Resumo - prismas - CJSP - 2014 - 2ª Série Ensino Médio

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Prismas 
 
Todo prisma possui: 
- Duas bases congruentes, situadas em planos paralelos. 
- faces laterais (paralelogramos) , sendo o número de lados do polígono da base 
 Os prismas podem ser classificados, quanto a inclinação das arestas laterais em: 
Prisma oblíquo: Se as arestas laterais são obliquas em relação à base. 
Observe que as faces laterais são paralelogramos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prisma reto: Se as arestas laterais são perpendiculares em relação à base. 
Observe que as faces laterais são retângulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os prismas também são classificados quanto o polígono da base, por exemplo, prisma 
triangular, prisma pentagonal, prisma hexagonal, etc. 
 
Áreas e volume de um prisma qualquer: 
 . 
 . 
 . 
Onde: denotam respectivamente, a área lateral, área total, área da base e altura 
do prisma. 
Paralelepípedo retângulo ou retorretângulo 
- É o prisma que possui 6 faces retangulares. 
Área total : 
Observe que as faces opostas de um 
paralelepípedo retângulo são congruentes. 
Portanto a área total é a soma das áreas soma 
das áreas dos 6 retângulos, ou seja: 
 
Diagonal do paralelepípedo: 
Podemos calcular a diagonal do 
paralelepípedo, observando que os triângulos 
 e são retângulos. 
Por Pitágoras, temos: 
 . 
 . Substituindo a relação 
obtida acima, √ . 
Volume: Observe a figura ao lado, ela 
foi dividida em cubinhos de aresta 1 cm. 
Assim temos que o volume do 
paralelepípedo ao lado é 
 , assim podemos expressar 
o volume de um paralelepípedo como 
 , onde representam as 
dimensões (comprimento, largura e 
altura) do paralelepípedo. Note que se 
tomarmos o retângulo se medidas 6 cm 
x 2 cm como base do paralelepípedo, a 
altura é 3 cm, assim a expressão do 
volume do paralelepípedo é equivalente 
a , vista anteriormente. 
 
Cubo: 
O cubo é um paralelepípedo retângulo que tem 
todas as arestas congruentes, ou seja, todas as faces 
são quadrados. 
Como todas as arestas do cubo tem a mesma 
medida , as expressões da área total, diagonal e 
volume de um cubo podem ser expressas em função 
de uma única variável (no caso, a medida da aresta 
do cubo). 
Assim, temos: 
 
 . 
 √ . 
 . 
Exemplos: 
1.Determine a diagonal, a área total e o 
volume de um paralelepípedo 
retorretângulo de medidas 3 cm, 4 cm e 12 
cm. 
Solução: 
Temos que: 
 √ 
 √ . 
A área total é dada pela soma dos seis 
retângulos da figura. Logo, temos: 
 
 
 . 
O volume é dado por 
 . 
 
2. Um comerciante comprou um bloco de doce de abóbora com a forma de um paralelepípedo 
retângulo de base 12 cm x 21 cm e altura medindo 
 
 
 do perímetro da base. Se o comerciante 
dividir o bloco em cubinhos de 3 cm de aresta, em quantos cubinhos será dividido o bloco? 
Solução: O perímetro da base é 12 + 21 + 12 + 21 = 66 cm, portanto a altura do paralelepípedo 
é 
 
 
 . Então o paralelepípedo tem medidas 12 cm x 21 cm x 6 cm. Como o bloco será 
dividido em cubinhos de aresta 3 cm, o número de cubinhos em que será dividido o bloco é 
 
 
 
 
 
 
 
 = 56 cubinhos. 
3.Determine a área lateral e o volume do 
prisma hexagonal regular representado na 
figura ao lado. 
Solução: Como o prisma é regular, os 
retângulos que formam as faces laterais são 
congruentes, de medidas 4 cm x 10 cm, assim 
temos 
 
 
 
 
 
O hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos 
equiláteros, e lembrando que a área de um triângulo 
equilátero é dado pela expressão 
 √ 
 
 
temos que 
 √ 
 
. Sendo assim, 
 √ 
 
 = 
 √ . Assim o volume do prisma é 
 √ √ .