Medidas de dispersão desviomédio, desvio padrão e variância

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Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1º Ano
Medidas de dispersão: 
desvio médio, desvio-padrão e variância
MATEMÁTICA, 1º Ano
Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Há situações em que as medidas de tendência central - Média, Moda e Mediana - não são suficientes para caracterizar uma determinada coleta de dados. Nesse caso, é conveniente utilizar as medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância, pois expressam o grau de dispersão de um conjunto de dados. Portanto, nesta aula, estudaremos essas medidas de dispersão. Antes, porém, revisaremos a média aritmética, para uma melhor compreensão desse tópico.
INTRODUÇÃO
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
 
A média aritmética de um conjunto de dados numéricos é obtida somando-se os valores de todos os dados e dividindo-se essa soma pelo número de dados apresentados.
Por exemplo: Qual a média aritmética entre os números: 2, 4, 6, 8 e 10? 
REVISANDO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
SOLUÇÃO
MA = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5
MA = 30/5
MA = 6
Note que somamos os cinco números e dividimos pelo total deles, ou seja, por cinco.
REVISANDO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
MEDIDAS DE DISPERSÃO
DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Para compreendermos melhor esses conceitos relativos à Estatística, vamos explicá-los a partir da seguinte situação-problema:
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Considere a distribuição numérica cujos resultados constam na lista abaixo:
1, 6, 4, 10, 9
 
SITUAÇÃO-PROBLEMA
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
A média aritmética dessa distribuição 1, 6, 4, 10, 9 é:
MA = (1 + 6 + 4 + 10 + 9)/5
MA = 30/5 
MA = 6
A média aritmética é 6.
MÉDIA ARITMÉTICA
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
 DESVIO
Chama-se DESVIO de cada valor apresentado a diferença entre esse valor e a média aritmética desses valores. 
Na situação anterior, a distribuição é 1, 6, 4, 10, 9, e a média aritmética é 6. Portanto, temos:
 desvio do valor 1 1 - 6 = -5 
 desvio do valor 6 6 - 6 = 0
 desvio do valor 4 4 - 6 = -2
 desvio do valor 10 10 - 6 = 4
 desvio do valor 9 9 - 6 = 3
Os desvios, em relação à média, são: -5, 0, -2, 4 e 3.
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
A partir da situação com a distribuição dos números 1, 6, 4, 10, 9, considerando que a média aritmética entre eles é igual a 6 e que os desvios, em relação à média, são -5, 0, -2, 4 e 3, vamos definir as medidas de dispersão: desvio médio, variância e desvio padrão. 
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
DESVIO MÉDIO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Chama-se desvio médio (DM) de uma distribuição a média aritmética dos módulos dos desvios.
No exemplo em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo o desvio médio será:
DM = (-5 + 0 + -2 + 4 + 3)/5
DM = (5 + 0 + 2 + 4 + 3)/5
DM = 14/5
DM = 2,8 
O desvio médio é 2,8.
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O módulo garante que o valor seja positivo.
EXs.: 
+3 = 3
-3 = 3
VARIÂNCIA
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Chama-se variância (V) de uma distribuição a média aritmética dos quadrados dos desvios dessa distribuição. 
Na situação em análise, os desvios são -5, 0 -2, 4 e 3, logo a variância será:
V = ((-5)² + (0)² + (-2)² + (4)² + (3)²)/5
V = (25 + 0 + 4 + 16 + 9)/5
V = 54/5
V = 10,8
A variância é 10,8.
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DESVIO PADRÃO
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Chama-se desvio padrão (DP) de uma distribuição a raiz quadrada da variância:
DP = V 
No exemplo em análise, temos que a variância é 10,8, portanto o desvio padrão será: DP = 10,8  3,28.
O desvio padrão é  3,28.
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OBSERVAÇÕES: 
 Quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero;
 quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores;
 o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1º) Considerando a distribuição dos números 2, 4, 6 e 10, determine:
o desvio médio;
a variância;
o desvio padrão.
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SOLUÇÃO 
A distribuição é 2, 4, 6 e 12, então temos:
MA = (2+4+6+12)/4 = 24/4 = 6
a) DM = (2-6 + 4-6 + 6-6 + 12-6)/4 = 12/4 = 3
b) V = ((2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (12-6)²)/4 = 56/4 = 14
c) DP = 14 = 3,74 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
2º) Em um jogo de arremessos, coletaram-se os dados da tabela a seguir. Dessa forma, em relação aos acertos, determine: 
a média aritmética; 
o desvio médio;
a variância;
o desvio padrão.
JOGADORES
LANÇAMENTOS
ACERTOS
MÁRCIO
10arremessos de cadajogador
6
MURIEL
4
JONAS
8
EDSON
2
ROMUALDO
7
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SOLUÇÃO 
d) DP = 4,64 = 2,15
a) MA = (6+4+8+2+7)/5 = 27/5 = 5,4 
b) DM = (6-5,4 + 4-5,4 + 8-5,4 + 2-5,4 + 7-5,4)/5 
 DM = 1,92
c) V = ((6-5,4)² + (4-5,4)² + (8-5,4)² + (2-5,4)² + (7-5,4)²)/5 
 V = 4,64 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
3º) No quadro a seguir, está representado o consumo diário de gasolina, em litros, dos carros de três taxistas, em um período de quatro dias. Determine o desvio padrão do consumo dos carros desses taxistas.
 
 Taxistas
segunda
terça
quarta
quinta
I
10
9
23
12
II
16
18
8
32
III
25
17
30
10
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SOLUÇÃO
Para determinarmos o desvio padrão, precisaremos, antes, calcular a média aritmética e a variância.
Calculando a média aritmética de consumo dos carros dos três taxistas, temos:
MAI = (10+9+23+12)/4 = 13,5
MAII = (16+18+8+32)/4 = 18,5
MAIII = (25+17+30+10)/4 = 20,5
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Medidas de dispersão: desvio médio, desvio padrão e variância
Agora, vamos calcular a variância para o consumo dos carros dos três taxistas.
VI = [(10-13,5)²+(9-13,5)²+(23-13,5)²+(12-13,5)²]/4  31,25
VII = [(16-18,5)²+(18-18,5)²+(8-18,5)²+(32-18,5)²]/4  74,75
VIII = [(25-20,5)²+(17-20,5)²+(30-20,5)²+(10-20,5)²]/4  58,25
SOLUÇÃO
Observando a variância, notamos que o carro do taxista II tem a maior dispersão em relação aos demais, e o carro do taxista I tem a menor dispersão.
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SOLUÇÃO
Finalmente, vamos calcular o desvio padrão e analisar o 
consumo dos carros dos três taxistas.
DPI = 31,25  5,59 litros
DPII = 74,75  8,64 litros
DPIII = 58,25  7,63 litros
Pela análise do desvio padrão, verifica-se que o carro do taxista I 
teve o consumo mais regular em torno da média, pois seu desvio 
padrão é o menor. 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
4º) Ao procurar emprego, um rapaz teve que optar por duas ofertas dispostas em um jornal, como mostra a tabela a seguir. Qual das ofertas representa a melhor opção? Por quê?
 
Oferta 1Oferta 2
Média Salarial
890,00
950,00
Mediana
800,00
700,00
Desvio Padrão
32,00
38,00
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SOLUÇÃO
Pela definição do desvio padrão, sabemos que quanto menor o DP, mais homogêneos serão os valores, ou seja, a diferença entre eles é mínima. Dessa forma, a oferta 1 é a mais vantajosa, por ter o menor desvio padrão. 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.
 IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 1ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004.
 GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.
 PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.
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