Fenômenos de Transporte em Fluídos-Cinemática dos Fluidos-Introdução

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Fenômenos de Transporte em Fluidos Cinemática dos Fluidos 
Prof. Ismael Freire – Centro Universitário de Santo André – UNIA – 2 Semestre de 2010 
 
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
 Este assunto esboçará os conceitos adicionais necessários ao estudo de escoamentos de 
fluidos. O escoamento de fluidos é complexo e nem sempre sujeito à análise matemática 
exata. Diferentemente dos sólidos, os elementos de um fluido em escoamento podem possuir 
diferentes velocidade e podem estar sujeitos a diferentes acelerações. Os três conceitos que se 
seguem são importantes: 
 
a) O princípio da conservação de massa, a partir do qual a equação da continuidade é 
desenvolvida; 
 
b) O princípio da energia cinética, a partir do qual algumas equações são desenvolvidas; 
 
c) O princípio da quantidade de movimento a partir do qual as equações que determinam 
as forças dinâmicas exercidas pelo fluido em escoamento podem ser estabelecidas. 
 
ESCOAMENTO DE FLUIDOS 
 
 O escoamento de fluidos pode ser estável ou instável; uniforme ou não-uniforme; laminar 
ou turbulento; uni, di ou tridimensional, e rotacional ou irrotacional. 
 Realmente o escoamento unidimensional de um fluido incompressível ocorre quando a 
direção e a intensidade da velocidade; é a mesma para todos os pontos. Entretanto, se aceita a 
análise de escoamento unidimensional quando uma única grandeza é tomada ao longo do 
filete central e, quando as velocidade e acelerações normais ao escoamento são desprezíveis. 
Em tais casos os valores médios da velocidade, da pressão e da altura são considerados como 
representantes do escoamento como um todo e, pequenas variações podem ser desprezadas. 
Por exemplo, o escoamento em tubulações curvas é analisado por meio de princípios de 
escoamentos unidimensional, apesar do fato de que a estrutura é tridimensional e a velocidade 
varia através das secções normais ao escoamento. O escoamento bidimensional ocorre quando 
as partículas do fluido se movem em planos ou em planos paralelos e, suas trajetórias são 
idênticas em cada plano. 
 Para um fluido ideal, no qual não existe tensão cisalhante, e, portanto, não há torques, o 
movimento de partículas fluidas em torno de seus próprios centros de massa não pode existir. 
Tal escoamento ideal é chamado escoamento irrotacional e pode ser representado por uma 
rede fluida. Um líquido em tanques rotativos ilustra o escoamento rotacional onde a 
velocidade de cada partícula varia diretamente com a distância ao centro de rotação. 
 
Escoamento permanente 
 
 Se em um ponto, a velocidade de sucessivas partículas do fluido é a mesma em sucessivos 
espaços de tempo, teremos o escoamento permanente. Assim, a velocidade é uma constante 
em relação ao tempo, ou ∂V/∂t = 0; porém ela poderá variar de ponto a ponto, ou seja, em 
relação à distância. Esta afirmativa implica em que outras variáveis também deverão ser 
constantes em relação ao tempo: ∂p/∂t = 0; ∂ /∂t = 0; ∂Q/∂t = 0; etc. As condições de 
escoamento permanente são comumente encontradas em problemas práticos de engenharia, 
por exemplo: tubulações transportando líquidos sob altura de carga constante, ou orifício 
escoando a pressão constante, etc. Estes escoamentos podem ser uniformes ou não-uniformes. 
 As condições podem variar de um ponto para o outro ou de secção para outra secção. Um 
exemplo deste tipo de escoamento é mostrado na Figura N01, em que se tem um reservatório 
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contendo um fluido mantido a nível constante, isto é, a quantidade de fluido que sai do 
reservatório é reposta (recolocada) de alguma forma. 
 Pode-se observar que em cada secção escolhida as velocidades (grandezas escolhidas para 
análise) não variam com o decorrer do tempo, ou seja, os perfis de velocidades: V1, V2 e V3 se 
mantêm constantes. 
Porém, se for feita uma comparação entre estes perfis nos mesmos instantes, observa-se que 
eles são diferentes (V1 ≠ V2 ≠ V3). Conclusão: a condição de permanente está relacionada 
apenas com o parâmetro tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A complexidade do escoamento variável está fora dos limites deste módulo de introdução 
à Mecânica dos Fluidos. O que caracteriza o escoamento variável é a variação de condições 
de ponto a ponto em relação ao tempo, assim ∂V/∂t 0, etc. 
 
Escoamento variado 
 
 É aquele em que as condições do fluido variam em relação ao tempo em um ponto, numa 
seção ou região do escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. N01 - Escoamento Permanente 
Fig. N02 - Escoamento 
Variado 
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 Na instalação da Figura N02, em que de um reservatório contendo um fluido, cujo nível 
varia no decorrer do tempo, sai uma quantidade variável de fluido na unidade de tempo, tem-
se um exemplo de escoamento variado ou não permanente. Pode-se observar nesta instalação 
que em cada uma das três secções tomadas para análise os perfis de velocidades variam com o 
decorrer do tempo, isto é, V1(t1) ≠ V1(t2); V2(t1) ≠ V2(t2) e V3(t1) ≠ V3(t2). Neste exemplo foi 
admitido que, o nível de fluido no reservatório diminui, mas poderíamos admitir que, o nível 
aumentaria e teríamos, também, um escoamento variado, a diferença é que neste caso as 
velocidades aumentam, ao invés de diminuir. 
 
Escoamento uniforme 
 
 Quando a velocidade não varia em direção e intensidade de ponto a ponto, ou ∂V/∂s = 0, 
temos um escoamento uniforme. Esta condição implica em que outras variáveis do 
escoamento sejam constantes em relação à distância, ou ∂y/∂s = 0; ∂ /∂s = 0; ∂p/∂s = 0; etc. 
Os escoamentos de líquidos sob pressão em tubulações longas de diâmetro constante são 
uniformes quer sejam permanente ou não. 
 Quando a velocidade, a profundidade, a pressão, etc., variam de ponto a ponto em um 
escoamento, este será não-uniforme. ∂V/∂s 0; etc. Logo temos dois tipos de escoamentos 
uniformes: 
 
a) Escoamento uniforme permanente; 
 
b) Escoamento uniforme não-permanente. 
 
Escoamento uniforme permanente 
 
 É aquele em que as condições do fluido não variam de secção para secção e em relação ao 
tempo. 
Na Figura N03, é mostrado um exemplo de escoamento uniforme e permanente, em que de 
um reservatório, contendo um fluido com nível constante, sai uma quantidade fixa do fluido. 
 Observa-se que nas secções escolhidas para análise os perfis são idênticos e não variam 
com o decorrer do tempo, isto é, V1 = V2 = V3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. N03 - Escoamento Uniforme Permanente 
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Escoamento uniforme não-permanente 
 
 É aquele em que as condições do fluido não variam de secção para secção, mas variam emrelação ao tempo. A instalação da Figura N04 mostra um exemplo deste tipo escoamento, 
em que de um reservatório contendo um fluido, com nível variável, sai uma quantidade 
variável de fluido. Pode-se observar que nas secções escolhidas em cada instante os perfis de 
velocidades são idênticos, isto é, V1(t1) = V2(t1) = V3(t1), e, V1(t2) = V2(t2) = V3(t2), mas os 
perfis de velocidades diferem de instante para instante, ou seja: 
 
V1(t1) = V2(t1) = V3(t1) ≠ V1(t2) = V2(t2) = V3(t2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamento laminar e turbulento 
 
Experiência de Reynolds. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Realizando a experiência acima Osborne Reynolds observou os seguintes comportamentos 
da água: 
 
a) Para vazões pequenas o filete colorido permanecia bem definido no escoamento. É o 
regime de escoamento que denominou de laminar ou lamelar; 
 
Fig. N04 - Escoamento Uniforme Não-Permanente 
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b) Para vazões maiores o filete colorido se misturava com a água. É o regime de escoamento 
que denominou de turbulento. 
 
Escoamento Laminar 
 
 É aquele em que as partículas fluidas apresentam trajetórias bem definidas, que não se 
cruzam e o fluido escoa em laminas ou lamelas, conforme mostra a Figura N05. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamento Turbulento 
 
 É aquele em que as partículas fluidas apresentam movimento desordenado, tendo a 
velocidade em qualquer instante uma componente transversal à direção do escoamento, 
conforme ilustra a Figura N06. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pelo adimensional denominado NUMERO DE REYNOLDS (Re) dado por: 
 
ν
DV
μ
DVρ
Re
 (Eq. N01) 
 
podemos caracterizar se um escoamento em tubos é Laminar ou Turbulento. Onde: 
 
ρ: massa especifica do fluido; 
V: velocidade média do escoamento; 
D: diâmetro hidráulico do tubo; 
μ: viscosidade dinâmica do fluido; 
ν: viscosidade cinemática do fluido. 
 
 Se Re ≤ 2000; tem-se regime laminar. Se 2000 < Re < 4000; tem-se regime de transição, 
que é uma zona crítica, na qual não se pode determinar com segurança a perda de carga nas 
canalizações. Se Re ≥ 4000; tem-se regime turbulento. 
Fig. N05 - Escoamento Laminar 
Fig. N06 - Escoamento Turbulento 
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Conhecimento Geral: 
 
 A experiência de Reynolds (1883) demonstrou a existência de dois tipos de escoamentos, 
o escoamento laminar e o escoamento turbulento. O experimento teve como objetivo a 
visualização do padrão de escoamento de água através de um tubo de vidro, com o auxílio de 
um fluido colorido (corante). 
 Seja um reservatório com água como ilustrado na Figura N07. Um tubo de vidro, em 
cuja extremidade é adaptado um convergente, é mantido dentro do reservatório e ligado a um 
sistema externo que contém uma válvula que tem a função de regular a vazão. No eixo do 
tubo de vidro é injetado um líquido corante que possibilitará a visualização do padrão de 
escoamento. 
 Para garantir o estabelecimento do regime permanente, o reservatório contendo água deve 
ter dimensões adequadas para que a quantidade de água retirada durante o experimento não 
afete significativamente o nível do mesmo, e ao abrir ou fechar a válvula (7), as observações 
devem ser realizadas após um intervalo de tempo suficientemente grande. O ambiente 
também deve ter sua temperatura e pressões controladas. Para pequenas vazões o líquido 
corante forma um filete contínuo paralelo ao eixo do tubo (6). Vazões crescentes induzem 
oscilações que são amplificadas à medida que o aumento vai ocorrendo, culminando no 
completo desaparecimento do filete, ou seja, uma mistura completa no interior do tubo de 
vidro (6) do líquido corante, indicando uma diluição total. É possível concluir que ocorrem 
dois tipos distintos de escoamentos separados por uma transição. 
 No primeiro caso, no qual é observável o filete colorido conclui-se que as partículas 
viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas concêntricas entre as quais não há 
troca macroscópica de partículas. 
 No segundo caso, as partículas apresentam velocidades transversais importantes, já que o 
filete desaparece pela diluição de suas partículas no volume de água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – Reservatório do corante; 
 
2 – Válvula de controle de 
vazão do corante; 
 
3 – Reservatório de água; 
 
4 – Injetor; 
 
5 – Convergente; 
 
6 – Tubo de vidro; 
 
7 - Válvula de controle de 
vazão da água. 
Fig. N07 – Esquema do experimento 
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Aspecto do escoamento no tubo de vidro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vazão em Volume, Vazão em Massa e Vazão em Peso. Velocidade Média. 
Conceitos e Unidades. 
 
 Para definir os conceitos de vazão em volume, massa e peso; vamos tomar um conduto 
genérico cuja secção transversal tem área A, por onde escoa um fluido de massa específica ρ e 
peso específico γ. Sobre este conduto, delimitaremos um elemento de volume cilíndrico (dvol) 
de área transversal (dA) e comprimento (ds), conforme mostra a Figura N08, dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dAdsdVol
 (Eq. N02) 
 
Vazão em Volume (Q) 
 
Conceitos básicos de medição de vazão 
 
Introdução 
 
 Antes de iniciar o estudo da medição de vazão em fluidos, é necessário reparar uma 
confusão existente no Brasil sobre a terminologia empregada na área de dinâmica de fluidos. 
Os textos em língua inglesa empregam o termo flow para nomear escoamento, mas 
infelizmente as traduções brasileiras usam a palavra fluxo como correspondente. A definição 
de fluxo está ligada a uma grandeza por unidade de comprimento, área ou volume, como por 
exemplo, W/m (potência por unidade de comprimento), W/m
2
 (potência por unidade de área) 
Fig. N08 – Escoamento Genérico 
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ou ainda W/m
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 (potência por unidade de volume). Nesse exemplo, a grandeza que representa 
a potência, em Watts, é uma taxa de calor ou de energia mecânica, pois representa energia por 
unidade de tempo (J/s). O fluxo corresponde em inglês ao termo flux. Já a terminologia 
correta para flow em português é escoamento, assim como o mass flow corresponde à vazão 
ou descarga, que podem representar taxas de massa ou de volume por unidade de tempo. 
 A taxa ou vazão volumétrica é definida como sendo o volume de fluido que atravessa uma 
secção na unidade de tempo e ésimbolizada por Q. Logo: 
 
tempo
volume
Q
 
 
 A vazão dQ que passa pela seção dA é dada por: 
 
dt
dAds
dt
dVol
dQ
 
 
velocidadeaéVondeV
dt
ds
:
 
 
Logo: 
 
dAVdQ
 (Eq. N03) 
 
 Para obter a vazão Q, basta fazer a integração da expressão Equação N03 na área A. 
Integrando vem: 
 
A
dAVQ
 (Eq. N04) 
 
Unidades da vazão Q: 
 
 A unidade a vazão Q no SI, é: 
 
Q [m
3
/s] 
 
É comum encontrar [L/s, L/h, cm
3
/s...]. 
 
Vazão em massa (
m
) 
 
 Definida pela relação da massa de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo, e 
é simbolizada por 
m
. Assim: 
 
tempo
massa
m
 
 
 A vazão em massa 
m
 que passa pela seção dA é dada por: 
 
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dt
dAds
dt
dVol
dt
dm
m
, 
velocidadeaéVondeV
dt
ds
:
 
 
Logo: 
 
dAVm
 (Eq. N05) 
 
 Integrando a Equação N05 na área transversal A, obtém-se a vazão em massa 
m
. Logo: 
 
A
dAVm
 (Eq. N06) 
 
Unidades da vazão 
m
: 
 
A unidade a vazão 
m
 no SI, é: 
 
m
 [kg/s] 
 
É comum encontrar [kg/h, utm/s, g/s...]. 
 
Vazão em peso (W) 
 
 Definida pela relação do peso de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo, e é 
simbolizada por W. Assim: 
 
tempo
peso
W
 
 
 A vazão em peso dW que passa pela secção dA é dada por: 
 
dt
dAdsg
dt
dVolg
dt
dP
dW
, 
velocidadeaéVondeV
dt
ds
:
 
 
Logo: 
 
dAVgdW
 (Eq. N07) 
 
 Integrando a Equação N07 na área transversal A, obtém-se a vazão em peso W. Logo: 
 
A
dAVgW
 (Eq. N08) 
 
Unidades da vazão W: 
 
W [kgf/s] 
 
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É comum encontrar [N/s, N/h, kgf/h e dina/s]. 
 
Velocidade média (Vm) 
 
 A velocidade média Vm ou simplesmente V, pode ser definida pela relação da vazão em 
volume Q e a área da seção transversal A do conduto. Ela pode ser definida como sendo a 
velocidade que multiplicada pela área fornece a vazão em volume Q. Assim: 
 
AVQou
A
Q
V mm
 (Eq. N09) 
 
 Para determinar a expressão matemática da velocidade média (Vm), consideremos um 
conduto qualquer por onde está escoando um fluido incompressível qualquer, conforme 
mostra a Figura N09. Seja A a secção transversal e dA o seu elemento de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A vazão Q pode ser calculada por: 
 
A
dAVQ
 e 
AVQ m
 de modo que: 
 
A
dAVAVm
 
 
Logo: 
A
1
dAV
A
Vm
 (Eq. N10) 
 
Equação da Continuidade 
 
 É a equação que faz o balanço de massa de um escoamento, também conhecida como 
equação da conservação da massa. 
 
Equação da Continuidade para Regime Permanente 
 
 Para determinar a expressão da equação da continuidade em regime permanente num 
volume com uma entrada e uma saída, vamos considerar a situação da Figura N10. No 
volume entra uma vazão em massa 
1m
 pela secção (1) e sai pela secção (2) uma vazão em 
massa 
2m
. Como o regime é permanente, vem: 
 
Fig. N09 – Conduto qualquer para determinar a expressão da Vm 
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2121 0 mmmm
 
 
222111 AVAV
 
 
Para fluidos incompressíveis ρ1 = ρ2 = ρ; logo: 
 
2211 AVAV
 
21 QQ
 
 
 Para o volume da Figura N11, com duas entradas e duas saídas a equação da 
continuidade em regime permanente, terá a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. N10 – Conduto qualquer com uma Entrada e uma Saída 
Fig. N11 – Um volume com duas Entradas e duas Saídas 
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03241 mmmm
 e como; 
AVm
. Logo: 
 
0333222444111 AVAVAVAV
 
 
 Se o fluido for incompressível, então: ρ1 = ρ2 = ρ3 = ρ4 = ρ 
 
Logo: 
 
033224411 AVAVAVAV
 ou: 
03241 QQQQ
. Logo: 
 
4321 QQQQ
 
 
Linhas de Corrente 
 
 São curvas imaginárias tomadas através do fluido para indicar a direção da velocidade em 
diversas secções do escoamento no sistema fluido. Uma tangente à curva em qualquer ponto 
representa a direção instantânea da velocidade das partículas fluidas naquele ponto. A direção 
média da velocidade pode ser representada do mesmo modo pelas tangentes à linha de 
corrente. Uma vez que o vetor velocidade tem uma componente nula normal à linha de 
corrente, é evidente que não poderá haver nenhum fluxo perpendicular às linhas de corrente 
em nenhum ponto. 
 
Trajetória 
 
 É a linha traçada por uma dada partícula que escoa de um ponto para outro.