[Introdução à Mecânica Estrutural] 03 - Propriedades Geométric…

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Capítulo 3 
Propriedades 
geométricas das 
seções 
 
Neste capítulo serão revisadas, de forma bastante sucinta, a definição e a 
metodologia de cálculo das principais propriedades geométricas de figuras 
planas que sejam pertinentes ao cálculo estrutural. 
A ênfase na apresentação dos conteúdos será dada na aplicação dos 
mesmos e não na parte conceitual. 
1. INTRODUÇÃO 
Do estudo da resistências dos materiais, pode-se constatar que o dimen-
sionamento e verificação da capacidade resistente de estruturas de barras 
dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se distribuem ao 
longo das diversas seções transversais de um corpo segundo equações 
formais do tipo: 
Tensão x Solicitaç ão x( ) .=
Propriedade Geomé trica da seç ão 
 
 
sendo que cada solicitação vai produzir um tipo de tensão diferente, com 
uma distribuição diferente ao longo da seção transversal, distribuição esta 
dependente da característica ou propriedade geométrica associada. 
Portanto, é importante o estudo das propriedades geométricas das seções 
a fim de, posteriormente, ser possível determinar corretamente a distribui-
ção de tensões em uma peça. 
 
100 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
As principais propriedades geométricas a serem consideradas neste 
curso, bem como as solicitações associadas a elas para determinação das 
tensões, são: 
? Área da seção (Esforço Normal e Corte) 
? Momento estático ou de primeira ordem em relação a um eixo (Corte e 
Flexão) 
? Baricentro ou Centro de Gravidade (todas as solicitações) 
? Momento de inércia axial (Corte e Flexão) 
? Produto de Inércia (Flexo-tração) 
? Momento de Inércia Polar (Torção) 
 
2. ÁREA 
A área de uma seção transversal qualquer (ou de uma figura plana) é a su-
perfície limitada pelo contorno da seção ou figura. 
Para um contorno complexo, a área pode ser obtida aproximando-se a 
forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida 
(retângulos, triângulos, partes de circunferências), com maior ou menor 
precisão, dependendo do número de figuras utilizadas para aproximar a 
geometria. 
3. MOMENTO ESTÁTICO AXIAL OU DE PRIMEIRA ORDEM 
Considere-se uma seção transversal ou figura plana qualquer e um eixo 
em uma posição qualquer do plano. Imagine-se que a forma e área da se-
ção é aproximada por uma série de retângulos. O Momento Estático ou 
de Primeira Ordem desta seção em relação ao eixo é definido como 
sendo o somatório do produto da área de cada retângulo pela distância de 
seu centro em relação ao eixo, distância esta medida perpendicularmente 
ao eixo, quando o número de retângulos utilizados na aproximação da ge-
ometria se torna muito grande (tende ao infinito) e, conseqüentemente, a 
área de cada retângulo componente se torna muito pequena (tendendo a 
zero). 
S A yX i i
i
n
=
=
∑
1
 
Mecânica Estrutural 101 
 
ou, utilizando cálculo diferencial e integral 
S ydAX
A
= ∫ 
x x
Ai
yi
x
 
No cálculo do Momento Estático de uma seção transversal ou figura geo-
métrica, a distância de um elemento de área (um dos retângulos no qual 
se imaginou dividir a figura) em relação ao eixo considerado é uma gran-
deza algébrica, ou seja, com sinal. Assim, se forem consideradas porções 
de área acima do eixo como tendo distâncias positivas, porções de área 
abaixo do eixo terão distância negativa. 
4. CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO 
Define-se como Centro de Gravidade ou Baricentro de uma seção trans-
versal o ponto pelo qual passam todos os infinitos eixos em relação aos 
quais o Momento Estático é nulo. Pode-se aqui fazer uma analogia entre o 
Momento Estático de uma seção em relação a um eixo e o momento pro-
vocado pelo peso próprio de uma placa com o formato da seção, em posi-
ção horizontal, em relação a este mesmo eixo. 
Sabe-se que a ação que o peso próprio de um corpo exerce sobre o 
mesmo, em termos de equilíbrio, é equivalente a concentrar o peso todo 
do corpo (originalmente carga distribuída por todo o volume ou superfície 
da placa) em um único ponto (carga concentrada), o centro de gravidade 
do corpo. Desta forma, qualquer eixo que passe pelo centro de gravidade 
102 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
não proporcionará braço de alavanca à resultante do peso em termos de 
momento (ou seja, o momento estático em relação a um eixo qualquer 
passando pelo centro de gravidade é nulo). Sabe-se também que o 
momento do peso próprio de um corpo em relação a um eixo qualquer é o 
produto da resultante do peso ( total) pela distância do centro de gravidade 
até o eixo. Mantendo a analogia entre 
esta situação e o momento estático, 
resulta: 
S A yX G= . 
ou, invertendo a equação acima 
y S
A
ydA
dA
G
X A
A
= = ∫∫ 
Considerando que o Momento Estático de uma figura plana ou seção 
transversal é o momento da área da figura em relação ao eixo, pode-se 
subdividir uma se-
ção qualquer em 
partes arbitrárias e 
calcular o Momento 
Estático total como 
a soma dos Mo-
mentos Estáticos 
parciais das áreas 
das partes em rela-
ção ao eixo. Assim, na figura acima, o Momento Estático é dado por 
S A yX G= . ou por S A y A y A y A y A yX G G G G G= + + + +1 1 2 2 3 3 4 4 5 5. . . . . 
Logo, para calcular o Momento Estático de uma figura qualquer, basta di-
vidi-la (ou aproximá-la) em (por) formas geométricas simples, cujas posi-
ções do baricentro sejam conhecidas, e avaliar a soma dos Momentos 
Estáticos de cada forma componente. 
Da mesma forma, para calcular a posição do centro de gravidade de uma 
seção em relação a um eixo, basta dividir o Momento Estático obtido da 
forma acima pela área total da seção. Fazendo-se isto em relação a dois 
eixos quaisquer não paralelos (preferencialmente ortogonais) determina-se 
com exatidão no plano cartesiano a posição do baricentro. 
x A x A x A x A x A x
A A A A AG
G G G G G= + + + ++ + + +
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5
. . . . . 
x
G
A
yG
 
x
G
y
G
x
G1
y
G1
G2
G3
G5
G4
y
G4
 
Mecânica Estrutural 103 
 
y A y A y A y A y A y
A A A A AG
G G G G G= + + + ++ + + +
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5
. . . . . 
Observação 1: um eixo de simetria de uma seção transversal é um eixo 
em relação ao qual o Momento Estático é Nulo. O baricentro ou centro de 
gravidade sempre está 
sobre um eixo de sime-
tria da seção (a). Se a 
seção possui dois ou 
mais eixos de simetria, 
estes eixos se intercep-
tam todos em um 
mesmo ponto que é o 
baricentro (b). O centro 
de simetria de uma se-
ção transversal coincide 
com seu baricentro (c). 
Observação 2: o Momento Estático de uma seção com orifícios pode ser 
considerado como a soma do Momento Estático da seção sem os orifícios 
com o Momento Estático das formas geométricas que representam os fu-
ros, sendo estes últimos considerados como negativos (ou o furo tendo 
área negativa). 
x
=
x x
-
A1
yG1
G1 G2
yG2
A2
 
CENTRÓIDES DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA 
2rπ
2rπ
C C
C
r
2α
r.senαα
 
Fonte: Mecânica Vetorial para Engenheiros - Vol.1. F.P. Beer e E.R.Johnston Jr. McGraw-Hill 
G
G G
1 eixo de simetria 2 eixos de simetria centro de simetria
a) b) c)
 
104 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
CENTRÓIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFÍCIES 
Superfície x y Área 
 
1/4 de círculo 
 
Semicírculo 
C C
x
y r
 
4
3
r
π 
 
 
4
3
r
π 
4
3
r
π 
π. r2
4
 
π. r2
2
 
 
 
Setor Circular C
r
2α
x
 
 
 
2
3
r senα
α
 
 
 
0 
 
 
α. r2 
 
 
 
Triângulo 
h
b/2 b/2
C y
 
 
 
h
3
 
 
 
b h.
2
 
1/4 de Elipse 
 
Semi-Elipse 
C C
x
y
a
b
 
4
3
a
π 
 
4
3
bπ 
4
3
b
π 
π ab
4
 
π ab
2
 
1/2 parábola 
 
Parábola 
C
C
x
y
a
h
a
 
3
8
a
 
 
3
5
h
 
3
5
h
 
2
3
ah
 
4
3
ah
 
Limitada por 
2 segmentos 
de reta per-
pendiculares 
e parábola do 
2o grau 
y=k.x2
x
y
h
a 
 
 
3
4
a
 
 
 
3
10
h
 
 
 
ah
3
 
Limitada por 
2 segmentos 
de reta per-
pendiculares 
e parábola do 
grau n 
y=k.xn
x
y
h
a 
 
 
n
n
a++
1
2
 
 
 
( )h n
n
+
+
1
4 2
 
 
 
ah
n + 1 
Fonte: Mecânica Vetorial para Engenheiros - Vol.1. F.P. Beer e E.R.Johnston Jr. McGraw-Hill 
Mecânica Estrutural 105 
 
5. PRODUTO DE INÉRCIA 
Considere-se uma seção transversal ou figura plana qualquer e um par de 
eixos ortogonais com origem e inclinação quaisquer. Imagine-se que a 
forma e área da seção é aproximada por uma série de retângulos. O Pro-
duto de Inércia desta seção em relação ao par de eixos é definido como 
sendo o somatório do produto da área de 
cada retângulo pela distância de seu cen-
tro em relação a um dos eixos 
multiplicado pela distância de seu centro 
em relação ao outro eixo, distâncias estas 
medidas perpendicularmente aos eixos, 
quando o número de retângulos utilizados 
na aproximação da geometria se torna 
muito grande (tende ao infinito) e, 
conseqüentemente, a área de cada 
retângulo componente se torna muito 
pequena (tendendo a zero). 
P A x y P xydAXY i i i
i
n
XY
A
= =
=
∑ ∫
1
 
 
Pode-se verificar que quando um ou ambos os eixos x e y são eixos de si-
metria da figura, o produto de inércia é nulo. 
Considerando-se um par de eixos 
ortogonais x y e uma posição qual-
quer, e um outro par de eixos bari-
cêntrico (com origem no baricentro), 
paralelos aos anteriores, pode-se 
mostrar que o produto de inércia da 
seção em relação a x y é igual ao 
produto de inércia da seção em re-
lação aos eixos baricêntricos mais a 
área da seção, multiplicada pela 
distância entre os eixos paralelos. 
P P x y Axy xy= + . . 
 
 
Ai
yi
x
y
xi
 
G
x
y
x
y
P
x
y
 
106 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
6. MOMENTO DE INÉRCIA AXIAL E 
MOMENTO DE INÉRCIA POLAR 
Considere-se uma seção transversal ou figura plana qualquer e um eixo 
em uma posição qualquer do plano. Imagine-se que a forma e área da se-
ção é aproximada por uma série de retângulos. O Momento de Inércia 
desta seção em relação ao eixo é definido como sendo o somatório do 
produto da área de cada retângulo pelo quadrado da distância de seu cen-
tro em relação ao eixo, distância esta medida perpendicularmente ao eixo, 
quando o número de retângulos utilizados na aproximação da geometria 
se torna muito grande (tende ao infinito) e, conseqüentemente, a área de 
cada retângulo componente se 
torna muito pequena (tendendo a 
zero). 
I A y I y dAX i i X
Ai
n
= = ∫∑
=
2 2
1
 
Independentemente da posição que 
cada elemento de área tem em re-
lação ao eixo considerado, sua 
contribuição para o Momento de 
Inércia será sempre positiva, visto 
ser ela função do quadrado da dis-
tância, que é sempre positivo, 
sendo ou não a distância positiva. 
Analogamente, podemos definir o Momento de Inércia Polar como sendo o 
somatório do produto da área de cada retângulo pelo quadrado da distân-
cia de seu centro a um ponto P 
quando o número de retângulos 
utilizados na aproximação da 
geometria se torna muito grande 
(tende ao infinito) e, con-
seqüentemente, a área de cada retân-
gulo componente se torna muito pe-
quena (tendendo a zero). 
I A r I r dAi i
i
n
A
0
2
1
0
2= =
=
∑ ∫ 
Pode-se mostrar que o Momento de 
Inércia Polar em relação a um ponto P 
x
Ai
yi
x
 
Ai
P
ri
xi
yi
 
Mecânica Estrutural 107 
 
é igual a soma dos Momentos de Inércia Axiais em relação 2 eixos ortogo-
nais que tem como origem o ponto P. 
( )
I A r r x y
I A x y A x A y
I I I
i i
i
n
i i i
i i i
i
n
i i
i
n
i i
i
n
y x
0
2
1
2 2 2
0
2 2
1
2
1
2
1
0
= = +
= + = +
= +
=
= = =
∑
∑ ∑ ∑. . 
6.1. Raio de Giração 
Consideremos uma superfície de área A que tem um momento de inércia 
Ix em relação ao eixo x. O raio de giração desta superfície em relação ao 
eixo x é definido como 
k I
A
ou I A kx x x x= = . 2 
Fisicamente , o raio de giração 
corresponde à distância que a área da 
figura, concentrada em uma faixa estreita, 
deveria estar do eixo x para ter o mesmo 
momento de inércia. 
O raio de giração polar é dado por 
k I
A
k k kx y0 0 0
2 2 2= = + 
e fisicamente corresponde à distância que a área da figura, concentrada 
em um ponto, deveria estar do ponto em relação ao qual se está 
calculando o momento de inércia polar. 
6.2. Teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner 
O momento de inércia de uma seção em 
relação a um eixo qualquer é dado pela 
soma do momento de inércia da seção em 
relação a um eixo baricêntrico paralelo ao 
primeiro com o produto da área da seção 
pelo quadrado da distância entre os eixos. 
I I A d= + . 2 
x
A
Ix
x
Ix
A
kx
 
G
x
x
dA
 
108 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
substituindo-se I por k2A e I por k2A resulta 
k k d2 2 2= + 
Um teorema semelhante pode ser utilizado para relacionar o momento de 
inércia polar Io de uma superfície em relação a um ponto O e o momento 
de inércia polar Ic da mesma superfície em relação a seu baricentro C. 
Sendo d a distância entre O e C, pode-se escrever 
I I A d ou k k dC C0
2
0
2 2 2= + = +. 
7. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA 
Considere-se uma dada seção transversal e dois sistemas de eixos orto-
gonais de mesma origem, xy e uv, defasados de um dado ângulo θ. 
Pode-se mostrar que: 
I
I I I I
P
I
I I I I
P
P
I I
P
u
x y x y
xy
v
x y x y
xy
uv
x y
xy
= + + − −
= + − − +
= − +
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
cos sen
cos sen
sen cos
θ θ
θ θ
θ θ
 
o valor máximo e mínimo dos momentos de 
inércia Iu e Iv correspondem a ângulos 
defasados de 90o, para os quais o produto de inércia é nulo. Os eixos 
nessas direções são chamados de Eixos Principais de Inércia e os 
momentos de inércia correspondentes, Momentos Principais de Inércia. Se 
estes eixos, além disso, forem baricêntricos, recebem o nome de Eixos 
Principais Centrais de Inércia e Momentos Principais Centrais de Inércia. 
Os valores dos Momentos Principais de Inércia podem ser obtidos por: 
tan 2
2θm xy
x y
P
I I
= − − 
substituindo-se o valor dos ângulos acima nas equações anteriores, ou 
I
I I I I
Pmax min
x y x y
xy, =
+ ± −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ +2 2
2
2 
 
x
y
u
v
θ
 
Mecânica Estrutural 109 
 
MOMENTOS DE INÉRCIA DE FORMAS COMUNS DE SUPERFÍCIE 
 
b
h
I = bh /3x
3
b
h/2
I = bh /12x
3
h/2
x
xG
b
I = bh /12x
3
b
h/3
I = bh /36x
3
2h/3
x
xG
h
x
xG
I = 5 r /4x
4π I = r /4x 4π
I = 5 r /8x
4
x
xG
π I = r /8x 4π
x
I = r /2o
4π
x
I = r /8x
4π I = r /16x 4π
x
I = 0,0349 r x
4π
G
O
Fonte: Mecânica Vetorial para Engenheiros - Vol.1. F.P. Beer e E.R.Johnston Jr. McGraw-Hill 
 
110 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
EXEMPLO 1 
Encontrar os momentos principais centrais de inércia da seção abaixo: 
50
80
100
40
100 40
50 5040
20
y
x
120
126,67
23,02
90
G1
G3
G2
G4
G5
G6
115
115
180
220
245
180 90
26,67
 
O primeiropasso para a solução do problema consiste em dividir a seção 
transversal em figuras cujas propriedades geométricas sejam conhecidas, 
e referenciá-las a um par de eixos ortogonais em uma posição qualquer. 
Assim, dividiu-se a figura em 6 partes, marcando-se a posição do centro 
de gravidade de cada figura. As áreas correspondentes são: 
A mm A mm
A mm A mm
A mm A mm
A A A A A A A mmTOTAL
1
2
4
2 2
2
2 2
5
2
3
2
6
2
1 2 3 4 5 6
2
50 50 2500 40 2 2513 27
20 1256 64 40100 4000
100 80 8000 40 40 2 800
16556 63
= = = =
= = = =
= = = =
= − + + + + =
. . / ,
. , .
. . /
,
π
π
 
A determinação do centro de gravidade da seção como um todo pode ser 
feita a partir da divisão do momento estático da figura em relação a cada 
um dos eixos pela área total. O momento estático da seção pode ser 
Mecânica Estrutural 111 
 
obtida pela soma dos momentos estáticos de cada figura componente (a 
área 2 é considerada negativa por ser um furo). 
S
S mm
S
S mm
y S
A
mm x
S
A
mm
x
x
y
y
G
x
G
y
= − + + + +
=
= − + + + +
=
= = = =
2500 245 1256 64 220 8000180 2513 27180 4000 90 800 26 67
2609765 29
2500115 1256 64115 8000 900 2513 27 23 02 4000120 800126 67
1502178 31
157 63 90 73
3
3
. , . . , . . . ,
,
. , . . , . , . . ,
,
, ,
 
Uma vez determinada a posição do baricentro, pode-se calcular o produto 
de inércia baricêntrico e os momentos de inércia baricêntricos utilizando-se 
do Teorema de Steiner ou através da decomposição da seção em figuras 
geométricas cuja posição em relação aos eixos baricêntricos resulte em 
momentos de inércia conhecidos (retângulo em relação a um eixo que 
passa pela base, etc.). Por simplicidade de acompanhamento, não utiliza-
remos este último artifício, empregando Steiner para todas as figuras com-
ponentes. 
Para aplicação do Teorema de Steiner, é preciso os momentos de inércia 
baricêntricos de cada figura em relação a eixos paralelos a xG e yG: 
112 Capítulo 3 - Propriedades geométricas das seções 
Ix
Iy
Ix
Iy
Ix
Iy
1
4
1
4
2
4
2
4
3
3
3
3
50 12 520833 33
50 12 520833 33
20 4 125663 7
20 4 125663 7
100 80 12 4266666 7
80100 12 6666666 7
= =
= =
= =
= =
= =
= =
/ ,
/ ,
. / .
. / .
. / ,
. / ,
π
π
Ix
Iy
Ix
Iy
Ix
Iy
4
4
4
4
5
3
5
3
6
4
6
4
40 8 1005309 7
0 0349 40 280682 5
40100 12 3333333 3
100 40 12 533333 3
40 36 711111
40 36 711111
= =
= =
= =
= =
= =
= =
π
π
. / ,
, . . ,
. / ,
. / ,
/ ,
/ ,
 
Os momentos de Inércia acima 
estão em mm4. 
Aplicando Steiner resulta: 
Ix
Ix mm
G
G
= + − − +
+ + + +
+ + +
=
520833 3 2500 87 37 125663 7 1256 6 62 37
4266666 7 8000 22 37 1005309 7 2513 27 22 37
3333333 3 4000 67 63 711111 800130 96
46752219 76
2 2
2 2
2 2
4
, . , , , . ,
, . , , , . ,
, . , , . ,
,
 
Iy
Iy mm
G
G
= + − − +
+ + + +
+ + +
=
520833 3 2500 24 27 125663 7 1256 64 24 27
6666666 7 8000 0 73 280682 5 2513 27 67 71
5333333 3 4000 29 27 711111 800 35 94
24666353 9
2 2
2 2
2 2
4
, . , , , . ,
, . , , , . ,
, . , , . ,
,
 
O produto de inércia pode ser obtido diretamente por: 
Pxy
Pxy mm
= − + −
+ − + − + −
= −
2500 24 27 87 37 1256 64 24 27 62 37 8000 0 73 22 37
2513 27 67 71 22 37 4000 29 27 67 63 800 35 94 130 96)
8833106 87 4
. , . , , . , . , . ( , ). ,
, . ( , ). , . , . ( , ) . , . ( ,
,
 
A direção dos eixos principais centrais de inércia é dada por: 
y
x
G1
G3
G2
G4
G5
G6
G
G
G
22,37
67,71
0,73
24,27
62,37
87,37
29,27
67,63
35,94
130,96
 
Mecânica Estrutural 113 
 
tan( ) . ( , )
, ,
,
, ,
2 2 9933106 87
46752219 76 24666353 93
0 80
19 328 109 328
θ
θ θ
m
max
o
min
o
= − − − =
= =
 
Substituindo-se o valor de θ obtido, resulta: 
I u= + + −
− −
46752219 76 24666353 93
2
46752219 76 24666353 93
2
219 328
8833106 87 219 328
0
0
, , , , cos . ,
( , ) sen . ,
 
I mm
I
I mm
P
P
u
v
v
uv
uv
=
= + − −
+ −
=
= − + −
=
49850366 84
46752219 76 24666353 93
2
46752219 76 24666353 93
2
219 328
8833106 87 219 328
21568206 85
46752219 76 24666353 93
2
219 328 8833106 87 219 328
0
4
0
0
4
0 0
,
, , , , cos . ,
( , ) sen . ,
,
, , sen . , ( , ) cos . ,