matemática função quadrática

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FUNÇÃO QUADRÁTICA
O que você deve saber sobre
Estudaremos as funções de 2o grau, que também são chamadas de funções quadráticas.
I. Forma geral
FUNÇÃO QUADRÁTICA
1) Canônica: y = a (x - xV)2 + yV, sendo xV e yV as coordenadas do vértice. 	
2) Fatorada: y = a(x - x1) . (x - x2), sendo x1 e x2 os zeros da função (f(x) = 0), quando existirem. 	
II. Outras formas da função quadrática
FUNÇÃO QUADRÁTICA
III. A equação de 2o grau e os zeros da função
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A curva que representa uma função quadrática é denominada parábola e apresenta algumas características muito particulares:
IV. O gráfico de uma função quadrática
FUNÇÃO QUADRÁTICA
2) O sentido da concavidade da parábola depende do sinal do coeficiente a:
IV. O gráfico de uma função quadrática
1) A parábola tem simetria em relação a um eixo vertical, que passa pelo seu vértice V(xV, yV), cujas coordenadas são dadas por:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
V. Esboço do gráfico de uma função quadrática 
Para elaborar o gráfico, é necessário determinar:
1) a concavidade da parábola (a > 0 ou a < 0);
2) as raízes (x1 e x2) da função, quando elas existirem;
3) o ponto (0, c) em que a parábola corta o eixo y;
4) as coordenadas do vértice (xV, yV).
FUNÇÃO QUADRÁTICA
V. Esboço do gráfico de uma função quadrática 
FUNÇÃO QUADRÁTICA
1.
2.
V. Esboço do gráfico de uma função quadrática 
Conclusão:
FUNÇÃO QUADRÁTICA
3.
Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VI. Estudo do sinal 
da função quadrática
O sinal depende do valor de  e do coeficiente a:
1) a > 0
 a função é crescente no intervalo x > xV.
 a função é decrescente no intervalo x < xV.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VI. Estudo do sinal 
da função quadrática
O sinal depende do valor de  e do coeficiente a:
2) a < 0
 a função é crescente no intervalo x < xV.
 a função é decrescente no intervalo x > xV.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Basta igualar as equações associadas a essas curvas:
 reta: y = mx + p 
 parábola: y = ax2 + bx + c
Igualando os y, temos:
mx + p = ax2 + bx + c  ax2 + (b - m)x + (c - p) = 0
VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola
FUNÇÃO QUADRÁTICA
VII. Determinação dos pontos de encontro 
de uma reta e da parábola
Resolvendo a equação de 2o grau obtida, achamos no máximo duas raízes (x1 e x2) reais. Substituindo esses valores na equação da reta, obtemos as coordenadas dos pontos comuns.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
A reta é secante 
à parábola.
VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola
FUNÇÃO QUADRÁTICA
(UFF-RJ) 
A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto.
Determine:
a) o número de peças que torna o lucro nulo;
b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;
c) o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00.
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FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
(UFJF-MG) 
Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por f(t) = -10t2 + 20t + 100.
a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce.
b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando?
c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada?
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
(UFPA)
O vértice da parábola y = ax2 + bx + c é o ponto (-2, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que: 
a) a > 1, b < 1 e c < 4.
b) a > 2, b > 3 e c > 4.
c) a < 1, b < 1 e c > 4.
d) a < 1, b > 1 e c > 4.
e) a < 1, b < 1 e c < 4.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
(Unesp)
O conjunto solução da inequação (x – 2)2 < 2x – 1, considerando como universo o conjunto , está definido por:
a) 1 < x < 5.
b) 3 < x < 5.
c) 2 < x < 4.
d) 1 < x < 4.
e) 2 < x < 5.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
(Unifesp)
De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada.
O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é:
a) 3. 
b) 2. 
c) 1,5. 
d) 1.
e) 0,5.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
(Fuvest-SP)
Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 + mx + 2. Nessas condições:
a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).
b) Determine os valores de m  para os quais a imagem de f contém o conjunto {y  | y > 1}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y  | y > 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x  | x 0}.
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item (c) e para cada y > 2, o único valor de x > 0 tal que f(x) = y.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
(Unifesp) A tabela mostra a distância s em centímetros que uma bola percorre descendo por um plano inclinado em t segundos.
A distância s é função de t dada pela expressão
s(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c são constantes. A distância s em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a:
a) 248. 
b) 228. 
c) 208. 
d) 200.
e) 190.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
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FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR
Mat-cad-1-top-3 – 3 prova
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Professor: utilize o simulador de funções para estudar as características do gráfico da função polinomial do 1o grau, substituindo os valores das constantes. Use-o também para explorar a transladação de gráficos e verificar o que se altera na lei de formação. 
Mat-cad-1-top-3 – 3 prova
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