Proporção grandezas diretamente proporcionais

Prévia do material em texto

Matemática e suas 
Tecnologias - Matemática
Ensino Fundamental, 7º Ano
Proporção: grandezas diretamente 
proporcionais
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Olá, pessoal!
 Eu sou a Corujinha da Sabedoria e sempre estarei trazendo dicas e curiosidades para você! 
Nesse sentido, iremos juntos aprender muito! 
Vamos lá? 
2
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
Você sabe qual será nosso conteúdo a ser estudado? Ainda não? Vamos ver?
Iremos juntos discutir sobre proporção e, principalmente, sobre as grandezas diretamente proporcionais!
Você já ouviu falar?
 
3
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Antes de conceituarmos, que tal pensarmos em algumas situações que nos lembrem sobre o conteúdo da semana? 
Discuta com seus colegas o que vocês têm de conhecimento sobre proporção, fazendo anotações em seu caderno. 
4
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Agora pare e pense um pouco, junto com seus colegas!
Existem proporções, quando as merendeiras de sua escola fazem sua merenda? Justifique.
 
2) Existem proporções quando pedreiros estão “traçando” a massa de cimento? Justifique.
E agora você conseguiu perceber as proporcionalidades em seu dia a dia?
Imagem: U.S. Department of Agriculture / Creative Commons Attribution 2.0 Generic
Imagem: Brice Blondel for HDPTCAR / Creative Commons - Atribuição 2.0 Genérica
5
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Vamos pensar em um exemplo?
Imagine você uma receita de um bolo que dá para 10 pessoas. Se uma dona de casa quer fazer 2 bolos, será preciso dobrar toda a receita ou apenas alguns ingredientes? 
Ingredientes:
 2 xícaras (chá) de leite. 
1 e ½ xícara (chá) de fubá.
1 vidro de leite de coco (200ml).
3 ovos.
2 colheres (sopa) de margarina. 
100 g de queijo parmesão ralado. 
1 lata de leite condensado.
1 e ½ xícara (chá) de açúcar.
100 g de coco ralado.
1 colher (sopa) de fermento em pó.
Imagem: David.Monniaux / GNU Free Documentation License
6
MATEMÁTICA, 7° Ano.
Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais. 	
Pensando em um exemplo de um grupo de pedreiros.
Imagine que para preparar uma massa de cimento para um determinado serviço, os pedreiros utilizam:
1 lata de cimento
5 latas de areia
2 latas de brita
3 latas de água
A partir destas informações, para realizar este trabalho os pedreiros precisarão repetir 5 vezes este preparo de massa.
Qual será a quantidade de cada produto para fazer 5 vezes a mais? Este exemplo é um caso de grandezas proporcionais? Justifique a partir de uma discussão com seus colegas e professor(a).
Imagem: Brice Blondel for HDPTCAR / Creative Commons - Atribuição 2.0 Genérica
7
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Vamos a uma curiosidade?
A proporcionalidade não é apenas algo a ser referenciado ao nosso dia a dia. Na história da humanidade a necessidade de comparar e mediar sempre existiu. Observe a figura de como se calculava a altura das pirâmides, que através da proporcionalidade se media a sombra da mesma e de uma estaca (vara) ao chão. Esta observação partiu-se de Thales de Mileto, que fazia as medidas sem ter que subir as pirâmides altas. Percebeu na história a necessidade de medir alturas é antiga, e através das proporções começou a analisar o que antes era impossível?
Quer saber mais sobre Thales de Mileto? Acesse o link: http://pt.wikipedia.org/wiki/Thales_de_Mileto
Imagem: Khephren Pyramid, Egypt / SveMir (Svetlana i Mirko) / Domínio Público
8
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Agora que observamos alguns exemplo, vamos definir?
Segundo o Wikipédia, a proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.
Podemos observar também o conceito que o dicionário web, traz sobre a proporcionalidade: “estado das quantidades proporcionais entre si.”
E agora, qual conceito você daria para a proporcionalidade?
9
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
E o conceito de grandeza? Como você definiria? Vamos observar a definição que o site “passeiweb¹” nos traz?
Segundo o site, grandeza é uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. 
Também podemos recorrer à definição que o “dicionário online”² nos traz, afirmando que Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.
______________________________________________________________________________________________
1.Fonte: http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/grandeza/grandeza_razao_proporcao 
2.Fonte: http://www.dicionarioweb.com.br/grandeza.html
10
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Podemos perceber que já analisamos sobre proporção através de suas aplicações, assim como grandezas. Vamos agora conceituar Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.)?
Você se lembra do exemplo do bolo que já estudamos? 
À medida que aumentamos os ingredientes de um bolo , maior será a quantidade (fatias) deste bolo. Percebeu?
Então, podemos definir as grandezas diretamente proporcional com este exemplo. À medida que aumenta uma grandeza, irá também aumentar a segunda grandeza.
11
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Lata de areia
5
10
15
20
25
30
Lata de cimento
1
Agora chegou a sua vez de completar os espaços, de modo que seja uma grandeza proporcional direta. Vamos lá?
Imagem: Brice Blondel for HDPTCAR / Creative Commons - Atribuição 2.0 Genérica
12
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Bolo
1
2
3
10
1/2
1/4
Fatias
16
Agora, continuando a ver proporcionalidade, será que em ½ e ¼ de bolo, teremos proporcionalidade direta?
Imagem: David.Monniaux / GNU Free Documentation License
13
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Agora chegou a sua vez!
O que você percebeu à medida que aumentou a quantidade de bolos? Aumentará a quantidade de fatias? E à medida que diminuiu a quantidade de bolo, o que acontecerá com as fatias?
14
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Agora que já estudamos sobre as proporções diretamente proporcionais, que tal discutirmos sobre “Regra da Sociedade” que também refere-se à proporcionalidade? Você já ouviu falar? Ainda não? Vamos a ela?
15
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Vamos a um exemplo prático de Regra da Sociedade?
Três sócios devem dividir, proporcionalmente, o lucro de R$ 30.000,00. O sócio “A” investiu R$ 60.000,00, o sócio “B”, R$ 40.000,00 e o sócio “C”, R$ 50.000,00. 
Qual a parte correspondente de cada um? 
16
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Ao somarmos os valores que cada um receberá, devemos constituir o lucro de R$ 30.000,00. Como nãosabemos o valor que cada um receberá, vamos considerar que:
	A = x 
B = y 
C = z 
Vamos relacionar os x, y e z aos investimentos de cada um, através de uma razão: 
Solução
17
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
 x + y + z = x+y+z = 30.000 =0,2
60.000 40.000 50.000 60.000+40.000+50.000 150.000 
 x =0,2 y =0,2 z =0,2
60.000	 40.000	 50.000
x=60.000*0,2	y=40.00*0,2	z=50.000*0,2
x=12.000	y=8000		z=10.000
Logo, os sócios receberão as seguintes quantias:
A= R$12.000
B= R$ 8.000
C= R$ 10.000	
18
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
MATEMÁTICA, 7° Ano.
Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais. 	
Perceberam o quanto as grandezas diretamente proporcionais estão em nosso dia a dia? E que inclusive as Regras da Sociedade fazem parte das grandezas?
19
MATEMÁTICA, 7° Ano.
Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais. 	
Que tal agora assistirmos a um vídeo que nos ajudará a entender melhor nosso conteúdo de grandezas diretamente proporcionais? Será que grandezas serão apenas com números? Depois de assistir ao vídeo, discuta com seus colegas.
Acessem o link:
http://www.youtube.com/watch?v=deR2HdCTm04
Você irá perceber que o vídeo trabalha sobre grandezas diretamente proporcionais, resgatando o conceito de Razão. Vamos conferir?
Ao final do vídeo façam grupos e ampliem um desenho a sua escolha e depois você deverá discutir com os demais quais instrumentos que utilizou e justificar o por que escolheu este seu desenho. 
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
20
MATEMÁTICA, 7° Ano.
Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais. 	
ENEM 2011- A análise da tabela permite identificar um intervalo de tempo no qual uma alteração na proporção de eleitores inscritos resultou de uma luta histórica de setores da sociedade brasileira. O intervalo de tempo e a conquista estão associados, respectivamente, em:
A) 1940-1950 — direito de voto para os ex-escravos.
B) 1950-1960 — fim do voto secreto.
C) 1960-1970 — direito de voto para as mulheres.
D) 1970-1980 — fim do voto obrigatório.
E) 1980-1996 — direito de voto para os analfabetos.
Gabarito Letra E
21
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
(ENEM-2010) Desde 2005, o Banco Central não fabrica mais a nota de R$ 1,00 e, desde então, só produz dinheiro nesse valor em moedas. Apesar de ser mais caro produzir uma moeda, a durabilidade do metal é 30 vezes maior que a do papel. Fabricar uma moeda de R$ 1,00 custa R$ 0,26, enquanto uma nota custa R$ 0,17, entretanto, a cédula dura de oito a onze meses. 
Disponível em: http://noticias.r7.com. Acesso em: 26 abr. 2010.
Com R$ 1 000,00 destinados a fabricar moedas, o Banco Central conseguiria fabricar, aproximadamente, quantas cédulas a mais?
A) 1 667
B) 2 036
C) 3 846
D) 4 300
5 882
Gabarito: Letra B
22
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
(ENEM-2010)Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010.
 
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias de treino, só poderá ser executado em, exatamente:
A 12 dias.
B 13 dias.
C 14 dias.
D 15 dias.
E 16 dias.
Gabarito: Letra D
23
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
(ENEM 2010) João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 8 cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade. Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, João:
A) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também deve dobrar.
B) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00.
C) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50.
D) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 6,00.
rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50.
Gabarito: Letra D
24
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
(ENEM 2010) As Olimpíadas de 2016 serão realizadas na cidade do Rio de Janeiro. Uma das modalidades que trazem esperanças de medalhas para o Brasil é a natação. Aliás, a piscina olímpica merece uma atenção especial devido as suas dimensões. Piscinas olímpicas têm 50 metros de comprimento por 25 metros de largura. Se a piscina olímpica fosse representada em uma escala 
A) 0,5 centímetro de comprimento e 0,25 centímetro de largura.
B) 5 centímetros de comprimento e 2,5 centímetros de largura.
C) 50 centímetros de comprimento e 25 centímetros de largura. 
D) 500 centímetros de comprimento e 250 centímetros de largura.
200 centímetros de comprimento e 400 centímetros de largura.
Gabarito: Letra C
25
MATEMÁTICA, 7° Ano.
Tópico:Proporção: grandezas diretamente proporcionais. 	
Vamos resolver algumas questões que envolvem “Regra da Sociedade”? 
1. Dois irmãos formaram uma sociedade, entretanto, o primeiro com R$ 5000,00 e o segundo com R$ 6.000,00. Ao final de um ano, registrou-se um lucro de R$ 1400,00. Quanto do lucro cabe a cada sócio?
2. Três pessoas formaram uma sociedade, entretanto cada uma delas com o mesmo capital. A primeira, ficou na sociedade dois meses, a segunda permaneceu por quatro meses e a terceira por oito meses. Que parte do lucro de R$ 1700,00 caberá a cada um dos três sócios? 
26
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Como podemos perceber em exemplos anteriores a imagem de uma foto ao ser ampliada ou reduzida deverá ser feita através de proporcionalidades. 
Portanto, imagine que a dimensão desta foto é 10x15 em (cm) . Cite tamanhos proporcionais a esta dimensão, permanecendo de forma proporcional. Discuta depois com seus colegas.
Imagem: Muffet / Creative Commons Attribution 2.0 Generic
27
Imagem: G.Wienand / GNU Free Documentation License
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Gostaram de nossa aula?
Agora chegou a sua vez de formar seu grupo e fazer uma maquete e inclusive poderá ser a maquete de sua escola. Que tal? 
Assim, você estará percebendo que pode estudar sobre razão e proporções diretamente proporcionais com esta atividade. Vamos colocar a mão na massa? No final fale com seu professor ou professora para fazer uma exposição.
28
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Créditos das Imagens:
Figura 1: http://oscandangosdf.blogspot.com.br/2009_07_01_archive.html
Figura 2: http://www.feiradesantana.ba.gov.br/noticia.asp?id=3923 
Figura 3: http://www.aceav.pt/blogs/ilidiasuarez/Lists/Artigos/Post.aspx?ID=33
Figura 4: http://www.google.com.br/imgres?q=coruja+pedagogica&num=10&hl=pt-BR&sa=G&biw=1280&bih=666&tbm=isch&tbnid=DAYz-jdtZBJtgM:&imgrefurl=http://interacaonapedagogia.blogspot.com/2010/11/por-que-coruja.html&docid=ZgWrQ6vPRm0h5M&imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_-nuQxpycnUQ/TN38QaX4rtI/AAAAAAAAAAw/BGdza4uokE0/s1600/Coruja.png&w=203&h=193&ei=32jwT_qoBeLd6wH5saGdBg&zoom=1&iact=rc&dur=561&sig=103925953725926059645&page=1&tbnh=133&tbnw=140&start=0&ndsp=19&ved=1t:429,r:1,s:0,i:77&tx=46&ty=73Figura 5: http://www.oiwo.com/fotos-antigas/
29
MATEMÁTICA, Ensino Fundamental, 7° Ano.
Proporção: grandezas diretamente proporcionais	
Referências Bibliográficas:
BIGODE, Antonio Jose Lopes. Matemática Volume 2. Ensino Fundamental . São Paulo. Editora: Atual, 2009.
 GIOVANNI, José Ruy. A Conquista da matemática: a + nova. São Paulo: FTD, 2002.
 IEZZI, Gelson ... [ et al] Matemática: ciência e aplicação. Ensino Fundamental. São Paulo: Atual, 2004.
PASSEIWEB. Disponível em: http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/matematica/algebra/grandeza/grandeza_razao_proporcao. Acessado em: 6 de Junho de 2012.
 WIKIPEDIA. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_direta. Acessado em: 6 de Junho de 2012.
30
Tabela de Imagens
n° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto
link do site onde se consegiu a informação
Data do Acesso
 
 
 
 
2, 3, 4, 5a
G.Wienand / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Amelie_300dpi.png
20/09/2012
5b
U.S. Department of Agriculture / Creative Commons Attribution 2.0 Generic
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Girls_Smiling_-_Flickr_-_USDAgov.jpg
20/09/2012
5c
Brice Blondel for HDPTCAR / Creative Commons - Atribuição 2.0 Genérica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bricklayer.jpg
20/09/2012
6
David.Monniaux / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cake_cropped.png
20/09/2012
7
Brice Blondel for HDPTCAR / Creative Commons - Atribuição 2.0 Genérica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bricklayer.jpg
20/09/2012
8
Khephren Pyramid, Egypt / SveMir (Svetlana i Mirko) / Domínio Público
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Khafre%27s_Pyramid.jpg
20/09/2012
12
Brice Blondel for HDPTCAR / Creative Commons - Atribuição 2.0 Genérica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bricklayer.jpg
20/09/2012
13
David.Monniaux / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cake_cropped.png
20/09/2012
19, 20 e 28
G.Wienand / GNU Free Documentation License
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Amelie_300dpi.png
20/09/2012
27
Muffet / Creative Commons Attribution 2.0 Generic
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Morning_mist.jpg
20/09/2012
Gráf1
	5	100
	21	100
	21	100
	31	100
	50	100
	65	100
	65	100
Série 1
Série 2
Proporção de eleitorado inscrito em relação à população: 1940-2000
Plan1
		Série 1	Série 2	Série 3
	1940	5	100	2
	1950	21	100	2
	1960	21	100	3
	1970	31	100	5
	1980	50	100
	1990	65	100
	2000	65	100