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Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 38 CAPÍTULO 03 TORÇÃO EM BARRA DE SEÇÃO CIRCULAR Nos capítulos anteriores estudamos os efeitos de um carregamento axial. Analogamente, nesse capítulo estaremos analisando os efeitos de um conjugado de torção em um elemento estrutural muito comum; eixo. Os eixos, são barras de seções circulares ou anelares utilizados na engenharia, principalmente, para transmitir torque. Fig. 27. Transmissão de torque por meio de eixos. A aplicação de conjugados de torção em um eixo tenderá a torcer o elemento, mas, diferente de barras com seções não circulares, para pequenas deformações angulares as seções permaneceram praticamente planas e as variações em suas dimensões podem ser consideradas desprezíveis. Fig. 28. Torção sobre barras de seção circular (a) e de seção retangular (b). As seções em eixos permanecem planas depois de submetidas à torção, como indicado na figura anterior, devido a simetria da seção em relação a eixo longitudinal do elemento. Representação esquemática do torque: Os conjugados são grandezas vetoriais e podem ser representadas por setas curvas (Fig. 29a), ou por setas duplas (Fig. 29b), para distingui-los dos vetores que representam forças. Fig. 29. Representação esquemática para o torque. Exercício Resolvido 14 Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 39 Solução: DCL s A partir dos DCL s apresentados na figura anterior, pode-se observar que os torçores internos nas regiões AC, CD e EB são todos constantes, mas de intensidades diferentes. Dessa forma o diagrama de momento torçor do eixo é o seguinte: 3.1. Fórmula Coulomb para torção Quando aplicamos um torque T a um eixo suas seções tendem a rotacionar umas em relação as outras ficando submetidas a tensões de cisalhamento que variam linearmente em função da distancia ao eixo longitudinal do elemento (Fig. 30). Fig. 30. Elemento cilíndrico submetido à torção. Assim, a tensão correspondente a distancia pode ser calculada por: máx.c Eq. 15. Tensão causada por torção. Dessa maneira, o torque T poderá ser encontrado da seguinte forma: A )torque( )alavancadebraço( )força( )área( A )tensão( máx Td.c ou A A máx d c T 2 Eq. 16. Tensão causada por torção. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 40 Lembrando que o termo A Ad2 corresponde ao momento polar de inércia (J) da seção. Com isso c J.T máx , ou seja: J c.T máx Eq. 17. Tensão máxima causada por torção. A equação acima foi deduzida por Coulomb, engenheiro francês, por volta de 1775. Momento polar de inércia para seção circular c oA A c.d..dJd...dA 2 22 4 32 Momento polar de inércia para seção vazada 22 22 44 32 b.c.d..dJd...dA c bA A 3.2. Observações sobre tensões cisalhantes causas por torção Vimos anteriormente que um torçor agindo no eixo longitudinal de uma barra de perfil circular, produz tensões cisalhantes nas seções transversais perpendiculares a este eixo. Porém uma observação importante deve ser feita em relação às tensões cisalhantes: As condições de equilíbrio para um elemento infinitesimal da barra (Fig. 31), exigem que estas mesmas tensões cisalhantes também ocorram nas faces paralelas ao eixo longitudinal 1. Fig. 31. Tensões cisalhantes causadas por torção. Exercício Resolvido 15 O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar: a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC; O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa. 1 Teorema de CAUCHY- tensão cisalhantes perpendiculares tem o mesmo valor. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 41 Solução: Exercício Proposto 41 Determinar o momento de torção que pode ser aplicado a um eixo maciço de 80 mm de diâmetro sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 60 MPa. Resolver o caso anterior para um eixo de seção vazada de mesma massa e de 80 mm de diâmetro interno. Resposta: T = 6,03 kN.m; T = 12,8 kN.m. Exercício Proposto 42 Um momento de torção T = 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado. Determinar: a) a máxima tensão de cisalhamento; b) a tensão de cisalhamento no ponto D que fica em uma circunferência de 15 mm de raio, desenhada na seção extrema do cilindro. Resposta: a) 70,7 MPa; b) 35,4 MPa. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 42 Exercício Proposto 43 Sob condições normais de funcionamento, o motor elétrico produz um torque de 2,4 kN.m. Sabendo-se que todos os trechos são maciços, determinar a máxima tensão de cisalhamento: a) no trecho AB; b) no trecho BC. Resposta: a) 77,6 MPa; b) 71,7 Mpa. Exercício Proposto 44 Resolver o problema anterior considerando que um furo de 30 mm de diâmetro foi feito ao longo dos eixos de A a E. Resposta: AB = 85,8 MPa e BC = 91,7 Mpa. Exercício Proposto 45 Uma haste AB de diâmetro ds = 66 mm é colocada em um tubo CD e soldada a ele em C. O tubo tem diâmetro externo de 80 mm e sua parede tem 6 mm de espessura. Sabendo-se que a tensão admissível do material das duas peças é de 60 MPa, determinar o maior momento de torção T que pode ser aplicado ao conjunto. Resposta: T = 2,88 kN.m. Exercício Proposto 46 Ainda em relação a questão anterior, considerando que o tubo CD, de diâmetro externo igual a 80 mm e 6 mm de espessura de parede, é feito de latão com tensão admissível de 40 MPa, e que a haste AB tem diâmetro ds = 56 mm e é feita de aço com tensão admissível ao cisalhamento de 55 MPa. Determinar o maior valor de momento de torção que pode ser aplicado ao conjunto. Resposta: 1,90 kN.m. Exercício Proposto 47 No conjunto de engrenagens indicado, os diâmetros dos três eixos maciços são dAB = 20 mm, dCB = 25 mm e dEF = 40 mm. Sabendo-se que em cada eixo a tensão de cisalhamento admissível é de 60 MPa, determinar o maior momento T que pode ser aplicado ao conjunto. Resposta: 73,6 N.m. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 43 3.3. Ângulo de torção no regime elástico O ângulo de torção corresponde ao giro causado na seção de um elemento submetido a um torque qualquer T. Na figura a seguir apresentamos uma imagem que ilustra o ensaio utilizado para determinação experimental de ângulos de torção; ensaio de torção. Fig. 32. Ensaio de torção. Durante o ensaio de torção o corpo de prova, de comprimento L, é progressivamente submetido a um torque. Semelhante ao ensaio de tração, é obtida uma curva que relaciona os valores de tensão cisalhante máxima máx em função da deformação de cisalhamento . Para o regime elástico, a relação encontrada entre máx e é: máx = G. Eq. 18. Lei de Hooke para o cisalhamento. Onde: Tensão de cisalhamento correspondente ao torque T deformação de cisalhamento G= Módulo de elasticidade transversal A Eq. 18 é conhecida como lei de Hooke para o cisalhamento. Para valores infinitesimais de L (dl), geometricamente e se relacionam pela seguinte expressão: dl d.c Eq. 19. Deformação de cisalhamento.Lembrando que J c.T máx e substituindo a Eq. 19 em Eq. 18, temos: L máx G.J dl.T G.J dl.Td dl d.c .G J c.T 0 Eq. 20. Ângulo de torção. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 44 Exercício Resolvido 16 Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reações ao momento em A e B. Solução: DCL A partir do diagrama de corpo livre, temos: ftlbTT BA 90 (i) (problema estaticamente indeterminado) Dividimos o eixo em duas seções, as quais devem ter deformações compatíveis, 0 CBP CBB ACP ACA B/CC/AB/A IG LT IG LT => A ACPCB CBPAC B TIL IL T (ii) Substituindo ii em i, temos: ftlbT IL IL T A ACPCB CBPAC A 90 Exercício Resolvido 17 Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura. Para uma tensão tangencial admissível de 8.000 psi nestes eixos e G=11,2.106 psi. Calcular: a) O maior momento torçor T0 que pode ser aplicado à extremidade A do eixo AB; b) O ângulo de torção da extremidade A do eixo AB, correspondente a T0. Solução: - Equilíbrio estático dos dois eixos. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 45 04520 087500 0 CDC B Tin.,FM Tin.,FM .: 082 T,TCD - Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens: O deslocamento linear no encontro das engrenagens é o mesmo, assim: 'MM"MM => CCBB rr => CC B C B in., in., r r 8750 452 => CB ,82 Exercício Proposto 48 Um eixo circular de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um apoio fixo e a um disco rígido, como mostra a seção longitudinal na figura. Sabendo-se que as tensões iniciais são nulas, determinar o máximo torque T0 que pode ser aplicado ao disco. Considerar para o alumínio adm = 70 MPa e G = 27 GPa, e para o aço, adm = 120 MPa e G = 80 GPa. Resposta: To = 6,20 kN.m Exercício Proposto 49 Dois eixos de aço, maciços, são ligados pelo flange em B e engastados a apoios rígidos em A e C. Determinar, para o momento de torção indicado, a máxima tensão de cisalhamento no eixo AB e no eixo BC. Resposta: 76,0 MPa e 31,7 MPa Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 46 3.4. Projeto de Eixos de Transmissão de Potência Para a determinação do torque que atua num eixo de transmissão, utilizamos a expressão da Dinâmica que relaciona a potência (P), o torque (T) e a velocidade angular (w), ou seja: f PT 2 Onde: T = torque, no S.I. indicado em N.m. P= potencia transmitida, no S.I. indicado em watts (W). f = freqüência de trabalho, no S.I. indicado em hertz (1s-1). Exercício Proposto 50 Um eixo é constituído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de potência a uma freqüência de 20 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de cisalhamento não exceda a 60 MPa. Resposta: 5 mm. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 47 CAPÍTULO 04 FLEXÃO PURA E SIMPLES EM VIGAS As vigas são barras estruturais projetadas para resistir a esforços laterais transversais. Fig. 33. Viga. Em conseqüência do tipo de solicitação, internamente, a viga é submetida a esforços de momento fletor e força cortante. Dessa maneira, para o estudo de tensões e deformações em vigas, torna-se extremamente necessário o domínio dos procedimentos de determinação dos digramas de força cortante e momento fletor, apresentados em Mecânica dos Sólidos I Estática. Classificação de Vigas As vigas são geralmente classificadas de acordo com os seus apoios. No quadro abaixo apresentamos alguns tipos de vigas. Quadro 3. Classificação de vigas. Estaticamente Determinadas Estaticamente Indeterminadas (a) biapoiada ou simplesmente apoiada. (d) contínua. (b) biapoiada com balanço. (e) apoiada e engastada. (c) em balanço. (c) biengastada. Tipos de Flexão A flexão é classificada de acordo com dois critérios. Quadro 4. Classificação da flexão. Critério Classificação Representação Flexão Normal: quando o plano do momento coincide com um dos planos de simetria do elemento. Plano de ação do momento Flexão Oblíqua: quando o plano do momento não coincide com um dos planos de simetria do elemento. Pura: quando atua somente momento fletor (M). Simples: quando atuam simultaneamente momento fletor e força cortante (M e V). Esforço solicitante Composta: quando atuam simultaneamente momento fletor, força cortante e força axial (M, V e N). Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 48 4.1. Deformação por Flexão de uma Viga O estudo das deformações por flexão de uma viga será aqui apresentado considerando a hipótese estabelecida por Jacob Bernoulli; As seções planas de uma viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser submetida à flexão. Essa hipótese é válida e comprovada experimentalmente para o caso de flexão pura. Para o caso de flexão simples a hipótese de Bernoulli, em função da força cortante, na fase elástica apresenta erro desprezíveis e também pode ser considerada válida. Fig. 34. Deformação por flexão em vigas segundo hipótese de Bernoulli. Na figura acima ilustramos o que é dito na hipótese de Bernoulli. Assim, considerando que as seções transversais permaneceram planas após aplicação do momento M, podemos verificar que a parte inferior da viga irá se alongar e a parte superior irá se encurtar. Existirá uma região intermediária onde o comprimento L da viga permanecerá inalterado; Linha Neutra. Pela geometria apresentada na Fig. 34b o comprimento da linha neutra pode ser determinado por: .L Eq. 21. Comprimento da linha neutra. Ainda pela geometria apresentada na Fig. 34b o comprimento do arco AB localizado acima da linha neutra pode ser determinado por: ).y('L Eq. 22. Comprimento do arco acima da linha neutra. Assim, sabendo que o comprimento inicial de AB era L, a deformação sofrida pelo arco AB que está a uma distancia y acima da linha neutra é: .y.).y(L'L Eq. 23. Deformação do arco acima da linha neutra. Encontrada a deformação, podemos encontrar a deformação específica longitudinal no arco AB da viga, dividindo pelo comprimento inicial L. Dessa forma temos: y . .y L Eq. 24. Deformação do arco acima da linha neutra. Onde: = deformação específica y= distancia acima da linha neutra = raio de curvatura A equação apresentada anteriormente também é válida para regiões abaixo da linha neutra. Mas, para essa situação o valo de y será negativo, fazendo com que o valor final de seja positivo e reflita a alongamento sofrido pela viga abaixo da linha neutra. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 49 4.2. Tensões no regime elástico Lei de Hooke Como foi visto na seção anterior, durante a flexão a viga sofre deformações longitudinais. Esse tipo de deformação causa tensões normais nas seções da viga que, considerando o material homogêneo e em regime elástico, pode ser determinada por: Ey.E Eq. 25. Tensão longitudinal. Para determinarmos o valor máximo de tensão longitudinal em uma seção de uma viga, basta aplicar na equação anterior, o valor máximo atingido por y. De acordo com a figura abaixo, a tensão longitudinal máxima será a uma distancia c da linha neutra2. Fig. 35. Tensão longitudinal máxima em vigas. Ainda de acordo com a Fig. 35 a tensão longitudinalmáxima é: Ec .máx Eq. 26. Tensão longitudinal máxima. Contrapondo Eq. 26 e Eq. 25, podemos relacionar e máx por: máxc y Eq. 27. Tensão longitudinal máxima. Localização da Linha Neutra Para encontrar a posição da linha neutra podemos utilizar a equação do equilíbrio estático na direção longitudinal da viga. Assim temos: 00 dA.y c dA.y c dA. c ydA.F máxmáxmáxx Como c e máx são valores diferentes de zero, podemos deduzir que, na equação anteriormente apresentada, 0dA.y . Essa expressão, como apresentado em Mecânica dos Sólidos I, assume valor nulo quando é tomado o centróide como referencial, ou seja, a linha neutra (referencial para determinação de y) passa pelo centróide da seção. 2 Hipótese de Navier - O momento fletor produz tensões normais linearmente distribuídas sobre a seção. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 50 Relação entre o Momento fletor e a tensão longitudinal A tensão longitudinal na seção de uma viga pode ser determinada em função do momento fletor encontrado na referida seção. Fig. 36. Equilíbrio em relação ao ponto P localizado na linha neutra. Para encontrar a relação entre o momento fletor e a tensão longitudinal, aplicaremos o equilíbrio dos momentos em relação a um ponto P, localizado centróide da seção. Assim temos: dA..yMMdA..yM 0 Eq. 28. T Aplicando Eq. 27 em Eq. 28, encontramos: dA.y. c dA.. c y .yM máxmáx 2 O termo dA.y2 representa o momento de Inércia I da seção em relação a linha neutra. Assim: I c.MI c M máxmáx Eq. 29. Relação entre o Momento fletor e a tensão longitudinal Se desejarmos o valor da tensão a uma distância y da linha neutra, substituímos máx dado por Eq. 27 em Eq. 29 e encontramos: I y.M Eq. 30. Relação entre o Momento fletor e a tensão longitudinal Exercício Proposto 51 O momento fletor indicado na figura atua no plano vertical. Determinar as tensões normais nos pontos A e B sobre a seção transversal mostrada. Resposta: -94,0 MPa e -62,7 MPa. Exercício Proposto 52 Determinar as tensões normais nos pontos A e B sobre a seção transversal mostrada. Resposta: -61,1 MPa e 91,7 MPa. Resistência dos Materiais I Prof.: Bruno Ceotto / Prof.: João Sedraz 51 Exercício Proposto 53 Determine o máximo momento fletor Mx que pode ser aplicado à seção transversal do perfil de abas largas mostrado na figura. O material deste perfil tem adm = 155 MPa. Resposta: 80,3 kN.m Exercício Proposto 54 Duas forças verticais são aplicadas à viga que tem a seção transversal indicada. Determinar as tensões normais máximas de tração e compressão na viga. Resposta: +73,2 MPa; -102,4 MPa Exercício Proposto 55 Determine o máximo valor para as forças P que podem ser aplicadas a viga da figura sabendo que a mesma é construída com um material para o qual valem ( adm)C = 12 ksi e ( adm)T = 22 ksi . Resposta: 7,29 kip Exercício Proposto 56 A viga carregada como mostra a figura deverá ser construída em madeira com seção transversal retangular com h = 4b. Determinar as dimensões transversais mínimas necessárias, se para a madeira a tensão normal admissível vale 10 MPa, quer à tração quer à compressão. Resposta: b = 104 mm
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