2018 1 EP 05 IEM Gabarito

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Informa´tica no Ensino da Matema´tica EP/05 1
Informa´tica no Ensino da Matema´tica
EP/05 — 27/02/2018
ATIVIDADE 2
Seja ΔABC um triaˆngulo qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente,
triaˆngulos equila´teros ΔPAB e ΔRCA “para fora” do triaˆngulo ΔABC. Sobre o lado BC,
construa o triaˆngulo equila´tero ΔQCB “para dentro” do triaˆngulo ΔABC. Por fim, trace
os segmentos PQ e QR.
B C
A
Q
P
R
Implemente essa construc¸a˜o no GeoGebra 5.x e, enta˜o, salve-a com o nome “invariante.ggb”.
Anexe este arquivo em uma mensagem no fo´rum da plataforma de nome “AE-01 do EP-
05: Invariante Geome´trico”. Quais sa˜o os pontos livres da construc¸a˜o? Identifique um
invariante geome´trico para o quadrila´tero PQRA e demonstre-o!
(a) Os pontos livres sa˜o A, B e C. Todos os demais pontos sa˜o fixos. Na˜o existem pontos
semilivres.
(b) Um invariante geome´trico e´ uma propriedade geome´trica (concorreˆncia, colinearidade,
comprimento, medida de aˆngulo, etc) que permanece constante (invariante!) para qual-
quer configurac¸a˜o satisfazendo certas propriedades pre´-estabelecidas. Como a propri-
edade geome´trica do quadrila´tero APQR ser um paralelogramo ocorre para qualquer
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escolha dos pontos livres A, B e C, podemos considerar a afirmac¸a˜o “o quadrila´tero
APQR e´ um paralelogramo” como um invariante geome´trico para a construc¸a˜o.
(c) Vamos dividir a demonstrac¸a˜o em treˆs passos.
1. Os triaˆngulos ΔABC e ΔPBQ sa˜o congruentes. De fato: m(BC) = m(BQ), pois
o triaˆngulo ΔQBC e´ equila´tero. Ocorre tambe´m que m(AB) = m(PB), pois o
triaˆngulo ΔPBA e´ equila´tero. Agora m(∠QBP ) = 60◦−m(∠ABQ) = m(∠CBA).
Pelo crite´rio LAL, os triaˆngulos ΔABC e ΔPBQ sa˜o congruentes.
2. Os triaˆngulos ΔABC e ΔRQC sa˜o congruentes. De fato: m(BC) = m(QC), pois
o triaˆngulo ΔQBC e´ equila´tero. Ocorre tambe´m que m(AC) = m(RC), pois o
triaˆngulo ΔRAC e´ equila´tero. Agora m(∠RCQ) = 60◦−m(∠QCA) = m(∠ACB).
Pelo crite´rio LAL, os triaˆngulos ΔABC e ΔRQC sa˜o congruentes.
3. Como ΔPBQ e´ congruente a ΔABC e ΔABC e´ congruente a ΔRQC, segue-se que
ΔPBQ e´ congruente a ΔRQC. Portanto, m(PB) = m(QR) e m(PQ) = m(RC).
Mas os triaˆngulos ΔPBA e ΔRAC sa˜o equila´teros, logo m(PA) = m(PB) e
m(AR) = m(RC). Conclu´ımos assim que m(PA) = m(QR) e m(PQ) = m(AR).
Portanto, o quadrila´tero APQR e´ um paralelogramo.
ATIVIDADE 3
Estude os tutoriais do GeoGebra 5.x de nu´meros 17 a 21 dispon´ıveis no seguinte enderec¸o
(escolha a opc¸a˜o “VI´DEOS TUTORIAIS” no menu principal):
http://www.uff.br/geogebra/.
Nestes tutoriais, voceˆ aprendera´ a definir e usar macros com o GeoGebra 5.x. Atenc¸a˜o: re-
comendamos que, ale´m de assistir aos tutoriais, voceˆ tente, concomitantemente,
reproduzir as instruc¸o˜es apresentadas! Afinal, uma coisa e´ ver, outra e´ fazer.
Implemente a construc¸a˜o descrita no tutorial 21 e, enta˜o, salve-a com o nome “tutorial-
21.ggb”. Anexe este arquivo em uma mensagem na atividade da plataforma de nome
“AE-01 do EP-05: Construc¸o˜es do Tutorial 21”. Prazo de entrega dessa atividade:
09/03/2018.
ATIVIDADE 4
(O teorema de Napolea˜o) O tutorial 21 ilustra a construc¸a˜o do teorema de Napolea˜o:
o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o os baricentros dos triaˆngulos equila´teros constru´ıdos “para
fora” sobre cada um dos treˆs lados de um triaˆngulo qualquer e´ sempre equila´tero. O que
aconteceria se os triaˆngulos equila´teros fossem constru´ıdos “para dentro” ao inve´s de “para
fora” do triaˆngulo inicial? E se apenas um triaˆngulo equila´tero fosse constru´ıdo “para
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dentro” e os demais fossem “para fora”? A tese permaneceria a mesma do teorema de
Napolea˜o? Experimente no programa!
Soluc¸a˜o. Se todos os treˆs triaˆngulos equila´teros fossem constru´ıdos “para dentro”, a tese
seria a mesma, isto e´, o triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o os baricentros dos triaˆngulos equila´teros
constru´ıdos “para dentro” sobre cada um dos treˆs lados de um triaˆngulo qualquer e´ sempre
equila´tero. Este resultado deixa de valer se um triaˆngulo equila´tero e´ constru´ıdo “para
dentro” e outro para fora.
Aqui esta´ uma prova do Teorema de Napolea˜o usando nu´meros complexos. Considere o
triaˆngulo ΔABC no plano complexo de forma que o ve´rtice A esteja na origem e B em 1.
Defina z como o nu´mero complexo associado ao ve´rtice C (veja a figura a seguir). Como P
e´ obtido a partir da rotac¸a˜o de π/3 no sentido anti-hora´rio do ve´rtice A em torno de B,
podemos escrever
P = (A− B)eπ3 i + B = 1− eπ3 i.
Analogamente, temos que
Q = (B − C)eπ3 i + C = (1− z)eπ3 i + z e R = (C − A)eπ3 i + A = z eπ3 i.
Desta maneira, conclu´ımos que as coordenadas de X, Y e Z sa˜o dadas por
X =
A + B + P
3
=
2− eπ3 i
3
,
Y =
B + C + Q
3
=
(2− eπ3 i) z + 1 + eπ3 i
3
e
Z =
C + A + R
3
=
(1 + e
π
3
i) z
3
.
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Queremos mostrar que o triaˆngulo de Napolea˜o ΔXY Z e´ equila´tero. Para isso, basta
verificarmos que Y e´ a rotac¸a˜o de π/3 de X em torno de Z:
Y = (X − Z) eπ3 i + Z.
Em termos da varia´vel z, devemos enta˜o verificar que
1 + z + (1− z) eπ3 i + z
3
=
(
2− eπ3 i
3
− z + z e
π
3
i
3
)
e
π
3
i +
z + z e
π
3
i
3
ou ainda, que (
1− eπ3 i + e 2 π3 i
)
z +
(
1− eπ3 i + e 2 π3 i
)
= 0.
Mas isto segue imediatamente da identidade 1 − eπ3 i + e 2 π3 i = 0.
ATIVIDADE 5
Crie uma macro no GeoGebra 5.x que desenha um quadrado e seu baricentro dados dois
ve´rtices que determinam um de seus lados. Salve esta macro em um arquivo em disco para
uso futuro.
ATIVIDADE 6
Verdadeiro ou falso? O quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜o os baricentros dos quadrados cons-
tru´ıdos “para fora” sobre cada um dos quatro lados de um quadrila´tero qualquer e´ sempre
um quadrado. Apresente uma prova se o resultado for verdadeiro ou um contraexemplo se
ele for falso! Dica: implemente esta construc¸a˜o no GeoGebra 5.x!
Soluc¸a˜o. A sentenc¸a e´ falsa! Voceˆ encontrara´ um contraexemplo facilmente se voceˆ fizer
a construc¸a˜o no GeoGebra 5.x. A figura abaixo, por exemplo, e´ um contraexemplo.
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ATIVIDADE 7
Verdadeiro ou falso? Construa dois quadrados ABCD e AB′C ′D′ que compartilham o ve´rtice
A em comum, conforme a figura a seguir. Em seguida, marque os pontos me´dios Q, R, S e
T dos segmentos BD′, AC, DB′ e AC ′, respectivamente. O quadrila´tero QRST e´ sempre
um quadrado independentemente dos quadrados ABCD e AB′C ′D′.
A
B
C
D
Q
R
S
T
B
C
D
Dica: implemente esta construc¸a˜o no GeoGebra 5.x! Envie o arquivo da construc¸a˜o e
registre sua resposta em uma mensagem na atividade da plataforma de nome “AE-02 do
EP-05: Verdadeiro ou Falso?”. Prazo de entrega dessa atividade: 09/03/2018.
Soluc¸a˜o. A sentenc¸a e´ verdadeira e ela e´ conhecida como o Teorema de Finsler-Hadwiger!
Para uma demonstrac¸a˜o, construa um ponto E de tal modo que AD′EB seja um parale-
logramo. Do mesmo modo, construa um ponto F tal que DFB′A seja um paralelogramo.
Estes dois paralelogramos sa˜o congruentes (por queˆ?).
E
F
A
B
C
D
Q
R
S
T
B
C
D
Observe que o ponto Q e´ centro (isto e´, intersec¸a˜o das diagonais) do paralelogramo AD′EB.
Do mesmo modo, o ponto S e´ centro (isto e´, intersec¸a˜o das diagonais) do paralelogramo
DFB′A. Uma rotac¸a˜o de 90◦ no sentido hora´rio em torno de R leva AD′EB em DFB′A
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(porque os aˆngulos ∠ARB e ∠DRA sa˜o retos e os paralelogramos AD′EB e DFB′A sa˜o
congruentes). e o segmento RQ em RS. Analogamente, uma rotac¸a˜o de 90◦ no sentido
anti-hora´rio em torno de T mostra que QT e TS possuem o mesmo comprimento e sa˜o
perpendiculares. Segue-se enta˜o que o quadrila´tero QRST e´ um quadrado.
ATIVIDADE 8
Construa um triaˆngulo ABC de ve´rtices A, B e C. Sobre os lados AB, BC e AC, construa,
respectivamente, os quadrados AXY B, BUV C e CRSA para fora do triaˆngulo ABC. Em
seguida, construa os segmentos SX , Y U e V R e os seus pontos me´dios N , O e M , como
mostra a figura a seguir. Por fim, construa o triaˆngulo MNO.
A
B C
R
S
X
Y
U V
M
O
N
O triaˆngulo MNO e´ sempre um triaˆngulo equila´tero? Implemente a construc¸a˜o no GeoGe-
bra 5.x e estude o problema! Envie o arquivo da construc¸a˜o e registre sua resposta em uma
mensagem na atividade da plataforma de nome “AE-03 do EP-05: Verdadeiro ou Falso?”.
Prazo de entrega dessa atividade: 09/03/2018.
Soluc¸a˜o. O triaˆngulo MNO nem sempre e´ equila´tero. Se, por exemplo, A = (0, 1), B =
(0, 0) e C = (1, 0), e´ poss´ıvel mostrar que NO = MO =
√
17
2
enquanto que MN = 3
√
2
2
.
ATIVIDADE 9
(O teorema de The´bault) Verdadeiro ou falso? O quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜o os ba-
ricentros dos quadrados constru´ıdos “para fora” sobre cada um dos quatro lados de um
paralelogramo qualquer e´ sempre um quadrado. Apresente uma prova se o resultado for
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verdadeiro ou um contraexemplo se ele for falso! Dica: implemente esta construc¸a˜o no Ge-
oGebra 5.x!
Soluc¸a˜o. Os triaˆngulos ΔAEH , ΔBEF , ΔCGF e ΔDGH sa˜o congruentes e, assim, o qua-
drila´tero EFGH e´ um losango. Mas ∠DHG ≡ ∠AHE, logo m(∠GHE) = m(∠DHA) =
90◦. Isto mostra que EFGH e´ um quadrado.
A
O
E
F
G
H
B
C
D
ATIVIDADE 10
(O teorema de van Aubel) Considere um quadrila´tero qualquer de ve´rtices A, B, C e D.
Sobre cada um dos lados deste quadrila´tero, desenhe um quadrado “para fora”. Em seguida,
marque os baricentros X, Y , Z e W , conforme indicado na figura a seguir. Implemente esta
construc¸a˜o no GeoGebra 5.x, tente levantar conjecturas sobre seus invariantes geome´tricos
movendo os pontos livres A, B, C, D. Opcional: tente demonstrar sua conjectura!
A B
C
D
W
Z
Y
X
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Soluc¸a˜o. Um invariante geome´trico e´ o seguinte: a reta que conte´m o segmento XZ e´
sempre perpendicular a` reta que conte´m o segmento WY . Daremos uma demonstrac¸a˜o
desta propriedade usando-se vetores. Sem perda de generalidade, podemos considerar um
sistema de eixos onde os pontos A, B, C e D possuem coordenadas A = (0, 0), B = (2, 0),
C = (2 a, 2 b) e D = (2 c, 2 d).
A B
C
D
W
Z
Y
X
P
Q
R
S
Figura 1: Demonstrac¸a˜o do teorema de van Aubel usando-se vetores.
Para calcular as coordenadas dos pontos P , Q, R e S, basta usar a fo´rmula para as coorde-
nadas do ponto me´dio de um segmento. Sendo assim,
P =
(
0 + 2
2
,
0 + 0
2
)
= (1, 0), Q =
(
2 + 2 a
2
,
0 + 2 b
2
)
= (a + 1, b),
R =
(
2 a + 2 c
2
,
2 b + 2 d
2
)
= (a + c, b + d) e S =
(
0 + 2 c
2
,
0 + 2 d
2
)
= (c, d).
Consequentemente,
−→
AS = (c, d)−(0, 0) = (c, d), −−→DR = (a+c, b+d)−(2 c, 2 d) = (a−c, b−d),−→
CQ = (a + 1, b) − (2 a, 2 b) = (1 − a,−b) e −−→BP = (1, 0) − (2, 0) = (−1, 0). Para obter as
coordenadas dos vetores
−−→
SW ,
−→
RZ,
−−→
QY e
−−→
PX , vamos usar a seguinte propriedade importante,
se −→u = (a, b) e´ um vetor na˜o-nulo, enta˜o −→v = (−b, a) e´ um vetor ortogonal a −→u e de mesmo
tamanho. Mais precisamente, −→v = (−b, a) e´ o vetor obtido pela rotac¸a˜o de 90◦ no sentido
anti-hora´rio do vetor −→u = (a, b). Sendo assim, −−→SW = (−d, c), −→RZ = (d − b, a − c),−−→
QY = (b, 1 − a) e −−→PX = (0,−1). Note que −−→AX = −→AP + −−→PX = (1, 0) + (0,−1) = (1,−1).
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Analogamente,
−→
AY =
−→
AQ +
−−→
QY = (a + 1, b) + (b, 1− a) = (a + b + 1, b− a + 1),
−→
AZ =
−→
AR +
−→
RZ = (a + c, b + d) + (d− b, a− c) = (a− b + c + d, a + b− c + d) e
−−→
AW =
−→
AS +
−−→
SW = (c, d) + (−d, c) = (c− d, c + d).
Consequentemente, X = (1,−1), Y = (a+ b+1, b− a+1), Z = (a− b+ c+ d, a+ b− c+ d)
e W = (c− d, c + d). Temos que
−−→
XZ =
−→
AZ −−→AY = (+a− b + c + d− 1︸ ︷︷ ︸
α
, +a + b− c + d + 1︸ ︷︷ ︸
β
) = (α, β)
e
−−→
WY =
−→
AY −−−→AW = (+a + b− c + d + 1︸ ︷︷ ︸
β
,−a + b− c− d + 1︸ ︷︷ ︸
−α
) = (β,−α).
Consequentemente, 〈 −−→XZ,−−→WY 〉 = 〈(α, β), (β,−α)〉 = α ∙β−α ∙β = 0 e, portanto, podemos
concluir que vetores
−−→
XZ e
−−→
WY sa˜o sempre perpendiculares.
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