Apostila 2 Matemática CEESVO EM

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Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
APRESENTAÇÃO 
 
 Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o 
conteúdo da programação da 2ª série do Ensino Médio. 
Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os 
exercícios. 
As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de 
Aprendizagem na Sala de Matemática. 
Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se 
necessário, tire suas dúvidas com o Professor. 
Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos 
elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-
instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu 
conhecimento gradativamente. 
No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe 
serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um 
cidadão mais seguro e respeitado. 
 
Não escreva na apostila, use seu caderno. 
 
META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM 
“Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus 
valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de 
uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”. 
 
OBJETIVOS ( Módulos 6 e 7 ) 
Nesta U.E. você será capaz de: 
 
- Construir um gráfico no plano cartesiano, analisar e interpretar as coordenadas 
e suas divisões; 
- Localizar os pontos ( pares ordenados ) no plano cartesiano; 
- Fazer análise de gráficos e tabelas; 
- Transpor o conceito de função na resolução de situações-problemas do 
cotidiano; 
- Fazer uso do plano cartesiano, localizar dois ou mais pontos e traçar a reta que 
representa a função do 1º grau e da parábola na função do 2º grau; 
- Determinar o ponto de máximo ou de mínimo de uma parábola e suas 
aplicações em problemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
MÓDULO 6 
 
 
COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO 
 
Você percebeu que cada vez mais os gráficos e tabelas são usados nos meios de 
comunicação (jornais, revistas, etc.) e ocupam lugar de destaque nas ciências exatas. 
Além disso, tem aplicações importantes na medicina, engenharia, economia, etc. 
O gráfico mais usado no estudo das ciências é o gráfico cartesiano formada por duas 
retas numeradas (ou eixos), que se cruzam num ponto zero (a origem) . 
Considerando: 
 
1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ). 
2º A mesma unidade de medida nos eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo horizontal é chamado eixo X (abscissas). 
O eixo vertical é chamado eixo Y (ordenadas). 
Para localizar um ponto P (na figura), traçam-se por esse ponto paralelas aos 
eixos x e y, respectivamente. 
Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais 
(3,2), sendo 3 no eixo x e 2 no eixo y, obedecendo rigorosamente essa ordem. 
Dessa maneira fica determinado o ponto P, como a intersecção ou junção das retas 
paralelas aos eixos x e y. 
Veja mais alguns exemplos: 
 X Y 
-6 -5 -4 -3 – 2 -1 1 2 3 4 5 6 
4 
3 
2 
1 
-1 
-2 
-3 
-4 
 
 . 
P ( 3 , 2) 
eixo X 
 eixo Y 
Observe que os 
dois eixos estão 
divididos em 
partes iguais. 
 4 
 Localize os pontos no plano cartesiano lembrando que o 1º número é a abscissa 
(X) e o 2º é a coordenada (Y). 
 
 A (-1,3) C (-2,-2) 
 B (2,-1) D (1, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 1º nº do par ordenado pertence a abscissa (eixo x) e o 2º nº pertence a 
ordenada (eixo y). Os dois eixos formam as coordenadas cartesianas. 
 
Os eixos cartesianos dividem o plano em 4 regiões chamadas quadrantes, que 
são numeradas no sentido anti-horário (contrário ao movimento do relógio) 
 
 
 I 
 
 III 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
1) Faça em seu caderno o plano cartesiano e localize os seguintes pontos, 
lembrando que 0 1º nº é do eixo X e o 2º do eixo Y 
 
P (3 , 4) Q (-1 , -3) R (-2 , 5) 
 
 
 
 
 
 -6 –5 –4 –3 –2 -1 0 
 
1 2 3 4 5 6 
 
 
 
4 
 
3 
2 
 
1 
 
 
 
-1 
 
 
eixo X 
eixo Y 
 -2 
 -3 
 -4 
 -5 
A 
B 
C 
D 
• 
• 
• 
• 
II 
 IV 
- + 
 + 
 
 
 
 
 - 
 5 
COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º 
GRAU. 
 
A função do 1º grau é escrita na forma y = ax + b, onde a é o coeficiente 
numérico (nº). 
 
Exemplo 1 
Vamos construir o gráfico para a seguinte função do 1º grau: y = x + 1, seguindo 
os passos abaixo: 
 
1º passo: Você vai escolher, no mínimo, dois números quaisquer para colocar 
no lugar da letra x, e construir uma tabela igual a esta: 
 
 X X + 1 Y 
 1 1 + 1 2 ( 1, 2 ) 
 2 2 + 1 3 ( 2, 3 ) 
 
 
Observe que no lugar da letra X coloca-se o número que foi escolhido. 
 
2º passo: Agora você vai construir o plano cartesiano traçando uma reta vertical 
(eixo Y) e outra horizontal (eixo X) que se interceptam (cruzam) no ponto zero 
(origem). 
 
3º passo: A partir do “zero” dividir as retas em partes iguais correspondendo os 
pontos com os números. 
 
4º passo: Localizar no plano cartesiano os pares ordenados (x, y) obtidos na 
tabela. 
 
5º passo: Traçar uma reta unindo os pontos obtidos. 
 
Agora, observe o gráfico, onde estão localizados os pontos e a reta que passa por 
esses pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nºs que você 
escolhe para X 
1 
 
 
• (2 , 3) 
 • (1 , 2) 
 6 
 
 
 
Exemplo 2: 
Como será o gráfico dos pontos (x,y), tais que y seja o nº que mede a área de um 
terreno quadrado de lado x, ou seja, y = x²? 
X X² y 
-2 (-2) ² 4 Lembre-se ( -2)2 = -2 . -2 = +4 
-1 (-1) ² 1 
0 0² 0 
1 1² 1 
 2 2² 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da relação y = x² é uma curva chamada parábola e é importante na 
geometria e na física. 
Você já deve ter ouvido falar em antena parabólica: sua forma arredondada é 
derivada da parábola. 
Agora é com você: 
 
EXERCÍCIOS: 
 
2) Faça a tabela, marque os pontos e trace a reta no plano cartesiano. 
 
a) y = x – 2 
b) y = 3 . x 
 
Você sabe que deve 
substituir os valores 
atribuídos para X na 
função Y = X² 
• 
• • 
• 
 • 
 7 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 
 
 
Você viu que atribuindo (dando) valores para uma variável (X) na equação 
você pode representá-la através de uma reta no plano cartesiano.O mesmo acontece 
quando você tem um sistema de equações (duas equações e duas variáveis). 
Esse sistema pode ser resolvido calculando o valor das duas variáveis usando o 
método algébrico (ver exemplo abaixo), como também através do gráfico no plano 
cartesiano. 
 
Observe atentamente o exemplo: 
 
Exemplo 1: 
A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais são esse 
números? 
X = um número 
Y = outro número 
Traduzindo para a linguagem matemática você tem: 
 
 X + Y = 15 (a soma de dois números) 
 X – Y = 3 (a diferença de dois números) 
 
1º Passo: “Juntando” os termos semelhantes: 
 
 X + Y = 15 (1ª equação) 
 X – Y = 3 (2ª equação) 
 2X = 18 
 Da equação resultante, você determina o valor de uma incógnita (neste caso o X ). 
 
 2X = 18 
 X = 18 
 2 
 
2º Passo: substituir o valor da letra encontrado na 1ª ou 2ª equação. 
 
 X + Y = 15 (1ª equação) 
9 + Y = 15 
 Y = 15 – 9 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, os números procurados 
são 9 e 6 e o conjunto 
verdade é representado por : 
 V = {(9 , 6)} 
 X , Y 
X = 9 
Y = 6 
Adicionam-se as duas equações 
reduzindo os termos semelhantes. 
 
 8 
A INTERSECÇÃO DE RETAS E A SOLUÇÃO DE SISTEMAS 
 
Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto 
algebricamente como geometricamente? 
Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo 
os cálculos com números e variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo 
sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico. 
 
X + Y = 15 1ª equação 
X – Y = 3 2ª equação 
 
Para encontrar a solução geométrica você deve escolher dois números 
quaisquer para x, substituir na 1ª equação e descobrir que número deve ser a letra y 
para que a operação fique correta. 
Por exemplo, se escolher os números 6 e 7 para x na primeira equação: 
 
X + Y = 15 
6 + Y = 15, se x vale 6 então y deve ser 9, pois 6 + 9 = 15 
7 + y = 15, se x vale 7 então y deve ser 8 , pois 7 + 8 = 15 
 
 Então para a primeira equação você tem os pontos ( 6,9) e ( 7,8). 
 
Agora escolha mais dois números quaisquer para x na segunda equação. 
Por exemplo, os números 3 e 4, vejam: 
 
X – Y = 3 
3 - y = 3 Se x vale 3 então y vale 0, pois 3 – 0 = 3 
4 – y = 3 Se x vale 4 então y vale 1, pois 4 – 1 = 3 
 
 Então você tem os pontos (3,0) e ( 4, 1) para a segunda equação. 
 
Marque os pontos encontrados na 1ª equação no plano cartesiano e trace a 
respectiva reta .Em seguida marque no mesmo plano cartesiano os pontos 
encontrados na 2ª equação e trace a respectiva reta. As duas retas se cruzam 
num ponto que é o resultado do sistema. 
Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as duas equações 
verdadeiras: 
 
X + Y = 15 X – Y = 3 
 9 + 6 = 15 9 – 6 = 3 
 
 
 
 
 
 9 
 y 
 
 
 
 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
9 
8 
 
7 
6
5 
 
4 
3 
2 
 
1 
 . 
 x 
. 
 
. 
. P (9 , 6 ) 
 (X, Y) 
-2 
-3 
-1 
-4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
3) Resolva geometricamente o sistema abaixo: 
 
 
 X - y = 3 
 X + y = 7 
 
 
A utilização do método cartesiano muito contribuiu para o progresso das 
ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da 
temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, nos permite 
avaliar, por uma análise simples de eixos coordenados, trajetória de uma 
transformação e prever seu desenvolvimento com certa precisão. Mostram, entre 
outros exemplos a importância do método de Descartes (matemático) para o 
desenvolvimento dos conhecimentos humanos. 
 
 
 
ANÁLISE DE GRÁFICOS 
Para você interpretar um gráfico é necessário observar alguns elementos que 
fazem parte dele tais como: 
 
Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. 
Legenda: identifica quais os elementos que foram pesquisados. 
Títulos dos eixos: vertical e horizontal e suas divisões. 
 
 
 
Observe o gráfico abaixo e responda em seu 
caderno: 
 10 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
4) Responda as perguntas abaixo em seu caderno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o assunto tratado no gráfico? 
 
b) Quais os elementos que foram pesquisados? 
 
c) Qual é o título do eixo vertical? 
 
d) E o eixo horizontal? 
 
e) Como está sendo graduado (dividido) o eixo vertical? 
 
f) Quantos alunos têm entre 156 a 160 cm de altura? 
 
 
 
 
 
 
 
Altura de Alunos da 5ª Série
0
2
4
6
8
10
12
14
A) 135 à
140
B) 141 à
145
C) 146 
à 150
D) 151 
à 155
E) 156 à
160
F) 161 à
165
G) 166 
à 170
Intervalos de Alunos
Nº
 
de
 
Al
u
n
o
s
 11 
 
TIPOS DE GRÁFICOS (MAIS UTILIZADOS) 
1 – BARRAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
5- Observando o gráfico, responda: 
 a) Quantas pessoas fumam 15 cigarros/dia? 
 b) Qual o nº de pessoas que fumam 25 cigarros/dia e morrem por doenças 
pulmonares e as que são não fumantes? De quanto é essa diferença? 
 
 
2 - LINHA 
 
 PADRÕES DO CRESCIMENTO DO SER HUMANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: 
6- Responda: 
 Quanto essa pessoa cresceu de 1 a 5 anos? 
 
MORTES POR DOENÇAS PULMONARES
0
20
40
60
80
100
120
não fumantes 5 cigarros/dia 15 cigarros/dia 25 cigarros/dia
Cigarros por dia
10
0 
M
ilh
õe
s 
de
 
Pe
ss
o
as
 
t (anos) 1 5 10 12 15 16 20 
h (altura/cm) 
180 
160 
140 
120 
100 
 80 
 60 
 40 
 20 
 
 12 
 
 
GRÁFICO DE SETORES CIRCULARES – a unidade de medida mais usada 
é a porcentagem 
PREFERÊNCIAS MUSICAIS
30%
17% 25%
28%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS MPB30%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK INTERNACIONAL17%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS SERTENEJOS25%
PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK NACIONAL28%
 
Como você calcula a quantidade de pessoas que preferem MPB sabendo que 
foram entrevistadas um total de 240 pessoas? 
 
Fácil! 
 Você sabe que o círculo inteiro mede 360º e que esse valor corresponde ao 
total de pessoas entrevistadas ( 240 ). O setor que corresponde a preferência à 
MPB é de 30º , então: usando a regra de três, você tem: 
 
100% = 240 
 30% = X ( multiplicando e dividindo) 
 
X = 30 . 240 = 7200 = 72 pessoas 
 100 100 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
7) De acordo com o exemplo acima, calcule a quantidade de pessoas que preferem 
a música sertaneja. 
 
 
 
 13 
 
 
GABARITO - MÓDULO 6 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y= 3X 
 
X Y 
0 0 
1 3 
2 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) a ) y = x - 2 
 
X Y 
 
2 0 
1 -1 
0 -2 
 14 
 
3) x - y = 3 
 x + y = 74 ) a ) altura dos alunos da 5ª série 
 b ) alunos, alturas 
 c ) nº de alunos 
 d ) intervalo de alturas 
 e ) de 2 em 2 
 
 
5 ) 60 milhões de pessoas pois o eixo vertical é “milhões de pessoas” 
 
 
6 ) 20 cm 
 
 
7 ) x = 60 
 
 
 
 
 
 15 
A B 
 
MÓDULO 7 
 
NOÇÃO DE FUNÇÃO: 
 
Você já aprendeu que uma equação do 1º grau ( y = ax + b ) pode ser 
representada no plano cartesiano através de uma reta e, que a equação do 2º 
grau ( y = ax² + bx + c ) por uma parábola. Essas equações são exemplos de 
funções. 
Para você entender o conceito (idéia) de função é só pensar em duas 
grandezas cujos valores variam, sendo que a variação de uma depende da variação 
da outra. 
Coloque-se no lugar de um fornecedor que pretende estudar a variação de 
preço de acordo com a quantidade de açúcar vendido. Ele deseja saber quanto 
deverá receber pela quantidade de açúcar vendido. 
 
Exemplo - 1 
 Considere a tabela abaixo: 
 
N.ºde quilos de açúcar Preço a receber 
1 R$ 0,80 
2 R$ 1,60 
3 R$ 2,40 
4 R$ 3,20 
5 R$ 4,00 
... ... 
 
Esta tabela também pode ser representada através de um diagrama onde a seta 
representa a correspondência entre os valores 
 
Diagrama ou esquema 
 
 1 0,80 
 2 1,60 
 4 3,20 
 3 2,40 
 5 4,00 
 
 
 Observe que há uma correspondência entre o n.º de quilos de açúcar e o valor 
a receber. O valor a receber é função (depende) do n.º de quilos vendidos. Isto 
significa que uma função tem duas grandezas onde uma depende da outra. 
 
 
 16 
 
Definição de função: 
 
No exemplo acima observe que há uma relação ou correspondência entre 2 
conjuntos os quais foram chamados de A e B. A representou a quantidade de quilos e 
B o valor a receber: 
Portanto: uma função de A em B é toda relação entre A e B, onde a cada 
elemento de A corresponde um único elemento de B. 
Matematicamente é representada assim: 
 
F: A B ( lê-se: f de A em B ) 
 
No exemplo dado um quilo de açúcar custa R$ 0,80. Chamando a quantidade 
de açúcar de X e o valor a receber de Y, você tem a função que representa o valor a 
receber. Para calcular basta substituir os valores de X na equação dada e resolver as 
operações indicadas. 
 
 Y = 0,80 . X 
 
X - Quantidade de quilo Y - Valor a pagar 
1 0,80 . 1 = 0,80 
2 0,80 . 2 = 1,60 
3 0,80 . 3 = 2,40 
4 0,80 . 4 = 3,20 
5 0,80 . 5 = 4,00 
... ... 
 
 
Domínio e Imagem 
 
 No exemplo anterior o conjunto A (quantidade de quilos) é chamado Domínio 
da função. 
 O conjunto B ( valor a pagar ) é chamado Imagem da função e é obtido 
substituindo os valores de X na equação. 
 
Exemplo 2 
 
 Um vendedor recebe uma comissão de 5 reais a cada tênis vendido. 
 Pergunta-se: 
a) Qual a função que representa seu lucro? 
b) Construa uma tabela que representa a função 
c) Construa um diagrama que representa essa situação 
d) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem 
 
 17 
 
Resolvendo: 
 
a) Y = 5 . X onde 5 é o valor a receber de cada tênis e X a quantidade de tênis 
vendido. 
Observe que Y é o resultado da quantidade vendida ( X ) multiplicado por 5 
reais, que é a comissão. Portanto Y “depende” de X 
 
b) Tabela Y = 5 . X 
 
Substituindo valores de X na função dada e efetuando as operações (contas), 
você vai achar os valores de Y. Dessa forma você obtém os pares ordenados (X , Y). 
Domínio Função Imagem pares ordenados 
X Y=5 . X Y (X , Y ) 
1 Y=5 . (1) = 5 5 (1 , 5 ) 
2 Y=5 . (2) = 10 10 (2 . 10 ) 
3 Y=5 . (3) = 15 15 (3 . 15 ) 
.... 
 
ATENÇÃO! Neste exemplo não foi usado nº negativo no domínio porque não 
existe venda negativa com comissão. 
 
 
C) Diagrama Tênis lucro 
 
 1 5 
 2 10 
 . . 
 4 20 
 . . 
 10 50 
 
 
 
D) Domínio (D) = 1, 2 . . 4, . . . 10... 
 
 
Imagem (I) = 5, 10 . . . 20 . . . 50... 
 
Exemplo - 3 
 
Dada a função Y = 2X - 1 determine: 
1-) O domínio e a imagem observando a tabela seguinte. 
2-) Os pares ordenados ( X , Y ) obtidos. 
 
 18 
 
 
Domínio Função Imagem Pares ordenados 
X Y = 2x - 1 Y ( X , Y ) 
1 Y = 2.(1) - 1 = 1 1 ( 1 , 1 ) 
-1 Y = 2. (-1) - 1 = -3 -3 (-1 , -3 ) 
2 Y = 2.(2) -1 = 3 3 (2 , 3 ) 
-2 Y = 2.(-2) - 1 = -5 -5 ( -2 , -5 ) 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1 ) Um vendedor tem um salário fixo de R$ 200,00 acrescido de uma comissão 
de R$ 5,00 em cada peça por ele vendida. 
A função que representa seu salário total é Y = 5X + 200 onde X representa a 
quantidade de peças vendidas. 
 
a) Complete a tabela abaixo, 
X 5 . X + 200 Y 
0 
10 
50 
 
b) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função, 
c) Faça a representação do conjunto domínio e do conjunto imagem no diagrama. 
 
 
 
INTERVALO 
 
Quando se fala em intervalo a primeira coisa que você lembra é aquele 
momento livre que há entre as aulas, numa escola regular, "o recreio". 
Saiba que o conceito de intervalo caminha por aí. 
Veja bem, o recreio, ou melhor, o intervalo fica entre as aulas de um período. 
Em matemática o intervalo numérico é usado quando você quer dar como 
resposta a uma questão, um conjunto de números que ficam entre 2 números 
dados. 
Usa-se os sinais > ( maior) e < (menor) para limitar o intervalo. 
 
Exemplo 1: 
 
Se Paulo tem no bolso mais que 10 reais e menos de 50 reais como você 
escreveria a resposta se eu perguntasse – Quantos reais ele pode ter no bolso? 
 
Supondo que Paulo tenha X reais, você pode escrever isso na forma de 
intervalo matemático. 
 19 
Fica assim: 10 < X < 50 leitura X é maior do que 10 
 X é menor do que 50 
 
O valor X está no intervalo 10 a 50 
 
 
Exemplo 2: 
 No deserto a temperatura varia muito. Durante o dia chega até a 40º C e a 
noite ela cai para 3º C. Matematicamente você escreve isto em forma de intervalo 3º 
C < X < 40º C . Perceba que a notação de intervalo simplifica a escrita e é bastante 
usada na Física, Economia, Biologia, Química etc.. Agora que você sabe o que 
significa intervalo, pode defini-lo assim: 
 
Dados 2 números reais a e b, sendo a < b, chamamos de intervalo todos os 
números reais maiores que a e menores que b. 
 {X E R / a < X < b} 
 
Lê-se X pertence ao conjunto dos n.ºs reais, tal que X é maior que a e menor 
que b. O intervalo é o espaço entre a e b. 
 
 
REPRESENTAÇÃO DO INTERVALO NO GRÁFICO 
 
Exemplo 1 
 
Veja a variação de certo artigo produzido no Brasil, representada no gráfico 
abaixo: 
 
 
 50000 
 
 40000 
 
 30000 
 
 
 20000 
 
 10000 
 
 
 1960 1970 1980 1990 2000 ano 
Y 
X 
 20 
Analisando o gráfico: sendo X o volume deprodução no período você percebe 
que: 
1-) A produção cresceu no intervalo de 1960 a 1970 
 
 1960 < X < 1970 
 
2-) A produção decresceu de 1970 a 1980. A produção voltou a crescer em 
1980. 
3-) A produção ficou constante (estacionou) entre 1990 e 2000. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
2 ) O gráfico abaixo mostra o espaço (S) percorrido por um automóvel numa 
viagem em função do tempo(t): 
a) Entre quais instantes o carro esteve parado? 
 
b) Qual o espaço percorrido entre 60 e 120 minutos? 
 
 
 
 80 
 
 60 
 
 40 
 
 20 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Quando a função é dada através de uma equação do 1º grau é denominada 
função linear e é representada no gráfico através de uma reta. 
Voltando na tabela do exemplo da página 3 da função Y = 5 . X onde X é a 
quantidade de tênis vendido vezes comissão, você obteve na tabela os pares 
ordenados (1 , 5) ; ( 2 ,10) ; (3 , 15) que podem ser colocados no plano cartesiano e 
assim construir a reta que representa a função. 
 
 
Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
Km 
30 60 120 t ( min ) 
 
(3,15) 
Y 
X 
 21 
Todo gráfico que resulta em uma reta é uma função do 1º grau representada 
pela equação escrita na forma: 
 
 
Y = aX + b onde: Y é a imagem 
 X é o domínio 
 a é o coeficiente de X 
 b é a constante (número) 
 
 
Analisando a função do 1º grau ou função linear você pode observar que: 
 
 
1- Se a = 0 então Y = b pois a.x = 0. É uma função constante. 
 
Veja como fica o gráfico: 
 
Função Constante 
 
Em Y = ax + b fazendo a = 0 
 
Obtemos Y = 0 . X + b ou 
 
 Y = 0 + b ou Y = b 
 
Note que Y = b não é uma função do 1º grau, pois a expressão 0 . x + b não é 
uma expressão do 1º grau. 
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo X. 
 
 Y 
 b Y = b 
 
 
 
 X 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
 
Quando a ≠ 0 a função Y = ax + b pode ser crescente ou decrescente. 
 
 
 
 22 
Crescente: se a > 0 ( nº positivo) 
 
 Y 
 
 
 
 
 
 X 
 
 
 
 
Decrescente se a < 0 ( nº negativo) 
 
 Y 
 
 
 
 
 a< 0 
 
 
 
Você já aprendeu a construir o gráfico da função do 1º grau (equação da reta) 
no módulo 3. Agora vai aprofundar seus conhecimentos. 
Você viu que para construir uma reta bastam dois pontos ( X , Y ) ou dois 
pares ordenados que você obtém a partir da equação. 
 
Exemplo: y = 2X - 3 
 
Atribuindo dois ou mais valores quaisquer a X você constrói a tabela, substitui o 
valor de X na equação e determina os valores correspondentes de Y. Assim você 
obtém os dois pontos ( X,Y) necessários para traçar a reta. 
 
X 2 . X – 3 Y 
 -1 2 . (-1) - 3 -5 ponto ( -1 , - 5 ) 
 2 2 . 2 – 3 1 ponto ( 2 , 1 ) 
 
 
 
 
 
 
 
a>0 
X 
( 2,1) 
(-1, -5 ) 
Y 
X 
 23 
COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR 
 
Na função y = aX + b, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
- Coeficiente angular é o valor que a função aumenta ou diminui quando se 
aumenta ou diminui a variável X em uma unidade. 
- Coeficiente linear é o lugar em que uma reta corta o eixo do Y (ordenada). 
 
Veja um exemplo prático do significado do coeficiente linear e do coeficiente 
angular. 
 
Na conta telefônica de uma residência, o valor total a ser pago é calculado da 
seguinte maneira: 
- assinatura mensal, dá direito a um certo nº de ligações e custa 
R$ 23,00. Passando desse número, o valor das ligações (pulsos) excedentes é 
calculado multiplicando-se o nº de pulsos extras pelo valor de cada pulso que é de R$ 
0,10. 
- em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura mensal. 
 
Chamando de X o nº de de pulsos excedentes e de Y o valor da conta telefônica 
você tem a função: 
Y = 23,00 + 0,10 . X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na função Y = 0,10 X + 23,00, observe que 23,00 é o coeficiente linear e que 
0,10 é o coeficiente angular. Veja no gráfico que este último (o coeficiente angular) é 
o valor que a função aumenta quando x cresce uma unidade. Ele é a altura do degrau 
da escada que o gráfico mostra. 
 
 
 
 
 Y 
 
 
Valor 
 da conta 
 
 23,00 
X 
Nº de pulsos excedentes 
 0,10 
 24 
RAIZ DA FUNÇÃO 
 
A raiz da função Y = aX + b é o valor de X que torna Y igual a zero. Por 
isso, esse valor de X também é chamado de zero da função. 
Para você calcular a raiz da função basta igualar a equação a zero . 
Veja o exemplo: 
 
Y = 2X – 3 
2X – 3 = 0 
 2X = 3 
 X = 3 
 2 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
3 ) Considere a função y = 3X – 6 
a) Qual é o coeficiente angular? 
b) Qual é o coeficiente linear? 
c) Qual é a raiz da função? 
d) O ponto (2 , 0) pertence a essa função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 No ponto (12 , 30 ), X = 12 e Y = 30 então substituindo esses valores na 
função 
Y = 3.X – 6 
30 = 3 . 12 - 6 
30 = 36 – 6 
30 = 30 (verdadeira ) 
 
 
Agora você vai aprender a função do 2º grau ( quadrática). 
 
 
 
Você sabe 
quando um 
ponto pertence 
à função? 
 -3 
 X 
 3 
 2 raiz 
 Y 
O valor 3 é a raiz da função.( ponto 
 2 onde a reta corta o eixo do X) 
 
 
Um ponto pertence a função se, 
substituindo o valor de X e Y na 
equação, a igualdade torna-se 
verdadeira. 
 
 
 25 
FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
A função do 2º grau é representada pela fórmula y = ax² + bx + c, onde a,b,c, 
são os coeficientes numéricos , com a diferente de zero. 
São exemplos de função do 2º grau: 
 
Y = 2x² -3x +4 ( equação do 2º grau completa) com a= 2, b=-3, c= 4 
Y = 8x² + 9 ( equação do 2º grau incompleta ) com a= 8, b =0, c= 9 
Y = 6x² - 2x ( equação do 2º grau incompleta) com a =6, b= -2, c= 0 
 
A função do 2º grau ou função quadrática é representada no plano cartesiano 
através de uma parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A parábola é construída determinando valores para X (domínio) e calculando 
os respectivos valores de Y (imagem). 
 
 
1º EXEMPLO: 
 Y = X² - 2 
substituindo X pelo seu respectivo valor 
 
X X² - 2 Y 
0 0² - 2 -2 (0 , -2) 
1 1² - 2 -1 (1 , -1) 
2 2² - 2 2 ( 2 , 2) 
-1 (-1)²- 2 -1 (-1 ,-1) 
-2 (-2)² - 2 2 ( -2 , 2) 
 
A união dos pontos encontrados determina 
uma linha curva chamada parábola. 
 
 
 
 
 
 26 
 
2º EXEMPLO 
 
y = -2x² + 6 
 
X -2X² + 6 Y 
0 (-2) . 0² + 6 6 
1 (-2) . 1² + 6 4 
2 (-2) . 2² + 6 -2 
-1 (-2). (-1)² +6 4 
-2 (-2). (-2)² +6 -2 
 
 
 
 
3º EXEMPLO 
 
 
Y = X² - 6X + 5 
X X²- 6X + 5 Y 
 
0 0² - 6. 0 + 5 5 
1 1² - 6. 1 + 5 0 
2 2² - 6. 2 + 5 -3 
3 3² - 6. 3 + 5 -4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe os gráficos dos 
exemplos 1, 2 e 3 e 
analise as conclusões. 
 27 
1-Se o coeficiente a > 0 ( nº positivo), a parábola tem a concavidade voltada para 
cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Se o coeficiente a < 0 ( nº negativo) a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
4 ) Faça a tabela e construa a parábola das funções: 
 
a ) b ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y = X² - 2 
a > 0 
Y = -2X² + 6 
a < 0 
 
Y = x² -4x + 3 
 
X X² - 4X + 3 Y 
 
 0 02 – 4. 0 +3 
 1 
 2 
 3 
 4 
 
Y = – x² + 1 
 
X - X² + 1 Y 
-2 - (-2)² + 1 
-1 
 0 
 1 
 2 
 
 28 
 
 
RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
 
As raízes de uma função são os pontos onde a parábola corta o eixo do X. 
Para determinar as raízes de uma equação do 2º grau aplicamos a fórmula de 
BÁSKARA e assim determinamos os pontos de X.. 
BÁSKARA - foi um importante matemático hindu do séc. XII que se dedicou ao 
estudo das equações matemáticas. Por isso a fórmula que usaremos é conhecida como 
fórmula de Báskara aplicada nas equações do 2º grau (ax2 + bx + c = 0) sendo a ≠ 0 e 
a, b e c números reais. 
Eis a fórmula: 
 
 
X = a
b
.2
∆±−
 
 
onde 
 = b2 - 4.a.c 
 
 
O símbolo é chamado Delta (uma letra grega). 
 
 
A equação do 2º grau pode ter 
 > 0 = 0 < 0 
A equação tem duas 
raízes reais diferentes 
A equação tem uma 
única raiz real 
A equação não tem raiz 
real 
 
 
 
 
Veja alguns exemplos e resolução com a aplicação da fórmula: 
 
Exemplo 1: 
 
Y = X2 - 6X + 5 = 0 
 
 a = 1 coeficiente de x² (nº que “ acompanha “o x²) 
 
 b = - 6 coeficiente de x (nº que “acompanha” o x 
 
 c = 5 coeficiente numérico (não vem “acompanhado” do x) 
 
a é o coeficiente de X² 
 
b é o coeficiente de X 
 
c é um nº ( não tem X) 
 29 
Você pode calcular substituindo as letras pelos seus valores: 
 
 
 = b2 - 4.a . c 
 
 = (-6)2 - 4.1.5 
 = 36 – 20 
 = 16 
 Substituindo o valor de ∆ na fórmula de Báskara você tem: 
 
x = 
a
b
.2
∆±−
 x’ =
2
46 +
 = 
2
10
 = 5 
x = 
1.2
16)6( ±−−
 x = 
2
46 ±
 x’’ = 
2
46 −
 =
2
2
 = 1 
 
 
Substituindo os valores de X na equação, você observa que a sentença é 
verdadeira tornando assim o Y = 0 
 
X2 - 6 X + 5 = 0 X2 - 6X + 5 = 0 
52 - 6 . 5 + 5 = 0 12 - 6 . 1 + 5 = 0 
25 - 30 + 5 = 0 1 - 6 + 5 = 0 
0 = 0 0 = 0 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
Y = 2X2 - 8 
 
O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é igualar a zero. 
 
2X2 - 8 = 0 ∆ = b² – 4 .a . c X= - b ± ∆ 
a = 2 ∆ = 02 - 4. 2 .(-8) 2 . a 
b = 0 ∆ = 0 + 64 X= 0 ± 64 
c= -8 ∆ = 64 2.2 
 
 
 X’ =
4
80 +
 = 
4
8
 = 2 
 S = {2, -2} 
 X’’ = 
4
80 −
= 
4
8−
= - 2 
Todo nº negativo elevado ao 
expoente 2 resulta sinal + pois 
–6 . –6 = +36 
S = 1,5 
 
 30 
 
Exemplo 3: 
 
X2 - 3X = 0 
a= 1 ∆ = b2 – 4.a.c 
b= -3 ∆ = (-3)2 - 4.1.0 
c= 0 ∆ = 9 - 0 
 ∆ = 9 
 
x =
a
b
.2
∆±−
 x = 
1.2
9)3( ±−−
 
 
 x = 
2
33 ±
 x ‘ =
2
33 +
 = 
2
6
 = 3 
 
 x’’ =
2
33 −
 = 
2
0
 = 0 
 
 S = 0 , 3 
 
Exemplo 4 
2X2 + 4X + 6 = 0 
a= 2 ∆ = b2 - 4ac 
b= 4 ∆ = 42 - 4.2.6 
c= 6 ∆ = 16 - 48 
 ∆ = - 32 
Como ∆ < 0 (número negativo) a equação não tem solução pois não existe raiz 
quadrada de um número negativo, logo, a solução é o conjunto vazio S=Ø 
Observe que em todos os exemplos acima resolvidos, os valores encontrados 
para X (raízes) fazem com que Y = 0, portanto são os pontos onde uma parábola 
intercepta (corta) o eixo do X. 
 
 1º CASO: ∆ > 0 (possui 2 raízes diferentes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a > 0 a < o 
 
 
 31 
2º CASO: ∆ = 0 (possui apenas 1 raiz) 
 
 
 a < 0 a > 0 
 
3º CASO: ∆ < 0 ( não possui raízes) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a > 0 a < 0 
 
 
 
Exercícios: 
 
 5 ) Determine as raízes das equações aplicando a fórmula de Báskara: 
 
a) X² - 5X + 6 = 0 
 
b) 4X² - 64 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS: 
 
 Veja a parábola abaixo com a < 0. 
 Se você “caminhar” no gráfico da esquerda para a direita, os valores de Y vão 
aumentando até chegar no vértice. Esse ponto é chamado de ponto de máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
Com a > 0 você encontra no vértice um ponto de mínimo, pois partindo da 
esquerda para a direita, os valores de Y vão diminuindo. 
 
 
 
 
 
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA 
 
Vértice é o ponto mais baixo(ponto de mínimo) ou o ponto mais alto (ponto 
de máximo) da parábola 
Para encontrar o vértice da parábola não é necessário construir o gráfico , 
basta encontrar o ponto (XV , YV). 
 
Para isso você tem duas maneiras para resolver: 
1 ) Usar as fórmulas: 
 
XV = - b YV = - 
 2 . a 4 . a 
 
Se a < 0 então o 
vértice é o ponto 
de máximo. 
 
a > 0 então o 
vértice é ponto 
de mínimo. 
 33 
 
Lembre-se: = b² - 4 . a . c OU..... 
 2 ) Substituir na equação dada o valor encontrado de X
 V para encontrar o 
valor de Y 
Exemplo 1: determine o vértice da parábola que representa a função: 
 
Y = X² - 4X + 3 onde a = 1 b = - 4 c = 3 
 
XV = - b = - ( - 4 ) = 4 = XV = 2 
 2 . a 2 . 1 2 
 
YV = - ∆ = - [b² - 4 . a . c] = - [(-4)² - 4 . 1 . 3]= -[16 – 12 ]= - 4 = -1 
 4 . a 4 . a 4 . 1 4 4 
 
 YV = - 1 o vértice é o ponto ( 2 , -1 ) 
 
O ponto YV é o que determina o ponto máximo ou o ponto mínimo da 
função dependendo da concavidade voltada para cima ou para baixo. 
 
Exemplo 2 : Determine o ponto de mínimoda função: Y = 3X² - 12X 
Como a > 0 então a concavidade da parábola está voltada para cima e a função 
tem um ponto de mínimo YV 
 
Yv = 
a.4
∆−
 = 
a
cab
.4
)..4²( −−
 = 
3.4
)]0.3.4)²12[( −−
 
 =
12
)0144( −−
 = 
12
144−
 = -12 
 
 
 
Exemplo prático 
 Queremos construir uma represa retangular para criação de carpas. Para cercá-
la serão necessários 12 m de tela sendo aproveitado o muro existente para cercar um 
dos lados. Quais são as dimensões para obter a represa de maior área possível? 
 
 Se X + X + C = 12 muro 
 
 2X + C= 12 
 
 C = - 2X + 12 
 
 
 X 
 
 
 
 C 
Ponto de mínimo 
 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então: 
 
 Área = X . C A = X . ( – 2X + 12 ) 
 
A = -2X² +12X (equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola) 
 
Usando a fórmula para calcular o YV você determina o valor do ponto 
máximo da área pois a < 0 . 
 
 
YV = - YV = - ( 12² - 4 . (-2) . 0 ) YV = - 144 = 18 
 4 . a 4 . ( -2) - 8 
 
 Se YV = 18 então a área máxima será 18m². 
 
 
EXERCÍCIOS : 
 
6 ) Dada a função y = X² - 4X + 5, determine o vértice da parábola e 
identifique se é ponto de máximo ou de mínimo. 
 
 7) Determine o ponto de mínimo da função Y = x² - 6x + 13 
 
 
 
ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Você vai resolver, construir e analisar a parábola que representa a função 
 
 Y = x² - 6X + 8 
 
 
 
 
 
substituindo 
Você sabe que para calcular a área deve multiplicar as duas 
medidas: comprimento e largura, o que resulta numa 
equação do 2º grau. 
 35 
Resolvendo: 
 a = 1 b= - 6 c = 8 
Raízes: 
X = -b ± √ 
 2 . a 
 
 = b² - 4 . a . c 
 ∆ = (-6)² - 4 . 1 . 8 
 ∆ = 36 – 32 
 = 4 
 
 
 
Vértice: 
 
XV = - b = -(-6) = 6 = 3 
 2 . a 2 . 1 2 
 ponto do vértice ( 3 , -1 ) 
 
YV = - = - 4 = -1 
 4 . a 4 . 1 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
1- A concavidade da parábola está voltada para cima pois a > 0 
2- A função possui ponto de mínimo y = -1 
3- A parábola corta o eixo do X em dois pontos X= 4 e X = 2 ( raízes) 
4- O ponto mais baixo (vértice) é (3 , -1) 
 
Veja o esboço da parábola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na fórmula: 
X = - ( -6 ) ± √ 4 
 2 . 1 
 X’ = 6+2 = 8 = 4 
X = +6 ± 2 2 2 
 2 
 X’’ = 6 –2 = 4 = 2 
 Raízes = 4 e 2 2 2 
X 
 36 
c ) 
GABARITO: 
 
1) a-) X Y 
0 200 0 200 
10 250 10 250 
50 450 50 450 
 
 
 b-) D = 0, 10, 50 … 
 I = 200, 250, 450... 
 
 
2) a) entre 30 e 60 min 
 b) 40 Km 
 
 
 
 
4) a-) X Y 
 0 3 
 1 0 
2 –1 
3 0 
4 3 
 
 
 
b-) X Y 
 -2 -3 
 -1 0 
0 1 
1 0 
2 -3 
 
 
 
5) a-) X2 – 5X + 6 b-) 4X2 – 64 = 0 
 = 1 = 1024 
 X’ = 3 X’ = 4 
 X” = 2 S = 3 , 2 X” = -4 S = 4 , -4 
 
 6) a-) XV = 2 
 YV = 1 
 
 7) YV = 4 
a>0 = ponto de mínimo 
3) a-) 3 
 b-) - 6 
 c-) X = 2 
 d-) sim pois 0 = 3 . 2 – 6 
 0 = 0 verdadeira 
 
 
 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO 8 
 
 
Educação Fiscal 
 
 
 
O Dinheiro 
 
 
 Durante a Segunda Guerra Mundial, os prisioneiros de guerra aliados e 
confinados em acampamentos alemães, recebiam periodicamente da Cruz 
Vermelha, pacotes contendo produtos como carne enlatada, chocolate, 
geléia e cigarros. 
 Os não-fumantes, obviamente, procuravam trocar seus cigarros por 
outras mercadorias, estabelecendo-se assim, um sistema de trocas (sistema 
de escambos). 
 No princípio, foi difícil estabelecer o valor relativo das mercadorias, mas 
aos poucos, os preços começaram a ser cotados em número ou quantidade 
de cigarros. 
 Os cigarros eram usados como meio de pagamento, ou seja, 
transformaram-se no “dinheiro” dos acampamentos de prisioneiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 38 
Mesmo os não-fumantes aceitavam cigarros como pagamento, porque 
sabiam que poderiam usá-los para comprar carne enlatada, por exemplo. A 
criação do dinheiro, nesse caso, aconteceu de forma natural, sem 
interferência do governo. Ele era necessário para que o comércio de 
mercadorias acontecesse de forma organizada. 
 Enquanto houvesse equilíbrio entre a quantidade de dinheiro (cigarros) 
e a de outros bens, a economia do acampamento funcionava bem. Mas, se 
nas remessas da Cruz Vermelha, o número de cigarros diminuísse, a 
situação se complicava. Os fumantes tinham de oferecer mais bens para 
obtê-los e o valor do cigarro subia muito. Quando o cigarro valia muito, os 
preços dos outros produtos cotados em cigarros, caíam (era a deflação). 
 O contrário também causava problemas. Quando o acampamento 
recebia uma grande quantidade de cigarros, a procura por eles ficava menor, 
seu valor diminuía e portanto, os preços dos outros bens que dependiam do 
valor do cigarro, se elevavam (inflação). 
 Para simplificar as transações comerciais (compra e venda) é usado o 
dinheiro, que é o meio empregado na troca de bens, na forma de moedas ou 
notas (cédulas). Cada país tem a sua moeda: a do Brasil é o Real, a dos 
Estados Unidos e Canadá é o Dólar, a da Argentina é o Peso, a da Inglaterra 
é a Libra, a da Comunidade Européia é o Euro, e outros mais... 
 Com a evolução dos tempos, as transações com o dinheiro foram se 
aprimorando, assim como a convivência em sociedade, onde há um dinheiro 
coletivo administrado por um Poder Público. 
 39 
O dinheiro ($) tem que sair 
do próprio povo! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DDee oonnddee vveemm ddiinnhheeiirroo ddoo ggoovveerrnnoo??PPoorr iissssoo,, tteemmooss oo ddeevveerr ddee ppaaggaarr TTRRIIBBUUTTOOSS..
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPaarraa ““bbaannccaarr”” ttooddaass aass ddeessppeessaass ddoo nnoossssoo 
PPaaííss,, oo ggoovveerrnnoo nnããoo ppooddee ttiirraarr oo ddiinnhheeiirroo 
ddaa ccaarrttoollaa,, nnuumm ppaassssee ddee mmáággiiccaa.. 
Você sabe o 
que são 
TRIBUTOS? 
 
 
 
 
 
 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos dividir os tributos em: 
 
TAXAS: o governo presta serviços para o cidadão (ex.: coleta de lixo, 
certidões e documentos, porte de arma, licença para construir ou 
reformar, alvará para abrir um comércio, etc.). 
 
CONTRIBUIÇÕES SOCIAIS: 
• o INSS, que é descontado dos empregados e também é pago 
pelas empresas (assistência médica e aposentadoria); 
• o PIS e o CONFINS; 
• a CPMF. 
 
IMPOSTOS: o governo presta serviço para a comunidade (estradas, 
hospitais, segurança pública, escolas, etc.). 
Os impostos recolhidos já são destinados para a União (Governo 
Federal), para cada Estado e para os Municípios. Saiba quais são os 
principais e quais os seus destinos. 
 
 
Impostos da UNIÃO (Federal) 
 
IR - Imposto de Renda; 
 
ITR - Imposto sobre Propriedade Territorial Rural; 
 
IPI - Imposto sobre Produtos Industrializados; 
 
IOF - Imposto sobre Operações Financeiras; 
 
II - Imposto de Importação; 
 
 
 
 
 
TRIBUTOS são valores criados por lei, pagos 
pelos cidadãos ao poder público. Podem ser em 
forma de IMPOSTOS, TAXAS E OU 
CONTRIBUIÇÕES e destinam-se ao custeio das 
necessidades da população, como Educação, 
Saúde, Segurança e outras. 
 41 
 
Impostos dos ESTADOS 
 
 
IPVA - Imposto sobre Propriedade de Veículos Automotores-(repassa 
metade para os municípios); 
 
ITCMD - Imposto sobre Transmissão “Causa Mortis” (herança) e Doação; 
 
IE - Imposto de Exportação; 
 
ICMS - Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Prestação de Serviços de 
Transporte Interestadual e Intermunicipal e Comunicações; 
 
O ICMS é o imposto mais importante para os Estados e Municípios, 
sendo repassados 75% para o Estado e 25% para os Municípios. Incide no 
consumo de: MERCADORIAS, TRANSPORTE INTERESTADUAL E 
INTERMUNICIPAL e COMUNICAÇÃO. 
 
Aqui no Estado de São Paulo, o governador José Serra implantou, de 
acordo com a Lei nº 12.685 desde 01 de outubro de 2007 o Programa “Nota 
Fiscal Paulista”, com objetivo de incentivar os consumidores de 
mercadorias, de bens e de serviços de transporte a exigir do comerciante a 
entrega de nota fiscal. 
 
Como vai funcionar? 
 
 
Em cada compra, o consumidor solicita sua Nota Fiscal Paulista (NFP) e 
informa seu CPF. O registro do CPF no Cupom Fiscal ou na Nota Fiscal é 
requisito para que o documento fiscal seja hábil. 
 
 
 A Nota Fiscal Paulista pode ser emitida de quatro formas: 
 
 
1. Cupom Fiscal; 
2. Nota Fiscal (talão em papel); 
3. Nota Fiscal On-line (emissão diretamente no Portal); 
4. Nota Fiscal Modelo 1 ou 1-A (consumidor final). 
 
 
 
 
 42 
O que o consumidor vai ganhar? 
 
- Créditos em dinheiro; 
- Sorteios de prêmios. 
 
A Nota Fiscal Paulista vai gerar créditos em dinheiro para os 
consumidores que solicitarem a emissão de documento fiscal no momento 
da compra, gerando assim a redução da carga tributária individual, calculada 
em cima dos 30% do ICMS recolhido a cada mês pelo estabelecimento 
comercial. 
Após o recolhimento do ICMS pelo fornecedor será creditada aos 
clientes, de forma automática, a parcela do imposto proporcional ao valor da 
compra constante na Nota Fiscal. 
 
 
Utilização do crédito: 
 
• Para as aquisições de janeiro a junho, o crédito poderá ser utilizado a 
partir de outubro do mesmo ano; 
• Para as aquisições de julho a dezembro, o crédito poderá ser utilizado 
a partir de abril do ano seguinte. 
 
O crédito poderá, dentro de cinco anos, ser: 
• Utilizado para reduzir o valor do débito do IPVA do exercício seguinte; 
 • Transferido para outra pessoa natural ou jurídica; 
 • Depositado em conta corrente ou poupança, mantida em instituição 
do Sistema Financeiro Nacional; 
 • Creditado em cartão de crédito emitido no Brasil. 
 
 
 
Benefícios para a Sociedade 
 
• Redução da carga tributária individual; 
• Redução do consumo de papel (impacto ecológico) já que a maioria dos 
estabelecimentos irá optar pelo Cupom Fiscal eletrônico; 
• Incentivo ao comércio eletrônico; 
• Padronização dos relacionamentos eletrônicos; 
• Surgimento de oportunidades de negócios e empregos na prestação de 
serviços ligados à Nota Fiscal Paulista. 
 
 
 
 
 43 
 
Cronograma de Implantação 
 
• Outubro/07: Restaurantes; 
• Novembro/07: Padarias, Bares, Lanchonetes e outros; 
• Dezembro/07: Artigos Esportivos, Óptica, Fotográficos, viagem e 
outros; 
• Janeiro/08: Automóveis, Motocicletas, Barcos, Combustíveis e outros; 
• Fevereiro/08: Materiais de Construção; 
• Março/08: Produtos para Casa e Escritório; 
• Abril/08: Produtos Alimentícios e Farmacêuticos; 
• Maio/08: Roupas, Calçados, Acessórios e outros. 
 
 
 
Impostos dos MUNICÍPIOS 
 
IPTU - Imposto sobre Propriedade Predial e Territorial Urbana; 
 
ITBI - Imposto sobre Transmissão “Inter Vivos” de Bens Imóveis (escrituras); 
 
ISS - Imposto sobre Serviços de Qualquer Natureza. 
 
 
Importante: A parte do ICMS que cabe para os municípios é feita de acordo 
com o volume de VENDAS COM NOTA ou CUPOM FISCAL que cada 
cidade emite. Se você compra em Votorantim o dinheiro vem para 
Votorantim, mas se você compra em outra cidade o dinheiro vai para essa 
cidade. 
 
 
Quanto mais NOTA FISCAL for emitida em sua cidade, 
maior será o “rateio” para ela. 
 
 
 
 
 
Se você deseja mais informações sobre o projeto entre no 
Site – www.nfp.fazenda.sp.gov.br, 
O mesmo onde você deverá fazer seu cadastro para consultar seus 
créditos. 
 
 44 
Veja um exemplo dos tributos (Impostos, taxas e contribuições) que 
você está pagando nos produtos que usa durante um banho: 
 
Serviços : 
Eletricidade, água, gás, esgoto. 
 
 
Produtos: 
Canos Hidráulicos, chuveiro, fios elétricos, xampu, 
sabonete, toalha e outros. 
 
 
 
 
Dinheiro Público do Cidadão para o Cidadão 
 
 
 Todo ano é firmado um contrato entre o governo (federal, estadual e 
municipal) e a sociedade, a respeito das ações a serem implantadas pelo 
Poder Público. Esse contrato é chamado de Orçamento Público. Como o 
nome já identifica, esse orçamento deve ter a participação da população 
através de sugestões das Associações de Moradores de Bairro, que 
repassam as necessidades dos moradores ou por sugestões individuais. 
Todo cidadão não somente pode, como tem o dever de participar do 
orçamento público sabendo qual a estimativa da receita (o valor a ser gasto) 
e onde vai ser gasto esse dinheiro. 
 Há no Estado de São Paulo, sistemas que possibilitam o 
acompanhamento do gasto público pelo cidadão. Na seção “Prestando 
Contas” da página da Secretaria da Fazenda na internet 
(www.fazenda.sp.gov.br) podem ser consultados relatórios sobre as 
despesas do Estado. 
 No município de Votorantim podemos acompanhar os gastos da 
Prefeitura no “Jornal do Município”, publicado gratuitamente toda sexta-feira. 
 45 
 
O termo Fisco refere-se ao 
Estado enquanto gestor do 
Tesouro Público, no que diz 
respeito a questões financeiras, 
tributárias e econômicas. 
 46 
Veja um exemplo para calcular o dinheiro (R$) do ICMS 
das mercadorias na nota fiscal ou cupom fiscal: 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
 
No cupom do 
supermercado a 
taxa de ICMS está 
na coluna STem 
forma de sigla, com 
seu valor 
discriminado na 
legenda grifada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
 
Veja, você pagou R$3,45 pela uva passa, sendo que R$0,62 desse dinheiro 
foi o IMPOSTO que o governo arrecadou para aplicá-lo em benefício da 
população. 
 
O mesmo acontece com todas as mercadorias que você compra. 
Se você NÃO pedir a NOTA FISCAL estará pagando o imposto, pois ele já 
está embutido no preço, mas NÃO estará garantindo que esse dinheiro será 
repassado para o governo Estadual e Municipal. 
 47 
Combata a sonegação ! 
 
Valorize o dinheiro que você paga em impostos procurando 
saber como e onde ele é empregado pelos governantes, seja 
no âmbito federal, estadual ou municipal. 
 
 
 
No ato da compra de um produto ou 
prestação de serviço, exija sempre NOTA FISCAL para 
que não seja apenas o CONSUMIDOR a pagar 
impostos, impossibilitando assim o desvio dos tributos 
aos cofres públicos. 
 
 
Com o dinheiro arrecadado dos impostos o governo tem o 
dever de revertê-lo em benefícios para a população como: 
 
 
EDUCAÇÃO SAÚDE 
 
 
 
 
 
 
 
 TRANSPORTES SEGURANÇA 
 E MUITO MAIS. 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
MÓDULO 9 
 
EDUCAÇÃO FINANCEIRA 
 
 
 
MEDINDO O VALOR DO DINHEIRO 
 
 Como foi visto no módulo anterior, o dinheiro é um instrumento usado 
na troca de bens e serviços. 
Curiosamente, o dinheiro recebe vários nomes dependendo da 
finalidade de seu uso. Assim: 
Salário: é o que se paga pelo trabalho de alguém. 
Aluguel: é o que se paga pelo uso de um imóvel ou bem. 
Gorjeta ou caixinha: é o que se dá acima do valor da compra ou de 
um serviço prestado. 
Esmola: é o dinheiro que alguém dá para uma pessoa mais 
necessitada. 
Capital (C): é o valor expresso em moeda (dinheiro) de uma 
mercadoria ou a quantia aplicada ou emprestada. 
Juros (J): é a remuneração (dinheiro) do capital empregado, podendo 
ser entendido como sendo o “aluguel” pago pelo uso do dinheiro. Esse 
dinheiro pode ser lucro (ganho) ou prejuízo (perda). 
Taxa ou índice percentual de Juros ( i ) : é o número de centésimos 
de uma grandeza. Ex.: 40% que significa a quadragésima parte de 100 (
100
40 ) 
ou 0,40 (quarenta centésimos). 
 
 
VOCÊ SABE O QUE É INFLAÇÃO? 
 
Uma inflação de 10% ao mês significa que, o que você comprava há 30 
dias com R$ 100,00, hoje custa R$ 110,00. 
Veja alguns exemplos de juros e porcentagens que fazem parte do 
nosso dia-a-dia, como aumentos e descontos. Aconselhamos que você faça 
os cálculos usando uma calculadora, pois é uma ferramenta importante de 
nosso dia-a-dia. 
 49 
27 000,00 
À VISTA OU A PRAZO? 
 
Um dos problemas matemáticos mais comuns no dia-a-dia é a decisão 
entre comprar à vista ou a prazo. As lojas costumam atrair os consumidores 
com promoções como esta: 
 
 
 
, 
VALOR DO CARRO R$27000,00 (CAPITAL) 
 20 % (TAXA) DE DESCONTO À VISTA OU 
em 6 vezes sem acréscimo 
 
 
 
Para o consumidor, qual é a melhor opção? 
 
É claro que se ele não dispõe no momento da quantia necessária para 
o pagamento à vista, mas tem uma parte, pode ser que ele prefira investir 
essa quantia e assim obter ganho e fazer a compra a prazo. A decisão nem 
sempre é a mesma para todos. 
 
 
O VALOR DO DINHEIRO 
 
 
Veja um fato extremamente importante: o valor de uma quantia 
depende da época à qual ela se refere. 
Por exemplo: 
Se Pedro consegue investir seu dinheiro a uma taxa de 5 % ao mês, é 
indiferente para ele pagar R$ 100,00 agora ou pagar R$ 105,00 daqui a um 
mês. Portanto, para Pedro, R$ 100,00 agora tem o mesmo valor que R$ 
105,00 daqui a um mês, ou seja, o dinheiro vale, para Pedro, 5 % ao mês. 
Portanto, o valor do dinheiro não é o mesmo para todas as pessoas. 
Todas as decisões em matéria de dinheiro passam sempre por esta questão: 
“quanto você consegue fazer render o seu dinheiro?”. 
Por exemplo, se a caderneta de poupança está rendendo 3% ao mês, 
então R$ 100,00 hoje, valerão R$ 103,00 em um mês, R$ 106,09 depois de 
dois meses, R$ 109,27 depois de três meses e assim por diante. Observe 
ainda que valores são traduzidos por quantias iguais apenas se essas 
quantias se referem à mesma época. 
 50 
Obs.: na 
calculadora você 
não deve usar o 
sinal de igual 
depois de apertar 
a tecla %. 
Veja a 
demonstração ao 
lado. 
 
Exemplos: 
 
1. A taxa de juros do cheque especial está em 12% ao mês. Se João 
ficar com saldo negativo de R$ 80,00 durante um mês, quanto 
pagará de juros? 
 
12 % de 80 reais é: =×
100
8012
 100
960
 = 9,60 80,00 + 9,60 juros = 89,60 
 
Ou você pode fazer direto pela calculadora 
usando o símbolo % : 
 80 + 12% = R$89,60 
 
2. Geraldo tomou um empréstimo de R$300,00 a juros mensais de 
15% ao mês. Dois meses depois, Geraldo pagou R$150,00 e um 
mês após esse pagamento liquidou o seu débito. Qual o valor desse 
último pagamento? 
 
Resolução: 
(lembre que enquanto houver dívida, a taxa de juros deverá ser 
aplicada). 
No 1º mês R$ 300,00 + 15% = R$ 345,00 
No 2º mês R$ 345,00 + 15% = R$ 396,75 
 
Como após dois meses ele pagou R$ 150,00 então: 
 R$ 396,75 – R$ 150,00 = R$246,75. 
 
No 3º mês ele tinha uma dívida de R$ 246,75 +15% = R$ 283,76 (valor 
do último pagamento). 
 
3. Uma estante custa R$ 500,00 com pagamento em duas vezes, 
sendo uma entrada de R$ 260,00 e outro pagamento para 30 dias 
no mesmo valor. Qual o índice percentual ou a taxa de juros 
cobrada nesta condição? (veja resolução na próxima página) 
 
8 0 + 1 2 % 
 51 
Resolução: 
 
 R$ 500,00 – R$ 260,00 (entrada) = R$ 240,00 (ficou devendo) 
 Como o valor do pagamento para 30 dias é de R$260,00 calcula-se o 
juro: 
R$260,00 – R$240,00 = R$ 20,00 de juros 
 
Portanto aplicando a regra de três: 
 
 R$ % 
240 100 240 • X = 100• 20 
 
 20 X 240. X = 2000 
 X = 2000 
 240 
 X= 8,33 % 
Observe que o juro é cobrado em cima do valor que ficou 
devendo (R$240,00) e não sobre o total da compra. 
 
 
 
4. Uma estante custa R$ 500,00 para pagamento em duas vezes, com 
R$260,00 em 30 dias e mais um pagamento em 60 dias no mesmo 
valor. 
Qual o percentual ou a taxa de juros cobrados nessas condições? 
 
 
 
 
Resolução: 
260,00 + 260,00 = 520,00 
520,00 – 500,00 = 20,00 de juros 
 
500,00 100% 500 • X = 20 • 100 
 20,00 X X = 
500
2000
 = 4% 
 
Perceba a diferença de interpretação do exemplo 3 com o 
exemplo 4. 
 
 
 
 
 R$ % 
 
 C 100 
 J X 
Observe que neste exemplo não houve entrada, 
portanto, R$500,00 é o valor da dívida (capital). 
 
 52 
5. O quilo de açúcar custava R$0,60 e passou a custar R$0,72 e o quilo 
do café que custava R$ 2,70 passou a custar R$ 3,20. Quais foram 
os percentuais de aumento em cada produto? Qual mercadoria teve 
um aumento maior? 
 
 AÇÚCAR CAFÉ 
 0,60 100% 2,70 100% 
 0,12 X 0,50 X 
 
 X= 0,12 . 100 X = 0,50 . 100 
 0,602,70 
 X = 20% X = 18,5% 
 
O açúcar teve um índice percentual maior logo, subiu mais que o café. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
Copie os enunciados dos exercícios no seu caderno e resolva: 
 
 
1. Você fez um empréstimo de R$ 200,00 a juros de 12% ao mês. Quanto 
você deverá pagar dois meses depois? 
 
2. Paulo fez um empréstimo de R$1200,00 , com juros de 10% ao mês. 
Um mês depois pagou R$ 400,00 e no mês seguinte liquidou seu 
débito: 
 
a) Qual o valor do último pagamento? 
b) Qual o juro pago por Paulo em reais? 
c) Qual o percentual de juros pago por Paulo? 
 
Observe o 
exemplo 2 
 53 
3. Observe o anúncio e responda: Qual o percentual de juro (taxa) 
cobrado nesse anúncio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Comprei uma casa por R$ 70000,00. Desejo obter um lucro de 15%. 
Por quanto devo vendê-la? 
 
 
 
5. O preço de uma calça era de R$ 86,00. Ela sofreu um desconto de 
12%. Qual é o novo preço? 
 
 
6. Paulo investiu seu capital de R$ 1000,00 num banco que estava 
pagando juros de 6% ao mês. Qual é o montante (capital + juros) de 
Paulo após 3 meses? 
 
 
 
7. Um computador custa R$ 1600,00 à vista ou R$ 1740,00 em 3 
pagamentos. Qual o valor aproximado do índice percentual aplicado no 
preço inicial? 
 
 
8. Uma TV que custava R$ 590,00 teve um aumento e seu preço passou 
para R$650,00. Um sofá de R$ 720,00 passou para R$ 780,00. 
 
a) Quais os índices percentuais de aumento da TV e do sofá? 
 
b) Qual deles subiu mais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SAPATOS 
 
 
 R$180,00 À VISTA OU 
 EM 2 PAGAMENTOS sendo R$ 98,00 
 NO ATO DA COMPRA E R$ 98,00 
 PARA 30 DIAS. 
Observe o 
exemplo 3 
Observe o 
exemplo 5 
 54 
AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
 
Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um mês e 
20% no mês seguinte. Qual será a taxa de aumento total que sofrerá o 
preço do produto nesses dois meses? Essa é uma pergunta interessante, 
porque a maioria das pessoas pensa erroneamente, que a taxa de 
aumento total foi 30% + 20% = 50%. Não é esse o cálculo que devemos 
fazer, pois se o preço do produto era de R$100,00, aumentando 30% 
temos: 
 
R$ 100,00 + 30 % = R$ 130,00 
 
e aumentando novamente mais 20 % temos: R$130,00 + 20%=R$156,00 
 
Ou seja, o aumento foi de: R$ 156,00 – R$100,00 = R$ 56,00 
 
 
R$ % 
100 100 100 • X = 56 • 100 
56 X X = 
100
5600
 
 
 X = 56 % 
 
EXERCÍCIOS: 
 
9. Uma bicicleta custava numa certa época R$ 300,00. No mês seguinte 
houve uma inflação de 20%, um mês após, a inflação foi de 10%. 
 
a) Qual é o preço da bicicleta após esses dois meses se ela foi corrigida 
pelas taxas acima? 
b) Se foi aplicado juros sobre juros, qual foi a taxa percentual final? 
 
 
10. O preço de um artigo que custava R$ 100,00 sofreu dois descontos 
sucessivos de 30% e de 20%. 
 
a) Qual foi o preço final do artigo? 
b) Qual o valor da taxa final aplicada? 
 
 
Obs.: para saber o índice 
percentual é necessário aplicar 
a regra de três: 
R$ % 
C 100 
J X 
 
 55 
 
G A B A R I T O 
 
 
 
1 ) R$250,88 
 
2 ) a) R$ 1012,00 b) R$ 212,00 C) 17,6% 
 
3 ) 19,5% 
 
4 ) R$ 80500,00 
 
5 ) R$ 75,68 
 
6 ) R$ 1191,01 
 
7 ) 8,75% 
 
8 ) a) 10,16% na TV e 8,3% no sofá b) TV 
 
9 ) a) R% 396,00 b) 32% 
 
10) a) R$56,00 b) 44% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
MÓDULO 10 
 
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 
 
CERCADO DE ESTATÍSTICAS POR TODOS OS LADOS 
 
Você pode não saber definir 
Estatística, mas ao ouvir essa palavra logo 
pensa em números, tabelas e gráficos, não 
é? 
 A estatística é um ramo da Matemática 
especializado em coletar, organizar, 
representar e interpretar dados, com o 
objetivo de estudar fatos, fenômenos, 
comportamentos e muito mais. 
 Nos mais variados campos ela está 
presente para ajudar a solucionar problemas 
e determinar rumos de ação. 
 Você estudou nos módulos anteriores a Educação Fiscal e a Educação 
Financeira que está interligada com a Estatística, pois são os gráficos e 
tabelas que mostram os dados coletados. 
Veja o exemplo: 
 Se o estudo estatístico da população de um determinado país revela 
taxas de analfabetismo crescentes é conveniente que se adotem políticas 
educacionais para corrigir esse problema. 
 A indústria utiliza estatística para avaliar a aceitação de seus produtos 
no mercado e a partir daí trocar estratégias de produção e venda desses 
produtos. 
 A eficácia de um remédio, o tratamento de uma doença ou os efeitos 
colaterais que ele pode provocar, são determinados estatisticamente. 
 
E você, que tal aprender um pouco sobre ela? 
 
 A estatística está presente em seu cotidiano: nos jornais, revistas, TV, 
na entrevista que você responde sobre seu sabonete preferido, no folheto 
com perguntas sobre o serviço de lanchonete que você freqüenta, nas 
profissões que você pode vir a exercer. 
 Esse é o objetivo deste módulo: ensinar noções básicas de estatística 
para quem já vive cercado por ela. 
 Existem empresas especializadas em pesquisas estatísticas (IBOPE, 
DATA FOLHA, VOX POPULI, etc.). São elas que elaboraram as pesquisas e 
apresentam os resultados em forma de gráficos e tabelas para que 
possamos estar por dentro das informações. 
 57 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
 Observe este exemplo: 
 Em épocas de eleições, é comum vermos pesquisas de intenção de 
voto divulgadas pela mídia. Será que eles entrevistam todos os eleitores 
brasileiros para obter os dados da pesquisa? Não, isso seria impossível. É 
por isso que entrevistam uma quantidade determinada de eleitores (por 
exemplo, 2000 eleitores). Aí entra o conceito de amostra e população: 
 
População - são todos os eleitores que formam a população do fenômeno 
que está sendo estudado. No exemplo que foi dado acima seriam todos os 
eleitores do Brasil. 
 
Amostra - é a parcela da população que foi entrevistada. No exemplo 
acima, 2000 eleitores. É com base nos dados colhidos nessa amostra que a 
pesquisa é feita. A escolha da amostra é parte importante na Estatística. 
 
Exemplo: A Cooperativa Agrícola quer saber sobre o consumo de 
tomate em Votorantim. 
 
População: 103000 habitantes da cidade de Votorantim. 
Amostra: 20 pessoas que moram no mesmo prédio de uma rua de 
Votorantim. 
Pesquisa: consumo de tomate em Votorantim 
Pergunta: Você consome tomate? 
Das 20 pessoas entrevistadas (100%) da amostra você tem: 
Sim = 4 Não = 16 
Utilizando a regra de três simples você tem: 
20 100 
 4 X 20 . X = 4 . 100 
 X = 
20
400
 
 X = 20% 
Conclusão: 
 Somente 20% dos habitantes de Votorantim consomem tomate. A 
pesquisa não é válida! A população de Votorantim não está sendo 
adequadamente representada, pois para uma cidade desse porte, com mais 
de 100000 habitantes, uma amostra de 20 pessoas não é significativa, isto 
é, não é suficiente para demonstrar se o tomate é, ou não consumido pela 
população. Os moradores do prédio formam uma amostra muito pequena e 
particular. Uma amostra tem que ter uma quantidade suficientemente grande 
para representar a população dapesquisa em questão. 
 58 
TABELA 
 
 Todos os dados coletados são organizados de tal forma que se 
reduzem em uma tabela. Veja o exemplo abaixo: 
 Algumas pessoas têm dois irmãos ou irmãs, outras têm três; há 
aquelas que não têm irmãos e também as que, nas famílias numerosas, têm 
seis ou sete irmãos. 
 Na classe de Ana Lúcia, essa pergunta foi respondida com uma 
pesquisa estatística, mas primeiro foi necessário coletar dados. 
A mesma pergunta foi sendo respondida por todos os alunos e anotado 
o resultado na lousa. 
E para organizar os dados coletados foi feita a tabela abaixo. 
Ela mostra a quantidade de casos ocorridos com: 0 irmão , 1 irmão, 2 
irmãos, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os dados da tabela podem ser representados em gráfico, que é a 
visualização geométrica desses dados. 
 
Nº de irmãos Freqüência (quantidade de 
ocorrências em cada caso) 
0 7 
1 11 
2 6 
3 3 
4 0 
 
Compare 
 os dados 
acima com 
 os da tabela 
ao lado: 
5 1 
 59 
 
 
GRÁFICOS: A COMUNICAÇÃO DA ATUALIDADE 
 
 
 Quando lemos um jornal, uma revista ou assistimos a um noticiário de 
televisão, é muito comum encontrarmos informações sobre diversas 
situações representadas por meio de gráficos. 
 
Neste módulo vamos analisar alguns tipos de gráficos e entender 
melhor as informações neles contidas. 
 
São eles: 
 
- gráficos de segmento ou linhas; 
 
 
 
- gráficos de setores; 
 
 
 
- gráficos de barras ou colunas. 
 
 
 
Saiba mais sobre cada um deles: 
 
 
 
1-) Gráficos de linhas ou segmentos: são usados para mostrar a 
progressão de um fenômeno num certo período de tempo. 
 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
 A cada 15 dias, um instituto de pesquisa fez uma sondagem eleitoral 
para saber qual dos dois principais candidatos tinha chance de ser eleito. 
Veja o gráfico a seguir e pense nas questões: 
 
 
 60 
0
5
10
15
20
25
30
35
1ª
pe
sq
u
is
a
2ª
pe
sq
u
is
a
3ª
pe
sq
u
is
a
4ª
pe
sq
u
is
a
Candidato A
Candidato B
 
 
a) O candidato A é o líder. Na 1ª pesquisa, quantos por cento ele tem a 
mais do que o candidato B? 
b) O candidato B está atrás, mas dizem que é ele quem vencerá? Por 
quê? 
 
 Analisando o gráfico percebemos que o candidato B sempre se 
manteve em alta (linha crescente) o que evidencia a probabilidade de ser o 
vencedor. 
 
2-) Gráficos de setores: utilizam-se círculos fatiados muito semelhante a 
uma pizza cortada em vários pedaços e servem para situações em que 
se precisa ter uma visão comparativa entre todas as suas partes e o 
inteiro. 
 
Veja o exemplo: 
Foi feita uma pesquisa no Congresso Nacional e chegou-se ao 
resultado apresentado no gráfico abaixo: 
PESQUISA NO CONGRESSO BRASILEIRO
52%
30%
18%
Presidencialistas
Parlamentaristas
Indefinidos
 
 61 
V a r i a ç ã o d o D ó l a r d e 1 9 9 4 - 2 0 0 0
0
0 , 5
1
1 , 5
2
2 , 5
1 2 3 4 5 6 7
v a r i a ç ã o d e 1 9 9 4 - 2 0 0
R
e
al
 
 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 
R 
E 
A 
L 
 
Setores Circulares são formas adequadas para representar fenômenos 
que se expressam em termos de porcentagens. Isso porque o círculo todo é 
uma excelente representação de 100% desse fenômeno. Para representar 
os 18% dos congressistas no círculo aplicamos a seguinte regra de três 
simples. 
 
 
100% correspondem 360º então 18
100
 = X
360
 100 •••• X = 18 •••• 360 
 18% correspondem Xº X = 
100
6480
 
 X = 64,8º 
 
O ângulo de aproximadamente 65º corresponde à parte pintada de 
amarelo. 
 
 
 
3-) Gráfico de barras ou colunas: apresentam os resultados em forma de 
barras horizontais ou verticais (colunas), partindo do plano cartesiano 
formado por dois eixos: horizontal e vertical. 
Veja o exemplo que mostra a variação do Dólar em Reais no decorrer do 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62 
PLANO CARTESIANO 
 
 
Aplicando a idéia podemos pensar em um plano dividido por duas retas 
perpendiculares formando quatros ângulos retos. Essas retas recebem o 
nome de eixos e cada um dos quatro ângulos recebe o nome de quadrante. 
Convenciona-se numerar os quadrantes no sentido anti-horário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os eixos desse sistema são chamados eixos cartesianos. 
Convenciona-se que: 
- o eixo horizontal é chamado eixo das abscissas ou eixo x. 
- o eixo vertical é chamado eixo das ordenadas ou eixo y. 
Esses dois eixos determinam o plano cartesiano onde serão colocados 
os valores dos gráficos. 
 
 
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE GRÁFICOS 
 
 
Para você analisar e interpretar um gráfico é necessário observar 
alguns de seus elementos tais como: 
 
Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. 
 
Legenda: seus itens identificam quais elementos foram pesquisados. 
 
Títulos dos eixos: vertical e horizontal. Determinam os valores usados na 
pesquisa. 
 
Os eixos (retas) são divididos em partes iguais. Cada ponto representa 
uma unidade de medida. É necessário observar de quanto em quanto foi 
dividida a unidade de medida. 
 
 
1º quadrante 2º quadrante 
3º quadrante 4º quadrante 
 
 63 
Neste exemplo o gráfico de barras mostra: 
 
a) O assunto tratado nessa pesquisa foi “mortes por doença pulmonar”. 
 
b) O eixo vertical foi graduado ou dividido de 10 em 10 mil pessoas. 
 
c) A legenda identifica a quantidade de cigarros que fumam por dia. 
 
d) Quantas pessoas fumam até 15 cigarros por dia? É a barra de cor rosa 
que indica a quantidade. 
 
e) Qual foi o total de amostra pesquisada? O total de pessoas 
entrevistadas é a soma das quantidades de todas as barras. 
 
f) Quantos não fumantes morrem de doença pulmonar? Pela legenda é a 
coluna de cor azul, que são aproximadamente 5000 mortes. 
 
g) 60 mil pessoas fumam até 15 cigarros por dia, como mostra a coluna 
rosa. 
 
h) Para você, qual a relação que existe entre a quantidade de cigarros/dia 
fumados e as mortes por doenças pulmonares? Você responde 
analisando os dados do eixo horizontal juntamente com o eixo vertical. 
 
 
 
MORTES POR DOENÇA PULMONAR
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
m
il 
pe
ss
o
as
não fumantes
fumam até 5
cigarros /dia
fumam até 15
cigarros/dia
fumam até 25
cigarros/dia
fumam mais de
25cigarros/dia
 64 
EXERCÍCIOS: Copie os gráficos no caderno, faça a análise e responda: 
 
1 ) Observe o gráfico e suponha a situação: 
 
 Candidatos fazem uma prova para um concurso em que as notas variam 
de 0 a 10, de meio em meio ponto. O resultado da avaliação é o que está 
expresso no gráfico abaixo e mostra: 
 
� a freqüência que é a quantidade de pessoas que obtiveram cada nota; 
� o eixo Y representa a freqüência dessas notas; 
� a graduação do eixo Y é de 1 em 1; 
� o eixo X representa as notas que variam em 0,5 ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Copie e complete em seu caderno a tabela abaixo: 
NOTAS 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 
FREQ. 0 11 5 
Resultado da avaliação do concurso
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9