[Introdução à Mecânica Estrutural] 02 - Solicitações

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Capítulo 2 
Solicitações 
 
Neste capítulo será mostrado como as cargas atuantes em uma estrutura 
se distribuem no interior das barras que a compõe sob a forma de esforços 
internos ou solicitações. 
Serão apresentados três métodos básicos para a obtenção de gráficos que 
exprimem a variação das solicitações ao longo das barras - os diagramas 
de solicitações. 
Os tipos estruturais básicos serão definidos, evidenciando os movimentos 
de corpo rígido possíveis e as solicitações existentes. 
1. ESFORÇOS OU SOLICITAÇÕES 
Considere-se a estrutura abaixo, da qual deseja-se remover a parte AB, 
permanecendo apenas com a parte BCD, mas mantendo o efeito que a 
parte removida teria sobre a que permanece. É fácil verificar que, para 
manter o efeito de AB sobre BCD, é preciso levar todas as forças (ativas 
ou reativas) aplicadas em AB estaticamente até a seção B. Será tomado 
como ponto de aplicação o baricentro da seção B. 
A
B C
D
100 100 200 100 100
200
200
2 kgf/mm
Dx=600kgfAx=600kgf
Ay=800kgf
B C
D
2 kgf/mm
600kgf
600kgf
30000kgf.mm
600kgf
 
 
54 Capítulo 1 - Solicitações 
Considerando situações análogas nas quais a seção de corte é uma seção 
qualquer entre A e D, conclui-se que a estrutura original ABCD está 
submetida a forças internas ao longo de todas as seções transversais de 
seus diversos componentes. 
Define-se como seção transversal uma seção que esteja contida em um 
plano normal ao eixo longitudinal da peça. Em estruturas idealizadas, re-
presentadas esque-
maticamente, um 
ponto de junção de 
duas barras poderá ter 
duas seções transver-
sais, cada uma per-
tencente a uma barra 
distinta. Esta situação 
corresponde, em uma 
estrutura real, a se-
ções transversais em 
pontos distintos. 
Considerando que agora deseja-se permanecer com a parte AB, removen-
do a parte BCD, mas mantendo o efeito de BCD sobre AB. Isto é obtido 
transladando-se estaticamente todas as forças aplicadas em BCD para a 
seção B. Percebe-se que a força e momento resultantes desta situação 
têm o mesmo módulo e direção da situação anterior, mas sentidos contrá-
rios, o que se deve à lei da Ação e Reação. Se dois componentes estão 
conectados ou vinculados entre si, a força que o primeiro exerce sobre o 
segundo é exatamente igual à força que o segundo exerce sobre o 
primeiro (em módulo e direção). 
B
2 kgf/mm
600kgf
800kgf
600kgf
30000kgf.mm
600kgf
A
B C
D
2 kgf/mm
600kgf
800kgf
600kgf
 
Considere-se ainda os Diagramas de Corpo Livre de cada situação. A 
soma desses diagramas deve resultar no Diagrama de Corpo Livre da es-
trutura como um todo. As forças internas, que representam a ação de uma 
A
B
C
Seção transversal em A da Barra AC
Seção transversal em A da Barra AB
A
B
C
Representação esquemática
da união das barras AB e BC
 
Mecânica Estrutural 55 
 
parte da estrutura sobre a outra, se anulam, resultando aparecer somente 
as forças externas, ativas ou reativas. 
Para encontrar as solicitações atuantes em uma dada seção, basta 
cortar a estrutura nesta seção, esboçar o diagrama de corpo livre para 
qualquer uma das partes resultantes e, através das equações de equi-
líbrio, encontrar as forças que devem ser aplicadas na seção de corte 
para manter a parte isolada em equilíbrio. Estas forças correspondem 
às resultantes das forças aplicadas na parte cortada, levadas estatica-
mente até o centro da seção. 
Deseja-se isolar uma pequena fatia ou 
trecho da estrutura ABCD, centrada na 
seção ou ponto B, mantendo o efeito 
do resto da estrutura sobre esta fatia 
(ou seja, mantendo uma situação 
estaticamente equivalente). Na face 
esquerda dessa fatia, deve-se aplicar 
as resultantes das forças e momentos 
aplicados na parte AB, levados 
estaticamente até essa face. 
Analogamente, na face direita devem ser as resultantes de forças e 
momentos aplicados em BCD, levados estaticamente até essa face. O 
resultado final é a fatia ou trecho estar submetido a forças e momentos de 
módulo e direção levemente diferentes (em função de alguma carga 
aplicada sobre essa fatia) e sentidos opostos. Se a largura dessa fatia 
fosse sendo gradativamente diminuída, até alcançar um tamanho muito 
pequeno (infinitesimal), ter-se-ia isolado praticamente uma seção transver-
sal da peça, e as forças aplicadas nas faces seriam iguais em módulo e di-
reção, e opostas em sentido. 
As forças internas que atuam ao longo de uma seção transversal são cha-
madas de Esforços ou Solicitações. Fundamentalmente essas forças po-
deriam ser representadas, em cada seção, por uma resultante de forças, 
em uma direção qualquer, e uma resultante de momentos, também em 
uma direção qualquer, aplicadas no baricentro da seção transversal. Con-
tudo, visando distinguir os efeitos de deformação causados por essas re-
sultantes e a facilidade de interpretação, trabalha-se não com as resultan-
tes de força e momento, mas com suas componentes ao longo de um sis-
tema de eixos locais x', y' e z'. Estes eixos são definidos da seguinte 
forma: dada uma seção transversal (ou seja, perpendicular ao eixo da 
peça em um dado ponto), o eixo x' é perpendicular à seção, e os eixos y' e 
z' estão contidos na seção. Cada uma das componentes da resultante de 
B 600kgf
30000kgf.mm
600kgf
600kgf
30000kgf.mm
600kgf 
56 Capítulo 1 - Solicitações 
forças ou de momentos tem um nome e um determinado efeito sobre a 
peça. 
F
Fx'=N
Fy'=Vy
Fz'=Vz
F
M
Mx'=MT
Mz'
My'
 
1.1. ESFORÇO NORMAL - N 
Corresponde à componente Fx' da resultante de forças perpendicular à se-
ção transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Esta solicitação tem 
como efeito sobre a peça a tendência de distendê-la ou comprimi-la 
(encurtá-la), ou seja, sendo a peça retilí-
nea, aumentar ou diminuir seu compri-
mento. A convenção de sinais utilizada é 
que o esforço normal é positivo sempre 
que a componente de força em questão 
estiver saindo de ambas as faces de 
uma fatia isolada da peça, ou seja, em 
tração. 
1.2. ESFORÇO CORTANTE OU DE CISALHAMENTO - Vx ou Vy 
Corresponde às componentes Fy' e Fz' da resultante de forças contidas no 
plano da seção transversal . Esta solicitação tem como efeito sobre a peça 
a tendência a fazer as di-
versas seções transver-
sais deslizarem, umas 
sobre as outras, perpen-
dicularmente ao eixo 
longitudinal. Para estrutu-
ras planas, a convenção 
utilizada é esforço cortan-
te positivo quando as for-
N N
s1 s2 s2'
+
 
s1 s2
Vy + Vy
s2'
 
Mecânica Estrutural 57 
 
ças aplicadas nas faces de uma fatia representarem um binário no sentido 
horário, e negativo caso contrário. 
Em muitas bibliografias o esforço cortante é indicado por Q, ao invés de V. 
1.3. MOMENTO TORÇOR - Mt ou T 
Corresponde à componente Mx' da resul-
tante de momentos perpendicular à seção 
transversal (ou tangente ao eixo longitudi-
nal). Seu efeito sobre a peça é a tendência 
das diversas seções transversais girarem 
umas em relação às outras, em torno do 
eixo longitudinal, torcendo a peça. A con-
venção utilizada é o esforço torçor positivo 
quando, em uma fatia da peça, os momen-
tos estiverem saindo das faces. 
1.4. MOMENTO FLETOR - My ou Mz 
Corresponde às componentes My' e Mz' da resultante de momentos conti-
das na seção transversal (perpendiculares ao eixo). Seu efeito sobre a 
peça é a tendência a encurvar ou fle-
tir seu eixo longitudinal, fazendo com 
que as seções transversais girem 
umas em relação às outras, em torno 
de um eixo contido na seção trans-
versal. Essa deformação causa tra-
ção em parte das fibras da peça, e 
compressão em outras. 
A convenção de sinais em pórticos 
planos e vigas é obtida escolhendo-se uma das faces de cada barra 
(inferior ou superior) através de umalinha pontilhada desenhada junto ao 
eixo da peça, e considerando-se positivo o momento que tracionar as 
fibras do lado pontilhado. Para vigas, a face escolhida é sempre a inferior, 
ou seja, momento positivo é aquele que traciona as fibras inferiores. 
As solicitações são, na realidade, resultantes de pequenas forças elemen-
tares que atuam ao longo de toda a superfície da seção transversal, cha-
madas de Tensões, objeto de estudo do Capítulo 4. 
Experimentalmente constata-se que, para um dado valor de uma solicita-
ção qualquer, quanto menor for a seção transversal, maior a deformação e 
menor é a resistência da peça. Isto indica que a resistência do material 
s1 s2
+Mt
Mt Mt
Mt
 
s1 s2
s1' s2'
MzMz
+
 
58 Capítulo 1 - Solicitações 
está ligada a uma grandeza que está distribuída por toda a superfície da 
seção, e não concentrada em seu baricentro. 
2. DIAGRAMAS DE SOLICITAÇÕES 
Diagramas de solicitações nada mais são do que gráficos das solicitações 
feitos sobre o eixo longitudinal das barras ou componentes de uma dada 
estrutura, representando o valor de cada solicitação em todas as seções 
transversais da mesma. 
As solicitações Esforço Cortante, Momento Torçor e Esforço Normal são 
representadas sobre o eixo da peça como funções comuns, com os valo-
res positivos acima do eixo e os negativos abaixo, considerando-se o eixo 
longitudinal da peça como o eixo das abcissas, na posição usual para grá-
ficos (horizontal). No caso específico do momento fletor, o diagrama é 
sempre desenhado sobre o eixo da viga para o lado das fibras traciona-
das. É comum hachurar-se os diagramas através de retas perpendiculares 
ao eixo das barras, indicando a que barra eles pertencem. 
Existem três formas básicas de se obter os diagramas de solicitações: 
através de equações que decrevem as solicitações em qualquer ponto; 
através das áreas dos diagramas de carga e esforço cortante e através da 
análise da carga. 
2.1. MÉTODO DAS EQUAÇÕES 
Este método consiste em seccionar a estrutura em uma seção genérica s, 
a uma distância qualquer de um ponto de referência, sendo esta distância 
representada por uma variável que percorre o comprimento da peça, e re-
presentar o Diagrama de Corpo Livre de uma das partes da estrutura. 
A seção genérica s está referenciada a uma variável, por exemplo x. Como 
a distância dessa seção genérica ao ponto de referência está amarrada a 
x, também estarão os braços de alavanca e comprimentos de trechos de 
carga distribuída, de forma que se obterá as solicitações como funções de 
x, ou seja, funções solicitações. 
Considere-se ao lado, na qual L1 = 
1,5 m, L2 = 4,5 m, P = 5 kN e q = 2 
kN/m. As reações vinculares podem 
ser facilmente obtidas por: 
F BX X= =∑ 0 0 
P q
L1 L2
A
B C
a)
 
Mecânica Estrutural 59 
 
M C L P L q L L
C q L P L
L
kN
B Y
Y
= + − =
= − =
∑ 0 0 5 0
2
2 83
2 1 2 2
2 1
2
. . . . ( , . )
,
 
F B C P q L
B P q L C kN
Y Y Y
Y Y
= + − − =
= + − =
∑ 0 0
1117
2
2
.
. ,
 
As solicitações podem ser obtidas conside-
rando-se que, ao cortar a viga em qualquer 
seção, aparecerão, em função da continui-
dade, 3 forças internas para manter o equi-
líbrio: o Esforço Normal, o Esforço Cortante 
e o Momento Fletor. 
Imaginando um corte em uma seção qual-
quer entre os pontos A e B, e mantendo 
somente a parte esquerda da estrutura, o 
diagrama de corpo livre correspondente 
aparece em b) onde, pelas equações de 
equilíbrio abaixo, se encontram as funções 
solicitações. 
F N x
F V x P kN
M M x P x x kNm
X
Y
S
= =
= = − = −
= = − = −
∑
∑
∑
0 0
0 5
0 5
( )
( )
( ) .
 
As solicitações N(x), V(x) e M(x) devem ser arbitradas em b) na direção 
dos sentidos positivos 
Por estar a posição da seção em função de x, as solicitações obtidas va-
lem para qualquer seção entre A e B, bastando para isso substituir o valor 
correspondente de x, visto que neste trecho não aparece nenhuma força 
nova. 
Imaginando agora um corte em uma seção qualquer entre o apoio B e C e 
o correspondente diagrama de corpo livre em c), as solicitações podem ser 
obtidas das equações de equilíbrio abaixo: 
P
x
A N(x)
M(x)
V(x)
s
P q
L1
A
B
By
s
N(x)
M(x)
V(x)
x
b)
c)
 
60 Capítulo 1 - Solicitações 
[ ]
F N x
F V x B P q x L
V x x kN
X
X Y
= =
= = − − −
= −
∑
∑
0 0
0
917 2
1
( )
( ) ( )
( ) , .
 
( ) ( )
[ ]
M M x B x L P x q
x L
M x x x kNm
S Y= = − − − −
= − + −
∑ 0 2
917 19
1
1
2
2
( ) .
( ) ,
 
Esboçando os diagramas das funções V(x) e M(x) resulta: 
- -
-5
6,17
-2,83
3,09
-7,5
2,0
-
+
3,09[ V ] [ M ]
 
É importante perceber que o ponto de máximo do Momento Fletor 
corresponde ao ponto em que o diagrama de Esforço Cortante passa por 
zero, como será mostrado posteriormente. No caso de carga 
uniformemente distribuída, esta distância pode ser calculada como 
x V q= , onde V é o valor do esforço cortante no início do trecho retilíneo, 
q é o valor da taxa de carga no trecho e x é a distância a partir do início do 
trecho. Para o exemplo acima, x = 6,17/2 = 3,09 m. 
As equações das funções solicitações são importantes para a obtenção da 
forma da configuração deformada da estrutura. 
2.2. RELAÇÕES ENTRE q, V e M 
Considere-se a estrutura abaixo, da qual foi retirada uma fatia de compri-
mento infinitesimal dx, mantida de forma estaticamente equivalente à sua 
situação original. As solicitações atuantes em cada face da fatia são leve-
mente diferentes, visto estar a fatia submetida a uma carga distribuída de 
função qualquer q(x). 
Por ser o comprimento da fatia infinitesimal, pode-se considerar constante 
a taxa de carga atuante sobre a mesma, ou seja, sob a ação (local) de 
Mecânica Estrutural 61 
 
uma carga 
uniformemente 
distribuída. (A mesma 
consideração se aplica 
às fatias adjacentes, 
mas com o valor da 
taxa de carga não ne-
cessariamente igual. 
Desta forma, a função 
taxa de carga, origi-
nalmente contínua, é 
aproximada tanto 
quanto se queira por uma função seccionalmente constante do tipo 
"escada". 
Considerando que a estrutura original estava em equilíbrio e, portanto, a 
parte isolada também está em equilíbrio, resulta 
F V qdx V dV V dV V qdx
dV
dx
q
M M M dM V V dV
Y
P
dx dx
dx dx dx
= − = + + − = −
= −
= − + + + + =
∑
∑
0
0 02 2( ) ( )
 
sendo o último termo um infinitésimo de ordem superior, vem 
Vdx dM
dM
dx
V
=
=
 
De onde se conclui que: 
a) A derivada da função momento fletor em relação ao comprimento do 
eixo da peça é a função esforço cortante, e a derivada da função esfor-
ço cortante em relação à mesma variável é igual a menos a taxa de 
carga. As descontinuidades no cortante e fletor em função de cargas 
concentradas podem ser consideradas mediante funções Delta de Di-
rac e Salto Unitário. 
S1 S2
dx
P
S1 S2
dx
V+dV
V
q(x)
q
M+dM
M
 
62 Capítulo 1 - Solicitações 
b) De modo análogo, pode-se mostrar que a integração das funções 
de carga resulta na função Esforço Cortante, e que a integração desta 
conduz à função Momento Fletor. 
2.3. MÉTODO DAS ÁREAS 
Este método é válido para a obtenção de diagramas de Esforço Cortante 
e Momento Fletor, sejam eles pertencentes a uma situação plana ou te-
nham as deformações correspondentes (deslisamento das seções e en-
curvamento do eixo longitudinal) pertencentes ao mesmo plano em uma 
situação espacial. Está baseado nas relações entre as funções taxa de 
carga, esforço cortante e momento fletor deduzidas no item anterior, consi-
derando-se que a função Esforço Cortante é a integral da função Taxa deCarga, e que a função Momento Fletor é a integral da função Esforço Cor-
tante. 
Para obter o diagrama de 
esforço cortante, deve-se 
somar o valor das cargas 
concentradas ou a área das 
cargas distribuídas, da ex-
tremidade esquerda da peça 
até a seção considerada, 
computando como positivas 
todas as cargas que fizerem 
momento no sentido horário 
em relação à seção trans-
versal, e negativas caso 
contrário. Se as áreas forem 
computadas a partir da ex-
tremidade direita da peça, 
valem as mesmas conven-
ções. 
Para obter o diagrama de 
momento fletor, deve-se so-
mar a área do diagrama de 
esforço cortante desde a ex-
tremidade esquerda da peça 
até a seção considerada, 
além das cargas tipo binário 
ou momento, sendo considerados positivos momentos tracionando as fi-
bras do lado pontilhado e áreas de cortante do lado oposto ao pontilhado, 
e negativos caso contrário. Se forem computadas as áreas a partir da ex-
A B C D E
50kNm
10 kN/m
15 kN/m
50kN 30kN
2m 4m 2m 3m
41,67kN 108,33kN
41,67
[V]
1,67
-48,33
-78,33
30
50 108,33
-90
-50
36,68
6m
[M]
 
Mecânica Estrutural 63 
 
tremidade direita da peça, a área do diagrama de esforço cortante a ser 
considerada positiva é a que aparece no lado pontilhado da barra. 
Na obtenção do diagrama de esforço cortante, percebe-se que o método 
das áreas é em tudo equivalente ao método das equações, já que ambos 
estão somando forças na direção perpendicular ao eixo da barra na seção 
considerada, de um lado ou de outro da seção. 
Contudo, para a obtenção do Momento Fletor em alguns pontos, o método 
das áreas mostra-se bastante prático. Por exemplo, o momento fletor em 
C é dado por: 
( )M
M
C
C
= + −
=
4167 167 4 2 50
36 38
, , . /
,
 
e o momento fletor em D é dado por 
MD = − = −30 3 90. 
Este método é bastante indicado quando deseja-se obter o valor da solici-
tações apenas em algumas seções, não sendo procurada a função que 
descreve as mesmas. Para a determinação dos diagramas de solicitações, 
sua aplicação pode resultar vantajosa em relação ao método das 
equações quando combinada com o método da análise de carga. 
2.4. MÉTODO DA ANÁLISE DA CARGA 
Este método consiste em determinar o formato básico dos diversos 
trechos dos diagramas simplesmente pela análise do tipo de carga 
aplicada nos mesmos, construindo-se o diagrama a partir daí e do valor 
das solicitações em alguns pontos, calculados pelos métodos anteriores 
(equações de equilíbrio ou áreas). 
Da observação dos diagramas anteriores, dos constantes na tabela a 
seguir, e das relações entre q, V e M obtidas no item 2.2. pode-se 
determinar as seguintes propriedades: 
? Uma carga concentrada seguida por um trecho sem carga gera um dia-
grama de cortante constante e um diagrama de fletor linear 
? Uma carga distribuída e constante (carga retangular) gera um diagrama 
de cortante linear e um diagrama de fletor parabólico. A inclinação do 
diagrama de cortante depende do valor da carga distribuída. 
? Uma carga concentrada causa uma descontinuidade no diagrama de 
esforço cortante do mesmo valor da carga, e de mesma direção e sen-
tido. 
64 Capítulo 1 - Solicitações 
? Uma carga concentrada causa uma quebra (ponto de inclinação dupla 
ou angulação) no diagrama de fletor. 
? Uma carga tipo momento (binário) não tem efeito sobre o cortante e 
gera uma descontinuidade no valor do momento no diagrama do fletor. 
Relações entre as funções carga, esforço cortante e momento Fletor 
C A R G A C O R T A N T E F L E T O R
 
? Em extremidades livres (balanços), o esforço cortante é nulo ou igual 
em módulo a uma carga concentrada aí aplicada. O momento fletor é 
nulo ou igual ao binário aí aplicado. 
? Em extremidades apoiadas, o valor do cortante é igual em módulo à re-
ação vincular perpendicular ao eixo da barra. O momento fletor é nulo a 
menos que aí esteja aplicado um binário. 
? O ponto de máximo matemático do momento fletor coincide com o 
ponto em que o esforço cortante passa por zero. 
Mecânica Estrutural 65 
 
? O momento fletor sobre um apoio interno (não de extremidade) sofre 
uma quebra ou angulação. 
? A concavidade do diagrama de momento fletor está sempre voltada 
para a carga distribuída. 
? Uma carga distribuída linear (carga triangular) gera um cortante 
parabólico e um fletor cúbico. 
? Em extremidades engastadas, o valor do momento fletor é igual em 
módulo ao da reação momento do vínculo, e o cortante igual em 
módulo à reação perpendicular ao eixo da peça. 
? O momento fletor em uma rótula interna é nulo. 
2.5. APLICAÇÃO DO MÉTODO DE ANÁLISE DA CARGA 
Considere-se o pórtico plano abaixo, no qual desejamos esboçar os 
diagramas de solicitações. Inicialmente devemos calcular o valor das 
reações vinculares aplicando as equações de equilíbrio no plano, incluindo 
aí uma equação de equilíbrio quanto ao giro relativo das partes ABCDE ou 
EF em torno da rótula E. 
Sendo o vínculo em F 
um apoio inclinado, o 
deslocamento que ele 
impede é na direção 
perpendicular à base 
(perpendicular a EF) 
e, portanto, a reação 
que surge é 
perpendicular a EF. 
Esta reação pode ser 
calculada através de 
uma equação de equi-
líbrio quanto ao giro 
da parte EF em torno 
da rótula E (ou 
momentos da parte EF 
em relação a E), tanto 
em função das 
componentes da carga 
e da reação nas 
direções x e y, como em função de forças nas direções paralela e 
perpendicular a EF. 
5000 kgf.mm
75 kgf
0,2 kgf/mm
100 100 200 mm 
125
125
320,2 mm
95 kgf25 kgf
250 kgf.mm 32,02 kgf
20 kgf
25 kgf
A
C
B
D E
F
 
66 Capítulo 1 - Solicitações 
Utilizando esta última abordagem vem 
M F F kgfE
EF = − = =∑ 0 320 2 0 2 320 2 2 0 32 022. , , . , / , 
Pode-se mostrar que a componente da resultante de uma carga distribu-
ída, aplicada em uma barra inclinada, em relação a uma direção qualquer, 
é a área do diagrama da carga, considerando-se como base a projeção da 
base real na direção perpendicular à direção considerada. Assim a compo-
nente da resultante da carga distribuída na direção y é a área do diagrama 
da carga, considerando como base a projeção da base real na direção x, 
ou seja 0,2.200 = 40 Kgf. A componente da resultante da carga distribuída 
na direção x é a área do diagrama da carga, considerando como base a 
projeção da base real na direção y, ou seja 0,2.250 = 50 Kgf. 
A componente na direção x da reação F é dada por F.250/320,2, e na dire-
ção y por F.200/320,2. Utilizando-se estas componentes, e as componen-
tes da carga acima definidas, pode-se escrever a equação de equilíbrio 
M F F
F kgf
F kgf F kgf
E
X Y
= + − − =
=
= = = =
∑ 0 250320 2 250 200320 2 200 40100 50125 0
32 02
32 02 250
320 2
25 32 02 200
320 2
20
.
,
. .
,
. . .
,
, .
,
, .
,
 
Aplicando as demais equações de equilíbrio no plano, vem 
F A A
F A A
M M M
X X X
Y Y X
E
ABCDE
A A
= − + = =
= − − + = =
= + + + − = =
∑
∑
∑
0 50 25 0 25
0 75 40 20 0 95
0 5000 25 250 75100 95 200 0 250. . .
 
onde as forças estão e, Kgf e os momentos em kgf.m 
Para a determinação dos diagramas de solicitações, pode-se separar a 
estrutura em suas barras componentes, calculando o efeito do resto da es-
trutura sobre cada barra (o que nada mais é do que as solicitações nas se-
ções de corte). Desta forma, para traçar os diagramas de um pórtico (ou 
de uma estrutura qualquer) basta saber traçar os diagramas de uma barra 
com forças e/ou momentos em suas extremidades e cargas quaisquer ao 
longo de seu comprimento. 
Mecânica Estrutural 67 
 
Seccionando a estrutura em C e considerando sempre as cargas à es-
querda da seção transversal (momento fletor positivo tracionandoas fibras 
internas), pode-se esboçar o diagrama de solicitações da seguinte forma, 
sem calcular inicialmente as forças internas atuantes em C: 
Só existe a reação Ay como força atuante na direção do eixo da barra, de 
modo que o esforço normal é constante e igual a essa reação, em com-
pressão. 
O valor do esforço cortante em A é 
igual ao valor da reação Ax, nega-
tivo em função da convenção de si-
nais. Como a carga distribuída na 
barra é nula, o diagrama é constan-
te. 
O momento fletor em A é igual ao 
valor da reação MA, tracionando as 
fibras externas, portanto negativo. A 
carga aplicada Ax, na ausência de 
carga distribuída, gera um diagrama 
linear a partir de A, podendo-se ob-
ter o valor do mesmo em B pela 
soma da reação MA e da área do 
diagrama do esforço cortante, de A 
até B. O binário aplicado em B 
causa uma descontinuidade (salto) 
do diagrama em B, de 5000 
kgf.mm, continuando o diagrama a partir daí com a mesma variação linear 
anterior. O momento em C pode ser obtido somando-se os binários aplica-
dos em A e B e a área do diagrama de esforço cortante de A até C. 
125mm125mm
95 kgf
25 kgf
250 kgf.mm
A CB
5000 kgf.mm
[Q]
-
[N]
- -25
-95
[M]
--250
-3375
-8375
-11500
Qc
Mc
Nc
 
68 Capítulo 1 - Solicitações 
As solicitações atuantes em C re-
presentam as forças de interação 
(ação e reação) entre a parte ABC 
e a parte CDE da estrutura. Portan-
to, se representarmos a barra CDE 
isoladamente, as forças internas 
em C de ABC aparecerão em C de 
CDE, com mesmos módulos mas 
sentidos contrários. Em função de 
as barras ABC e CDE serem per-
pendiculares entre si, a força que 
representa o Esforço Normal em C 
de ABC (na direção do eixo da 
barra) passa a representar o Es-
forço Cortante em C de CDE (na di-
reção perpendicular ao eixo da 
barra); da mesma forma, a força 
que representa o Esforço Cortante 
em C de ABC passa a representar 
o Esforço Normal em C de CDE. 
Considerando que não há cargas 
aplicadas ao longo da barra com 
componentes na direção do eixo da 
barra, o esforço normal é constante, em compressão. 
O esforço cortante em C tem o valor da força ali aplicada. Não havendo 
carga distribuída ao longo do comprimento da barra, o diagrama de 
esforço cortante é constante, havendo uma descontinuidade de 75 Kgf em 
D em virtude da força aplicada. 
O momento fletor em C tem o valor do binário ou momento aí aplicado, e 
corresponde ao valor do momento fletor em C na barra ABC, como seria 
de se esperar, visto que o diagrama de momento fletor é contínuo a menos 
que existam momentos ou binários aplicados. Em função da carga vertical 
de 95 Kgf aplicada em C e da ausência de carga distribuída, o diagrama 
de momento fletor é linear, sendo seu valor em D facilmente calculado 
através da área do diagrama de esforço cortante entre C e D, acrescido do 
momento em C. A partir de D, com mais uma carga concentrada aplicada, 
o diagrama continua linear, mudando apenas de inclinação e mantendo a 
continuidade. Uma vez calculado o valor do momento fletor em D, o dia-
grama de D a E é uma reta indo até zero em E, visto que, em uma rótula 
interna, o momento fletor deve ser nulo (condição de equilíbrio utilizada na 
determinação das reações vinculares). 
75 kgf
100 100 
95 kgf
25 kgf
11500 kgf.mm
C D E
Qe
Ne
-25
[N] -
[Q]
+
95
[M]
-11500
-2000-
 
Mecânica Estrutural 69 
 
Para a determinação das solicitações em EF, pode-se utilizar o sistema de 
eixos cartesiano xy até agora empregado ou, com muito mais vantagem, 
empregar um sistema de eixos segundo as direções paralela e 
perpendicular à barra EF. 
Considerando este sistema e seccio-
nando a barra em E, não é necessário 
o cálculo das forças internas na extre-
midade E, visto que as solicitações po-
dem ser obtidas a partir das forças e 
momentos à direita da seção transver-
sal considerada. 
Como não existe reação na direção do 
eixo da barra no vínculo F e nenhuma 
carga com componente nesta direção 
aplicada ao longo da barra, o esforço 
normal em toda a barra é nulo. 
O esforço cortante em F é dado pela 
reação do vínculo em F. A partir de F 
até E, em função da carga distribuída 
constante (carga retangular) aplicada 
na barra, o diagrama de esforço 
cortante é linear. Para esboçá-lo, basta 
calcular o valor do cortante em E a 
partir do diagrama de carga e da reação em F. 
Sendo o esforço cortante linear, o momento fletor será parabólico, com 
valor nulo em E e F e máximo no ponto em que o cortante é nulo, ou seja, 
no meio da barra (devido à simetria). 
3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 
Uma estrutura formada por barras (estrutura reticulada) terá, a princípio, 6 
solicitações em cada seção (N, Mt, Qy, Qz, My, Mz). Contudo, podemos 
criar alguns modelos matemáticos nos quais as estruturas reais podem ser 
enquadradas e que permitem uma maior ou menor simplificação no 
processo de análise. 
 
3.1. VIGA 
E FNe
Qe
32,02 kgf
0,2 kgf/mm
320,2mm
[N]
[Q]
32,02
32,02
+
-
[M]
+
2563,2 
70 Capítulo 1 - Solicitações 
Uma viga é uma estrutura linear cuja geometria se desenvolve ao longo de 
uma reta e cujas cargas estão aplicadas em um plano contendo o eixo da 
viga, e momentos ou binários cujo vetor de dupla seta seja perpendicular 
ao plano acima referido. Os 
deslocamentos de corpo rígido 
possíveis a esta estrutura são 
deslocamentos no plano e giro 
em torno de um eixo perpendi-
cular ao plano. As solicitações 
atuantes em cada seção podem 
ser esforço normal, esforço cortante e momento fletor. 
3.2. PÓRTICO PLANO 
Um pórtico plano é uma estrutura reticu-
lada cujas barras componentes são to-
das coplanares. As cargas admitidas são 
forças pertencentes a esse plano e mo-
mentos perpendiculares ao plano. Os 
movimentos de corpo rígido e solicita-
ções são os mesmos da VIGA. Arcos de 
alma cheia são casos particulares de 
pórticos planos. 
 
 
3.3. GRELHA 
Grelha é uma estrutura reticulada plana cujas cargas admitidas são forças 
perpendiculares ao plano da estru-
tura e momentos cujos vetores de 
dupla seta estejam contidas no 
plano da estrutura. Os movimentos 
de corpo rígido possíveis são um 
deslocamento linear perpendicular 
ao plano da estrutura e os giros em 
torno dos eixos que definem o 
plano da estrutura. As solicitações 
que aparecem nas barras são es-
forço cortante, momento fletor e 
momento torçor. 
 
 
 
xy
z
 
Mecânica Estrutural 71 
 
3.4. TRELIÇA PLANA 
Uma treliça plana é uma estrutura reticulada plana formada por barras re-
tas e unidas entre si através de rótulas, tendo como cargas somente forças 
contidas no plano da estrutura 
aplicadas nos nós. Os movi-
mentos de corpo rígido possí-
veis à estrutura são desloca-
mentos no plano da estrutura e 
giro em torno de um eixo per-
pendicular ao plano. Em função 
das barras serem retas, rotula-
das nas extremidades e com 
cargas somente nestes pontos (nós), as barras de uma treliça estão sub-
metidas somente a esforço normal. 
3.5. TRELIÇA ESPACIAL 
Uma treliça espacial é uma estrutura reticulada 
espacial formada por barras retas e unidas entre 
si através de rótulas, tendo como cargas somente 
forças aplicadas nos nós. Admite todos os movi-
mentos de corpo rígido e tem barras submetidas 
somente a esforço normal. 
 
 
3.6. PÓRTICO ESPACIAL 
Um pórtico espacial é a mais geral 
das estruturas reticuladas, admi-
tindo qualquer tipo de barra, qual-
quer tipo de ligação entre elas, 
qualquer tipo de carga, todos os 
movimentos de corpo rígido e to-
das as solicitações. 
Assim, uma barra de pórtico es-
pacial pode estar submetida a es-
forço normal, torção, cisalhamento 
em duas direções e flexão em 
duas direções. 
4. SOLICITAÇÕES EM TRELIÇAS PLANASxy
z
 
72 Capítulo 1 - Solicitações 
As treliças, por serem compostas por barras retas, rotuladas em ambas as 
extremidades, com cargas somente nos nós, transmitem somente esforço 
normal ao longo de suas barras. Além disso, por não haver carga ao longo 
das barras, o esforço normal é constante em cada barra. 
Em virtude do exposto acima, não se faz diagramas de esforço normal em 
treliças, indicando-se simplesmente o valor do esforço normal em cada 
barra (o qual, pela convenção de sinais já vista, é positivo em tração e ne-
gativo em compressão). 
As reações vinculares em uma treliça são obtidas da mesma forma que 
nas demais estrutura isostáticas: equações de equilíbrio aplicadas sobre o 
diagrama de corpo livre de toda estrutura, onde os vínculos são substituí-
dos pelas respectivas reações. 
Para calcular as solicitações, a metodologia é a 
mesma até agora empregada: secciona-se a estru-
tura ao longo de uma seção ou linha de corte e 
avalia-se o equilíbrio de uma ou outra parte da 
estrutura. 
Quando uma treliça é seccionada, geralmente são 
cortadas mais de uma barra. Para avaliar o equilí-
brio da parte seccionada, monta-se o diagrama de 
corpo livre desta parte, no qual o efeito dos 
vínculos é representado pelas reações vinculares e 
o efeito da continuidade das diversas barras 
seccionadas é representado por uma força interna 
que é o esforço normal de cada barra. Visando que 
o sinal do módulo destas forças corresponda ao sinal das solicitações nas 
respectivas barras, arbitra-se, no diagrama de corpo livre, as forças 
internas sempre saindo do nó, de forma que o sinal positivo do módulo 
corresponda à tração e o sinal negativo, compressão. 
Considere-se a treliça abaixo, para a qual é esboçado o diagrama de 
corpo livre. Aplicando as equações de equilíbrio no plano, vem: 
F A A
M A A
F B B
X X X
B Y Y
Y Y Y
= + = = −
= + − = =
= − + = =
∑
∑
∑
0 50 0 50
0 50 250 50 250 500 0 50
0 50 50 0 0
. . . 
N
N
N
N
 
Mecânica Estrutural 73 
 
A treliça será seccionada em 
torno do nó 4, fazendo-se o 
diagrama de corpo livre da 
parte seccionada. Em todas 
as barras seccionadas, apa-
recem forças internas que re-
presentam o efeito do resto 
da estrutura sobre a parte que 
foi isolada. Considerando que 
a estrutura como um todo es-
tava em equilíbrio, a parte 
seccionada também está em 
equilíbrio, de modo que pode-
se escrever: 
F N N kgf
F N N kgf
X
Y
= + = = −
= + = = −
∑
∑
0 50 0 50
0 50 0 50
8 8
3 3
 
Como todas as forças envolvidas concorrem a um mesmo nó, só é possí-
vel aplicar nesta situação somente 2 equações de equilíbrio. A aplicação 
de uma equação de equilíbrio de momentos em relação a um ponto 
qualquer não forneceria nenhuma informação para a solução do sistema, 
sendo linearmente dependente das demais. Isso pode ser facilmente 
verificado fazendo-se o somatório de momentos em relação ao ponto A, 
onde nenhuma equação é obtida. Portanto, em situações como essa, as 
equações de equilíbrio no plano podem resolver somente duas 
incógnitas. 
Seccionando a treliça em torno do nó 1, a 
situação é similar à anterior, de modo que 
as equações de equilíbrio somente poderão 
resolver duas incógnitas: o esforço normal 
da barra 1 e da barra 4 (visto que o esforço 
normal da barra 3 já foi calculado e, portan-
to, não é mais incógnita).No diagrama de 
corpo livre correspondente ao nó 1 seccio-
1 2
3
4 5
6 7
8 9
1 2 3
4
5
6
A B
50kgf
50kgf
250mm 250mm
250mm
1 2
3
4 5
6 7
8 9
1 2 3
4
5
6
A
50kgf
50kgf
B
50kgf
50kgf
 
4
50kgf
50kgf A N8
N3
 
1
50kgf
50kgf A N1
N4
 
74 Capítulo 1 - Solicitações 
nado, o esforço normal da barra 3 já foi colocado com seu sentido correto 
(compressão - convergindo para o nó), de modo que não foi acompanhado 
de sinal. 
Aplicando as equações de equilíbrio vem 
F N N kgf
F N N N
Y
o
X
o
= − = =
= − + + = =
∑
∑
0 50 45 0 70 71
0 50 45 0 0
4 4
1 4 1
. sen ,
. cos
 
O MÉTODO DOS NÓS consiste em seccionar a treliça seqüencial-
mente, sempre em torno dos nós, aplicando equações de equilíbrio de 
FORÇAS nas direções x e y. Em nenhum nó poderão concorrer mais 
que 2 barras incógnitas. 
Considerando este método, pode-se constatar que o esforço normal das 
barras 2, 5, 6, 7 e 9 é nulo. 
A mesma treliça poderia ser resolvida utilizando um tipo de corte diferente, 
não mais em torno dos nós mas em uma posição qualquer. Desta forma, 
para cada parte seccionada, as três equações de equilíbrio no plano pode-
riam ser aplicadas, resolvendo-se 3 incógnitas para cada seção. 
O MÉTODO DE RITTER consiste em seccionar a treliça em uma posi-
ção qualquer, de modo que não se tenha mais de 3 barras incógnitas 
interrompidas, sendo que estas barras não podem ser todas paralelas 
ou todas concorrentes em um mesmo ponto. Da aplicação das equa-
ções de equilíbrio no plano, preferencialmente em momentos, obtém-
se as solicitações nas barras interrompidas. 
Assim, avaliando-se o equilíbrio de 
parte da estrutura resultante do 
corte das barras 2, 6 e 9, utilizando-
se, quando possível, equações de 
momento em relação a um nó em 
que concorram todas as incógnitas 
menos uma, resulta: 
 
 
1
3
4 5
8
1 2
4
5A
50kgf
50kgf
50kgf
50kgf
N2
N6
N9
3
 
Mecânica Estrutural 75 
 
M N N
M N N
F N NY
o
5 2 2
3 9 9
6 6
0 50 250 50 250 250 0 0
0 50 250 50 500 50 250 250 0 0
0 50 50 45 0 0
= − − = =
= − + + = =
= − + = =
∑
∑
∑
. . .
. . . .
. sen
 
O mesmo resultado poderia ter sido obtido muito mais facilmente conside-
rando-se o equilíbrio da outra parte da estrutura resultante do corte. 
Os métodos dos Nós e de Ritter não são excludentes, podendo-se utilizar 
ambos simultaneamente para a resolução de uma treliça. 
O método dos Nós resolve somente treliças simples, isto é, aquelas que 
podem ser geradas a partir de um triângulo inicial adicionando-se sucessi-
vamente um nó e duas barras. Treliças compostas, resultantes da união 
de duas treliças simples através de um nó comum e uma barra, ou três 
barras não paralelas, somente podem ser resolvidas com a aplicação de 
pelo menos uma seção de Ritter. 
5. SOLICITAÇÕES EM PÓRTICOS ESPACIAIS 
As solicitações em um pórtico espacial são obtidas de forma semelhante 
às do pórtico plano, ou seja, secciona-se a estrutura, considera-se apenas 
uma parte da mesma e representa-se na seção de corte o efeito da outra 
parte através de forças internas que são as solicitações. No pórtico espa-
cial, cada seção terá 6 solicitações, especificamente Esforço Normal, Mo-
mento Torçor, Esforço Cortante em duas direções perpendiculares e Mo-
mento Fletor em duas direções perpendiculares. 
Todas as observações a respeito das relações entre carga, esforço cortan-
te e momento fletor continuam válidas, desde que consideradas para gran-
dezas pertencentes a um mesmo plano (cargas e esforço cortante 
coplanares, vetor de dupla seta do momento fletor perpendicular ao plano). 
Assim como no pórtico plano, no qual em duas barra unidas segundo um 
ângulo reto o esforço normal é transmitido de uma parte para a outra como 
esforço cortante (visto serem estas solicitações forças perpendiculares en-
tre si), em um pórtico espacial que apresente união de barras 
perpendiculares entre si, o esforço normal se transmite de uma barra para 
outra como uma das componentes do esforço cortante, e vice-versa; o 
momento torçor se transmite de uma para outra como uma das 
componentes do momento fletor e vice-versa. 
76 Capítulo 1 - Solicitações 
Mz
My
Mx
Fx
Fz
Fy
S1
Mz
My
Mx
Fx
Fz
Fy
S2
Em S1: Fx = Normal Fy,Fz=CortantesMx=Torçor My,Mz=Fletores
Em S2: Fy = Normal Fx,Fz=Cortantes
My=Torçor Mx,Mz=Fletores
 
 
 
 
Mecânica Estrutural 77 
 
EXEMPLO 1 (Mechanics of Materials, R.C. Hibbeler, Prentice Hall, 1994) 
Determine as solicitações sobre a seção transversal em C do eixo indicado 
na figura. O eixo está apoiado em rolamentos em A e B, que aplicam 
unicamente forças verticais. 
800N/m 225N
A BC
200mm 100mm 50mm50mm 100mm
(a)
 
Metodologia de Análise 
Resolveremos este problema empregando o segmento AC do eixo. 
Reações de Apoio: 
Um diagrama de corpo livre é 
indicado em b). Uma vez que 
será considerado apenas o 
segmento AC, é preciso de-
terminar apenas a reação em 
A. 
 
M
B∑ = 0 
− + − = = −Ay mm N mm N mm Ay N. ( ) . ( ) . ( ) ,400 120 125 225 100 0 18 75
O valor negativo para Ay indica que a reação atua em sentido oposto ao 
indicado na figura b). 
Diagrama de Corpo Livre: 
Fazendo uma seção imaginária por C 
obtém-se o diagrama de corpo livre indi-
cado na figura c). 
Equações de Equilíbrio: 
F Nx c∑ = =0 0
225N
0,275m 0,125m 0,100mAy By
(800N/m)(0,150m)=120N(b)
 
0,225m 0,025m
18,75N
40N
V
M
N
C
C
C
C
A
(c)
 
78 Capítulo 1 - Solicitações 
F N N Vc
Vc N
M Mc N mm N mm
Mc Nmm
y
c
= − − − =
= −
= + + =
= −
∑
∑
0 18 75 40 0
58 8
0 40 25 18 75 250 0
5690
,
,
. ( ) , . ( )
 
 
Como exercício, determine a reação em B e tente obter os mesmos resul-
tados empregando o segmento CB 
EXEMPLO 2 (Mechanics of Materials, R.C. Hibbeler, Prentice Hall, 1994) 
Determine as solicitações que atuam na seção C da viga indicada na 
figura abaixo. 
270N/m
A BC3m 6m
(a)
 
Metodologia de Análise 
Reações de Apoio: 
Este problema pode ser resolvido de maneira mais simples considerando o 
segmento CB da viga, pois desta maneira não é necessário determinar a 
reação em A. 
Diagrama de Corpo Livre: 
Fazendo uma seção imaginária per-
pendicular ao eixo da viga obtemos o 
diagrama de corpo livre do segmento 
CB, como está indicado em b). É im-
portante notar que a carga distribuída 
somente poderá ser substituída por 
sua resultante após seccionar-se a 
estrutura no ponto C, visto que a par-
cela de carga distribuída atuante em 
2m
540N180N/m
NC
VCM
C
(b)
 
Mecânica Estrutural 79 
 
CB é somente aquela aplicada sobre este segmento, e não o total. A taxa 
de carga qc atuante no ponto C pode ser obtida para o caso de carga li-
near, por semelhança de triângulos. 
q
m
N m
m
q N mc c6
270
9
180= =/ / 
A magnitude da carga distribuída é igual à área sob o diagrama. Então, 
F=1/2(180N/m)(6m)=540N, que atua a 1/3(6m)=2m do extremo C. 
F N
F Vc N Vc N
M Mc N m Mc Nm
x c
y
c
∑
∑
∑
= =
= − = =
= − − = = −
0 0
0 540 0 540
0 540 2 0 1080
 
. ( )
 
O sinal negativo indica que Mc atua em sentido oposto ao assumido no di-
agrama de corpo livre. 
Tente resolver o problema empregando o 
segmento AC, obtendo primeiro as reações 
em A, como está indicado na figura c). 
Note que o sentido das solicitações é o in-
verso da situação anterior, mas continua 
coincidindo com os sentidos positivos. A 
resultante da carga distribuída foi obtida 
por superposição de efeitos, dividindo-se 
o trapézio em um retângulo e um triângulo 
e considerando cada resultante individual. 
EXEMPLO 3 (Mechanics of Materials, R.C. Hibbeler, Prentice Hall, 1994) 
Determine as solicitações sobre a seção 
em B do tubo indicado. O tubo tem uma 
massa de 2 kg/m e está sujeito a uma for-
ça vertical de 50N e a um momento de 70 
Nm em sua extremidade A, estando 
engastado na parede em C 
 
Metodologia de Análise: 
NC
M
C
V
C
135N 540N
1215N
364N.m
90N/m 180N/m
0,5m 1,5m1,0m
(c)
 
50N
70N.m 1,25m
0,75m
0,5m
A
B
C
D
 
80 Capítulo 1 - Solicitações 
O problema pode ser resolvido considerando o segmento AB, sem 
necessidade de determinar as reações em C. 
Diagrama de Corpo Livre: 
Os eixos x,y,z estão estabe-
lecidos em B e o diagrama de 
corpo livre do segmento AB é 
indicado ao lado. Assume-se 
que as solicitações atuam no 
sentido positivo dos respecti-
vos eixos , no centro de gra-
vidade da seção. O peso de 
cada segmento do tubo deve 
ser calculado: 
 
 
 
 
 
W kg m m N kg N
W kg m m N kg N
BD
AD
= =
= =
( / )( , )( , / ) ,
( / )( , )( , / ) ,
2 0 5 9 81 9 81
2 125 9 81 24 52
 
Estas forças atuam no centro de gravidade de cada segmento. 
Equações de equilíbrio: 
F F
F F
F F N N N F N
x B x
y B y
z B z B z
= =
= =
= − − − = =
∑
∑
∑
0 0
0 0
0 9 81 24 52 50 0 84 3
( )
( )
( ) , , ( ) ,
 
( )
( ) ( , ) , ( , ) , ( , )
( ) ,
M
M Nm N m N m N m
M Nm
B x
B x
B x
=
+ − − − =
= −
∑ 0
70 50 0 5 24 52 0 5 9 81 0 25 0
30 3
 
50N
70N.m
24,52N
0,625m
0,625m
0,25m
0,25m
9,81N
y
z
x
(F )B x
B(M )y
x
(M )B
(F )
yB
B(M )z
(F )B z
 
Mecânica Estrutural 81 
 
( )
( ) , ( , ) ( , ) ( ) ,
M
M N m N m M Nm
B y
B y B y
=
+ + = = −
∑ 0
24 52 0 625 50 125 0 77 8
 
( ) ( )M MB z B z= =∑ 0 0
 
EXEMPLO 4 (Teoria das Estruturas - Vol.3, F.A.Campanari, Guanabara Dois, 1985) 
Determinar os esforços nas barras da treliça abaixo: 
2,0 t 2,0 t 2,0 t
HA
VA VB
1,0m
2,0m 2,0m 2,0m
A B
C
D
E
F
G
1
2
3
4 5
6 7 8 9
1110
c
c
a
a
b
b
 
 
Solução: 
Como a treliça é geometricamente simétrica e com carregamento simétri-
co, e não há reação vincular na horizontal pela ausência de cargas nesta 
direção, basta determinar os esforços em metade da estrutura. 
Para calcular as reações aplica-se: 
F H
M V m t m t m t m V t
F V V t t t V t
x A
B A A
y A B B
= =
= − − − = =
= + − − − = =
∑
∑
∑
0 0
0 6 2 2 3 2 1 0 3
0 2 2 2 0 3
. ( ) . (5 ) . ( ) . ( ) 
Considerando-se uma primeira seção de Ritter a-a, calcula-se os esforços 
nas barras 4, 6 e 10. Arbitrando-se o esforço normal no sentido positivo 
(saindo da seção de corte), os sinais obtidos nas equações de equilíbrio 
82 Capítulo 1 - Solicitações 
estarão de acordo com a convenção do esforço normal (positivo em tra-
ção). 
Perceba-se que as solicitações são representadas saindo diretamente dos 
nós, e não nos pontos de intersecção das barras com a seção de corte a-
a. Contudo, esta representação 
é equivalente, visto que as 
cargas podem ser deslocadas 
livremente ao longo de suas 
retas suporte sem alterar o 
equilíbrio estático. 
 
 
 
 
M V m t m N m N t
M V m t m N m N t
F V t N N t
E A
D A
y A
o
= − − = =
= − + = = −
= − + = = −
∑
∑
∑
0 3 2 2 1 0 5
0 2 2 1 1 0 4
0 2 45 0 141
10 10
4 4
6 6
. ( ) . ( ) . ( )
. ( ) . ( ) . ( )
. sen ,
 
Considerando uma seção de Ritter ao longo do corte b-b, é possível de-
terminar os esforços nas barras 2 e 3. Note que a aplicação de seções de 
Ritter não obrigam o cálculo de 3 barras incógnitas, sendo isto apenas o 
limite máximo. É possível aplicar uma seção de Ritter para calcular apenas 
1 ou 2 incógnitas (o que é o caso). 
Perceba também que a seção b-b interceptou a barra 4, cujo esforço já 
havia sido determinado. Duas opções podem ser empregadas: 
a) representar o esforço no seu sentido correto, sem sinal (o que foi feito 
ao lado, com o esforço de compressão sendo representado convergindo 
para o nó); 
b) representar o esforço no seu sentido positivo (saindo do nó) e, ao 
substituir seu valor nas equações correspondentes, utilizar o seu sinal 
(negativo se compressão, positivo se tração).2,0 t
HA
VA
A
C
D
E
1
2
3
c
c
b
b
N4
N6
N10
 
Mecânica Estrutural 83 
 
M V m N m N t
F V t N N t
C A
y A
o
= − = =
= − − = =
∑
∑
0 1 1 0 3
0 2 45 0 141
2 2
3 3
. ( ) . ( )
. cos ,
 
É importante notar que a aplicação de equações de somatório de momen-
tos convenientemente escolhidas de modo a ter apenas uma incógnita 
(momento em relação a um nó ao qual as outras barras incógnitas concor-
rem) torna o cálculo das solicitações de cada barra independente das de-
mais. 
Finalmente, aplicando uma seção de Ritter em c-c (o 
que é equivalente a aplicar o método dos nós no nó 
A), resulta: 
F V N N ty A
o= + = = −∑ 0 45 0 4 241 1. cos ,
 
As solicitações em toda a estrutura podem ser vistas 
na figura abaixo. 
A B
C
D
E G
F
1,41+1,41
_1,41+ 1,41_ _ 4,24_ 4,24
_ 4,0 _ 4,0
3,0 5,0+ + 3,0+
 
EXEMPLO 5 (Teoria das Estruturas - Vol.3, F.A.Campanari, Guanabara Dois, 1985) 
Determinar os diagramas de solicitações da estrutura abaixo: 
2,0 t
HA
VA
A
C
1
c
c
N2
D
4 t
N3
 
HA
VA
A
N1
3 t
 
84 Capítulo 1 - Solicitações 
3,0m
2,0m
z
x
y
y
x
z
2,0 t
3,0 t
A
B
C
2,0mD
 
Solução: 
As solicitações podem ser determinadas facilmente analisando-se cada 
barra em função das solicitações axiais (Esforço Normal e Momento de 
Torção) e das solicitações em cada plano formado pelo eixo da barra e por 
um dos eixos principais centrais de inércia da seção transversal (no capítu-
lo de flexão será mostrado o porquê disto). Assim, cada barra do pórtico 
espacial pode ser vista como duas vigas, uma em cada plano. 
Para cada plano de solicitação (Esforço Cortante e Momento Fletor), de-
vem ser levadas em conta as cargas concentradas e distribuídas contidas 
no plano em estudo e o momentos cujo vetor de dupla seta seja perpendi-
cular ao plano em questão. 
Sempre que possível, é conveniente olhar para as barras da estrutura em 
um sentido contínuo, para que não ocorram alterações nos sinais dos es-
forços cortantes ao se passar de uma barra para outra. A estrutura em 
questão será olhada no sentido DCBA. 
Barra DC - Esforços Axiais 
A força de 2 t aplicada em D causa um esforço 
normal de tração constante ao longo de DC. 
N z t
Mt z
( )
( )
=
=
2
0
 
2,0 t CD
2,0 m
y
z
 
Mecânica Estrutural 85 
 
Barra DC - Plano yz 
Não existem cargas aplicadas na barra CD 
contidas no plano yz e nenhum momento na 
direção x (perpendicular a yz). 
V z
M z
y
x
( )
( )
=
=
0
0
 
Barra DC - Plano xz 
A carga concentrada em D e a ausência de 
carga distribuída causa um esforço cortante 
constante e um momento fletor linear ao longo 
de DC 
V z t
M z z M D M C t m
x
y y y
( )
( ) . ( ) ( ) .
=
= = =
3
3 0 6
Para a determinação das solicitações na 
barra CB, as cargas aplicadas em D serão 
transladadas estaticamente para o ponto 
C. 
 
 
 
 
 
Barra CB - Esforços Axiais 
Nesta barra o Esforço Normal é constante de tração e o Momento Torçor é 
nulo. 
N x t
Mt x
( ) ,
( )
=
=
3 0
0
 
CD
2,0 m
y
z
 
CD
2,0 m
x
z
3,0 t
 
3,0m
2,0m
z
x
y
y
x
z
3,0 t
A
B
C
2,0 t
6,0 t.m
 
86 Capítulo 1 - Solicitações 
Barra CB - Plano xz 
V x t
M x x
M C t m M B) t m
z
y
y y
( )
( ) .
( ) . ( .
= −
= −
= =
2
6 2
6 2
 
Barra CB - Plano xy 
Não há cargas concentradas contidas no plano yz nem momentos na 
direção x (perpendiculares ao plano yz). Logo, as solicitações neste plano 
são nulas. 
V x
M x
y
z
( )
( )
=
=
0
0
 
 
Para a determinação das solicitações 
na barra BA, as cargas aplicadas em 
D serão transladadas estaticamente 
para o ponto B. 
 
Barra BA - Esforços Axiais 
O Esforço Normal nesta barra é nulo, e o Mo-
mento Fletor é constante e negativo 
N y
Mt y t m
( )
( ) .
=
= −
0
2
 
Barra BA - Plano yz 
Como não há carga distribuída ao longo da 
barra na direção z, o Esforço Cortante é 
constante e o Momento Fletor linear: 
V y t
M y y M B) M A t m
z
x x x
( )
( ) . ( ( ) .
= −
= − = = −
2
2 0 4
 
3 t C
2,0 m
z
x
B
 
3 t C
2,0 m
z
x
B
6 t.m
2 t 
3,0m
z
x
y
y
x
z
3 t
A
B
C
2 t
2 t.m
 
2 t.m B
2,0 m
z
y
A
 
2 t
B
2,0 m
z
y
A
 
Mecânica Estrutural 87 
 
Barra BA - Plano xy 
No plano xy o Esforço cortante é constante e o 
Momento Fletor linear. 
V y t
M y y M B) M A t m
x
x x x
( )
( ) . ( ( ) .
=
= = =
3
3 0 6
 
Os diagramas das solicitações podem ser vistos na figura abaixo. 
A
B
C
D
2,0
3,0
N (t)
+
+
V (t)
A
B
C
D
2,0
3,0
3,0
+
-
+
-
9,0
2,0
A
B
C
D
6,0
6,0
6,0
+
+
+-
M (t.m)
A
B
C
D
2,0-
 Mt (t.m)
 
EXEMPLO 6 
Determinar os diagramas de solicitações para o pórtico ao lado, bem como 
a expressão analítica das funções esforço normal, esforço cortante e 
momento fletor. 
3 t
B
2,0 m
x
y
A
 
88 Capítulo 1 - Solicitações 
100 kN
30 kN/m
150 kNm
A
B C D
Dy
Ay
Ax
Am
4m 4m
5m
 
Metodologia de Análise 
Na estrutura acima há em C uma rótula interna submetida à ação de uma 
carga concentrada e de um momento (binário), na barra BC. A carga con-
centrada em C provoca apenas uma descontinuidade do esforço cortante, 
não aparecendo em nenhuma equação parcial de momentos em torno do 
ponto C. O momento está aplicado à direita da rótula C, pois seu efeito, em 
termos de solicitações (e eventualmente, de reações) só se faz sentir na 
barra à direita da rótula (barra CD). 
 
Um momento à esquerda é representado através de uma seta curva com o 
lado convexo para a esquerda, e um momento à direita é representado 
com o lado convexo para a direita. 
 
Cálculo de Reações 
Mecânica Estrutural 89 
 
Arbitrando o sentido das reações conforme indicado na figura acima, e 
aplicando as equações de equilíbrio de forma conveniente, resulta: 
M Dy Dy
F Dy Ay Ay
F Ax
M Am Ay Am
C
CD
Y
X
C
AC
∑
∑
∑
∑
= − − = =
= + − − = =
= =
= − + = =
0 4 150 30 4 2 0 97 5
0 100 30 8 0 242 5
0 242 5
0 4 30 4 2 0 730
. . . ,
. ,
,
. . .
 kN
 kN
 kN
 kNm
 
 
Solicitações 
As funções de solicitações são dependentes diretamente da carga 
aplicada, de modo que, para cada trecho onde ocorra uma mudança no 
carregamento, as funções mudam. Na estrutura acima tem-se 3 trechos de 
carga (AB, BC e CD) e, portanto três intervalos ou domínios nos quais as 
funções de solicitações serão definidas. 
Convém ressaltar que a divisão de trechos em BC e CD deve-se 
unicamente à presença da carga de 100 kN e do momento de 150 kNm, e 
de modo algum devido à rótula interna em C. Sem a existência das cargas, 
haveria um trecho único BD. 
 
TRECHO AB 
Considerando uma seção transversal qualquer a uma distância genérica 
do ponto A, pode-se obter as solicitações somando todas as cargas 
aplicadas abaixo da seção, levando-as estaticamente ao baricentro da 
mesma, e considerando seu efeito sobre a parte da estrutura acima da 
seção. Observe-se que é necessário o conhecimento das forças atuantes 
na estrutura apenas em um lado da seção transversal. 
90 Capítulo 1 - Solicitações 
Os esforços estão representados 
sobre a seção genérica s em seus 
sentidos positivos. Ao somarem-se 
as forças abaixo da seção transver-
sal, as mesmasdevem ser tomadas 
com sinal positivo quando no 
mesmo sentido que a solicitação 
correspondente, e negativo caso 
contrário. 
Sendo nula a carga distribuída per-
pendicular ao eixo da barra, o esfor-
ço cortante será constante e o mo-
mento fletor linear. Como o cortante 
é constante e nulo, o momento fletor 
é uma reta de inclinação nula. 
Assim 
N = -242,5 kN V = 0 M = -730 kNm 
TRECHO BC 
Considerando uma seção genérica a uma distância x do ponto B, e so-
mando todas as cargas à esquerda da seção, estaticamente em relação 
ao baricentro da mesma, resulta: 
Carga distribuída constante 
Esforço Cortante linear, valendo 242,5 kN em B e 242,5-30.4=122,5 kN em 
C. 
AAy
Ax
Am
sM
N
V
B
[N]
-
-242,5
[V]
-
-730
[M]
 
Mecânica Estrutural 91 
 
Momento Fletor parabólico 
(2o grau), sem nenhum 
ponto de máximo entre B e 
C, concavidade voltada para 
carga, valendo -730 kNm 
em B (em função da 
continuidade das barras AB 
e BC) e 0 em C (momento 
nulo em rótula interna). 
Em uma união de duas bar-
ras de pórtico plano perpen-
diculares entre si, o esforço 
normal de uma barra se 
transmite como esforço cor-
tante para a outra, e vice-
versa (barras AB e BC) 
As equações ficam 
N x
V x x
M x V x dx x x
( )
( ) , .
( ) ( ) ,
=
= −
= = − −∫
0
242 5 30
242 5 15 7302
 
TRECHO CD 
No trecho CD, colocando-se uma seção genérica em uma posição qual-
quer entre C e D, distante x do ponto B, tem-se: 
Carga distribuída constante 
100 kN
30 kN/m
150 kNm
A
B C D
Dy
Ay
Ax
Am
s
V(x)
N(x)
M(x)
x
[V] +
242,5
[N]
-
-730
[M]
122,5
 
92 Capítulo 1 - Solicitações 
Esforço Cortante linear, havendo uma descontinuidade de 100 kN entre o 
cortante em C de BC e o em C de CD. Cortante em C: 122,5-100=22,5 kN. 
Cortante em D: -97,5 kN (valor da reação em D). Ponto de cortante nulo: 
22,5/30=0,75m. O ponto de momento máximo para cargas distribuídas 
constantes (cargas retan-
gulares) pode ser facil-
mente obtido pela divisão 
do valor do Esforço Cor-
tante no início do trecho 
de carga e o valor da taxa 
de carga. 
Momento Fletor parabóli-
co (2o grau), valendo 150 
kNm em C (em função do 
momento aplicado à di-
reita da rótula C), zero em 
D (apoio de extremidade) 
e com um máximo a 
0,75m de C valendo 
22,5.0,75+150-
30.0,752/2=158,4 kNm. 
 
As equações ficam: 
N x
V x x
M x V x dx x x x
( )
( ) , .
( ) ( ) , . . ( )
=
= − −
= = − − − + −∫
0
242 5 30 100
242 5 15 100 4 150 7302
 
A equação de Momento Fletor acima foi escrita considerando-se toda a 
estrutura à esquerda da seção transversal. Alternativamente, pode-se se-
parar a estrutura na rótula C e considerar-se apenas as cargas entre a se-
ção e a rótula. As forças que a parte ABC exercem sobre a rótula são as 
próprias solicitações na rótula: força vertical de 22,5 kN para cima (esforço 
cortante em C, à direita da carga aplicada), força horizontal nula (esforço 
normal) e momento nulo, ao qual se acrescenta o binário de 150 kNm apli-
cado à direita de C. A equação então fica 
M x x x( ) , . ( ) . ( )= − − − +22 5 4 15 4 1502 
a qual, desenvolvendo, resulta 
100 kN
30 kN/m
150 kNm
A
B C D
Dy
Ay
Ax
Am
s
V(x)
N(x)
M(x)
x
[V] +
242,5
[N]
-
-730
[M]
122,5
22,5
-97,50,75
+150
158,4 
Mecânica Estrutural 93 
 
M x x x x
M x x x
( ) , . . .
( ) . , .
= − − + − +
= − + −
22 5 90 15 120 240 150
15 142 5 180
2
2
 
Desenvolvendo a equação anterior, resulta 
M x x x x
M x x x
( ) , . .
( ) . , .
= − − + + −
= − + −
242 5 15 100 400 150 730
15 142 5 180
2
2
 
mostrando que as abordagens são equivalentes. 
EXEMPLO 7 
Escrever as funções solicitações para o pórtico abaixo e esboçar os 
diagramas de Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor. 
3 m
2 m 3 m
A
B
C D
20 kN/m
30 kN/m
Am
Ay
Ax
100 kN
Dy
x
E
 
 
Cálculo de Reações 
Aplicando as equações de equilíbrio na ordem adequada, resulta 
94 Capítulo 1 - Solicitações 
M Dy
Ay Dy
Ax
M Am Ay
C
CD
C
AC
= − = =
= + − − = =
= − = =
= + − − = =
∑
∑
∑
∑
0 5 100 2 0
0 100 20 6 0
0 30 3 0 90
0 20 6 3 30 315 6 0
. .
.
.
. . . . , .
 Dy 40 kN
F Ay 180 kN
F Ax kN
 Am 855 kNm
Y
X
 
 
Solicitações 
Em função das cargas aplicadas, existem quatro domínios para as funções 
de solicitações: AB, BC, CE e ED. Assim como no exemplo anterior, a divi-
são de domínios no ponto C deve-se à mudança da carga distribuída e da 
orientação geométrica das barras, e não à presença da rótula interna. 
Para descrever as solicitações ao longo dos domínios AB e BC, com geo-
metria descrita por um arco de circunferência, é conveniente referenciar as 
funções de solicitação a coordenadas cilíndricas ao invés das 
coordenadas cartesianas x ou y. Lembrando que o Esforço Normal 
representa o somatório de forças de um dos lados da seção considerada 
na direção do eixo longitudinal da barra nesta seção, ou seja, tangente 
ao eixo da barra naquele ponto, e que o Esforço Cortante representa o 
somatório da forças na direção perpendicular ao eixo da barra e, 
portanto, na direção normal à curva que descreve o eixo da barra, 
podemos obter as solicitações em uma seção qualquer s entre A e B 
levando estaticamente todas as carga aplicadas abaixo da seção 
transversal para o baricentro da mesma, considerando as componentes de 
cada força na direção normal e tangencial ao eixo. 
Considerando somente o efeito da reação vertical Ay de 180 kN, e 
levando-a ao baricentro da seção s, obtém-se, como contribuição ao 
Esforço Normal 
N ( ) = -180.Ay α αcos 
Se a contribuição ao Esforço Normal é dada em função do coseno do 
ângulo, a contribuição ao Esforço Cortante, que é uma solicitação per-
pendicular ao Esforço Normal, deverá ser dada em função do seno da ân-
gulo, bastando analisar apenas o sinal 
Mecânica Estrutural 95 
 
V ( ) = 180. senAy α α 
Todas as forças aplicadas na dire-
ção vertical deverão apresentar 
componentes ao Esforço Normal e 
Esforço Cortante segundo o co-
seno e o seno do ângulo, respecti-
vamente, tendo , para forças apli-
cadas para cima, sinais negativo e 
positivo para o Esforço Normal e 
Esforço Cortante, respectivamen-
te, e sinais contrários quando apli-
cadas para baixo. 
Se, em relação ao Esforço 
Normal, forças aplicadas na 
direção vertical apresentaram 
componen-tes segundo o coseno 
do ângulo, forças na direção 
horizontal (e portanto 
perpendiculares às pri-meiras) 
apresentam componentes 
segundo o seno do ângulo. De for-
ma análoga, forças na direção ho-
rizontal apresentarão componen-
tes para o Esforço Cortante 
segundo o coseno do ângulo. 
Analisando as contribuições da 
reação horizontal Ax, resulta 
N ( ) = 90. sen
V ( ) = 90. cos
Ax
Ax
α α
α α 
Assim, forças horizontais aplicadas para a esquerda contribuem com par-
celas positivas para o Esforço Normal e o Esforço Cortante, e aplicadas 
para a direita com parcelas negativas. 
As expressões completas do Esforço Normal e Esforço Cortante ficam 
N Ay R R Ax
V Ay R R Ax
o
( ) . cos . . ( cos ). cos . . sen . sen . sen
( ) . sen . . ( cos ). sen . . sen . cos . cos
α α α α α α α
α α α α α α α
α
= − + − − +
= − − − +
≤ ≤
20 1 30
20 1 30
0 90
 
A
B
C
Am
Ay
Ax
α
s
R(1-cos )α R.cos α
R
R.senα
B
C
α
s
Ay
α
NAy
VAy
B
C
α
s
Ax α
NAx
VAx
 
96 Capítulo 1 - Solicitações 
Onde R é o raio da circunferência. Substituindo os valores resulta:[ ]
[ ]
N
V
( ) . ( cos ) . cos . ( sen ). sen
( ) . ( cos ) . sen . ( sen ). cos
α α α α α
α α α α α
= − − + −
= − − + −
60 1 180 90 1
180 60 1 90 1
 
O Momento Fletor pode ser descrito por: 
( )
( )
M Am Ay R Ax R R
R
M
( ) . . ( cos ) . . sen . . sen
. . ( cos )
( ) . cos . sen . sen . ( cos )
α α α α
α
α α α α α
= − + − + −
− −
= − − + − − −
1 15
10 1
315 540 270 135 90 1
2
2
2 2
 
A derivada da função Momento Fletor em relação a a resulta 
dM
d
Ay R Ax R R
R
( ) . . sen . . cos . . sen . cos
. ( cos ). sen
α
α α α α α
α α
= + −
− −
30
20 1
2
2
 
A qual não é igual à expressão do Esforço Cortante, mas à mesma multi-
plicada por R. Isto se deve ao fato de que o Esforço Cortante é a derivada 
da função Momento Fletor em relação à variável que descreve o compri-
mento do eixo da peça (ds = Rdα), e não à derivada em relação à a. As-
sim, a expressão correta é: 
dM
ds
dM
d
d
ds
ds R d d
ds R
( ) ( ) . .α αα
α α α= = = 1 
Logo, a expressão para o Momento Fletor pode ser obtida a partir da 
integração em relação a a da função esforço cortante, multiplicando o 
resultado por R e somando a constante de integração. 
De forma similar, as funções de solicitações para o domínio BC podem ser 
escritas como: 
( )
N Ay R R Ax
V Ay R R Ax
M Am Ay R Ax R R R
o o
( ) . cos . . ( cos ). cos . . . sen . sen
( ) . sen . . ( cos ). sen . . cos . cos
( ) . . ( cos ) . . . . ( cos )
α α α α α α
α α α α α α
α α α
α
= − + − − +
= − − − +
= − + − + − − −
≤ ≤
20 1 30
20 1 30
1 15 10 1
90 180
2 2
 
Note que os únicos termos que sofreram alteração foram os 
correspondentes à carga distribuída horizontal de 30 kN/m, a única que 
Mecânica Estrutural 97 
 
sofreu descontinuidade. Para as demais cargas, as relações obtidas para 
0 90≤ ≤α o continuam válidas. Substituindo os valores resulta: 
[ ]
[ ]
N
V
M
( ) . ( cos ) . cos
( ) . ( cos ) . sen
( ) . cos . ( cos )
α α α
α α α
α α α
= − −
= − −
= − − − −
60 1 180
180 60 1
180 540 90 1 2
 
Para a barra CD, considerando um eixo x vindo de D para C, resulta 
N x
V x
M x x
x
N x
V x
M x x x
x
( )
( )
( )
( )
( )
( ) . ( )
=
= −
=
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
≤ ≤
=
=
= − −
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
≤ ≤
0
40
40
0 3
0
60
40 100 30
3 5 
 
Para esboçar os diagramas da parte curva, constrói-se a tabela abaixo 
para alguns valores de α: 
α (graus) N (kN) V (kN) M (kNm) 
0 -180,00 90,00 -855,00 
30 -126,42 124,95 -683,02 
60 -64,56 135,93 -474,92 
90 0,00 120,00 -270,00 
120 45,00 77,94 -112,50 
150 58,92 34,02 -25,73 
180 60,00 0,00 0,00 
 
 
+
-
[N]
-180
-126
-65
0
45
59
60 
98 Capítulo 1 - Solicitações 
+
[V] +
-
60
-40
90
125
136
120
78
34
-
[M]
+ -
120
-855
-683
-475
-270
-112
-25
 
EXEMPLO 8 
Encontrar as funções Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor 
para o arco parabólico triarticulado abaixo. 
q
L/2
A
B
C
L/2
h
Ay Cy
Ax Cx
 
Cálculo de Reações 
Considerando-se que as estrutura é geometricamente simétrica, com car-
regamento simétrico, pode-se escrever: 
Ay Cy qL
M Ay L q L L Ax h Ax qL hB
AB
= =
= − − = =∑
/
. / . ( / ). ( / ) . /
2
0 2 2 4 0 82
 
Mecânica Estrutural 99 
 
Solicitações 
A equação que descreve o eixo longitudinal baricêntrico da estrutura é 
y ax bx c= + +2 
que, com as condições y( 0 ) = 0, y( L ) = 0, y( L/2 ) = h resulta 
y hx
L
hx
L
= −4 4
2
2 
A inclinação da reta tangente ao eixo longitudinal em um ponto qualquer é 
dada pela derivada da equação que descreve a curva 
tg dy
dx
h
L
hx
L
h
L
hx
L
φ φφ
φ φ
= = = −
= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
sen
cos
sen . cos
4 8
4 8
2
2
 
Arbitrando uma seção s em 
uma posição qualquer, e 
levando estaticamente todas 
as forças aplicadas abaixo 
da seção até o baricentro da 
mesma, resulta: 
 
 
N x Ay Ax q x
V x Ay Ax q x
M x Ay x Ax y q x
( ) . sen . cos . . sen
( ) . cos . sen . . cos
( ) . . . /
= − − +
= − −
= − −
φ φ φ
φ φ φ
2 2
 
ou, colocando em função somente de cosφ 
N x qL h
L
hx
L
qL
h
qx h
L
hx
L
N x qh qhx
L
qL
h
qhx
L
qhx
L
N x qhx
L
qhx
L
qh qL
h
( ) cos cos cos
( ) . cos
( ) . cos
= − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ − + −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − + − + −⎛⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
= − + − −⎛⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
4 8
8
4 8
2 4
8
4 8
8 8 2
8
2
2
2
2 2
2
2
2
2
φ φ φ
φ
φ
 
q
A
B
C
Ay Cy
Ax
Cx
s
φ
x
y(x)
 
100 Capítulo 1 - Solicitações 
V x qL qL
h
h
L
hx
L
qx
V x qL qL qx qx
V x
( ) cos cos . cos
( ) cos
( )
= − −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
= − + −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
2 8
4 8
2 2
0
2
2φ φ φ
φ 
M x qL x qL
h
h
L
x hx
L
qx
M x qL x qL x qx qx
M x
( )
( )
( )
= − −⎛⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ −
= − + −
=
2 8
4 4
2
2 2 2 2
0
2 2
2
2
2 2
 
As equações acima mostram que o arco, para 
o carregamento dado, poderia ser construído 
com elementos que se ligassem uns aos ou-
tros resistindo apenas aos esforços axiais (na 
direção tangente ao eixo longitudinal do arco), 
não tendo resistência nenhuma quanto ao giro 
ou ao deslisamento na direção perpendicular 
ao eixo do arco, como seria o caso de blocos de pedra apoiados uns sobre 
os outros. Isto ocorre porque a curva que descreve a geometria do arco 
corresponde à do 
diagrama de momento 
fletor de uma barra reta, 
vencendo o mesmo vão e 
submetida ao mesmo 
carregamento. Casos 
similares são mostrados 
ao lado. 
EXEMPLO 9 
Calcular as funções solicitações para o arco 
circular ao lado submetido a carga vertical dis-
tribuída constante por unidade de comprimento 
do arco. 
Solução: 
Em função da geometria circular sobre a qual 
a carga se distribui, é preciso integrá-la para 
 
 
q
R
sA
Bθ
α
 
Mecânica Estrutural 101 
 
encontrar as reações e solicitações em uma seção qualquer. 
Reações 
M
V R q ds R
ds R d
V R q R d V q R
A
B
s
B B
=
− =
=
− = =
∑
∫
∫
0
0
0
0
2
0
2
. . . cos
.
. . cos . .
/
θ
θ
θ θ
π
 
F V V q R V qR
F H
y A B A
x A
= + − = =
= =
∑
∑
0
2
0 0 5708
0 0
π , .
 
 
Solicitações: 
Considerando uma seção distante θ do apoio A, pode-se escrever 
( )[ ]
[ ]
V V qR qR
M V R qRd R
M qR qR
M qR
A
A
( )
( ) sen . sen sen
( ) sen sen cos
( ) sen cos
θ θ π θ
θ θ α θ α
θ π θ α θ α
θ π θ θ θ
θ
θ
= − = −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
= − −
= − +
= −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ + −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
∫
2
2
2
1
0
2 2
0
2