Exercicios_Processos_estocasticos_e_sistemas.Ea1.2010-2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA DE QUÍMICA 
Lista de Exercícios
Álgebra Linear 2
Professor Mário Jorge
28/10/2010
Grupo:
 
Erica
 B
atista
Isabela Ferreira
João Victor Rodriguez
Marcela Esteves
Renan 
Villefort
 
 
	
Exercícios de Processos Estocásticos:
A, B e C são três eventos de um mesmo espaço amostral, tais que: P(B) = 0,5; P(B | C) = 0,4; P(C) = 0,3 e P[A | (B ∩ C)] = 0,5. Calcule P(A ∩ B ∩ C).
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Eles podem ser independentes?
Uma cidade tem 30000 habitantes e três jornais: A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que 12000 leem A; 8000 leem B; 7000 leem A e B; 6000 leem C; 4500 leem A e C; 1000 leem B e C; 500 leem A, B e C. Selecionamos ao acaso um habitante dessa cidade. Qual a probabilidade de que ele leia:
Pelo menos um jornal?
Somente um jornal?
Considere todos os inteiros positivos com 3 dígitos diferentes.
Quantos são maiores que 700?
Quantos são ímpares?
Quantos são pares?
Quantos são divisíveis por 5?
11. Uma senhora tem 11 amigos íntimos.
De quantas maneiras ela pode convidar 5 deles para jantar?
De quantas maneiras ela pode convidar 5 deles para jantar se 2 deles são casados e não comparecerão separados?
De quantas maneiras ela pode convidar 5 deles para jantar se 2 deles não se falam e, portanto, não comparecerão juntos?
Um homem distribuiu 5 cartas (uma mão de pôquer) de um baralho comum. De quantas maneiras ele pode distribuir:
Uma seqüência do mesmo naipe.
Uma quadra.
Uma seqüência não importando o naipe (excluir a seqüência do mesmo naipe).
Uma trinca. 
Numa classe há 12 estudantes. De quantas maneiras os 12 podem receber 3 testes diferentes,
se cada 4 estudantes devem receber o mesmo teste? 
De quantas maneiras 9 brinquedos podem ser divididos igualmente entre 3 crianças? 
De quantas maneiras 12 membros de um clube podem ser divididos em 3 comissões, contendo cada uma delas 5, 4 e 3 membros respectivamente?
Um dado é viciado de modo que um número par é duas vezes mais provável que um número
ímpar. Encontre a probabilidade de que:
Um número par ocorra?
Um número primo ocorra?
Um número primo par ocorra em um lançamento? 
É dada a distribuição de 300 estudantes segundo o sexo e a área de concentração:
	
	Biologia
	Exatas
	Humanas
	Masculino
	52
	40
	58
	Feminino 
	 38
	32
	80
Um estudante é sorteado ao acaso:
Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo feminino e da área de humanas?
Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo masculino e não seja da área de
biológicas?
Dado que foi sorteado um estudante da área de humanas, qual é a probabilidade de
que ele seja do sexo feminino? 
Uma urna onde existiam oito bolas brancas e seis azuis foi perdida uma bola de cor desconhecida. Uma bola foi retirada da urna. Qual é a probabilidade de a bola perdida ser branca, dado que a bola retirada é branca?
Um sistema automático de alarme contra incêndio utiliza três células sensíveis ao calor que agem independentemente uma da outra. Cada célula em funcionamento com probabilidade 0,8 quando a temperatura atinge 60 ºC. Se pelo menos uma das células entrar em funcionamento, o alarme soa. Calcular a probabilidade do alarme soar se a temperatura atingir 60 ºC.
Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam futebol e 30% praticam natação. Dentre os que praticam futebol, 20% praticam também natação.
Que percentagem de alunos não pratica nenhum esporte? 
A probabilidade de que João resolve esse problema é de 1/3, e a de que José o resolva é de ¼. Se ambos tentarem independentemente resolver, qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 
Uma água é contaminada se forem encontrados bacilos do tipo A e/ou bacilos B e C simultaneamente. As probabilidades de se encontrarem bacilos tipos A, B e C são, respectivamente 0,3; 0,2 e 0,5. Existindo bacilos do tipo A não existirão bacilos do tipo B. Existindo bacilos do tipo B, a probabilidade de existirem bacilos do tipo C é reduzida pela metade.
Qual a probabilidade de aparecerem bacilos B ou C?
Qual a probabilidade de a água estar contaminada? 
O farol A fica aberto 20 s/min, o farol B 30 s/min e o farol C 40 s/min. Estando os faróis bastante espaçados, qual a probabilidade de um motorista encontrar:
Todos os faróis abertos?
Pelo menos um farol aberto?
Apenas um farol fechado? 
Um carro pode parar por defeito elétrico ou mecânico. Se há defeito elétrico, o caro pára na proporção de 1 para 5 e, se mecânico, 1 para 20. Em 10% das viagens há defeito elétrico e em 20% há defeito mecânico, não ocorrendo mais de um defeito na mesma viagem, igual ou de tipo diferente. Se o carro pára, qual a probabilidade de ser por defeito elétrico? 
Uma caixa contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Dois dados são lançados. A seguir, são retiradas da caixa as bolas cujos números são inferiores à soma dos pontos obtidos nos dois dados. Em seguida, uma bola é tirada ao acaso da caixa.
Calcular a probabilidade de que seja a bola de número 6.
Se nessa retirada saiu o número 6, calcular a probabilidade de que, no lançamento dos dois dados, tenha saído um par de 2. 
Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Retiram-se simultaneamente 3 bolas da caixa e, em seguida, retiram-se mais 3 bolas da caixa. Calcular a probabilidade de que, nas duas retiradas de 3 bolas, venham configurações iguais de bolas pretas e brancas.
Havendo reposição das 3 bolas iniciais.
Não havendo reposição. 
Dado um sistema de transmissão básico (ver figura 01), calcule as probabilidades de
P(T0 | R0) e P(T1 | R1)?
Figura 01
P(T0) = 0,45; P(T1) = 0,55; P(R0/T1) = 0,1; P(R1/T0) = 0,2.
A probabilidade de A acertar no alvo é 14 e a probabilidade de B acerar é 13.
Se cada uma atira duas vezes, qual é a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez? 
Se cada um atira uma vez e o alvo é atingido somente uma vez, qual é a probabilidade de A atingir o alvo? 
Em uma loteria, o jogador escolhe seis números de uma seqüência de 1 a 60. No sorteio da loteria, seis bolas são tiradas aleatoriamente de uma caixa contendo 60 bolas numeradas de 1 a 60. Qual é a probabilidade que um jogador tem em k acertos, k = 4,5,6? 
Exercícios de Sistemas Lineares:
Resolver o sistema .
Resolver o sistema .
Resolver o sistema.
Discutir o sistema .
Determinar m, de modo que o sistema seja incompatível.
Verificar se o sistema 	é determinado ou indeterminado.
Calcular o valor de a para que o sistema tenha soluções diferentes da trivial.
	Resolver o sistema
	 
	pela Regra de Cramer. 
 
	Resolver o sistema
	 
	pela Regra de Cramer.
 
	Se o terno (x0, y0, z0) é a solução
	 
	, então 3x0 + 5y0 + 4z0 é igual a:
a) -8
b) -7
c) -6
d) -5
e) -4
	 Calcular a característica da matriz
	  
	 O sistema
	 
 
a) só apresenta a solução trivial;
b) é possível e determinado não tendo solução trivial;
c) é possível e indeterminado;
d) é impossível;
e) admite a solução (1; 2; 1)
 
	 O sistema
	 
a) é impossível;
b) é possível e determinado;
c) é possível e indeterminado;
d) admite apenas a solução (1; 2; 3);
e) admite a solução (2; 0; 0)
 
	 O sistema
	 
	, de incógnitas x e y, é:
a) impossível, para todo k real diferente de -21;
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63;
c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21;
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3;
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63.
	 Considere o seguinte sistema de equações de incógnitas x e y:
	 
 Esse sistema tem uma única solução para certo número real k que é um:
 
a) quadrado perfeito
b) número primo
c) número racional não inteiro
d) número negativo
e) múltiplo de 5
	 Se tivermos
	  
	, então x + y + z + t é igual a:
a) -1
b) 7
c) 5
d) 4
e) 5/9
	 Determinar m para que 
	 
	 tenha apenasa solução trivial.
Respostas dos Exercícios de Processos Estocásticos:
P(B) = 0,5; P(C) = 0,3; P(B | C) = 0,4; P(A | B ∩ C) = 0,5
P(A ∩ B ∩ C) = P(B ∩ C)P(A | B ∩ C)
P(B ∩ C) = P(C)P(B | C) = 0,3 × 0,4 = 0,12
P(A ∩ B ∩ C) = 0,12 × 0,5 = 0,06
Se e somente se P(A)P(B) = 0.
P(0) = P( A ∩ B∩ C ) = 16000 / 30000 = 8/15 
P(1) = P(A ∩ B ∩ C ) + P(B ∩ A ∩ C ) + P(C ∩ A ∩ B ) = 1000 / 30000 + 500 / 30000 + 1000 / 30000 = 5/60
P(2) = P(A ∩ B ∩ C ) + P(B ∩ C ∩ A ) + P(A ∩ C ∩ B ) = 6500 / 30000 + 4000 / 30000 + 500 / 30000 = 110 / 300
P(3) = P(A ∩ B ∩ C) = 5/ 300
a) Pelo menos um jornal: P(1) + P (2) + P(3) = 140 / 300
b) Somente um jornal: P(1) = 10/300 + 10/300 + 5/300 = 5/60
a) 3 × 9 × 8
b) 8 × 8 × 5
c) 8 × 8 × 4 + 9 × 8 × 1
d) 9 × 8 × 1 + 8 × 8 × 1
a) 11
 5
b) 9 + 9 
 5 3
c) 9 + 2* 9
 5 4
d) 13
 10 
a) 4 * 13
 5
b) 13*48
c) 10 * 4 5 - 4* 13
 1 5
d) 13* 4 * 7 * 4 3
 3 2 1
34650
1680
27720
a)P(par) = P2 + P4 + P6 = 3p = 1/3
b)P(primo) = P1 + P2 + P3 + P5 = 5p = 5/9
c)P(primo par) = P2 = 2p = 2/9
M = {estudante do sexo masculino}
F = {estudante do sexo feminino}
B = {estudante da área de biologia}
H = {estudante da área de humanas}
E = {estudante da área de exatas}
Probabilidade de ser do sexo masculino dado que a área é biologia: P{M | B} = 52/300
Probabilidade de ser do sexo masculino dado que a área é humanas: P{M | H} = 58/300
Probabilidade de ser do sexo masculino dado que a área é exatas: P{M | E} =40/300.
Probabilidade de ser do sexo feminino dado que a área é biologia: P{F | B} =38/300.
Probabilidade de ser do sexo feminino dado que a área é humanas: P{F | H} =80/300.
Probabilidade de ser do sexo feminino dado que a área é exatas: P{F | E} =32/300.
Probabilidade de ser do sexo feminino: P{F} =150/300.
Probabilidade de ser do sexo masculino: P{M} =150/300.
Probabilidade de ser da área de humanas: P{H} =138/300.
Probabilidade de ser da área de biologia: P{B} =90/300.
Probabilidade de ser da área de exatas: P{E} =72/300.
a)P{F}P{H} =(150/300)×(138/300 )=23/100
b)P{M | H} + P{M | E} =(58/300) + (40/300) = 49/100
c)P{H | F} = 80 / 140
Total de bolas brancas: oito bolas.
Total de bolas azuis: seis bolas.
Probabilidade de retirar bola branca: P(W) = P(W | LW)P(LW) + P(W | LB)P(LB).
Probabilidade de retirar uma bola azul: P(B) = P(B | LW)P(LW) + P(B | LB)P(LB).
P(W) =7/13×8/14 + 8/13×6/14 =104/182
P(B) =6/13×8/14 +5/13×6/14 =78/182
P(LW | W) = P(W | LW)P(LW)
P(W | LW)P(LW) + P(W | LB)P(LB)
P(LW | W) = 56/104
P(A) → probabilidade de a célula A ativar = p
P(B) → probabilidade de a célula B ativar = p
P(C) → probabilidade de a célula C ativar = p
p = 0,8
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) − (P(A ∩ B) + P(B ∩ C) + P(A ∩ C)) + 
(A ∩ B ∩ C)
P(A U B U C) = 0,992
Dentre os alunos existentes na universidade, 38% não praticam esportes.
A probabilidade que o problema seja resolvido é igual a ½
a) A probabilidade de aparecerem bacilos B ou C é igual a 0,65.
b) A probabilidade de a água estar contaminada é igual a 0,35.
a) A probabilidade de todos os faróis estarem abertos é 1/9.
b) A probabilidade de pelo menos um farol aberto é 8/9.
c) A probabilidade de apenas um farol é 7/18.
Se o carro pára a probabilidade de ser por defeito elétrico é 2/3.
A probabilidade de ser retirada a bola seis é 0,051.
A probabilidade que tenha ocorrido um par de dois dado que a saída é a bola seis é 0,06.
a) A probabilidade da primeira opção é 1226/3136.
b) A probabilidade da segunda opção é 9/28.
P(T0/R0) = 0,87
P(T1/R1) = 0,85
a) P(pelo menos uma vez) = ¾
b) P(A atingir o alvo | atingir o alvo somente uma vez) = (1/4×2/3)/(5/12) = 2/5
Usando-se k = 6,k = 5 e k = 4, obtém-se a vantagem para 6 acertos, 5 acertos e 4 acertos na loteria de 1: 18009460, 1:66701 1:1213, respectivamente.
Respostas dos Exercícios de Sistemas Lineares:
 Sistema Possível e Determinado.
SPD (sistema possível e determinado)
SPI (sistema possível e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor de m
SI (sistema impossível)
SI
O sistema é determinado e .
(2; 3) 
(1; 2; 3)
B
3
D
C
C
A
C
m = 4
1