EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, 
HOMOGÊNEAS, 
DE 2.ª ORDEM, COM COEFICIENTES 
CONSTANTES 
 
Uma equação diferencial linear de 2.ª ordem, 
com coeficientes constantes, é 
uma equação da forma: 
d²𝑥
dt²
+ b
dx
dt
+ Cx = 0 
denomina-se equação característica: 
𝑎𝜆2 + b𝜆 + c = 0 
 
Suponhamos que as raízes λ1 e λ2 da 
equação característica sejam reais. Então: 
• Se λ1 ≠ λ2, a solução da equação 
será: 
X= 𝑨𝒆𝝀𝟏𝐭 + 𝑩𝒆𝝀𝟐𝐭 (A,B ∈R). 
 
• Se λ1 = λ2, a solução da equação 
será: 
X= 𝑨𝒆𝝀𝟏𝐭 + 𝑩𝒕𝒆𝝀𝟐𝐭 (A,B ∈R). 
Sejam complexas 
 λ=α±βί 
x = 𝒆𝝀𝐭 .[A.cosβt+B.senβt] (A,B ∈R). 
Para as demonstração dos fatos, consultar 
as pg(75 e 85). Guidorizzi vol:2 
Exemplo 1: Resolva a equação. 
d²𝑥
dt²
+ 3
dx
dt
+ 2x = 0 
Exemplo 2: Ache a solução do problema. 
d²𝑥
dt²
+ 3
dx
dt
+ 2x = 0 e x(0)=0; x’(0)=1 
Exemplo 3: Resolva a equação. 
d²𝑥
dt²
-8
dx
dt
+ 16x = 0 
Exemplo 4: Resolva a equação. 
d²𝑥
dt²
-9x = 0 
 
Exemplo 5: Resolva a equação. 
d²𝑥
dt²
+ 4x = 0 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES, 
NÃO HOMOGÊNEAS, DE 2.ª ORDEM, COM 
COEFICIENTES CONSTANTES 
Consideremos a equação linear, de 2.ª 
ordem, com coeficientes constantes. 
d²𝑥
dt²
+ b
dx
dt
+ Cx = f(t) 
Temos que a solução geral é dada por: 
X= Xh + Xp 
 
Exemplo 6: Determine a solução geral. 
d²𝑥
dt²
+ 3
dx
dt
+ 2x = t 
Exemplo 7: Determine a solução geral. 
d²𝑥
dt²
= t² 
Exemplo 8: Determine a solução geral. 
d²𝑥
dt²
+ 4
dx
dt
+ 4x = 𝑒3t 
Exemplo 9: Determine a solução geral. 
d²𝑥
dt²
+ 4
dx
dt
+ 4x = sen2t