Aula_12_-_Probabilidade_-_Extensivo_2024

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ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 1
VESTIBULARES 
Prof. Andrew Cazé 
Aula 12 – Probabilidade. 
vestibulares.estrategia.com 
EXTENSIVO 
2024 
Exasi
u
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 2 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO 4 
1. EXPERIÊNCIA 4 
2. ESPAÇO AMOSTRAL 5 
3. EVENTO 8 
3.1. União de eventos 9 
3.2. Intersecção de eventos 11 
3.3. Eventos Complementares 12 
4. PROBABILIDADES 13 
4.1. Espaço amostral Equiprovável 15 
4.2. Espaço amostral Não Equiprovável 15 
4.3. Evento certo 15 
4.4. Evento impossível 16 
5. ASSOCIAÇÃO DE PROBABILIDADES 18 
5.1. Probabilidade do Complementar 18 
5.2. Probabilidade da intersecção 19 
5.1.1 Eventos Independentes 20 
5.2. Probabilidade da União 20 
5.2.1 Eventos Independentes 22 
5.4. Probabilidade Condicional 26 
6. TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO 28 
7. TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 32 
8. QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 43 
9. GABARITO 67 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 3 
10. QUESTÕES RESOLVIDAS E COMENTADAS 68 
11. CONSIDERAÇÕES FINAIS 111 
12. VERSÕES DAS AULAS 111 
 
 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 4 
Introdução 
Nesta aula, veremos como calcular probabilidades em muitos contextos diferentes. 
Atipicamente, teremos uma parte mais extensa de teoria, o que nos permitirá fazer os 
exercícios de forma mais sucinta, uma vez que os elementos básicos de resolução de 
equações já foram amplamente abordados em aulas anteriores. 
A parte teórica de probabilidades costuma ser extensa, mas se baseia em princípios 
bem definidos. 
Se você não tem muita familiaridade ainda com o tópico, estude com calma a teoria e vá 
construindo seu vocabulário técnico e seu formulário específico. 
O assunto é cobrado recorrentemente em provas e vale o tempo investido para 
transformar o conhecimento em pontos na hora do vestibular. 
Já sabe, não guarde as dúvidas. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. 
Estamos aqui para auxiliá-lo. 
Boa aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Experiência 
 
Chamemos de experiência, ou experimento, uma ocorrência que produza um resultado 
observável. 
Algumas experiências produzem, sob as mesmas condições, sempre os mesmos 
resultados, por exemplo, abandonar uma bola de bilhar sob a ação da gravidade gera uma 
Boa aula! 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 5 
colisão previsível contra o solo algum tempo depois. Soltar a bola de bilhar várias e várias 
vezes produz colisões de características muito semelhantes, quando não, idênticas. Esse tipo 
de experiência recebe o nome de experiência determinística. 
Já outras experiências produzem, mesmo que sob as mesmas condições, resultados 
imprevisíveis. A essas, chamamos experiências aleatórias. 
São exemplos de experiências aleatórias: jogar uma moeda, um dado, escolher 
aleatoriamente uma carta em um baralho, um sorteio de loteria, a segregação independente de 
cromossomos homólogos e até o movimento de partículas suspensas em um fluido (movimento 
browniano). 
 
Quando estamos em uma experiência aleatória, a diferença de resultados se dá por 
motivos que não podemos controlar, seja por falta de conhecimento das condições iniciais, seja 
pela própria natureza do acontecimento. Esses motivos são denominados de acaso. 
 
 
2. Espaço Amostral 
Ainda que não consigamos determinar qual será o resultado de uma experiência 
aleatória, em geral conseguimos determinar, pelo menos, a coleção de todos os resultados 
possíveis para a experiência. 
Essa coleção forma um conjunto chamado Espaço Amostral, simbolizado pela letra 
grega ômega (𝛺). 
Vejamos alguns exemplos. 
Experiência
Determinística Aleatória
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 6 
Ao lançar um dado de seis faces numeradas, temos como espaço amostral o conjunto 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6}. 
Ao lançar uma moeda e observar a face voltada para cima, 
𝛺 = {𝐶𝑎𝑟𝑎 (𝐾), 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 (𝐶)}. 
Lançar uma moeda duas vezes consecutivas e observar a face voltada para cima em 
cada lançamento, 
𝛺 = {(𝐾, 𝐾); (𝐾, 𝐶); (𝐶, 𝐾); (𝐶, 𝐶)}. 
Escolher uma das letras da palavra 𝐴𝐷𝑅𝐸𝐷𝐸. 
𝛺 = {𝐴, 𝐷, 𝑅, 𝐸}. 
Lançar um dado de seis faces numeradas até que apareça o número 6 e anotar o 
número do lançamento. 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12… }. 
Cada um desses espaços amostrais 𝛺 possui um número de elementos, simbolizado por 
𝑛(𝛺) ou, em alguns livros, por #𝛺. Daremos preferência, neste curso, à primeira notação. 
Assim, 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6} → 𝑛(𝛺) = 6 
𝛺 = {𝐶𝑎𝑟𝑎 (𝐾), 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎 (𝐶)} → 𝑛(𝛺) = 2 
𝛺 = {(𝐾, 𝐾); (𝐾, 𝐶); (𝐶, 𝐾); (𝐶, 𝐶)} → 𝑛(𝛺) = 4 
𝛺 = {𝐴, 𝐷, 𝑅, 𝐸} → 𝑛(𝛺) = 4 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12… } → 𝑛(𝛺) = ∞ 
 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 7 
 
 
Você deve ter percebido que podemos ter tanto espaços amostrais finitos, com um 
número finito de elementos, quanto espaços amostrais infinitos, com um número infinito de 
elementos. 
 
01) Apresente o espaço amostral das seguintes experiências. 
a) Anagramas da palavra ELO. 
b) Dois dados são lançados, simultaneamente e anotada a soma dos resultados das faces 
voltadas para cima. 
c) Retira-se duas bolas de uma urna contendo bolas azuis (𝑎) e brancas (𝑏). 
d) Uma carta é extraída de um baralho de 52 cartas. 
e) Raquel, Túlio e Juliana são colocados em fila indiana e anotada a ordem. 
Comentários 
Na aula passada, nós aprendemos a calcular quantos são os elementos de alguns 
conjuntos. Agora, estamos preocupados não somente em quantos são, mais quais são 
esses elementos. 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 8 
a) 𝛺 = {𝐸𝐿𝑂, 𝐸𝑂𝐿, 𝐿𝐸𝑂, 𝐿𝑂𝐸, 𝑂𝐸𝐿, 𝑂𝐿𝐸} 
b) 𝛺 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 
c) 𝛺 = {𝑎𝑎, 𝑎𝑏, 𝑏𝑎, 𝑏𝑏} 
d) 𝛺 =
{A♠, K♠, Q♠, J♠, 10♠, 9♠, 8♠, 7♠, 6♠, 5♠, 4♠, 3♠, 2♠,
A♡, K♡, Q♡, J♡, 10♡, 9♡, 8♡, 7♡, 6♡, 5♡, 4♡, 3♡, 2♡,
A♢, K♢, Q♢, J♢, 10♢, 9♢, 8♢, 7♢, 6♢, 5♢, 4♢, 3♢, 2♢,
A♣, K♣, Q♣, J♣, 10♣, 9♣, 8♣, 7♣, 6♣, 5♣, 4♣, 3♣, 2♣}
 
e) 𝛺 =
{(𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎, 𝑅𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙, 𝑇ú𝑙𝑖𝑜); (𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎, 𝑇ú𝑙𝑖𝑜, 𝑅𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙);
(𝑅𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙, 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎, 𝑇ú𝑙𝑖𝑜); (𝑅𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙, 𝑇ú𝑙𝑖𝑜, 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎);
(𝑇ú𝑙𝑖𝑜, 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎, 𝑅𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙); (𝑇ú𝑙𝑖𝑜, 𝑅𝑎𝑞𝑢𝑒𝑙, 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎)}
 
 
 
3. Evento 
Chamamos de evento todo subconjunto de um espaço amostral. 
Vejamos na prática. 
A experiência de lançar um dado de 4 faces produz o seguinte espaço amostral: 
 
𝛺 = {1,2,3,4} 
O número de elementos desse espaço amostral é 
𝑛(𝛺) = 4 
E quantos subconjuntos podemos produzir com esses 4 elementos? 
Um conjunto com 𝑛 elementos produz 2𝑛 subconjuntos, ou seja, nosso conjunto tem 
24 = 16 subconjuntos. 
Vamos explicitá-los. 
𝛺 = {1,2,3,4} 
𝑛(𝛺) = 4 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 24 = 16 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = {∅; (1); (2); (3); (4); (1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); 
(3,4); (1,2,3); (1,2,4); (1,3,4); (2,3,4); (1,2,3,4)} 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 9 
 
 
 
 
 
 
 
∅ → faz referência a um evento impossível de ocorrer dentro desse espaço amostral, 
como retirar o número 7. 
(1,2,3,4) → é o próprio espaço amostral, chamado também de evento certo. 
(1)
(2)
(3)
(4)
} → Eventos com apenas um elemento, chamados de eventos elementares. 
 
3.1. União de eventos 
A União de eventos, 𝐴 ∪ 𝐵, é a consideração de dois ou mais eventos como se fossem 
um só. O evento 𝐴 ∪ 𝐵 será considerado como ocorrido se ocorrer 𝐴, se ocorrer 𝐵 ou se ocorrer 
ambos, ou seja, se ocorrer pelo menos um deles. 
Vejamos um exemplo prático. 
Um conjunto com 𝑛 elementos produz 2𝑛 subconjuntos, ou seja, nosso 
conjunto tem 24 = 16 subconjuntos. 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 10 
Voltando ao dado de 4 faces, temos o seguinte espaço amostral. 
𝛺 = {1,2,3,4} 
E consideremosos seguintes eventos: 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3} 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → {2,4} 
𝐴 ∪ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑂𝑈 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3,4} 
Ao jogar o dado, temos as seguintes possibilidades: 
 
Número no dado Evento 𝑨 Evento 𝑩 Evento 𝑨 ∪ 𝑩 
1 não ocorrido não ocorrido não ocorrido 
2 ocorrido ocorrido ocorrido 
3 ocorrido não ocorrido ocorrido 
4 não ocorrido ocorrido ocorrido 
 
 
 
 
 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 11 
3.2. Intersecção de eventos 
A intersecção de eventos, 𝐴 ∩ 𝐵, é considerada quando ocorrem A e B de forma 
simultânea. Para que ocorra 𝐴 ∩ 𝐵, é necessário que ocorra 𝐴 E que ocorra 𝐵. 
Comparemos a intersecção de eventos com a união, vista no tópico anterior. 
𝛺 = {1,2,3,4} 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3} 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → {2,4} 
𝐴 ∪ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑂𝑈 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3,4} 
𝐴 ∩ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝐸 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2} 
Ao jogar o dado, temos as seguintes possibilidades: 
 
Número no dado Evento 𝑨 Evento 𝑩 Evento 𝑨 ∪ 𝑩 Evento 𝑨 ∩ 𝑩 
1 não ocorrido não ocorrido não ocorrido não ocorrido 
2 ocorrido ocorrido ocorrido ocorrido 
3 ocorrido não ocorrido ocorrido não ocorrido 
4 não ocorrido ocorrido ocorrido não ocorrido 
 
 
 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 12 
 
3.3. Eventos Complementares 
Dado o evento 𝐴, existe o evento oposto de 𝐴, que ocorre somente se o evento 𝐴 não 
ocorre. 
Simbolizamos esse evento, oposto de 𝐴, −𝐴, 𝐴𝑐, ou ainda, �̅�. 
No espaço amostral 
𝛺 = {1,2,3,4}, 
Consideremos os conjuntos 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3} 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → {2,4} 
𝐴 ∪ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑂𝑈 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3,4} 
𝐴 ∩ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝐸 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2} 
Dessa forma, podemos definir os seguintes conjuntos complementares: 
Conjunto Elementos Complementar 
𝐴 {2,3} 𝐴𝑐 → {1,4} 
𝐵 {2,4} 𝐵𝑐 → {1,3} 
𝐴 ∪ 𝐵 {2,3,4} (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 → {1} 
𝐴 ∩ 𝐵 {2} (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 → {1,3,4} 
 
O que seria o conjunto complementar do complementar de 𝐴? 
 
𝛺 = {1,2,3,4} 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3} 
𝐴𝑐 → {1,4} 
[𝐴𝑐]𝑐 → {2,3} 
[𝐴𝑐]𝑐 → 𝐴 
 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 13 
 
 
 
4. Probabilidades 
A probabilidade de um evento ocorrer é uma tentativa de definir previamente um número 
que represente a tendência geral da frequência relativa de um evento, quando o repetimos um 
número suficientemente grande de vezes. 
No caso do tópico anterior, como temos 6 números e nenhum motivo para que um ou 
outro se sobressaia nos lançamentos (dado não viciado), dizemos que a probabilidade de cada 
um desses números é dada pela definição: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠
 
O que pode ser interpretado, também, como 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
 
Ao analisar, por exemplo, a probabilidade de, em um lançamento desse dado, sair o 
número 3, ou seja, 1 número específico dentre os 6 possíveis, sua probabilidade é: 
𝑃(3) =
1 (𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜, 3)
6 (𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠)
=
1
6
= 0,16̅ = 16, 6̅ % 
Perceba que, com esse procedimento, podemos chegar aos 16, 6̅ % sem que façamos o 
experimento em si e é exatamente isso que buscaremos em nosso estudo das probabilidades. 
Note, também, que a soma das probabilidades de todos os elementos é igual a 1, ou 
seja, 100%. 
Se a probabilidade de cada número de um dado é de 
1
6
, a probabilidade de todos os 6 
números, somadas, são: 
𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6) =
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
= 6 ∙
1
6
= 1 = 100% 
Extrapolando o conceito para aplicarmos a qualquer conjunto, temos. 
𝛺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, … } 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 14 
𝑃(𝛺) = 𝑃(𝑎) + 𝑃(𝑏) + 𝑃(𝑐) + 𝑃(𝑑) + 𝑃(𝑒) + ⋯ = 1 = 100% 
 
 
 
 
A probabilidade de um evento ocorrer é atribuída a cada evento de tal forma que, na 
experiência, tenha as mesmas características que a frequência relativa. 
Uma alternativa prática para o cálculo da probabilidade, muito útil nos exercícios, é: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
Ou ainda, 
 
 
02) Atribua a probabilidade de que ocorra cada evento a seguir. 
a) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
b) Retirar uma carta aleatoriamente de um baralho de 52 cartas. 
c) Escolher, aleatoriamente, um dia do ano. 
Comentários 
a) Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima. 
Ao lançarmos uma moeda temos 2 possibilidades de resultado, assim, nosso espaço 
amostral é dado por: 
𝛺 = {𝐾, 𝐶} 
Sem motivos para atribuir maior ou menor frequência relativa para um ou outro resultado, 
é razoável que atribuamos 
Probabilidade é o e estudo de experimentos ou fenômenos aleatórios e análise das 
chances de um determinado evento ocorrer. (...) 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 15 
𝑃(𝐾) = 𝑃(𝐶) = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 = 
1
2
 = 0,5 = 50% 
b) Ao retirarmos uma carta, aleatoriamente, de um baralho de 52 cartas distintas, temos 
52 possibilidades, assim, a possibilidade de retirarmos cada uma dessas cartas é de: 
𝑃 = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
= 
1
52
 ≅ 0,019 ≅ 1,9% 
c) Como temos 365 possibilidades diferentes e sem motivo para definir um dia ou outro 
como mais ou menos provável, podemos dizer que a probabilidade de cada dia do ano ser 
escolhido é dada por: 
𝑃 = 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 = 
1
365
 ≅ 0,0027 ≅ 0,27% 
 
 
4.1. Espaço amostral Equiprovável 
Espaço amostral equiprovável é o espaço amostral em que todos os seus elementos 
apresentam a mesma probabilidade de ocorrência. 
Como exemplos, podemos citar o lançamento de uma moeda, de um dado, retirar uma 
carta de um baralho, escolher um elemento de um conjunto de forma aleatória, entre tantos 
outros. Uma observação é para que não haja vícios nos elementos de forma que altere suas 
probabilidades. 
 
4.2. Espaço amostral Não Equiprovável 
Havendo vício de alguma forma, deformamos o espaço amostral de forma que cada 
elemento pode apresentar uma probabilidade distinta. 
Como exemplo, podemos ter o mesmo lançamento de uma moeda ou de um dado, mas 
em que haja um acerto de forma que um resultado seja mais provável que outro. 
 
4.3. Evento certo 
O evento certo acontece quando o evento é o próprio espaço amostral, o que implica 
probabilidade igual a 1, ou seja, 100%. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 16 
Por exemplo podemos pensar em jogar um dado de 6 faces, numerados de 1 a 6 e 
esperarmos um resultado menor que 20. Como temos todos 6 resultados que nos servem em 6 
possíveis, podemos calcular 
𝑃(𝑥 < 20) =
6
6
= 1 = 100% → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜 
 
4.4. Evento impossível 
Já o evento impossível é um evento cujo elemento não está presente no espaço 
amostral, implicando probabilidade zero. 
Utilizando um exemplo semelhante ao anterior, podemos dizer que a probabilidade de 
conseguirmos um número maior que 20, no lançamento do dado de 6 faces, é nula, pois não 
há elementos do conjunto que satisfaçam a condição solicitada. 
𝑃(𝑥 > 20) =
0
6
= 0 = 0% → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 
 
 
 
 
Atenção, é hora de resolverquestão! 
03. (EV) Dentre os 60 alunos de um curso de idiomas, foi realizado um levantamento sobre 
quantos frequentam as aulas de cada idioma. Segundo os dados colhidos, contatou-se que: 
25 alunos assistem às aulas de Inglês; 
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AULA 12 – PROBABILIDADE. 17 
32 alunos assistem às aulas de Espanhol; 
9 alunos assistem às aulas de Inglês e espanhol; 
10 alunos assistem às aulas de Inglês e francês; 
13 alunos assistem às aulas de Espanhol e francês; 
4 alunos assistem às aulas de Inglês, espanhol e francês. 
A direção do curso de idiomas pretende realizar um sorteio que premiará um estudante 
com dois meses de mensalidades grátis. A probabilidade de que o sorteado frequente 
apenas as aulas de francês é: 
a) 40% 
b) 35% 
c) 30% 
d) 25% 
e) 20% 
Comentários: 
O Diagrama de Venn ao lado compila os dados fornecidos pela situação-problema. 
 
O valor de 𝑥 representa a quantidade de alunos que frequentam apenas as aulas de 
francês. 
𝑥 + 6 + 4 + 9 + 10 + 5 + 14 = 60 
𝑥 + 48 = 60 
𝑥 = 12 
A probabilidade que um desses 12 alunos seja sorteado é dada por 
𝑃 =
12
60
= 0,2 = 20% 
Gabarito: E) 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 18 
(EV) Considerando todos os anagramas da palavra OBJETO e sorteando uma dessas 
permutações ao acaso, a probabilidade de que a escolhida necessariamente comece e 
termina por consoante é: 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 35% 
Comentários: 
O espaço amostral é dado pelo total de anagramas dessa palavra, dado por 
𝑃6
2 =
6!
2!
=
720
2
= 360 
(a divisão por 2! ocorre pelo fato que uma letra aparece duas vezes na palavra). 
Para que a permutação comece e termine por consoantes, temos que: 
3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 144 
Como temos uma letra que aparece duas vezes, temos 
144
2
= 72. 
Com isso, a probabilidade é dada por 
𝑃 =
72
360
=
1
5
= 20% 
Gabarito: a) 
 
 
5. Associação de probabilidades 
5.1. Probabilidade do Complementar 
Tomemos os conjuntos: 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6} 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 5 → {5,6} 
𝐴𝑐 → {1,2,3,4} 
Dessa forma, temos que 
𝐴 ∪ 𝐴𝑐 = 𝛺 
Isso também ocorre com as probabilidades. A soma da probabilidade de um evento com 
a probabilidade do seu complementar sempre será 100%, o equivalente a 1. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 19 
Imagine que a probabilidade de chover hoje seja de 60%, qual a probabilidade de não 
chover? Isso mesmo, 40%. Pois são eventos complementares. Sendo assim, temos a fórmula: 
 
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐) = 1 
 
Uma redação comum para a expressão é feita isolando uma das probabilidades: 
 
 
Nos exercícios, pela celeridade, daremos preferência à segunda forma. 
 
5.2. Probabilidade da intersecção 
Já estudamos o que é o conjunto intersecção. Estudemos, agora, a probabilidade de 
ocorrência de 𝐴 ∩ 𝐵 dentro do espaço amostral. 
Voltemos ao lançamento de um dado de 6 faces, produzindo o espaço amostral 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6}. 
Nesse espaço amostral, definamos os seguintes eventos: 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3,5} 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2 → {1,2} 
𝐴 ∩ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝐸 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2 → {2} 
Desse modo, podemos aplicar diretamente nossa definição de probabilidade ao conjunto 
𝐴 ∩ 𝐵, ou seja: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝛺
=
1
6
== 0,16̅ = 16, 6̅ % 
Assim, para calcularmos a probabilidade da intersecção entre dois conjuntos, aplicamos, 
diretamente, nossa definição de probabilidade. 
 
 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴𝑐) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 20 
5.1.1 Eventos Independentes 
Dois eventos 𝐴 e 𝐵 são ditos independentes se a probabilidade de ocorrer 𝐴 se 𝐵 já 
ocorreu, 𝑃(𝐴|𝐵), é a própria probabilidade de ocorrência de 𝐴, 𝑃(𝐴), independente de 𝐵. 
Uma consequência dessa independência aparece quando vamos calcular a 
probabilidade da intersecção, vejamos 
Sejam dois eventos A e B independentes, temos: 
 
A probabilidade da intersecção será dada por 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
Em resumo, se o fato de um evento ocorrer não influencia a probabilidade do outro 
acontecer, os eventos são independentes e multiplicaremos suas respectivas probabilidades 
(regra do E). 
 
5.2. Probabilidade da União 
Já para a união, precisamos tomar um cuidado a mais. Acompanhe o caso. 
Admitamos a mesma experiência, lançar um dado de 6 faces e os eventos 𝐴 e 𝐵 
definidos no tópico anterior. 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6} 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3,5} 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2 → {1,2} 
E suas respectivas probabilidades: 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝛺
=
3
6
=
3
6 
2 =
1
2
 
 
𝑃(𝐵) =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝛺
=
2
6
=
2
6 
3 =
1
3
 
 
Assim, o conjunto união de 𝐴 e 𝐵 é definido por 
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 21 
𝐴 ∪ 𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑂𝑈 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 2 → {1,2,3,4} 
E qual seria a probabilidade de ocorrer 𝐴 ∪ 𝐵? Será que podemos aplicar a nossa 
definição de probabilidade diretamente? 
Sim, podemos sim. Veja como fica. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 ∪ 𝐵
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝛺
=
4
6
=
4 
2
6 
3 =
2
3
 
Às vezes, é muito trabalhoso encontrar todos os elementos do conjunto união. Por isso, 
uma alternativa interessante também é trabalhar com a associação das probabilidades 𝑃(𝐴) e 
𝑃(𝐵) para calcularmos o valor de 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵). 
Podemos somar as probabilidades dos eventos A e B, e retirar a intersecção entre A e 
B, pois existindo intersecção essa será contada duas vezes na hora da soma. A retirada evita 
que esse erro ocorra. Então nossa fórmula prática para probabilidade da união fica assim: 
 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Resolvendo nosso exemplo através da fórmula, encontraremos o mesmo resultado. 
Vejamos: 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
1
2
+
1
3
−
1
6
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
3 + 2 − 1
6
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
4
6
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
4 
2
6 
3 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
2
3
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 22 
5.2.1 Eventos Independentes 
Dois eventos 𝐴 e 𝐵 são ditos independentes se a probabilidade de ocorrer 𝐴 se 𝐵 já 
ocorreu, 𝑃(𝐴|𝐵), é a própria probabilidade de ocorrência de 𝐴, 𝑃(𝐴), independente de 𝐵. 
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
Isso vale para 𝐵. 
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) 
Uma consequência dessa independência aparece quando vamos calcular a 
probabilidade da intersecção, acompanhe. 
Sabemos, pelo teorema da multiplicação, que 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) 
Se 𝐴 e 𝐵 são independentes, temos. 
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
Assim, quando estivermos falando em eventos independentes, temos 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
 
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 0 
 
Vamos aplicar as associações que vimos até aqui! 
 
04) Considere os seguintes eventos sobre uma moeda lançada 4 vezes. 
Evento 𝐴: ocorrem pelo menos duas coroas (𝐶) 
Evento 𝐵: ocorrer cara (𝐾) no primeiro lançamento. 
Evento 𝐶: ocorrem resultados iguais em todos os lançamentos. 
Encontre quais eventos são dependentes e quais são independentes entre si. 
Comentários. 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴)
+ 𝑃(𝐵) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 23 
Para saber se os eventos são dependentes ou independentes entre si, vamos calcular suasprobabilidades individualmente e em suas intersecções. De posse delas, verificaremos 
quais pares satisfazem a relação 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) = 𝑃(𝐸1) ∙ 𝑃(𝐸2). 
O espaço amostral do experimento é: 
𝛺 =
{(𝐾𝐾𝐾𝐾); (𝐾𝐾𝐾𝐶); (𝐾𝐾𝐶𝐾); (𝐾𝐾𝐶𝐶);
(𝐾𝐶𝐾𝐾); (𝐾𝐶𝐾𝐶); (𝐾𝐶𝐶𝐾); (𝐾𝐶𝐶𝐶);
(𝐶𝐾𝐾𝐾); (𝐶𝐾𝐾𝐶); (𝐶𝐾𝐶𝐾); (𝐶𝐾𝐶𝐶);
(𝐶𝐶𝐾𝐾); (𝐶𝐶𝐾𝐶); (𝐶𝐶𝐶𝐾); (𝐶𝐶𝐶𝐶)}
 
𝑛(𝛺) = 24 = 16 
Evento 𝐴: ocorrem pelo menos duas coroas (𝐶) 
𝐴 =
{(𝐾𝐾𝐶𝐶); (𝐾𝐶𝐾𝐶); (𝐾𝐶𝐶𝐾); (𝐾𝐶𝐶𝐶); (𝐶𝐾𝐾𝐶);
(𝐶𝐾𝐶𝐾); (𝐶𝐾𝐶𝐶); (𝐶𝐶𝐾𝐾); (𝐶𝐶𝐾𝐶); (𝐶𝐶𝐶𝐾); (𝐶𝐶𝐶𝐶)}
 
𝑛(𝐴) = 11 
𝑃(𝐴) = 
𝑛(𝐴)
𝑛(𝛺)
 = 
11
16
 
Evento 𝐵: ocorrer cara (𝐾) no primeiro lançamento. 
𝐵 =
{(𝐾𝐾𝐾𝐾); (𝐾𝐾𝐾𝐶); (𝐾𝐾𝐶𝐾); (𝐾𝐾𝐶𝐶);
(𝐾𝐶𝐾𝐾); (𝐾𝐶𝐾𝐶); (𝐾𝐶𝐶𝐾); (𝐾𝐶𝐶𝐶)}
 
𝑛(𝐵) = 8 
𝑃(𝐵) = 
𝑛(𝐵)
𝑛(𝛺)
 = 
8
16
 
Evento 𝐶: ocorrem resultados iguais em todos os lançamentos. 
𝐶 = {(𝐾𝐾𝐾𝐾); (𝐶𝐶𝐶𝐶)} 
𝑛(𝐶) = 2 
𝑃(𝐶) = 
𝑛(𝐶)
𝑛(𝛺)
 = 
2
16
 
Para saber se 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são eventos independentes, devemos analisar, também, suas 
intersecções. 
𝐴 ∩ 𝐵 
𝐴 ∩ 𝐵 = {(𝐾𝐶𝐶𝐶); (𝐶𝐾𝐶𝐶); (𝐶𝐶𝐾𝐶); (𝐶𝐶𝐶𝐾)} 
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 4 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 
𝑛(𝐴∩𝐵)
𝑛(𝛺)
=
4
16
 
𝐴 ∩ 𝐶 
𝐴 ∩ 𝐶 = {(𝐶𝐶𝐶𝐶)} 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 24 
𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) = 1 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 
𝑛(𝐴∩𝐶)
𝑛(𝛺)
=
1
16
 
 𝐵 ∩ 𝐶 
𝐵 ∩ 𝐶 = {(𝐾𝐾𝐾𝐾)} 
𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 1 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 
𝑛(𝐵∩𝐶)
𝑛(𝛺)
=
1
16
 
Agora estamos em condições de testar se os eventos são dependentes ou independentes 
entre si. 
Se dois eventos são independentes, temos. 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) = 𝑃(𝐸1) ∙ 𝑃(𝐸2) 
Se forem dependentes, temos. 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) ≠ 𝑃(𝐸1) ∙ 𝑃(𝐸2) 
Assim, testemos par a par. 
Conjuntos 𝐴 e 𝐵. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≠ 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
5
16
≠ 
11
16
∙
10
16
 
5
16
≠ 
110
16²
 
∴ 𝐴 𝑒 𝐵 𝑠ã𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Conjuntos 𝐴 e 𝐶. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶) 
1
16
≠ 
11
16
∙
2
16
 
1
16
≠ 
22
16²
 
∴ 𝐴 𝑒 𝐶 𝑠ã𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Conjuntos 𝐵 e 𝐶. 
𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶) 
1
16
 = 
8
16
∙
2
16
 
1
16
 = 
16
16∙16
 
1
16
 = 
 16 
 16 ∙16
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 25 
1
16
 = 
1
16
 
∴ 𝐵 𝑒 𝐶 𝑠ã𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
Dessa forma, entre os conjuntos dados, apenas os conjuntos 𝐵 e 𝐶 são independentes 
entre si. 
 
(EV) Depois de analisar seus estudos, um vestibulando chegou à conclusão de que a 
probabilidade de ele gabaritar matemática no vestibular é 3/5. Já para física sua análise 
chegou à probabilidade de 1/2. 
Sabendo que gabaritar as duas matérias tem probabilidade de 3/10, a probabilidade de o 
estudante gabaritar pelo menos uma das matérias é de 
7 5⁄ 
2/7 
2/3 
4/5 
3/5 
 
Comentários: 
Temos os eventos: 
𝐴 = gabaritar matemática; 
𝐵 = gabaritar física; 
E as probabilidades: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎; 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑔𝑎𝑏𝑎𝑟𝑖𝑡𝑎𝑟 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠. 
 
Aplicando a fórmula da união: 
 
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
3
5
+
1
2
−
3
10
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
8
10
 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
4
5
 
Gabarito: d) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 26 
 
5.4. Probabilidade Condicional 
Trabalhar com probabilidade condicional é pensar no seguinte questionamento 
 
 
C
onsideremos a experiência de lançar um dado de 12 faces (dodecaedro), numeradas de 1 a 12. 
𝐴 ∩ 𝐵 = {2} → 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 
Vamos lá. No lançamento de um dado de doze faces, numeradas de 1 a 12, 
(dodecaedro), qual a probabilidade de sair um número primo, de tal forma que o resultado seja 
par? 
Nosso espaço amostral é 
𝛺 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 
𝑛(𝛺) = 12 
Consideremos os eventos 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 → {2,3,5,7,11} → 𝑛(𝐴) = 5 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 → {2,4,6,8,10,12} → 𝑛(𝐵) = 6 
𝐴 ∩ 𝐵 = {2} → 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 
Ao receber a informação de que o resultado pertence a 𝐵, a percepção sobre a 
experiência muda e não mais podemos considerar o espaço amostral como 𝛺, pois já temos 
certeza de que os resultados possíveis são, tão somente, os elementos que pertencem ao 
evento 𝐵. 
Essa informação nova, dada após o evento, é o que chamamos de condição. Calcular, 
então, alguma probabilidade sob essa condição, torna-se uma probabilidade condicional. 
A simbologia para a probabilidade condicional é 
𝑃(𝐴|𝐵) → 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐴 𝑠𝑒 𝐵 𝑗á 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 
Perceba que não são mais todos os elementos de 𝐴 que podem ocorrer, pois, se já 
temos a certeza de que o resultado pertence a 𝐵, os únicos elementos de 𝐴 que podem ocorrer 
são os que estão, simultaneamente, em 𝐴 e em 𝐵, ou seja, em 𝐴 ∩ 𝐵. 
Vamos, então, redefinir nossos dados. 
O que era, no início, o conjunto 𝐵, passa a ser, depois de termos certeza de sua 
ocorrência, nosso espaço amostral 𝛺2. 
𝐵 = 𝛺2 = {2,4,6,8,10,12} 
Qual a probabilidade de acontecer o evento A, sendo que o resultado pertence ao 
conjunto B? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 27 
Queremos calcular a probabilidade condicional 𝑃(𝐴|𝐵) e, nela, só os elementos que 
estão simultaneamente em 𝐴 e em 𝐵 podem ser candidatos à probabilidade, visto que os 
elementos que estão fora do espaço amostral são impossíveis. 
Olhando para os conjuntos 𝐴 e 𝐵, percebemos que somente o elemento 2 pertence a 
ambos, portanto, 𝐴 ∩ 𝐵 conta com somente 1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 
Desse modo, utilizando nossa definição de probabilidade, temos. 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐵 = 𝛺2
 
 
𝑃(𝐴|𝐵) =
1
6
 
 
 
Podemos calcular nossa probabilidade condicional de duas formas distintas. 
1) Calculando a razão entre o número de elementos 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) e 𝑛(𝐵), considerando 𝐵 
como um novo espaço amostral 𝛺2. 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐵)
 
2) Ou utilizando a fórmula própria da probabilidade condicional: 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
Vejamos um exercício resolvido! 
(EV) Lançando-se dois dados convencionais e não viciados ao acaso, a probabilidade de 
que tenha saído o número 2 no outro dado, sendo o número 4 foi o resultado em pelo 
menos um deles, é aproximadamente de 
𝑎) 16% 
𝑏) 18% 
𝑐) 20% 
𝑑) 22% 
𝑒) 24% 
Comentários: 
Temos os eventos: 
2 = sair o número 2; 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 28 
4 = sair o número 4; 
E as probabilidades: 
𝑃(2|4) = 𝑠𝑎𝑖𝑟 2, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑗á 𝑠𝑎𝑖𝑢 4; 
𝑃(2 ∩ 4) = 𝑠𝑎𝑖𝑟 2 𝑒 4. 
Temos a aplicação da probabilidade condicional: 
𝑃(2|4) =
𝑛(2 ∩ 4)
𝑛(4)
 
Onde 
𝑛(2 ∩ 4) = 2 
E 
 
𝑛(4) = 11 
 
 
Note que o resultado (4,4) foi retirado, pois é o mesmo anotado anteriormente. 
Logo, 
𝑃(2|4) =
𝑛(2 ∩ 4)
𝑛(4)
 
𝑃(2|4) =
2
11
≅ 0,1818. . . 𝑜𝑢 18% 
Gabarito: b) 
 
6. Teorema da multiplicação 
O teorema da multiplicação, presente em alguns livros didáticos, nada mais é que a 
fórmula da probabilidade condicional escrita de outra forma, veja. 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
Multiplicando ambos os membros da equação por 𝑃(𝐵), temos. 
 
𝑃(𝐴|𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
Reescrevendo de modo equivalente. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 29 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵) 
 
Acompanhe o exemplo. 
Uma fábrica de lâmpadas entregou um lote de 100 unidades. Nesse lote, sabemos que 
há, por um erro de processo, 3 lâmpadas defeituosas. 
 Ao final da linha de montagem há um fiscal que retira, sem reposição, duas 
lâmpadas para testes de cada lote. O lote é rejeitado se ambas as lâmpadas apresentarem 
defeito. 
 Nessas condições, qual a probabilidade de o lote em questão ser rejeitado? 
 Muito bem, o lote será rejeitado se ambas as lâmpadas apresentarem defeito. 
Como sabemos que há 3 lâmpadas defeituosas, podemos construir o diagrama de árvore paraa primeira escolha. Consideremos L para a lâmpada sem defeito e D para a lâmpada 
defeituosa. 
 Colocando os dados em linguagem apropriada aos nossos cálculos. 
 
𝐿 = 𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 → 𝑛(𝐿) = 97 
𝐷 = 𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 → 𝑛(𝐷) = 3 
𝛺 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑛(𝛺) = 100 
𝑃(𝐿) =
𝑛(𝐿)
𝑛(𝛺)
=
97
100
 
𝑃(𝐷) =
𝑛(𝐷)
𝑛(𝛺)
=
3
100
 
 
Relacionando os dados ao diagrama de árvore. 
O teorema da multiplicação é muito útil, especialmente quando utilizado em conjunto 
com o diagrama de árvore. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 30 
 
Desse ponto em diante, precisamos separar os cálculos pelos ramos seguidos. 
• Primeiro ramo 
Para o ramo em azul, de onde retiramos uma lâmpada sem defeito na primeira retirada, 
teremos uma lâmpada sem defeito a menos no lote, então os novos dados passam a ser. 
𝐿 = 𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 → 𝑛(𝐿) − 1 = 97 − 1 = 96 
𝐷 = 𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 → 𝑛(𝐷) = 3 
𝛺 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑛(𝛺) − 1 = 100 − 1 = 99 
𝑃(𝐿) =
𝑛(𝐿)
𝑛(𝛺)
=
96
99
 
𝑃(𝐷) =
𝑛(𝐷)
𝑛(𝛺)
=
3
99
 
E, assim, conseguimos prosseguir com o primeiro ramo. 
 
• Segundo ramo 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 31 
Para o ramo em vermelho, de onde retiramos uma lâmpada com defeito na primeira 
retirada, teremos uma lâmpada com defeito a menos no lote, então os novos dados passam a 
ser. 
𝐿 = 𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 → 𝑛(𝐿) = 97 
𝐷 = 𝐿â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠 → 𝑛(𝐷) − 1 = 3 − 1 = 2 
𝛺 = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙â𝑚𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑛(𝛺) − 1 = 100 − 1 = 99 
𝑃(𝐿) =
𝑛(𝐿)
𝑛(𝛺)
=
97
99
 
𝑃(𝐷) =
𝑛(𝐷)
𝑛(𝛺)
=
2
99
 
E, assim, conseguimos prosseguir com o segundo ramo. 
 
Com o diagrama feito, veja o que diz o teorema da multiplicação. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵) 
Se considerarmos o evento 𝐵 como “retirar uma lâmpada defeituosa na primeira 
retirada” e 𝐴 como “retirar uma lâmpada defeituosa na segunda retirada”, a probabilidade que 
estamos procurando, que acarretaria a rejeição do lote, é justamente 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 
Assim, podemos calcular a probabilidade de retirarmos duas lâmpadas defeituosas em 
sequência seguindo o ramo da árvore correspondente a essa escolha e multiplicando suas 
probabilidades, de acordo com o teorema da multiplicação. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 32 
 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵) 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
3
100
∙
2
99
 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
 3 
 100 
50 ∙
 2 
 99 
33 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
50
∙
1
33
 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
1.650
 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,0006̅̅̅̅ 
 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0, 06̅̅̅̅ % 
Assim, a probabilidade de o lote ser rejeitado por terem sido retiradas duas lâmpadas 
defeituosas consecutivamente é de 0, 06̅̅̅̅ %. 
 
7. Teorema da probabilidade total 
Imagine que tenhamos que calcular a probabilidade de um evento 𝐴 ocorrer dentro de 
um espaço amostral 𝛺. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 33 
Esse espaço amostral 𝛺 está dividido em conjuntos menores (𝛺1, 𝛺2, 𝛺3, … ) e alguns 
desses conjuntos apresentam regiões em comum com o evento 𝐴, (𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … ). 
Se não for possível, ou for muito trabalhoso, calcular diretamente a probabilidade de 
ocorrência do evento 𝐴, podemos calcular a probabilidade das partes de 𝐴 ocorrerem e, ao 
final, somar essas probabilidades. 
Pensemos no espaço amostral 𝛺 e no evento 𝐴 bem como seus subconjuntos como no 
diagrama a seguir. 
 
Onde 
𝐴1 = 𝐴 ∩ 𝛺1 = ∅ 
𝐴2 = 𝐴 ∩ 𝛺2 
𝐴3 = 𝐴 ∩ 𝛺3 
𝐴4 = 𝐴 ∩ 𝛺4 
Assim, podemos pensar na probabilidade do evento 𝐴 ocorrer como a soma dos 
subeventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 e 𝐴4 ocorrerem. 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝐴2) + 𝑃(𝐴3) + 𝑃(𝐴4) 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝛺1) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝛺2) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝛺3) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝛺4) 
Aplicando o teorema da multiplicação. 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵) 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝛺1) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺1) + 𝑃(𝛺2) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺2) + 𝑃(𝛺3) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺3) + 𝑃(𝛺4) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺4) 
Neste exemplo, temos 
𝐴1 = 𝐴 ∩ 𝛺1 = ∅, 
 Então, 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝛺1) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺1) + 𝑃(𝛺2) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺2) + 𝑃(𝛺3) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺3) + 𝑃(𝛺4) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺4) 
 
𝑃(𝐴) = ∅ + 𝑃(𝛺2) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺2) + 𝑃(𝛺3) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺3) + 𝑃(𝛺4) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺4) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 34 
 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝛺2) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺2) + 𝑃(𝛺3) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺3) + 𝑃(𝛺4) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺4) 
Mas professor, assim ficou muito mais difícil! 
Então, escrito assim até assusta, mas a utilização da fórmula é mais tranquila. 
Vejamos um exemplo de utilização. 
Um paciente se apresenta ao médico com queixas. Ao examiná-lo, o médico reduz as 
possibilidades de causa a somente duas doenças, 𝐴 e 𝐵. 
A doença 𝐴 é mais endêmica e apresenta uma probabilidade de 80% de ser a causa dos 
sintomas do paciente. 
Já a doença 𝐵 apresenta uma possibilidade de apenas 20% de ser a causa dos 
sintomas. 
Além disso, o medicamento para o tratamento da doença 𝐴 apresenta eficácia específica 
de 70%, enquanto o para a doença 𝐵, de 95%. 
Os dois medicamentos não podem ser administrados simultaneamente, por 
apresentarem interação medicamentosa prejudicial ao paciente. 
Nessas condições, sem saber qual a doença e qual medicamento serão escolhidos pelo 
médico, quais as chances de cura? 
Vamos construir um diagrama de árvore para representar a situação. 
Com as probabilidades de que cada doença seja a causa única dos sintomas do 
paciente, temos a escolha inicial. 
 
Com relação à doença 𝐴, temos que o medicamento específico apresenta 70% de 
eficácia específica, ou seja, há 70% de chances de cura e o complementar, ou seja, 30% de 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 35 
chances de não cura. Lembre-se que as porcentagens complementares devem sempre somar 
100%. 
Utilizemos as siglas 𝐶 para curado e 𝑁𝐶 para não curado. 
 
Com raciocínio equivalente, para a doença 𝐵, temos 95% de eficácia específica, ou seja, 
há 95% de chances de cura e o complementar, ou seja, 50% de chances de não cura. 
 
Aqui vamos aplicar os dois teoremas: teorema da multiplicação e teorema da 
probabilidade total. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 36 
Cura da doença 
se ocorreu a doença A 
Probabilidade de 
ocorrer a doença A 
Cura da doença 
se ocorreu a doença B Probabilidade de 
ocorrer a doença B 
Como estamos procurando a probabilidade de cura total, vamos aplicar o teorema da 
multiplicação aos ramos associados à cura. 
O teorema da multiplicação diz que 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵). 
No contexto do nosso problema, podemos pensar na seguinte interpretação. 
 
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴) 
 
 
De modo semelhante, podemos pensar na probabilidade de cura da doença 𝐵, como 
sendo 
 
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) 
 
 
Assim, temos as probabilidades de cura das doenças 𝐴 e 𝐵 dadas por: 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴) 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) = 80% ∙ 70% 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) =
80
100
∙
70
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) =
8 0 
1 0 0 
∙
7 0 
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) =
8 ∙ 7
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) =
56
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) = 56% 
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) = 80% ∙ 70% 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) =
80
100
∙
70
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) =
8 0 
1 0 0 
∙
7 0 
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) =
8 ∙ 7
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) =
56
100
 
𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) = 56% 
Vamos colocar essas probabilidades no diagrama de árvore. 
Cura da doença A 
Cura da doença B 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 37 
Probabilidade de Cura Total 
Probabilidade de ocorrer a doença A 
Probabilidade de Cura se 
ocorrer a doença B 
Probabilidade de Cura se ocorrer a doença A Probabilidade de ocorrer a doença B 
 
Agora, apliquemos o teorema da probabilidade total para as probabilidades encontradas. 
Como temos apenas dois ramos, escrevamos o teorema da probabilidade total para dois 
ramos. 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝛺1) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺1) + 𝑃(𝛺2) ∙ 𝑃(𝐴|𝛺2) 
No contexto do problema, temos.𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) 
Traduzindo. 
 
 
 
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) 
 
 
 
Olhando assim, até faz algum sentido, não? 
Os produtos já foram feitos pelo teorema da multiplicação, agora só precisamos aplicar o 
teorema da probabilidade total e somar as partes. 
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐶|𝐴) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐶|𝐵) 
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐶 ∩ 𝐴) + 𝑃(𝐶 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐶) = 56% + 19% 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 38 
𝑃(𝐶) = 75% 
De forma equivalente, no diagrama de árvore. 
 
Assim, há, em tese, 75% de chances de cura nas condições dadas. 
03) Com base na situação descrita anteriormente, calcule as probabilidades a seguir. 
a) Probabilidade individual de cada ramo da árvore de possibilidades. 
b) Probabilidade de não ser curado se a doença for a B. 
c) Probabilidade de não ser curado. 
d) Soma total das probabilidades dos ramos da árvore de probabilidades. 
Comentários 
a) Probabilidade individual de cada ramo da árvore de possibilidades. 
Com base o teorema da multiplicação, podemos completar os ramos faltantes. 
Probabilidade de NC caso seja a doença 𝐴. 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝑁𝐶|𝐴) 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) = 80% ∙ 30% 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) = 
80
100
∙
30
100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) = 
8 0 
1 0 0 
∙
3 0 
100
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 39 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) = 
8∙3
100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) =
24
100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) = 24% 
Probabilidade de NC caso seja a doença 𝐵. 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝑁𝐶|𝐵) 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 20% ∙ 5% 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 
20
100
∙
5
100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 
100
100∙100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 
 100 
 100 ∙100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 
1
100
 
𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) = 1% 
Dessa forma, podemos completar nossa árvore de probabilidades. 
 
 b) Probabilidade de não ser curado se a doença for a B. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 40 
Caso a doença seja a 𝐵, basta olharmos no diagrama para verificar que a probabilidade de 
não cura é de 1%. 
 
c) A probabilidade de não ser curado pode ser calculada pelo teorema da probabilidade 
total, utilizando os dois ramos da árvore de probabilidades correspondentes ao caso. 
𝑃(𝑁𝐶) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝑁𝐶|𝐴) + 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝑁𝐶|𝐵) 
𝑃(𝑁𝐶) = 𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐴) + 𝑃(𝑁𝐶 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝑁𝐶) = 24% + 1% 
𝑃(𝑁𝐶) = 25% 
 
d) Soma total das probabilidades dos ramos da árvore de probabilidades. 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 56% + 24%+ 19%+ 1% 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 100% 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 41 
 
 
Vamos agora aplicar esse método de maneira mais prática! 
(EV) Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem cinco alternativas. Um aluno 
que realizava essa avaliação teve certeza da resposta de 70% das questões e assinalou a 
alternativa correta de cada uma destas. Para as demais questões, ele não sabia qual 
poderia ser a resposta correta e, por isso, chutou aleatoriamente uma alternativa. 
Comentários: 
A probabilidade de ser uma questão que ele sabia a resposta dentro das que acertou é 
dada por: 
𝐶𝑎𝑠𝑜 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑙: 
0,70 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠) ∙ 1 (𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜) = 0,70. 
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠: 
0,70 ∙ 1 + 0,3 (𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡õ𝑒𝑠) ∙ 1/5 (𝑐ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑛𝑜 𝑐ℎ𝑢𝑡𝑒) 
= 0,76. 
Logo, 
𝑃 =
0,70
0,76
 = 35/38 
Gabarito: B) 
 
(EV) Uma pesquisa é feita com o intuito de investigar quantas curtidas as pessoas recebem 
em uma foto postada na internet, em uma semana, e quantas curtidas ela dá em fotos de 
outras pessoas. 
Para uma pessoa, escolhida ao acaso, a probabilidade de receber menos de 100 curtidas é 
𝑥. A probabilidade de que essas pessoas deem 𝑙𝑖𝑘𝑒 em pelo menos 3 fotos é de 76%. 
Para os que recebem pelo menos 100 curtidas, a probabilidade de darem like em menos 
de 3 fotos é de 90%. 
Comentários: 
Organizando os dados do problema em um diagrama de árvore, teremos o seguinte 
esquema: 
O teorema da multiplicação nos leva à probabilidade individual de cada ramo da 
árvore, enquanto o teorema da probabilidade total nos permite somar as 
probabilidades de determinados ramos para chegarmos a conclusões específicas. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 42 
 
Assim, a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, dar curtida em menos de 3 
fotos, será a soma entre: 
Pessoas que recebem menos de cem curtidas e curtem menos de 3 fotos: 
0,24 ∙ 𝑥 
Pessoas que recebem pelo menos cem curtidas e curtem menos de 3 fotos: 
0,9 ∙ (1 − 𝑥) 
Logo, temos: 
 
 
0,24𝑥 + 0,9(1 − 𝑥) = 0,801 
0,24𝑥 − 0,9𝑥 = 0,801 − 0,9 
−0,66𝑥 = −0,099 
𝑥 = 0,15 𝑜𝑢 15% 
Gabarito: b) 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 43 
8. Questões de Provas Anteriores 
 
1. (ENEM 2019) O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia 
percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da 
rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a 
probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2. 
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com 
anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de 
um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100. 
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é 
a) 99 
b) 51 
c) 50 
d) 6 
e) 1 
 
2. (ENEM 2018) O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está 
organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. 
Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e 
difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna. 
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 
25% delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, 
o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a 
probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível 
fácil seja de 75%. 
Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve 
acrescentar à urna é igual a 
a) 10 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 44 
b) 15 
c) 35 
d) 40 
e) 45 
 
3. (ENEM 2018 – 2ª Aplicação) O gerente de uma empresa sabe que 70% de seus 
funcionários são do sexo masculino e foi informado de que a porcentagem de 
empregados fumantes nessa empresa é de 5% dos homens e de 5% das mulheres. 
Selecionando, ao acaso, a ficha de cadastro de um dos funcionários, verificou tratar-se 
de um fumante. 
Qual a probabilidade de esse funcionário ser do sexo feminino? 
a) 50,0% 
b) 30,0% 
c) 16,7% 
d) 5,0% 
e) 1,5% 
 
4. (ENEM 2018 – 2ª Aplicação) Uma senhora acaba de fazer uma ultrassonografia e 
descobre que está grávida de quadrigêmeos. 
Qual é a probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas? 
a) 
𝟏
𝟏𝟔
 
b) 
𝟑
𝟏𝟔
 
c) 
𝟏
𝟒
 
d) 
𝟑
𝟖
 
e) 
𝟏
𝟐
 
 
5. (ENEM 2017) A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em 
praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 16 foram 
abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm 
minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de 
minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes 
de se abrir qualquer quadrado. 

ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 45 
 
Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher dentre os quadrados marcados com as 
letras P, Q, R, S e T um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor 
probabilidade de conter uma mina. 
O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra 
a) P. 
b) Q. 
c) R. 
d) S. 
e) T. 
 
6. (ENEM 2017 – LIBRAS) Um projeto para incentivar a reciclagem delixo de um 
condomínio conta com a participação de um grupo de moradores, entre crianças, 
adolescentes e adultos, conforme dados do quadro. 
 
Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para falar do projeto. Sabe-se que 
a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma criança é igual a dois terços. 
Diante disso, o número de crianças que participa desse projeto é 
a) 𝟔 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 46 
b) 𝟗 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟑𝟎 
e) 𝟒𝟓 
 
7. (ENEM 2015) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com 
eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, 
reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma 
campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas 
de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV 
acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe 
coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em 
quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, 
escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve 
cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: 
• Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. 
• Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. 
• Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. 
• Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. 
• Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. 
Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse 
a menor quantidade possível de pessoas. 
Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado). 
A proposta implementada foi a de número 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
8. (ENEM 2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se 
estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações 
distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 47 
Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, 
definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente 
estiver com a doença. 
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra 
duzentos indivíduos. 
 
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado). 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de 
a) 47,5%. 
b) 85,0%. 
c) 86,3%. 
d) 94,4%. 
e) 95,0%. 
 
9. (ENEM 2014 – 3ª APLICAÇÃO) A fim de expandir seus investimentos, um banco 
está avaliando os resultados financeiros de duas seguradoras de veículos de uma 
cidade. 
O seguro de um carro custa, em média, 𝑹$ 𝟐 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na seguradora X e 𝑹$ 𝟑 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na 
seguradora Y; já o valor pago pela seguradora a um cliente, vítima de roubo, é de 
𝑹$ 𝟒𝟐 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na seguradora X e de 𝑹$ 𝟔𝟑 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na seguradora Y. 
Pesquisas revelam que, nesta cidade, a probabilidade de um veículo ser roubado é de 
1%. 
Sabe-se que essas duas seguradoras têm a mesma quantidade de clientes e que o banco 
optará pela seguradora que possuir o maior lucro médio por veículo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 48 
A seguradora escolhida pelo banco e o lucro médio por veículo nessa escolha serão, 
respectivamente, 
a) Y e 𝑹$ 𝟐𝟗𝟕𝟎, 𝟎𝟎 
b) Y e 𝑹$ 𝟐𝟑𝟕𝟎, 𝟎𝟎 
c) Y e 𝑹$ 𝟐𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟎 
d) X e 𝑹$ 𝟏𝟓𝟖𝟎, 𝟎𝟎 
e) X e 𝑹$ 𝟏𝟓𝟔𝟎, 𝟎𝟎 
 
10. (ENEM / 2013 – 2ª APLICAÇÃO ) Uma fábrica possui duas máquinas que produzem 
o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2 000 peças e a máquina N 
produz 3 000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, 
das 2000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 
120 peças, das 3 000 produzidas pela máquina N, também apresentam defeitos. Um 
trabalhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa. 
Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenha sido 
produzida pela máquina M? 
a) 3/100 
b) 1/25 
c) 1/3 
d) 3/7 
e) 2/3 
 
11. (ENEM 2013 – 2ª APLICAÇÃO) Ao realizar uma compra em uma loja de 
departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de 
acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o 
cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até 
que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o 
apresentado na figura: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 49 
 
Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta 
região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD. 
João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade 
de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele 
jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
12. (ENEM 2012) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações 
diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam 
opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de 
uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. 
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 50 
 
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na 
postagem “Contos de Halloween”. 
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa 
escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de 
Halloween” é “Chato” é mais aproximada por 
a) 0,09. 
b) 0,12. 
c) 0,14. 
d) 0,15. 
e) 0,18. 
 
13. (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por 
recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano 
ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas 
das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são 
apresentadas no gráfico: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 51 
 
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele 
escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é 
a) 1/5 
b) 1/4 
c) 2/5 
d) 3/5 
e) 3/4 
 
14. (ENEM / 2011) Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação 
contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, 
de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a 
vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência de 
crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados 
específicos de um único posto de vacinação. 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a 
probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é 
a) 8%. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 52 
b) 9%. 
c) 11%. 
d) 12%. 
e) 22%. 
 
15. (ENEM 2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 
branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um 
valor para cada bola colorida). 
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o 
objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquercaçapas. Os valores dessas 
duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do 
início da jogada. 
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de 
suas respectivas somas. 
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é 
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. 
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 
possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. 
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 
possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. 
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades 
para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. 
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior. 
 
16. (ENEM / 2010 – 2ª APLICAÇÃO) Para verificar e analisar o grau de eficiência de um 
teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe 
de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa 
doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz podendo existir ratos saudáveis com 
resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos 
possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são 
doentes com resultado negativo. 
Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A 
probabilidade de esse rato ser saudável é: 
a) 1/5 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 53 
b) 4/5 
c) 19/21 
d) 19/25 
e) 21/25 
 
17. (ENEM 2010 – 2ª APLICAÇÃO) Um experimento foi conduzido com o objetivo de 
avaliar o poder germinativo de duas culturas de cebola, conforme a tabela. 
 
BUSSAB, W. O; MORETIN, L. G. Estatística para as ciências agrárias e biológicas (adaptado). 
Desejando-se fazer uma avaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola, 
uma amostra foi retirada ao acaso. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a 
probabilidade de essa amostra pertencer à Cultura A é de 
a) 8/27 
b) 19/27 
c) 381/773 
d) 392/773 
e) 392/800 
 
18. (UNESP/2018) Dois dados convencionais e honestos foram lançados ao acaso. 
Sabendo-se que saiu o número 6 em pelo menos um deles, a probabilidade de que tenha 
saído o número 1 no outro é igual a 
𝒂) 
𝟐
𝟗
 
𝒃) 
𝟖
𝟏𝟏
 
𝒄) 
𝟐
𝟏𝟏
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 54 
𝒅) 
𝟏
𝟔
 
𝒆) 
𝟏
𝟏𝟖
 
 
19. (UNESP/2015 ) Uma loja de departamentos fez uma pesquisa de opinião com 1000 
consumidores, para monitorar a qualidade de atendimento de seus serviços. Um dos 
consumidores que opinaram foi sorteado para receber um prêmio pela participação na 
pesquisa. 
A tabela mostra os resultados percentuais registrados na pesquisa, de acordo com as 
diferentes categorias tabuladas. 
 
Se cada consumidor votou uma única vez, a probabilidade de o consumidor sorteado 
estar entre os que opinaram e ter votado na categoria péssimo é, aproximadamente, 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 26%. 
d) 29%. 
e) 23%. 
 
20. (UNESP/2012) O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de 
automóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a 
matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar 
para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da 
diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário 
permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 55 
 
A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da 
marca C, após duas compras, é: 
a) 0,25. 
b) 0,24. 
c) 0,20. 
d) 0,09. 
e) 0,00. 
 
21. (UNESP/2009) Numa pesquisa feita com 200 homens, observou-se que 80 eram 
casados, 20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram solteiros. Escolhido um homem ao 
acaso, a probabilidade de ele não ser solteiro é: 
a) 0,65 
b) 0,6 
c) 0,55 
d) 0,5 
e) 0,35 
 
22. (UNESP/2006) Numa pequena cidade, realizou-se uma pesquisa com certo número 
de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou-se obter uma correlação entre a 
estatura de pais e filhos. Classificaram-se as estaturas em 3 grupos: alta (A), média (M) e 
baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos em 
probabilidades, na matriz: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 56 
O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 
𝟏
𝟒
, significa que a 
probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 
𝟏
𝟒
. Os demais elementos 
interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas 
por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter 
estatura alta é: 
a) 
𝟏𝟑
𝟑𝟐
 
b) 
𝟗
𝟔𝟒
 
c) 
𝟑
𝟒
 
d) 
𝟐𝟓
𝟔𝟒
 
e) 
𝟏𝟑
𝟏𝟔
 
 
23. (UNESP/2003) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser 
escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a 
escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois 
jogadores serem escalados é: a) 0,06. 
b) 0,14. 
c) 0,24. 
d) 0,56. 
e) 0,72. 
 
24. (Fuvest/2018) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: 
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de 
retirar uma bola amarela. 
II. Se forem retiradas 𝟒 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola 
vermelha passa a ser 
𝟏
𝟐
. 
III. Se forem retiradas 𝟏𝟐 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma 
bola branca passa a ser 
𝟏
𝟐
. 
A quantidade de bolas brancas na urna é 
a) 𝟖. b) 𝟏𝟎. c) 𝟏𝟐. d) 𝟏𝟒. e) 𝟏𝟔. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 57 
25. (Fuvest/2015) De um baralho de 𝟐𝟖 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco 
cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém 
consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso 
dentre as 𝟐𝟑 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís 
conseguir cinco cartas de ouros é: 
𝒂) 
𝟏
𝟏𝟑𝟎
 𝒃) 
𝟏
𝟒𝟐𝟎
 𝒄) 
𝟏𝟎
𝟏. 𝟕𝟕𝟏
 𝒅) 
𝟐𝟓
𝟕. 𝟏𝟏𝟕
 𝒆) 
𝟓𝟐
𝟖. 𝟏𝟏𝟕
 
 
26. (Fuvest/2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (𝒂, 𝒃), em 
que 𝟏𝟏 ≤ 𝒂 ≤ 𝟐𝟐 e 𝟒𝟑 ≤ 𝒃 ≤ 𝟓𝟏. Cada um desses pares ordenados está escrito em um 
cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de 
que se obtenha um par ordenado (𝒂, 𝒃) de tal forma que a fração 
𝒂
𝒃
 seja irredutível e com 
denominador par? 
a) 
𝟕
𝟐𝟕
 
b) 
𝟏𝟑
𝟓𝟒
 
c) 
𝟔
𝟐𝟕
 
d) 
𝟏𝟏
𝟓𝟒
 
e) 
𝟓
𝟐𝟕
 
 
27. (Fuvest/2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes 
distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, 
barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e 
gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a 
pesquisa de Francisco não sejam insetos? 
a) 
𝟒𝟗
𝟏𝟒𝟒
 
b) 
𝟏𝟒
𝟑𝟑
 
c) 
𝟕
𝟐𝟐
 
d) 
𝟓
𝟐𝟐
 
e) 
𝟏𝟓
𝟏𝟒𝟒
 
 
28. (Fuvest/2012) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 𝟏 a 𝟔, 
serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números 
consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 58 
𝒂) 
𝟐
𝟗
 𝒃) 
𝟏
𝟑
 𝒄) 
𝟒
𝟗
 𝒅) 
𝟓
𝟗
 𝒆) 
𝟐
𝟑
 
 
29. (Fuvest/2006) Um recenseamento revelou as seguintes característicassobre a 
idade e a escolaridade da população de uma cidade. 
 
 
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter 
curso superior (completo ou incompleto) é 
a) 6,12% 
b) 7,27% 
c) 8,45% 
d) 9,57% 
e) 10,23% 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 59 
30. (Fuvest/2000) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas a, b, c, d. Em 
cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas 
nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a? 
a) 3/10 
b) 1/10 
c) 3/20 
d) 1/20 
e) 1/30 
 
31. (UNICAMP/2018) Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de 
sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a 
probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a 
𝒂) 
𝟏
𝟐
 𝒃) 
𝟓
𝟗
 𝒄) 
𝟐
𝟑
 𝒅) 
𝟑
𝟓
 
 
32. (UNICAMP 2020) Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em 
cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2/3, independentemente do resultado das 
outras provas. 
Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o 
atleta vencer o torneio é igual a 
a) 2/3. 
b) 4/9. 
c) 20/27. 
d) 16/81. 
 
33. (UNICAMP 2021) Número natural é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 
100, e depois dividido por 3. A probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é de 
a) 31/100 
b) 33/100 
c) 17/50 
d) 19/50 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 60 
34. (UEA/2015 - Questão 09) Dos 50 alunos de uma classe, 30 utilizaram o metrô para 
ir à escola, 25 utilizaram o ônibus, 12 utilizaram ambos e alguns não utilizaram nem 
metrô nem ônibus. Tomando-se um desses alunos ao acaso, a probabilidade de que ele 
tenha utilizado somente o metrô para ir à escola é de 
(A) 6/25 
(B) 2/5 
(C) 3/5 
(D) 9/25 
(E) 1/2 
 
35. (UEA/2012) Uma lanchonete de Manaus oferece aos clientes um “combinado”, 
composto de um sanduíche e um suco. Pode-se escolher, de forma independente, entre 
dois tipos de sanduíche e três tipos de suco. A experiência mostra que 30% dos clientes 
comem o x-caboquinho simples (fatias de queijo coalho e lascas de tucumã no pão 
francês) e os restantes a sua versão mais refinada, que leva também fatias de banana 
frita. Por outro lado, 20% deles pedem suco de cupuaçu, 30% suco de maracujá e os 
restantes suco de manga. Nessas condições, a probabilidade de que um cliente peça x-
caboquinho simples e suco de manga é 
(A) 35%. (B) 15%. (C) 65%. (D) 80%. (E) 40%. 
 
36. (UEA/2012) Para incentivar a exploração racional da pesca, uma cooperativa 
instituiu uma premiação, baseada no tamanho mínimo de captura estabelecido para cada 
espécie e no acúmulo de pontos. Se o tamanho da unidade pescada for igual ou superior 
ao mínimo, o pescador recebe 3 pontos positivos; se for menor que o mínimo, recebe 5 
pontos negativos. Santiago teve 30 peixes avaliados e acumulou 50 pontos positivos, 
enquanto Juvenal, seu colega, alcançou 50 pontos positivos com apenas 22 peixes 
avaliados. Selecionando aleatoriamente um dos peixes avaliados de Santiago e um dos 
peixes avaliados de Juvenal, a probabilidade de que ambos tenham tamanho igual ou 
superior ao mínimo permitido é de 
(A) 5/6. (B) 5/11. (C) 25/33. (D) 10/11. (E) 1/10. 
 
37. (UEA/2003 - Questão 19) Quatro mulheres marcaram um encontro na porta do 
Mercado Central. Há 4 portas no Mercado Central e elas esqueceram de especificar em 
qual das portas se encontrariam. Qual é a probabilidade de as quatro se dirigirem a uma 
mesma porta? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 61 
(A) 1/4 
(B) 1/8 
(C) 1/16 
(D) 1/32 
(E) 1/64 
 
38. (UERJ/2018.2 – Questão 34) Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado 
cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de 
ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados 
pares. 
A probabilidade de um jogador vencer é: 
a) 
𝟑
𝟓
 
b) 
𝟐
𝟑
 
c) 
𝟏
𝟓
 
d) 
𝟏
𝟐
 
 
39. (UERJ/2018 – Questão 36) Cinco cartas de um baralho estão sobre uma mesa; 
duas delas são Reis, como indicam as imagens. 
 
Após serem virada para baixo e embaralhadas, uma pessoa retira uma dessas cartas ao 
acaso e, em seguida, retira outra. 
A probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada equivale a: 
a) 
𝟏
𝟐
 
b) 
𝟏
𝟑
 
c) 
𝟐
𝟓
 
d) 
𝟑
𝟏𝟎
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 62 
40. (UERJ/2016.2 – Questão 29) Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas 
pretas e 𝒙 bolas vermelhas, sendo 𝒙 > 𝟐. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é 
observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola 
dessa urna. 
Se 
𝟏
𝟐
 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de 𝒙 
é: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
 
41. (UERJ/2016) Considere o conjunto de números naturais abaixo e os 
procedimentos subsequentes: 
 
1 – Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é 
primo se 𝑷 > 𝟏 e tem apenas dois divisores naturais distintos. 
2 – A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1. 
3 – Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão. 
4 – Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números 
distintos ao acaso. 
A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é: 
a) 
𝟓
𝟏𝟐
 
b) 
𝟕
𝟏𝟐
 
c) 
𝟏𝟑
𝟐𝟒
 
d) 
𝟏𝟕
𝟐𝟒
 
 
42. (UFPR 2020) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão 
arterial, conforme mostrado no quadro a seguir. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 63 
 
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 
A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 
0,20. 
Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a 
probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 
Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a 
probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 
A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e 
peso deficiente é de 0,20. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
 
43. (UFPR/2020) Uma adaptação do Teorema do Macaco afirma que um macaco 
digitando aleatoriamente num teclado de computador, mais cedo ou mais tarde, 
escreverá a obra “Os Sertões” de Euclides da Cunha. Imagine que um macaco digite 
sequências aleatórias de 3 letras em um teclado que tem apenas as seguintes letras: S, 
E, R, T, O. Qual é a probabilidade de esse macaco escrever a palavra “SER” na primeira 
tentativa? 
a) 1/5. 
b) 1/15. 
c) 1/75. 
d) 1/125. 
e) 1/225. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 64 
44. (UFPR 2019) Em uma reunião de condomínio, os moradores resolveram fazer um 
sorteio para decidir a ordem em que suas casas serão pintadas. As 8 casas desse 
condomínio estão dispostas conforme o esquema abaixo. Dizemos que duas casas são 
vizinhas quando estão dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa 3 é vizinha 
das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 é vizinha apenas das casas 6 e 7. 
 
 
Qual é a probabilidade das duas primeiras casas sorteadas serem vizinhas? 
a) 5/28 
b) 5/32 
c) 5/14 
d) 5/16 
e) 9/56 
 
45. (UFPR/2018) A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. 
Quantas partidas devem ser jogadas em sequência para que a probabilidade de que haja 
vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%?Se necessário, use 𝒍𝒐𝒈(𝟑) =
 𝟎, 𝟒𝟕𝟕. 
a) 10. 
b) 20. 
c) 22. 
d) 30. 
e) 44. 
 
46. (UFPR 2017) Um dado comum, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas 
vezes, fornecendo dois números 𝒂 e 𝒄, que podem ser iguais ou diferentes. 
Qual é a probabilidade de a equação 𝒂𝒙² + 𝟒𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ter pelo menos uma raiz real? 
a) 5/36 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 65 
b) 1/6 
c) 2/9 
d) 4/15 
e) 1/3 
 
47. (UFPR 2013) Durante um surto de gripe, 25% dos funcionários de uma empresa 
contraíram essa doença. Dentre os que tiveram gripe, 80% apresentaram febre. 
Constatou-se também que 8% dos funcionários apresentaram febre por outros motivos 
naquele período. Qual a probabilidade de que um funcionário dessa empresa, 
selecionado ao acaso, tenha apresentado febre durante o surto de gripe? 
a) 20% 
b) 26% 
c) 28% 
d) 33% 
e) 35% 
 
48. (UFPR/2012) André, Beatriz e João resolveram usar duas moedas comuns, não 
viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do jantar, lançando as duas moedas 
simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, André lavará a louça; se 
aparecerem duas caras, Beatriz lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa, 
João lavará a louça. A probabilidade de que João venha a ser sorteado para lavar a louça 
é de: 
a) 25%. 
b) 27,5%. 
c) 30%. 
d) 33,3%. 
e) 50%. 
 
49. (UFPR 2010) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar 
doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por 
predadores é 1/4 , e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por 
predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida 
aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 66 
a) 1,0%. 
b) 2,4%. 
c) 4,0%. 
d) 3,4%. 
e) 2,5%. 
 
50. (UFPR 2008) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão 
arterial, conforme mostrado no quadro a seguir. 
 
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 
I. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é 
de 0,20. 
II. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de 
peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 
III. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, 
a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 
IV. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão 
normal e peso deficiente é de 0,20. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 67 
9. Gabarito 
 
 
1 D 11 D 21 C 31 B 41 B 
2 D 12 D 22 A 32 C 42 B 
3 B 13 E 23 D 33 C 43 D 
4 D 14 C 24 C 34 D 44 C 
5 B 15 C 25 C 35 B 45 E 
6 D 16 C 26 E 36 C 46 C 
7 A 17 D 27 C 37 E 47 B 
8 E 18 C 28 A 38 D 48 E 
9 B 19 A 29 B 39 D 49 D 
10 C 20 D 30 A 40 A 50 B 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 68 
10. Questões Resolvidas e Comentadas 
1. (ENEM 2019) O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia 
percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da 
rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a 
probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é 1/2. 
Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com 
anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de 
um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a 99/100. 
A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é 
a) 99 
b) 51 
c) 50 
d) 6 
e) 1 
 
Comentários 
Precisamos trabalhar com o conceito de probabilidade complementar, assim teremos: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 → 50% 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑁ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 → 50% 
 A questão quer que a probabilidade de perceber seja maior que 99%, ou seja: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 > 99% 
Ou 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑁ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 ≤ 1% 
Assim, calculando 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃(𝐴) = 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
= 
𝑞𝑢𝑒𝑟𝑜
𝑡𝑢𝑑𝑜
 
𝑃(𝐴) ≤ 1% 
 A probabilidade de cada placa é 50%, ou seja, ½: 
(
1
2
) ⋅ (
1
2
) ⋅ (
1
2
)⋯(
1
2
) ≤
1
100
 
 O que pode ser generalizado para 
(
1
2
)
𝑛
≤
1
100
 
Onde n é a quantidade de placas 
(
1
2
)
𝑛
≤
1
27
 
(
1
2
)
𝑛
≤ (
1
2
)
7
 
Como a base é menor que 1, devemos inverter o sinal da inequação 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 69 
𝑛 ≥ 7 
Ou seja, precisam de mais 6 placas, totalizando 7, para que a probabilidade de não perceber 
seja menor ou igual a 1%. 
Gabarito: D. 
2. (ENEM 2018) O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está 
organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. 
Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e 
difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna. 
Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 
25% delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, 
o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a 
probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível 
fácil seja de 75%. 
Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve 
acrescentar à urna é igual a 
a) 10 
b) 15 
c) 35 
d) 40 
e) 45 
Comentários 
Analisaremos os dois cenários: antes e depois de acrescentar as perguntas novas. 
Antes 
𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 → 25% 𝑑𝑒 20 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 → 5 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 
𝑃𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 → 20 𝑝𝑒𝑟𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 
 
 Depois, onde x representa as perguntas novas 
𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 → 5 + 𝑥 
𝑃𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 → 20 + 𝑥 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑎 → 75% 
 
 Aplicando a noção de probabilidade, temos que: 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
= 
𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
5 + 𝑥
20 + 𝑥
=
75
100
 
(5 + 𝑥) ⋅ 4 = (20 + 𝑥) ⋅ 3 
20 + 4𝑥 = 60 + 3𝑥 
𝑥 = 40 
Gabarito: D. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 70 
3. (ENEM 2018 – 2ª Aplicação) O gerente de uma empresa sabe que 70% de seus 
funcionários são do sexo masculino e foi informado de que a porcentagem de 
empregados fumantes nessa empresa é de 5% dos homens e de 5% das mulheres. 
Selecionando, ao acaso, a ficha de cadastro de um dos funcionários, verificou tratar-se 
de um fumante. 
Qual a probabilidade de esse funcionário ser do sexo feminino? 
a) 50,0% 
b) 30,0% 
c) 16,7% 
d) 5,0% 
e) 1,5% 
Comentários 
Temos uma probabilidade condicional na qual o espaço amostral é dado apenas pelos 
fumantes dessa empresa. Sabe-se que 70% dos funcionários são homens (5% dos quais são 
fumantes) e 30% são mulheres (5% das quais são fumantes). Logo, o total de fumantes é dado 
por: 
70%. 5% + 30%. 5% = 0,7.0,05 + 0,3 + 0,05 = 0,035 + 0,015 = 0,05 
A probabilidade de que o(a) fumante selecionado(a) seja mulher é dada por: 
𝑃 =
0,3.0,05
0,05
= 0,3 = 30% 
Gabarito: B. 
4. (ENEM 2018 – 2ª Aplicação) Uma senhora acaba de fazer uma ultrassonografia e 
descobre que está grávida de quadrigêmeos. 
Qual é a probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas? 
a) 
𝟏
𝟏𝟔
 
b) 
𝟑
𝟏𝟔
 
c) 
𝟏
𝟒
 
d) 
𝟑
𝟖
 
e) 
𝟏
𝟐
 
Comentários 
O espaço amostral é dado pelo produto das possibilidades de gênero para cada um dos bebês. 
Logo, temos que 2.2.2.2 = 16 possibilidades. 
Sabe-se que, das 4 crianças,2 devem ser meninos. Além disso, o agrupamento é realizado 
através de combinações, dado que a ordem dos nascimentos é irrelevante. Portanto, temos: 
𝐶4,2 =
4!
2! 2!
=
24
4
= 6 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 71 
A probabilidade de 2 crianças de cada gênero é dada por: 
𝑃 =
6
16
=
3
8
 
Gabarito: D. 
5. (ENEM 2017) A figura ilustra uma partida de Campo Minado, o jogo presente em 
praticamente todo computador pessoal. Quatro quadrados em um tabuleiro 16 16 foram 
abertos, e os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contêm 
minas (a serem evitadas). O número 40 no canto inferior direito é o número total de 
minas no tabuleiro, cujas posições foram escolhidas ao acaso, de forma uniforme, antes 
de se abrir qualquer quadrado. 
 
Em sua próxima jogada, o jogador deve escolher dentre os quadrados marcados com as 
letras P, Q, R, S e T um para abrir, sendo que deve escolher aquele com a menor 
probabilidade de conter uma mina. 
O jogador deverá abrir o quadrado marcado com a letra 
a) P. 
b) Q. 
c) R. 
d) S. 
e) T. 
Comentários 
Quadrado P: Dos oito quadrados em torno do número 2, dois são bombas. 
Probabilidade ⟶ 
2
8
=
1
4
= 25% 
Quadrado Q: Dos oito quadrados em torno do número 1, um é bomba. 
Probabilidade ⟶ 
1
8
= 12,5% 
Quadrado R: Dos 252 quadrados que ainda não foram abertos, 40 são bombas. 

ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 72 
Probabilidade ⟶ 
40
252
≅ 15,8% 
Quadrado S: Dos oito quadrados em torno do número 4, quatro são bombas. 
Probabilidade ⟶ 
4
8
=
1
2
= 50% 
Quadrado T: Dos oito quadrados em torno do número 3, três são bombas. 
Probabilidade ⟶ 
3
8
= 37,5% 
Portanto, o quadrado com menor probabilidade de ser bomba é o Q. 
Gabarito: B. 
6. (ENEM 2017 – LIBRAS) Um projeto para incentivar a reciclagem de lixo de um 
condomínio conta com a participação de um grupo de moradores, entre crianças, 
adolescentes e adultos, conforme dados do quadro. 
 
Uma pessoa desse grupo foi escolhida aleatoriamente para falar do projeto. Sabe-se que 
a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma criança é igual a dois terços. 
Diante disso, o número de crianças que participa desse projeto é 
a) 𝟔 
b) 𝟗 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟑𝟎 
e) 𝟒𝟓 
Comentários 
Número total de pessoas: 𝑥 + 5 + 10 = 𝑥 + 15 
Número de crianças: 𝑥 
Probabilidade de ser selecionada uma criança: 
𝑥
𝑥 + 15
=
2
3
 
3𝑥 = 2𝑥 + 30 
𝑥 = 30 
Gabarito: D. 
7. (ENEM 2015) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com 
eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, 
reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma 
campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 73 
de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV 
acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe 
coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em 
quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, 
escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve 
cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: 
• Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. 
• Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. 
• Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. 
• Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. 
• Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. 
Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse 
a menor quantidade possível de pessoas. 
Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado). 
A proposta implementada foi a de número 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
Comentários: 
Montando a árvore de possibilidades de a menina desenvolver a doença HPV: 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 74 
A quantidade de meninas permite é 5,9%, logo podemos notar dois ramos do diagrama que 
indicam as meninas com probabilidade de desenvolver a doença: 
𝐻𝑃𝑉 𝑒𝑚 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 (𝑖𝑛𝑒𝑓𝑖𝑐𝑎𝑧) + 𝐻𝑃𝑉 𝑒𝑚 𝑛ã𝑜 − 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 = 0,059 
50% ⋅ 2% ⋅ 𝑥 + 50% ⋅ (1 − 𝑥) = 0,059 
0,5 ⋅ 0,02 ⋅ 𝑥 + 0,5 ⋅ (1 − 𝑥) = 0,059 
0,01 ⋅ 𝑥 + 0,5 − 0,5𝑥 = 0,059 
−0,49 ⋅ 𝑥 = −0,441 
𝑥 = 0,9 𝑜𝑢 90% 
A proposta implementada foi a número I. 
 Gabarito: A 
8. (ENEM 2014) Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se 
estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações 
distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 
Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 
Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 
Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, 
definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente 
estiver com a doença. 
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra 
duzentos indivíduos. 
 
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado). 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de 
a) 47,5%. 
b) 85,0%. 
c) 86,3%. 
d) 94,4%. 
e) 95,0%. 
Comentários: 
O teste de sensibilidade é a probabilidade de ser positivo (𝟗𝟓) estando o paciente com a 
doença (𝟖𝟓 + 𝟏𝟓 = 𝟏𝟎𝟎). Ou seja, uma probabilidade condicional: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 75 
𝑃 =
𝟗𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 95% 
Gabarito: E 
9. (ENEM 2014 – 3ª APLICAÇÃO) A fim de expandir seus investimentos, um banco 
está avaliando os resultados financeiros de duas seguradoras de veículos de uma 
cidade. 
O seguro de um carro custa, em média, 𝑹$ 𝟐 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na seguradora X e 𝑹$ 𝟑 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na 
seguradora Y; já o valor pago pela seguradora a um cliente, vítima de roubo, é de 
𝑹$ 𝟒𝟐 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na seguradora X e de 𝑹$ 𝟔𝟑 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 na seguradora Y. 
Pesquisas revelam que, nesta cidade, a probabilidade de um veículo ser roubado é de 
1%. 
Sabe-se que essas duas seguradoras têm a mesma quantidade de clientes e que o banco 
optará pela seguradora que possuir o maior lucro médio por veículo. 
A seguradora escolhida pelo banco e o lucro médio por veículo nessa escolha serão, 
respectivamente, 
a) Y e 𝑹$ 𝟐𝟗𝟕𝟎, 𝟎𝟎 
b) Y e 𝑹$ 𝟐𝟑𝟕𝟎, 𝟎𝟎 
c) Y e 𝑹$ 𝟐𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟎 
d) X e 𝑹$ 𝟏𝟓𝟖𝟎, 𝟎𝟎 
e) X e 𝑹$ 𝟏𝟓𝟔𝟎, 𝟎𝟎 
Comentários: 
De acordo com enunciado, a cada 100 carros da cidade, 1 é roubado (1%). 
Dessa forma: 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑋: 
A cada 200.000 reais ganhos, ela paga 42.000, então: 
20.0000 − 42.000 = 15.8000 
A seguradora X lucra 158.000 reais no total, ou seja, 1.580 reais de lucro por carro (100 
carros). 
𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 𝑌: 
A cada 300.000 reais ganhos, ela paga 63.000, logo: 
300.000 − 63.000 = 237.000 
A seguradora Y lucra 237.000 reais por mês, ou seja, 2.370 reais de lucro por carro (100 
carros). 
Dessa forma, a seguradora escolhida pelo banco e o lucro médio por veículo nessa escolha 
serão, respectivamente, Y e 𝑅$ 2.370,00. 
 Gabarito: B 
10. (ENEM / 2013 – 2ª APLICAÇÃO ) Uma fábrica possui duas máquinas que produzem 
o mesmo tipo de peça. Diariamente a máquina M produz 2 000 peças e a máquina N 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 76 
produz 3 000 peças. Segundo o controle de qualidade da fábrica, sabe-se que 60 peças, 
das 2000 produzidas pela máquina M, apresentam algum tipo de defeito, enquanto que 
120 peças, das 3 000 produzidas pela máquina N, também apresentam defeitos. Um 
trabalhador da fábrica escolhe ao acaso uma peça, e esta é defeituosa. 
Nessas condições, qual a probabilidade de que a peça defeituosa escolhida tenhasido 
produzida pela máquina M? 
a) 3/100 
b) 1/25 
c) 1/3 
d) 3/7 
e) 2/3 
Comentários: 
No total, temos 180 peças defeituosas, pois: 
120 + 60 = 180 
A máquina M produziu 60 peças defeituosas. 
A probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis, 
então: 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
 
𝑃(𝐴) =
60
180
 
𝑃(𝐴) =
1
3
 
Gabarito: C 
11. (ENEM 2013 – 2ª APLICAÇÃO) Ao realizar uma compra em uma loja de 
departamentos, o cliente tem o direito de participar de um jogo de dardo, no qual, de 
acordo com a região do alvo acertada, ele pode ganhar um ou mais prêmios. Caso o 
cliente acerte fora de todos os quatro círculos, ele terá o direito de repetir a jogada, até 
que acerte uma região que dê o direito de ganhar pelo menos um prêmio. O alvo é o 
apresentado na figura: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 77 
 
Ao acertar uma das regiões do alvo, ele terá direito ao(s) prêmio(s) indicado(s) nesta 
região. Há ainda o prêmio extra, caso o cliente acerte o dardo no quadrado ABCD. 
João Maurício fez uma compra nessa loja e teve o direito de jogar o dardo. A quantidade 
de prêmios que João Maurício tem a menor probabilidade de ganhar, sabendo que ele 
jogou o dardo aleatoriamente, é exatamente: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
Comentários: 
A região hachurada é a que João tem a menor probabilidade de acertar. 
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 78 
Nela, João ganha 4 prêmios. 
Gabarito: D 
12. (ENEM 2012) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações 
diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam 
opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de 
uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. 
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete. 
 
O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na 
postagem “Contos de Halloween”. 
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa 
escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de 
Halloween” é “Chato” é mais aproximada por 
a) 0,09. 
b) 0,12. 
c) 0,14. 
d) 0,15. 
e) 0,18. 
Comentários: 
O espaço amostral dessa análise é igual a 100%. No entanto, como apenas as pessoas que 
votaram na enquete estão aptas a participar do sorteio, o espaço amostral será alterado para 
100% − 21% = 79%, dado que 21% dos visitantes não responderam à enquete. 
Como 12% consideraram “chato”, temos que: 
𝑃 =
12
79
≅ 0,15 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 79 
Gabarito: D 
13. (ENEM 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por 
recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano 
ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas 
das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são 
apresentadas no gráfico: 
 
Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele 
escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é 
a) 1/5 
b) 1/4 
c) 2/5 
d) 3/5 
e) 3/4 
Comentários: 
Das 4 regiões paras as quais Rafael pode se mudar, apenas três têm o requisito básico em 
relação à temperatura (a região Comercial tem temperaturas superiores a 31°C). 
Portanto, 
𝑃 =
3
4
. 
Gabarito: E 
14. (ENEM / 2011) Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação 
contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, 
de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a 
vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência de 
crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados 
específicos de um único posto de vacinação. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 80 
 
Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a 
probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é 
a) 8%. 
b) 9%. 
c) 11%. 
d) 12%. 
e) 22%. 
Comentários: 
O total de pessoas atendidas nesse posto é igual a 42 + 22 + 56 + 30 + 50 = 200. 
Desses 200 indivíduos, 22 são portadores de doenças crônicas. Logo: 
𝑃 =
22
200
=
11
100
= 0,11 = 11% 
Gabarito: C 
15. (ENEM 2011) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 
branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um 
valor para cada bola colorida). 
O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o 
objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas 
duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do 
início da jogada. 
Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de 
suas respectivas somas. 
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é 
a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 81 
b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 
possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. 
c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 
possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. 
d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades 
para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. 
e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior. 
Comentários: 
Arthur escolheu a soma 12. As possibilidades de pares de números que resultem nessa soma 
são (1, 11), (2, 10), (3, 9), (4, 8) e (5, 7), totalizando 5 possibilidades. 
Bernardo escolheu a soma 17. As possibilidades de pares de números que resultem nessa 
soma são (2, 15), (3, 14), (4, 13), (5, 12), (6, 11), (7, 10) e (8, 9), totalizando 7 possibilidades. 
Caio escolheu a soma 22. As possibilidades de pares de números que resultem nessa soma 
são (7, 15), (8, 14), (9, 13) e (10, 22), totalizando 4 possibilidades. 
Portanto, Bernardo tem mais possibilidades de vencer essa partida. 
Gabarito: C 
16. (ENEM / 2010 – 2ª APLICAÇÃO) Para verificar e analisar o grau de eficiência de um 
teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe 
de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa 
doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz podendo existir ratos saudáveis com 
resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos 
possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são 
doentes com resultado negativo. 
Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A 
probabilidade de esse rato ser saudável é: 
a) 1/5 
b) 4/5 
c) 19/21 
d) 19/25 
e) 21/25 
Comentários: 
Dos 500 ratos, 100 são doentes. Logo, 400 são saudáveis. No entanto, desses 400 ratos 
saudáveis, temos 20 que apresentaram resultado positivo. Restam, então, 380 ratos saudáveis 
com resultado negativo. 
Sabemos que, dentro dos 100 ratos doentes, 40 receberam um resultado falsamente negativo. 
Logo, o espaço amostral que representa o número de ratos com resultado negativo é dado por 
380 + 40 = 420 ratos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 82 
Desses 420 ratos que receberam resultados negativos, temos 380 que efetivamente estão 
saudáveis. Portanto, a probabilidade solicitada é de 
380
420
=
19
21
. 
Gabarito: C 
17. (ENEM 2010 – 2ª APLICAÇÃO) Um experimento foi conduzido com o objetivo de 
avaliar o poder germinativo de duas culturas de cebola, conforme a tabela. 
 
BUSSAB, W. O; MORETIN, L. G. Estatística para as ciências agrárias e biológicas (adaptado). 
Desejando-se fazer umaavaliação do poder germinativo de uma das culturas de cebola, 
uma amostra foi retirada ao acaso. Sabendo-se que a amostra escolhida germinou, a 
probabilidade de essa amostra pertencer à Cultura A é de 
a) 8/27 
b) 19/27 
c) 381/773 
d) 392/773 
e) 392/800 
Comentários: 
O espaço amostral é dado pela quantidade de amostras que germinaram: 773. 
A probabilidade de que essa amostra germinada pertença a cultura A é 
392
773
. 
Gabarito: D 
18. (UNESP/2018) Dois dados convencionais e honestos foram lançados ao acaso. 
Sabendo-se que saiu o número 6 em pelo menos um deles, a probabilidade de que tenha 
saído o número 1 no outro é igual a 
𝒂) 
𝟐
𝟗
 
𝒃) 
𝟖
𝟏𝟏
 
𝒄) 
𝟐
𝟏𝟏
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 83 
𝒅) 
𝟏
𝟔
 
𝒆) 
𝟏
𝟏𝟖
 
Comentários 
Trata-se de uma situação de probabilidade condicional. 
Estamos procurando a probabilidade de termos o número 1, dado que o 6 já ocorreu. 
Assim, temos. 
𝑃(1|6) =
𝑛(1 ∩ 6)
𝑛(6)
 
Perceba que não estamos considerando as 36 possibilidades para o lançamento de dois 
dados, pois, já tendo ocorrido o 6, temos um espaço amostral reduzido pela probabilidade 
condicional. 
Pensemos então no número de lançamentos possíveis que tenham os números 1 e 6. Bem, 
temos apenas duas possibilidades: (1,6) e (6,1), portanto, 𝑛(1 ∩ 6) = 2. 
Já o número de lançamentos possíveis em que o 6 figura de algum modo já é maior. 
(1,6) − (2,6) − (3,6) = (4,6) − (5,6) − (6,6) 
(6,1) − (6,2) − (6,3) = (6,4) − (6,5) − (6,6) 
Tomando o cuidado de não contar em duplicidade o elemento (6,6), temos 11 possibilidades 
em que figura o 6 de algum modo, portanto, 𝑛(6) = 11. 
Assim, utilizando a definição de probabilidade condicional, temos. 
𝑃(1|6) =
𝑛(1 ∩ 6)
𝑛(6)
 
𝑃(1|6) =
2
11
 
Gabarito: c) 
19. (UNESP/2015 ) Uma loja de departamentos fez uma pesquisa de opinião com 1000 
consumidores, para monitorar a qualidade de atendimento de seus serviços. Um dos 
consumidores que opinaram foi sorteado para receber um prêmio pela participação na 
pesquisa. 
A tabela mostra os resultados percentuais registrados na pesquisa, de acordo com as 
diferentes categorias tabuladas. 
 
Se cada consumidor votou uma única vez, a probabilidade de o consumidor sorteado 
estar entre os que opinaram e ter votado na categoria péssimo é, aproximadamente, 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 84 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 26%. 
d) 29%. 
e) 23%. 
Comentários 
Analisando a tabela, temos o percentual de consumidores que opinaram: 
25 + 43 + 17 = 85% 
Dos que opinaram, 17% votou em péssimo para o atendimento, logo a probabilidade pode ser 
obtida da seguinte forma: 
𝑃 =
17%
85%
=
1
5
= 0,2 = 20% 
Gabarito: a) 
20. (UNESP/2012) O mercado automobilístico brasileiro possui várias marcas de 
automóveis disponíveis aos consumidores. Para cinco dessas marcas (A, B, C, D e E), a 
matriz fornece a probabilidade de um proprietário de um carro de marca da linha i trocar 
para o carro de marca da coluna j, quando da compra de um carro novo. Os termos da 
diagonal principal dessa matriz fornecem as probabilidades de um proprietário 
permanecer com a mesma marca de carro na compra de um novo. 
 
A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da 
marca C, após duas compras, é: 
a) 0,25. 
b) 0,24. 
c) 0,20. 
d) 0,09. 
e) 0,00. 
Comentários 
A probabilidade de um proprietário de um carro da marca B comprar um novo carro da marca 
C, após duas compras pode ser calculada por: 
 
𝑃(𝐵𝐴 𝑒 𝐴𝐶) + 𝑃(𝐵𝐵 𝑒 𝐵𝐶) + 𝑃(𝐵𝐶 𝑒 𝐶𝐶) + 𝑃(𝐵𝐷 𝑒 𝐷𝐶) + 𝑃(𝐵𝐸 𝑒 𝐸𝐶) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 85 
𝑎21 ⋅ 𝑎13 + 𝑎22 ⋅ 𝑎23 + 𝑎23 ⋅ 𝑎33 + 𝑎24 ⋅ 𝑎43+𝑎25 ⋅ 𝑎53 
0,3 ⋅ 0,2 + 0,3 ⋅ 0,0 + 0,0 ⋅ 0,4 + 0,1 ⋅ 0,2 + 0,1 ⋅ 0,1 
0,09 
Gabarito: d) 
21. (UNESP/2009) Numa pesquisa feita com 200 homens, observou-se que 80 eram 
casados, 20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram solteiros. Escolhido um homem ao 
acaso, a probabilidade de ele não ser solteiro é: 
a) 0,65 
b) 0,6 
c) 0,55 
d) 0,5 
e) 0,35 
Comentários: 
Espaço amostral: 200 homens 
Desse total, 90 são solteiros; portanto, 110 não pertencem a esse grupo. 
𝑷 =
𝟏𝟏𝟎
𝟐𝟎𝟎
=
𝟏𝟏
𝟐𝟎
= 𝟎, 𝟓𝟓 
Gabarito: c) 
22. (UNESP/2006) Numa pequena cidade, realizou-se uma pesquisa com certo número 
de indivíduos do sexo masculino, na qual procurou-se obter uma correlação entre a 
estatura de pais e filhos. Classificaram-se as estaturas em 3 grupos: alta (A), média (M) e 
baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos em 
probabilidades, na matriz: 
 
O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que é 
𝟏
𝟒
, significa que a 
probabilidade de um filho de pai alto ter estatura média é 
𝟏
𝟒
. Os demais elementos 
interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem válidas 
por algumas gerações, a probabilidade de um neto de um homem com estatura média ter 
estatura alta é: 
a) 
𝟏𝟑
𝟑𝟐
 
b) 
𝟗
𝟔𝟒
 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 86 
c) 
𝟑
𝟒
 
d) 
𝟐𝟓
𝟔𝟒
 
e) 
𝟏𝟑
𝟏𝟔
 
Comentários: 
Sabemos que o avô é médio e o neto é alto. Não sabemos a estatura do filho. Logo, temos três 
possibilidades: 
- Filho alto e neto alto: 
𝟑
𝟖
.
𝟓
𝟖
=
𝟏𝟓
𝟔𝟒
 
- Filho médio e neto alto: 
𝟑
𝟖
.
𝟑
𝟖
=
𝟗
𝟔𝟒
 
- Filho baixo e neto alto: 
𝟏
𝟒
.
𝟏
𝟖
=
𝟏
𝟑𝟐
 
A soma das probabilidades é 
𝟏𝟓
𝟔𝟒
+
𝟗
𝟔𝟒
+
𝟏
𝟑𝟐
=
𝟏𝟓 + 𝟗 + 𝟐
𝟔𝟒
=
𝟐𝟔
𝟔𝟒
=
𝟏𝟑
𝟑𝟐
 
Gabarito: a) 
23. (UNESP/2003) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser 
escalado é 0,2 e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a 
escalação de um deles é independente da escalação do outro, a probabilidade de os dois 
jogadores serem escalados é: a) 0,06. 
b) 0,14. 
c) 0,24. 
d) 0,56. 
e) 0,72. 
Comentários: 
A probabilidade de S e R serem escalado é dada pelo produto entre: 
𝑃(𝑅) = 0,8 
𝑃(𝑆) = 0,7 
Dessa forma: 
0,8 ∙ 0,7 = 0,56 
Gabarito: d) 
24. (Fuvest/2018) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que: 
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de 
retirar uma bola amarela. 
II. Se forem retiradas 𝟒 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola 
vermelha passa a ser 
𝟏
𝟐
. 
III. Se forem retiradas 𝟏𝟐 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma 
bola branca passa a ser 
𝟏
𝟐
. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 87 
A quantidade de bolas brancas na urna é 
a) 𝟖. b) 𝟏𝟎. c) 𝟏𝟐. d) 𝟏𝟒. e) 𝟏𝟔. 
Comentários 
Antes de iniciar o exercício em si, vamos criar uma codificação para facilitar nossas anotações. 
Tomemos 
𝑎 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑎𝑠 
𝑏 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠 
𝑣 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠 
𝑃𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑙𝑎 
𝑃𝑏 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 
𝑃𝑣 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎 
Onde, por definição, podemos dizer que as probabilidades 𝑃𝑎, 𝑃𝑏 e 𝑃𝑣 são dadas por: 
𝑃𝑎 =
𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
 
 
𝑃𝑏 =
𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
 
 
𝑃𝑣 =
𝑣
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
 
De acordo? 
Com essa nomenclatura, vamos traduzir as informações do enunciado. 
I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de 
retirar uma bola amarela. 
𝑃𝑣 = 2 ∙ 𝑃𝑎 
𝑣
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
= 2 ∙
𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
 
 
𝑣
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
= 2 ∙
𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
 
 
Multiplicando ambos os termos da equação por (𝑎 + 𝑏 + 𝑣). 
 
(𝑎 + 𝑏 + 𝑣) ∙
𝑣
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
= 2 ∙
𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑣
∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣) 
 
 (𝑎 + 𝑏 + 𝑣) ∙
𝑣
 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 
= 2 ∙
𝑎
 𝑎 + 𝑏 + 𝑣∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣) 
 
𝑣 = 2 ∙ 𝑎 
Subtraindo 𝑣 de ambos os membros da equação, temos. 
𝑣 − 𝑣 = 2 ∙ 𝑎 − 𝑣 
 𝑣 − 𝑣 = 2 ∙ 𝑎 − 𝑣 
0 = 2 ∙ 𝑎 − 𝑣 
Reescrevendo de modo equivalente. 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0 
Guardemos essa informação e sigamos. 
II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola 
vermelha passa a ser 
1
2
. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 88 
𝑣
𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4
=
1
2
 
 
Multiplicando ambos os membros da equação por 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4). 
 
2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4) ∙
𝑣
𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4
=
1
2
∙ 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4) 
 
2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4) ∙
𝑣
 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4 
=
1
 2 
∙ 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4) 
 
2 ∙ 𝑣 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4 
Subtraindo 2 ∙ 𝑣 e somando 4 a ambos os membros da equação. 
2 ∙ 𝑣 − 2 ∙ 𝑣 + 4 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4 − 2 ∙ 𝑣 + 4 
 2 ∙ 𝑣 − 2 ∙ 𝑣 + 4 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 4 − 2 ∙ 𝑣 + 4 
4 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 2 ∙ 𝑣 
4 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑣 
Reescrevendo de modo equivalente. 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4 
Novamente, guardemos a informação e sigamos. 
III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola 
branca passa a ser 
1
2
. 
𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12
=
1
2
 
Perceba que, na equação, retiramos 12 bolas do total. Desde que não sejam brancas, 
podemos retirar essas 12 bolas de qualquer outra cor sem alterar a informação de que a 
probabilidade da bola branca passa a ser 
1
2
. 
Multiplicando ambos os membros da equação por 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12). 
2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12) ∙
𝑏
𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12
=
1
2
∙ 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12) 
 
 
2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12) ∙
𝑏
 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12 
=
1
 2 
∙ 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12) 
 
2 ∙ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12 
Subtraindo 2 ∙ 𝑏 e somando 12 a ambos os membros da equação. 
2 ∙ 𝑏 − 2 ∙ 𝑏 + 12 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12 − 2 ∙ 𝑏 + 12 
 2 ∙ 𝑏 − 2 ∙ 𝑏 + 12 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 12 − 2 ∙ 𝑏 + 12 
12 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑣 − 2 ∙ 𝑏 
12 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑣 
Reescrevendo de modo equivalente. 
𝑎 − 𝑏 + 𝑣 = 12 
Muito bem, seguimos todas as indicações e chegamos a três equações distintas. 
Vejamos o que estamos procurando antes de trabalharmos com as equações. O enunciado 
nos pede 
“A quantidade de bolas brancas na urna é...” 
Assim, estamos, nesta questão, procurando o valor da incógnita 𝑏. 
Perceba que as equações a que chegamos nos permitem montar um sistema de equações. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 89 
{
 
 
 
 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 − 𝑏 + 𝑣 = 12
 
Perceba que as linhas 2 e 3 apresentam duas de nossas incógnitas, 𝑏 e 𝑣, com sinais opostos. 
Vamos somá-las para já descobrir o valor da incógnita 𝑎. 
{
 
 
 
 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 − 𝑏 + 𝑣 = 12
0
0
0
0
+
 
0
0
∙ (1)
0
0
→
{
 
 
 
 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
2𝑎 + 0b + 0v = 12 + 4
→
{
 
 
 
 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
2𝑎 = 16
→
{
 
 
 
 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 = 8
 
Substituindo 𝑎 = 8 na primeira equação. 
{
 
 
 
 
2 ∙ 𝑎 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 = 8
 →
{
 
 
 
 
2 ∙ 8 − 𝑣 = 0
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 = 8
→
{
 
 
 
 
16 = 𝑣
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 = 8
 
Substituindo 𝑎 = 8 e 16 = 𝑣 na segunda equação, temos. 
{
 
 
 
 
16 = 𝑣
 
𝑎 + 𝑏 − 𝑣 = 4
 
𝑎 = 8
 →
{
 
 
 
 
16 = 𝑣
 
8 + 𝑏 − 16 = 4
 
𝑎 = 8
→
{
 
 
 
 
16 = 𝑣
 
𝑏 = 4 + 16 − 8
 
𝑎 = 8
→
{
 
 
 
 
16 = 𝑣
 
𝑏 = 12
 
𝑎 = 8
 
E, assim, concluímos ser 12 o número de bolas brancas na urna, inicialmente. 
Gabarito: c) 
25. (Fuvest/2015) De um baralho de 𝟐𝟖 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco 
cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém 
consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso 
dentre as 𝟐𝟑 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís 
conseguir cinco cartas de ouros é: 
𝒂) 
𝟏
𝟏𝟑𝟎
 𝒃) 
𝟏
𝟒𝟐𝟎
 𝒄) 
𝟏𝟎
𝟏. 𝟕𝟕𝟏
 𝒅) 
𝟐𝟓
𝟕. 𝟏𝟏𝟕
 𝒆) 
𝟓𝟐
𝟖. 𝟏𝟏𝟕
 
Comentários 
De acordo com o texto, Luís tem cinco cartas na mão com os naipes ♢♢♠♡♣. 
O baralho original contém, ainda segundo o enunciado: 
♢ → 7 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
 
♠ → 7 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
 
♡ → 7 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
 
♣ → 7 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠}
 
 
 
 
⇒ 4 ∙ 7 = 28 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 
 
Como Luís retirou 5 cartas com os naipes ♢♢♠♡♣, ainda restam, no baralho: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 90 
♢ → 5 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
 
♠ → 6 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
 
♡ → 6 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠
 
♣ → 6 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠}
 
 
 
 
⇒ 5 + 6 + 6 + 6 = 23 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 
Pelas regras, Luís descartará as três cartas de naipes ♠♡♣ na esperança de, ao pegar outras 
três cartas dentre as 23 restantes, receber três naipes ♢. 
Chamemos 𝑃1 a probabilidade de Luís receber uma carta de naipe ♢ na primeira retirada, 𝑃2 na 
segunda e 𝑃3 na terceira. 
Como estamos lidando com uma situação sem reposição, podemos dizer, com base na 
definição de probabilidade, que 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
𝑃1 =
5
23
, 
pois há 5 cartas de naipe ♢ dentre as 23 remanescentes. 
Quando Luís pega uma carta de naipe ♢, passamos a ter 22 cartas remanescentes e, dentre 
essas, somente 4 de naipe ♢, pois ele acabou de pegar uma das 5 que havia no baralho. 
Assim, podemos dizer que 
𝑃2 =
4
22
 
Com raciocínio semelhante, temos, agora, 21 cartas no baralho e, dentre essas, 3 de naipe ♢, 
portanto 
𝑃3 =
3
21
. 
Assim, pelo princípio multiplicativo, podemos dizer que a probabilidade 𝑃123 de Luís pegar as 
três cartas de naipe ♢ é dada pelo produto 
𝑃123 = 𝑃1 ∙ 𝑃2 ∙ 𝑃3 
𝑃123 =
5
23
∙
4
22
∙
3
21
 
Fatorando os números. 
𝑃123 =
5
23
∙
2 ∙ 2
2 ∙ 11
∙
3
3 ∙ 7
 
𝑃123 =
5
23
∙
 2 ∙ 2
 2 ∙ 11
∙
 3 
 3 ∙ 7
 
𝑃123 =
5 ∙ 2
23 ∙ 11 ∙ 7
 
𝑃123 =
10
1771
 
Gabarito: c) 
26. (Fuvest/2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (𝒂, 𝒃), em 
que 𝟏𝟏 ≤ 𝒂 ≤ 𝟐𝟐 e 𝟒𝟑 ≤ 𝒃 ≤ 𝟓𝟏. Cada um desses pares ordenados está escrito em um 
cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de 
que se obtenha um par ordenado (𝒂, 𝒃) de tal forma que a fração 
𝒂
𝒃
 seja irredutível e com 
denominador par? 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 91 
a) 
𝟕
𝟐𝟕
 
b) 
𝟏𝟑
𝟓𝟒
 
c) 
𝟔
𝟐𝟕
 
d) 
𝟏𝟏
𝟓𝟒
 
e) 
𝟓
𝟐𝟕
 
Comentários 
O valor de 𝑎 está no intervalo 11 ≤ 𝑎 ≤ 22, totalizando 12 possibilidades. 
O valor de 𝑏 está no intervalo 43 ≤ 𝑏 ≤ 51, totalizando 9 possibilidades. 
O espaço amostral do sorteio de 𝑎 e 𝑏 é dado por 12 . 9 = 108. 
 
Como 𝑏 deve ser par, as possibilidades são 44, 46, 48 ou 50. 
Caso seja 44, para que 
𝑎
𝑏
 seja uma fração irredutível, 𝑎 deve ser 13, 15, 17, 19 ou 21, 
totalizando 5 possibilidades. 
Caso seja 46, para que 
𝑎
𝑏
 seja uma fração irredutível, 𝑎 deve ser 11, 13, 15, 17, 19 ou 21, 
totalizando 6 possibilidades. 
Caso seja 48, para que 
𝑎
𝑏
 seja uma fração irredutível, 𝑎 deve ser 11, 13, 17 ou 19, totalizando 4 
possibilidades. 
Caso seja 50, para que 
𝑎
𝑏
 seja uma fração irredutível, 𝑎 deve ser 11, 13, 17, 19 ou 21, 
totalizando 5 possibilidades. 
Logo, existem 5 + 6 + 4 + 5 = 20 possibilidades de que a fração 
𝑎
𝑏
 seja irredutível com 
denominador par. 
𝑃 =
20
108
=
5
27
 
Gabarito: e) 
27. (Fuvest/2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrópodes 
distintos. Eles serão selecionados, ao acaso, da seguinte relação: aranha, besouro, 
barata, lagosta, camarão, formiga, ácaro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpião e 
gafanhoto. Qual é a probabilidade de que ambos os artrópodes escolhidos para a 
pesquisa de Francisco não sejam insetos? 
a) 
𝟒𝟗
𝟏𝟒𝟒
 
b) 
𝟏𝟒
𝟑𝟑
 
c) 
𝟕
𝟐𝟐
 
d) 
𝟓
𝟐𝟐
 
e) 
𝟏𝟓
𝟏𝟒𝟒
 
Comentários 
ESTRATÉGIA VESTIBULARESAULA 12 – PROBABILIDADE. 92 
Temos 12 artrópodes no espaço amostral. Desses, 7 não são insetos (aranha, lagosta, 
camarão, ácaro, caranguejo, carrapato e escorpião). Logo, a chance de que apenas elementos 
dentre esses 7 sejam escolhidos é: 
𝑃 =
7
12
.
6
11
=
42
132
=
7
22
 
Gabarito: c) 
28. (Fuvest/2012) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 𝟏 a 𝟔, 
serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números 
consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de: 
𝒂) 
𝟐
𝟗
 𝒃) 
𝟏
𝟑
 𝒄) 
𝟒
𝟗
 𝒅) 
𝟓
𝟗
 𝒆) 
𝟐
𝟑
 
Comentários 
Se vamos lançar um dado de seis faces duas vezes, nosso espaço amostral 𝛺 tem número de 
elementos 𝑛(𝛺) dado por: 
𝑛(𝛺) = 6 ∙ 6 
𝑛(𝛺) = 36 
Vejamos quantos desses resultados são números consecutivos. 
 
(1,2) 0 (2,3) 0 (3,4) 0 (4,5) 0 (5,6)
1 + 2 0 2 + 3 0 3 + 4 0 4 + 5 0 5 + 6
3 0 5 0 7 0 9 0 11
 0 0 0 0 
(2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (6,5)
2 + 1 3 + 2 4 + 3 5 + 4 6 + 5
3 5 7 9 11
 
 
Mas professor, você contou o mesmo par de números duas vezes! 
Pois é, não contei. 
Quando falamos que tínhamos 36 possibilidades diferentes por meio do Princípio Fundamental 
da Contagem, consideramos o par (𝑎, 𝑏) diferente do par (𝑏, 𝑎). Assim, precisamos considerar 
ambos. 
Dessa forma, temos que 8 pares formados por números consecutivos, cuja soma seja um 
número primo. 
Assim, via definição de probabilidade, temos. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠
 
𝑃 =
8
36
 
𝑃 =
 8 
2
 36 
9 
𝑃 =
2
9
 
Gabarito: a) 
29. (Fuvest/2006) Um recenseamento revelou as seguintes características sobre a 
idade e a escolaridade da população de uma cidade. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 93 
 
 
Se for sorteada, ao acaso, uma pessoa da cidade, a probabilidade de esta pessoa ter 
curso superior (completo ou incompleto) é 
a) 6,12% 
b) 7,27% 
c) 8,45% 
d) 9,57% 
e) 10,23% 
Comentários 
Escolaridade Jovens Mulheres Homens 
Fundamental incompleto 30% 15% 18% 
Fundamental completo 20% 30% 28% 
Médio incompleto 26% 20% 16% 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 94 
Médio completo 18% 28% 28% 
Superior incompleto 4% 4% 5% 
Superior completo 2% 3% 5% 
Somando essas linhas, temos a porcentagem de cada faixa (jovens, mulheres, homens) que se 
encaixam ou em uma ou em outra situação. 
Superior incompleto 4% 4% 5% 
Superior completo 2% 3% 5% 
Total 4% + 2% = 6% 4%+ 3% = 7% 5% + 5% = 10% 
Atenção agora, essa porcentagem é referente à faixa a que se refere. 
Os 6% fazem referência aos jovens; os 7%, às mulheres e os 10%, aos homens. 
E quantos são estes? Que faixas são essas? 
Simples, as faixas estão no gráfico de pizza fornecido no início da questão. 
 
Seria o mesmo que fazermos um diagrama de árvore, veja. 
 
Onde 𝐽 simboliza os jovens; 𝑀, as mulheres; 𝐻, os homens e 𝐸𝑆 o ensino superior. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 95 
A árvore poderia ser feita para todo o problema. No entanto, para não causar confusão, 
fizemos somente os ramos de interesse. Você pode perceber isso ao somar as porcentagens 
resultantes e ver que não resultam em 100%. 
Pelo teorema da multiplicação, podemos dizer que os jovens com ensino superior representam: 
𝐽 = 48% ∙ 6% 
𝐽 =
48
100
∙
6
100
 
𝐽 =
288
10000
 
𝐽 = 2,88 % 
Do mesmo modo, temos que 
𝑀 = 27% ∙ 7% 
𝑀 =
27
100
∙
7
100
 
𝑀 =
189
10000
 
𝑀 = 1,89 % 
E isso se aplica a 
𝐻 = 25% ∙ 10% 
𝐻 =
25
100
∙
10
100
 
𝐻 =
250
10000
 
𝐻 = 2,5 % 
Levando para o diagrama. 
 
Agora, pelo teorema da probabilidade total, podemos somar essas porcentagens e obter a 
probabilidade 𝑃 solicitada. 
Onde 𝐽 simboliza os jovens; 𝑀, as mulheres; 𝐻, os homens e 𝐸𝑆 o ensino superior 
𝑃 = 𝐽 + 𝑀 + 𝐻 
𝑃 = 2,88 % + 1,89 % + 2,5 % 
𝑃 = 7,27 % 
Gabarito: b) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 96 
30. (Fuvest/2000) Um arquivo de escritório possui 4 gavetas, chamadas a, b, c, d. Em 
cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 pastas 
nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas na gaveta a? 
a) 3/10 
b) 1/10 
c) 3/20 
d) 1/20 
e) 1/30 
Comentários 
Calculando as possibilidades favoráveis, podemos ter 3 situações. A gaveta A sempre com 4 
pastas e as demais podendo ficar com 5 ou 4, totalizando 18. Veja: 
𝟒 + 5 + 5 + 4 = 18 
𝟒 + 5 + 4 + 5 = 18 
𝟒 + 5 + 5 + 4 = 18 
Calculando o total de possibilidades, percebemos que ou uma gaveta fica com 3 pastas, ou 
duas ficam com 4 pastas, totalizando as 18 pastas. Veja: 
𝟓 + 5 + 5 + 3 = 18 
𝟓 + 5 + 4 + 4 = 18 
Podemos permutar as gavetas, de forma a embaralhar as quantidades de pastas. Podemos 
encontrar todas essas formas, através de permutação com repetição, da seguinte forma: 
𝑃4
3 =
4!
3!
= 4 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 
𝑃4
2,2 =
4!
2! 2!
=
4.3
2
= 6 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 
No total, teremos 10 formas de organização das 18 pastas, dentre as 4 gavetas. 
Assim, a probabilidade será dada por: 
𝑃 =
𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠
 
𝑃 =
3
10
 
Gabarito: A 
31. (UNICAMP/2018) Lançando-se determinada moeda tendenciosa, a probabilidade de 
sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Em dois lançamentos dessa moeda, a 
probabilidade de sair o mesmo resultado é igual a 
𝒂) 
𝟏
𝟐
 𝒃) 
𝟓
𝟗
 𝒄) 
𝟐
𝟑
 𝒅) 
𝟑
𝟓
 
Comentários 
Considerando a probabilidade de sair cara, 𝑃(𝐾), e a probabilidade de sair coroa, 𝑃(𝐶), temos: 
{
𝑃(𝐾) + 𝑃(𝐶) = 1 → 𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1, 𝑜𝑢 100%
 
𝑃(𝐾) = 2 ∙ 𝑃(𝐶) → 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 
 
Substituindo a segunda equação na primeira, temos. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 97 
 
𝑃(𝐾) + 𝑃(𝐶) = 1 
2 ∙ 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐶) = 1 
3 ∙ 𝑃(𝐶) = 1 
Dividindo ambas as equações por 3. 
3 ∙ 𝑃(𝐶)
3
=
1
3
 
 3 ∙ 𝑃(𝐶)
 3 
=
1
3
 
𝑃(𝐶) =
1
3
 
Substituindo o valor de 𝑃(𝐶) na segunda equação do sistema, temos. 
𝑃(𝐾) = 2 ∙ 𝑃(𝐶) 
𝑃(𝐾) = 2 ∙
1
3
 
𝑃(𝐾) =
2
3
 
Agora, de posse das probabilidades individuais, podemos calcular a probabilidade solicitada no 
exercício. 
Ao lançar a moeda duas vezes, a probabilidade de ter o mesmo resultado nos dois 
lançamentos pode ser dividida em duas etapas: a probabilidade 𝑃1 de ambos os lançamentos 
apresentarem cara e a probabilidade 𝑃2 de ambos os lançamentos apresentarem coroa. 
Assim, temos, pelo teorema da multiplicação: 
𝑃1 =
1
3
∙
1
3
 
𝑃1 =
1
9
 
 
𝑃2 =
2
3
∙
2
3
 
𝑃1 =
4
9
 
Aplicando o teorema da probabilidade total, podemos dizer que a probabilidade 𝑃 de que os 
dois lançamentos apresentem resultados iguais é de: 
𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 
𝑃 =
1
9
+
4
9
 
𝑃 =
5
9
 
Gabarito: b) 
32. (UNICAMP 2020) Um atleta participa de um torneio composto por três provas. Em 
cada prova, a probabilidade de ele ganhar é de 2/3, independentemente do resultado das 
outras provas. 
Para vencer o torneio, é preciso ganhar pelo menos duas provas. A probabilidade de o 
atleta vencer o torneio é igual a 
a) 2/3. 
b) 4/9. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 98 
c) 20/27. 
d) 16/81. 
Comentários: 
Considerando 𝑉 a situação em que o atleta vence e 𝑃 a situação em que o atleta perde uma 
prova, temos que, para vender o torneio, deverá ocorrer uma das seguintes situações: 
𝑉𝑉𝑉 
𝑉𝑉𝑃 
𝑉𝑃𝑉 
𝑃𝑉𝑉 
Como as situações agrupadas são alternativas, ou seja, deve ocorrer uma OU outra, a 
probabilidade é dada pela soma: 
2
3
⋅
2
3
⋅
2
3
+
2
3
⋅
2
3
⋅
1
3
+
2
3
⋅
1
3
⋅
2
3
+
1
3
⋅
2
3
⋅
2
3
 
8
27
+ 3 ⋅
4
27
 
20
27
 
Gabarito: c) 
33. (UNICAMP 2021) Número natural é escolhido ao acaso entre os números de1 a 
100, e depois dividido por 3. A probabilidade de que o resto da divisão seja igual a 1 é de 
a) 31/100 
b) 33/100 
c) 17/50 
d) 19/50 
Comentários: 
De 1 a 100, temos 100 números. 
Os números que divididos por 3, possuem resto igual a 1 formam uma PA de razão 3: 
(1 4 7 . . . 100) 
Calculando o número de termos, através do termo geral da P.A. temos: 
100 = 1 + (𝑛 − 1) ⋅ 3 
102 = 3𝑁 
𝑁 = 34 
Dessa forma, a probabilidade será dada por: 
𝑃 =
34
100
 
𝑃 =
17
100
 
Gabarito c) 
34. (UEA/2015 - Questão 09) Dos 50 alunos de uma classe, 30 utilizaram o metrô para 
ir à escola, 25 utilizaram o ônibus, 12 utilizaram ambos e alguns não utilizaram nem 
metrô nem ônibus. Tomando-se um desses alunos ao acaso, a probabilidade de que ele 
tenha utilizado somente o metrô para ir à escola é de 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 99 
(A) 6/25 
(B) 2/5 
(C) 3/5 
(D) 9/25 
(E) 1/2 
Comentários 
De acordo com o enunciado, temos: 
 
𝑀𝑒𝑡ô 𝑒 ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠: 𝑛{𝐴 ∩ 𝐵} = 12 
𝑀𝑒𝑡𝑟ô: 𝑛(𝐴) = 30 
Ô𝑛𝑖𝑏𝑢𝑠: 𝑛(𝐵) = 25 
 
O número de alunos que utiliza somente metrô pode ser dado pela diferença entre os que 
pegam ônibus e aqueles que pegam ambos: 
 
𝑥 = 30 − 12 = 18 
Assim, tomando-se um desses alunos ao acaso, a probabilidade de que ele tenha utilizado 
somente o metrô para ir à escola é de 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
 
 
𝑃 =
18
50
 
𝑃 =
9
25
 
Gabarito: d) 
35. (UEA/2012) Uma lanchonete de Manaus oferece aos clientes um “combinado”, 
composto de um sanduíche e um suco. Pode-se escolher, de forma independente, entre 
dois tipos de sanduíche e três tipos de suco. A experiência mostra que 30% dos clientes 
comem o x-caboquinho simples (fatias de queijo coalho e lascas de tucumã no pão 
francês) e os restantes a sua versão mais refinada, que leva também fatias de banana 
frita. Por outro lado, 20% deles pedem suco de cupuaçu, 30% suco de maracujá e os 
restantes suco de manga. Nessas condições, a probabilidade de que um cliente peça x-
caboquinho simples e suco de manga é 
(A) 35%. (B) 15%. (C) 65%. (D) 80%. (E) 40%. 
Comentários 
Quantidade de clientes que pedem x-caboquinho: 30% 
Quantidade de clientes que pedem suco de manga: 100% − 30% − 20% = 50% 
Probabilidade de intersecção dos dois eventos: 
30
100
.
50
100
=
1500
10000
= 0,15 = 15% 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 100 
Gabarito: B) 
36. (UEA/2012) Para incentivar a exploração racional da pesca, uma cooperativa 
instituiu uma premiação, baseada no tamanho mínimo de captura estabelecido para cada 
espécie e no acúmulo de pontos. Se o tamanho da unidade pescada for igual ou superior 
ao mínimo, o pescador recebe 3 pontos positivos; se for menor que o mínimo, recebe 5 
pontos negativos. Santiago teve 30 peixes avaliados e acumulou 50 pontos positivos, 
enquanto Juvenal, seu colega, alcançou 50 pontos positivos com apenas 22 peixes 
avaliados. Selecionando aleatoriamente um dos peixes avaliados de Santiago e um dos 
peixes avaliados de Juvenal, a probabilidade de que ambos tenham tamanho igual ou 
superior ao mínimo permitido é de 
(A) 5/6. (B) 5/11. (C) 25/33. (D) 10/11. (E) 1/10. 
Comentários 
Identificando por 𝑝 o número de peixes positivos e 𝑛 o número de peixes que geram pontos 
negativos. 
Santiago pescou 30 peixes e acumulou 50 pontos positivos. Portanto: 
{
𝑝 + 𝑛 = 30 . 5
3𝑝 − 5𝑛 = 50
 
{
5𝑝 + 5𝑛 = 150
3𝑝 − 5𝑛 = 50
 
8𝑝 = 200 
𝑝 = 25 
 
𝑝 + 𝑛 = 30 
25 + 𝑛 = 30 
𝑛 = 5 
Portanto, Santiago pescou 25 peixes positivos e 5 peixes negativos. 
Juvenal pescou 22 peixes e acumulou 50 pontos positivos. Portanto: 
{
𝑝 + 𝑛 = 22 .5
3𝑝 − 5𝑛 = 50
 
{
5𝑝 + 5𝑛 = 110
3𝑝 − 5𝑛 = 50
 
8𝑝 = 160 
𝑝 = 20 
 
𝑝 + 𝑛 = 22 
20 + 𝑛 = 22 
𝑛 = 2 
 
Portanto, Juvenal pescou 20 peixes positivos e 2 peixes negativos. 
Se retirarmos um peixe de cada um dos indivíduos, a probabilidade de que ambos sejam 
“positivos” é: 
𝑃 =
25
30
.
20
22
=
5
6
.
10
11
=
50
66
=
25
33
 
Gabarito: C) 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 101 
37. (UEA/2003 - Questão 19) Quatro mulheres marcaram um encontro na porta do 
Mercado Central. Há 4 portas no Mercado Central e elas esqueceram de especificar em 
qual das portas se encontrariam. Qual é a probabilidade de as quatro se dirigirem a uma 
mesma porta? 
(A) 1/4 
(B) 1/8 
(C) 1/16 
(D) 1/32 
(E) 1/64 
Comentários 
O espaço amostral dessa distribuição é dado por 4.4.4.4 = 256 possibilidades. 
Como deve ser escolhida uma dentre 4 portas, temos 4 possibilidades de que as 4 se 
encontrem na mesma porta. 
𝑃 =
4
256
=
1
64
 
Gabarito: E) 
38. (UERJ/2018.2 – Questão 34) Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado 
cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de 
ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados 
pares. 
A probabilidade de um jogador vencer é: 
a) 
𝟑
𝟓
 
b) 
𝟐
𝟑
 
c) 
𝟏
𝟓
 
d) 
𝟏
𝟐
 
Comentários: 
Desses 5 lançamentos, pelo menos três devem resultar em números pares. Logo, as seguintes 
possibilidades são permitidas: 
3 pares e 2 ímpares – 4 pares e 1 ímpar – 5 pares 
A outras possibilidades, que não levam o jogador a perder são: 
3 ímpares e 2 pares – 4 ímpares e 1 par – 5 ímpares 
Repare que, por existirem o mesmo número de elementos pares e ímpares no dado, as 
possibilidades opostas têm igual probabilidade de ocorrer. Por exemplo: 
A probabilidade de saírem 3 pares e 2 ímpares é igual à 3 ímpares e 2 pares 
A probabilidade de saírem 4 pares e 1 ímpar é igual à 4 ímpares e 1 par 
A probabilidade de saírem 5 pares é igual à 5 ímpares 
Portanto, o jogador tem 50% de chances de sair vencedor. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 102 
Gabarito: D 
39. (UERJ/2018 – Questão 36) Cinco cartas de um baralho estão sobre uma mesa; 
duas delas são Reis, como indicam as imagens. 
 
Após serem virada para baixo e embaralhadas, uma pessoa retira uma dessas cartas ao 
acaso e, em seguida, retira outra. 
A probabilidade de sair Rei apenas na segunda retirada equivale a: 
a) 
𝟏
𝟐
 
b) 
𝟏
𝟑
 
c) 
𝟐
𝟓
 
d) 
𝟑
𝟏𝟎
 
Comentários: 
Na primeira retirada, não pode sair Rei. Portanto, a probabilidade é de 𝑷 =
𝟑
𝟓
. 
Na segunda retirada, deve sair Rei. Além disso, o espaço amostral foi reduzido, dado que uma 
carta já foi retirada anteriormente e não foi reposta. Portanto, a probabilidade é de 𝑷 =
𝟐
𝟒
. 
𝑷 =
𝟑
𝟓
.
𝟐
𝟒
=
𝟔
𝟐𝟎
=
𝟑
𝟏𝟎
 
Gabarito: D 
40. (UERJ/2016.2 – Questão 29) Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas 
pretas e 𝒙 bolas vermelhas, sendo 𝒙 > 𝟐. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é 
observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola 
dessa urna. 
Se 
𝟏
𝟐
 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de 𝒙 
é: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
Comentários: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 103 
O número de bolas na urna é dado por 𝟏 + 𝟒 + 𝒙 = 𝟓 + 𝒙. 
O espaço amostral das duas retiradas é (𝟓 + 𝒙)(𝟓 + 𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓. 
Existe apenas 1 possibilidade de que as duas retiradas sejam de bolas brancas, visto que só 
há uma dessa cor na urna. 
Existem 𝟒 . 𝟒 = 𝟏𝟔 possibilidades de que as duas retiradas sejam de bolas pretas. 
Existem 𝒙 . 𝒙 = 𝒙𝟐 possibilidades de que as duas retiradas sejam de bolas vermelhas. 
No total, são 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 + 𝟏 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟕 o número de possibilidades de que as duas retiradas 
resultem em bolas de mesma cor. 
𝑷 =
𝒙𝟐 + 𝟏𝟕
𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓
=
𝟏
𝟐
 
𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝟒 = 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 
𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟗 = 𝟎 
∆= (−𝟏𝟎)𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟗 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟑𝟔 = 𝟔𝟒 
𝒙 =
𝟏𝟎 ± 𝟖
𝟐
 
𝒙′ =
𝟏𝟖
𝟐
= 𝟗 
𝒙" =
𝟐
𝟐
= 𝟏 
(descartado, pois 𝒙 > 𝟐) 
Gabarito: A 
41. (UERJ/2016) Considere o conjunto de números naturais abaixo e os 
procedimentos subsequentes: 
 
1 – Cada número primo de A foi multiplicado por3. Sabe-se que um número natural P é 
primo se 𝑷 > 𝟏 e tem apenas dois divisores naturais distintos. 
2 – A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1. 
3 – Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão. 
4 – Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números 
distintos ao acaso. 
A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é: 
a) 
𝟓
𝟏𝟐
 
b) 
𝟕
𝟏𝟐
 
c) 
𝟏𝟑
𝟐𝟒
 
d) 
𝟏𝟕
𝟐𝟒
 
Comentários: 
Os números primos desse conjunto são 2, 3, 5 e 7. Multiplicando cada um desses números por 
3, obtemos o conjunto {𝟔, 𝟗, 𝟏𝟓, 𝟐𝟏}. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 104 
Os demais elementos são 0, 1, 4, 6, 8 e 9. Somando uma unidade a cada um deles, obtemos o 
conjunto {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟎}. 
Reunindo os elementos dos dois conjuntos, temos o conjunto {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟔, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟐𝟏}. 
Dois desses nove números serão sorteados, independentemente da ordem. O espaço amostral 
é dado por 𝑪𝟗,𝟐 =
𝟗!
𝟐!𝟕!
=
𝟗.𝟖.𝟕!
𝟐.𝟕!
=
𝟗.𝟖
𝟐
=
𝟕𝟐
𝟐
= 𝟑𝟔. 
O objetivo é obter pelo menos um número par, ou seja, a única possibilidade que não é 
contemplada é a de saírem dois números ímpares. Como são 6 números ímpares no conjunto, 
o número de vezes em que essa possibilidade pode acontecer é 𝑪𝟔,𝟐 =
𝟔!
𝟐!𝟒!
=
𝟔.𝟓.𝟒!
𝟐.𝟒!
=
𝟑𝟎
𝟐
= 𝟏𝟓. 
Logo, das 36 possibilidades, apenas 𝟑𝟔 − 𝟏𝟓 = 𝟐𝟏 são viáveis. 
𝑷 =
𝟐𝟏
𝟑𝟔
=
𝟕
𝟏𝟐
 
Gabarito: B 
42. (UFPR 2020) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão 
arterial, conforme mostrado no quadro a seguir. 
 
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 
A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é de 
0,20. 
Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de peso, a 
probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 
Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, a 
probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 
A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão normal e 
peso deficiente é de 0,20. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
Comentários: 
Pela tabela apresentada, vemos que a probabilidade total de uma pessoa ter pressão alta é 
0,20. Portanto, a afirmativa 1 é verdadeira. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 105 
A probabilidade de alguém ter excesso de peso é 0,25. Desses, tem 0,10 que também 
possuem pressão alta. Logo, 𝑷 =
𝟎,𝟏𝟎
𝟎,𝟐𝟓
=
𝟏𝟎
𝟐𝟓
=
𝟐
𝟓
= 𝟎, 𝟒𝟎. Portanto, a afirmativa 2 é verdadeira. 
A probabilidade de alguém ter pressão alta é 0,20. Desses, tem 0,08 com peso normal. Logo, 
𝑷 =
𝟎,𝟎𝟖
𝟎,𝟐𝟎
=
𝟖
𝟐𝟎
=
𝟒
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟒𝟎. Portanto, a afirmativa 3 é falsa. 
Pela tabela apresentada, vemos que a probabilidade de uma pessoa ter pressão normal e peso 
deficiente é 0,20. Portanto, a afirmativa 4 é verdadeira. 
Gabarito: B 
43. (UFPR/2020) Uma adaptação do Teorema do Macaco afirma que um macaco 
digitando aleatoriamente num teclado de computador, mais cedo ou mais tarde, 
escreverá a obra “Os Sertões” de Euclides da Cunha. Imagine que um macaco digite 
sequências aleatórias de 3 letras em um teclado que tem apenas as seguintes letras: S, 
E, R, T, O. Qual é a probabilidade de esse macaco escrever a palavra “SER” na primeira 
tentativa? 
a) 1/5. 
b) 1/15. 
c) 1/75. 
d) 1/125. 
e) 1/225. 
Comentários 
Como o teclado possui apenas 5 teclas, a cada tecla que o macaco apertar, a probabilidade de 
que ele digite a letra certa é de 
𝟏
𝟓
 
Como a palavra SER tem 3 letras, a probabilidade é dada por 
𝟏
𝟓
.
𝟏
𝟓
.
𝟏
𝟓
=
𝟏
𝟏𝟐𝟓
 
Gabarito: D 
44. (UFPR 2019) Em uma reunião de condomínio, os moradores resolveram fazer um 
sorteio para decidir a ordem em que suas casas serão pintadas. As 8 casas desse 
condomínio estão dispostas conforme o esquema abaixo. Dizemos que duas casas são 
vizinhas quando estão dispostas de frente ou de lado. Por exemplo, a casa 3 é vizinha 
das casas 1, 4 e 5, enquanto a casa 8 é vizinha apenas das casas 6 e 7. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 106 
 
 
Qual é a probabilidade das duas primeiras casas sorteadas serem vizinhas? 
a) 5/28 
b) 5/32 
c) 5/14 
d) 5/16 
e) 9/56 
Comentários: 
Temos que escolher duas casas de um total de oito, ou seja, temos 
(
𝟖
𝟐
) =
𝟖 ⋅ 𝟕
𝟐
= 𝟐𝟖 
Agora, temos os seguintes pares de vizinhos, ou seja, pares favoráveis: 
(1,2); (1,3); (2,4); (3,4); (3,5); (4,6); (5,6); (5,7); (6,8); (7,8) 
Dessa forma, teremos 
Gabarito: c) 
45. (UFPR/2018) A probabilidade de se vencer uma partida de certo jogo é de 10%. 
Quantas partidas devem ser jogadas em sequência para que a probabilidade de que haja 
vitória em pelo menos uma delas seja superior a 99%? Se necessário, use 𝒍𝒐𝒈(𝟑) =
 𝟎, 𝟒𝟕𝟕. 
a) 10. 
b) 20. 
c) 22. 
d) 30. 
e) 44. 
Comentários 
A probabilidade de vitória é igual a 
𝟏
𝟏𝟎
, enquanto a probabilidade de derrota é igual a 
𝟗
𝟏𝟎
. 
𝐏 =
𝟏
𝟏𝟎
+
𝟗
𝟏𝟎
.
𝟏
𝟏𝟎
+
𝟗
𝟏𝟎
.
𝟗
𝟏𝟎
.
𝟏
𝟏𝟎
+⋯ 
A soma acima leva em conta os cenários de cada partida. Por exemplo, a chance de vencer a 
primeira partida é 
𝟏
𝟏𝟎
 (primeira parcela). Caso haja derrota, vai ser jogada uma segunda partida: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 107 
por isso, perde-se a primeira e ganha-se a segunda. Caso haja derrota nas duas partidas, será 
jogada uma terceira: duas derrotas e um vitória. E assim por diante. 
Nos deparamos, então, com uma soma dos termos de uma progressão geométrica, cujo 
primeiro termo é igual a 
𝟏
𝟏𝟎
 e a razão é 
𝟗
𝟏𝟎
. Essa soma deve ser maior que 99%, ou 
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
. 
𝐒𝐧 >
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
𝐚𝟏. (𝐪
𝐧 − 𝟏)
𝐪 − 𝟏
>
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
𝟏
𝟏𝟎
((
𝟗
𝟏𝟎)
𝐧
− 𝟏)
𝟗
𝟏𝟎 − 𝟏
>
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
𝟏
𝟏𝟎
((
𝟗
𝟏𝟎)
𝐧
− 𝟏)
−
𝟏
𝟏𝟎
>
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
(
𝟗
𝟏𝟎)
𝐧
− 𝟏
−𝟏
>
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
−((
𝟗
𝟏𝟎
)
𝐧
− 𝟏) >
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 . (−𝟏) 
(
𝟗
𝟏𝟎
)
𝐧
− 𝟏 < −
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
(
𝟗
𝟏𝟎
)
𝐧
< 𝟏 −
𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎
 
(
𝟗
𝟏𝟎
)
𝐧
<
𝟏
𝟏𝟎𝟎
 
Nesse ponto, utilizamos o logaritmo e suas propriedades para encontrar o valor de 𝒏. 
𝐥𝐨𝐠 (
𝟗
𝟏𝟎
)
𝐧
< 𝐥𝐨𝐠
𝟏
𝟏𝟎𝟎
 
𝐧. 𝐥𝐨𝐠
𝟗
𝟏𝟎
< 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎−𝟐 
𝐧. (𝐥𝐨𝐠 𝟗 − 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎) < −𝟐. 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 
𝐧. (𝐥𝐨𝐠 𝟑𝟐 − 𝟏) < −𝟐. 𝟏 
𝐧. (𝟐. 𝐥𝐨𝐠 𝟑 − 𝟏) < −𝟐 
𝐧. (𝟐. 𝟎, 𝟒𝟕𝟕 − 𝟏) < −𝟐 
𝐧. (𝟎, 𝟗𝟓𝟒 − 𝟏) < −𝟐 
−𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝐧 < −𝟐 . (−𝟏) 
𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝐧 > 𝟐 
𝐧 > 𝟒𝟑, 𝟒 
Como 𝒏 deve ser um número inteiro, devem ser jogadas pelo menos 44 partidas. 
Gabarito: E 
46. (UFPR 2017) Um dado comum, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas 
vezes, fornecendo dois números 𝒂 e 𝒄, que podem ser iguais ou diferentes. 
Qual é a probabilidade de a equação 𝒂𝒙² + 𝟒𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ter pelo menos uma raiz real? 
a) 5/36 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 108 
b) 1/6 
c) 2/9 
d) 4/15 
e) 1/3 
Comentários: 
Para a equação 𝑎𝑥² + 4𝑥 + 𝑐 = 0 ter pelo menos uma raiz real, devemos ter 
∆ ≥ 0 → 16 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 → 𝑎𝑐 ≤ 4 
Como temos um limite para o produto entre 𝑎𝑐, os pares ordenados possíveis são 
(𝑎,𝑐) = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (3,1), (4,1)} 
Assim, a probabilidade será 
𝐏 =
𝟖
𝟑𝟔
=
𝟐
𝟗
 
GABARITO: C. 
47. (UFPR 2013) Durante um surto de gripe, 25% dos funcionários de uma empresa 
contraíram essa doença. Dentre os que tiveram gripe, 80% apresentaram febre. 
Constatou-se também que 8% dos funcionários apresentaram febre por outros motivos 
naquele período. Qual a probabilidade de que um funcionáriodessa empresa, 
selecionado ao acaso, tenha apresentado febre durante o surto de gripe? 
a) 20% 
b) 26% 
c) 28% 
d) 33% 
e) 35% 
Comentários: 
Dos funcionários (𝐹)que tiveram febre por conta da gripe são 
0,8 ∙ (0,25𝐹) = 0,2𝐹 
Dos que apenas tiveram febre por outros motivos 
0,08 ∙ (0,75𝐹) = 0,06𝐹 
Assim, a probabilidade pedida é 
𝟎, 𝟐𝟎𝑭 + 𝟎, 𝟎𝟔𝑭
𝑭
⋅ 𝟏𝟎𝟎% = 𝟐𝟔% 
GABARITO: B. 
48. (UFPR/2012) André, Beatriz e João resolveram usar duas moedas comuns, não 
viciadas, para decidir quem irá lavar a louça do jantar, lançando as duas moedas 
simultaneamente, uma única vez. Se aparecerem duas coroas, André lavará a louça; se 
aparecerem duas caras, Beatriz lavará a louça; e se aparecerem uma cara e uma coroa, 
João lavará a louça. A probabilidade de que João venha a ser sorteado para lavar a louça 
é de: 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 109 
a) 25%. 
b) 27,5%. 
c) 30%. 
d) 33,3%. 
e) 50%. 
Comentários 
O espaço amostral do lançamento de duas moedas é dado por 4 possibilidade: 
CARA – CARA 
CARA – COROA 
COROA – CARA 
COROA – COROA 
João lavará a louça caso apareçam uma cara e uma coroa. Esse evento ocorre em 2 das 4 
possibilidades do espaço amostral. Logo, 𝑷 =
𝟐
𝟒
= 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎%. 
Gabarito: E 
49. (UFPR 2010) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar 
doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por 
predadores é 1/4 , e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por 
predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida 
aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: 
a) 1,0%. 
b) 2,4%. 
c) 4,0%. 
d) 3,4%. 
e) 2,5%. 
Comentários 
Temos dois cenários: 
A ave está doente e é devorada por predadores: 
𝑷 =
𝟏
𝟐𝟓
.
𝟏
𝟒
=
𝟏
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟏% 
A ave não está doente e é devorada por predadores: 
𝑷 =
𝟐𝟒
𝟐𝟓
.
𝟏
𝟒𝟎
=
𝟐𝟒
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟒 = 𝟐, 𝟒% 
O total dessa probabilidade é dado pela soma das probabilidades calculadas anteriormente: 
𝑷 = 𝟏%+ 𝟐, 𝟒% = 𝟑, 𝟒% 
Gabarito: D 
50. (UFPR 2008) Um grupo de pessoas foi classificado quanto ao peso e pressão 
arterial, conforme mostrado no quadro a seguir. 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 110 
 
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 
I. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta é 
de 0,20. 
II. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem excesso de 
peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 
III. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse grupo, tem pressão alta, 
a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 
IV. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão 
normal e peso deficiente é de 0,20. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
Comentários: 
Pela tabela apresentada, vemos que a probabilidade total de uma pessoa ter pressão alta é 
0,20. 
Portanto, a afirmativa 1 é verdadeira. 
A probabilidade de alguém ter excesso de peso é 0,25. 
Desses, tem 0,10 que também possuem pressão alta. 
Logo, 𝑷 =
𝟎,𝟏𝟎
𝟎,𝟐𝟓
=
𝟏𝟎
𝟐𝟓
=
𝟐
𝟓
= 𝟎, 𝟒𝟎. 
Portanto, a afirmativa 2 é verdadeira. 
A probabilidade de alguém ter pressão alta é 0,20. 
Desses, tem 0,08 com peso normal. 
Logo, 𝑷 =
𝟎,𝟎𝟖
𝟎,𝟐𝟎
=
𝟖
𝟐𝟎
=
𝟒
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟒𝟎. 
Portanto, a afirmativa 3 é falsa. 
Pela tabela apresentada, vemos que a probabilidade de uma pessoa ter pressão normal e peso 
deficiente é 0,20. 
Portanto, a afirmativa 4 é verdadeira. 
Gabarito: B 
ESTRATÉGIA VESTIBULARES 
 
AULA 12 – PROBABILIDADE. 111 
11. Considerações Finais 
 
Como você deve ter percebido, nós utilizamos muito nos exercícios a definição básica de 
probabilidade, além de utilizar os conceitos que trouxemos da Análise Combinatória 
(Permutação, Arranjo e Combinação). 
O conteúdo teórico da aula é extenso, mas necessário para trazer tranquilidade e amplitude de 
conceitos para que os exercícios não sejam um entrave e sim um palco para treinamento. 
Este conjunto, Análise Combinatória e Probabilidade, é muito cobrado nos vestibulares; mas é 
um conteúdo praticamente independente no currículo do ensino médio e, por isso, é, muitas 
vezes, deixado de lado nas programações de estudo tanto por estudantes quanto por 
professores. 
Não deixe que esse conhecimento caia no esquecimento, revise-o de tempos em tempos. 
O conteúdo do seu curso é extenso e, para não perder o que estudou, adquira o hábito da 
revisão periódica. 
Forte abraço e bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
12. Versões das Aulas 
 
Caro aluno! Para garantir que o curso esteja atualizado, sempre que alguma 
mudança no conteúdo for necessária, uma nova versão da aula será disponibilizada. 
14/04/2022: Versão original 
 
Boa aula! 
https://www.instagram.com/professorcaze
https://www.t.me/professorcaze
https://www.youtube.com/c/ProfessorCazé