GEOMETRIA ANALÍTICA

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GEOMETRIA 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
https://youtu.be/js8dMb6xjio 
 
 
 
https://youtu.be/ZdD_sCX5wzA 
 
1. (EEAR) Sejam A( 3, 3), B(3, 1), C(5, 3)− − e D( 1, 2)− − vértices de um quadrilátero convexo. A medida de 
uma de suas diagonais é 
 15 
 13 
 12 
 10 
 
2. (ENEM) Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com 
foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato 
e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se 
encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangên-
cia. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a am-
bos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match. 
O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter 
um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. 
O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por 
I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são com-
patíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km 
e 5 km. 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um 
match com os usuários Q, R e S, simultaneamente? 
 I 
 II 
 III 
 IV 
 V 
 
3. (UPE-SSA) Qual é a medida da área e do perímetro do losango cujos vértices são A(2, 3); B(1, 0); C(0, 3) 
e D(1, 6)? 
Utilize 10 3,2 
 Área 6= e perímetro 12,8= 
 Área 6= e perímetro 10,4= 
 Área 12= e perímetro 22,3= 
 Área 12= e perímetro 25,9= 
 Área 18= e perímetro 27,1= 
 
4. (G1 - CPS) Um especialista, ao fazer um levantamento hidrográfico de uma região marítima, represen-
tou no plano cartesiano os dados obtidos. Ao terminar a sua tarefa observou que, em particular, as ilhas 
A, B e C formavam um triângulo conforme a figura. 
 
Sabendo que as coordenadas dos pontos que representam as ilhas são A(2; 3), B(18; 15) e C(18; 3), pode-
se concluir que a tangente do ângulo BAC é 
 
3
.
5
 
 
3
.
4
 
 
4
.
5
 
 
5
.
4
 
 
4
.
3
 
 
 
 
5. (G1 - EPCAR (CPCAR) ) As ideias de rotação e de simetria de seres/objetos não são um privilégio 
da Matemática, muito embora a noção de beleza, estreitamente ligada à Arte e à Natureza, também não 
esteja isenta de uma noção matemática. 
O “Homem Vitruviano” guarda em si essas noções. 
 
Para a Matemática, as ideias de rotação e de simetria de polígonos podem auxiliar nos cálculos de dis-
tâncias. 
Considere o triângulo equilátero ABC representado no plano cartesiano a seguir. 
 
O triângulo A 'B 'C ' será o triângulo ABC rotacionado nesse mesmo plano de um ângulo de 45 em 
torno da intersecção de AB com o eixo das abscissas, no sentido horário. 
As coordenadas cartesianas do vértice C ' do triângulo A 'B 'C ' serão 
 
 (0, 2 6 )− 
 (0, 2 6 ) 
 (1, 4 6 ) 
 (1, 2 6 ) 
 
6. (EEAR) O triângulo ABC formado pelos pontos A (7, 3), B ( 4, 3)− e C ( 4, 2)− − é 
 escaleno 
 isósceles 
 equiângulo 
 obtusângulo 
 
7. (EEAR) Seja ABC um triângulo tal que A(1, 1), B(3, 1)− e C(5, 3). O ponto _____ é o baricentro desse 
triângulo. 
 (2, 1). 
 (3, 3). 
 (1, 3). 
 (3, 1). 
 
 
 
8. (G1 - IFPE) O Candy Crush é um dos jogos que virou 
febre nos últimos anos. Um joguinho no qual você precisa 
combinar doces simples e doces especiais que se encon-
tram numa espécie de plano cartesiano. Há, na imagem 
abaixo, dois doces especiais: uma bomba colorida, que se 
encontra no ponto (8, 8); e uma rosquinha de coco, que se 
encontra no ponto (9, 2). Tomou-se como referencial o plano 
cartesiano indicado na imagem. Baseados nessas informa-
ções, podemos afirmar que a distância entre a bomba colo-
rida e a rosquinha de coco, no plano cartesiano abaixo, é 
 
 27. 
 35. 
 7. 
 37. 
 7 
 
9. (ENEM) Foi utilizado o plano cartesiano para a representação de um pavimento de lojas. A loja A está 
localizada no ponto A(1; 2). No ponto médio entre a loja A e a loja B está o sanitário S, localizado no 
ponto S(5; 10). 
Determine as coordenadas do ponto de localização da loja B. 
( 3; 6)− −
( 6; 3)− −
(3; 6)
(9; 18)
(18; 9)
 
10. (PUC RJ) Assinale o valor da área do quadrado de vértices ( 2, 9),− (4, 6), (1, 0) e ( 5, 3).− 
 20 
 25 
 45 
 45 
 60 
 
11. (UPF) Na figura a seguir, está representado, num referencial xy, um triângulo AOB. 
 
Sabe-se que: 
 
1. a semirreta AO é a bissetriz do 2º quadrante; 
2. a semirreta OB é a bissetriz do 1º quadrante; 
3. a ordenada do ponto B excede em 3 unidades a ordenada do 
ponto A; 
4. a área do triângulo AOB é igual a 10. 
 
As coordenadas dos pontos A e B são: 
 
1 1
A ,
2 2
 
− 
 
 e 
7 7
B ,
2 2
 
 
 
 
 A( 1, 1)− e B(4, 4) 
 A( 2, 2)− e B(5, 5) 
 A( 3, 3)− e B(6, 6) 
 A( 4, 4)− e B(7, 7) 
 
 
 
12. (ENEM PPL) Observou-se que todas as formigas de um formigueiro trabalham de maneira ordeira e 
organizada. Foi feito um experimento com duas formigas e os resultados obtidos foram esboçados em 
um plano cartesiano no qual os eixos estão graduados em quilômetros. As duas formigas partiram jun-
tas do ponto O, origem do plano cartesiana xOy. Uma delas caminhou horizontalmente para o lado di-
reito, a uma velocidade de 4 km h. A outra caminhou verticalmente para cima, à velocidade de 3 km h. 
 
Após 2 horas de movimento, quais as coordenadas cartesianas das posições de cada formiga? 
 (8; 0) e (0; 6). 
 (4; 0) e (0; 6). 
 (4; 0) e (0; 3). 
 (0; 8) e (6; 0). 
 (0; 4) e (3; 0). 
 
 
Resposta da questão 1: [D] 
Supondo que o quadrilátero convexo seja o quadrilátero ABCD, as diagonais são AC e BD. 
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
AC 5 3 3 3
AC 10
BD 1 3 2 1
BD 5
= − − − + − −
=
= − − + − −
=
 
Assim, uma das medidas de suas diagonais é 10. 
 
Resposta da questão 2: [A] 
 
Tem-se que Q (3, 7),= R (6, 7),= S (5, 3),= I (5, 6),= II (4, 5),= III (5, 5),= IV (4, 6)= e V (3, 4).= 
Logo, como Pr 3km,= Qr 3km,= Rr 2km= e Sr 5 km= são os raios de abrangência, temos 
 
d(II, R) 2 2 km 2 km,
d(III, R) 5 km 2 km,
d(IV, R) 5 km 2 km
= 
= 
= 
 
e 
d(V, R) 3 2 km 2km,=  
 
o que implica na escolha do bar I. 
Com efeito, pois d(I, R) 2 km,= d(I, Q) 5 km= e d(I, S) 3km,= ou seja, todos em match simultaneamente 
com P. 
Observação: d(M, N) denota a distância entre os pontos M MM (x , y )= e N NN (x , y ),= de tal sorte que 
2 2
M N M Nd(M, N) (x x ) (y y ) .= − + − 
 
Resposta da questão 3: [A] 
A área é dada por 
A C D B
1 1
(x x ) (y y ) 2 6 6.
2 2
 −  − =   = 
Por outro lado, como 
2 2
d(B, C) 1 3 10 3,2,= + =  
segue que o perímetro mede 4 3,2 12,8.  
 
 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Calculando: 
AC 18 2 16
BC 15 3 12
12 3
tg BAC
16 4
= − =
= − =
= =
 
 
Resposta da questão 5: ANULADA 
Questão anulada no gabarito oficial. 
As coordenadas dos pontos seriam: 
( )
( )
( )
A 3,2
B 1, 2
C 2,3
− −
−
 
Calculando as distâncias entre os pontos (lados do triângulo) percebe-se que, diferentemente do 
descrito no enunciado da questão, o triângulo não é equilátero, mas sim isósceles: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
AB
2 2
BC
2 2
AC
d 3 ( 1) 2 ( 2) 4 2
d 1 ( 2) 2 3) 26
d 3 ( 2) 2 3 26
= − − + − − =
= − − − + − − =
= − − + − =
 
Rotacionando: 
 
 
 
Para encontrar a altura EC, temos que calcular a altura do triângulo isósceles, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
22
22 2 2 2AB 4 2
AC EC 26EC 26 8 EC
2 2
EC 18 3 2 C 1,3 2 não há alternativa correta
  
= +  = +  = +    
   
= =  
 
Caso o triângulo fosse realmente equilátero, ter-se-ia: 
( ) ( )
( )
2 2
ABLado do triângulo equilátero d 3 ( 1) 2 ( 2) 4 2
3 4 2 3
Alturadotriânguloequilátero h 2 6 C 1,2 6
2 2
= = = − − + − − =

= = = = 
l
l
 
 
 
 
 
Resposta da questão 6: [A] 
Calculando os quadrados das medidas dos lados do triângulo ABC, encontramos 
 
2 2 2
d (A, B) ( 4 7) (3 3) 121,= − − + − = 
 
2 2 2
d (A, C) ( 4 7) ( 2 3) 146= − − + − − = 
e 
2 2 2
d (B, C) ( 4 4) ( 2 3) 25= − + + − − = 
Portanto, sendo 
2 2 2
d (A, C) d (A, B) d (B, C),= + 
podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo escaleno. 
 
Resposta da questão 7: [D] 
 
Sabendo que as coordenadas do baricentro correspondem à média aritmética simples das coor-
denadas dos vértices do triângulo, vem 
1 3 5 1 1 3
, (3, 1).
3 3
+ + − + 
= 
 
 
Resposta da questão 8: [D] 
 
Utilizando as coordenadas e sabendo que a fórmula da distância entre dois pontos é dada por: 
= − + −  = − + − = + − =
2 2 2 2 2
2 1 2 1D (x x ) (y y ) D (9 8) (2 8) 1 ( 6) 37 
 
Resposta da questão 9: [D] 
 
Tem-se que 
 
BB B
B
x 91 x 2 y
, (5, 10)
y 182 2
=+ + 
=    
=  
 
 
Portanto, podemos concluir que B (9, 18).= 
 
Resposta da questão 10: [D] 
Do enunciado, temos: 
 
Assim, a área do quadrado acima é dada por: 
( ) ( )
2
ABCD C,D
2 2
ABCD
ABCD
ABCD
A d
A 4 1 6 0
A 9 36
A 45
=
= − + −
= +
=
 
 
 
 
 
Resposta da questão 11: [C] 
Calculando: 
 
𝑆 =
(𝑥√2) ⋅ ((𝑥 + 3) ⋅ √2)
2
= 10 ⇒ 𝑥√2 ⋅ (𝑥√2 + 3√2) = 20 ⇒ 2𝑥2 + 6𝑥 − 20 = 0 
2𝑥2 + 6𝑥 − 20 = 0 ⇒ 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 ⇒ ⟨
𝑥′ = −5 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)
𝑥′′ = 2
 
𝐴 = (−𝑥,  𝑥) = (−2,  2) 
𝐵 = ((𝑥 + 3), (𝑥 + 3)) = (5,  5) 
 
Resposta da questão 12: [A] 
Após 2 horas, a formiga que caminhou horizontalmente para o lado direito caminhou 8 km (ve-
locidade de 4 km h). Assim sua coordenada será (8; 0). 
Após 2 horas, a formiga que caminhou verticalmente para cima caminhou 6 km (velocidade de 
3 km h). Assim sua coordenada será (0; 6). 
 
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