Inversao_de_Matrizes_2012.1_M

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Matrizes Inversas
Bernardo Bandeira Ribeiro
Bernardo de Luca De Franciscis Moutinho
Diana Carvalho
Felipe Bravo de Mello
Igor Quintanillha Camillo
Thiago da Silva Abinader Feder
Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
			ÁLGEBRA LINEAR II 	 ENGENHARIA DE PRODUÇÃO	Prof.: Mário Jorge
Definição
 Uma matriz A é dita como inversa quando existe uma outra matriz B de mesma ordem que se relacione com ela dessa maneira:
	A . B = B . A = I 
 sendo I a matriz identidade.
Logo podemos definir que : B = A-1
Exemplo de matriz inversa 2x2
Condições para existência de uma matriz inversa
Para que uma matriz possa considerada ser inversa ela deve apresentar as seguintes características:
	- Ela deve ser uma matriz quadrada
	- Seu determinante não pode ser nulo
	- Para uma determinada matriz A só pode existir uma única matriz inversa da mesma
Propriedades da Inversa
 A inversa da matriz inversa é:
(A–1)–1 = A
A PRÓPRIA MATRIZ!
 A transposta da inversa é:
Propriedades da Inversa
(A–1)t = (At)–1
A INVERSA DA TRANSPOSTA!
 Matriz inversa de um produto de matrizes é:
Propriedades da Inversa
(AB)–1 = B–1 · A–1
O PRODUTO DAS INVERSAS DAS MATRIZES COM ORDEM TROCADA!
 Matriz quadrada Anxn diz-se ortogonal se:
Propriedades da Inversa
 A–1 = At
A SUA INVERSA FOR IGUAL À SUA TRANSPOSTA!
Exemplo:
 
Para encontrar a inversa de uma Matriz A existem quatro métodos distintos. São eles:
		(i) Por Sistemas Lineares
	
		(ii) Por Gauss-Jordan
		(iii) Por Partição
		(iv) Por Co-fatores
Métodos de encontrar a inversa
 Como obter a inversa de ?
Inversa por Sistema Linear
É ISSO QUE NÓS VAMOS FAZER AGORA, AMIGUINHOS!
 Supondo que é a matriz inversa 
da matriz A, temos:
Inversa por Sistema Linear
 Resolvendo os sistemas:
 a = 1, b = –1, c = –2  e  d = 3
Inversa por Sistema Linear
 Logo:
Método de Gauss-Jordan
O método de Gauss-Jordan consiste em emparelhar a matriz A com uma matriz identidade I de mesma ordem e, através de operações elementares, transformar a matriz A em uma matriz identidade. 
Ao realizarmos simultaneamente as mesmas operações elementares na matriz I, esta será transformada na inversa de A. 
Exemplo
Encontre a inversa da matriz:
Para resolver esse problema, emparelhamos a matriz com uma matriz identidade de mesma ordem.
Agora, utilizamos as operações elementares para transformar a matriz da esquerda em uma matriz identidade
Linha 1 = linha 1 – linha 2
Linha 2 = linha 2 – (2x)linha 2
Logo, segundo o método de Gauss-Jordan, a matriz inversa é:
Método por Partição
Quando Aplicar: O método de resolução baseado na partição deve ser usado nos casos em que a matriz em questão é muito grande, dificultando a utilização dos métodos de inversão citados anteriormente
Metodologia:
Repartir a matriz original (de forma que A11 seja quadrada)
Exemplo:
Método por Partição
2) Definir uma matriz B=A–1
	3) Utilizando a definição de matriz inversa, 	encontrar B
		4) Resolver o sistema resultante
Inversão pelo método dos co-fatores
Para inverter uma matriz utilizando esse método, precisamos partir do princípio que:
		 
Entendendo a expressão:
A’: Matriz inversa de A
det A: Determinante da matriz A
(cof A)t: Matriz transposta dos cofatores da matriz A
O cálculo do co-fator
Para calcular o co-fator utilizamos a seguinte expressão:
Vamos supor uma matriz: 
Se quisermos calcular o cofator C23, então fazemos:
O cálculo do cofator
Usando a definição, temos que:
Portanto, se tivermos uma matriz A: 
A matriz C dos co-fatores de A será:
Exercício
Calcule a inversa da matriz pelo método de Gauss-Jordan:
Solução
Primeiramente, emparelhamos a matriz identidade
Agora, basta usarmos as operações elementares buscando transformar a matriz A em uma matriz identidade
1° passo: Linha 1 = Linha 1 + Linha 2 . (-1)
2° passo: Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 . (-1)
3° passo: Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 . (-2)
4° passo: Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 . (-3)
E por último,
5° passo: Linha 2 = Linha 2 + Linha 3
6° passo: Linha 3 = Linha 3 . (-1)
Portanto, a matriz inversa de A é:
Aplicações das matrizes inversas
As matrizes inversas, assim como os determinantes, são normalmente utilizadas para resolver sistemas de equações matemáticas envolvendo diversas variáveis. Essas equações podem estar relacionadas à certas áreas como controle de estoque, planejamento da produção de peças, programação de jogos, etc...
Exercício
1) Calcule a inversa da seguinte matriz, utilizando o método de partições:
A=
1 2 4
0 2 1
3 1 2
Método por Partição - Exercício
Resolução:
A=
1 2 4
0 2 1
3 1 2
A11=
A12=
A21=
A22=
1 2
0 2
4
1
3 1
2
Método por Partição - Exercício
1 2
0 2
4
1
B11
B21
1 0
0 1
1 2
0 2
B12
4
1
B22
0
3 1
B11
B21
2
0
3 1
B12
B22
2
1 0
-1/5 0 2/5
-1/5 2/3 1/15
2/5 -1/3 -2/15 
A-1=
Resolução no quadro!
Exercício
Ache a inversa da matriz abaixo utilizando o método dos co-fatores.
Solução
Calculamos det A = 0 + 6 = 6 0, logo a inversa existe.
Determinamos a matriz dos cofatores de A:
A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3
A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2
A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1
Solução
3) Determinamos a transposta da matriz dos co-fatores de A:
4) Encontramos a matriz inversa de A:
Solução
5) Para finalizar, fazemos a verificação:
“Uma aula feita pelos alunos e para os alunos tem resultados melhores do que as convencionais.”
FIM
(OLIVEIRA, Mário Jorge de)