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www.profafguimaraes.net 1 l +q Prof. A.F.Guimarães Física 3 – Questões 2 Questão 1 Um elétron se desloca entre duas placas carregadas, onde existe um campo elétrico uniforme E. Num certo instante, os componentes do vetor velocidade do elétron são dados por: ݒ௫ ൌ ʹǡͲ ൈ ͳͲ�݉ ή ݏିଵ e ݒ௬ ൌ ͳǡͷ ൈ ͳͲଷ�݉ ή ݏିଵ. O campo elétrico entre as placas é dado por: ܧ ൌ ݆ሺͳǡͷ ൈ ͳͲସ�ܰ ή ܥିଵሻ. (a) Calcule a aceleração do elétron. (b) A partir do instante mencionado, o elétron se desloca para um outro ponto a uma distância ݔ ൌ ʹǡͲ�ܿ݉ do ponto original; ache a velocidade do elétron neste ponto. Resolução: a) A aceleração será dada por: ܽ ൌ െ݆ ൬ ݁݉ ή ܧ൰ ܽ ൌ െ݆ ቆ ͳǡ ή ͳͲିଵଽͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͳǡͷ ή ͳͲସቇ ܽ ൌ െ݆ሺʹǡ͵ ή ͳͲଵହ݉ ή ݏିଶሻ (1-1) b) Na direção do eixo x, o elétron, ao percorrer os 2 cm, levará um intervalo de tempo dado por: οݐ ൌ ݔݒ௫ ൌ ʹ ή ͳͲିଶʹ ή ͳͲ ൌ ͳͲିݏ (1-2) Utilizando os resultados de (1-1) e (1-2), teremos: ݒ௬ ൌ ͳǡͷ ή ͳͲଷ ͳͲି଼ ή ʹǡ͵ ή ͳͲଵହ ݒ௬ ൌ ʹǡ͵ ή ͳͲ�݉ ή ݏିଵ (1-3) Questão 2 Estabelece-se um campo uniforme, vertical, E, no espaço existente entre duas placas paralelas. Suspende-se, nesse campo, uma pequena esfera condutora de massa m, presa a um cordel de comprimento l. Determine o período deste pêndulo, quando a esfera está carregada com uma carga +q, se a placa inferior estiver positiva- mente carregada; repetir o cálculo para a placa inferior carregada negativamente. Resolução: Considere a figura abaixo, como uma representação do problema em questão. figura 2-1 O período de um pêndulo é dado pela seguinte relação: ܶ ൌ ʹߨ ൬ ݈݃ ൰ଵଶ (2-1) Para a placa inferior com carga positiva, teremos um campo elétrico orientado para cima, de tal forma que a esfera será submetida a uma aceleração adicional também para cima, conforme a relação: ܽ ൌ ݍ݉ܧ (2-2) Logo, para a esfera, a gravidade terá seu valor reduzido de: ݃ᇱ ൌ ݃ െ ܽ (2-3) Assim, tomando (2-1), (2-2) e (2-3), teremos: ܶᇱ ൌ ʹߨ ቌ ݈݃ െ ݍ݉ܧቍ ଵଶ (2-4) www.profafguimaraes.net 2 +q +Q - Q a a a +q +Q - Q a a a ܨԦଵ ࡲሬሬԦ ܨԦோ Ͳι Ͳ° ݍଵ ݍଶ ܲ ݀ ݔ ݍଵ ݍଶ ܲ ݀ ݔ ܧሬԦଵ ܧሬԦଶ Em (2-4), ݃ ா . Se a placa inferior estiver carregada negativamente, para a esfera a gravidade tem seu valor aumentado de: ݃ᇱᇱ ൌ ݃ ܽ (2-5) Logo, utilizando (2-1), (2-2) e (2-5), teremos para o período: ܶᇱᇱ ൌ ʹߨቌ ݈݃ ݍ݉ܧቍ ଵଶ (2-6) Questão 3 Três cargas estão dispostas nos vértices de um triângulo conforme mostra a figura. Qual é a direção e o sentido da força que age sobre a carga +q? Resolução: As forças F1 e F2, são dadas por: ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ͳͶߨ߳ ή ȁܳȁȁݍȁܽଶ (3-1) Pela simetria do nosso problema, observamos que o triângulo formado pelos vetores também será equilátero. Logo: ܨோ ൌ ܨଵ ൌ ܨଶ (3-2) Questão 4 Duas partículas carregadas estão separadas por uma distância d, conforme indicado na figura abaixo. Considere um eixo Ox com origem O no ponto onde se encontra a carga q1. Determine o ponto (ou os pontos) do eixo 0x para os quais o módulo do campo elétrico assume um valor máximo. Exclua os pontos x = 0 e x = d. Resolução: No ponto P o campo elétrico resultante é dado por: ܧሬԦோ ൌ ܧሬԦଵ ܧሬԦଶ (4-1) Em módulo: ܧோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଵݔଶ ݍଶሺݔ െ ݀ሻଶ൨ (4-2) www.profafguimaraes.net 3 y q q d d y ܧሬԦ ܧሬԦ x 0 Ƚ Ƚ ܧሬԦ௬ r r Agora tomando a derivada da expressão dada por (4-2), com relação a variável x, teremos: ݀ܧோ݀ݔ ൌ െͳʹߨ߳ ݍଵݔଷ ݍଶሺݔ െ ݀ሻଷ൨ (4-3) Para obtermos o valor máximo para o campo elétrico resultante, toma-se o valor nulo para a expressão dada por (4-3). Assim, teremos: ݀ܧோ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ݍଵݔଷ ൌ െݍଶሺݔ െ ݀ሻଷ� ሺݔ െ ݀ሻඥݍଵయ ൌ െݔඥݍଶయ � ݔ ൌ ݀ඥݍଵయඥݍଵయ ඥݍଶయ (4-4) Questão 5 Considere duas cargas iguais e de mesmo sinal separadas por uma distância 2d. Um sistema de coordenadas 0xy possui origem em 0 no centro da distância entre as cargas; o eixo 0x é a reta que une as duas cargas e o eixo 0y é ortogonal a esta reta. (a) Determine os pontos ao longo do eixo 0y para os quais o campo elétrico assume seu valor máximo. (b) Determine o módulo do campo elétrico máximo. Resolução: figura 5-1 Da figura 5-1 podemos observar que o campo elétrico resultante só possui componente vertical, isto é, na direção 0y. Assim, teremos: ܧோ ൌ ʹܧ௬ (5-1) Em que ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݎଶ ή ݏ݁݊�ߙ (5-2) Da figura 5-1 temos: ݏ݁݊�ߙ ൌ ݕݎ Ǣ ��ݎ ൌ ඥ݀ଶ ݕଶ (5-3) Agora, utilizando (5-2) e (5-3) em (5-1), teremos: ܧோ ൌ ݍʹߨ߳ ή ݕሺݕଶ ݀ଶሻଷ ଶൗ (5-4) Agora, de forma semelhante ao que foi feito em (4-4), teremos: ݀ܧோ݀ݕ ൌ ݍʹߨ߳ ሺݕଶ ݀ଶሻଷଶ െ ͵ݕଶሺݕଶ ݀ଶሻଵଶሺݕଶ ݀ଶሻଷ � ݀ܧோ݀ݕ ൌ Ͳ ֜ ሺݕଶ ݀ଶሻଷଶ െ ͵ݕଶሺݕଶ ݀ଶሻଵଶ ൌ Ͳ� ݕଶ ݀ଶ ൌ ͵ݕଶ � ݕ ൌ േ݀ξʹʹ (5-5) Agora, substituindo o resultado de (5-5) em (5-4), teremos: ܧோೣ ൌ ݍʹߨ߳ ή ݀ξʹ ʹൗ൬݀ଶʹ ݀ଶ൰ଷଶ�� ܧோೣ ൌ ͳͶߨ߳ ή Ͷݍ݀ଶξʹ (5-6) Tanto no sentido positivo como no sentido negativo de 0y. Questão 6 Na figura a seguir, suponha que ambas as cargas sejam positivas. (a) Supondo também ݎ ب ܽ, demonstrar que ܧ, no ponto P, é dado por: www.profafguimaraes.net 4 q q r a a Ʌ Ʌ ܧሬԦ ܧሬԦ ܧሬԦ௫ + + + - - - R P + + + R ݀ߠ ߠ ࢊࡱ࢟ ݀ܧ ݀ݍ ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ʹݍݎଶ (b) Qual a direção e o sentido de E? (c) É razoável que E varie, neste caso, proporcionalmente a ݎିଶ, enquanto que para o dipolo para essa mesma figura, varia proporcionalmente a ݎିଷ? Resolução: O campo elétrico resultante é semelhante aquele dado pela expressão (5-4). Logo, teremos: ܧோ ൌ ݍʹߨ߳ ή ݎሺݎଶ ܽଶሻଷଶ (6-1) A expressão (6-1) pode se escrita da seguinte forma: ܧோ ൌ ͳʹߨ߳ ή ݍݎଶ ή ቆͳ ܽଶݎଶቇିଷଶ (6-2) Levando em consideração que ݎ ب ܽ, a expressão entre parênteses pode ser expandida. Seja a seguinte expansão: ቆͳ ܽଶݎଶቇିଷଶ ؆ ͳ െ ͵ʹ ή ܽଶݎଶ Ͷ͵ ή ܽସʹǨ ή ݎସ ڮ (6-3) Desprezando os termos de potência de a, em (6-3), e substituindo em (6-2), teremos: ܧோ ൌ ͳʹߨ߳ ή ݍݎଶ ܧோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ʹݍݎଶ (6-4) Orientado na direção perpendicular ao eixo que liga as cargas no sentido de afastamento das mesmas (caso as cargas sejam negativas, o sentido seria de aproximação das cargas). Para distâncias muito grandes com relação à distância de separação das cargas, tomamos a carga total (no caso 2q) e utilizamos a relação do inverso do quadrado da distância. Como era de se esperar. Questão 7 Um bastão fino de vidro é encurvado de modo a formar um semicírculo de raio R. Uma carga +Q está uniformemente distribuída ao longo da metade superior, e uma carga –Q ao longo da inferior, como mostra a figura abaixo. Determinar o campo elétrico E no centro P, do semicírculo. Resolução: Tomando a parte positiva: figura 7-1 A densidade linear de carga, referente a ¼ de circunferência, vale: ߣ ൌ ʹܳߨܴ (7-1) Logo, para o elemento de carga, teremos: ݀ݍ ൌ ߣܴ݀ߠ (7-2) www.profafguimaraes.net 5 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + l y P + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + l y P Ʌ x r dq dx ݀ܧ ࢊࡱ࢞ ࢊࡱ࢟ A expressão do campo elétrico dE referente ao elemento decarga dq será: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݀ݍܴଶ (7-3) Utilizando (7-2) em (7-3), teremos: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ�݀ߠܴ (7-4) Pela simetria, observa-se que a parte negativa do bastão, contribuirá com um campo elétrico, cujo componente na direção de 0x, anulará o componente 0x da contribuição da parte positiva do bastão. Logo, o campo elétrico resultante das duas partes estará na direção de 0y. Logo, teremos: ܧோ ൌ ʹන݀ܧ௬ (7-5) Em que: ݀ܧ௬ ൌ ݀ܧ ή ߠ (7-6) Utilizando (7-6) em (7-5) para os limites de 0 até గଶ, teremos: ܧோ ൌ ߣʹߨܴ߳න ܿݏߠ�݀ߠ���గଶ ܧோ ൌ ߣʹߨܴ߳ ሾݏ݁݊�ߠሿగଶ � ܧோ ൌ ߣʹߨܴ߳ (7-7) Utilizando (7-1) no resultado de (7-7), teremos: ܧோ ൌ ܳ߳ߨଶܴଶ (7-8) Questão 8 Uma barra fina (de comprimento finito l e de material não condutor) acha-se carregada uniformemente, com uma carga total q. Demonstrar que o valor de E, no ponto P da sua mediatriz, representado na figura abaixo, é dado por: ܧ ൌ ݍʹߨ߳ ή ͳݕඥ݈ଶ Ͷݕଶ Demonstrar que, quando ݈ ՜ λ, esta expressão tende para: ܧ ൌ ߣʹߨ߳ݕ Resolução: figura 8-1 Observando a figura 8-1, podemos concluir que as contribuições para o campo na direção 0x dos dois lados da mediatriz, se anulam mutuamente. Assim, o campo elétrico resultante em P será orientado na direção de 0y. O campo www.profafguimaraes.net 6 elétrico em P devido ao elemento de carga dq vale: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݀ݍݎଶ (8-1) Em que o elemento de carga é dado por: ݀ݍ ൌ ߣ݀ݔǢ �ߣ ൌ ݈ݍ (8-2) E a distância r é dada por: ݎ ൌ ඥݔଶ ݕଶ (8-3) Utilizando (8-2) e (8-3) em (8-1), teremos: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ�݀ݔݔଶ ݕଶ (8-4) O componente na direção de 0y será: ݀ܧ௬ ൌ ݀ܧ ή ܿݏߠ ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ�݀ݔݔଶ ݕଶ ή ܿݏߠ (8-5) Existe um vínculo entre a variável x e o ângulo Ʌ. Vejamos: ݐ݃�ߠ ൌ ݔݕ ֜ ݔ ൌ ݕ�ݐ݃ߠ (8-6) Desta forma teremos: ݀ݔ݀ߠ ൌ ݕ�ݏ݁ܿଶߠ (8-7) Utilizando (8-6) e (8-7) em (8-5), teremos: ݀ܧ௬ ൌ ߣͶߨ߳ݕ ή ܿݏߠ�݀ߠ (8-8) Em que ݐ݃ଶߠ ͳ ൌ ݏ݁ܿଶߠ. Agora, integrando (8-8), teremos: ܧோ ൌ ʹන݀ܧ௬� ܧோ ൌ ߣʹߨ߳ݕන ߠ�݀ߠఏబ � ܧோ ൌ ߣʹߨ߳ݕ ሾݏ݁݊�ߠሿఏబ � ܧோ ൌ ߣ�ݏ݁݊�ߠʹߨ߳ݕ (8-9) Em que ߠ é tal que: ݏ݁݊�ߠ ൌ ݈ʹටቀ݈ʹ ቁଶ ݕଶ (8-10) Agora substituindo (8-10) em (8-9), e utilizando (8-2), teremos: ܧோ ൌ ݍʹߨ߳ݕ ή ͳඥ݈ଶ Ͷݕଶ (8-11) Tomando a expressão (8-11), temos ainda: ܧோ ൌ ݍʹߨ߳ݕ ή ͳ݈ටͳ Ͷݕଶ݈ଶ �� ܧோ ൌ ߣʹߨ߳ݕ ή ͳටͳ Ͷݕଶ݈ଶ �� ܧோ ൌ ՜ஶ ߣʹߨ߳ݕ ή ͳටͳ Ͷݕଶ݈ଶ � ܧோ ൌ ߣʹߨ߳ݕ (8-12) Questão 9 Um elétron tem seu movimento restrito ao eixo do anel de cargas mostrado na figura a seguir. Demonstrar que o elétron pode oscilar com uma frequência dada por: ߱ ൌ ට ସగఢబయ. Em que x << a. www.profafguimaraes.net 7 2a r +q -q P Ԧ Resolução: O campo elétrico no ponto P devido ao elemento de carga dq é dado por: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݀ݍݎଶ (9-1) Nesse caso, devido à simetria, o campo resultante será orientado na direção de 0x. Assim, teremos: ݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݀ݍݎଶ �ܿݏߠ (9-2) Em que ߠ ൌ ௫. Assim, integrando (9-2) teremos: ܧோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݔݎଷන݀ݍ � ܧோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݔሺܽଶ ݔଶሻଷଶ (9-3) Em que ݎଶ ൌ ܽଶ ݔଶ. Assim, um elétron que é colocado em P, fica sujeito a uma força que será dada por: ݂ ൌ െ݁ܧோ ݂ ൌ െ ͳͶߨ߳ ή ݁ݍݔሺܽଶ ݔଶሻଷଶ (9-4) No entanto, para x << a, A expressão (9-4) será dada por: ݂ ؆ െ ͳͶߨ߳ ή ݁ݍݔܽଷ (9-5) Sendo m a massa do elétron, teremos para (9-5): ݀ଶݔ݀ݐଶ ൌ െ ͳͶߨ߳ ή ݁ݍݔ݉ܽଷ (9-6) O que caracteriza um M.H.S. é o fato da aceleração ser diretamente proporcional ao oposto do deslocamento, ou seja: ݀ଶݔ݀ݐଶ ൌ െ߱ଶݔ (9-7) Em que ɘ é uma constante, ou seja, é a frequência angular do movimento. A expressão (9-6) é uma equação da forma dada por (9-7). Comparando as duas, teremos: ߱ ൌ ඨ ݁ݍͶߨ߳݉ܽଷ (9-8) Questão 10 Campo axial produzido por um dipolo elétrico. Na figura a seguir, considerar um ponto à distância r do centro do dipolo e situado sobre a reta que une as cargas. (a) Demonstrar que, para valores grandes de r, o campo elétrico nesse ponto é igual a: ܧ ൌ ͳʹߨ߳ ή ݎଷ (b) Qual a direção de E? Resolução: O campo elétrico resultante no ponto P será dado por: ܧோ ൌ ݍͶߨ߳ ൬ ͳሺݎ െ ܽሻଶ െ ͳሺݎ ܽሻଶ൰ (10-1) www.profafguimaraes.net 8 dq r x Ʌ Ʌ Ƚ Ƚ dȽ a ݀ܧ ࢊࡱୄ ࢊࡱ࢟ Expandindo a expressão (10-1), teremos: ܧோ ൌ ݍͶߨ߳ݎଶ ͳቀͳ െ ܽݎቁଶ െ ͳቀͳ ܽݎቁଶ� ܧோ ൌ ݍͶߨ߳ݎଶ ቀͳ െ ܽݎቁିଶ െ ቀͳ ܽݎቁିଶ൨� ܧோ ؆ ݍͶߨ߳ݎଶ ͳ ʹܽݎ ǥെ ൬ͳ െ ʹܽݎ ǥ ൰൨�� ܧோ ൌ ʹߨ߳ݎଷ (10-2) Em que ൌ ʹݍܽ. A direção e o sentido do campo elétrico resultante são dados por Ԧ. Questão 11 Demonstrar, para o anel de cargas da questão 9, que o valor máximo de E ocorre quando: ݔ ൌ ξܽʹ Resolução: Vamos tomar a derivada da expressão dada em (9-3): ݀ܧ݀ݔ ൌ ݍͶߨ߳ ሺܽଶ ݔଶሻଷଶ െ ͵ݔଶሺܽଶ ݔଶሻଵଶሺܽଶ ݔଶሻଷ (11-1) Agora, para determinar o ponto de máximo, vamos tomar o valor nulo da expressão (11-1). Assim, ݀ܧ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ሺܽଶ ݔଶሻଷଶ ൌ ͵ݔଶሺܽଶ ݔଶሻଵଶ� �ܽଶ ݔଶ ൌ ͵ݔଶ ݔ ൌ ξܽʹ (11-2) Questão 12 Considerar o anel de cargas da questão 9. Supor, agora, que a carga q não esteja mais uniformemente distribuída no anel; mas sim, que haja uma carga q1 distribuída uniformemente em uma das metades, e uma carga q2, também distribuída uniformemente, na outra metade do anel. Supor: q1 + q2 = q. (a) Determinar a componente do campo elétrico, num ponto do eixo e paralela a este, comparando-a com o caso uniforme da questão 9. (b) Repetir o cálculo para a componente perpendicular ao eixo, num ponto do mesmo, comparando-a novamente com o caso da questão 9. Resolução: Cada metade do anel contribui com um campo dado por: ܧ௫ଵ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଵݔሺܽଶ ݔଶሻଷଶ �݁� ܧ௫ଶ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍଶݔሺܽଶ ݔଶሻଷଶ� (12-1) Logo, na direção 0x, temos: ܧ௫ ൌ ܧ௫ଵ ܧ௫ଶ � ܧோ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݔሺܽଶ ݔଶሻଷଶ� (12-2) Agora, na direção do eixo 0y teremos a seguinte disposição: figura 12-1 Observando a figura 12-1 temos: ݀ܧୄ ൌ ݀ܧ�ݏ݁݊ߠ��݁�݀ܧ௬ ൌ ݀ܧୄ�ݏ݁݊ߙ (12-3) Em que dE é dado por (9-1). www.profafguimaraes.net 9 a a Y +q -q x y X P Ƚ b ܧሬԦା ࡱሬԦെ Assim, utilizando as expressões (9-1) e (12-3), teremos: ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ�ܽଶ�ݏ݁݊ߙ�݀ߙሺܽଶ ݔଶሻଷଶ (12-4) Em que ݀ݍ ൌ ߣ�ܽ�݀ߙ. Resolvendo para a metade de superior: ݀ܧ௬ଵ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣଵ�ܽଶ�ݏ݁݊ߙ�݀ߙሺܽଶ ݔଶሻଷଶ �� ܧ௬ଵ ൌ ߣଵͶߨ߳ ή ܽଶሺܽଶ ݔଶሻଷଶ ή න ݏ݁݊ߙ�݀ߙగ �� ܧ௬ଵ ൌ ݍଵʹߨଶ߳ ή ܽሺܽଶ ݔଶሻଷଶ (12-5) Em que ߣଵ ൌ భగ. A metade inferior contribui com um campo dado por: ܧ௬ଶ ൌ ݍଶʹߨଶ߳ ή ܽሺܽଶ ݔଶሻଷଶ (12-6) Porém com sentido oposto ao originado pela metade superior. Assim, o campo resultante na direção de 0y, utilizando (12-5) e (12-6) será: ܧ௬ ൌ ܧ௬ଵ െ ܧ௬ଶ�� ܧ௬ ൌ ሺݍଵ െ ݍଶሻʹߨଶ߳ ή ܽሺܽଶ ݔଶሻଷଶ (12-7) Questão 13 Campo elétrico devido a um dipolo elétrico. Demonstrar que as componentes de E produzidas por um dipolo em pontos distantes, são dadas por: ܧ௫ ൌ ଵସగఢబ ή ଷ௫௬ሺ௫మା௬మሻఱమ Ǣ ܧ௬ ൌ ଵସగఢబ ή ൫ଶ௬మି௫మ൯ሺ௫మା௬మሻఱమ . Em que x e y são as coordenadas do ponto, conforme mostra a figura a seguir. Resolução: No ponto P teremos: ܧା ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶ� ܧି ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݔଶ ሺݕ ܽሻଶ (13-1) Devido às cargas positiva e negativa respectivamente. Da figura temos ainda: ݏ݁݊�ߙ ൌ ݕ െ ܽሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻଵଶ �ܿݏ�ߙ ൌ ݔሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻଵଶ (13-2) E ݏ݁݊�ߚ ൌ ݕ ܽሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻଵଶ� �ܿݏ�ߚ ൌ ݔሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻଵଶ (13-3) Para a direção de 0x, teremos: ܧ௫ ൌ ܧା௫ െ ܧି௫ (13-4) Em que: ܧା௫ ൌ ܧାܿݏߙ�݁�ܧି௫ൌ ܧିܿݏߚ. (13-5) Assim, utilizando as relações (13-1), (13-2) e (13-3) e (13-5) em (13-4), teremos: www.profafguimaraes.net 10 R ෬ P + + + + + + + + ܧ௫ ൌ ݍݔͶߨ߳ ͳሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶ െ ͳሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻଷଶ (13-6) Manipulando a expressão entre colchetes de (13-6), e expandindo as potências, teremos: ሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻଷଶ െ ሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶሾሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻሿଷଶ �� ؆ ሺݔଶ ݕଶሻଷଶ ͳ ͵ܽݕݔଶ ݕଶ ڮെ ͳ ͵ܽݕݔଶ ݕଶ ڮ൨ሺݔଶ ݕଶሻଷ ൌ ܽݕሺݔଶ ݕଶሻଵଶሺݔଶ ݕଶሻଷ ൌ ܽݕሺݔଶ ݕଶሻହଶ (13-7) Em que ݔଶ ݕଶ ب ܽଶ. Substituindo o resultado de (13-7) em (13-6), teremos: ܧ௫ ؆ ͳͶߨ߳ ή ͵ݔݕሺݔଶ ݕଶሻହଶ (13-8) Em que ൌ ʹܽݍ. Agora na direção de 0y, temos: ܧ௬ ൌ ܧା௬ െ ܧି௬ (13-9) Em que: ܧା௬ ൌ ܧାݏ݁݊ߙ��݁��ܧି௬ ൌ ܧିݏ݁݊ߚ (13-10) Utilizando as relações (13-1), (13-2), (13-3) e (13-10) em (13-9), teremos: ܧ௬ ൌ ݍͶߨ߳ ݕ െ ܽሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶ െ ݕ ܽሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻଷଶ (13-11) Semelhante ao que foi efetuado anteriormente, vamos manipular a expressão entre colchetes de (13-11) e expandir as potências. Assim, teremos: ሺݕ െ ܽሻሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻଷଶ െ ሺݕ ܽሻሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶሾሺݔଶ ሺݕ ܽሻଶሻሺݔଶ ሺݕ െ ܽሻଶሻሿଷଶ ؆ ሺݔଶ ݕଶሻଷଶ ሺݕ െ ܽሻ ൬ͳ ͵ܽݕሺݔଶ ݕଶሻ ڮ൰ െ ሺݕ ܽሻ ൬ͳ െ ͵ܽݕሺݔଶ ݕଶሻ ڮ൰൨ሺݔଶ ݕଶሻଷ ൌ ʹܽ ʹݕଶ െ ݔଶሺݔଶ ݕଶሻହଶ (13-12) Substituindo o resultado de (13-12) em (13-11), teremos: ܧ௬ ؆ ͳͶߨ߳ ή ሺʹݕଶ െ ݔଶሻሺݔଶ ݕଶሻହଶ (13-13) Questão 14 Uma haste isolante “semi-infinita” (figura a seguir) é portadora de uma carga constante, por unidade de comprimento, ɉ. Mostrar que o campo elétrico no ponto P forma um ângulo de 45Ͳ� �� Ǥ� �� � � � ±��� ��Ǥ�������� Resolução: A resolução desta questão é semelhante à resolução da questão 8. Sendo que nesse caso, o componente 0x do campo não será nulo. Da equação (8-8), teremos: ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܴߣ ή ܿݏ�ߠ�݀ߠ (14-1) E de forma semelhante, teremos para o componente 0x, a expressão dada por: www.profafguimaraes.net 11 ݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܴߣ ή ݏ݁݊�ߠ�݀ߠ (14-2) Integrando as equações (14-1) e (14-2), teremos: ܧ௬ ൌ ߣͶߨܴ߳න ܿݏߠ݀ߠഏమ ൌ ߣͶߨܴ߳ (14-3) ܧ௫ ൌ ߣͶߨܴ߳න ݏ݁݊ߠ݀ߠഏమ ൌ ߣͶߨܴ߳ (14-4) Seja ߙ o ângulo entre ܧ௫ e ܧ௬. Então: ߙ ൌ ݐ݃ିଵ ܧ௬ܧ௫ ൌ ͳ ߙ ൌ ߨͶ �ݎܽ݀ (14-5) Questão 15 (a) Determinar o módulo do campo elétrico no ponto P mencionado na questão anterior. (b) Suponha que a densidade de carga ɉ (carga por unidade de comprimento) seja variável; suponha que ߣ ൌ ܣݔ, onde A é uma constante dimensionalmente homogênea e x é a distância contada a partir da extremidade da haste próxima do ponto P. Determine ܧሺݔሻ. Resolução: (a) Utilizando os resultados de (14-3) e (14-4), teremos: ܧோ ൌ ߣξʹͶߨܴ߳ (15-1) (b) Utilizando as relações (14-1) e (14-2), teremos: ݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ݀ݔܴଶ ݔଶ ݏ݁݊ߠ (15-2) ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ݀ݔܴଶ ݔଶ �ܿݏߠ (15-3) Em que ߣ ൌ ܣݔ e ݔ ൌ ܴ ή ݐ݃ߠ. Assim, teremos de (15-2), para o campo na direção 0x: ݀ܧ௫ ൌ ܣͶߨ߳ ή ݔଶሺܴଶ ݔଶሻయమ ݀ݔ (15-4) Integrando até um valor x, teremos: ܧ௫ ൌ ܣͶߨ߳න ݔƴ ଶሺܴଶ ݔƴ ଶሻయమ ݀ݔƴ௫ � ܧ௫ ൌ ܣͶߨ߳ ቈ݈݊ ቆݔ ξܴଶ ݔଶܴ ቇ െ ݔξܴଶ ݔଶ (15-5) Em que: න ݔଶሺܴଶ ݔଶሻయమ ݀ݔ ൌ െݔξܴଶ ݔଶ ݈݊ ቀݔ ඥܴଶ ݔଶቁ Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973 E para a o campo na direção de 0y, teremos, de (15-3): ܧ௬ ൌ ܣ ή ܴͶߨ߳න ݔƴሺܴଶ ݔƴ ଶሻయమ௫ ݀ݔƴ �� ܧ௬ ൌ ܣ ή ܴͶߨ߳ ͳܴ െ ͳξܴଶ ݔଶ൨ (15-6) Em que: න ݔሺܴଶ ݔଶሻయమ ݀ݔ ൌ െͳξܴଶ ݔଶ Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973 Assim, o campo resultante será: ܧሺݔሻ ൌ ܧ௫ ܧ௬ www.profafguimaraes.net 12 a ɅͲ Ʌ Ʌ ݀ܧሬԦ ࢊࡱሬሬԦ࢟ Ʌ a dq C Questão 16 Uma taça hemisférica não condutora, de raio interno a, acha-se uniformemente carregada em sua superfície interna com uma carga q. Determinar o valor do campo elétrico no seu centro de curvatura. Resolução: igura 16-1 A igura 16-1 mostra uma taça hemisférica carregada. Tomamos um elemento de carga circular semelhante a um anel carregado com uma carga dq. Esse elemento de carga gera um campo dE que está orientado na direção de 0z, que de acordo com a equação (9-3) pode ser expresso por: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݀ݍ ή ݖሺݎଶ ݖଶሻయమ (16-1) Em que ݀ݍ ൌ ߪ ή ݀ܣ. Ainda da figura podemos concluir: ݀ܣ ൌ ʹߨܽଶݏ݁݊ߠ ή ݀ߠǢ� �ݎ ൌ ܽ ή ݏ݁݊ߠ�݁�ݖ ൌ ܽ ή ܿݏߠ (16-2) Assim, a equação (16-1) fica: ݀ܧ ൌ ͳʹ߳ ή ߪݏ݁݊ߠܿݏߠ�݀ߠ (16-3) Agora integrando a equação (16-3) partindo de ߠ ൌ Ͳ até ߠ ൌ గଶ, teremos: ܧ ൌ ʹ߳ߪන ݏ݁݊ߠܿݏߠ�݀ߠഏమ ܧ ൌ ʹ߳ߪ ή ݏ݁݊ଶగଶʹ � ܧ ൌ ߪͶ߳ (16-4) Em que: ߪ ൌ ଶగమ (densidade superficial de cargas). Assim, teremos: ܧ ൌ ͳͺߨ߳ ή ܽݍଶ (16-5) Questão 17 Uma haste fina, não condutora, é curvada de modo a formar um arco de circunferência de raio a, subtendendo um ângulo central ߠ. Distribui-se uniformemente, em toda a sua extensão, uma carga total q. Determinar a intensidade do campo elétrico, no centro da circunferência, em função de a, q e ߠ. Resolução: figura 17-1 A figura 17-1 representa a configuração do nosso problema. O elemento de carga dq gera um campo elétrico no ponto C dado por: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݀ݍܽଶ (17-1) Em que: ݀ݍ ൌ ߣ ή ܽ ή ݀ߠ. Pela simetria da distribuição das cargas na haste, podemos www.profafguimaraes.net 13 r a x ݀ܧሬԦ P dq r a a P +q +q -2q െԦ Ԧ concluir que a componente do campo na direção 0x será nulo. Assim, só teremos componente na direção 0y. Da (17-1), teremos: ݀ܧ௫ ൌ ݀ܧܿݏߠ� �݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣܽ�ܿݏߠ�݀ߠܽଶ (17-2) Assim integrando a equação (17-2) de ߠ ൌ Ͳ até ߠ ൌ ఏబଶ e tomando o dobro, teremos: ܧ ൌ ߣʹߨ߳ܽන ܿݏߠ�݀ߠഇబమ �� ܧ ൌ ͳʹߨ߳ ή ݍܽଶߠ ݏ݁݊ ߠʹ (17-3) Em que ߣ ൌ ఏబ (densidade linear de carga). Questão 18 Um disco (fino, circular, de raio a) acha-se carregado uniformemente, com uma densidade superficial de carga ɐ. Determinar o campo elétrico num ponto do eixo do disco, situado a uma distância r do mesmo. Resolução: figura 18-1 A figura 18-1 representa a configuração do nosso problema. O elemento de carga é representado por uma distribuição de cargas circular (o anel carregado da questão 9). O campo produzido em P pelo elemento de carga é dado por: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݎ݀ݍሺݔଶ ݎଶሻయమ (18-1) Em que: ݀ݍ ൌ ߪ݀ܣǢ ��݀ܣ ൌ ʹߨݔ݀ݔ. Assim, integrando a equação (18-1), teremos: ܧ ൌ ߪݎʹ߳න ݔ�݀ݔሺݔଶ ݎଶሻయమ � �ܧ ൌ ߪݎʹ߳ െͳξݔଶ ݎଶ൨� ܧ ൌ ʹ߳ߪ ͳ െ ݎξݔଶ ݎଶ൨ (18-2) Questão 19 Quadrupolo elétrico. A figura 19-1 representa um quadrupolo elétrico típico. É constituído por dois dipolos cujos efeitos em pontos distantes não chegam a se anular completamente. Demonstrar que o valor de E no eixo do quadrupolo, para pontos situados a uma distância (r >> a) do seu centro, é dado por: ܧ ൌ ͵ܳͶߨ߳ݎସ onde Q (igual a ʹݍܽଶ) é chamado momento de quadrupolo da distribuição de cargas. figura 19-1 Vamos utilizar o resultado da questão 10 dado pela equação (10-2). Assim, no ponto P, teremos: ܧ ൌ ܧ െ ܧି (19-1) Em que: www.profafguimaraes.net 14 2a -q +q -q +q R P Ʌ �Ͳ ܧሬԦ ܧ ൌ ͳʹߨ߳ ή ቀݎ െ ܽʹቁయ ǡ ܧି ൌ ͳʹߨ߳ ή ቀݎ ܽʹቁయ (19-2) Agora substituindo em (19-1) e expandido as potências para r >> a, teremos: ܧ ൌ ʹߨ߳ݎଷ ቀͳ െ ܽʹݎቁିଷ െ ቀͳ ܽʹݎቁିଷ൨�� ܧ ؆ ʹߨ߳ݎଷ ͳ ͵ܽʹݎ ڮെ ൬ͳ െ ͵ܽʹݎ൰൨ ܧ ؆ ʹߨ߳ݎଷ ή ܽʹݎ (19-3) Como nesse caso ൌ ݍܽ, teremosentão: ܧ ؆ ݍܽଶͶߨ߳ݎସ ൌ ͵ܳͶߨ߳ݎସ (19-4) Questão 20 Um tipo de “quadrupolo elétrico” é formado por quatro cargas situadas nos vértices de um quadrado de lado 2a. Um ponto P está a uma distância R do centro do quadrupolo sobre uma reta paralela a dois dos lados do quadrado, como mostra a figura 20-1. Mostrar que, para R >> a, o campo elétrico em P é dado, aproximadamente por: ܧ ൌ ͵ሺʹݍܽଶሻͶߨܴ߳ସ figura 20-1 Resolução: A estratégia a ser utilizada é a mesma da questão anterior. O campo gerado por um dipolo em um ponto que se encontra a uma distância R perpendicular ao seu eixo é dado por: ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܴଷ (20-1) Logo, teremos: ܧோ ൌ Ͷߨܴ߳ଷ ቀͳ െ ܴܽቁିଷ െ ቀͳ ܴܽቁିଷ൨ (20-2) Agora expandindo as potências para R >> a, teremos: ܧோ ൌ Ͷߨܴ߳ଷ ή ܴܽ ܧோ ൌ ሺʹݍܽଶሻͶߨܴ߳ସ (20-3) Obs.: Foi mantida a forma original da questão. Acredito que na ocasião da edição, a equação, alvo de demonstração, foi escrita de forma errada. Penso que a forma correta a ser escrita e editada deveria ser: ܧோ ൌ ͵ሺʹݍܽଶሻʹߨܴ߳ସ Questão 21 Um elétron é projetado, como na figura 21-1, com uma velocidade de ǡͲ ൈ ͳͲ�݉ ή ݏିଵ, segundo um ângulo Ʌ de 450. ܧ ൌ ʹǡͲ ൈ ͳͲଷܰܥିଵ (apontando de baixo para cima), ݀ ൌ ʹǡͲ�ܿ݉ e ݈ ൌ ͳͲǡͲ�ܿ݉. (a) Atingirá o elétron uma das duas placas? (b) Se atingir, em que ponto isso ocorrerá? figura 21-1 Resolução: Previamente vamos determinar os componentes da velocidade nas direções 0x e 0y: www.profafguimaraes.net 15 ݒ௫ ൌ ݒܿݏߠ ൌ ͶǡʹͶ ή ͳͲ݉ ή ݏିଵ� ݒ௬ ൌ ݒݏ݁݊ߠ ൌ ͶǡʹͶ ή ͳͲ݉ ή ݏିଵ (21-1) O campo elétrico fornecerá uma aceleração para o elétron que aponta na direção de 0y para baixo, dada por: ܽ ൌ ݁݉ܧ ൌ ͵ǡͷʹ ή ͳͲଵସ�݉ ή ݏିଶ (21-2) O elétron deve percorrer a distância entre as placas e atingirá a altura de 2,0 cm com uma velocidade dada por: ݒ௬ଶ ൌ ݒ௬ଶ െ ʹܽ݀� ݒ௬ ൌ ඥሺͶǡʹͶ ή ͳͲሻଶ െ ʹ ή ͵ǡͷʹ ή ͳͲଵସ ή ͲǡͲʹ� ݒ௬ ൌ ͳǡͻ ή ͳͲ�݉ ή ݏିଵ (21-3) O intervalo de tempo gasto para o elétron adquirir essa velocidade na direção de 0y vale: οݐ ൌ οݒ௬ܽ ൌ ǡͶͷ ή ͳͲିଽݏ (21-4) Nesse intervalo de tempo, o elétron percorrerá na direção 0x: οݔ ൌ ݒ௫οݐ ؆ ͲǡͲʹ݉ ൌ ʹǡܿ݉ (21-5) Questão 22 Determinar a frequência de oscilação de um dipolo elétrico, de momento p e momento de inércia I, para pequenas amplitudes de oscilação em torno de sua posição de equilíbrio, num campo elétrico uniforme de intensidade E. Resolução: O torque no dipolo é dado por: ࣮ ൌ െܧݏ݁݊ߠ (22-1) O torque, por sua vez, é dado por: ࣮ ൌ ܫߙ (22-2) Para um M.H.S., o torque deve ser proporcional ao oposto do deslocamento angular. Assim: ࣮ ൌ െ݇ߠ (22-3) Da equação (22-1), para pequenas oscilações: ࣮ ؆ െܧߠ (22-4) Assim, utilizando (22-2) e (22-4): െܧߠ ൌ ܫߙ� ߙ ൌ െܧܫ ߠ (22-5) Como um M.H.S. é caracterizado por ߙ ൌ െ߱ଶߠ, teremos: ߱ ൌ ඨܧܫ ֜ ߭ ൌ ͳʹߨඨܧܫ (22-6) Questão 23 Dipolo num campo não uniforme. (a) Deduzir a expressão para ಶ num ponto situado a meia distância entre duas cargas positivas iguais, sendo z a distância a partir de uma delas, medida sobre o segmento de reta por elas definido. (b) Ficará um pequeno dipolo, colocado nesse ponto com seu eixo coincidente com o eixo dos z, sujeito à ação de alguma força? Lembrar que, nesse ponto E = 0. Resolução: Seja uma cargas positivas colocadas em 0. Assim, em um ponto que se localiza em z, o campo elétrico é dado por: ܧ ൌ ݍͶߨ߳ ͳݖଶ െ ͳሺ݀ െ ݖሻଶ൨�� www.profafguimaraes.net 16 ܧ ൌ ݍͶߨ߳ ቈ݀ଶ െ ʹݖ݀ݖଶሺ݀ െ ݖሻ (23-1) Utilizando a expressão (23-1), teremos: ݀ܧ݀ݖ ൌ െݍͶߨ߳ ʹݖଷ ʹሺ݀ െ ݖሻଷ൨ (23-2) Para ݖ ൌ ௗଶ, teremos: ݀ܧ݀ݖ ൌ െͺݍߨ߳݀ଷ (23-3) Estando o dipolo com seu eixo coincidente ao eixo das cargas e com seu centro coincidente com o centro das cargas, existirá uma força atuando no dipolo. Questão 24 Duas barras delgadas de comprimento L estão sobre o eixo 0x, uma delas entre os pontos ݔ ൌ ଶ e ݔ ൌ ଶ ܮ e a outra entre os pontos ݔ ൌ െ ଶ e ݔ ൌ െ ଶ െ ܮ. Cada barra possui uma carga Q distribuída uniformemente ao longo de seu comprimento. (a) Calcule o campo elétrico produzido pela segunda barra nos pontos situados ao longo da parte positiva do eixo 0x. (b) Mostre que o módulo da força que uma barra exerce sobre a outra é dado por: ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳ܮଶ ݈݊ ቈ ሺܽ ܮሻଶܽሺܽ ʹܮሻ (c) mostre que, quando a >> L, o módulo dessa força se reduz a: ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳ܽଶ Resolução: Considere a figura a seguir como a representação do nosso problema. O elemento de carga em dx, gera um campo elétrico num ponto que dista r dado por: ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ߣ݀ݔݎଶ (24-1) Em que ݎ ൌ ܮ െ ݔ ܾ. Assim, integrando a equação (24-1) de 0 até L, teremos: ܧ ൌ ߣͶߨ߳න ݀ݔሺܮ െ ݔ ܾሻଶ �� ܧ ൌ ܳͶߨ߳ܮ ή ܮܾሺܮ ܾሻ (24-2) Em que ߣ ൌ ொ . Agora, cada elemento de carga na barra da direita de 0, experimentará uma força dada por (utilizando (24-2)): ݀ܨ ൌ ߣ ή ܾ݀ ή ܧ� ݀ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳ܮଶ ή ܮ ή ܾܾ݀ሺܮ ܾሻ (24-3) Integrando (24-3) de a até L + a, teremos: ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳ܮଶන �ௗሺାሻା �� ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳ܮଶ ݈݊ ൬ ܾܾ ܮ൰൨ା� ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳ܮଶ ݈݊ ቆ ሺܽ ܮሻଶܽሺܽ ʹܮሻቇ (24-4) Agora para a >> L, teremos: ݈݊ ሺܽ ܮሻଶܽሺܽ ʹܮሻ ൌ ݈݊ ቀͳ ܽܮቁଶቀͳ ʹܽܮቁ L L x dx r b ିଶ ଶ 0 www.profafguimaraes.net 17 ൌ ʹ݈݊ ൬ͳ ܽܮ൰ െ ݈݊ ൬ͳ ʹܽܮ൰ (24-5) Expandindo o logaritmo, teremos: ؆ ʹ ቈܽܮ െ ͳʹ ܮଶܽଶ െ ቈʹܽܮ െ ʹܮଶܽଶ ൌ ܮଶܽଶ (24-6) Substituindo em (24-4), teremos: ܨ ؆ ܳଶͶߨ߳ܽଶ (24-7) න ݀ݔሺܽݔ ܾሻଶ ൌ െͳܽሺܽݔ ܾሻ න ݀ݔݔሺܽݔ ܾሻ ൌ ͳܾ ݈݊ ቀ ݔܽݔ ܾቁ ݈݊ሺͳ ݔሻ ൌ ͳ െ ݔଶʹ ݔଷ͵ െ ݔସͶ ڮ�ȁݔȁ ൏ ͳ Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973
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