NOVA APOSTILA ESTATISTICA

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ESTATÍSTICA 
 
 
MARCOS ANTONIO CARDOSO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Critérios de Arredondamentos 
-Coleta de Dados 
-Natureza da Estatística 
-Variáveis 
-Tabelas de Distribuição de Freqüência 
-Gráficos Estatísticos 
-Medidas de Posição 
-Medidas de Dispersão 
-Probabilidade 
-Curva de Gauss 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
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SISTEMAS ESTATÍSTICOS 
 
 Com o aumento do crescimento científico e tecnológico ocorrido nas últimas 
décadas, a necessidade de muitos em obter diversos tipos de informações 
ocasionou o aumento do uso da Estatística em problemas atuais. 
 Hoje muitas empresas e até pessoas físicas, por motivos variados, como o 
lançamento de um novo produto no mercado, informações à sociedade, 
curiosidades, etc, recorrem às pesquisas estatísticas e conseqüentemente às fontes 
de dados. 
 O acesso a essas informações pode ser realizado através de consultas em 
bibliotecas tradicionais, arquivos de órgãos públicos, internet, etc. 
Esta disponibilização de dados estatísticos, que hoje estão disponíveis para 
todos, demonstra o atual papel da Estatística como ciência e conjunto de técnicas 
indispensáveis em nossos dias. 
 O Estatístico promove levantamentos de pesquisas estatísticas em suas 
aplicações técnicas e científicas, investigando, elaborando e testando métodos 
matemáticos e sistemas de amostragem, bem como coletando, analisando e 
interpretando os dados relacionados com os fenômenos estatísticos, e ainda 
estudando e renovando a metodologia estatística, a fim de estabelecer a sua 
evolução e desenvolvimento 
• Atribuições do Estatístico 
• Planejamento, direção e execução de pesquisas ou levantamentos estatísticos 
• Planejamento e direção de trabalhos de controle estatístico de produção e de 
qualidade 
• Perícias em matéria de estatística e apresentação dos respectivos laudos 
• Controles de observações estatísticas. 
• Pesquisa de mercado e opinião pública 
• Elaboração e coordenação de coleta de dados (questionários, formulários, 
roteiros para entrevistas) 
• Análise e interpretação de dados 
• Realização de cálculos estatísticos e matemáticos 
• Elaboração de relatórios, boletins e gráficos estatísticos, etc. 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA APLICADA 
1 – Sabe–se que a= –73, b= +51 e c= –17. Nessas condições, calcule o valor de: 
a) a + b -c R:-5 d) a - b + c R:-141 
2 – Vamos calcular o valor de cada uma das seguintes expressão numéricas: 
a) (–50) : ( – 5 – 5) – [20 + ( –42) : (+7) – (–35): ( –1 – 4)]= R:-2 
b) (–6)2 : ( –12) – (–3)3 + (–2)5 : (– 4)2 –50 = R:21 
c) (–2 –3)2 : (–25) + [30 – (– 10 +6)2 : (–2)3 – 52] = R:6 
d) (– 7)2 + [100 – (– 3)3 : (+9) – (–1)9] – 42 =R:38 
e) 22 + (25 : 22) – [(–3)4 : (–3)2 – 42 : (–11 + 7) +100] = R:-2 
f) 11 . (–1)4 + 70 – [60 + (–80) : (–2)3] +(–6)2 = 
g) 52 – 7 . (–2)3 – [–20 : (–2)2 +6 . (–1)4 – 3] + (–5)2 : (–5) =R:78 
 
EQUAÇÕES 
1 – Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 1° grau com 
uma incógnita: 
a) 5. (m+1) – 3 .(2m+1) = 4. (5–m) 
b) y– [y– (2–y) –1] = –(1–y) R:2 
c) 5[–x+2. (x+4)] = 2. (3x+19) R:2 
d) 3[10 + (3y–1) – (4–y)] = 5.(y+10) R:5 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
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2 – Vamos resolver as seguintes equações do 1ºgrau com uma incógnita. 
a) x – 4 – 
3
4x ++++
= 0 
b) 
2
8x −−−−
 –4 = x 
c) 
8
x3 −−−−
 = 
3
x
4
1x
−−−−
++++
 
d) 
3
1
2
5t
−−−−
−−−−
= 
12
14t3
3
t ++++
−−−− R:t=4 
PORCENTAGEM 
1 – Numa prova de vestibular foram dadas 40 questões. Cristina acertou 34 dessas 
questões. O número de acertos de Cristina representa quantos por cento do número total de 
questões? 
2 – Num campeonato de futebol, realizado em 1990 na Itália, 12 dos 52 jogos disputados 
terminaram empatados. O número de jogos empatados representa quantos por cento, 
aproximadamente, do número total de jogos? 
3 – Dos 13 200 candidatos inscritos no último vestibular da ACE–SC, verificou–se que 1 400 
deles tinham menos de 18 anos. Quantos por cento dos candidatos desse vestibular tinham 
18 anos ou mais? R:89,4% 
4 – Um aumento de 486 reais sobre um preço de 1 350 reais representa quantos por cento 
de aumento? R:36% 
5 – Os 44% de uma quantia correspondem a 330 reais. Qual é a quantia? 
6– A 6ª série A tem 40 alunos. Destes, somente 26 já têm 12 anos completos. Nessa 
condições, pede–se: 
1) A porcentagem dos alunos que já completaram 12 anos. R:65% 
b)A porcentagem dos alunos que ainda não completaram 12 anos. R:35% 
7– Dois meninos discutem sobre a campanha de seus clubes de futebol em um 
campeonato. O clube do menino A ganhou 24 jogos dos 30 jogos que disputou, enquanto o 
clube do menino B ganhou 21 dos 28 jogos que disputou. Qual dos dois clubes apresenta 
melhor campanha, em porcentagem? R:A= 80% 
8– Na compra de um aparelho de som obtive um desconto de 15% por ter feito o pagamento 
a vista. Se paguei 102 reais pelo aparelho, qual era o seu preço original? R:R$120,00 
 
REGRA DE TRÊS 
1 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. 
Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro? 
R:420 pg 
2 – Com a velocidade de 75km/h, um ônibus faz um percurso em 40 minutos. Devido a um 
pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a 
velocidade média desse ônibus no percurso de volta? R:60km 
3 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com 
capacidade de 5m3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos 
caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? R:20 
4– Um muro deverá ter 49m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14m do 
muro. Supondo–se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias 
será construído o restante do muro? R:10 dias 
5– Uma tábua com 1,5 m de cumprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e 
projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um 
poste que tem 10,5 m de altura? 
 
 
 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
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POPULAÇÃO - AMOSTRA - VARIÁVEIS 
 
A Estatística é o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo, partindo da 
observação de partes desse todo, é a ciência que estuda as técnicas necessárias 
para coletar, organizar, apresentar, analisar e interpretar os dados, a fim de extrair 
informações a respeito de uma população. 
A Estatística pode ser dividida, basicamente, em duas partes que se inter-
relacionam: a Estatística Descritiva (trabalha com organização e apresentação de 
dados) e a Estatística Inferencial (trabalha com análise e interpretação dos dados). 
 O Método Estatístico – meio pelo qual se chega a um determinado fim. 
 Fases do Método Estatístico 
 
•••• Coleta de Dados – consiste na busca dos dados. 
1. Direta - quando feita na fonte originária ou ainda coletados pelo próprio 
pesquisador. Podendo ser contínua (registro), periódica, ocasional. 
• Indireta, quando os dados provém da coleta direta. 
•••• Crítica dos Dados – obtidos os dados eles devem ser criticados, à procura de 
possíveis falhas que possam influir em erros nos resultados. 
• Externa, visa a causa dos erros por parte do informante. 
• Interna, visa observar os elementos originaisdos dados da coleta. 
•••• Apuração dos Dados - é a soma e o processamento dos dados obtidos e a 
disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica 
e eletrônica. 
 
d) Exposição ou Apresentação dos Dados - devem ser organizados de maneira 
prática e racional para melhor entendimento do fenômeno, é feita por meio de 
gráficos ou tabelas. 
 
e) Análise dos Resultados – através dos métodos da Estatística Inferencial, dos 
resultados obtidos são tiradas conclusões e previsões. 
População 
População é o conjunto de todos os elementos (indivíduos ou objetos) que tem pelo 
menos uma característica em comum, e que está sob investigação ou estudo. 
 
Amostra 
Amostra é um subconjunto da população. 
 
Variáveis 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno, podendo ser: 
• Qualitativa - quando seus valores são expressos por atributos; 
• Quantitativa - quando seus valores são expressos em números, podendo ser: 
• Contínua- assume qualquer valor entre dois limites; 
• Discreta - assume valores pertencentes a um conjunto enumerável. 
 
Exercícios: 
1) Para cada item a seguir, identifique se é uma população ou uma amostra: 
a) Altura de todos os alunos de uma sala de aula. 
b) Massa de 50 laranjas de uma grande plantação. 
c) Marca de 300 automóveis estacionados nas ruas de Joinville. 
d) Salário de todos os funcionários da Associação Catarinense de Ensino. 
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5 
CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTOS 
 
e) Idade de todos os associados do América Futebol Clube. 
f) Preço de 20 pares de sapato femininos da Paquetá Calçados. 
g) Cor de todas as camisas vendida no mês pela Campeã Confecções. 
h) Tempo de 8 nadadores nas Olimpíadas. 
i) Doenças que 100 crianças de Jaraguá do Sul tiveram no mês de Janeiro do 
corrente ano. 
 
2) Preencha as lacunas com os seus dados e identifique o tipo de variável 
(qualitativa ou quantitativa) em cada item. No caso de ser quantitativa, 
identifique se é discreta ou contínua. 
Característica Valor Tipo de variável 
a) massa (kg) 
b) cor dos cabelos 
c) altura (m) 
d) sexo 
e) idade (anos) 
f) número de irmãos 
g) gosto musical 
h) número do sapato 
 
3) Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas – contínuas ou 
discretas: 
a) Universo: alunos de uma escola. 
Variável: cor dos olhos.__________________________ 
b) Universo: as jogadas de um dado. 
Variável: o ponto obtido em cada jogada. __________________________ 
c) Universo: peças produzidas por certa máquina. 
Variável: número de peças produzidas por hora. __________________________ 
d) Universo: peças produzidas por certa máquina. 
Variável: diâmetro externo. __________________________ 
e) Universo: pregos produzidos por uma máquina. 
Variável: comprimento. __________________________ 
f) Universo: bibliotecas da cidade de Joinville. 
Variável: número de volumes. __________________________ 
g) Universo: segmentos de reta. 
Variável: comprimento. __________________________ 
h) Universo: aparelhos produzidos em uma linha de montagem. 
Variável: número de defeitos por unidade. __________________________ 
i) Universo: Empresa XYZ 
Variável: número de acidentes de trabalho. __________________________ 
 
 
 
Os critérios que serão usados durante o curso de estatística seguem o 
decreto 886/66 do 
 IBGE ,que se resume em: 
* Quando o arredondamento for em DÉCIMOS, devemos escrever os 
resultados finais com somente uma casa após a vírgula : Ex 4,8 / 34,2 / 0,7 
etc. 
* Quando o arredondamento for em CENTÉSIMOS, devemos escrever os 
resultados finais com duas casas após a vírgula : Ex 4,82 / 34,25 / 0,77 etc. 
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* Quando o arredondamento for em MILÉSIMOS, devemos escrever os 
resultados finais com três casas após a vírgula : Ex 4,826 / 34,268 / 0,793 etc. 
Caso a direita do valor a ser arredondado estiver um número menor que cinco 
[0,1,2,3,4] devemos permanecer com o arredondando. 
Caso a direita do valor a ser arredondado estiver um número maior que cinco 
[6,7,8,9] devemos acrescentar uma unidade no arredondando. 
Caso a direita do valor estiver o número [5] temos dois caminhos a tomar: 
 **Existindo algum número significativo após este cinco, acrescentamos uma 
unidade 
 **Não existindo número significativo após este cinco, acrescentamos uma unidade 
somente se arredondando for ímpar 
**nas adições de valores as diferenças do total deverão ser descarregadas na 
maior parcela 
** Segundo o decreto 886/66, não é permitido arredondamentos sucessivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPENSAÇÃO 
 
Suponhamos os dados abaixo, aos quais aplicamos as regras do 
arredondamento: 
25,32 + 17,85 + 10,44 + 31,17 = 84,78 
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,2 = 84,7 
Verificamos que houve uma pequena discordância: a soma é exatamente 
84,7 quando, pelo arredondamento, deveria ser 84,8. entretanto, para a 
apresentação dos resultados, é necessário que desapareça tal diferença, o que é 
possível pela prática do que denominamos compensação, conservando o mesmo 
número de casas decimais. 
Usamos "descarregar" a diferença na(s) maior(es) parcela(s). Veja: 
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,3 = 84,8 
Obs: Se a maior parcela é igual ou maior que o dobro de qualquer outra parcela, 
"descarregamos" a diferença apenas na maior parcela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0, 1, 2, 3, 4 
 permanecemos com o valor 
 6, 7, 8, 9 
 acrescentamos uma unidade 
 5 
 
 ,...5000000000003 
acrescentamos uma unidade 
 
 ,....500000000000 
acrescentamos quando ímpar 
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EXERCÍCIOS 
1) Arredonde os valores completando as tabelas 
 
0,0 0,00 0,000 DISCRETAS 
34,6789 
4,06236 
67,50505 
6,82349 
0,0056 
1,9835001 
8,450000 
19,995 
26,95867 
5,5555 
0,09050 
345,009 
8,23 
34,6780 
4,5050 
12,6990 
0,0980 
0,5550 
3,5670 
3,5000 
9,9950 
 
3 - Arredonde cada uma dos numerais abaixo, conforme a precisão pedida: 
a - Para o décimo mais próximo: 
a) 23,40 = 
b) 234,7832 = 
c) 45,09 = 
d) 48,85002 = 
e) 120,4500 = 
b - Para o centésimo mais próximo: 
a) 46,727 = 
b) 123,842 = 
c) 45,65 = 
d) 28,255 = 
e) 37,485 = 
c - Para a unidade mais próxima: 
a) 46,727 = 
b) 123,842 = 
c) 45,65 = 
d) 28,255 = 
e) 37,485 = 
d - Para a dezena mais próxima: 
a) 42,3 = 
b) 123,842 = 
c) 295 = 
d) 2995,000 = 
Faça 
com 
atenção 
 2) Arredondeos valores 
 D M C 
23,678 
0,0555 
55,5045 
12,9878 
0,05679 
56,8970 
5,5555 
99,9425 
 
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4 - Arredonde para o centésimo mais próximo e compense, se necessário: 
0,060 + 0,119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 1,000 
 
 
5 - Arredonde para a unidade mais próxima e compense, se necessário: 
4,0 + 7,6 + 12,4 + 27,4 + 11,4 + 8,0 = 70,8 
 
 
TAMANHO DE UMA AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES 
 
 O cálculo do tamanho de uma amostra é um problema complexo e ficaremos 
restritos ao caso da amostragem aleatória simples. Também não serão abordados 
aspectos financeiros, mesmo sabendo que muitas vezes o tamanho da amostra fica 
restrito aos recursos disponíveis. 
Alguns conceitos: O termo parâmetro é usado para designar alguma 
característica descritiva dos elementos da população. De forma análoga, é chamado 
de estatística, a alguma característica descritiva dos elementos da amostra. Por 
exemplo, na população dos funcionários de uma empresa, a percentagem de 
funcionários favoráveis a um programade treinamento é um parâmetro. 
Numa amostra a ser retirada, de 200 destes funcionários, a porcentagem de 
favoráveis ao programa de treinamento, nesta amostra, é uma estatística. É 
chamado de erro amostral à diferença entre o valor que estatística pode acusar e o 
verdadeiro valor do parâmetro que se deseja estimar. 
Para a determinação do tamanho da amostra, o pesquisador precisa 
especificar o erro amostral tolerável, ou seja, o quanto ele admite errar na avaliação 
dos parâmetros de interesse. Por exemplo, na divulgação de pesquisas eleitorais, é 
comum encontrar no relatório, algo como: a presente pesquisa tolera um erro de 2%. 
Isto quer dizer que, quando a pesquisa aponta determinado candidato com 
20% de preferência do eleitorado, está afirmando, na verdade, que a preferência por 
este candidato tem um valor do intervalo de 18% a 22%. 
Fórmula para o cálculo do tamanho da amostra 
n - tamanho (número de elementos) da amostra 
N - tamanho (número de elementos) da população 
x% - porcentagem permitida de ERRO 
 
 Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode ser feito, mesmo sem 
conhecer o tamanho da população através da seguinte expressão: Conhecendo o 
tamanho N da população, pode-se corrigir o cálculo anterior: 
 
1
100
% 2
+














=
Nx
Nη 
 
Exemplo: Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples de 
uma população de 200 famílias moradoras de um certo bairro, tal que os erros 
amostrais não ultrapassem 4% 
 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
9 
1)Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples de uma 
população de 4567 fornecedores de um certo componente básico de polímeros, tal 
que os erros amostrais não ultrapassem 1% ? 
 
 
 
2)Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples de uma 
população de 45 alunos, tal que os erros amostrais não ultrapassem : 
a) 1% b) 2% c) 3% d) 25% d) 50% e) 100% 
3)Qual deve ser o tamanho uma população se a amostra foi colhida em 234 
máquinas automatizadas de uma certa fábrica, tal que o erro amostral seja 10% 
 
 
4)Qual deve ser o tamanho uma população se a amostra foi colhida em 1434 
pessoas de um bairro com relação ao atendimento do posto de saúde do local, tal 
que o erro amostral seja : 
a) 10% b) 5% c) 2,5% d) 1% 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
 
 A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida 
de posição mais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso 
dia-a-dia que qualquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A 
média de um conjunto de valores numéricos é calculada somando-se todos estes 
valores e dividindo-se o resultado pelo número de elementos somados, que é igual 
ao número de elementos do conjunto, ou seja, a média de n números é sua soma 
dividida por n. 
 
MÉDIA PONDERADA 
 
 Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm 
exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o 
mesmo peso relativo. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm 
importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta 
esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo de média chama-se média 
aritmética ponderada. 
 Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média ponderada, multiplicamos 
cada valor do conjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa. 
 
 
DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: 
 
A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja 
importância relativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da 
seguinte maneira: 
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10 
p = 
EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas de 
Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, 
respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em 
Matemática, 5,0 em Biologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve? 
p = 
 Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45. 
 
EXERCÍCOS DE MÉDIA ARITMÉTICA E PONDERADA 
 
1)Determine o valor da media aritmética dos valores a seguir: 
2,3 + 4,67 + 4,237 + 2,8944 DÉCIMOS = CENTÉSIMOS= 
23,56 + 234,78 + 0,045 + 45,7789 DÉCIMOS = CENTÉSIMOS= 
 
2)Determine o valor da média ponderada para os casos a seguir: 
2,34 p3 + 3,555 p2 + 5,056 p3 + 0,3345p6 DÉCIMOS = CENTÉSIMOS= 
10,45 p2 + 9,456 p2 + 8,45 p1,5 + 8,06 p0,23 DÉCIMOS = MILÉSIMOS = 
 
3)Faça a coleta das estatuas de 5 colegas que estão a sua volta, incluindo você. 
Calcule a média de estatura deste grupo com arredondamento em décimos e em 
variáveis discretas. 
 
 
 
4)Complete as colunas com as MEDIAS, aplicando os arredondamentos. 
 
5) Considerando os conjuntos de dados calcule a média; . 
a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 x = 5,1 
b. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 2, 15, 7 x = 9 
c. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 x = 49,8 
d. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 x = 15,1 
 
 
6) O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são: 
R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00 e R$88,00 
Determine: 
a. a média dos salários-hora; R$ 96,00 
b. o salário-hora mediano. R$ 88,00 
 D C M 
a 2,34 + 2,45 + 2,567 + 3,003 + 1,56 
b 0,034 + 4,56 + 3,56 + 2,333 + 1 
c 12,8 + 3 + 5,78 + 5,67 + 3,67 + 4,2 
d 12 p=3 + 5,67 p=2 + 34,56 p=0,3 
e 1,2p=2 + 2,1p=1,5 + 2,2p=3 + 1,1p=0 + 3p1 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
11 
 
7)As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 
8,7 e 7,2. 
 Determine: 
 a) a nota média; 7,9 
 b) a nota mediana; 7,8 
 c) a nota modal. 7,2 
 
8) Considerando a distribuição abaixo calcule a média; 5,4 
 
xi 3 4 5 6 7 8 
fi 4 8 11 10 8 3 
 
 9) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição 
determine:a nota média; 5,9: 
 
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Nº DE 
ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1 
 
10) Determine a média aritmética de: 
a. 64,5 
VALORES 50 60 80 90 
QUANTIDADE
S 8 5 4 3 
 b. 58,8 
xi 50 58 66 
fi 20 50 30 
11) Determine os desvios em relação à média dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 
4, 15. Determine a soma dos desvios. -2,5; -0,5; -3,5; 3,5; 2,5; -1,5; -4,5; 6,5 
 
12) Calcule a média aritmética das distribuições de freqüência abaixo: 
a. 5,3 
NOTAS fi 
0 ι— 2 
2 ι— 4 
4 ι— 6 
6 ι— 8 
 8 ι— 
10 
5 
8 
14 
10 
7 
 
∑ = 
44 
 
b. 172,4 cm 
ESTATURAS 
(cm) fi 
150 ι— 158 
158 ι— 166 
166 ι— 174 
174 ι— 182 
182 ι— 190 
5 
12 
18 
27 
8 
 
∑ = 
70 
 
c. R$ 843,00 
SALÁRIOS (R$) fi 
500 ι— 700 
700 ι— 900 
 900 ι— 1.100 
1.100 ι— 1.300 
1.300 ι— 1.500 
18 
31 
15 
3 
1 
d. 159,4 kg 
PESOS (kg) fi 
145 ι— 151 
151 ι— 157 
157 ι— 163 
163 ι— 169 
169 ι— 175 
10 
9 
8 
6 
3 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
12 
1.500 ι— 1.700 
1.700 ι— 1.900 
1 
1 
 
∑ = 
70 
 
175 ι— 181 
181 ι— 187 
3 
1 
 
∑ = 
40 
 
 9) Você fez dois trabalhos num semestre e obteve as notas 8,5 e 5,5. Qual deve 
ser a nota que você deve tirar no 3º trabalho para que a média dos três seja 7: 7 
 10)Numa empresa, vinte operários têm salário de R$ 4.000,00 mensais; dez operários 
têm salário de R$ 3.000,00 mensais e trinta têm saláriode R$ 2.000,00 mensais. 
Qual é o salário médio desses operários: X = 2.833,33 
 
11). Explique a relação média aritmética e média ponderada. Pesquise caso necessário. 
A média ponderada nada mais é do que a média aritmética considerando o valor xn 
ocorrendo pn vezes. 
 
12)Numa grande empresa, em três setores pesquisados num determinado dia, foram 
constatadas faltas de funcionários, assim distribuídos: 
 * 4% no setor administrativo; 
 * 8% no setor de produção; 
 * 12% no setor comercial. 
 Calcule a média de faltas desse dia, considerando que, no setor de produção, há 
200 funcionários, o setor administrativo tem 50 funcionários e o setor comercial tem 
75 funcionários. X = (16 + 2 + 9) / 325 = 8,3% 
 
 13) A média aritmética entre 50 números é igual a 38. Dois números são retirados: o 
número 55 e o 21. Calcule a média aritmética dos números que restaram. 38 
 
 
20. Considere um grupo formado por cinco amigos com idade de 13, 13, 14, 14 e 15 
anos. O que acontece com a média de idade desse grupo, se um sexto amigo com 
16 anos juntar-se ao grupo? positivo 
a) Permanece a mesma b) Diminui 1 ano c) Aumenta 12 anos 
d) Aumenta mais de 1 ano e) Aumenta menos de 1 ano x 
 
 
 
 
DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS 
 
Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra 
manipulação senão a contagem ou medida, são chamados dados absolutos 
Os dados relativos são o resultados de comparações por divisões que se 
estabelecem entre dados absolutos, e tem por finalidade realçar ou facilitar as 
comparações entre quantidades. 
Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de: Índices, coeficientes e 
taxas. 
 
COEFICIENTES 
 
 Os coeficientes são razões entre o número de ocorrência com o número total (nº de 
ocorrências e o número de não ocorrências) 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
13 
 São exemplos de coeficientes: 
Coeficiente de Natalidade = número de nascimentos 
 população total 
Coeficientes Educacionais = número de alunos evadidos 
 número inicial de matrícula 
Coeficientes de aproveitamento escolar = número de alunos aprovados 
 número final de matricula 
 
 TAXAS 
As taxas são coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10,100,1000 
etc.), para tornar o resultado mais compreensível ou inteligível 
São exemplos de taxas: 
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade multiplicado por 1000 
Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar multiplicado por 100 
Taxa de inflação = coeficiente inflacionário multiplicado por 100 
 
 ÍNDICES 
Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra. 
São exemplos de índices: 
Índice cefálico = diâmetro transverso do crânio x 100 
 diâmetro longitudinal do crânio 
Densidade demográfica = população 
 superfície 
Índice econômico de Renda per capita = receita 
 população 
 
PORCENTAGENS 
 
Considere a série: 
categoria número de alunos 
1° grau 19.286 
2°grau 1.681 
3°grau 234 
total 21.201 
dados fictícios 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) O estado de São Paulo apresentou 733986 matrículas na primeira a série, no 
início do ano e 683 816 no fim do ano. O estado do Rio de Janeiro apresentou 
respectivamente 436127 e 422457 matrículas. Qual o estado que apresentou maior 
evasão escolar ? 
 
 
 
 
 
 
 Calculemos então a porcentagem de alunos em cada grau, que nada mais 
é do que 
relacionar um valor com o total da soma de valores com mesma 
característica, 
 com um objetivo, determinando sua participação no todo. 
primeiro grau 19286 x 100 = 90,96 = 91,0 % 
 21201 
segundo grau 1681 x 100 = 7,92 = 7,9% 
 21201 
terceiro grau 234 x 100 = 1,10 = 1,1% 
 21201 
Os valores para uma nova coluna já estariam a nossa disposição. O 
emprego 
da porcentagem é de grande valia quando é nosso intuito destacar a 
participação 
 da parte no todo. 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
14 
 
 
2) Uma escola apresentava ano final do ano letivo o seguinte quadro: 
séries MATRÍ 
MARCO 
CULAS 
NOVEMBRO 
% % 
PRIMEIRA 480 475 
SEGUNDA 458 456 
TERCEIRA 436 430 
QUARTA 420 420 
total 1794 1781 
 
3) Considere a tabela abaixo e preencha os espaços 
 EVOLUÇÃO DAS RECEITAS DO CAFÉ 
 INDUSTRIALIZADO jan./abr. 1977 
MESES VALOR U$ 
MILHÕES 
 % 
décimos 
% 
centésimos 
janeiro 33,3 
fevereiro 54,1 
marco 44,5 
abril 52,9 
total 184,8 
 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
Arredonde os valores completando a tabela 
 Décimos Centésimos Milésimos 
35,5789 
4,03936 
67,59505 
6,982349 
0,90056 
1,9835 
8,4950000 
19,995 
26,95867 
5,5555 
 
EXERCÍCOS DE MÉDIA ARITMÉTICA E PONDERADA 
 
1)Determine o valor da media aritmética dos valores a seguir: 
2,13 +1 4,67 + 2,80944 DÉCIMOS = CENTÉSIMOS= 
2)Determine o valor da média ponderada para os casos a seguir: 
2,34 p=0,3+40,55 p=2+5,06 p=3 +0,345p=6 DÉCIMOS = CENTÉSIMOS= 
 
1)Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples de uma 
população de 567 alunos do curso de Direito da ACE, tal que o erro amostral não 
ultrapassem 1,2% ? 
 
2)Qual deve ser o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples de uma 
população de 345 famílias, tal que os erros amostrais não ultrapassem : 
a) 1% b) 50% c) 100% 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
15 
 PENSAR UM POUCO E ACEREDITAR QUE A ESTATÍSTICA É IMPORTANTE 
Se a população do mundo inteiro pudesse ser reduzida para uma vila de 100 
pessoas, mantendo as proporções de todos os povos existentes no mundo, esta vila 
seria composta assim: 
57 asiáticos , 21 europeus, 14 americanos (norte,sul,centro), 08 africanos 
52 seriam mulheres e 48 seriam homens 
30 seriam brancos e 70 seriam não brancos 
30 seriam cristãos e 70 seriam não cristãos 
89 seriam heterossexuais e 11 seriam homossexuais 
6 pessoas possuiriam 59% da riqueza da vila e todas elas seriam norte americanas 
80 viveriam em casas sem condições higiênicas 
70 seriam analfabetos......50 seriam mal alimentados......1 estaria a ponto de morrer, 
1 estaria a ponto de nascer , 1 possuiria um computador....1 teria título superior 
Considerando-se o mundo por esta perspectiva, está clara a necessidade de aceitar-
se, compreender-se, tratar-se de forma humana, educada, respeitosa. 
Considere também isso: Se você acordou hoje com mais saúde do que doença, 
você tem mais sorte que milhões de pessoas que não chegarão ver a próxima 
semana.Se você nunca passou pelos perigos de uma batalha, pela solidão da 
prisão, pela agonia da tortura, pelo desespero da fome, você é mais feliz que 500 
milhões de habitantes deste mundo.Se você puder ir para a igreja sem ter medo de 
ser ameaçado, preso, torturado ou morto, você tem mais sorte que 3 bilhões de 
pessoas do mundo. Se você tem comida na geladeira, tem roupas,tem um teto 
sobre a cabeça, e um lugar para dormir, você é mais rico que 75% dos habitantes 
deste planeta. Se você tem algum dinheiro no banco, ou na carteira, e uns trocados 
no bolso, você se encontra entre os 8% das pessoas mais bem aquinhoadas do 
mundo. Se os seus pais ainda estão vivos e casados, você é uma pessoa 
verdadeiramente rara, mesmo nos Estados Unidos ou no Canadá. Se você pode ler 
esta mensagem, você acabou de receber uma dupla benção, porque alguém pensou 
em você e porque você não se encontra entre os 2 bilhões de pessoas que não 
aprenderam a ler. Alguém já disse: Trabalha, como quem não precisa de dinheiro, 
Ama como se ninguém te tivesse feito sofrer.Dança, como se ninguém estivesse te 
olhando Canta, como se ninguém estivesse te ouvindo. Vive, como se o Paraíso 
estivesse aqui, na Terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
16 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
A partir deste instante, a estatística começa a ser tratada como coleta e 
cadastramento de dados ,com as suas especificações ou designações estatísticas. 
Formulamos então o seguinte caso: Dados os valores referentes a coleta das 
estaturas de um grupo de alunos em centímetros: 159, 150, 154, 155, 156, 151, 152, 
153, 157, 153, 158, 160, 158, 160, 158, 159, 159. 
Inicialmente, elaboramos uma tabela primitiva chamada ROL com os valores 
acima de tal forma que possamos quantificar o aparecimento de cada um deles 
:Organizando os dados: 
150=1, 151=1, 152=2, 153=3, 154=1, 155=1, 156=2, 157=1, 158=3, 159=3, 160=2. 
Através desta relação, elaboramos uma nova tabela chamada de 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
Para a estatística, pela resolução 886/66 do IBGE, relaciona-se os valores de 
tal forma que “as freqüências vão desta quantidade até menos aquela, ou seja: x ≥ 
150 até x < 152 
Para a Estatística a forma mais cômoda de representar a situação matemática 
acima é a de colocaremos uma BARRA vertical para indicar a inclusão do valor e 
uma horizontal para indicar a exclusão do valor. A tabela a baixo representa isto 
assim como os quantitativos já mencionados. Portanto: 
 
Estatura Freq. 
150| - 152 2 
152| - 154 5 
154| - 156 2 
156| - 158 3 
158| - 160 6 
160| - 162 2 
 
 
 
STURGES 
Determinação do intervalo de classe hi por sturges: 
 ( )
[ ]1)(log3,3 +
−
=↓
n
xmínxmáxhi
 
EXERCÍCIOS : 
 
1) Dados os valores a seguir, determine hi por Sturges e escreva as classes 
33 -33 -35 -35 -39 -41 -41 -42 -45 -45 -47 -48 -50 -52 -53 -54 -55 -55 -56 -57-59 -60 
-61 -64-65 -65 -65 -66 -67-68 -68 -69 -71 -73 -73 -73 -74 -74 -76 -77-78 -80 -81 -84 
-85 -85 -88 -89 -91 -94 -94 -98 -98 -98 -98 
2) Dados os valores a seguir, determine hi por Sturges e escreva as classes 
10 -15 -25 -21 -6 -23 -15 -21 -26 -32 -9 -14 -19 -20 -32 -18 -16 -26 -24 -20 -7 -18 -
17 -28 - 35-22 -19 -39 -18 -21 -15 -18 -22 -20 -25 -28 -30 1-6 -12 -20 
3) Dados os valores a seguir, determine hi por Sturges e escreva as classes 
6 -5 -2 -6 -4 -3 -6 -2 -6 -5 -1 -6 -3 -3 -5 -1 -3 -6 -3 -4 -5 -4 -3 -1 -3-5 -4 -4 -2 -6 -2 -2 -5 
-2-5 -1 -3 -6 -5 -1 -5 -6 -2 -4 -6 -1 -5 -2 -4 -3-14 -12 -11 -13 -14 -13 -12 -14 -13 -14 -
11 -12 -12 -14 -10 -13 -15 -11 -15 -13 -16 -17 -14 -1 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
17 
4) Dados os valores a seguir, determine. (use arredondamentos em centésimos) 
 64 -64 -64 -66 -66 -70 -70 -73 -73 -73 -73 -74 -75 -76 -76 -76 -78 -78 -78 -78-79 -80 
-80 -81 -82 -82 -83 -84 -84-85 -85 -85 -85 -86 -86 -86 -86 -86 -86 -87-87 -89 -90 -90 -
92 -92 -93 -95 -98 -101 -102 -103 -103 -103 -103 
Exercícios: 
1. Um radar da polícia rodoviária registrou as velocidades de 50 veículos em uma 
rodovia, obtendo-se os seguintes dados (velocidades em km/h) 
 
75,3 78,5 65,6 80,0 79,2 36,8 77,9 80,7 78,2 50,3 
83,0 67,2 75,0 73,9 85,0 78,6 79,0 81,6 35,9 67,8 
79,2 81,0 79,3 68,0 77,2 79,6 70,2 90,6 80,9 73,6 
78,1 80,0 80,0 79,9 74,0 55,4 60,7 80,2 77,0 80,0 
82,0 83,1 79,6 80,5 65,7 83,7 68,0 75,6 71,9 78,3 
 
Construa a tabela de distribuição de freqüência, indicando os intervalos de classe 
e as respectivas freqüências simples. 
 
2. Foram ensaiados 100 corpos de prova de aço ABNT 1020, e obtidos as 
seguintes medidas referente a sua tensão de ruptura (em kp/mm2): 
 
36,4 41,5 36,8 39,3 41,3 38,2 41,0 40,1 38,1 42,2 
41,5 38,5 40,5 38,0 36,2 36,6 39,0 39,3 38,6 40,2 
39,0 39,9 40,7 36,7 38,8 37,4 38,8 38,6 40,5 36,0 
39,2 41,1 37,2 38,8 38,8 39,2 39,1 37,1 37,4 36,0 
41,2 37,3 41,3 36,1 37,3 38,8 41,1 40,1 40,4 37,1 
37,4 39,7 36,8 39,1 40,6 38,1 40,0 40,2 41,3 38,0 
36,7 38,2 38,8 37,5 41,9 39,0 40,5 37,5 36,5 41,7 
38,7 38,5 36,1 41,5 37,9 38,9 39,2 38,7 38,7 37,0 
39,8 42,0 40,0 39,0 38,8 42,0 37,4 36,3 39,0 37,3 
39,2 35,8 38,6 36,0 36,7 36,5 38,9 40,3 39,3 41,7 
Construa a tabela de distribuição de freqüência, apresentando os intervalos de 
classe, freqüência simples, freqüência relativa, freqüência acumulada e 
freqüência acumulada relativa. 
 
3. Dezesseis caixas de fósforos forma adquiridas e o número de palitos em cada 
caixa foi contado, obtendo-se os seguintes dados: 
42 43 43 41 42 43 42 43 
42 44 42 40 43 43 41 43 
Construa uma tabela de distribuição de freqüência, sem intervalos de classe. 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
18 
4. A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes: 
Áreas (m2) Nr. de lotes 
300  400 14 
400  500 46 
500  600 58 
600  700 76 
700  800 68 
800  900 62 
900  1000 48 
1000  1100 22 
1100  1200 6 
 
Com referência a essa tabela, determine: 
a) a amplitude total; 
b) o limite superior da Quinta classe; 
c) o limite inferior da oitava classe; 
d) o ponto médio da sétima classe; 
e) a amplitude do intervalo da Segunda classe; 
f) a freqüência da Quarta classe; 
g) a freqüência relativa da Sexta classe; 
h) a freqüência acumulada da Quinta classe; 
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2; 
j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; 
k) a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 m2; 
l) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2; 
m) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1000 
m2; 
n) a classe do 72º lote; 
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes. 
 
5. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas 
de uma empresa de ônibus: 
No de acidentes No de motoristas 
0 20 
1 10 
2 16 
3 9 
4 6 
5 5 
6 3 
7 1 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
19 
Determine: 
a) o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente; 
b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes; 
c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes; 
d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes; 
e) a percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.. 
 
6. Construa o histograma, o polígono de freqüência, o polígono de freqüência 
acumulada e a curva polida, referente a distribuição apresentada no exercício 4. 
 
7. Construa o gráfico em bastão e o polígono de freqüência acumulada referente ao 
exercício 5. 
 
8. A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência de duração de 400 
lâmpadas. 
i Duração-horas (xi) 
Número de 
lâmpadas (fi) 
1 300 – 400 14 
2 400 – 500 46 
3 500 – 600 58 
4 600 – 700 76 
5 700 – 800 68 
6 800 – 900 62 
7 900 – 1000 48 
8 1000 – 1100 22 
9 1100 - 1200 6 
 Total 400 
 
a) Construir uma distribuição de freqüência relativa, um histograma de freqüência 
relativa, um polígono de freqüência relativa e um polígono de freqüência 
acumulada relativa; 
b) Avaliar as percentagem das lâmpadas com duração: 
• menordo que 560 horas; (R: ≅ 24%) 
• de 970 ou mais horas; (R: ≅11%) 
• compreendida entre 620 e 890 horas. (R: 46,2%) 
c) Discutir o risco ou a chance que o fabricante assume ao garantir que uma 
lâmpada durará , pelo menos, 425 horas. (R:6,4%) 
d) Se um fabricante oferece garantia de 90 dias por lâmpada, ou devolução do 
dinheiro, qual a sua probabilidade de efetuar o reembolso, admitindo-se que a 
lâmpada é usada 4 horas por dia? E como fica se a lâmpada é usada 8 horas por 
dia? (R: 2,1%) 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
20 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
1) CLASSE DE FREQÜÊNCIA : Intervalo de variação da variável que terá um 
limite inferior e outro superior. 
2) LIMITES DE CLASSE: São os extremos de cada classe, onde o menor 
número é chamado de limite inferior e o maior número é chamado de limite 
superior. 
O limite superior é representado por: Li 
O limite inferior é representado por: li 
3) AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE: Medida do intervalo que 
define a classe ou o espaço numérico compreendido entre os dois intervalos. 
É representado por hi. 
4) AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: Representada por ATd, é a 
diferença entre a limite superior da última classe e o limite inferior da 1ª 
classe. ATd = Li (máx) - li (min) 
Obs.: Quando os hi(s) forem iguais, o número total de classes pode ser 
determinado por: 
n =
ATd
hi
 ou seja, “n” deverá ser igual ao número de classes já formada na 
T.D.F. formada anteriormente. 
5)AMPLITUDE AMOSTRAL: É a diferença entre o valor máximo e o mínimo da 
amostra representativa, simbolizado por: AT 
AT = x (máx) - x (min) estes valores são retirados do ROL inicial ao 
tratamento estatístico. 
6)PONTO MÉDIO: Valor que divide em partes iguais o intervalo de classe. É 
indicado por xi: 
xi
Li li
=
+
2
 
7)FREQÜÊNCIA SIMPLES: Quantidade de variáveis que referem-se ou fazem 
parte do intervalo de classe. É representada por fi. 
8)FREQÜÊNCIA RELATIVA SIMPLES: Valor obtido pela razão entre a 
freqüência simples e a somatória de todas as freqüências. É representada 
por fri: 
fri fifi= Σ 
 9)FREQÜÊNCIA ACUMULADA: Somatória das freqüências de todas as 
classes inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe. É 
representada por Fi: 
Fi = f 1 + f 2 + f 3 + ... + f n 
 10)FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA: Valor obtido pela razão entre as 
freqüências acumuladas da classe e o somatório das freqüências. É 
representada por Fri 
Fri = Fi 
 ∑fi 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
21 
Os itens relacionados, de 1 à 10, formarão a TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQÜÊNCIA ( T.D.F.) determinada pela resolução do IBGE 886/66, que segue: 
 
ROTEIRO: 
01) Determinação do xmin 
02) Determinação do xmax 
03) Formulação das classes; 
04) Determinação das fi(s) de cada classe; 
05) Conferir somatória das fi(s) e registrar; 
06) Determinação dos pontos médios(xi) de cada classe; 
07) Determinação das fri(s) de cada classe; 
08) Conferir somatória das fri(s) e registrar (aproximar-se o máximo possível de 
1,000); 
09) Determinação das Fi(s) de cada classe; 
10) Determinação das Fri(s) de cada classe. 
Obs.: Os valores encontrados nas fri(s) e Fri(s) multiplicados por 100 (cem), 
passam a ter conotação percentual. 
EXERCÍCIO 
 Dados os valores abaixo, construa a T.D.F. usando intervalo de classe por 
Sturges. A seguir, responda os itens de A a L. 
Arredondamentos a menos de: 0,01 (que significa centésimos) 
58 80 50 52 47 73 68 61 73 77 
74 71 81 67 65 67 57 35 85 88 
59 80 41 50 53 67 76 85 73 60 
89 41 78 56 94 67 78 78 78 74 
90 94 66 48 39 69 89 98 100 
CLASSES xi fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responda os itens abaixo utilizando informações da 
T.D.F. que você completou acima 
1) Alunos com notas : 
acima de: 76=________, 80=________ 
abaixo de: 63=________, 77=________ 
inferiores a:74=________, 87=________ 
iguais a 56=________, 76=________, 
entre 69 e 78=________, entre 96 e 100=________ 
2) Verifique se n=(ATd/hi) confere com a distribuição: 
3)Determine a(s) classe(s) de maior freqüência: 
___________________ 
4)Determine a(s) classes(s) de menor freqüência: 
___________________ 
5)Determine a amplitude total da distribuição: 
 ATd = Li (max) - li (min)__________ 
6) Determine a amplitude amostral: AT = x (max) - x 
(min) 
_____________ 
7) Determine o ponto médio da 5ª classe: 
_______________ 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
22 
 
EXERCÍCIO 
Coleta de valores em variáveis discretas referentes as notas de um grupo de alunos 
submetidos a prova bimestral: Use intervalo de classe por sturges 
15 80 50 52 47 73 68 61 73 77 
74 71 81 67 65 67 57 35 85 88 
59 80 41 50 53 67 76 85 73 60 
89 41 78 56 94 67 78 78 78 74 
90 94 66 48 39 69 89 98 
 
 
CLASSES xi fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios DE REFORÇO 
1) Dada a distribuição de freqüências complete a tabela com arredondamentos em 
centésimos: 
NOTAS fi xi fri Fi Fri 
0 |- 2 5 
2 |- 4 8 
4 |- 6 14 
6 |- 8 10 
8 |- 10 7 
 ∑= ∑= 
2) Dada a distribuição complete a tabela com arredondamento s em milésimos: 
PESOS fi xi fri Fi Fri 
145 |- 151 9 
151 |- 157 13 
157 |- 163 10 
163!-169 1 
169 |- 175 0 
175 |- 181 18 
Responda os itens abaixo utilizando informações 
da T.D.F. que você completou acima 
1) Alunos com notas: 
 entre 69 e 78 = ________, 96 e 100=________ 
 acima de: 76=________, 80=________ 
 abaixo de: 63=________, 77=________ 
 inferiores a: 74=________, 87=________ 
 iguais a 56=________, 76=________, 77=_________ 
2) Verifique se n=(ATd/hi) confere com a 
distribuição: 
3)Determine a(s) classe(s) de maior freqüência: 
_______ 
4)Determine a(s) classes(s) de menor freqüência: 
______ 
5) Determine a amplitude total da distribuição: 
 ATd = Li (max) - li (min)_____________ 
6) Determine a amplitude amostral: 
AT = x (max) - x (min)_______ 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
23 
181 |- 187 7 
 ∑= ∑= 
3) Dada a seqüência de dados referentes a pesquisa envolvendo alunos dando 
notas para as aulas de estatística atribuindo de 0 à 10 .Notas: 
2,5,4,7,8,4,5,5,6,5,6,7,6,5,7,8,9,10,5,8,6,7,4,8,0,10,7,8,3,4,3,5,6,5,6,7,6,7,6,9,10,4,5,
7,6,8,9,9,10,1,3,4,5,5,6 
NOTAS fi xi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑= ∑= 
4)Dada a seqüência de valores forme uma tabela de distribuição de freqüência com 
arredondamentos em décimos. 
2,5,6,4,5,3,4,6,7,8,7,8,9,2,3,4,3,5,6,5,6,7,6,7,12,12,16,17,6,18,12,15,14,19,20,2,4,3,
0,3,4,2,13,12,16,3,5,6,5,1,12,10,13,12,17,23,12,14,18,15,17,19,10,3,5,3,0,3,4,2,6, 
classes xi fi fri Fi Fri 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ ∑ 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
1) MÉDIA ARITMÉTICA 
É a medida de posição mais comum . Um exemplo clássico de media aritmética 
é a forma que muitas escolas usam para avaliar os seus alunos em termos 
numéricos. O método é simples e usado para dados não agrupados. Acompanhe o 
exemplo a seguir: Verificou-se que a produção de enzimas para a digestão de um 
boloalimentar por um paciente apresentou o seguinte esquema:. 
 1º mês 2º mês 3º mês Percebemos abaixo que média é a soma 
 0,6 mg 0,97 mg 1,03 mg dos valores divido por três (valores) 
 
X = 
0,6 + 0,97 + 1,03
3
= 0,866 
Este método é bastante empregado quando o número de indivíduos 
relacionados no cálculo é pequeno, entretanto a estatística é uma ferramenta que 
dispões de métodos mais abrangentes: 
 
 
 
Responda: Quantidade de valores: 
a)Acima de 10=_____ b)Abaixo de 15=_____ 
c)Entre 6 e 14=_____ d)Entre 18 e 20=_____ 
e)% abaixo de 16=_____ f)% 12 |--19=_____ 
g)%acima de 8=_______ h)Atd=_________ 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
24 
 1.1) MÉDIAS PARA DADOS AGRUPADOS 
 Semelhante ao cálculo da media de provas onde o professor opta por atribuir 
pesos as diferentes notas obtidas, a média para dados agrupados é análoga a este 
tipo chamada de média ponderadas 
Como as freqüências são números indicadores de intensidade de cada classe, 
a média a ser calculada é a ponderada determinada pela fórmula: X =
xi.fi
fi
Σ
Σ 
Onde: xi = ponto média da classe 
 fi = freqüência da classe 
 ∑fi = somatório de fi. 
Necessitamos, portanto, de uma nova coluna na nossa distribuição de 
freqüência. Acompanhe o exemplo: Dada a seqüência de valores, determine 
inicialmente a média aritmética: 
notas = 0,2,3,4,5,3,4,2,4,5,6,7,4,5,3,2,4,5,6,7,5,5,5,4,5,3,4,5,9,10 
 30 
média simples X = 4,5... Sem distribuição de freqüência 
 
 
 
 
Com distribuição de freqüência adotando hi =2 
CLASSE fi xi xifi 
0 |- 2 1 1,0 1,0 
2 |- 4 7 3,0 21 
4 |- 6 16 5,0 80 
6 |- 8 4 7,0 28 
8 |- 10 1 9,0 9 
10 |- 12 1 11 11 
 ∑30 ∑150 
Como X = (∑xi fi) X = 150 X = 5,0 
 ∑fi 30 
OBS: Esta diferença entre os dois métodos de calcular a média, que é 
inerente à estatística, se dá pelo fato de estarmos adotando o intervalo de classe 
igual a dois, caso o intervalo fosse menor, a aproximação seria mais visível e 
aceitável. Os exercícios a seguir poderão ser usados para os outros tipos de 
medidas de posição, portanto complete as tabelas da forma mais clara e completa 
possível. 
 
2)MODA 
Valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Designamos 
este valor como VALOR MODAL. Para uma distribuição de freqüência como classe 
modal, usamos a fórmula de CZUBER: 
 
Mo l
f f ant
f f ant f post hi= +
−
⋅ − −
⋅*
* ( )
* ( ) ( )2 
 
Onde: 
l* = limite inferior da classe Modal 
h* = amplitude da classe Modal 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
25 
f* = freqüência simples da classe Modal 
f(ant.) = freqüência simples da classe anterior a classe Modal 
f(post) = freqüência simples da classe posterior à classe Modal 
Observe o exemplo a seguir onde determinaremos o valor modal da 
distribuição abaixo que é a mesma do cálculo da média adotando hi =2 
CLASSE fi xi xifi 
0 |- 2 1 1 1 
2 |- 4 7 3 21 
4 |- 6 16 5 80 
6 |- 8 4 7 28 
8 |- 10 1 9 9 
10 |- 12 1 11 11 
 ∑30 ∑150 
 
Mo l
f f ant
f f ant f post hi= +
−
⋅ − −
⋅*
* ( )
* ( ) ( )2 
Exemplo anterior: 
Mo = 4 + 16 - 7 . 2 
 2 .16 - 7 - 4 
 
Mo = 4 + 9 . 2 
 21 
Mo = 4,8571 V.D.= 5 D= 4,9 C= 4,86 
 
Podemos afirmar então que o valor que ocorre com maior freqüência na 
distribuição de valores acima é o número 5,0 com a sua aproximação bastante real. 
Voltamos a frisar que o intervalo de classe é o valor que define a aproximação maior 
ou menor com a realidade. Entretanto o método acima é bastante útil e empregado 
em larga escala. 
É fácil notar que a MODA tem a propriedade de atrair a média para si, ou 
seja a grande concentração de um determinado valor faz com que a média gire em 
torno deste número. 
É importante também frisar que a não existência de uma valor modal, numa 
determinada série de valores, torna esta seqüência AMODAL , assim como a séria 
que a apresentar dois valores repetidos em igual quantidade será chamada de 
BIMODAL . 
 
 
 
3)MEDIANA 
A mediana é definida como o valor que se encontra no centro de uma 
seqüência de valores em ordem crescente ou decrescente, ou seja, é a posição que 
divide a série de valores em dois subconjuntos em igual quantidade . 
 
MEDIANA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS 
Dada a série de elementos: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9; de acordo com a 
definição de MEDIANA o primeiro passo a ser seguido é a ordenação dos valores. 
Percebemos que a não existência de um intervalo de classe é que define a serie 
como não agrupada. Então: 
 2, 5, 6, 9, 10 , 13, 15, 16, 18. 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
26 
Em seguida determinamos o valor central que divide a série em dois 
subconjuntos de igual quantidade tanto a direita como a esquerda deste valor, 
portanto o valor mediano da seqüência acima é o número 10. O fato acima ocorre 
com facilidade de percepção pois o grupo ou a série apresenta uma quantidade 
ímpar de valores, o que facilita a determinação do valor MEDIANO. 
Nos casos em que a série apresentar uma quantidade par de valores basta 
efetuarmos a média entre os dois valores centrais da seqüência previamente 
ordenada. 
 
MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 
Neste caso, o problema consiste em determinarmos o ponto do intervalo em 
que está compreendida a MEDIANA. 
Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a 
mediana , que será chamada então, de classe mediana: tal classe será, 
evidentemente, aquela correspondente à freqüência acumulada imediatamente 
superior a metade do somatório das freqüências Quando ∑fi é ímpar. 
Feito isto, um problema de interpolação resolve a questão, admitindo-se 
agora, que os valores se distribuem uniformemente em todo o intervalo de classe 
temos condições de determinar a mediana. 
 Assim, considerando a distribuição da tabela abaixo, acrescida das 
freqüências acumuladas podemos previamente determinar qual a classe que possue 
o valor mediano da série na Tabela de distribuição de Freqüências 
 
 Σ=40 
 ∑fi = 40 = 20 
 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como há 24 valores 
incluídos nas três primeiras classes da distribuição e como pretendemos determinar 
o valor que ocupa a vigésima colocação, usamos uma interpolação e verificamos 
que o valor esta incluído nesta classe. Tomando a fórmula abaixo como aquela que 
determina o valor mediano, temos que preencher a coluna das freqüências 
acumuladas para então substituir os valores conhecidos nos devidos lugares. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATURA fi Fi 
150 |- 154 4 4 
154 |- 158 9 13 
158 |- 162 11 24 
162 |- 166 8 32 
166 |- 170 5 37 
170 |- 174 3 40 
Efetuando a divisão do somatório das 
freqüências (40) por dois, para dividir o grupo 
em dois de igual quantidade, temos como 
resultado 20 (vinte), ou seja, o vigésimo valor 
da seqüência é aquele que apresenta o valor 
mediano do grupo. Percebemos então que o 
vigésimo valor esta incluído na 3° classe 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
27 
 ROTEIRO 
 1)determinar as freqüências acumuladas 
 
 2)calculamos ∑ fi / 2 
Md = l* + [ ∑fi / 2 - F (ant) ] . hi 
 f* 
3)marcar a classe acumulada imediatamente4)determinar limite inferior da classe mediana 
 5)determinar freqüência acumulada anterior 
 6)determinar freq. simples da classe mediana 
 7)observar intervalo de classe com referencia a tabela acima temos : 
Md= 158 + [ 20 - 13 ] .4 
 40 
Md = 158 + 0,7 
Md = 158,7 
 
 
EXERCÍCIOS DE MEDIA MODA MEDIANA E DESVIO PADRÃO 
1) Considerando os conjuntos de dados, determine o que se pede sabendo que os 
dados não são agrupados : 
a) 3,5,2,6,5,9,2,8,6: Média = ________ Mediana = _______ Moda = _________ 
b) 20,9,7,2,12,7,20,15,7: Média = ________Mediana = _______ Moda = _________ 
c) 15,6; 48,7; 50,3; 49,5: Média = ________ Mediana = _______Moda = _________ 
d) 15,18,20,13,10,16,14: Média = ________Mediana = _______Moda = _________ 
2) Dada a distribuição de freqüências, determine: 
NOTAS fi xi fri Fi Fri xifi 
0 |- 2 5 
2 |- 4 8 
4 |- 6 14 
6 |- 8 10 
8 |- 10 7 
a) Mediana :___________ 
b) Moda :______________ 
c) Média :_____________ 
 
3) Dada a distribuição de freqüências, determine: 
PESOS fi xi fri Fi Fri xifi 
145 |- 151 9 
151 |- 157 13 
157 |- 163 10 
163!-169 1 
169 |- 175 0 
175 |- 181 18 
181 |- 187 7 
a) Média: ___________ 
b) Moda: ___________ 
c)Mediana: __________ 
 
 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
28 
4) Dada a seqüência de dados referentes a pesquisa envolvendo alunos com 
relação a forma de apresentação das aulas de estatística 
Notas: 8,4,5,5,6,5,6,7,6,5,7,8,9,10,5,8,6,7,4,8,0,10,7,8,3,4,3,5,6,5,6,7,6,7,6,9,10,4 
NOTAS fi xi fri Fi Fri xifi fixi 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑= ∑= ∑= ∑= 
Determine: 
a) A Média = ____________________ b) A Moda = _______________ 
c) A Mediana = __________________ d) Desvio padrão = __________ 
Determine para os valores dados 6,5,8,0,21,5,6,7,3,7,8,8,4,18,19,0,11 
a) Média : __________ b) Mediana : ________ c) Moda : ___________ 
6) Dados os valores, determine 
2,7,4,5,12,15,9,8,12,11,10,6,5,7,15,19,6,5,8,9,8,8,8,14,13,8,20,17,16,15,17 
CLASSES fi xi fri Fi xifi xifi 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determine: 
a) Desvio Padrão = ______________ b)Coeficiente de Variação = ____________ 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
Os valores já estudados como média moda e mediana, não 
desmerecendo seu intento, podem servir de comparação para dar a posição de 
qualquer elemento do conjunto. 
Porém, quando se trata de interpretar dados estatísticos, mesmo aqueles 
já convenientemente simplificados, é necessário ter-se uma idéia retrospectiva de 
como se apresentava esses mesmos dados nas tabelas. 
Assim, não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar 
perfeitamente um conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a 
temperatura média de duas cidades é a mesma, e igual a 24° C, ainda assim, 
somos levados a pensar a respeito do clima dessas cidades uma delas poderá a 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
29 
temperatura variar entre limites de muito calor e de muito frio e possuir, ainda, uma 
temperatura média de 24°. 
A outra poderá ter uma variação pequena de temperatura e possuir, portanto, 
no que se refere à temperatura, um clima mais favorável. 
Assim vemos que a média ainda que considerada como que tem a faculdade 
de representar uma série de valores não pode, por si mesma, destacar o grau de 
homogeneidade ou heterogeneidade que existe entrem os valores que compõem o 
conjunto. 
Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z: 
 
x: 70,70,70,70,70. 
y: 68,69,70,71,72 
z: 5,15,50,120,160 
Calculando a média aritmética de cada conjunto de valores temos 70 (setenta) 
para todos os casos. 
Chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos 
valores de uma variável , em torno de um valor de tendência central tomado como 
de comparação, podemos, então, dizer que o conjunto x apresenta dispersão ou 
variabilidade nula e que o conjunto y apresenta uma dispersão ou variabilidade 
menor que o conjunto z. 
Portanto, para qualificar os valores de um dada variável, ressaltando a maior 
ou menor dispersão, a Estatística recorre ás medias de dispersão ou variabilidade 
como o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
A amplitude total de uma distribuição de freqüência é aquela que determina ou 
gera o fenômeno anteriormente estudado. Ela tem o inconveniente de relacionar os 
valores extremos da série, desviando dos intermediários o que quase invalida a sua 
idoneidade. 
Faz-se o uso desta para a determinação em cálculos rápidos o quando a 
compreensão popular for mais importante do que a exatidão e a pós aplicação 
destes valor. 
Para que houvesse então um valor que expressa-se o envolvimento de todas 
as variáveis da série em torno de uma como por exemplo a média e os desvios que 
cada valor tem em torno dela. 
Lembrando que o somatórios dos desvios em torno da média é nulo, e se 
determinarmos a média aritmética dos quadrados dos desvios, assim representada 
ESTATISTICA APLICADA SOCIESC 
 
 
30 
e chamada de DESVIO PADRÃO que será agora analisado . 
 
 
 DESVIO PADRÃO PARA DADOS AGRUPADOS 
 
Devemos nos lembrar que a determinação do Desvio Padrão depende de duas 
colunas na tabela de distribuição de freqüência, as quais não devem apresentar 
erros de cálculo, ou arredondamento, pois os valores ali anotados servirão de base 
para a determinação do Desvio Padrão. É fácil de notar que precisamos abrir uma 
nova coluna na tabela para substituir na fórmula abaixo, que é claro, cobra um 
conhecimento de matemática básica para a sua resolução. Caso surgindo alguma 
dificuldade procure o seu orientador. 
Vamos considerar como exemplo a tabela abaixo que apresenta valores 
referentes a pesquisa da quantidade de vestibulares efetuados por 30 alunos . 
classe
s 
fi fixi fixi 2 nova coluna 
0 2 0 0 
1 6 6 6 
2 12 24 48 
3 7 21 63 
4 3 12 48 
 ∑=3
0 
∑=6
3 
∑= 165 
 
Substituindo os valores da tabela nos devidos lugares da fórmula teremos o 
Dévio Padrão em torno da media aritmética já estudada em fase anterior. Temos 
então; 
 X= ∑ fi xi = 63 = 2,1 aproximadamente 2 
 ∑fi 30 
 
σ 165 - 63 2 = 5,5 - 4,41 = 1,044 
 30 30 
 
Podemos então afirmar que em média os pesquisados tinham como desvio de 
no mínimo um vestibular em torno da média que era de 2 vestibulares por 
candidato. 
Os exercícios sobre este capítulo estão na seção de EXERCÍCIOS DE 
MÉDIA MODA 
 
 
 
 
 
 
 
 σ = ∑fixi 2 - ∑fixi 2 
 ∑fi ∑fi