Problemas Matemáticos Variados

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2x + y + 7z &= 6 
 \end{align*} 
 \] 
 Resposta: A solução aproximada é x ≈ 1.000, y ≈ -2.000, z ≈ 1.000. 
 
15. Problema: Utilize o método da diferenciação automática para calcular a derivada da 
função f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 1 em x = 2. 
 Resposta: A derivada aproximada é f'(2) ≈ 20. 
 
16. Problema: Calcule a solução numérica da equação diferencial y'' + y = 0 no intervalo 
[0, π] com condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 usando o método de Euler modificado com 
passo h = 0.1. 
 Resposta: A solução aproximada em π é y(π) ≈ -0.449. 
 
17. Problema: Aplique o método de Neville para encontrar o valor interpolado de f(2.5), 
dado os pontos (2, 4), (3, 9), e (4, 16). 
 Resposta: O valor interpolado é aproximadamente f(2.5) ≈ 6.25. 
 
18. Problema: Utilize o método da decomposição de Cholesky para encontrar a matriz 
triangular inferior L da matriz: 
 \[ 
 A = \begin{bmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix} 
 \] 
 Resposta: A matriz L é aproxim 
 
adamente: 
 \[ 
 L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{bmatrix} 
 \] 
 
19. Problema: Calcule a integral definida de 0 a 1 da função f(x) = 1/(1 + x^2) usando o 
método de Gauss-Legendre com 3 pontos. 
 Resposta: A integral definida é aproximadamente 0.785.