Apostila de Estatística

ou CENTIL: São valores de uma série que a dividem em 100 partes iguais. Cada parte ficará com 1% dos elementos da série. Assim temos:
= 1º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 1% dos valores a sua esquerda e 99% dos valores a sua direita.
= 2º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 2% dos valores a sua esquerda e 98% dos valores a sua direita.
= 3º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 3% dos valores a sua esquerda e 97% dos valores a sua direita.
.
.
= 98º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 98% dos valores a sua esquerda e 2% dos valores a sua direita.
= 99º percentil: separa a seqüência ordenada deixando 99% dos valores a sua esquerda e 1% dos valores a sua direita.
!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!
			 P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90
Cálculo do PERCENTIL
É o mesmo cálculo de mediana sendo que 
 deve ser substituído por 
, onde k é o número de ordem do percentil.
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Exemplo: Considerando a tabela de distribuição de freqüência por intervalo de classe, calcule P8.
 (classe 1)	 	 
	
Podemos notar que os quartis, quintis e decis podem ser expressos em termos dos precentis. 
	Q1=P25
	K1=P20
	D1=P10
	Q2=P50
	K2=P40
	D2=P20
	Q3=P75
	K3=P60
	D3=P30
	
	K4=P80
	D4=P40
	
	
	D5=P50
	
	
	D6=P60
	
	
	D7=P70
	
	
	D8=P80
	
	
	D9=P90
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CAPITULO 5: 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
As medidas de dispersão ou variabilidade servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. 
Dessas medidas, estudaremos as seguintes:
- Medidas de variação absoluta: Amplitude total, Variância e o Desvio Padrão. 
- Medidas de variação relativa: Coeficiente de Variação.
(1) MEDIDAS DE VARIAÇÃO ABSOLUTA
Amplitude Total: É a diferença entre o maior e o menor valor observado. Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, não levando em consideração os valores intermediários. Ela é apenas uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.
	AT = L (Max) – l (min)
	
Variância e Desvio Padrão: A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais geralmente empregados.
Cálculo da Variância (
): A variância é a média aritmética do quadrado dos desvios (em relação à média).
Etapas do cálculo da Variância:
 - Calcular a média aritmética 
- Subtrair a média 
 de cada valor 
 do conjunto 
, o que chamamos de desvio;
 - Elevar cada desvio ao quadrado 
 - Somar os quadrados dos desvios 
 - Dividir a soma por (n-1) quando se tratar de dados amostrais, ou simplesmente por n se os dados representam todos os valores de uma população.
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto de vista prático, é um inconveniente.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem a interpretação prática, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada da variância.
Desvio Padrão: 
Observação:
(1) O desvio padrão sempre será positivo!
(2) O desvio padrão de uma série indica o quanto os dados estão afastados da média e, que se os dados são iguais, o valor da medida é zero.
Exemplo 7: Em uma turma de aluno, verificaram-se através da análise das notas de 15 alunos (amostra), os seguintes desempenhos:
	Alunos
	Conceito na Prova
	
	
	1
	4,3
	9,1204
	
	2
	4,5
	7,9524
	
	3
	9
	2,8224
	
	4
	6
	1,7424
	
	5
	8
	0,4624
	
	6
	6,7
	0,3844
	
	7
	7,5
	0,0324
	
	8
	10
	7,1824
	
	9
	7,5
	0,0324
	
	10
	6,3
	1,0404
	
	11
	8
	0,4624
	
	12
	5,5
	3,3124
	
	13
	9,7
	5,6644
	
	14
	9,3
	3,9204
	
	15
	7,5
	0,0324
	
	Total
	109,8
	44,16
	Média
	7,32
	3,155
	Variância
	Desvio Padrão
	1,77
	
	
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Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluímos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.
Exercício: Calcular a média aritmética e o desvio padrão dos seguintes dados relativos à dosagem de hemoglobina verificada numa amostra de 12 animais bovinos (mg).
15	14	13	11	13	14	13,5	12	16	14,5	12	9
Resp.: Média = 13,083mg	Variância = 3,583mg2		Desvio padrão = 1,892mg
(2) MEDIDAS DE VARIAÇÃO RELATIVA
O coeficiente de variação: 
. É a razão entre o desvio padrão e a média aritmética da série dos dados. Pode ser expresso em percentual . Usado para comparar a variabilidade de diferentes grupos de dados.
Exercício: Os dados abaixo referem-se as medidas da altura de parafusos e do diâmetro de rolamentos. Determine o coeficiente de variação, para verificar em relação a qual medida (parafuso ou rolamento) a variabilidade é maior, sabendo-se que o desvio padrão dos parafusos é de 0,46 cm e dos rolamentos é de 0,27 cm?
	Parafusos (cm)
	10,2
	10,6
	9,8
	10,0
	9,8
	10,4
	9,2
	Rolamentos (cm)
	2,2
	2,5
	1,8
	1,9
	2,0
	1,7
	1,9
Resposta: CVp = 4,6 e CVr = 13,5. Os rolamentos apresentam maior variabilidade.
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CAPITÚLO 6: 
Experimento Aleatório, Espaço Amostral, Eventos E PROBABILIDADE.
DEFINIÇÕES:
EXPERIMENTO ALEATÓRIO:	São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Ex.: Em uma jogada de futebol, é provável que seu time: perca; que ele ganha; que ele empate. 
ESPAÇO AMOSTRAL (S):	Cada experimento aleatório corresponde, em geral, a vários resultados possíveis. O conjunto desses resultados possíveis recebe o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representado por S.
Exemplo: Lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}
 Lançamento de um dado: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Cada um dos elementos de “S” que correspondem a um resultado recebe o nome de PONTO AMOSTRAL, por exemplo, 2 
 a S => 2 é um ponto amostral de S (no caso do lançamento do dado). 
EVENTOS (A): Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório. 
Exemplo: Lançamento de um dado:
Espaço amostral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Eventos: 
a) Obter um número par na face superior:
A={2, 4, 6} => 
, logo, A é um evento de S.
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Seja S o seu espaço amostral. Se todos os elementos de S tem a mesma chance de acontecer, então, chamamos de PROBABILIDADE DE UM EVENTO A, 
, o número real P(A), tal que:
, onde n(A) é o número de elementos de A e n(S) é o número de elementos de S.		
Exemplos: Considere o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”.
S= {Ca, Co} 	n(S) = 2	A = {Ca}	n(A) = 1	P(A) = 
 
EVENTOS COMPLEMENTARES
Exemplo: Pesquisa afirma que de um grupo de 100 pacientes fumantes aparecem as seguintes evidências�.
Eventos (evidências): e1 = Normal; e2 = Bronquite; e3 = Câncer no Pulmão; 
e4 = Tuberculose
Espaço Amostral: (= {Normal; Bronquite; Câncer no Pulmão; Tuberculose}
	Evidências
	Normal
	Bronquite
	Câncer no Pulmão
	Tuberculose
	Nº de Pacientes
	25
	60
	10
	5
Se a probabilidade de um paciente apresentar tuberculose é de 0,05. Então se abordarmos um paciente, ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha tuberculose ausente.
Resolução:
 “e4”: paciente tem tuberculose: 
Como: 
 Então, 
 onde 
 significa: paciente tem tuberculose ausente.
Assim, a chance de abordarmos um paciente que tem tuberculose ausente é 95%.
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EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Se os mesmos elementos não podem ocorrer simultaneamente.
P(A(B) = P(A) + P(B), a probabilidade de que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades.
Exemplo: Considerando os dados do exemplo (1).
	Evidências
	Normal
	Bronquite
	Câncer no Pulmão
	Tuberculose
	Nº de Pacientes
	25
	60
	10
	5
Se abordarmos um