Resumo - razões trigonométricas na circunferência - CJSP - 2014 - 2ª Série Ensino Médio

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Razões trigonométricas na circunferência 
 
Seno e cosseno: 
Na figura a seguir temos a circunferência trigonométrica 
 
 
 
 (projeção no eixo y). 
 
 
 
 (projeção no eixo x). 
 
 
Sendo o valor do seno é a projeção no eixo y e cosseno a projeção no eixo x, então temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais: 
 
 
Relação fundamental: 
Observe a 1ª figura. O é retângulo em e aplicando o teorema de Pitágoras nesse 
triângulo obtemos: . 
Obs: Mesmo que não se forme o triângulo retângulo, O que ocorre quando P coincide com A, 
B, C ou D, a relação fundamental continua válida, pois em A e e , 
em B e e , em C e e e em D 
 e e 
Então conhecendo o valor do seno de qualquer ângulo, conseguiremos obter o cosseno e vice-
versa. 
Obs: Conhecendo o valor de seno ( ou cosseno) e utilizando a relação fundamental caímos em 
uma equação do segundo grau, onde encontramos raízes de sinais opostos, para decidir qual 
sinal devemos escolher, o exercício deverá fornecer em qual quadrante se encontra o ângulo. 
Exemplo: 
Sabendo que 
 
 
 , determine o valor de , sabendo que está no 4ºquadrante. 
No 4ºquadrante o seno é negativo. 
Da relação fundamental, temos: 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Tangente: 
 
Traçamos um eixo paralelo ao eixo y, passando pelo ponto A. Mostraremos que esse eixo é o 
eixo das tangentes. 
 
 
 
 
Uma outra maneira de calcular a tangente: 
 
 
 
. 
 
 
Exemplo: Sabendo que , determine , sabendo que se encontra no quarto 
quadrante. 
Como o ângulo se encontra no quarto quadrante, 
 + (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
Logo 
 
√ 
 
 
 
 √
 
 
. 
Outras relações trigonométricas: Secante, cossecante e cotangente. 
Definimos: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Exemplo: Dado que 
 
 
, determine as demais razões trigonométricas de , 
sabendo que 
 
 
 
 Obtemos diretamente que 
 
 
. 
Da relação fundamental, obtemos (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
. Como 
se encontra no segundo quadrante, . Logo 
 
 
. 
Portanto 
 
 
E 
 
 
 
 
 
 
 
. Logo