Vetores - Geomeria Analítica

Prévia do material em texto

Vetores 
Ana Maria Basei 
Engenharia Ambiental 
Universidade Federal da Fronteira Sul 
26 de fevereiro de 2015 
 
 
 
 
Geometria Analítica 
 
 
 A geometria analítica é uma conexão entre 
duas áreas da matemática: Geometria e 
Álgebra. 
 
 
Geometria Analítica 
 Pierre Fermat e René Descartes, no século 
17, identificaram o plano físico com pares 
de números reais; pontos do espaço físico 
com ternas ( ternos) de números reais. 
 Assim, linhas e superfícies, no plano e no 
espaço, são descritas por meio de 
equações. 
 
• Esta identificação permite tratar 
algebricamente muitas questões 
geométricas e 
• Reciprocamente, interpretar de forma 
geométrica certas situações algébricas. 
 
Geometria Analítica 
VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
• A interconexão entre Geometria e Álgebra 
obtida por este método foi responsável 
por extraordinários progressos na 
matemática e suas aplicações. 
Geometria Analítica 
• A eficácia desta conexão cresce com a 
introdução da noção de vetor. 
• A noção de vetor possibilita realizar 
operações com entidades geométricas. 
Geometria Analítica 
Vetor 
• Vetores são representados por flechas 
 
 
• A seta transmite a ideia de deslocamento 
 ( ou translação). 
Podemos imaginar um ponto se deslocando de A 
para B. 
 
 
O deslocamento é retilíneo, nos dando uma ideia 
de uma direção associada a uma reta. 
• A extremidade da seta nos dá ideia do sentido 
• O comprimento da seta nos mostra, segundo 
uma unidade, a distância entre os pontos A e B. 
 
Vetor 
A 
B 
Vetor 
 Esta seta que estamos imaginando não é um 
vetor, mas sim um representante de um vetor. 
 
 
 
 
 O termo vetor é oriundo do verbo latino 
vehere ( transportar, levar). 
 No caso específico da matemática, 
podemos dizer que um vetor é um 
transportador de três informações: 
direção, sentido e magnitude. 
 Ou ainda, que um ponto A é transportado 
( pelo vetor) até um ponto B. 
Vetor 
• Vetores servem principalmente para 
deslocar pontos, ou mais precisamente, 
efetuar translações. 
• E deslocando- se cada um dos pontos de 
uma figura, efetua-se uma translação da 
figura. 
Vetor 
 
Grandezas Escalares e 
Grandezas Vetoriais 
 
 
 
Grandezas Físicas: Tudo que 
pode ser medido 
 
 
Grandezas Escalares 
 
Grandezas Vetoriais 
TEMPO 
ENERGIA TRABALHO 
TEMPERA 
TURA 
MASSA 
ESCALAR 
VELOCI 
DADE 
CAMPO 
ELÉTRICO 
CAMPO 
MAGNÉTICO 
ACELERA 
ÇÃO 
 
FORÇA 
VETORIAL 
Direção e Sentido 
• Direção: determinada pela inclinação da 
reta. A direção pode ser vertical, 
horizontal ou oblíqua. Quando a direção é 
oblíqua, normalmente está associada a um 
ângulo de referência. 
Direção e Sentido 
• Retas paralelas tem mesma direção 
 
 
 
 
 
1r
2r
3r
Direção e Sentido 
• Sentido 
• Dada uma reta e dois pontos A e B nesta 
reta, pode-se definir dois sentidos: 
• De A para B ou 
• De B para A 
 
 
BA
Segmentos Equipolentes 
 
 Consideremos segmentos de reta 
orientados ( quando se escolhe uma direção de 
percurso) . 
 
 Segmentos orientados com mesma 
direção, sentido e comprimento são 
chamados segmentos equipolentes. 
 
 
Vetor 
• Segmento orientado AB 
 
 
 
 
 
 
• O vetor é o conjunto de todos os 
segmentos de reta orientados equipolentes a 
AB 
• Notação alternativa 
 
 
v AB
v B A 
A
B
Vetor 
Para citarmos um vetor basta citar ( ou desenhar) 
qualquer um dos seus representantes . 
 
 
 
 
 
 
Não esquecer que AB e são objetos 
matemáticos distintos. 
AB
A
B
v
Vetor 
• Quando escrevemos estamos 
afirmando que o vetor é determinado pelo 
segmento AB. 
 
 
• Porém, qualquer outro segmento de mesmo 
comprimento, mesma direção e mesmo 
sentido de AB representa o mesmo vetor 
 
v AB
v
A
B
v
Vetor Livre 
• Assim, cada ponto no espaço pode ser 
considerado origem de um segmento 
orientado que é representante do vetor 
 
 
 
 
 
• Vetor livre: o representante pode ter sua 
origem colocada em qualquer ponto. 
 
 
v
A
B
v
D
C
v
v
Vetor 
Não esquecer que AB e são objetos 
matemáticos distintos. 
 
AB
A
B
A
B
v
Vetor : direção, sentido e 
comprimento 
• o comprimento, a direção e o sentido do 
vetor são o comprimento, a direção e o 
sentido de qualquer um de seus 
representantes. 
 
• De um modo geral, conceitos geométricos 
envolvendo vetores são definidos “ 
pondo-se a culpa nos representantes”. 
 
 Módulo do vetor 
O módulo ( comprimento) do vetor 
 é o módulo de qualquer um dos 
 seus representantes. 
Indica-se módulo de por : 
 
vv
3v 
Casos Particulares de Vetores 
• Vetores Paralelos : Dois vetores são 
paralelos se seus representantes tiverem 
mesma direção. 
Indica-se 
Na figura 
 
 
 
 
u e v
/ /u v
/ / / /u v w
Casos Particulares de Vetores 
u
/ /u v
v
Casos Particulares de Vetores 
• Vetores Iguais : Dois vetores são 
 iguais se e somente se tiverem mesma 
direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. 
 Indica-se 
 
 
 
 
u e v
u v
Casos Particulares de Vetores 
• Vetor nulo: Os segmentos orientados com 
origem coincidente com a extremidade 
 determinam o vetor nulo. 
 Indica-se 
 
 * Como o vetor nulo não possui direção e sentido 
definidos, é considerado paralelo a qualquer 
vetor. 
 * 
 
0 ou AA
0 0
Casos Particulares de Vetores 
• Vetor oposto: A cada vetor não – nulo, 
corresponde um vetor oposto 
De mesma direção e comprimento de 
Mas com sentido contrário. 
 
Se então 
 
 
 
v
v
v AB
v BA 
v BA 
v
Casos Particulares de Vetores 
• Vetor unitário: Um vetor é unitário se é 
tem comprimento ( módulo ) 1. 
 
 
 
v
1v 
Casos Particulares de Vetores 
• Versor de um vetor não nulo é o vetor 
unitário de mesma direção e mesmo 
sentido de . 
 
 
 e 
v
v
1u
2u
1u
v
 são ambos vetores unitários. Mas somente é o 
versor de . 
Casos Particulares de Vetores 
• Vetores ortogonais: dois vetores são 
ortogonais se algum representante de 
formar um ângulo reto com um 
representante de 
• Indica-se 
u e v
v
u
 
 Considera-se o vetor nulo ortogonal a qualquer vetor. 
u v
v
u
v
Casos Particulares de Vetores 
• Vetores coplanares: Dois ou mais vetores 
São coplanares se possuem representantes 
Pertencentes a um mesmo plano. 
 
Casos Particulares de Vetores 
 
 
Os três vetores representados não são coplanares. 
Exemplos 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
Exemplo: 
Operações com Vetores 
Caso 1: Vetores com mesma direção. 
 
 
 
 
 
Quando somamos dois ou mais vetores temos como 
resultado um novo vetor, chamado vetor soma ou 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adição de Vetores 
u
v
A
v
Caso 1: Vetores com mesma direção. 
 
 
 
 
 
Quando somamos dois ou mais vetores temos como 
resultado um novo vetor, chamado vetor soma ou 
resultante.Adição de Vetores 
u
v
A
v
Adição de Vetores 
u
Caso 2: Vetores com direções diferentes ( não paralelos): 
 
Regra do paralelogramo: Devem ter origem comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adição de Vetores 
1) 
3) 
2) 
 
O vetor resultante executa o mesmo trabalho dos vetores 
que o resultaram. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adição de Vetores 
 
Adição de Vetores 
Regra do paralelogramo 
 
Deve-se escolher representantes de e , 
respectivamente AB e AD, com origem em A e 
construir um paralelogramo ABCD. 
 
 
 
 
 
 
v u v
u
u
v
A
B
C
D
v
Adição de Vetores 
 Regra do Polígono: Considere e dois 
vetores, com representantes dados pelos 
segmentos orientados AB e BC, respectivamente. 
A soma de com , denotada por , é o 
vetor que tem o segmento orientado AC como 
representante. 
u v
u vu v
A
C
B
u
v
u v
v
Adição de Vetores 
 Para adicionarmos dois vetores pelo método do 
polígono translada-se um dos vetores colocando 
sua origem na extremidade do outro vetor 
formando um “caminho”. 
 O vetor resultante terá sua origem comum ao 
primeiro vetor e sua extremidade comum à 
extremidade do último vetor. 
 O resultante fecha um polígono com os vetores 
somados. 
Adição de Vetores 
 Resultante de três vetores: 
 
• O método do paralelogramo se aplica 
apenas no caso de soma de dois vetores. 
• Já o método do polígono se aplicada a 
uma quantidade finita qualquer de vetores 
numa única operação. 
Adição de Vetores 
 
QUAL É O VETOR RESULTANTE DO 
SISTEMA DE VETORES ABAIXO? 
 
u
v
w
 
QUAL É O VETOR RESULTANTE DO 
SISTEMA DE VETORES ABAIXO? 
 
r
u
v
w
u
v
w
 
QUAL É O VETOR RESULTANTE DO 
SISTEMA DE VETORES ABAIXO? 
 
u
v
w
u
v
w
r
Propriedades (Adição): 
 
 Sejam , e vetores quaisquer. Valem: 
 
 
1) (Associativa) 
 
2) (Comutativa) 
 
3) (Elemento Neutro) 
 
4) Existe , tal que 
 
 
 (Elemento Oposto) 
   u v w u v w    
u v v u  
0 0u u u   
    0u u u u     u
Operações Com Vetores 
u v
w
Diferença entre vetores 
 
 
 
1 2 1 2( )f f f f   
Diferença entre vetores 
 
Assim, as diagonais do paralelogramo representam a 
soma e a diferença entre e . 
1f 2f
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
 
v
u
Dado um vetor não nulo e um número real 
chama-se produto do número real pelo vetor , 
o vetor tal que: 
a) Se então tem mesma direção 
 ( é paralelo ) e sentido de e 
 
b) Se então tem mesma direção de , 
sentido oposto e 
0 
 v
v
0  v
v
v v 
0  v
v v 
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
 
v
u
Dado um vetor não nulo e um número real 
chama-se produto do número real pelo vetor , 
o vetor tal que: 
a) Se então tem mesma direção 
 ( é paralelo ) e sentido de e 
 
b) Se então tem mesma direção de , 
sentido oposto e 
0 
 v
v
0  v
v
v v 
0  v
v v 
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
• Um número pode multiplicar o 
comprimento e/ou sentido de um vetor, 
mas não sua direção. 
 
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
 
 1 v
 2 v
vVetor e seus múltiplos escalares. 
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
 1 v
 2 v
Todos os vetores acima tem mesma direção de 
 Logo todos vetores acima são paralelos. 
v
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
Se dois vetores e ( não nulos) são paralelos então 
 existe um número real (não nulo) tal que 
u k v
v
u
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
Considere os escalares e os vetores 
São válidas as propriedades: 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
 u v u v    
 u u u     
1v v
     u u u    
,  , eu v w
Multiplicação de Um Número Real 
por Vetor 
• A cada vetor não nulo pode-se 
associar um vetor unitário paralelo a 
 
 
 
 
v
v
Versor 
• O vetor unitário 
 
De mesmo sentido de é o versor de . 
 
 
v
1 v
v ou
v v
v
Versor 
• Por exemplo, se 
 
 
 
Então o versor de é 
 
 
v
3v 
v
3
v
Versor 
• Por exemplo, se 
 
 
 
Então o versor de é 
 
 
v
3v 
v
3
v
• Por exemplo, se 
 
 
 
 
 
Então o versor de é 
 
 
Versor 
v
1
2
v 
v
2v
2v
• Por exemplo, se 
 
 
 
 
 
Então o versor de é 
 
 
Versor 
10v 
v
10
v

v
10
v

Exemplo 
Com base na figura do exercício1, 
determinar os vetores abaixo, expressando-
os com origem no ponto A: 
 
 
Exemplos 
Exemplos 
Exemplos 
Ângulo de Dois Vetores 
v
u
0 ( em radianos)
0 180
  

 
 
 
0 
vu
u v
• e tem mesma direção e mesmo 
sentido 
 
 
• e tem m mesma direção e 
sentido contrário 
Ângulo de Dois Vetores 
v
u
 
0 
v
u
u
v
Tratamento Algébrico 
Vetores – Tratamento Algébrico 
Página 20 
As operações com vetores podem ser definidas 
utilizando um sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Vetores – Tratamento Algébrico 
Considere o sistema de coordenadas 
cartesianas. 
Considere alguns dos representantes de um 
vetor. 
Vetores – Tratamento Algébrico 
v
 Considere um representante deste vetor com 
origem na origem do sistema. Definine-se as 
componentes de como as coordenadas da 
extremidade deste representante. 
•Escreve-se simplesmente 
 
Vetores – Tratamento Algébrico 
( , )v x y
( , )x yv
Vetores – Tratamento Algébrico 
v
v
(2,1)v 
 Exemplo: 
Se o representante de tem origem em (0,0) e 
extremidade no ponto P( 3,1), segue que 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores – Tratamento Algébrico 
(3,1)v 
v
•Em particular, o vetor nulo, 
 
0 (0,0)
 
 Vetor no plano é um par ordenado de 
números reais (x,y) 
 
Vetores – Tratamento Algébrico 
 
•Vetores canônicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores – Tratamento Algébrico 
(1,0)i  (0,1)j 
Observação: 
 Todo vetor do plano pode ser escrito em função 
dos vetores 
 
 
Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
)(3, 5) 3(1,0) 5(0,1) 3 5
)(0, 3) 0.(1,0) 3.(0,1) 0 3 3
) 4 ( 4,0)
a i j
b i j j
c i
    
      
  
(1,0) (0,1)i e j 
Cada ponto P(x,y) do plano corresponde a um 
vetor 
 
Vetores – Tratamento Algébrico 
 Dois vetores 
( , )v OP x y 
 
 O plano pode ser encarado como um conjunto 
de pontos ou um conjunto de vetores. 
 
Vetores – Tratamento AlgébricoIgualdade de Vetores 
 Dois vetores 
 
são iguais se , e somente se, 
 
 
Escreve-se 
1 1 2 2( , ) ( , )u x y e v x y 
1 2 1 2x x e y y 
u v
 
 
 
 
 
 
 
 
(2,2) , (4,1)
(6,3)
u v
u v
 
 
u
v
u v
Operações Com Vetores 
 Considere 
 
Define-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 1 2
1 1 1 1
1) ( , )
2) ( , ) ( , )
u v x x y y
u x y x y   
   
 
1 1 2 2( , ) , ( , )u x y v x y e   
 Consideremos o vetor de origem no ponto 
 e extremidade no ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor Definido Por Dois Pontos 
AB
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor Definido Por Dois Pontos 
2 1 2 1( , )AB x x y y  
C(1,2) 
Vetor Definido Por Dois Pontos 
 Sempre que tivermos 
 
 
 
O Vetor “transporta” o ponto inicial A até o ponto 
Extremo B. 
 
v AB ou v B A
B A v ou B A AB
  
   
v
Vetor Definido Por Dois Pontos 
( 2,3) (3,1) (1,4)
(1,2) (3,1) (4,3)
(0,0) (3,1) (3,1)
B A v
D C v
P O v
     
    
    
C(1,2) 
O vetor é “livre”, ele não tem posição fixa 
ao contrário do segmento orientado. 
•o vetor esta representado por um segmento orientado 
 com a origem em C(1,2) . 
Mas, poderia ser representado por um segmento orientado 
 cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto. 
(3,1)v 
C(1,2) 
(1,2) ( 2,2) (1, 4) (0,0)u v w       
 Considere o segmento de extremos e 
 o ponto médio de AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 1 2,
2 2
x x y y
M
  
 
 
Ponto Médio 
1 1( , )A x y
2 2( , )B x y
( , )M x y
Paralelismo de dois Vetores 
 Se dois vetores 
são paralelos, existe um número real tal que 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 2 2( , ) ( , )u x y e v x y 
u kv
1 1
2 2
x y
k
x y
 
Módulo de um vetor 
2
2 2
2 2
( , )v x y
v x y
v x y

 
 