha´ duas noc¸o˜es importantes associadas: a de
domı´nio da relac¸a˜o e a de imagem da relac¸a˜o. Define-se por domı´nio de G o conjunto
Dom(G) := {a ∈ A tal que (a, b) ∈ G para algum b ∈ B}. (1.10)
Define-se por imagem de G o conjunto
Im(G) := {b ∈ B tal que (a, b) ∈ G para algum a ∈ A}. (1.11)
Note-se que Dom(G) ⊂ A e que Im(G) ⊂ B.
• Func¸o˜es
Este e´ talvez o mais importante exemplo de relac¸a˜o. Sejam A e B conjuntos e F uma relac¸a˜o entre
A e B. Enta˜o, a relac¸a˜o F e´ dita ser uma func¸a˜o de A em B se Dom(F ) = A e se (a, b) ∈ F e
(a, b′) ∈ F so´ for poss´ıvel caso b = b′. Em outras palavras, a cada elemento a de A a func¸a˜o associa um
e apenas um elemento b de B que faz o papel de segundo elemento do par ordenado (a, b). Este segundo
1Assim chamado em honra a Rene´ Descartes (1596-1650). O adjetivo Cartesiano provem da latinizac¸a˜o de seu nome
como Cartesius.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 23/1122
elemento associado pela func¸a˜o F ao elemento a, e´ mais conveniente denota´-lo por F (a). Assim, uma
func¸a˜o e´ o conjunto de pares {(a, F (a)) ∈ A×B, a ∈ A}. Frequ¨entemente denotamos uma func¸a˜o F
de A em B por F : A→ B.
• Aplicac¸o˜es, Mapeamentos, Mapas, Funcionais, Operadores, Operac¸o˜es, Produtos etc.
Muito frequ¨entemente usam-se as palavras aplicac¸a˜o, mapeamento, mapa, funcional, operador,
operac¸a˜o, produto, transformac¸a˜o, forma, e talvez ainda outras, para designar certos tipos de func¸o˜es
entre conjuntos. Essa abundaˆncia de palavras causa frequ¨entemente confusa˜o e mesmo perplexidade
em estudantes rece´m-iniciados mas, em esseˆncia, todos esses objetos sa˜o func¸o˜es, no sentido abstrato
que definimos acima.
O que difere seu uso e´ por vezes a tradic¸a˜o de certas a´reas e os tipos de conjuntos que as func¸o˜es
teˆm como domı´nio e imagem. A palavra “func¸a˜o”, propriamente, e´ mais frequ¨entemente empregada
quando se trata de func¸o˜es nume´ricas, por exemplo de � em � ou de
�
em
�
. A palavra “funcional”2
e´ frequ¨entemente empregada quando se trata de func¸o˜es que levam vetores ou func¸o˜es nume´ricas em
nu´meros. Um exemplo de funcional e´ a func¸a˜o que leva func¸o˜es reais f nas suas integrais no intervalo
[0, 1]: f 7→ ∫ 1
0
f(x)dx. A palavra “operador” tipicamente designa func¸o˜es lineares entre espac¸os
vetoriais (como as matrizes). “Produtos” ou “operac¸o˜es” frequ¨entemente designam func¸o˜es de C × C
em C, para um conjunto C qualquer. A palavra “forma” por vezez designa certas func¸o˜es de V × V
em � ou
�
, sendo V um espac¸o vetorial. As palavras “aplicac¸a˜o”, “mapa” e “mapeamento” sa˜o
frequ¨entemente empregadas para designar func¸o˜es em a´reas como Topologia, Geometria Diferencial ou
Sistemas Dinaˆmicos.
Certas palavras sa˜o empregadas para designar certas func¸o˜es com propriedades especiais. Um
“homeomorfismo”, por exemplo, e´ uma func¸a˜o bijetora entre dois espac¸os topolo´gicos que seja cont´ınua
e cuja inversa seja tambe´m cont´ınua. Um “difeomorfismo” e´ um homeomorfismo entre duas variedades
diferencia´veis que seja infinitamente diferencia´vel. Ha´ ainda va´rios outros “morfismos”, como discutido
na Sec¸a˜o 1.2.6, a` pa´gina 60.
Em verdade, e´ conveniente dispormos por vezes de uma certa variedade de palavras diferentes
simplesmente para evitarmos o emprego mono´tono e descolorido da palavra “func¸a˜o”. Com um pouco
de ironia, lembremos por fim a definic¸a˜o circular de Edward Teller: “An intelectual is someone who
thinks the same things and uses the same words as other intelectuals”.
• Func¸o˜es Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
Uma func¸a˜o F : A → B e´ dita ser sobrejetora se Im(F ) = B. Uma func¸a˜o F : A → B e´ dita
ser injetora ou injetiva se a cada b ∈ Im(F ) existir um e somente um elemento a ∈ Dom(F ) tal que
(a, b) ∈ F . Uma func¸a˜o que for sobrejetora e injetora e´ dita ser bijetora.
Seja uma func¸a˜o bijetora F ⊂ A× B. Enta˜o, a relac¸a˜o F−1 ⊂ B × A dada por
F−1 = {(b, a) tal que (a, b) ∈ F}
e´ em verdade uma func¸a˜o denominada func¸a˜o inversa de F . E´ claro que (F−1)−1 = F .
2A palavra “funcional” foi empregada pela primeira vez na Matema´tica por Jacques Salomon Hadamard (1865-1963).
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 24/1122
• Imagens e pre´-imagens de func¸o˜es
Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Se A ⊂ X, definimos
f(A) := {y ∈ Y | y = f(x) para algum x ∈ A}.
Se B ⊂ Y , definimos
f−1(B) := {x ∈ X| f(x) ∈ B}.
f(A) e´ dita ser a imagem de A por f e f−1(B) e´ dita ser a pre´-imagem de B por f .
O uso do s´ımbolo f−1 para designar pre´-imagem f−1(B) de um conjunto B e´ uma escolha infeliz
(mas universalmente aceita), pois pode causar confusa˜o com a noc¸a˜o de func¸a˜o inversa de f , que pode
na˜o estar definida. O estudante deve estar atento.
As seguintes proposic¸o˜es sa˜o importantes e frequ¨entemente usadas:
Proposic¸a˜o 1.1 Seja f : X → Y uma func¸a˜o e seja Λ um conjunto de ı´ndices. Se Aλ ⊂ X para todo
λ ∈ Λ, enta˜o
f
(⋃
λ∈Λ
Aλ
)
=
⋃
λ∈Λ
f(Aλ) , (1.12)
mas
f
(⋂
λ∈Λ
Aλ
)
⊂
⋂
λ∈Λ
f(Aλ) . (1.13)
Se Bλ ⊂ Y para todo λ ∈ Λ, enta˜o
f−1
(⋃
λ∈Λ
Bλ
)
=
⋃
λ∈Λ
f−1(Bλ) , (1.14)
e
f−1
(⋂
λ∈Λ
Bλ
)
=
⋂
λ∈Λ
f−1(Bλ) . (1.15)
2
A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio.
Em (1.13) na˜o pode provar a igualdade entre f
(⋂
λ∈ΛAλ
)
e
⋂
λ∈Λ f(Aλ) e a raza˜o e´ a seguinte: se
y ∈ ⋂λ∈Λ f(Aλ) enta˜o y ∈ f(Aλ) para todo λ ∈ Λ. Assim, em cada Aλ existe um xλ com y = f(xλ).
Mas pode ocorrer que em
⋂
λ∈ΛAλ na˜o exista nenhum elemento x com y = f(x). O seguinte exemplo
ilustra isso. Seja f(x) = x2 definida em [−1, 1]. Tomemos A1 = [−1, 0], A2 = [0, 1]. Enta˜o,
f(A1) = [0, 1] e f(A2) = [0, 1]. Portanto, f(A1)∩ f(A2) = [0, 1]. Pore´m, f(A1 ∩A2) = f({0}) = {0}.
apesar disso, vale o seguinte:
Proposic¸a˜o 1.2 Se f : X → Y e´ injetora enta˜o, se Aλ ⊂ X para todo λ ∈ Λ, vale
f
(⋂
λ∈Λ
Aλ
)
=
⋂
λ∈Λ
f(Aλ) . (1.16)
2
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´ticaVersa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 25/1122
A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio.
Em relac¸a˜o a`s operac¸o˜es de complemento e diferenc¸a de conjuntos temos o seguinte:
Proposic¸a˜o 1.3 Se f : X → Y e´ uma func¸a˜o e B, C ⊂ Y , enta˜o
f−1(Bc) =
(
f−1(B)
)c
,
f−1(B \ C) = f−1(B) \ f−1(C) .
Aqui, Bc = Y \B. Fora isso, se f : X → Y e´ uma func¸a˜o injetora e sobrejetora e A, B ⊂ X, enta˜o
f(Ac) = (f(A))c ,
f(A \B) = f(A) \ f(B) .
Aqui, Ac = X \ A. 2
A demonstrac¸a˜o e´ elementar e e´ deixada como exerc´ıcio.
• Extenso˜es de Func¸o˜es
Seja F : A → B uma func¸a˜o e suponha que A seja subconjunto de um outro conjunto A′. Uma
func¸a˜o G : A′ → B e´ dita ser uma extensa˜o de F se F e G coincidirem na parte comum de seus
domı´nios, que vem a ser o conjunto A, ou seja, se G(a) = F (a) para todo a ∈ A.
Se lembrarmos que uma func¸a˜o F : A→ B e´ um subconjunto de A×B e que uma func¸a˜oG : A′ → B
e´ um subconjunto de A′ × B e se notarmos que A × B ⊂ A′ × B caso A ⊂ A′, enta˜o uma definic¸a˜o
alternativa de extensa˜o seria seguinte: uma func¸a˜o G e´ uma extensa˜o de uma func¸a˜o F se F ⊂ G,
ambas entendidas como subconjuntos de A′ ×B.
E. 1.3 Exerc´ıcio. Verifique a equivaleˆncia dessas duas definic¸o˜es do conceito de extensa˜o de func¸o˜es. 6
Como veremos, o conceito de extensa˜o de func¸o˜es e´ frequ¨entemente empregado na teoria dos ope-
radores lineares em espac¸os de Hilbert.
• Relac¸o˜es de Equivaleˆncia
Outro tipo importante de relac¸a˜o e´ formado pelas chamadas relac¸o˜es de equivaleˆncia. Uma relac¸a˜o
E ⊂ A×A e´ dita ser uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em um conjunto na˜o-vazio A se os seguintes quesitos
forem satisfeitos:
1. (a, a) ∈ E para todo a ∈ A.
2. (a, b) ∈ E implica que (b, a) ∈ E.
3. (a, b) ∈ E e (b, c) ∈ E implicam que (a, c) ∈ E.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 26/1122
Se o par (a, b) pertence a uma relac¸a˜o de equivaleˆncia E enta˜o a e b sa˜o ditos serem equivalentes
segundo E. Quase sempre usa-se a notac¸a˜o a
E∼ b, ou simplesmente a ∼ b, para indicar que dois
elementos sa˜o equivalentes segundo uma relac¸a˜o de equivaleˆncia dada.
Seja A um conjunto e E ⊂ A × A uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Para cada a ∈ A podemos
definir o conjunto
E(a) := {a′ ∈ A tal que (a, a′) ∈ E}. (1.17)
Esse conjunto e´ chamado de classe de equivaleˆncia de a (pela relac¸a˜o de equivaleˆncia E).
E. 1.4 Exerc´ıcio. Seja A um conjunto e E ⊂ A×A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. Suponha que
a, b ∈ A e que a ∼ b segundo E. Prove que E(a) = E(b). 6
E. 1.5 Exerc´ıcio importante. Prove que se A e´ um conjunto e E ⊂ A×A e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia
em A enta˜o A e´ a unia˜o disjunta de classes de equivaleˆncia de seus elementos. 6
E. 1.6 Exerc´ıcio. Seja o conjunto dos nu´meros reais � e seja a relac¸a˜o W ⊂ � × � definida por
W := {(x, y) ∈ � × � tal que x− y ∈ � }, (1.18)
onde � e´ o conjunto dos nu´meros racionais. Prove que W e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. 6
• Relac¸o˜es de Compatibilidade
Seja P um conjunto. Uma relac¸a˜o de compatibilidade em P e´ um conjunto C ⊂ P × P com as
seguintes propriedades:
1. Se γ e γ′ sa˜o tais que (γ, γ ′) ∈ C, enta˜o (γ′, γ) ∈ C.
2. Para todo γ ∈ P vale (γ, γ) 6∈ C.
Para uma dada relac¸a˜o de compatibilidade C denotamos γ∼C γ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos que
γ e γ′ sa˜o C-compat´ıveis. Caso contra´rio, denotamos γ 6∼C γ′ se (γ, γ′) 6∈ C e dizemos que γ e γ ′ sa˜o
C-incompat´ıveis.
Se uma dada relac¸a˜o C e´ subentendida, denotamos simplesmente γ ∼ γ ′ caso (γ, γ′) ∈ C e dizemos
simplesmente que γ e γ ′ sa˜o compat´ıveis.
Relac¸o˜es de compatibilidade sa˜o importantes na Mecaˆnica Estat´ıstica, especialmente nas chamadas
expanso˜es de pol´ımeros e de “clusters”.
Exemplo. Seja X um conjunto na˜o-vazio e P =
�
(X) \ {∅}, a colec¸a˜o de todos os subconjuntos
na˜o-vazios de X. Uma relac¸a˜o de compatibilidade em P e´ a seguinte: A ∼ B ⇐⇒ A ∩ B = ∅.
Verifique.
• Relac¸o˜es de Ordem
Seja X um conjunto. Uma relac¸a˜o R ⊂ X ×X e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem parcial em X se as
seguintes condic¸o˜es forem satisfeitas:
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 27/1122
1. Para todo a ∈ X tem-se que (a, a) ∈ R.
2. Se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R enta˜o forc¸osamente a = b.
3. Se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R enta˜o (a, c) ∈ R.
Se X possui uma ordem parcial R, X e´ chamado de conjunto parcialmente ordenado por R.
Exemplo. Seja X um conjunto e
�
(X) a colec¸a˜o de todos os sub-conjuntos de X. Podemos estabe-
lecer em
�
(X) uma relac¸a˜o R do seguinte tipo: para A, B ⊂ X tem-se (A, B) ∈ R se A ⊂ B. Como
exerc´ıcio deixamos ao estudante mostrar que esta e´ uma relac¸a˜o de ordem parcial de acordo com a
definic¸a˜o acima. Este exemplo ilustra tambe´m por que chamar tal relac¸a˜o de ordem de “parcial”. A
raza˜o e´ que nem todo par (A, B) e´ elemento de R pois, para dois conjuntos A e B arbitra´rios, nem
sempre vale que A ⊂ B ou que B ⊂ A (por exemplo se A ∩ B = ∅).
Em func¸a˜o da analogia com essa relac¸a˜o de ordem usual dos nu´meros reais e´ costume, dada uma
relac¸a˜o de ordem R qualquer, indicar que (a, b) ∈ R atrave´s da notac¸a˜o a ≤ b. Note que o s´ımbolo de
“menor ou igual” (≤) e´ usado nesse contexto mesmo que a e b na˜o sejam nu´meros. Por vezes usaremos
tambe´m o s´ımbolo � para indicar uma relac¸a˜o de ordem.
• Relac¸o˜es de Ordem Total
Outro conceito importante e´ o de relac¸a˜o de ordem total. Uma ordem parcial R em um conjunto X
e´ dita ser uma relac¸a˜o de ordem total se para todo a, b ∈ X tem-se que (a, b) ∈ R ou que (b, a) ∈ R.
Se X possui uma relac¸a˜o de ordem total R enta˜o X e´ dito ser totalmente ordenado ou linearmente
ordenado. Assim, se X e´ um conjunto dotado de uma relac¸a˜o de ordem parcial enta˜o dizemos que um
sub-conjunto A ⊂ X e´ linearmente ordenado se a ≤ b ou b ≤ a para todo a, b ∈ A.
• Exemplos
Exemplo. Seja � o conjunto de nu´meros reais e a relac¸a˜o de ordem (x, y) ∈ R se x − y for um
nu´mero negativo ou nulo (ou seja, se x ≤ y). Mostre que essa e´ uma relac¸a˜o de ordem total em � .
Contra-exemplo. Seja C um conjunto na˜o-vazio qualquer. Enta˜o,
�
(C) e´ ordenado pela inclusa˜o de
conjuntos: A ≤ B se A ⊂ B. Pore´m � (C) na˜o e´ linearmente ordenado pois se A ∩B = ∅ na˜o podemos
dizer que A ≤ B nem que B ≤ A.
E. 1.7 Exerc´ıcio. Voceˆ consegue construir uma relac¸a˜o de ordem em � 2 ou em � 3? E uma relac¸a˜o de
ordem total? 6
• Mais Exemplos
Seja o conjunto dos nu´meros naturais � . Podemos estabelecer em � a relac¸a˜o de ordem usual onde
dizemos que x ≤ y se x − y for um nu´mero negativo ou nulo. Esta relac¸a˜o e´ uma relac¸a˜o de ordem
total. O leitor na˜o deve pensar que essa e´ a u´nica relac¸a˜o de ordem total existente em � . Um outro
exemplo e´ o seguinte.
Vamos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem em � que denotaremos pelo s´ımbolo �p−i. Sejam a,
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 28/1122
b ∈ � . Se a e b forem pares dizemos que a �p−i b se a ≤ b. Se a e b forem ı´mpares dizemos que a �p−i b
se a ≤ b. Se a e´ par e b e´ ı´mpar enta˜o dizemos sempre que a �p−i b.
E. 1.8 Exerc´ıcio. Mostre que a relac¸a˜o �p−i estabelece uma relac¸a˜o de ordem total em � . 6
Um exemplo ana´logo pode ser constru´ıdo em � . Vamos estabelecer uma relac¸a˜o de ordem em �
que denotaremos pelo s´ımbolo �r−i. Sejam x, y ∈ � . Se x e y forem racionais dizemos que x �r−i y se
x ≤ y. Se x e y forem irracionais dizemos que x �r−i y se x ≤ y. Se x e´ racional e y e´ irracional enta˜o
dizemos sempre que x �r−i y.
E. 1.9 Exerc´ıcio. Mostre que a relac¸a˜o �r−i estabelece uma relac¸a˜o de ordem total em � . 6
• Ordem Lexicogra´fica
E´ poss´ıvel estabelecer uma relac¸a˜o de ordem total em � 2 da seguinte forma: dizemos que (x1, x2) �L
(y1, y2) se x1 < y1 ouse x1 = y1 e x2 ≤ y2. Essa relac¸a˜o de ordem e´ denominada relac¸a˜o de ordem
lexicogra´fica de � 2.
Essa definic¸a˜o pode ser facilmente generalizada. Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma
relac¸a˜o de ordem total �X . Enta˜o, Xn pode ser totalmente ordenado dizendo-se (x1, . . . , xn) �L
(y1, . . . , yn) se houver um j, j ∈ {1, . . . , n}, tal que xi = yi para todo i < j e xj �X yj.
Seja X um conjunto totalmente ordenado por uma relac¸a˜o de ordem total �X e seja Seja X =⋃∞
n=1X
n. Podemos estabelecer em X uma ordem total �X, tambe´m denominada lexicogra´fica, da
seguinte maneira. Sejam m, n ∈ � e p = min{m, n}. Enta˜o, dizemos (x1, . . . , xm) �X (y1, . . . , yn) se
(x1, . . . , xp) �L (y1, . . . , yp) no sentido dado no para´grafo anterior, ou se (x1, . . . , xp) = (y1, . . . , yp),
mas m < n.
E. 1.10 Exerc´ıcio. Por que essas relac¸o˜es de ordem sa˜o denominadas “lexicogra´ficas”? Pense na maneira
como palavras (de tamanho arbitra´rio!) sa˜o ordenadas em um diciona´rio. 6
Podemos ainda estender a definic¸a˜o de ordem lexicogra´fica. Seja X um conjunto totalmente orde-
nado por uma relac¸a˜o de ordem total �X e seja Y um conjunto totalmente ordenado por uma relac¸a˜o
de ordem total �Y . Enta˜o, XY pode ser totalmente ordenado dizendo-se XY 3 x �L y ∈ XY se houver
um j ∈ Y , tal que x(i) = y(i) para todo i �Y j e x(j) �X y(j).
Exemplo. Sejam f, g, duas func¸o˜es de � em � . Dizemos que f �L g se existir y ∈ � tal que
f(x) = g(x) para todo x < y mas f(y) ≤ g(y). Lembrando que o conjunto de todas as func¸o˜es de �
em � e´ �
�
, veˆ-se que essa definic¸a˜o coincide com a dada acima.
• Conjuntos Dirigidos
Um conjunto I e´ dito ser um conjunto dirigido (“directed set”) se for dotado de uma relac¸a˜o de
ordem parcial, que denotaremos por “�”, e se for dotado da seguinte propriedade: para quaisquer dois
elementos a e b de I existe pelo menos um terceiro elemento c ∈ I tal que a � c e b � c.
Exemplo. � e´ um conjunto dirigido com a relac¸a˜o de ordem usual.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 29/1122
Exemplo. � e´ um conjunto dirigido com a relac¸a˜o de ordem �r−i definida acima.
Exemplo. Seja o conjunto � n, n = 1, 2, . . ., e seja I o conjunto de todos os abertos limitados de � n
(um conjunto e´ limitado se for subconjunto de alguma bola aberta de raio finito centrada na origem).
Mostre que I e´ um conjunto dirigido pela relac¸a˜o de ordem de inclusa˜o: A � B se A ⊂ B. Note que
essa relac¸a˜o de ordem na˜o e´ uma relac¸a˜o de ordem total.
Contra-Exemplo. Seja X um conjunto na˜o-vazio e seja I =
�
(X) \ {X}, ou seja, I e´ a colec¸a˜o
de todos os subconjuntos de X, exceto o pro´prio X. Podemos ter em I uma relac¸a˜o de ordem (de
inclusa˜o) dizendo que A � B se A ⊆ B. Notemos, pore´m, que I na˜o e´ um conjunto dirigido pois
para A ∈ I, A 6= ∅ temos X \ A ∈ I mas na˜o existe em I nenhum conjunto que contenha A e X \ A
simultaneamente como subconjuntos.
Exemplo. Causalidade de Einstein. Seja � 4 o espac¸o-tempo quadri-dimensional de Minkowski e
sejam E0 = (t0, x0, y0, z0) e E1 = (t1, x1, y1, z1) dois eventos em �
4. Dizemos que o evento E0 precede
causalmente o evento E1, (em notac¸a˜o simbo´lica E0 �Einstein E1), se t0 ≤ t1 e se
c2(t1 − t0)2 − (x1 − x0)2 − (y1 − y0)2 − (z1 − z0)2 ≥ 0 ,
onde c e´ a velocidade da luz.
E. 1.11 Exerc´ıcio. Mostre que �Einstein e´ uma relac¸a˜o de ordem em � 4 e que � 4 e´ um conjunto dirigido
por essa relac¸a˜o. 6
• Ma´ximos e Mı´nimos
Se X e´ um conjunto dotado de uma relac¸a˜o de ordem parcial (que denotamos, enta˜o por �) diz-se
que um elemento z ∈ X e´ um ma´ximo de X se a � z para todo a ∈ X. Um elemento z ∈ X e´ dito ser
maximal se na˜o existir x ∈ X, x 6= z tal que z � x.
Analogamente, um elemento a e´ dito ser um mı´nimo de X se a � x para todo x ∈ X. Um elemento
a ∈ X e´ dito ser minimal se na˜o existir x ∈ X, x 6= a tal que x � a.
Notac¸a˜o. Se A possuir um ma´ximo e este for u´nico denotamoˆ-lo por max(A). Igualmente, se A possuir
um mı´nimo e este for u´nico denotamo-lo por min(A).
Um conjunto X dotado de uma relac¸a˜o parcial de ordem � e´ dito ser um conjunto bem-ordenado
se todo subconjunto A na˜o vazio de X tem um elemento mı´nimo em A.
E. 1.12 Exerc´ıcio. Mostre que todo conjunto bem-ordenado segundo uma relac¸a˜o parcial de ordem e´
tambe´m totalmente ordenado segundo a mesma relac¸a˜o. 6
E. 1.13 Exerc´ıcio. A rec´ıproca na˜o e´, entretanto, verdadeira. Mostre que � e´ totalmente ordenado pela
relac¸a˜o usual de ordem entre nu´meros reais, mas na˜o e´ um conjunto bem-ordenado. 6
E. 1.14 Exerc´ıcio. Mostre que o conjunto dos nu´meros naturais � e´ bem ordenado. 6
• Majorantes e Minorantes. I´nfimo e Supremo. Conjuntos Limitados
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 30/1122
Seja X um conjunto dotado de uma ordem parcial e A ⊂ X. Se existe t ∈ X tal que a ≤ t para
todo a ∈ A dizemos que t e´ um majorante de A.
O menor dos majorantes de A, se existir, e´ dito ser o supremo de A e e´ indicado por sup(A). Assim,
s e´ o supremo de A se s ≤ t para todo t que seja majorante de A.
Analogamente, se existe h ∈ X tal que h ≤ a para todo a ∈ A dizemos que h e´ um minorante de A.
O maior dos minorantes de A, se existir, e´ dito ser o ı´nfimo de A e e´ indicado por inf(A). Assim, i
e´ o ı´nfimo de A se h ≤ i para todo h que seja minorante de A.
Um conjunto A ⊂ X que tenha pelo menos um majorante e´ dito ser um conjunto limitado superi-
ormente. Um conjunto A ⊂ X que tenha pelo menos um minorante e´ dito ser um conjunto limitado
inferiormente.
E´ interessante notar o seguinte. Dado um conjunto X dotado de uma ordem parcial poder´ıamos nos
perguntar se todo subconjunto limitado superiormente de X possui um supremo, ou , analogamente, se
todo subconjunto de X limitado inferiormente possui um ı´nfimo. A validade ou na˜o dessas propriedades
depende de X.
Por exemplo, para X = � , o conjunto dos racionais com a relac¸a˜o de ordem usual, verifica-se que
a propriedade na˜o e´ valida. Tomemos A = {x ∈ � , x2 < 2}. Claramente esse conjunto e´ limitado
inferior e superiormente mas na˜o possui nem supremo nem ı´nfimo (por queˆ?).
Para X = � e X ∈ � (com as relac¸o˜es de ordem usuais) a propriedade e´, pore´m, va´lida. Na˜o
demonstraremos esses fatos aqui e o leitor e´ remetido aos bons textos de Ana´lise para as provas.
E. 1.15 Exerc´ıcio. Tome X = � com a relac¸a˜o de ordem usual. Mostre que inf((−1, 1)) = −1 e que
sup((−1, 1)) = 1. Note que −1 e 1 na˜o sa˜o elementos de (−1, 1). 6
E. 1.16 Exerc´ıcio. Suponha que A e B sejam dois sub-conjuntos de um conjunto X dotado de uma
ordem total e que inf(A) e inf(B) existam. Mostre enta˜o que
inf(A ∪B) = min{inf(A), inf(B)}.
6
E. 1.17 Exerc´ıcio. Suponha que A e B sejam dois sub-conjuntos de um conjunto X dotado de uma
ordem total e que sup(A) e sup(B) existam. Mostre enta˜o que
sup(A ∪ B) = max{sup(A), sup(B)}.
6
• O Lema de Zorn
Uma das afirmativas fundamentais de toda a Matema´tica usual e´ o seguinte resultado, conhecido
como lema de Zorn, em homenagem a seu formulador3:
3Max Zorn (1906-1993).
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 31/1122
Seja X um conjunto e ≤ uma relac¸a˜o de ordem parcial em X. Suponha que todo sub-conjunto line-
armente ordenado de X tenha pelo menos um majorante em X. Enta˜o todo sub-conjunto linearmente
ordenado de X conte´m um majorante que e´ tambe´m um elemento maximal de X.
E. 1.18 Exerc´ıcio. Verifique que se X = [0, 1] todo sub-conjunto de X e´ linearmente ordenado pela
relac¸a˜o de ordem usual e tem um majorante em X e que 1 e´ um desses poss´ıveis majorantes. Verifique que
1 e´ um elemento maximal de X. 6
E. 1.19 Exerc´ıcio. Verifique que se X = [0, 1) nem todo sub-conjunto de X tem um majorante em X
(tente, por exemplo, sub-conjuntos do tipo[a, 1) com 0 ≤ a < 1). Verifique que X na˜o tem um elemento
maximal. 6
O Lema de Zorn e´ “equivalente” ao chamado Axioma da Escolha que enunciaremos abaixo, ou seja,
admitir um como verdadeiro leva a demonstrar a validade do segundo. Essa equivaleˆncia na˜o sera´
provada aqui (vide bibliografia). Toda a Matema´tica usual e´ fundada na aceitac¸a˜o de um ou de outro
como verdadeiro e, em princ´ıpio, uma nova Matema´tica pode ser constru´ıda (com resultados distintos
dos da Matema´tica usual) se esses dois axiomas forem substitu´ıdos por um terceiro inequivalente. A
relevaˆncia de tais Matema´ticas em F´ısica e´ uma questa˜o em aberto.
• O Axioma da Escolha
O Axioma da Escolha consiste na seguinte afirmativa:
Seja As, s ∈ I, uma famı´lia de conjuntos na˜o-vazios, onde I e´ um conjunto arbitra´rio (na˜o-vazio)
de ı´ndices. Enta˜o, podemos construir um conjunto A tomando (“escolhendo”) um elemento as de cada
conjunto As. Em termos mais te´cnicos o axioma diz que ha´ func¸o˜es F : I →
⋃
s∈I
As tais que F (s) ∈ As
para todo s ∈ I.
A primeira vista esse axioma parece constituir-se de uma obviedade. Sucede, pore´m, que, sobretudo
pelo fato de o conjunto I de ı´ndices ser arbitra´rio (podendo ser ate´ um conjunto infinito e na˜o-conta´vel),
a afirmativa que o mesmo conte´m na˜o pode ser derivada de princ´ıpios mais ba´sicos. O axioma faz uma
afirmac¸a˜o de existeˆncia (de uma func¸a˜o como a F , ou de um conjunto como A formado por elementos
escolhidos de cada As) que, geralmente, na˜o pode ser demonstrada construtivamente, ou seja, por
exibic¸a˜o expl´ıcita de uma tal func¸a˜o F ou de um conjunto A.
Faremos uso expl´ıcito do Axioma da Escolha adiante quando exibirmos exemplos de conjuntos
na˜o-mensura´veis.
Uma t´ıpica situac¸a˜o na qual se faz uso do axioma da escolha ocorre quando sa˜o dados um conjunto
X e uma uma relac¸a˜o de equivaleˆncia E em X e constro´i-se um conjunto A ⊂ X tomando-se um
representante de cada classe de equivaleˆncia de X por E.
Nem sempre e´ poss´ıvel exibir explicitamente os elementos de A, mas assumimos (via axioma da
escolha) que um tal conjunto existe. Para ter-se em mente um caso onde uma tal situac¸a˜o ocorre,
tome-se o exemplo dado em (1.18), pa´gina 26.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 32/1122
1.1.3 Cardinalidade. Produto Cartesiano
• A Noc¸a˜o de Cardinalidade de Conjuntos
Seja K uma colec¸a˜o de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B da colec¸a˜o K, dizemos que A e
B sa˜o equivalentes se houver uma func¸a˜o bijetora de A sobre B, ou seja, se houver uma func¸a˜o com
domı´nio igual a A e imagem igual a B tal que a cada elemento b ∈ B existe um u´nico elemento a ∈ A
com f(a) = b.
E. 1.20 Exerc´ıcio. Mostre que essa e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia entre os conjuntos da colec¸a˜o K. 6
Para dois conjuntos que sa˜o equivalentes no sentido acima diz-se tambe´m que os mesmos teˆm a
mesma cardinalidade. Ou seja, dois conjuntos teˆm a mesma cardinalidade se e somente se houver uma
func¸a˜o bijetora entre eles.
Um conjunto A e´ dito ter n elementos (para um nu´mero natural n) se for equivalente ao conjunto
{1, . . . , n}.
Nota. Esta u´ltima definic¸a˜o pressupo˜e que o conceito de nu´mero natural ja´ seja conhecido. Outra construc¸a˜o mais simples em termos de
pressupostos e´ feita de modo informal como segue: diz-se que um conjunto tem um elemento se for equivalente ao conjunto {∅}; que um
conjunto tem dois elementos se for equivalente ao conjunto {∅, {∅}}; que tem treˆs elementos se for equivalente ao conjunto {∅, {∅, {∅}}} e assim
por diante. Em verdade essa construc¸a˜o permite produzir uma definic¸a˜o do conceito de nu´mero natural: o nu´mero “um” e´, grosseiramente
falando, o nome dado a` classe de equivaleˆncia formada pelos conjuntos equivalentes ao conjunto {∅}; o nu´mero “dois” e´ o nome dado a` classe
de equivaleˆncia do conjunto {∅, {∅}}; o nu´mero “treˆs” e´ nome dado a` classe de equivaleˆncia do conjunto {∅, {∅, {∅}}} e assim por diante.
Alia´s, o nu´mero “zero” e´ o nome dado a` classe de equivaleˆncia de ∅. O nu´meros naturais seriam enta˜o o conjunto de todas as classes de
equivaleˆncia constru´ıdas dessa forma. Esta definic¸a˜o4 do conceito de nu´mero natural, devida a von Neumann5 , pressupo˜e apenas conhecidos
conceitos primitivos como os de conjuntos, classes de equivaleˆncia e de conjunto vazio. O leitor podera´ encontrar uma discussa˜o extensa sobre
a definic¸a˜o de nu´meros naturais em [114, 85, 48].
Diz-se que um conjunto A e´ finito se tiver a cardinalidade de {1, . . . , n} para algum n ∈ � . A e´
dito ser infinito se na˜o for finito.
E. 1.21 Exerc´ıcio. Seja A um conjunto finito com n elementos. Mostre que
�
(A) tem 2n elementos.
6
• Conjuntos Conta´veis
Um conjunto A e´ dito ser conta´vel se for finito ou se tiver a cardinalidade do conjunto dos nu´meros
naturais, ou seja, se for finito ou se existir uma func¸a˜o bijetora f : � → A cujo domı´nio e´ � e cuja
imagem e´ todo A.
Nota. Por vezes conjuntos conta´veis que na˜o sa˜o finitos sa˜o chamados de conjuntos enumera´veis. Na˜o
ha´, infelizmente, unidade nessa nomenclatura mas emprega´-la-emos aqui se vier a ser necessa´rio.
4J. von Neumann “Zur Einfu¨hrung transfiniten Zahlen”, Acta Szeged 1 (1923) 199-208.
5Ja´nos von Neumann (1903-1957). Von Neumann tambe´m adotou os nomes de Johann von Neumann e John von
Neumann.
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 33/1122
Vamos agora provar alguns teoremas fundamentais sobre conjuntos conta´veis (cuja importaˆncia,
apesar da aparente simplicidade dos enunciados, na˜o pode ser subestimada pois seu alcance estende-se
por toda a Matema´tica, em particular, por muito do que veremos no restante do curso).
Precisamos da seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 1.4 Um conjunto e´ conta´vel se e somente se for equivalente a um subconjunto de � . 2
Prova. Por definic¸a˜o todo conjunto conta´vel A (finito ou na˜o) e´ equivalente a algum subconjunto de �
(no pior dos casos ao pro´prio � ).
Provemos enta˜o a rec´ıproca. Seja A equivalente a um subconjunto Z de � . Se Z for finito A
tambe´m o sera´ e portanto conta´vel. Suponhamos enta˜o que Z na˜o e´ finito. Vamos construir uma
func¸a˜o bijetora F : � → Z. A mesma e´ definida da seguinte forma
F (1) = minZ,
F (n) = min{Z \ {F (1), F (2), . . . , F (n− 1)}} para n = 2, 3, . . . .
E´ fa´cil ver que F e´ bijetora e que sua imagem e´ Z (fac¸a isso). Assim, Z e´ enumera´vel e, portanto, A
tambe´m o e´.
Esta proposic¸a˜o tem uma consequ¨eˆncia simples:
Proposic¸a˜o 1.5 Se A e´ um conjunto conta´vel e B ⊂ A enta˜o B e´ conta´vel. 2
Prova. Se A e´ conta´vel e B ⊂ A enta˜o B e´ equivalente a um subconjunto de � e, portanto, pela
proposic¸a˜o anterior, B e´ conta´vel.
Chegamos um importante teorema:
Teorema 1.1 O produto Cartesiano � × � e´ conta´vel. 2
Prova. Seja a func¸a˜o G : � × � → � dada por G(a, b) = 2a3b. A imagem dessa func¸a˜o e´ um
subconjunto pro´prio de � mas essa func¸a˜o e´ bijetora: a cada elemento z de sua imagem ha´ um e
somente um par (a, b) de nu´meros naturais tais que 2a3b = z (por queˆ?). Assim, fica provado pela
Proposic¸a˜o 1.4 que � × � e´ conta´vel.
Note que, como � × � na˜o e´ finito (por queˆ?) e´ um conjunto enumera´vel.
Esse u´ltimo teorema tem uma consequ¨eˆncia de grande importaˆncia:
Teorema 1.2 O conjunto � + dos nu´meros racionais positivos e´ um conjunto conta´vel. 2
Prova. Todo racional positivo e´ da forma p/q onde p e q ∈ � sa˜o irredut´ıveis ou primos entre si (ou
seja, na˜o ha´ “cancelamentos” que permitam escrever p/q = a/b com a < p e b < q). Assim, ha´ uma
JCABarata. Curso de F´ısica-Matema´tica Versa˜o de 11 de abril de 2005. Cap´ıtulo 1 34/1122
correspondeˆncia um-a-um entre � + e o subconjunto de � × � formado por todos os pares (p, q) onde p
e q sa˜o primos entre si. Como � × � e´ conta´vel,