Hiperesferas Em Espaços Euclidianos

Prévia do material em texto

ESFERAS EM ESPAÇOS EUCLIDIANOS
Marcos Luiz Crispino
2016
i
Sumário
Capítulo 1 - Apresentação....................................................................................... 1
Capítulo 2 - Espaços vetoriais reais........................................................................ 4
2-1 - A noção de espaço vetorial............................................................................. 4
2-2 - Subespaços....................................................................................................15
2-3 - Dependência e independência linear............................................................24
2-4 - Bases..............................................................................................................29
2-5 - Variedades lineares....................................................................................... 34
Exemplo 52............................................................................................................40
Exemplo 53............................................................................................................41
Exemplo 54............................................................................................................41
Exemplo 55............................................................................................................41
Exemplo 58............................................................................................................41
Capítulo 3 - Transformações lineares....................................................................44
3-1 - A noção de transformação linear..................................................................44
3-2 - O Teorema do Núcleo e da Imagem.............................................................. 49
3-3 - Funcionais lineares.......................................................................................51
3-4 - Projeções....................................................................................................... 60
3-5 - Hiperplanos................................................................................................... 62
Exemplo 80 - Polinômio interpolador de Lagrange...............................................60
Exemplo 94............................................................................................................63
Exemplo 95............................................................................................................64
Exemplo 100..........................................................................................................68
Exemplo 101..........................................................................................................68
Exemplo 102..........................................................................................................69
Capítulo 4 - Espaços vetoriais normados..............................................................71
4-1 - Seminorma e norma......................................................................................71
4-2 - Espaços euclidianos...................................................................................... 80
4-3 - Ortogonalidade..............................................................................................90
4-4 - Hiperplanos com vetor normal..................................................................... 96
Exemplo 107 - Norma do máximo em Rn..............................................................74
Exemplo 108 - Norma da soma em Rn...................................................................75
Exemplo 110 - Norma da convergência uniforme.................................................75
Exemplo 119..........................................................................................................82
Exemplo 120..........................................................................................................83
Exemplo 122..........................................................................................................83
Exemplo 123..........................................................................................................85
Exemplo 147..........................................................................................................97
Exemplo 156........................................................................................................100
Capítulo 5 - Esferas............................................................................................. 105
i
ESFERAS EM ESPAÇOS EUCLIDIANOS ii
5-1 - A noção de esfera........................................................................................106
5-2 - Esferas em espaços vetoriais normados.....................................................108
5-3 - Esferas em espaços euclidianos..................................................................114
Exemplo 174 - Projeção estereográfica...............................................................115
Exemplo 175........................................................................................................116
Exemplo 176........................................................................................................116
Exemplo 181........................................................................................................119
Exemplo 183........................................................................................................120
Exemplo 184 - Contra-exemplo em espaço não-euclidiano................................123
Exemplo 186........................................................................................................124
Exemplo 190........................................................................................................125
Exemplo 195........................................................................................................128
Capítulo 6 - Distâncias........................................................................................ 130
6-1 - Distância entre conjuntos...........................................................................131
6-2 - Distâncias em espaços euclidianos.............................................................139
6-3 - Interseção entre esferas..............................................................................153
Exemplo 215 - Contra-exemplo em espaço não-euclidiano................................145
Exemplo 217........................................................................................................146
Exemplo 218 - Contra-exemplo em espaço não-euclidiano................................146
Exemplo 222........................................................................................................148
Exemplo 223........................................................................................................148
Exemplo 224........................................................................................................149
Exemplo 227........................................................................................................150
Exemplo 229 - Contra-exemplo em espaço não-euclidiano................................161
Exemplo 233........................................................................................................162
Exemplo 238 - Sistema não-linear...................................................................... 164
Exemplo 241........................................................................................................166
Capítulo 7 - Distâncias entre conjuntos e esferas.............................................. 168
7-1 - Distância de ponto a esfera........................................................................ 169
7-2 - Distância de variedade linear a esfera........................................................185
7-3 - Distância entre esferas...............................................................................197
Exemplo 242 - Contra-exemplo em espaço não-euclidiano................................173
Exemplo 252........................................................................................................179
Exemplo 254........................................................................................................180
Exemplo 255........................................................................................................181
Exemplo 259........................................................................................................189
Exmeplo 265........................................................................................................192
Exemplo 266........................................................................................................193
Exemplo 270........................................................................................................196
Exemplo 271........................................................................................................205
Exemplo 274 - Contra-exemplo em espaço não-euclidiano................................206
Exemplo 275........................................................................................................207
ii
SUMÁRIO iii
Bibliografia...........................................................................................................208
Índice................................................................................................................... 209
iii
1
Capítulo 1
Apresentação
Esferas em espaços Rn, também chamadas hiperesferas, intervêm em uma grande
diversidade de aplicações, entre as quais reconhecimento de padrões, classificação
binária através do algoritmo máquina de vetor suporte, (support vector machine)
inferência Bayesiana multivariada e teoria da decisão. Desta forma, o conhecimento
das propriedades das esferas em espaços euclidianos é interessante para engenheiros,
estatísticos e economistas, e também (é claro) para os matemáticos.
Neste livro, importantes resultados referentes a esferas em espaços vetoriais
normados e espaços euclidianos, entre os quais projeção estereográfica, potência de
um ponto relativamente a uma esfera, interseção entre duas esferas, distância de um
ponto a uma esfera, distância de variedades lineares a esferas, interseções entre
variedades lineares e esferas e distância entre duas esferas, são obtidos por um
método poderosíssimo: O formalismo da Álgebra Linear. A linguagem da Álgebra Linear
proporciona demonstrações elegantes e independentes de sistemas e transformações
de coordenadas, e também da dimensão do espaço em discussão. Deste modo será
demonstrado que os resultados conhecidos para circunferências no plano (R2) e no
espaço (R3) são casos particulares de resultados válidos em espaços euclidianos
quaisquer, até mesmo de dimensão infinita, independentemente da completeza destes
espaços. Assim, o desenvolvimento do texto mostra que não há motivo para que a
Geometria Analítica fique restrita a dimensões dois e três. Este, aliás, é o objetivo
primordial deste livro. Por isto, ele é dirigido aos professores das instituições de ensino
superior, principalmente àqueles que lecionam Geometria Analítica e Álgebra Linear,
como também aos alunos dos cursos de graduação, iniciação científica e
pós-graduação nas diversas áreas de Ciências e Engenharia. Ele se destina também
aos pesquisadores e profissionais nestas áreas.
Neste livro serão considerados apenas espaços vetoriais reais. Portanto, a
terminologia "espaço vetorial" significará aqui espaço vetorial sobre o corpo dos
números reais.
Alguns autores definem espaços euclidianos como sendo qualquer espaço vetorial
real dotado de produto interno (v. Taylor, Introduction to Functional Analysis, 1958, p.
119), e não apenas os espaços vetoriais de dimensão finita com produto interno. É esta
terminologia que será adotada aqui. Portanto, "espaço euclidiano" significa, para os
propósitos do presente texto, espaço vetorial real, de dimensão finita ou infinita, com
produto interno.
Há até mesmo autores (v. Prugovec̆ki, Quantum Mechanics in Hilbert Space, 2006, p.
18) que chamam de espaços euclidianos inclusive os espaços vetoriais complexos com
produto interno.
O conteúdo do texto é apresentado em seis capítulos, do Capítulo 2 ao Capítulo 7.
Para fazer o texto tão autossuficiente quanto possível, os três primeiros capítulos, 2, 3
e 4, contêm uma revisão dos conceitos de Álgebra Linear necessários para o
desenvolvimento subsequente.
No Capítulo 2 serão apresentados os axiomas de espaço vetorial e serão deduzidas
as propriedades que deles decorrem. Em seguida, serão apresentadas as noções de
1
2
subespaço de um espaço vetorial e de subespaço gerado por um subconjunto de um
dado espaço vetorial. Com isto, é possível definir espaço vetorial de dimensão finita.
Serão definidas a dependência e a independência linear de um conjunto de elementos
de um espaço vetorial E. Assim, será possível definir base algébrica de um espaço
vetorial, e também a dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita. A última
seção do Capítulo 2 contém a noção de variedade linear, ou variedade afim. Este
assunto é abordado de modo superficial, quando o é, nos textos de Álgebra Linear.
O objetivo do Capítulo 3 é apresentar o conceito de transformação linear entre
espaços vetoriais (reais) e discutir as propriedades destas transformações que são
necessárias para o desenvolvimento posterior. As transformações lineares que têm o
conjunto R dos números reais como contradomínio são chamadas funcionais lineares.
Através da noção de funcional linear, são definidos os hiperplanos. As propriedades
dos funcionais lineares são essenciais para a discussão dos hiperplanos.
No Capítulo 4 serão discutidos os espaços vetoriais normados e os espaços
euclidianos. Inicia-se o Capítulo 4 com a definição de seminorma e norma em um
espaço vetorial. Em seguida, é apresentada a noção de produto interno, atavés da qual
são definidos os espaços euclidianos. Nos espaços euclidianos, tem sentido a noção de
perpendicularismo. Desta forma, será apresentada no Capítulo 4 a noção de
ortogonalidade. Serão também discutidos no Capítulo 4 hiperplanos de um tipo
particular: Os hiperplanos com vetor normal.
Uma vez definida uma norma em um espaço vetorial, ele se torna um espaço
métrico. Nos espaços métricos, tem sentido a noção de distância, e portanto de esfera.
Num espaço métrico M, d, uma esfera é o conjunto dos pontos x ∈ M equidistantes de
um ponto a ∈ M dado, que se diz o centro da esfera. No Capítulo 5 será apresentada,
em primeiro lugar, a noção de esfera num espaço métrico. Em seguida, serão
discutidas as propriedades de esferas em espaços vetoriais normados que não são
necessáriamente euclidianos. Será demonstrado que esferas em espaços vetoriais
normados de dimensão infinita ou de dimensão finita maior ou igual a dois são
conjuntos não-enumeráveis, e portanto infinitos. Será mostrado também que se duas
esferas em um espaço vetorial normado de dimensão maior do que zero são iguais,
então têm o mesmo centro e o mesmo raio. Após isto, serão apresentadas as
propriedades das esferas em espaços euclidianos.
Num espaço métrico M, d, tem sentido a noção de distância de um ponto x ∈ M e
um conjunto não-vazio A ⊆ M, e também a noção de distância entre conjuntos
não-vazios A,B ⊆ M. Em particular, estas noções têm sentido em espaços vetoriais
normados e portanto em espaços euclidianos. A discussão destes conceitos é o objetivo
do Capítulo 6, cuja primeira seção contém a discussão de distâncias entre
subconjuntos (não-vazios) de espaços métricos. Na seção seguinte, são consideradas as
distâncias entre subconjuntos não-vazios de espaços euclidianos, em particular a
distância de ponto a variedade linear e de ponto a hiperplano. A última seção do
Capítulo 6 tem como objetivo obter condiçõesnecessárias e suficientes para que a
interseção entre duas esferas num espaço euclidiano seja não-vazia.
No Capítulo 7 será considerado o problema de determinar a distância entre ponto e
esfera, variedade linear e esfera e entre duas esferas em espaços vetoriais normados e
espaços euclidianos. Os resultados obtidos têm aplicações interessantes a problemas
de minimização ou maximização da restrição de certas funções a esferas. É com os
resultados deste capítulo que o leitor pode melhor constatar o poder dos métodos da
Álgebra Linear. Com efeito, os resultados obtidos são válidos até mesmo em espaços
vetoriais normados e euclidianos de dimensão infinita, nos quais as esferas são
2
3
conjuntos fechados mas não compactos.
O conteúdo do livro é acessível a qualquer leitor familiarizado com a linguagem da
Álgebra Linear e com as noções básicas de Análise, como supremo e ínfimo de
conjuntos de números reais, conjunto finito e infinito, enumerável e não-enumerável,
as quais, aliás, deveriam ser apresentadas nos cursos de Cálculo. Os conceitos e
resultados obtidos são trabalhados nos 275 exemplos que acompanham o texto. Estes
exemplos incluem questões interessantes a serem discutidas durante as aulas
expositivas.
Os endereços de correio eletrônico do autor são:
edfcd2003@gmail.com, e
edfcd2003@hotmail.com.
3
4
Capítulo 2
Espaços vetoriais reais
Este é o primeiro capítulo da revisão dos conceitos de Álgebra Linear que serão
necessários para o desenvolvimento subsequente, como também para tornar o texto
tão autossuficiente quanto possível. Em primeiro lugar, serão apresentados os axiomas
de espaço vetorial e serão deduzidas as propriedades que deles decorrem. Em seguida,
serão apresentadas as noções de subespaço de um espaço vetorial e de subespaço
gerado por um subconjunto de um dado espaço vetorial. Com isto, é possível definir
espaço vetorial de dimensão finita. Serão definidas a dependência e a independência
linear de um conjunto de elementos de um espaço vetorial E. Assim, será possível
definir base algébrica de um espaço vetorial, e também a dimensão de um espaço
vetorial de dimensão finita.
Neste texto serão considerados apenas espaços vetoriais reais. Desta forma, a
terminologia "espaço vetorial" significará doravante espaço vetorial real.
Seja n inteiro positivo. A notação
In
indicará o conjunto dos números inteiros positivos k tais que 1 ≤ k ≤ n. Portanto, In 
1,… , n.
Seja X um conjunto finito. A notação
cardX
indicará o número de elementos de X.
2-1 - A noção de espaço vetorial.
Sejam K e E conjuntos não-vazios. Uma operação binária interna em E é uma
função A : E  E  E. Uma operação binária em E tendo K para conjunto de escalares é
uma função M : K  E  E.
Dado um conjunto não-vazio E cujos elementos são indicados por a, b, x, y, z,
etc., seja A : E  E  E uma operação binária interna cujo valor Ax, y no par x, y ∈
E  E será indicado por x  y (lê-se x mais y). Esta operação chama-se adição. O valor x
 y assumido por A no par x, y ∈ E  E diz-se a soma de x e y. Seja M : R  E  E
uma operação binária em E tendo o conjunto R dos números reais para conjunto dos
escalares, cujo valor M, x no par , x ∈ R  E será indicado por x (lê-se lambdaxis).
Esta operação chama-se produto por número real. O valor x assumido por M no par
, x ∈ R  E diz-se produto de  por x.
Sejam A : x, y  x  y e M : , x  x uma adição e um produto por número
real em um conjunto não-vazio E. Diz-se que A e M definem uma estrutura de espaço
vetorial em E, ou que E é um espaço vetorial relativamente a A e M, ou ainda que E é
um espaço vetorial, quando A e M gozam das seguintes propriedades:
4
5
EV1: Associatividade da adição: x  y  z  x  y  z.
EV2: Elemento neutro: Existe um elemento o ∈ E tal que x  o  o  x  x para todo x ∈
E.
EV3: Inverso aditivo: Para cada elemento x ∈ E existe um elemento −x ∈ E, chamado o
inverso aditivo ou simétrico de E, tal que −x  x  x  −x  o.
EV4: Associatividade: x  x, quaisquer que sejam , ∈ R e x ∈ E.
EV5: Distributividade: x  y  x  y e   x  x  x.
EV6: Multiplicação por 1: 1.x  x para todo x ∈ E.
As propriedades acima dizem-se axiomas de espaço vetorial. Os elementos de um
espaço vetorial são chamados vetores ou pontos. Um elemento neutro da adição
definida em E diz-se vetor nulo ou vetor zero. Um vetor x ∈ E diz-se não-nulo quando
não é elemento neutro da adição definida em E.
Exemplo 1: Decorre das propriedades da adição e do produto usuais de números reais
que estas operações definem em R uma estrutura de espaço vetorial. Desta forma, o
conjunto R dos números reais é um espaço vetorial relativamente à adição e ao
produto usual.
Exemplo 2: Espaços de funções. Dado um conjunto não-vazio X, seja E  FX;R o
conjunto das funções reais f : X  R, definidas no conjunto X cujos valores são
números reais. Para f, g : X  R, seja f  g : X  R a função definida pondo:
f  gx  fx  gx
para cada x ∈ X. Para  ∈ R e f : X  R, seja f : X  R a função definida por:
fx  fx
Sejam f, g, h : X  R e x ∈ X dado arbitrariamente. Os valores fx, gx, hx
assumidos respectivamente por f, g e h em x são números reais. Resulta da
associatividade da adição de números reais que se tem fx  gx  hx  fx 
gx  hx. Por esta razão,
f  g  hx  f  gx  hx  fx  gx  hx 
 fx  gx  hx  fx  g  hx  f  g  hx
Como x é arbitrário, segue-se que f  g  hx  f  g  hx seja qual for x ∈ X.
Consequentemente,
f  g  h  f  g  h
Isto mostra que a adição A : f, g  f  g é associativa. Seja O : X  R a função nula,
definida pondo Ox  0 para todo x ∈ X. Seja f : X  R qualquer. Como fx ∈ R para
todo x ∈ X, tem-se:
f  Ox  fx  Ox  fx  0  fx,
e também:
O  fx  Ox  fx  0  fx  fx,
seja qual for x ∈ X. Decorre daí que valem as igualdades:
O  f  f  O  f
Logo, a função nula O : X  R é elemento neutro da adição A definida acima. Para
cada f : X  R, seja −f : X  R a função definida por −fx  −fx. Tem-se:
f  −fx  fx  −fx  fx  −fx  0  Ox,
5
6
e também:
−f  fx  −fx  fx  −fx  fx  0  Ox,
qualquer que seja x ∈ R. Assim sendo,
f  −f  −f  f  O
Segue-se que a função −f : X  R é inverso aditivo da função f : X  R. Sejam agora
, ∈ R e f : X  R quaisquer. Resulta da propriedade associativa do produto usual de
números reais que se tem:
fx  fx  fx  fx  fx,
para todo x ∈ X. Por esta razão,
f  f
Sejam , ∈ R e f, g : X  R quaisquer. Resulta da distributividade do produto de
números reais que se tem:
  fx    fx  fx  fx 
 fx  fx  f  fx,
e também:
f  gx  f  gx  fx  gx 
 fx  gx  fx  gx  f  gx,
qualquer que seja x ∈ X. Assim sendo,
  f  f  f, f  g  f  g
Seja f : X  R qualquer. Como 1.y  y para todo y ∈ R e fx ∈ R para todo x ∈ X,
valem as seguintes igualdades:
1. fx  1. fx  fx,
seja qual for x ∈ X. Portanto, 1. f  f. Segue-se que a adição A : f, g  f  g e
M : , f  f satisfazem os axiomas de espaço vetorial. Em consequência, o conjunto
E  FX;R é um espaço vetorial relativamente à adição e ao produto por número real
definidos acima.
Exemplo 3: Espaços Rn: Seja n inteiro positivo. Quando X  In, as funções x : In  R
chamam-se n-uplas ordenadas de números reais. O valor xk assumido por x no
inteiro positivo k ∈ In diz-se a k-ésima coordenada de x, e é representado por xk.
Escreve-se:
x  x1,… , xn 
ou ainda x  xk k∈In , para indicar a n-upla x : In R cujas coordenadas são x1,… , xn.
O conjunto FIn;R das n-uplas ordenadas de números reais é denotado por Rn. O
conjunto Rn é um espaço vetorial relativamente às operações definidas no Exemplo 2
acima. A n-upla o, que tem todas as coordenadas iguais a zero é um vetor nulo de Rn.
Dados x, y ∈ Rn e  ∈ R, tem-se:
x  yk  xk  yk  xk  yk, k  1,… , n
xk  xk  xk, k  1,… , n
Portanto,
x  y  x1,… , xn   y1,… , yn   x1  y1,… , xn  yn 
6
7
x  x1,… , xn   x1,… ,xn 
Para cada x  x1,… , xn  ∈ Rn, a n-upla −x  −x1,… ,−xn  é um inverso aditivo de x.
Exemplo 4: Espaços de matrizes: Sejam m e n inteiros positivos. Uma matriz m por n é
uma função a : Im  In  R. Escreve-se, às vezes, aik para indicar o valor ai, k
asumido pela matriz a no par i, k ∈ Im  In. Para cada i ∈ Im, a restrição a|i  In ,
da matriz a ao produto cartesiano i  In, chama-se a i-ésima linha de a. Para cada k
∈ In, a restrição a|Im  k, de a a Im  k, diz-se a k-ésima coluna de a. O símbolo
Mm  n
representa o conjunto das matrizes reais m por n. Escreve-se, às vezes,
a  aik 
ou ainda,
a 
a11 a12  a1n
a21 a22  a2n
   
am1 am2  amn
para representar a matriz a ∈ Mm  n. Uma matriz a ∈ Mm  n diz-se quadrada
quando m  n. O conjunto Mm  n das matrizes reais m por n é um espaço vetorial
relativamente às operações definidas no Exemplo 2. A soma a  b das matrizes a 
aik , b  bik  é a matriz a  b  aik  bik . O produto a do número real  pela matriz a
 aik  ∈ Mm  n é a matriz a  aik . A matriz nula 0 ∈ Mm  n, definida pondo
0i, k  0 para cada i, k ∈ Im  In, é um vetor nulo de Mm  n. A matriz −a  −aik  é
um inverso aditivo da matriz a  aik .
Exemplo 5: Sejam X um conjunto não-vazio, E um espaço vetorial e  : X  E uma
função bijetiva. Sejam a adição e o produto por número real definidos em X pondo:
x  y  −1x  y, x  −1x
Decorre das definições de adição e produto por número real dadas acima que se tem:
x  y  −1x  y 
  ∘ −1x  y  x  y,
e também:
x  −1x   ∘ −1x  x,
sejam quais forem x,y ∈ X e  ∈ R. Por isto e pelas propriedades da adição do espaço
vetorial E, se tem:
x  y  z  −1x  y  z  −1x  y  z 
 −1x  y  z 
 −1x  y  z  x  y  z
Seja   −1o. Então   o. Assim sendo,
x    −1x   
 −1x  o  −1x  x,
  x  −1  x 
7
8
 −1o  x  −1x  x
Para cada x ∈ X, seja −x  −1−x. Então, −x  −x. Desta forma, tem-se:
x  −x  −1x  −x 
 −1x  −x  −1o  
e também:
−x  x  −1−x  x 
 −1−x  x  −1o  
Sejam , ∈ R e x,y ∈ X quaisquer. Pelas propriedades do produto por número real
definido no espaço vetorial E e pelas propriedades da função  demonstradas acima
valem:
x  −1x  −1x 
 −1x  x
x  y  −1x  y 
 −1x  y  −1x  y 
 −1x  y  x  y
  x  −1  x 
 −1x  x 
 −1x  x  x  x
1. x  −11.x  −1x  x
Segue-se que os axiomas de espaço vetorial são válidos para as operações de adição e
produto por número real definidas no conjunto X como acima. Portanto, estas
operações tornam X um espaço vetorial.
Exemplo 6: Sejam E  0, o conjunto dos números reais positivos. Sejam a adição
e o produto por número real em E definidos respectivamente por:
x  y  xy, x  x  e log x,
onde logx é o logaritmo natural do número x. A função  : E  R, definida por:
x  logx
onde logx é o logaritmo natural do número x  0, é uma bijeção entre E  0, e R,
cuja inversa −1 : R  E é a função exponencial, dada por:
−1x  ex
Tem-se:
−1x  y  −1logx  logy 
 −1logxy  elogxy  xy
sejam quais forem x,y ∈ E  0,. Tem-se também:
−1x  −1 logx 
 −1logx  elogx  x
para todo  ∈ R e para todo x ∈ E. Sendo R um espaço vetorial relativamente à adição e
8
9
ao produto usuais, resulta do Exemplo 5 que a adição e o produto por número real
definidas acima fazem E  0, um espaço vetorial. Pela definição de adição dada
acima, x  1  1  x  x.1  1.x  x. Logo o número 1 é um vetor nulo de E. Para cada
número positivo x, o número 1/x é positivo, e se tem x  1/x  x1/x  1, e 1/x 
x  1/xx  1. Logo, o número 1/x é um inverso aditivo de x, relativamente à adição
definida acima.
Exemplo 7: Seja E um espaço vetorial. Uma função F : E  E chama-se uma
translação quando Fx  a  x, onde a ∈ E é um vetor fixado. Sejam a adição e o
produto por número real definidos na classe TE das translações F : E  E do modo
seguinte:
(1) A soma F  G das translações F,G : E  E é a função composta F ∘ G.
(2) O produto do número real  pela translação F : x  a  x é a translação
F : x  a  x.
Sejam F,G : E  E translações. As funções F e G são definidas respectivamente por
Fx  a  x e Gx  b  x, onde a, b ∈ E são vetores fixados. Tem-se:
F ∘ Gx  FGx  a  Gx  a  b  x  a  b  x,
seja qual for x ∈ E. Segue-se que a composta F ∘ G das translações F,G : E  E é uma
translação. Resulta disto e da associatividade da composição de funções que a adição
definida acima na classe das translações T : E  E é uma operação associativa. A
identidade I : E  E, dada por Ix  x, é uma translação, porque Ix  o  x para todo
x ∈ E. Como F  I  F ∘ I  F e I  F  I ∘ F  F, a identidade de E é um vetor nulo da
classe das translações T : E  E. Seja F : E  E uma translação qualquer. Existe a ∈
E tal que Fx  a  x para todo x ∈ E. Portanto, F é uma função bijetiva, sendo sua
inversa F−1 : E  E a translação x  −a  x. Como F ∘ F−1  F−1 ∘ F  I, segue-se que,
para cada translação F : E  E, a translação F−1 : E  E é um inverso aditivo de F,
relativamente à adição definida acima. Sejam F : E  E a translação x  a  x e , ∈
R. Tem-se:
Fx  a  x 
 a  x  Fx
para todo x ∈ E. Portanto,
F  F
Sejam F,G : E  E as translações x  a  x e x  b  x, respectivamente. Sejam , ∈
R. Dado x ∈ E arbitrário, tem-se:
F  Gx  F ∘ Gx 
 FGx  a  Gx  a  b  x 
 a  b  x
e portanto:
F  Gx  a  b  x 
 a  b  x  F  Gx
seja qual for x ∈ E. Logo, F  G  F  G. Tem-se também:
  Fx    a  x 
9
10
 a  a  x  F  Fx
para todo x ∈ E. Segue-se que   F  F  F. Sendo 1.F a translação x  1.a  x e
1.a  a, tem-se 1.F  F. Logo, as operações de adição e produto por número real
definidas acima definem em TE uma estrutura de espaço vetorial.
Uma das consequências dos axiomas de espaço vetorial é a validade de regras
operacionais semelhantes às dos cálculos numéricos. É este resultado que será obtido
a seguir.
2-1-1 - Teorema: Seja E um espaço vetorial. Então valem as seguintes afirmações,
referentes à adição e ao produto por número real definidos em E.
a) Lei do cancelamento. Se x  u  x  v então u  v.
b) Unicidade do vetor nulo. Se x  u  x então u  o. Portanto, existe um único vetor
nulo em E.
c) Unicidade do inverso aditivo. Se x  u  o então u  −x. Portanto, cada vetor x ∈ E
possui um único inverso aditivo.
d) Produto pelo número 0. Tem-se 0.x  o para todo x ∈ E.
e) Produto do vetor nulo por número real. Tem-se o  o para todo  ∈ R.
f) Se  é diferente de zero e x é diferente de o então x é diferente de o.
g) Tem-se −x  −1x paratodo x ∈ E.
h) Para todo  ∈ R e para todo x ∈ E, valem as igualdades −x  −x  −x. Em
particular, −−x  x.
i) Tem-se −x  y  −x  −y, quaisquer que sejam x, y ∈ E.
j) Se  é diferente de 0 então x  y implica x  y.
l) Se x é diferente de o então x  x implica   .
Demonstração:
(a): Se x  u  x  v então −x, x  u  −x, x  v. Daí e do fato de ser a adição
A : E  E  E uma função, decorre −x  x  u  −x  x  v. Sendo a adição em E
associativa, −x  x  u  −x  x  u e −x  x  v  −x  x  v. Portanto, da
igualdade x  u  x  v obtém-se:
u  o  u  −x  x  u  −x  x  u 
 −x  x  v  −x  x  v  o  v  v,
o que prova a propriedade (a).
(b): Como x  o  x, x u  x implica x  u  x  o. Por sua vez, a propriedade (a) já
demonstrada diz que x  u  x  o implica u  o.
(c): Como o  x  −x, se x  u  o então x  u  x  −x. Desta igualdade e da
propriedade (a) já demonstrada segue u  −x.
(d): De fato, x  0.x  1.x  0.x  1  0x  1.x  x. Destas igualdades e da
propriedade (b) já demonstrada decorre 0.x  o.
(e): Analogamente: Como o  o  o  o  o, decorre de (b) que o  o.
(f): Seja  ∈ R diferente de zero. Se fosse x  o ter-se-ia x  1.x  1/x 
1/x  1/o  o. Portanto, se x é diferente de o então x é diferente de o.
(g): Pela propriedade (d) já demonstrada, 0.x  o. Assim sendo, valem as
igualdades:
x  −1x  1.x  −1x  1  −1x  0.x  o
Decorre daí e da propriedade (c) já demonstrada que se tem −1x  −x.
10
11
(h): Com efeito, a propriedade (g) já demonstrada e a propriedade associativa do
produto por número real fornecem:
− x  −1x  −1x  −x,
e também:
− x  −1x  −1x  −1x  −1x  −x
Portanto, valem as igualdades −x  −x  −x. Em particular, −−x  −−1x 
−−1x  1.x  x.
(i): De fato, tem-se −x  y  −1x  y  −1x  −1y  −x  −y.
(j): Seja  um número real diferente de zero. Da igualdade x  y obtém-se:
x  1.x  1/x  1/x  1/y  1/y  1.y  y
Logo, (j) segue.
(l): Seja x ∈ E um vetor não-nulo. Pela propriedade (h) já demonstrada, −x  −x
para todo  ∈ R. Portanto, da igualdade x  x obtém-se:
o  −x  x  −x  x  −x  x  −  x   − x
Portanto,  − x  o. Como x é não-nulo, resulta da propriedade (f) já demonstrada
que  −   0, donde   . Isto prova (l) e encerra a demonstração.
Uma operação binária interna A : E  E  E num conjunto E diz-se comutativa
quando Ax,y  Ay, x, sejam quais forem x,y ∈ E. O Teorema 2-1-1 e os axiomas de
espaço vetorial têm uma importante consequência: Em todo espaço vetorial real a
adição é comutativa. Noutras palavras, se tem x  y  y  x, quaisquer que sejam x, y ∈
E.
2-1-2 - Teorema: Seja E um espaço vetorial. Então a adição definida em E é
comutativa. Noutros termos: Vale a igualdade x  y  y  x, sejam quais forem x, y ∈ E.
Demonstração: Sejam x, y ∈ E dados arbitrariamente. A propriedade associativa da
adição fornece:
x  y  −y  −x  x  y  −y  −x  x  y  −y  −x 
 x  o  −x  x  −x  o
Resulta destas igualdades que o vetor −y  −x é inverso aditivo do vetor x  y.
Decorre daí e da unicidade do inverso aditivo (v. Teorema 2-1-1) que se tem:
−x  y  −y  −x (1)
O teorema 2-1-1 diz também que vale:
−y  −x  −y  x (2)
As relações (1) e (2) fornecem:
−x  y  −y  x (3)
Resulta do Teorema 2-1-1 que valem as seguintes igualdades:
−x  y  −1x  y, − y  x  −1y  x (4)
De (3) e (4) obtém-se:
−1x  y  −1y  x (5)
Sendo o número −1 diferente de zero, de (5) e do Teorema 2-1-1 obtém-se x  y  y  x,
como se queria.
11
12
Seja E um espaço vetorial. A diferença x − y dos vetores x, y ∈ E é:
x − y  x  −y
Noutros termos: a diferença x − y é a soma de x e o inverso aditivo de y.
Seja x ∈ E um vetor qualquer. Para cada número real  diferente de zero, define-se
x/ pondo:
x  1 x
2-1-3 - Teorema: Seja E um espaço vetorial. Então, valem as seguintes afirmações:
a) −x − y  y − x, quaisquer que sejam x, y ∈ E.
b) x − y  x − y, sejam quais forem x, y ∈ E e  ∈ R.
c) Tem-se x  u  y se, e somente se, u  y − x.
d) Tem-se w  x  y se, e somente se, w  y − x.
e) Tem-se x  y se, e somente se, x − y  o.
f) Dados x, y ∈ E e  ∈ R diferente de zero, tem-se x  y se, e somente se, y  x/.
g) Para todo  ∈ R, para todo  ∈ R diferente de zero e para todo x ∈ E vale x/ 
/x.
Demonstração:
(a): Sejam x, y ∈ E arbitrários. Pelo Teorema 2-1-1, −y  −1y. Por isto, tem-se:
x − y  x  −y  x  −1y (6)
O Teorema 2-1-1 diz também que −x − y  −1x − y. Por isto, a igualdade (6) e os
axiomas de espaço vetorial conduzem a:
− x − y  −1x − y  −1x  −1y 
 −1x  −1−1y  −x  −1−1y 
 −x  1.y  −x  y
A adição em E sendo comutativa, (v. Teorema 2-1-2) segue-se:
− x − y  −x  y  y  −x  y − x,
o que prova (a).
(b): Sejam x, y ∈ E e  ∈ R arbitrários. Como −y  −y  −y, (v. Teorema
1–1-1) tem-se:
x − y  x  −y  x  −y  x  −y  x − y
Logo, (b) segue.
(c): Sejam u, x, y ∈ E. Se x  u  y, então −x  x  u  −x  y. Assim sendo, da
igualdade x  u  y obtém-se:
u  o  u  −x  x  u  −x  x  u 
 −x  y  y  −x  y − x
Reciprocamente: Se u  y − x, então:
x  u  x  y − x  x  y  −x 
 x  −x  y  x  −x  y  o  y  y
Isto prova (c).
(d): Da comutatividade da adição em E e da propriedade (c) já demonstrada decorre:
w  x  y  x  w  y  w  y − x
12
13
(e): Segue da propriedade (c), fazendo u  o.
(f): Sejam x, y ∈ E e  ∈ R diferente de zero. Se x  y então 1/x  1/y.
Portanto, a igualdade x  y conduz a:
x  1.x  1/x  1/x  1/y  y/
Reciprocamente, da igualdade x  y/ obtém-se:
x  y/  1/y  1/y  1.y  y
Com isto, a propriedade (f) está demonstrada.
(g): Sejam x ∈ E e , ∈ R, sendo  diferente de zero. Tem-se x/  1/x 
1/x  /x. Isto prova a propriedade (g) e conclui a demonstração.
Seja E um espaço vetorial. Dados m, n inteiros não-negativos com m ≤ n, seja
xk m≤k≤n  xm,… , xn  uma família de vetores de E indexada no conjunto m,… , n. A
soma dos vetores xm,… , xn, indicada por:
xm    xn
ou ainda por:
∑kmn xk
é definida indutivamente do modo seguinte:
∑kmn xk 
xm, se n  m
∑kmn−1 xk  xn, se n ≥ m  1
Desta forma, fazendo m  1 tem-se:
∑k11 xk  x1,
∑k12 xk  ∑k11 xk  x2  x1  x2,
∑k13 xk  ∑k12 xk  x3  x1  x2   x3,
e assim por diante.
Sejam m, n inteiros não-negativos com m  n. Seja p ∈ m,… , n. As notações:
xm    xp−1  xp1    xn,
∑kmp−1 xk ∑kp1n xk
indicarão a soma dos vetores xk, onde k ∈ m,… , n é diferente de p. Assim,
∑kmp−1 xk ∑kp1n xk 

xm1    xn, se p  m
xm    xn−1, se p  n
xm    xp−1  xp1    xn, se m  p  n
2-1-4 - Teorema: Dado um espaço vetorial E, sejam m, n inteiros não-negativos com
m ≤ n, xm,… , xn , ym,… , yn  famílias de vetores de E indexadas no conjunto m,… , n
e  um número real. Então, valem as seguintes afirmações:
a)∑kmn xk  yk   ∑kmn xk  ∑kmn yk.
b)∑kmn xk   ∑kmnxk.
c)∑kmn xk − yk   ∑kmn xk − ∑kmn yk.
13
14
d) Se xk  x para todo k ∈ m,… , n então∑kmn xk  n − m  1x.
Demonstração:
(a): Decorre das definições acima que a igualdade:
∑kmn xk  yk   ∑kmn xk ∑kmn yk (7)
é válida para n  m. Supondo que vale (7) para um dado n ≥ m, sejam xm,… , xn1 ,
ym,… , yn1  famílias de vetores de E indexadas no conjunto m,… , n  1. Pela
hipótese admitida, tem-se:
∑kmn1 xk  yk   ∑kmn xk  yk   xn1  yn1  
 ∑kmn xk ∑kmn yk  xn1  yn1 
(8)
Como a adição em E é associativa e comutativa, as igualdades (8) dão:
∑kmn1 xk  yk   ∑kmn xk  ∑kmn yk  xn1  yn1 
 ∑kmn xk  xn1 ∑kmn yk  yn1 
 ∑kmn1 xk ∑kmn yk  yn1  ∑kmn1 xk  ∑kmn yk  yn1 
 ∑kmn1 xk ∑kmn1 yk
Segue-se que (7) é válida para n  1. Daí e do Princípio da Indução decorre a
propriedade (a).
(b): Se m  n então∑kmn xk   xm e ∑kmn xk  xm. Logo a igualdade:
∑kmn xk   ∑kmn xk (9)
é válida para m  n. Supondo que vale (9) para um dado inteiro positivo n ≥ m, seja
xm,… , xn1  uma família de vetores de E indexada no conjunto m,… , n  1. Pela
hipótese admitida, tem-se:
∑kmn1 xk   ∑kmn xk   xn1  ∑kmn xk  xn1 (10)
De (10) e da distributividade do produto por número real definido em E, resulta:
∑kmn1 xk    ∑kmn xk  xn1  ∑kmn1 xk
Portanto, (9) é válida para n  1. Daí e do Princípio da Indução, (b) segue.
(c): Pelo Teorema 2-1-1, −∑kmn yk  −1∑kmn yk. Pela propriedade (b) já
demonstrada, −1∑kmn yk  ∑kmn −1yk. Por sua vez, o Teorema 2-1-1 diz que −1yk
 −yk para cada k  m,… , n. Assim sendo,
−∑kmn yk  −1∑kmn yk  ∑kmn −1yk  ∑kmn −yk  (11)
Resulta de (11) e da propriedade (a) já demonstrada que se tem:
∑kmn xk − ∑kmn yk  ∑kmn xk  −∑kmn yk 
 ∑kmn xk ∑kmn −yk   ∑kmn xk  −yk  
 ∑kmn xk − yk ,
o que prova a propriedade (c).
(d): Seja xm,… , xn  uma família de vetores de E com xk  x para cada k  m,… , n. A
igualdade:
∑kmn xk  n − m  1x (12)
vale para n  m, porque ∑kmm xk  xm  x. Supondo que ela seja válida para n ≥ m, seja
14
15
xm,… , xn1  uma família de vetores de E indexada no conjunto m,… , n  1 com xk  x
para cada k  m,… , n  1. Pela hipótese admitida,∑kmn xk  n − m  1x. Desta forma,
∑kmn1 xk  ∑kmn xk  xn1  n − m  1x  x 
 n − m  1x  1.x  n  1 − m  1x
Isto prova (d) e conclui a demonstração.
2-2 - Subespaços.
Um conjunto não-vazio V de um espaço vetorial E diz-se um subespaço vetorial, ou
simplemente um subespaço de E quando 1v1  2v2 ∈ V, sejam quais forem v1, v2 ∈ V
e 1,2 ∈ R.
2-2-1 - Teorema: Um subconjunto V ⊆ E é um subespaço se, e somente se, tem as
seguintes propriedades:
1) O vetor nulo o pertence a V.
2) V é fechado para a adição. Noutros termos, v1  v2 ∈ V, quaisquer que sejam v1, v2 ∈
V.
3) V é fechado para o produto por número real, ou seja, v ∈ V sejam quais forem v ∈ V e
 ∈ R.
Demonstração: Supondo que V é um subespaço vetorial de E, seja v ∈ E (o qual existe,
porque, sendo V ⊆ E um subespaço, é não-vazio). Tem-se o  0.v  0.v, portanto o
vetor nulo o ∈ V. Sejam v1, v2 ∈ V dados arbitrariamente. Então 1v1  2v2 ∈ V para
quaisquer que sejam 1,2 ∈ R. Em particular, v1  v2  1.v1  1.v2 ∈ V. Como v  v
 o  v  0.v, segue-se que v ∈ V, sejam quais forem v ∈ V e  ∈ R. Decorre daí que o
conjunto V ⊆ E tem as propriedades listadas no enunciado. Reciprocamente: Supondo
que V goza das propriedades do enunciado acima, sejam v1, v2 ∈ V e 1,2 ∈ R
quaisquer. Tem-se 1v1 ∈ V e 2v2 ∈ V, e portanto 1v1  2v2 ∈ V. Como o vetor nulo o
∈ V, o conjunto V é não-vazio. Portanto, V ⊆ E é um subespaço vetorial.
Seja E um espaço vetorial. Evidentemente, o conjunto o e o próprio E são
subespaços vetoriais de E. Diz-se que um conjunto V ⊆ E é um subespaço próprio de E
quando é um subespaço vetorial e é diferente de E.
2-2-2 - Teorema: Seja V uma classe qualquer de subespaços de um espaço vetorial E.
A interseção V∈V V da classe V é um subespaço vetorial de E.
Demonstração: Como o vetor nulo o pertence a todos os subespaços V ⊆ E que
formam a classe V, tem-se o ∈ V∈V V. Em consequência, a interseção V∈V V de V é
não-vazia. Sejam v1, v2 ∈ V∈V V e 1,2 ∈ R quaisquer. Dado arbitrariamente V ∈ V,
tem-se v1, v2 ∈ V (de fato, v1, v2 ∈ V∈V V, logo pertencem a todos os subespaços V que
formam a classe V). Como V é subespaço de E, 1v1  2v2 ∈ V. Segue-se que 1v1 
2v2 ∈ V para todo V ∈ V. Logo 1v1  2v2 ∈ V∈V V. Conclui-se daí que a interseção
V∈V V de V é um subespaço vetorial de E.
Seja X um subconjunto de um espaço vetorial E. A classe VX dos subespaços
vetoriais de E que contêm X é não-vazia, porque E é um subespaço vetorial de E e
contém X. O subespaço de E gerado por X, indicado com a notação
15
16
SX
é a interseção V∈VX V da classe formada por todos os subespaços de E que contêm X.
Quando X for um conjunto finito X  x1,… , xn, escreve-se Sx1,… , xn  em lugar
de Sx1,… , xn, e diz-se que Sx1,… , xn  é o subespaço de E gerado pelos vetores
x1,… , xn. Em particular, Sx é o subespaço gerado pelo vetor x ∈ E.
2-2-3 - Teorema: Seja E um espaço vetorial e X, Y subconjuntos de E. Valem as
seguintes afirmações:
a) X ⊆ SX.
b)Se X ⊆ V e V ⊆ E é subespaço vetorial, então SX ⊆ V.
c) Um conjunto V ⊆ E é subespaço se, e somente se, V  SV.
d) Se X ⊆ Y então SX ⊆ SY.
Demonstração:
(a): Seja VX a classe dos subespaços vetoriais de E que contêm X. Então X ⊆ V
para todo V ∈ VX, logo X ⊆ SX  V∈VX V.
(b): Seja V ⊆ E um subespaço vetorial. Se X ⊆ V então V é um subespaço vetorial de
E que contém X, logo pertence a VX. Segue-se que SX  V∈VX V ⊆ V.
(c): Seja V um subespaço de E. Como V ⊆ V, tem-se SV ⊆ V. Como V ⊆ SV,
tem-se V  SV. Reciprocamente: Se V  SV então V é subespaço, porque SV é
subespaço.
(d): Se X ⊆ Y então X ⊆ Y ⊆ SY, logo SY é um subespaço vetorial de E que
contém X. Decorre daí que SX ⊆ SY.
Exemplo 8: Subespaço gerado pelo conjunto vazio. Seja E um espaço vetorial. Todo
subespaço V ⊆ E contém o conjunto vazio. Em particular, o subespaço o, cujo (único)
elemento é o vetor nulo o ∈ E, contém o conjunto vazio. Por isto e pelo Teorema 2-2-3,
S∅ ⊆ o. Por outro lado, o vetor nulo o pertence a S∅, porque S∅ é subespaço
vetorial de E. Logo, o ⊆ S∅. Em consequência, S∅  o.
Exemplo 9: Soma de dois subespaços. Dado um espaço vetorial E, sejam V1,V2 ⊆ E
subespaços. A soma de V1 e V2 é o conjunto V1  V2 definido do modo seguinte:
V1  V2  v1  v2 : v1 ∈ V1, v2 ∈ V2
Noutros termos, V1  V2 é a imagem, pela adição de E, do produto cartesiano V1  V2.
O vetor nulo o pertence a V1  V2. De fato, o  o  o, o ∈ V1 e o ∈ V2. Sejam v,w ∈ V1 
V2 dados arbitrariamente. O vetor v se escreve como v  v1  v2, onde v1 ∈ V1 e v2 ∈
V2. O vetor w , por sua vez, se escreve como w  w 1  w 2, onde w 1 ∈ V1 e w 2 ∈ V2. Os
axiomas de espaço vetorial e a comutatividade da adição conduzem a:
v  w  v1  v2   w 1  w 2   v1  v2   w 1   w 2 
 v1  v2  w 1   w 2  v1  w 1  v2   w 2 
 v1  w 1   v2   w 2  v1  w 1   v2  w 2 
O vetor v1  w 1 pertence a V1, porque v1,w 1 ∈ V1 e V1 é subespaço. O vetor v2  w 2
pertence a V2, pois v2,w 2 ∈ V2 e V2 é subespaço. Em consequência, v  w ∈ V1  V2.
Sejam agora v ∈ V1  V2 e  ∈ R quaisquer. Existem v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2 tais que v  v1 
v2. Tem-se então:
16
17
v  v1  v2   v1  v2
Como v1 ∈ V1, v2 ∈ V2 e V1, V2 são subespaços, v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2. Assimsendo, v ∈
V1  V2. Portanto, o Teorema 2-2-1 diz que V1  V2 é subespaço vetorial de E.
Exemplo 10: Subespaço gerado pela reunião de dois subespaços. Sejam V1,V2
subespaços de um espaço vetorial E. Todo vetor v1 ∈ V1 pertence à soma V1  V2, pois
v1  v1  o e o vetor nulo o pertence a V2. Analogamente, todo vetor v2 ∈ V2 pertence a
V1  V2, porque v2  o  v2 e o ∈ V1. Segue-se que valem ambas as inclusões V1 ⊆ V1 
V2 e V2 ⊆ V1  V2. Logo, V1  V2 ⊆ V1  V2. Como V1  V2 é subespaço de E, (v.
Exemplo 9) o Teorema 2-2-3 diz que vale:
SV1  V2  ⊆ V1  V2
Seja agora v ∈ V1  V2 dado arbitrariamente. O vetor v é a soma v  v1  v2 de vetores
v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2. Tem-se v1, v2 ∈ V1  V2, porque v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2. Como V1  V2 ⊆
SV1  V2 , segue-se v1, v2 ∈ SV1  V2 . Sendo SV1  V2  um subespaço de E, tem-se
v  v1  v2 ∈ SV1  V2 . Conclui-se daí que vale a inclusão:
V1  V2 ⊆ SV1  V2 
Consequentemente, SV1  V2   V1  V2.
Exemplo 11: Sejam V um subespaço de um espaço E, u ∈ V, v ∈ E que não pertence a
V, e  ∈ R dado arbitrariamente. Como u ∈ V e V é subespaço, u ∈ V, portanto −u ∈
V. Logo, se v  u pertence a V então v  v  u − u pertence a V. Segue-se que v 
u não pertence a V, seja qual for  ∈ R.
Exemplo 12: Sejam V1, V2 subespaços de um espaço vetorial E. Se V1 não contém V2
e V2 não contém V1, então existe v1 ∈ V1 que não pertence a V2 e existe também v2 ∈
V2 que não pertence a V1. Pelo Exemplo 11, a soma v1  v2 não pertence a V1 (porque
v1 ∈ V1 e v2 ∉ V1) e também não pertence a V2 (porque v2 ∈ V2 e v1 ∉ V2). Logo, v1  v2
não pertence à reunião V1  V2. Como v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2, ambos os vetores v1, v2
pertencem à reunião V1  V2. Segue-se que V1  V2 não é subespaço vetorial de E,
porque existem v1, v2 ∈ V1  V2 tais que a soma v1  v2 não pertence a V1  V2.
Portanto, se V1  V2 é subespaço vetorial de E então V1 ⊆ V2 ou V2 ⊆ V1.
Reciprocamente: Se V1 ⊆ V2 então V1  V2  V2, e se V2 ⊆ V1 então V1  V2  V1.
Consequentemente, se vale uma das inclusões V1 ⊆ V2, V2 ⊆ V1 então a reunião V1 
V2 é subespaço vetorial de E.
Exemplo 13: Subespaço gerado por um vetor. Seja E um espaço vetorial. Dado w ∈ E,
seja:
D  w :  ∈ R
O conjunto D é não-vazio, porque o  0.w ∈ D. Sejam w 1,w 2 ∈ D e 1,2 ∈ R arbitrários.
Como w 1,w 2 ∈ D, existem números reais 1, 2 de modo que w 1  1w e w 2  2w .
Tem-se então:
1w 1  2w 2  11w   22w  
 11 w  22 w  11  22 w
Logo, 1w 1  2w 2 ∈ D. Decorre daí que D é subespaço vetorial de E. O vetor w
pertence a D, porque w  1.w . Por esta razão, Sw   Sw  ⊆ D. Sendo Sw  um
subespaço vetorial de E e w ∈ Sw , tem-se w ∈ Sw  para todo  ∈ R. Logo, D ⊆ Sw .
17
18
Decorre daí que se tem:
Sw   D  w :  ∈ R
Se o vetor w é não-nulo, o subespaço D chama-se a reta que passa pelo ponto o e de
vetor diretor w . Observe-se que se w  o então D é o conjunto o.
Exemplo 14: Sejam X um conjunto não-vazio e A um subconjunto não-vazio de X.
Sejam E  FX;R o espaço vetorial das funções f : X  R (v. Exemplo 2) e V ⊆ E a
classe das funções f : X  R tais que fx  0 para todo x ∈ A. Noutros termos, V é a
classe formada pelas funções f : X  E que se anulam no conjunto A. Evidentemente,
a função nula O : X  R (Ox  0 para todo x ∈ X) pertence a V. Logo, a classe V é
não-vazia. Sejam f1, f2 ∈ V e 1,2 ∈ R quaisquer. Tem-se f1x  f2x  0 para todo x ∈
A, e portanto 1f1  2f2 x  1f1x  2f2x  0, seja qual for x ∈ A. Segue-se que
1f1  2f2 ∈ V. Conclui-se daí que 1f1  2f2 ∈ V quaisquer que sejam f1, f2 ∈ V e 1,2
∈ R. Em consequência, V é um subespaço vetorial de E.
Exemplo 15: Seja X ⊆ R um conjunto não-vazio tal que −x ∈ X para todo x ∈ X. Diz-se
que uma função f : X  R é par quando fx  f−x para todo x ∈ X, e ímpar quando
f−x  −fx para todo x ∈ X. Sejam E  FX;R o espaço vetorial das funções
f : X  R, V1 ⊆ E o conjunto das funções  : X  R pares e V2 ⊆ E o conjunto das
funções  : X  R ímpares. Como a função nula O : X  R cumpre Ox  0 para
todo x ∈ X, a função nula O : X  R é par, e também ímpar. Logo, ambos os conjuntos
V1, V2 são não-vazios. Sejam 1,2 ∈ V1 e 1,2 ∈ R quaisquer. Como 1,2 : X  R
são funções pares, tem-se 1−x  1x e também 2−x  2x para todo x ∈ X. Por
isto, valem as igualdades:
11  22 −x  11−x  22−x 
 11x  22x  11  22 x,
seja qual for x ∈ X. Logo, 11  22 é uma função par. Conclui-se daí que V1 é um
subespaço vetorial de E. Sejam agora 1,2 ∈ V2 e 1,2 ∈ R dados arbitrariamente. As
funções 1,2 : X  R sendo ímpares, vale 1−x  −1x e 2−x  −2x para todo
x ∈ X. Por esta razão se tem:
11  22 −x  11−x  22−x  −11x − 22x 
 −11x  22x  −11  22 x,
qualquer que seja x ∈ X. Desta forma, 11  22 é uma função ímpar. Segue-se que
V2 é também um subespaço vetorial de E.
Exemplo 16: Seja X um conjunto não-vazio. Diz-se que uma função f : X  X  R é
simétrica quando fy, x  fx,y para todo x,y ∈ X  X, e antissimétrica quando fy, x
 −fx,y para todo par x,y ∈ X  X. Sejam E  FX  X;R o espaço vetorial das
funções f : X  X  R, S ⊆ E o conjunto das funções f : X  X  R simétricas e A ⊆ E
o conjunto das funções f : X  X  R antissimétricas. A função nula O : X  X  R é
simétrica e também antissimétrica, porque Ox,y  0 para todo par x,y ∈ X  X.
Assim sendo, os conjuntos S e A são ambos não-vazios. Sejam f1, f2 ∈ S quaisquer e
1,2 números reais arbitrários. Como f1y, x  f1x,y e f2y, x  f2x,y, segue-se:
1f1  2f2 y, x  1f1y, x  2f2y, x 
 1f1x,y  2f2x,y  1f1  2f2 x,y,
valendo estas igualdades para todo x,y ∈ X  X. Decorre daí que S é um subespaço
18
19
vetorial de E. Dadas g1, g2 ∈ A e 1,2 ∈ R quaisquer, tem-se g1y, x  −g1x,y e
também g2y, x  −g2x,y para todo par x,y ∈ X  X. Assim sendo,
1g1  2g2 y, x  1g1y, x  2g2y, x 
 −1g1x,y − 2g2x,y  −1g1x,y  2g2x,y 
 −1g1  2g2 x,y,
seja qual for x,y ∈ X  X. Segue-se que A é também um subespaço vetorial de E.
Exemplo 17: Sejam X ⊆ R, E, V1 e V2 como no Exemplo 15. Dada arbitrariamente
uma função f : X  R, sejam , : X  R definidas pondo:
x  fx  f−x2 , x 
fx − f−x
2
para todo x ∈ X. Então  é uma função par e  é uma função ímpar. Tem-se f    .
Em consequência, toda função f : X  R é a soma   , onde  ∈ V1 e  ∈ V2,
portanto pertence a V1  V2. Logo, E ⊆ V1  V2. Por outro lado, V1,V2 ⊆ E, donde V1 
V2 ⊆ E. Desta inclusão obtém-se V1  V2  SV1  V2  ⊆ E (v. Exemplo 10). Decorre daí
a igualdade E  V1  V2.
Exemplo 18: Sejam X, E, S e A como no Exemplo 16. Dada arbitrariamente
f : X  X  R, sejam s,a : X  X  R definidas pondo:
sx,y  fx,y  fy, x2 , ax,y 
fx,y − fy, x
2
para todo par x,y ∈ X  X. A função s é simétrica e a função a, antissimétrica. Pelas
definições acima, f  s  a. Portanto, toda função f : X  X  R é a soma s  a, onde s
∈ S e a ∈ A. Logo, E ⊆ S  A. Por outro lado, das inclusões A ⊆ E, S ⊆ E resulta S  A ⊆
E. Em consequência, E  S  A.
2-2-4 - Teorema: Sejam V1, V2 subespaços de um espaço vetorial E. Então as
afirmações seguintes são equivalentes:
a) Tem-se V1 ∩ V2  o.
b) Para cada vetor v ∈ V1  V2 existe um único par ordenado v1, v2  ∈ V1  V2 de modo
que v  v1  v2. Noutros termos: Cada vetor v ∈ V1  V2 se escreve, de modo único,
como v  v1  v2, onde v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2.
Demonstração:
(a)  (b): Admitindo que vale (a), sejam u1, u2  ∈ V1  V2 e v1, v2  ∈ V1  V2 tais
que u1  u2  v1  v2. Desta igualdade obtém-se u1 − v1  v2 − u2. Como u1, v1 ∈ V1 e
V1 é subespaço,u1 − v1 ∈ V1. Como u2, v2 ∈ V2 e V2 é subespaço, tem-se também v2 −
u2 ∈ V2. Assim sendo, resulta da igualdade u1 − v1  v2 − u2 que u1 − v1 ∈ V1 ∩ V2 e v2
− u2 ∈ V1 ∩ V2. Logo, u1 − v1  v2 − u2  o, donde u1  v1 e u2  v2. Portanto, u1, u2  
v1, v2 .
(b)  (a): Supondo agora que vale (b), seja v ∈ V1 ∩ V2. Tem-se v  v  o  o  v.
Como v ∈ V1 e também a V2, tem-se v, o ∈ V1  V2 e o, v ∈ V1  V2, pois o vetor nulo
o pertence a V1 e a V2. Pela propriedade (b) admitida, v, o  o, v, portanto v  o.
Segue-se então que V1 ∩ V2  o.
Sejam V1, V2 subespaços de um espaço vetorial E. Diz-se que V1  V2 é a soma
direta de V1 e V2, e escreve-se:
19
20
V1  V2  V1 ⊕ V2,
quando uma das (e portanto ambas as) condições listadas no Teorema 2-2-4 é
satisfeita.
Exemplo 19: Sejam V um subespaço de um espaço vetorial E e w ∈ E um vetor que
não pertence a V. Como foi demonstrado anteriormente, (v. Exemplo 13) o subespaço
Sw  de E gerado por w é:
Sw   w ∈ E :  ∈ R
Seja x ∈ V ∩ Sw . Como x ∈ Sw , existe  ∈ R tal que x  w . Como x ∈ V e V é
subespaço, se fosse  diferente de zero ter-se-ia 1/x ∈ V, e portanto (v. Teorema
2-1-3) w  1/x ∈ V. Decorre daí que   0, donde x  0.w  o. Segue-se que V ∩ Sw 
 o, e o Teorema 2-2-4 diz que V  Sw   V ⊕ Sw .
Exemplo 20: Dado um conjunto não-vazio X, seja E  FX;R o espaço vetorial (v.
Exemplo 2) das funções f : X  R. Dado x0 ∈ X, sejam V1 o conjunto das funções
f : X  R tais que fx0   0 e V2 o conjunto das funções f : X  R constantes. Ambos
os conjuntos V1, V2 são não-vazios, porque a função nula O : X  R é constante (de
fato, Ox  0 para todo x ∈ X) e se tem Ox0   0. Dadas f1, f2 ∈ V1, tem-se f1x0  
f2x0   0, e portanto:
1f1  2f2 x0   1f1x0   2f2x0   0,
sejam quais forem 1,2 ∈ R. Segue-se que V1 é subespaço vetorial de E. Sejam agora
g1, g2 ∈ V2. As funções g1, g2 : X  R sendo constantes, existem c1, c2 ∈ R de modo
que g1x  c1 e g2x  c2 para todo x ∈ X. Desta forma, dados quaisquer 1,2 ∈ R,
vale:
1g1  2g2 x  1g1x  2g2x  1c1  2c2,
seja qual for x ∈ X. Logo, a função 1g1  2g2 é constante. Conclui-se daí que V2 é
também subespaço vetorial de E. Seja  : X  R ∈ V1 ∩ V2. Tem-se x0   0 porque 
∈ V1 e também x  x0   0 para todo x ∈ X, porque  ∈ V2 e portanto é uma função
constante. Assim sendo,  é a função nula O : X  R. Em consequência, V1 ∩ V2 
O. Com isto, o Teorema 2-2-4 conta que V1  V2  V1 ⊕ V2. Dada arbitrariamente
f : X  R, sejam f1, f2 : X  R definidas pondo, respectivamente, f1x  fx − fx0  e
f2x  fx0  para todo x ∈ X. Então f1 ∈ V1 e f2 ∈ V2. Para cada x ∈ X vale fx 
fx − fx0   fx0   f1x  f2x  f1  f2 x. Logo, f  f1  f2. Segue-se que E  V1 
V2  V1 ⊕ V2.
Exemplo 21: Sejam E  Rn o conjunto das n-uplas ordenadas x : In  R, V1 ⊆ Rn o
conjunto das n-uplas x  x1,… , xn  ∈ Rn tais que xn  0 e V2 o conjunto das n-uplas x
∈ Rn cujas coordanadas são todas iguais. Então V1 é (v. Exemplo 20) o subespaço
vetorial das funções x : In  R tais que xn  xn  0 e V2 é o subespaço vetorial das
funções x : In  R constantes. Resulta do Exemplo 20 que Rn  V1 ⊕ V2.
Exemplo 22: Seja X ⊆ R um conjunto não-vazio simétrico, isto é, −x ∈ X para todo x ∈
X. Sejam E  FX;R o espaço vetorial das funções f : X  R, V1 ⊆ E o conjunto das
funções pares  : X  R e V2 ⊆ E o conjunto das funções ímpares  : X  R. Ambos
os conjuntos V1, V2 são subespaços vetoriais de E e se tem:
E  V1  V2
(v. Exemplos 15 e 17). Se  : X  R é par e ímpar então x  −x  −−x, donde
20
21
x  0, seja qual for x ∈ X. Assim sendo, a única função real definida em X que é par
e também ímpar é a função nula O : X  R. Segue-se que V1 ∩ V2  O. Com isto, o
Teorema 2-2-4 diz que V1  V2  V1 ⊕ V2. Desta forma,
E  V1 ⊕ V2
Dada f : X  R, sejam ,  : X  R definidas pondo:
x  fx  f−x2 , x 
fx − f−x
2
A função  : X  R é par, a função  : X  R é ímpar, e se tem f    . Sendo E 
V1 ⊕ V2, resulta do Teorema 2-2-4 que toda função f : X  R se escreve, de modo
único, como f    , onde  : X  R é par e  : X  R é ímpar. Assim, se f  g  h,
onde g : X  R é par e h : X  R é ímpar, então:
gx  x  fx  f−x2 e hx  x 
fx − f−x
2 ,
seja qual for x ∈ X.
Exemplo 23: Sejam X um conjunto não-vazio, E  FX  X;R o espaço vetorial das
funções f : X  X  R, S ⊆ E o conjunto das funções simétricas s : X  X  R e A ⊆ R
o conjunto das funções antissimétricas a : X  X  R. Ambos os conjuntos S, A são
subespaços vetoriais de E, e vale a igualdade:
E  S  A
(v. Exemplos 16 e 18). Se f : X  X  R é simétrica e também antissimétrica então se
tem fx,y  fy, x  −fy, x, e portanto fx,y  0, para todo par x,y ∈ X  X.
Portanto, a única função definida em X  X que é simétrica e também antissimétrica é
a função nula O : X  X  R. Em consequência, S ∩ A  O. Logo, S  A  S ⊕ A.
Desta forma, E  S  A  S ⊕ A.
Exemplo 24: Seja n inteiro positivo. Uma matriz quadrada a  aik  ∈ Mn  n diz-se
simétrica quando aik  aki para quaisquer i, k ∈ In, e antissimétrica quando aik  −aki
sejam quais forem i, k ∈ In. Sejam Sn  n e An  n respectivamente os conjuntos das
matrizes n  n simétricas e antissimétricas. Uma matriz n  n simétrica (resp.
antissimétrica) é uma função a : In  In  R simétrica (resp. antissimétrica). Assim
sendo, os conjuntos Sn  n e An  n são subespaços vetoriais de Mn  n. Resulta
do Exemplo 23 que se tem:
Mn  n  Sn  n ⊕ An  n
Dada uma matriz m  mik  ∈ Mn  n, sejam s e a ∈ Mn  n definidas por:
sik  mik  mki2 , aik 
mik − mki
2
A matriz s é simétrica e a matriz a é antissimétrica. Pelas definições de s e a, m  s 
a. Pelo Teorema 2-2-4, este é o único modo de escrever uma matriz quadrada m ∈
Mn  n como soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica.
Seja X um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial E. Uma combinação linear
de vetores de X é um vetor x ∈ E que se escreve na forma:
x  1x1    nxn
onde x1,… , xn pertencem a X e 1,… ,n são números reais. O fecho linear de X,
indicado com a notação:
X
21
22
é o subconjunto de E formado pelas combinações lineares dos vetores de X.
2-2-5 - Teorema: Seja X um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial E. Então,
seu fecho linear X é o subespaço SX de E gerado por X.
Demonstração:
Seja x ∈ X arbitrário. Como X ⊆ SX, tem-se x ∈ SX. Sendo SX subespaço de E,
x ∈ SX para todo  ∈ R. Logo, toda combinação linear x, onde x ∈ X e  ∈ R,
pertence a SX. Seja n inteiro positivo qualquer. Admitindo que toda combinação
linear ∑k1n kxk de vetores de X pertence a SX, sejam x1,… , xn1 ∈ X e 1,… ,n1
números reais. Tem-se:
∑k1n1 kxk  ∑k1n kxk  n1xn1 (13)
Pela hipótese feita acima, a combinação linear ∑k1n kxk pertence a SX. Como xn1
pertence a X, a combinação linear n1xn1 também pertence a SX. Assim, segue de
(13) que a combinação linear ∑k1n1 kxk pertence a SX. Portanto, resulta do Princípio
da Indução que toda combinação linear de vetores de X pertence a SX. Em
consequência,
X ⊆ SX (14)
Tem-se X ⊆ X. Com efeito: Sendo x  1.x, todo elemento x ∈ X é uma combinação
linear de vetores de X. Como X é não-vazio, seu fecho linear é não-vazio. Sejam agora
x, y ∈ X e , ∈ R dados arbitrariamente. Os vetores x e y são combinações lineares de
vetores de X. Por esta razão, x e y se escrevem respectivamente como:
x  1x1    mxm, y  1y1    nyn
onde x1,… , xm, y1,… , yn ∈ X e 1,… ,m, 1,… ,n são números reais. Assim sendo,
x  y 
 1x1    mxm  1y1    nyn  
 1 x1   mxm  1 y1    n yn
Logo x  y é uma combinação linear de vetores de X, portanto pertence a X.
Segue-se que X é um subespaço de E que contém X. Por isto,
SX ⊆ X (15)
Das inclusões (14) e (15) obtém-se:
X  SX
como se queria demonstrar.
Seja E um espaço vetorial. O Teorema 2-2-5 diz que o subespaço SX gerado por
um conjunto não-vazio X ⊆ E é o seu fecho linear X. Desta forma, a definição de
fecho linear pode ser estendida para o conjunto vazio, pondo (v. Exemplo 8) ∅  S∅ 
o.
Diz-se que um espaço vetorial E é de dimensão finita quando existe um conjunto
finito X ⊆ E que gera E. Noutros termos, quando existe um conjunto finito X ⊆ E de
modo que E  SX.
Um espaço vetorial E é de dimensão infinita quando não é de dimensão finita.
22
23
Portanto, E é de dimensão infinita quando nenhum conjunto finito X ⊆ E gera E.
Os espaços de funções FX;R, onde X é um conjunto finito não-vazio, são
exemplos de espaços vetoriais de dimensão finita. Isto é o que afirma o próximo
teorema.
2-2-6 - Teorema: Seja X um conjunto finito não-vazio. Então o espaço vetorial FX;R,
das funções reais definidas em X, é de dimensão finita.
Demonstração: Seja X  x1,… , xn, onde n  cardX é o número de elementos de X.
Para cada k  1,… , n, seja k : X  R a função característica do conjunto xk,
definida pondo:
kx  1, se x ∈ xk
0, se x ∉ xk
Se k é diferente de l então xk é diferente de xl, logo xl não pertence a xk. Portanto,
tem-se:
kxl  1, se k  l
0, se k ≠ l
quaisquer que sejam k, l ∈ In. Seja f : X  R uma função qualquer. Para cada l 
1,… , n, kxl  0 se k ∈ In\l, logo ∑k∈In\l kxl  ∑k1l−1 kxl  ∑kl1n kxl  0. Por
esta razão, tem-se:
fxl  fxl. 1  fxl lxl 
 fxl lxl ∑k∈In\l fxk kxl  ∑k1n fxk kxl
valendo estas igualdades para cada l ∈ In. Logo, a função f é a combinação linear
∑k1n fxk k das funções 1,… , n. Assim sendo, o conjunto 1,… , n gera FX;R. O
teorema está demonstrado.
Exemplo 25: Seja E um espaço vetorial. Evidentemente, toda combinação linear de
vetores do conjunto o é o vetor nulo o. Logo, So  o  o. Tem-se também (v.
Exemplo 8) S∅  o. Portanto, um subespaço vetorial de E pode ser gerado por
conjuntos diferentes.
Exemplo 26: Seja X um conjunto de geradores de um espaço vetorial E, isto é, um
conjunto X ⊆ E que gera E. Todo conjunto Y ⊆ E que contém X gera E. Com efeito, se X
⊆ Y então E  SX ⊆ SY ⊆ E.
Exemplo 27: Seja X  In, onde n é inteiro positivo. O espaço vetorial FX;R das
funções f : X  R é o espaço vetorial Rn das n-uplas ordenadas de números reais.
Segue do Teorema 2-2-6 que Rn é um espaço de dimensão finita. As funções
características dos conjuntos 1,… , n são representadas pelos símbolos e1,… , en,
nesta ordem. Portanto, ek é, para cada k  1,… , n, a n-upla ordenada de números reais
cuja k-ésima coordenada é igual a 1 enquanto que as demais são iguais a zero. Em
particular, e1  1,0, e2  0,1 se n  2 e quando n  3 tem-se e1  1,0,0, e2 
0,1,0 e e3  0,0,1. Pelo Teorema 2-2-6, vale x  ∑k1n xkek para toda n-upla x 
x1,… , xn  ∈ Rn.
23
24
Exemplo 28: O espaço vetorial FIm  In;R das funções a : Im  In  R é o espaço
vetorial Mm  n das matrizes reais m por n. O conjunto Im  In é finito, e tem mn
elementos (v. Lima, Curso de Análise Vol. 1, 1989, p. 37-38). O Teorema 2-2-6 diz então
que Mm  n é um espaço vetorial de dimensão finita. Para cada par i, k ∈ Im  In, a
função característica do conjunto i, k é a matriz eik : Im  In  R, que assume o
valor 1 no par ordenado i, k e o valor zero nos demais pares ordenados que formam Im
 In. Pelo Teorema 2-2-6, Mm  n é gerado pelo conjunto eik : i, k ∈ Im  In. Para
toda matriz a  aik  ∈ Mm  n, tem-se a  ∑ i1m ∑k1n aikeik.
2-3 - Dependência e independência linear.
Dados os conjuntos A, B, a notação:
A\B
representa o complementar do conjunto B relativamente ao conjunto A. Portanto,
A\B  x : x ∈ A, x ∉ B
Em particular,
A\x  y : y ∈ A, y ∉ x  y ∈ A : x ≠ y
Seja E um espaço vetorial. Um conjunto X ⊆ E diz-se linearmente dependente,
abreviadamente LD, quando existe x ∈ X tal que x ∈ SX\x, e linearmente
independente, abreviadamente LI, quando não é linearmente dependente.
2-3-1 - Teorema: Seja E um espaço vetorial. Então, valem as seguintes afirmações:
a) O conjunto vazio ∅ é LI.
b) O conjunto o, cujo único elemento é o vetor nulo o ∈ E, é LD.
c) Um conjunto x, que possui um único elemento, é LD se, e somente se, x  o.
d) Se um conjunto X ⊆ E contém um conjunto LD então é LD.
e) Um conjunto X ⊆ E é LI se, e somente se, todos os seus subconjuntos o são.
f) Todo subespaço vetorial V ⊆ E é LD.
Demonstração:
(a): Pela definição acima, conjuntos LD são não-vazios. Logo, o conjunto vazio ∅ é
LI.
(b): De fato, como o\o é o conjunto vazio ∅ e S∅  o, (v. Exemplo 8) o
elemento o ∈ o pertence ao subespaço So\o.
(c): Com efeito: Sendo x o único elemento do conjunto x, tem-se que x ∈ LD se,
e somente se, x ∈ Sx\x  S∅.
(d): Se A ⊆ X é LD então existe x ∈ A tal que x ∈ SA\x. Para este x, tem-se A\x
⊆ X\x, e portanto SA\x ⊆ SX\x. Logo, existe x ∈ X de modo que x ∈ SX\x.
(e): Segue da propriedade (d) já demonstrada.
(f): Seja V ⊆ E um subespaço. Então o ∈ V, portanto o ⊆ V. Pela propriedade (b)
já demonstrada, o conjunto o é LD. Decorre daí e da propriedade (d) que V é LD.
Os quatro resultados abaixo fornecem condições necessárias e suficientes para que
um dado conjunto de vetores seja LD. Portanto, eles fornecem métodos para verificar a
dependência ou a independência linear de um conjunto de vetores de um espaço
vetorial E.
2-3-2 - Teorema: Um subconjunto de um espaço vetorial E é LD se, e somente se,
24
25
contém um conjunto finito LD. Portanto, um subconjunto de um espaço vetorial E é LI
se, e somente se, todos os seus subconjuntos finitos o são.
Demonstração: Seja X ⊆ E um conjunto LD. Se X possui um único elemento, então X
 o, (v. Teorema 2-3-1) e nada mais há para demonstrar. Admitindo, por outro lado,
que X possui mais de um elemento, seja x0 ∈ X tal que x0 ∈ SX\x0. Como X\x0 é
não-vazio, o subespaço SX\x0 é (v. Teorema 2-2-5) o fecho linear X\x0 do
conjunto X\x0. Assim sendo, existe um conjunto finito B  x1,… , xn ⊆ X\x0 de
modo que x0 se escreve como x0  ∑k1n kxk, onde 1,… ,n são números reais. Logo,
x0 pertence ao fecho linear B de B, e portanto ao subespaço SB gerado por B. Os
conjuntos B e x0 são disjuntos, porque B ⊆ X\x0. Por esta razão, B  B\x0 
B  x0\x0. Segue-se que x0 ∈ SB  x0\x0. Como x0 ∈ B  x0, segue-se
que o conjunto B  x0 ⊆ X é finito e LD. Reciprocamente: Pelo Teorema 2-3-1, se X
contém um conjunto finito LD então é LD. O teorema está demonstrado.
2-3-3 - Teorema: Seja X  x1,… , xn um subconjunto de um espaço vetorial E. Então
X é LD se, e somente se, existem números reais a1,… , an tais que ∑k1n |ak|  0 e
∑k1n akxk  o. Noutros termos, existem números reais a1,… , an tais que ∑k1n akxk  o
enquanto que al ≠ 0 para algum l ∈ In.
Demonstração: Se n  1 então X  x1 é LD se, e somente se, x1  o (v. Teorema
2-3-1). Neste caso, tem-se x1  1.x1  o. Dado n inteiro positivo maior do que 1, seja X
 x1,… , xn ⊆ E. Se X é LD então existe k ∈ In tal que xk ∈ SX\xk. Como n  1, o
conjunto X\xk é não-vazio. Logo, SX\xk é (v. Teorema 2-2-5) o fecho linear
X\xk de X\xk. Logo existem a1,… , ak−1, ak1,… , an ∈ R de modo que:
xk  ∑ i1k−1 aix i ∑ ik1n aix i
Logo,
∑ i1k−1 aix i − xk ∑ ik1n aix i 
 ∑ i1k−1 aix i  −1xk ∑ ik1n aix i  o
Reciprocamente: Supondoque existem a1,… , an ∈ R tais que ∑k1n akxk  o e al ≠ 0 para
algum l ∈ In, tem-se:
x l  1/alalx l  −1/al∑k∈In\l akxk
Logo, x l ∈ SX\x l. Segue-se que X é LD, e a demonstração está concluída.
2-3-4 - Teorema: Um subconjunto X de um espaço vetorial E é LD se, e somente se,
existem x1,… , xn ∈ X e a1,… , an ∈ R tais que ∑k1n |ak|  0 e ∑k1n akxk  o.
Demonstração: Com efeito, o Teorema 2-3-2 diz que X ⊆ E é LD se, e somente se,
contém um conjunto finito x1,… , xn que é LD. Daí e do Teorema 2-3-3 segue o
resultado acima.
Dado um conjunto finito não-vazio X, seja n  cardX o número de seus elementos.
Existe uma bijeção  : In  X. Fazendo x1  1,… , xn  n, escreve-se X 
x1,… , xn. Como se pode mostrar sem dificuldade, a relação em X definida pondo:
x  y  −1x ≤ −1y
é uma relação de ordem total. O conjunto X diz-se então ordenado por . Como 1 
25
26
−1x1 ,, n  −1xn , segue-se x1    xn. x1 é o primeiro elemento e xn é o último
elemento de X. Dado m ∈ In, os elementos do conjunto xk : 1 ≤ k  m, o qual é vazio
se m  1, chamam-se anteriores a xm. Os elementos do conjunto xk : m  k ≤ n, o
qual é vazio se m  n, dizem-se subsequentes a xm.
2-3-5 - Teorema: Seja X  x1,… , xn um subconjunto de um espaço vetorial E que
possui n elementos. Então, as afirmações seguintes são equivalentes:
a) X é LD.
b) Existe m ∈ In tal que xm pertence ao subespaço gerado pelos vetores x ∈ X anteriores
a xm.
c) Existe m ∈ In tal que xm pertence ao subespaço gerado pelos vetores x ∈ X
subsequentes a xm.
Demonstração:
(a)  (b): Se X é LD, então existem, conforme o Teorema 2-3-3, a1,… , an ∈ R de
modo que ∑k1n |ak|  0 e ∑k1n akxk  o. O conjunto K dos índices k ∈ In tais que ak ≠ 0
é não-vazio. Como K ⊆ In, K é um conjunto finito não-vazio de números inteiros
positivos. Logo, K possui maior elemento (v. Lima, Curso de Análise Vol. 1, 1989, p.
36-37). Seja então m  maxK o maior elemento do conjunto K. Tem-se ak  0 se k  m,
logo ∑k1n akxk  ∑k1m akxk  o. Se for m  1, então ∑k1m akxk  a1x1  o. Como a1  am
é diferente de zero, segue-se xm  x1  o. Uma vez que o conjunto X1 dos vetores
anteriores a x1 é vazio, tem-se o  xm ∈ SX1  (v. Exemplo 8). Se, por outro lado, m  1,
então m − 1 ≥ 1, donde ∑k1n akxk  ∑k1m akxk  ∑k1m−1 akxk  amxm  o. Como am é
diferente de zero, tem-se xm  −∑k1m−1ak/amxk. Logo, xm pertence ao subespaço
Sx1,… , xm−1  gerado pelos vetores x1,… , xm−1, que são os anteriores a xm.
Reciprocamente: Para cada m ∈ In, o conjunto Xm formado pelos vetores x ∈ X
anteriores a xm está contido em X\xm, porque é disjunto de xm. Logo, se xm ∈ SXm
para algum m ∈ In então X é LD.
(a)  (c): Admitindo X LD, sejam a1,… , an ∈ R e K ⊆ In como acima. Sendo K ⊆ In
um conjunto não-vazio de números inteiros positivos, possui menor elemento. Fazendo
agora m  minK, tem-se ∑k1n akxk  ∑kmn akxk  o, pois ak  0 se k  m. Se m  n,
então amxm  anxn  o. Daí obtém-se xm  xn  o, porque an é diferente de zero. Como o
conjunto Yn dos vetores x ∈ X subsequentes a xn é vazio, segue-se o  xn ∈ SYn . Se,
por outro lado, 1 ≤ m  n, então m  1 ≤ n, portanto ∑k1n akxk  ∑kmn akxk  amxm 
∑km1n akxk  o. O número am sendo diferente de zero, tem-se xm  −∑km1n ak/amxk.
Logo, xm pertence ao subespaço gerado pelo conjunto Ym  xm1,… , xn dos vetores
subsequentes a xm. Reciprocamente: Para cada m ∈ In, o conjunto Ym dos vetores x ∈ X
subsequentes a xm está contido em X\xm. Segue deste fato que, se xm ∈ SYm para
algum m ∈ In então X é LD.
Seja X  x1,… , xn um subconjunto de um espaço vetorial E que possui n
elementos. Diz-se que os vetores x1,… , xn são linearmente dependentes,
abreviadamente LD, quando o conjunto X é LD, e linearmente independentes,
abreviadamente LI, quando o conjunto X é LI. Portanto, a expressão “os vetores
x1,… , xn são LD” (resp. LI) significa que x1,… , xn são distintos dois a dois e que o
conjunto x1,… , xn formado por eles é LD (resp. LI).
Será demonstrado no desenvolvimento subsequente que todo subconjunto LI de
26
27
um espaço vetorial E de dimensão finita é finito, e o número de seus elementos não
excede um certo número inteiro não-negativo n. Para tanto, será necessário o seguinte
teorema:
2-3-6 - Teorema: Sejam X, Y subconjuntos de um espaço vetorial E. Valem as
seguintes afirmações:
a) SX  Y  SX  SY.
b) Se X  Y é LI então SX ∩ Y  SX ∩ SY.
Demonstração:
(a): Como já foi demonstrado anteriormente (v. Exemplo 10) vale a igualdade:
SSX  SY  SX  SY, (16)
porque SX e SY são subespaços vetoriais de E. Da equação (16) obtém-se:
X ⊆ SX ⊆ SX  SY ⊆ SSX  SY  SX  SY, (17)
e também:
Y ⊆ SY ⊆ SX  SY ⊆ SSX  SY  SX  SY (18)
Por sua vez, as relações (17) e (18) conduzem a:
X  Y ⊆ SX  SY (19)
Segue de (19) que SX  SY é um subespaço de E que contém o conjunto X  Y. Por
esta razão,
SX  Y ⊆ SX  SY (20)
Reciprocamente: Como X  Y contém os conjuntos X e Y, o Teorema 2-2-3 conta que
vale SX ⊆ SX  Y e também SY ⊆ SX  Y. Logo, SX  SY ⊆ SX  Y. Sendo
SX  Y um subespaço de E, segue-se:
SX  SY  SSX  SY ⊆ SX  Y (21)
De (20) e (21) obtém-se SX  Y  SX  SY.
(b): Sejam X,Y ⊆ E com X  Y LI. Se X é vazio ou Y é vazio, nada mais há para
demonstrar. Admitindo que X e Y são ambos não-vazios, seja v ∈ SX ∩ SY arbitrário.
Tem-se v ∈ SX e também v ∈ SY. Como X e Y são não-vazios, existem conjuntos
finitos A  x1,… , xm ⊆ X e B  y1,… , yn ⊆ Y com m e n elementos respectivamente,
de modo que:
v  a1x1    amxm  b1y1    bnyn (22)
A equação (22) fornece:
a1x1    amxm − b1y1 −  − bnyn  o (23)
Se A e B são disjuntos, então A  B  x1,… , xm,y1,… , yn possui m  n elementos e é
LI, porque A  B ⊆ X  Y. Assim sendo, a equação (23) e o Teorema 2-3-3 conduzem a:
a1    am  b1    bn  0 (24)
Das equações (22) e (24) resulta v  o. Logo, v ∈ SX ∩ Y. Se, por outro lado, A ∩ B é
não-vazio, então, renumerando os conjuntos A e B se necessário, pode-se admitir, sem
perda de generalidade, A ∩ B  x1,… , xr, B  x1,… , xr, y r1,… , yn e B\A 
y r1,… , yn, onde r é o número de elementos de A ∩ B, 1 ≤ r ≤ minm,n. Assim, a
equação (23) torna-se:
∑k1r ak − bk xk ∑kr1m akxk − ∑kr1n bkyk  o (25)
Tem-se A  B  A  B\A  x1,… , xm,y r1,… , yn. Como A  B é LI, segue de (25) e do
27
28
Teorema 2-3-3 que são satisfeitas as seguintes condições:
ak  bk, k  1,… , r
ar1    am  br1    bn  0
(26)
As igualdades (22) e as condições (26) fornecem v  ∑k1r arxr  ∑k1r bry r donde v ∈
SA ∩ B. Como A ⊆ X e B ⊆ Y, A ∩ B ⊆ X ∩ Y, logo SA ∩ B ⊆ SX ∩ Y. Portanto, v ∈
SX ∩ Y. Segue-se que SX ∩ SY ⊆ SX ∩ Y. Reciprocamente: Como X ∩ Y ⊆ X e X ∩
Y ⊆ Y, valem ambas as inclusões SX ∩ Y ⊆ SX, SX ∩ Y ⊆ SY. Assim sendo, tem-se
SX ∩ Y ⊆ SX ∩ SY. Isto prova a igualdade SX ∩ Y  SX ∩ SY, e encerra a
demonstração.
2-3-7 - Teorema: Seja X um subconjunto finito de um espaço vetorial E. Então, todo
conjunto finito Y ⊆ SX com cardY  cardX é LD.
Demonstração: Por indução no número de elementos de X. Seja m  cardX. Se m  0
então X é o conjunto vazio, e portanto SX  o. Logo, o teorema vale para m  0.
Supondo que ele seja válido para um certo m inteiro não-negativo, sejam X 
u1,… , um1 ⊆ E um conjunto com m  1 elementos, e Y  w 1,… ,w n qualquer
subconjunto do subespaço SX com n  cardY  m  1. O conjunto X é a reunião
(disjunta) X  u1  X\u1. Portanto, o Teorema 2-3-6 diz que vale:
SX  Su1   SX\u1 (27)
O subespaço Su1  gerado pelo vetor u1 é o conjunto dos vetores da forma u1,