ONDAS ELETROMAGNETICAS (2)

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UNIVATES 
Física para a Engenharia IV 
 
Resumo de aula: Ondas Eletromagnéticas 
(Baseado em HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física v.4: Óptica e Física Moderna. - 6a. ed., 
LTC Rio de Janeiro, 2002) 
 
Revisão do eletromagnetismo: 
 
 As Equações de Maxwell 
 
James Clerk Maxwell (1831-1879). A contribuição mais significativa que se pode citar de 
seu trabalho foi a de compilar e relacionar os estudos sobre a eletricidade e o 
magnetismo realizado por outros físicos da época, estabelecendo as relações matemáticas 
entre campos magnéticos e campos elétricos conhecidas como equações de Maxwell: 
 
∫
∑
=
0ε
q
Sd.E
rr
 Lei de Gauss para a eletrostática: Mostra que a carga 
líquida no interior de uma superfície fechada, S, é proporcional ao fluxo de campo 
elétrico através desta superfície. 
 
 
∫ = 0Sd.B
rr
 Lei de Gauss Para o Magnetismo: Mostra que o fluxo do 
campo magnético através de uma superfície fechada é sempre nulo, portanto não se pode 
ter um monopólo magnético isolado. 
 
∫ ∫−= Sd.Bdt
dd.E
rr
l
rr
 Lei de Faraday: A Variação do fluxo do campo magnético 
gera um campo elétrico ou uma força eletromotriz induzida. O sinal negativo refere-se à 
Lei de Lenz, e indica que o campo elétrico induzido se opõe à variação do fluxo 
magnético. 
 
∫ ∫∑ += Sd.Edt
d
µεiµd.B 000
rr
l
rr
 Lei de Ampère-Maxwell: Uma corrente elétrica líquida 
não nula ao longo de um trajeto fechado, e/ou a variação temporal do fluxo do campo 
elétrico através de uma superfície delimitada por um trajeto fechado, geram um campo 
magnético longo do trajeto fechado. 
 
Lembremos que: 
• ε0=permissividade elétrica no vácuo=8,8.10-12C2/(N.m2) (
m
F1
m
Farad1
m.N
C1
2
2
== ) 
• µ0=permeabilidade magnética no vácuo=4.π.10-7T.m/A (
m
H1
m
Henry
A
m.T1
== ) 
 
 
A possibilidade de gerar ondas eletromagnéticas 
 
A partir destas equações surgiu a idéia de que, se uma partícula que possui carga 
elétrica (por exemplo os elétrons livres em um condutor metálico) for colocada a oscilar, 
será produzido um campo elétrico que varia no espaço que circunda o movimento 
oscilatório da partícula. Este campo elétrico variável produz um campo magnético 
também variável neste espaço e, este campo magnético variável produz outro campo 
elétrico variável, e assim sucessivamente. Surge assim uma perturbação eletromagnética 
que se afasta tridimensionalmente do ponto em que a carga vibra e se “auto-induz” 
constante e periodicamente, transportando energia ao longo do espaço. 
 2 
Ora, esta idéia sugere, portanto, que é possível produzir ondas eletromagnéticas, 
constituídas por dois campos oscilantes perpendiculares entre si. 
 
Características das ondas eletromagnéticas: 
 
• A frequência de oscilação dos campos B
r
 e E
r
 é igual à frequência de oscilação da 
partícula carregada que gerou a onda; 
• As ondas eletromagnéticas são transversais, pois as direções de oscilação dos 
campos B
r
 e E
r
 são perpendiculares à direção de propagação da onda; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Como o que vibra são campos, e não matéria, essas ondas podem se propagar no 
vácuo. 
• Ainda é válida a relação v=λ.f. Porém, como no vácuo todas as ondas 
eletromagnéticas se propagam com velocidade c=3,00.108m/s1, usaremos c=λ.f. 
• Como o formato das ondas é senoidal, a equação da onda elétrica e da onda 
magnética, para uma onda eletromagnética que se propaga ao longo do eixo x, 
como nas figuras, têm a forma2: 
 
ωt)sen(kxBt)(x,Bωt)sen(kxEt)(x,E mzmy −=−= 
Ex=Ez=0 Bx=By=0 
 
 
1 c=299792458m/s exato por definição 
2 Estas equações são soluções das equações diferenciais para o campo elétrico e para o campo 
magnético: 2
z
2
002
z
2
2
2
002
y
2
t
B
εµ
x
B
t
yE
εµ
x
E
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
 
 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
 3 
• Os campos B
r
 e E
r
 estão em fase, como mostram as figuras ilustrativas acima, o 
que quer dizer que ambos assumem o máximo valor no mesmo local ao mesmo 
tempo. 
• Como (ω/k)=λ.f então c=(ω/k) 
• Desde que 
m
m
B
E
c = , as equações de onda para as ondas elétrica e magnética 
estarão de acordo com as equações de Maxwell. Precisamos provar que esta 
relação é verdadeira. 
 
A figura a seguir apresenta o espectro eletromagnético. 
 
 
 
 
 
As Ondas eletromagnéticas e as equações de Maxwell 
 
Para chegarmos à relação de interesse vamos partir do formato de onda 
eletromagnética representado anteriormente. 
 
 
 
Figura A Figura B 
 
 
Na figura A, acima, temos uma onda eletromagnética se propagando ao longo do 
eixo x. Na figura B temos os mesmos eixos representados onde estão destacados dois 
retângulos: um no plano xy (A1) e o outro no plano xz (A2). Ambos têm altura h e largura 
dx. 
dx 
x 
z 
y 
h 
E
r
 
EdE
rr
+ 
B
r
 BdB
rr
+ h 
dx 
 4 
 
 Enquanto a onda se propaga vai passando pelos retângulos destacados e o fluxo 
magnético, ΦB, através de A1 varia, o que gera campos elétricos induzidos em torno do 
retângulo em xy (Lei de Faraday). Da mesma maneira o fluxo elétrico através de A2 varia, 
gerando um campo magnético em torno do retângulo em xz. 
Pela Lei de Lenz o campo induzido em torno do retângulo em xy se opõe à variação 
do campo magnético através de A1. 
 
Usando a Lei de Faraday: 
 
∫ ∫−= Sd.Bdt
dd.E
rr
l
rr
 nessa equação o termo ∫ Sd.B
rr
 é o fluxo magnético ΦB, e l
r
d 
representa cada pedacinho do perímetro do retângulo considerado. Podemos então 
escrever a Lei de Faraday como: 
∫ Φ−= Bdt
dd.E l
rr
 
 
Do lado esquerdo da equação acima temos um produto escalar entre o campo elétrico, 
que está na direção y, e os lados do retângulo. Então nesse lado da equação, percorrendo 
o perímetro do retângulo no sentido anti-horário, teremos: 
 
dEhdxEhEdxEhdEEd .90cos.180cos..90cos..0cos.).(cos..Ed.E 0000 =++++==∫∫ θll
rr
 
 
Do lado direito da equação temos BΦ− dt
d
. ΦB é o fluxo magnético através da superfície 
do retângulo A1, que é dado por ΦB=(B).(h.dx), onde B é o módulo do vetor indução 
magnética dentro do retângulo e (h.dx) é a área do retângulo. Fazendo a derivação 
indicada teremos: 
dt
dB
.dx.hΦ
dt
d
B −=− 
 
Retornando à equação de Faraday com os dois resultados obtidos teremos: 
dt
dB
dx
dE
dt
dB
.dx.hdE.h −=−= ou 
 
Tanto E como B são funções de x e t, portanto as derivadas indicadas acima são 
derivadas parciais: 
t
B
x
E
∂
∂
−=
∂
∂
 
 
Lembremos que as equações horárias de E e B são dadas por: 
ωt)sen(kxBt)(x,Bωt)sen(kxEt)(x,E mzmy −=−= 
Ex=Ez=0 Bx=By=0 
então 
 
ωt)cos(kxE.k
x
E
m −=∂
∂
 e ωt)cos(kx.B.ω
t
B
m −−=∂
∂
 
 
Usando a igualdade obtida: 
 
ωt)]cos(kx.B.ω[ωt)cos(kxE.k
t
B
x
E
mm −−−=−⇒∂
∂
−=
∂
∂
 
 5 
Realizando as simplificações teremos: 
 
k.Em=ω.Bm ou 
k
ω
B
E
m
m
= mas 
k
ω
c = então 
 
c
B
E
m
m
=
 
 
 
 Usando a Lei da indução de Maxwell: 
 
No início deste texto vimos a lei de Ampère-Maxwell: 
 
∫ ∫∑ += Sd.Edt
d
µεiµd.B 000
rr
l
rr
 
Do lado direito da equação vemos a soma de dois termos. O primeiro refere-se à lei 
de Ampère, o segundo foi introduzido por Maxwell. Na situação que estamos analisando 
não há correntes elétricas, então ficaremos apenas com: 
 
∫ ∫= Sd.Edt
d
µεd.B 00
rr
l
rr
 
O termo ∫ Sd.E
rr
 é o fluxo do campo elétrico ΦE, então podemos reescrever a lei de 
Maxwellcomo: 
∫ Φ= Edt
d
µεd.B 00l
rr
 
 
Analogamente ao raciocínio desenvolvido para o retângulo do plano xy, vamos 
analisar o retângulo no plano xz. O fluxo ΦE que atravessa o retângulo A2 também varia, 
gerando campo magnético induzido nos contornos do retângulo (reveja a figura!). 
Podemos resolver o lado esquerdo da equação, considerando que o perímetro do 
retângulo será percorrido novamente no sentido anti-horário: 
dBhdxBhBdxBhdBBdB .90cos.0cos..90cos..180cos.).(cos..d.B 0000 −=++++==∫∫ θll
rr
 
O fluxo do campo elétrico, ΦE, através da superfície do retângulo é dado por 
 
ΦE=(E).(h.dx) 
 
Onde E é o módulo do campo elétrico E
r
 e (h.dx) é a área do retângulo atravessada 
pelo campo elétrico. Derivando o fluxo ΦE em relação ao tempo, teremos: 
 
dt
dEdx.hdx)]..(h[E
dt
d
dt
d
==Φ E 
 
Retornando à equação de Maxwell com estas duas soluções teremos: 
 
dt
dE
µ.ε
dx
dB)
dt
dEdx.(hµ.εdB.h 0000 =−⇒=− 
 
Considerando as derivadas parciais, como anteriormente: 
t
E
µ.ε
x
B
00 ∂
∂
=
∂
∂
− 
 6 
 
Basta agora derivar as equações de onda: 
 
ωt)cos(kxωE
t
E
m −−=∂
∂
 e ωt)cos(kxkB
x
B
m −=∂
∂
 
 
Usando a igualdade obtida: 
 
ωt)cos(kxωEµεωt)cos(kxkB
t
E
µε
x
B
m00m00 −−=−−⇒∂
∂
=
∂
∂
− 
 
Simplificando e rearranjando a igualdade acima, teremos: 
 
)ω(µε
1
ωµεB
E
ωEµεkB
00
00m
m
m00m
k
k
==⇒= 
Mas, anteriormente vimos que 
k
ω
c = , portanto a equação acima se resume a: 
cµε
1
B
E
00m
m
= 
 
Combinando o resultado obtido a partir da equação de Faraday com o resultado 
obtido a partir da equação de Maxwell, teremos: 
 
c
B
E
m
m
= 
cµε
1
B
E
00m
m
= 
 
0000
2
00 µε
1
c
µε
1
c
cµε
1
c =⇒=⇒= 
 
Provamos assim que as equações de onda senoidal propostas para descrever a 
onda elétrica e a onda magnética são consistentes com as equações de Maxwell se 
00µε
1
c = . 
 
 
 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting 
 
Como qualquer outro tipo de onda, as ondas eletromagnéticas transportam 
energia e podem transferir esta energia a qualquer corpo sobre o qual venha a incidir. 
A Intensidade da onda eletromagnética é determinada da mesma maneira que a 
das ondas mecânicas: 
A
PI = e sua unidade no SI é W/m2. 
 
Para ondas eletromagnéticas a Intensidade também pode ser determinada através 
do valor médio de uma nova grandeza, chamada vetor de Poynting, S
r
: I= S
r
 
 
 7 
O vetor de Poynting [homenagem a Jonh Henry Poynting-(1852-1914)] representa 
a taxa instantânea de energia transportada pela onda por unidade de área, e é definido 
pela relação: 
 
BE
µ
1S
0
rrr
×= 
 
Como seu valor médio, S
r
, é a Intensidade da onda, I, seu valor instantâneo 
também tem unidade W/m2. 
O produto vetorial acima indica que S
r
 é perpendicular tanto a E
r
 quanto a B
r
, 
sendo paralelo à direção de propagação da onda, na qual a energia está sendo 
transportada. Para identificar a direção de propagação de uma onda eletromagnética a 
partir da direção de vibração do campo elétrico e do campo magnético pode-se utilizar a 
regra da mão direita para o produto vetorial: 
 
Alinha-se os quatro dedos da mão direita (exceto o polegar) com o primeiro 
vetor indicado no produto (no caso o vetor E
r
). Flexiona-se os 4 dedos no 
sentido em que aponta o segundo vetor que aparece no produto (nesse caso o 
vetor B
r
). A orientação do vetor resultante coincide com a direção apontada 
pelo polegar. 
 
O módulo do vetor resultante de um produto vetorial, por definição, pode ser 
expresso por: 
EBsenθsenθBEBES ==×=
rrrrr
 onde θ é o ângulo entre os vetores E
r
e B
r
. 
 
Assim, conhecida a direção e o sentido do vetor,seu módulo pode ser determinado 
por: 
senθ
µ
EBBE
µ
1SS
00
=×==
rrr
 
Como o ângulo entre E
r
e B
r
 é de 90º, teremos o módulo do vetor de Poynting dado 
por: 
0µ
EBS = 
Conhecendo-se a relação entre Em e Bm e as equações de onda podemos utilizar, 
em um mesmo instante a relação: 
 
c
B
E
m
m
= no mesmo instante de tempo 
c
EBc
B
E
c
B
E
B
E
m
m
=⇒=⇒== 
 
O módulo do vetor de Poynting fica expresso de uma maneira mais simples: 
cµ
ES
0
2
= 
 
Esta expressão fornece o valor do vetor de poynting a partir do valor de um campo 
elétrico em um determinado instante, em um determinado local, e, como o campo varia 
senoidalmente no tempo, o valor do vetor de poynting também variará periodicamente. 
Por isso, mais importante que conhecer o vetor de poynting em um instante é conhecer o 
seu valor médio, que á a Intensidade da onda. 
 
 
 cµ2
EI
cµ
ωt)(kxsenE
cµ
ESI
0
2
m
0
22
m
0
2
=⇒
−
=== 
 8 
Em2 é o valor médio quadrático do campo elétrico e fornece o valor eficaz do campo 
elétrico, que é dado por Erms, e expressa um campo elétrico constante que teria o mesmo 
efeito de Emsen(kx-ωt). A relação entre a amplitude do campo elétrico e o seu valor eficaz 
é Em= rmsE2 . 
O valor médio quadrático do seno de um ângulo vale ½. 
cµ
E
2
1
.
cµ
)E2(I
0
2
rms
0
2
rms
== 
 
Vamos verificar ainda se a unidade de medida do vetor confere com a unidade da 
intensidade: 
 
 
Veja que as dimensões do vetor de poynting coincidem com as dimensões de 
Intensidade (W/m2). 
 
 
Exemplos: 
 
Um observador está a 1,8m de uma fonte luminosa puntiforme, cuja potência é de 
250W. Calcule os valores eficazes dos campos E
r
e B
r
na posição do observador. Suponha 
que a fonte irradia uniformemente em todas as direções. 
 
T
m
sV
s
m
m
V
c
E
Bc
B
E rms
rms
7
2
7
8
rms
2
87
2
0
rms2
02
rms
0
2
rms
10.6,1.10.6,1
10.3
1,48
m
V48,1E
m)(1,8π4
s
m
.3.10
A
Tm
.10π4.W250
πr4
cµ.PE
πr4
cµ.PE
A
P
cµ
EI
−−
−
====⇒=
=
//
//
==⇒=⇒==
 
 
 
 
 
222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
m
W1
m
1
s
J1
mJs
J1
sJm
(Nm)1
m
m
.
sJ
N1]S[
mporrdenominadooenumeradorormultiplica:artifícioumusarvamosaqui
sJ
C
.
C
N1
C
J
s
C
.
C
N1
V
A
.
C
N1
s
m
.
mA
sV
)
C
N(
1]S[
s
m1[c]
Am
Vs1
A
m
m
Vs
][
m
Vs1
m
Wb1T1
A
Tm1][
C
N1[E]
=====
/
/
===
/
/
/
/
=
=
==⇒==⇒=
=
µµ
 9 
Pressão de radiação 
 
Além de transportar energia, as ondas eletromagnéticas transportam momento 
linear. Este fato foi previsto teoricamente por Maxwell, mas somente foi possível observá-
lo e medi-lo aproximadamente 30 anos depois, 1901-1903 por Nichols e Hull-Dartmouth 
Colege e por Lebedev na Rússia. 
A previsão de Maxwell era de que, ao incidir sobre uma superfície a luz poderia ser 
totalmente absorvida, totalmente refletida ou parcialmente absorvida. A transferência de 
momento, a força e a pressão de radiação exercidas sobre a superfície estão 
resumidamente descritas no quadro abaixo. O ponto de partida aqui será determinar a 
energia transportada pela onda. Para isto vamos partir da expressão da intensidade da 
onda: 
tAI∆∆E
∆tA
∆E
A
PI =⇒== 
 
Portanto a energia transportada pela onda depende da intensidade da onda no 
local de interesse, do intervalo de tempo que a onda demora para passar nesse local e da 
área total sobre a qual a energia está distribuída. 
 
A força exercida pela pressão de radiação pode ser determinada pela segunda lei 
de Newton: 
 
dt
qdF
r
r
= 
Se a força é constante a taxa de variação da quantidadede movimento linear 
também é constante, e podemos escrever: 
∆t
q∆F
r
r
= 
A previsão de transferência de momento linear feita por Maxwell é de que, no caso 
de haver absorção total 
c
∆E
∆q = e no caso de haver reflexão total 
c
∆E2∆q = . 
Então é possível determinar a força exercida pela radiação em cada caso. Para 
absorção total 
c∆t
E∆F = e para reflexão total 
∆tc
∆E2F = . Usando a expressão obtida para a 
energia a partir da Intensidade teremos para absorção total 
c
IAF
ct∆
At∆IF =⇒
/
/
= e para 
a reflexão total 
c
IA2F
ct∆
At∆I2F =⇒
/
/
= . 
Como pressão é força exercida sobre área podemos determinar a pressão de 
radiação para o caso de absorção total 
cA
IA
A
Fp
''
== e para o caso de reflexão total 
cA
IA2
A
Fp
''
== , onde A’ é a área de impacto da radiação sobre o objeto. No caso de 
termos um feixe paralelo de radiação (feixe de ondas planas) incidindo completamente 
sobre a superfície do objeto, A’ será a própria área A e a pressão de radiação poderia 
ainda ser simplificada: 
c
Ip = e 
c
I2p = . Podemos resumir estas situações em um quadro: 
 
 
 
 
 
 10 
Energia, momento linear, força e pressão de radiação transferidos e exercidos sobre 
superfícies sobre as quais incide um feixe de ondas planas. 
 Absorção total 
Absorção ou 
reflexão parcial 
Reflexão total 
Energia 
transportada 
∆E=I.∆t.A ∆E=I.∆t.A ∆E=I.∆t.A 
Momento linear 
transferido c
∆E
∆q = 
c
∆E
<∆q<
c
∆E2 
c
∆E2∆q = 
Força exercida 
c
IAF = 
c
IA
<F<
c
IA2 
c
IA2F = 
Pressão de radiação 
exercida c
Ip = 
c
I
<p<
c
I2 
c
I2p = 
 
 
Exemplo: 
O Sol fornece cerca de 1000W/m2 de energia para a superfície da Terra. 
(a) Calcule a potência total incidente sobre um telhado de 8,00mx20,0m. 
(b) Determine a pressão de radiação e a força de radiação sobre o telhado, 
supondo que sua cobertura e um absorvedor perfeito. 
 
Resolução: 
 
(a) A intensidade informada indica a potência por unidade de área. Podemos portanto 
determinar a potência de incidência em uma ares determinada por: 
I=P/A � P=I.A=(1000W/m2).(8,00.20,0m2)=1,60.105W 
 
Este valor indica que a cada segundo são absorvidos pelo telhado 1,60.105J de 
energia! 
 
(b) Como temos um absorvedor total a pressão de radiação na superfície sobre a qual 
incide é determinada por: 
P=I/c=(1000W/m2)/(3.108m/s2)=3,33.10-6N/m2 
 
Como pressão é p=F/A, F=p.A 
 
F=p.A=(3,33N/m2).(8,00.20,0m2)=5,33.10-4N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
 Polarização 
 
A polarização para ondas eletromagnéticas consiste em obter ondas cujo campo 
elétrico vibra em um único plano. 
 As antenas de transmissão de TV, por exemplo, podem estar posicionadas vertical 
ou horizontalmente. Em consequência as antenas receptoras deverão ser posicionadas 
com a mesma orientação, para poderem captar a vibração elétrica das ondas 
transmitidas e enviar o sinal para o decodificador. 
 Na figura abaixo temos uma onda polarizada no plano xy, portanto o campo 
elétrico somente apresenta componentes nesse plano. 
 
 
 
 A onda magnética também estará oscilando em um único plano, xz, então também 
é plano-polarizada. Mas como temos um grande número de detectores de radiação 
eletromagnética sensíveis às ondas elétricas, nos ateremos à polarização elétrica. 
 As fontes convencionais de luz, como uma lâmpada, por exemplo, emitem luz em 
todas as direções a partir de átomos (devido a elétrons excitados), cuja vibração e 
emissão ocorre de forma independente. Sendo assim a radiação emitida não é polarizada, 
pois teremos ondas sendo emitidas com o campo elétrico oscilando em todas as direções 
possíveis. 
 
 
 
Orientação do vetor campo elétrico relativo a um 
feixe de ondas eletromagnéticas emitidas a 
partir de uma fonte não polarizada. 
 
 
 Nas antenas transmissoras de rádio e TV, cargas oscilantes em um fio longo 
geram, em torno do fio, um campo magnético, que tornam a gerar um campo elétrico e 
assim sucessivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
r
 
Ilustração do processo de sucessão de campos elétricos e magnéticos. 
 
 
 12 
 
A figura ao lado indica o campo magnético gerado 
perpendicularmente ao plano da página 
(⊗�representa o campo entrando na página; 
��representa o campo emergindo da página) e o 
campo elétrico paralelo à antena emissora (que 
está no plano da página), através das linhas de 
força elétricas representadas. 
 
 
 
 
 
A figura ao lado ilustra o 
processo de transmissão, 
utilizando uma representação 
esquemática para o circuito 
oscilante e para o feixe de ondas 
eletromagnéticas emitidas. Como 
todas as ondas geradas possuem a 
mesma orientação do campo 
elétrico, diz-se que este tipo de 
fonte produz um feixe de ondas 
coerente. 
 
Podemos polarizar um feixe de ondas não coerente fazendo-o incidir sobre uma 
superfície polarizadora que consiste em uma placa, constituída por moléculas de cadeias 
longas e alinhadas paralelamente umas às outras. 
 Quando o feixe de luz não polarizada incide sobre a placa, as ondas cujos campos 
elétricos estão alinhados com as moléculas do polarizador, são absorvidas por elas e as 
ondas cujos campos elétricos oscilam perpendicularmente a elas são transmitidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um feixe não coerente propagando-se ao longo da direção x, cada um dos 
vetores E
r
 que não é nem paralelo nem perpendicular à orientação do polarizador 
apresentará dois componentes: Ey e Ez. Veja a figura a seguir: 
 
 
Na figura ao lado vemos a decomposição de um dos vetores 
E
r
nas direções y e z. A direção das linhas esquematizadas no 
polaróide, indica a direção na qual ele permite a transmissão do 
campo elétrico- chamada direção de polarização. No caso todos 
os componentes no eixo z são absorvidos, sendo transmitidos 
apenas os componentes em y. 
 
 
Luz não 
polarizada 
Polarizador 
Feixe 
polarizado 
E
r
E
r
 E
r
E
r
 
E
r
 
y 
Ey 
Ez z 
 13 
Considerando θ o ângulo entre o vetor E
r
 e a direção de polarização da placa, y, 
vemos que os componente transmitido e absorvido do vetor são dados por: 
 
Ey=Ecosθ Ez=Ecosθ 
 
Nessa situação, quando o feixe atravessa um polarizador, como aproximadamente 
metade dos componentes dos vetores E
r
 será absorvido, a intensidade da luz transmitida, 
I, será aproximadamente a metade da luz incidente, I0: 
2
II 0m = 
Quando utilizamos duas placas polarizadoras o primeiro polaróide é chamado 
polarizador, permitindo a passagem de I0/2. O segundo é chamado de polaróide 
analisador e a intensidade da luz que nele incide é Im. A intensidade da luz transmitida 
através dele, I dependerá do ângulo entre as direções de polarização dos dois 
polarizadores e da intensidade máxima do campo elétrico das ondas transmitidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A lei que descreve a relação entre a radiação incidente, Im, e a radiação 
transmitida, I, no analisador é conhecida como Lei de Malus. 
Para deduzir a expressão, consideramos: 
• I ∝ Im; 
• Im é proporcional a Em2 – vimos na equação da intensidade a partir do vetor de 
poynting; 
• E ∝ cosθ 
• I ∝ cos2θ 
• quando o ângulo entre os dois polaróides é 90º temos I=0; 
• quando o ângulo entre os dois polaróides é 0º temos I=Im; 
 
 Portanto a Lei de Malus pode ser expressa pela relação: 
 
I=Imcos2θ Onde θ é o ângulo entre as duas direções de polarização 
consideradas. 
 
Exemplo: 
 Duas placas polarizadoras estão dispostas de forma que o ângulo entre suas 
direções de polarização é zero, portanto a intensidade da radiação transmitida é máxima, 
Im. Sob que ângulo se deve girar uma das placaspara que a intensidade da onda 
transmitida seja a metade da intensidade máxima? 
 
De acordo com o enunciado, queremos I=Im/2. Mas I é dado pela lei de Malus: I=Imcos2θ. 
Então igualamos: 
002
m
m 135ou45)
2
1
arccos(cosI
2
I
±=θ±==θ⇒θ/=/ 
Polarizador E
r
mE
r
 
θ 
E
r
mcosθ 
Analisador