A recorrência de François Viète no cálculo da raiz quadrada de um número

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A recorrência de François Viète no cálculo da raiz quadrada de um número
Vamos supor que queiramos calcular a raiz quadrada de um número “x” e que não tivéssemos os recursos hoje disponíveis.
François Viète, matemático francês, desenvolveu um método muito interessante para resolver este problema.
Supondo que, para calcular a raiz quadrada de um número “x”, nós “chutássemos” o resultado.
Viète partiu da premissa de que a raiz quadrada de uma número qualquer “x”, é composto pela parte que corresponde ao nosso acerto “R” e uma outra corresponde ao erro “E”, que eventualmente cometeríamos ao tentar “chutar” o valor da raiz 
Equacionando :
Equação I
 
Elevando-se ambos os lados da equação ao quadrado, teremos:
�� EMBED Equation.3 
Como queremos um “chute” o mais próximo do valor exato, então queremos um erro “E” o menor possível.
Um erro “E”, muito pequeno, implica que seu quadrado tenderá para zero.
Logo, faremos 
Substituindo “E” na Equação I , teremos:
�� EMBED Equation.3 
Observe que o efeito erro “E” foi eliminado.
Exemplo :
Calcular a raiz quadrada de 4 pelo método de recorrência de Viète.
Solução :
Primeiro vamos chutar um valor qualquer para a raiz de 4.
Por exemplo, vamos chutar que fosse 1 .
Pela eliminação do erro, através da definição de Viète, teremos:
 ( utilizando-se este resultado como recorrência )
 
Se fizermos novas recorrências, encontraremos resultados cada vez mais próximos de 2 ( que é a raiz quadrada de 4 ).
Fonte de referência : Portal Prandiano
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