Questão resolvida - Considere a função G(u)(u4, ucos(2u), 2usen(2u), definida para u real positivo Assinale a alternativa que apresenta a equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem d

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• Considere a função , definida para real u = ⟨u + 4, ucos 2u , 2usen 2u ⟩G( ) ( ) ( ) u
positivo. Assinale a alternativa que apresenta a equação da trajetória da curva 
espacial definida pela imagem da função :uG( )
 
❏ 4x + 4y + z + 32x + 64 = 02 2 2
■ 4x - 4y - z - 32x+ 64 = 02 2 2
❏ x - 4y + z + 64 = 02 2 2
❏ 4x + 4y - 4z - 16x + 4 = 02 2 2
❏ x - 4y - 4z - 32y + 16 = 02 2 2
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a equação da curva como;
 
u =G( )
x u = u + 4( )
y u = ucos 2u( ) ( )
z u = 2usen 2u( ) ( )
 
Agora, isolamos na primeira equação;u
 
x u = u + 4 u + 4 = x u = x - 4( ) → →
 
Em seguida, elevamos a 2° e a terceira equação ao quadrado, obtendo;
 
y u = ucos 2u y = u cos 2u ( ( ))2 ( ( ))2 → 2 2 2( )
 
e
 
 z u = 2usen 2u z = 2u sen 2u z = 2 u sen 2u z = 4u sen 2u( ( ))2 ( ( ))2 → 2 ( )2 2( ) → 2 ( )2( )2 2( ) → 2 2 2( )
 
= u sen 2u
z
4
2
2 2( )
 
 
(1)
Somando essas 2 expressões, temos que;
 
 
Colocando em evidencia na equação do segundo membro, temos;u2
+ y = u sen 2u + u cos 2u + y = u sen 2u + cos 2u
z
4
2
2 2 2( ) 2 2( ) →
z
4
2
2 2 2( ) 2( )
 
Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica : sen 2u + 2u = 12( ) cos2( )
 
+ y = u ⋅ 1 + y + y = u
z
4
2
2 2 ( ) →
z
4
2
2
→
z
4
2
2 2
 
u = + y2
z
4
2
2
 
Substituindo 1 em 2, temos;
 
x - 4 = + y x - 8x + 16 = 4 x - 8x + 16 = z + 4y( )2
z
4
2
2
→
2
z + 4y
4
2 2
→
2 2 2
 
4x - 32x + 64 - z - 4y = 0→ 2 2 2
 
4x - 4y - z - 32x+ 64 = 02 2 2
 
 
= 4u sen 2u
z
4
2
2 2( )
y = u cos 2u2 2 2( )
+ y = u sen 2u + u cos 2u
z
4
2
2 2 2( ) 2 2( )
+
(2)
(Resposta )