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1 Noções de cálculo vetorial 1.1 Campo vetorial Um campo vetorial num plano é uma função que a cada ponto deste plano associa um vetor. Tal campo pode ser usado, por exemplo, para descrever o comportamento de um uido, um campo eletromagnético etc. Em coordenadas cartesianas um campo F pode ser dado por suas componentes F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x^+ Fy (x; y; x) y^ + Fz (x; y; x) z^ : Por exemplo, campo F = (3x� y) i+ (x+ 5y) j que tem a forma Figura 1 1.2 Fluxo Um conceito importante no estudo da dinâmica de um uido é o conceito de uxo através de uma área. Imagine um pequeno quadrado inserido dentro de um uido. Obviamente o uxo através deste quadrado depende da orientação do quadrado. Se ele for colocado com a sua normal paralelo a velocidade o uxo, i.e., a quantidade de uído por unidade de tempo que atravessa este quadrado vale � = 1 dt (v:dt:a) = v:a enquanto se ele for colocado perpendicular a velocidade do uido não haverá uxo. Este resultado pode ser resumido como � = F:a: cos � = F:a 1 Obsreve que o uxo através de uma área é um escalar. Imagine agora que você deseja calcular o uxo através de uma superfície fechada (um balão). Para fazer isso podemos primeiro dividir esta superfície em vários quadradinhos e usar o conceito acima para calcular o uxo através de cada um destes quadrados. Como queremos saber se há uido entrando ou saindo do balão, damos um valor positivo para a normal de cada área que aponta para fora do balão e negativo para a que aponta pra dentro. Chamamos isso de orientar as áreas. Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica O uxo total pelo balão será � = X i F:�ai No limite de ai ! 0, temos � = Z F:da esta é uma integral de superfície de um campo vetorial F . Ou seja, a integral de superfície de F sobre uma superfície S signi ca apenas dividir S em pequenas partes, cada uma representada por um vetor orientado para fora de S e tomar o produto escalar desta área com o valor de F no local. 1.3 Divergente Nosso objetivo aqui é estudar características locais, ou pontuais, do nosso uido. Em outras palavras, queremos de nir quantidades como as densidades dos cor- pos extensos (densidade de carga, de massa etc). Para uma superfície qualquer nita do nosso campo temos um uxo, nosso objetivo aqui é obter um densi- dade de uxo, ou seja, um uxo por unidade de volume. A partir desta quantidade, como no caso da densidade de massa, podemos tanto obter o uxo de superfícies nitas, quanto conhecer características locais do uido. Isso nos permitirá também caracterizar o movimento do uído. Imagine uma superfície qualquer S e o uxo (Figura 3-a) � = Z S F:da Agora divida esta superfície em duas partes: S1 e S2 (Figura 3-b) teremos então dois uxos �i = Z Si F:da 2 Figure 1: Figura 3 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromagnetismo O ponto importante aqui é que o uxo pela interface entre as superfícies tem o mesmo valor e sinal contrário (pois é orientado para fora de cada uma delas) de sorte que � = �1 +�2 E isso é verdade para qualquer divisão que façamos da superfície. Vamos agora dividir esta superfície em N superfície bem pequenas Si (Figura 3-c), pelo motivo descrito acima temos NX i=1 Z Si F:da = Z S F:da = � Ou seja, a soma do uxo por cada superfície do balão é igual ao uxo total pelo balão (Figura 3-d). Nosso interesse é identi car alguma característica do uido relacionado com o limite quando N cresce enormemente. Observe que a integral �i = Z Si F:da não pode ser tomada como esta característica porque ela depende das divisões do volume, i.e., se dividirmos o volume no meio �i também cai pela metade e, 3 além disso, certamente �i ! 0 quando Si ! 0. Podemos entretanto obter uma quantidade nita que não dependa do volume se tomarmosR Si F:da Vi onde Vi é o volume dentro da área Si. Uma vez que Vi ! 0 quando Si ! 0 a quantidade acima pode tender a um valor nito que, conseqüentemente, caracterizará o comportamento do uido em torno de um ponto qualquer. A quantidade acima, no limite de Vi ! 0 se chama o divergente do campo F divF = lim Vi!0 1 Vi Z Si F:da onde Si é uma superfície que envolve Vi. Assim, o divergente de F é o uxo que sai de Vi, por unidade de volume, para um volume in nitesimal.´ O divergente é uma grandeza escalar que pode variar de ponto a ponto e seu valor num determinado ponto (x; y; z) é a integral acima com o ponto no interior de Vi. O divergente está relacionado com quanto de uido entra (ou sai) de um volume, seja pela criação (ou absorção) deste uido, seja pela sua compressão. 1.3.1 Teorema de Gauss Uma vez conhecido o divergente de uma função, podemos refazer o processo descrito acima, no sentido inverso, e calcular o uxo de F numa superfície nita S Z S F:da = NX i=1 Z Si F:da = NX i=1 � 1 Vi Z Si F:da � Vi No limite Vi ! 0 temos lim Vi!0 NX i=1 � 1 Vi Z Si F:da � :Vi = Z V divF dV Com isso temos Z S F:da = Z V divF dV Este é o teorema da divergência. Se o TD é válido para qualquer campo vetorial, certamente também é válido para o campo elétrico. Da lei de Gauss (que é uma conseqüência da lei de Coulomb) temos Z S E:da = Q "0 = Z V � "0 dV usando o TD temos Z S E:da = Z V divE dV = Z V � "0 dV 4 Figure 2: Figua 4 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromagnetismo O resultado acima tem de ser válido para qualquer volume. Isso só é possível se os integrandos forem iguais em qualquer ponto divE = � "0 1.3.2 O divergente em coordenadas cartesianas A de nição acima independe de qualquer sistema de coordenadas. Entretanto, para efetivamente efetuamos alguma conta, precisamos ter uma forma prática para determinar o divergente de algum campo F. Para isso fazemos F = F (x; y; x) o que signi ca que introduzimos algum sistema de coordenadas no espaço. Se este sistema é cartesiano o campo vetorial F pode ser decomposto em 3 funções escalares: F (x; y; x) = Fx (x; y; x) x^+ Fy (x; y; x) y^ + Fz (x; y; x) z^ Vamos calcular o uxo desta função por um cubinho de ladp�x;�y;�z (Figura 4-a) Para a face superior e inferior (Figura 4-b) temos os vetores �x�yz^ e �x�y (�z^). Assim, quando zemos o produto escalar de F com estas áreas, apenas a função Fz sobreviverá. Ou seja, o uxo é a diferença entre o valor médio (no ponto médio das superfícies) de Fz nas faces interiores e superiores. Em primeira ordem de aproximação esta diferença vale @Fz @z �z : O valor médio da função na face inferior vale (Figura 4-b) Fz (x; y; x) + @Fz @x �x 2 + @Fz @y �y 2 : 5 Já o valor médio da função na face superior vale (Figura 4-b) Fz (x; y; x) + @Fz @z �z + @Fz @x �x 2 + @Fz @y �y 2 : Assim, o uxo na direção z vale� Fz (x; y; x) + @Fz @z �z + @Fz @x �x 2 + @Fz @y �y 2 � �x�y�� Fz (x; y; x) + @Fz @x �x 2 + @Fz @y �y 2 � �x�y = @Fz @z �z�x�y Da mesma forma, os uxos nas demais direções valem @Fx @x �z�x�y ; @Fy @y �z�x�y De sorte que o uxo total vale � = � @Fx @x + @Fy @y + @Fz @z � �z�x�y pela nossa de nição de divergente temos divF = lim V!0 1 V � = � @Fx @x + @Fy @y + @Fz @z � �z�x�y V = @Fx @x + @Fy @y + @Fz @z Assim, em coordenadas cartesianas: divF = @Fx @x + @Fy @y + @Fz @z (1) 1.4 Integrais de linha Um dos grandes interesses no estudo de problemas práticos é saber qual o tra- balho realizado para se mover neste campo vetorial. Por exemplo, queremos mover uma carga elétrica por um campo elétrico, ou umamassa num campo gravitacional, ou ainda um barco por um rio. Em todos estes casos, o trabalho realizado será: W = Z C F:dr (2) onde F (x; y) = U (x; y) {^ + V (x; y) |^ é o campo vetorial (neste caso a força) e dr = {^dx+ |^dy um elemento de deslocamento na trajetória C. Em geral este 6 trabalho depende, não apenas do caminho, mas também do sentido que este caminho é seguido. Exemplo: Vamos calcular a integral de linha do campo (cujo grá co é apresentado na Figura 1) F = (3x� y) i+ (x+ 5y) j sobre a circunferência unitária. Este caminho pode ser parametrizado como x = cos!t ; y = sin!t ; t 2 � 0; 2� ! � onde ! está relacionado com a velocidade que percorremos a curva. Assim W = Z C F:dr = Z C (U (x; y) dx+ V (x; y) dy) x = x (t) ; y = y (t) =) dx = dx dt dt ; dy = dy dt dt ; W= Z 2� ! 0 � (3x� y) dx dt + (x+ 5y) dy dt � dt dx dt = �! sin!t ; dy dt = ! cos!t W= Z 2� ! 0 ((3 cos!t� sin!t) (�! sin!t) + (cos!t+ 5 sin!t) (! cos!t)) dt = ! Z ((�3 + 5) sin!t cos!t+ 1) dt = ! Z 2� ! 0 (2 sin!t cos!t+ 1) dt = ! 2 Z 2� ! 0 sin!t cos!tdt+ 2� ! ! = ! 2 Z 2� ! 0 1 2 sin 2!t dt+ 2� ! ! = ! Z 2� ! 0 sin 2!t dt+ 2� ! ! = ! � 1 2! cos 2!t ����2�=! 0 + 2� ! ! = ! � 2� ! � = 2�: Observe como o valor calculado não depende de !, a velocidade com que percorremos a curva.� 1.5 O rotacional de uma função O divergente nos fala sobre o uxo em torno de um ponto do uido, o que, obviamente, está relacionado com pontos onde surge ou desaparece uido, i.e., fontes ou sorvedouros. Ou ainda pontos onde o uido possa ser comprimido. En- tretanto, é possível que haja movimento num uido mesmo que nenhum destes efeitos ocorra. Por exemplo, você pode fazer circular um uido num balde. Isso cria rodamoinhos no uído. 7 Figure 3: Figura 5 -Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromagnetismo Este tipo de movimento tem a característica de exigir que realizemos trabalho para mover um corpo através de um circuito fechado do campo (ou do uído). E pode ser medido através da integral � = Z C F:ds Esta quantidade é chamada circuitação (ou circulação) do campo. Precisamos orientar o caminho. Fazemos isso exigindo que a parte interna que sempre a nossa esquerda (Figura 5-a). Dado um circuito qualquer C (Figura 6-a) podemos dividi-lo em 2 partes C1 e C2 (Figura 6 -b). Uma vez que a interface entre os dois caminhos é percorrida no sentido contrário (Figura 6-b) temos �1 + �2 = � O mesmo pode se obtido dividindo o circuito em N partes (Figura 6-c) � = NX i=1 �i Mais uma vez, estamos interessados numa quantidade característica do uido, relacionado com seu comportamento em cada ponto. Novamente, esta quanti- dade não é a circuitação, pois, se ai é a área encerrada pelo caminho Ci, temos Ci ! 0 quando ai ! 0. Mas, assim como no caso do divergente, podemos esperar uma quantidade nita fazendo �i ai = R Ci F:ds ai 8 Figure 4: Figura 6 -Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromagnetismo Figure 5: Figura retirada do Simmons, Cálculo com Geometria Analítica Diferente do divergente a circuitação acima depende da orientação da normal da superfície in nitesimal Ci. Para uma circuitação in nitesimal com área ai na direção n^ temos (rotF ) n^ = lim ai!0 R Ci F:ds ai n^ Ou seja, se o circuito Ci tem uma área ai na direção x então estamos calculando a componente do rotacional na direção x. A quantidade acima é chamada rotacional do uido e mede a circuitação, por unidade de área, em torno de um ponto do campo. O divergente é um vetor. Fisicamente o rotacional de um uido poderia ser medido com um dispositivo como o da gura abaixo: 9 1.5.1 Teorema de Stokes Partindo do rotacional podemos obter a circuitação de um contorno nito C � = Z C F:ds = NX i Z Ci F:ds = NX i � 1 ai Z Ci F:ds � ai Usando a de nição de rotacional lim ai!0 � 1 ai Z Ci F:ds � = (rotF ) n^ e, neste limite Z C F:ds = Z S [(rotF) n^] da Ou, como n está na direção de aZ C F:ds = Z S (rotF) da (3) Este é o teorema de Stokes e relaciona a integral de linha do campo através de um circuito fechado com a integral de área do rotacional. Um ponto importante a se notas é que existem várias áreas diferentes que possuem a mesma fronteira (como quando se esta sobrando uma bola de sabão). Então qual área selecionamos para aplicar o Teorema de Stokes? Note, entre- tanto, que o lado esquerdo de (3) não depende de qual área escolhemos. Isso signi ca que o lado direito também não irá depender. Ou seja, para aplicar o Teorema de Stokes podemos usar qualquer área que tenha a curva como borda. O que nos permite anunciar o seguinte: Corollary 1 R S (rotF) da depende apenas da fronteira da superfície S e não da superfície em particular. Do corolário acima, temos que se zermos a borda da fronteira diminuir, de forma que C ! 0, o lado esquerdo de (3) vai à zero. Com o que temos Corollary 2 para qualquer superfície fechadaI S (rotF) da = 0 : (4) 1.5.2 Lei de Ampère Uma corrente induz um campo magnético BI C B:dl = �0I 10 Figure 6: Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromag- netismo onde I é toda a corrente que passa no interior do circuito C. Esta corrente pode ser escrita como I = Z S J da onde J é a densidade de corrente e S qualquer superfície limitada pela curva fechada C. Com isso I C B:dl = Z S J da Usando o teorema de StokesI C B:dl = Z S (rotB) da = �0 Z S J da Para qualquer curva C, o que só pode ser verdade se rotB =�0J Que é a lei de Ampère. Um mecanismo para medir o rotacional de um campo eletromagnético pode- ria ter a seguinte forma: 1.5.3 Rotacional em coordenadas cartesianas Novamente a de nição acima, apesar de geral, é pouco prática para o cálculo do rotacional conhecendo-se o campo. Vamos então obter uma expressão que per- mita determinar esta quantidade uma vez conhecida as componentes cartesianas do campo. 11 Figure 7: Figura 7 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromagnetismo Seja então F (x; y; z) = Fxx^ + Fyy^ + Fz z^ um campo de nido num sistema cartesiano de unidades. Vamos calcular a circuitação do campo F por um ele- mento quadrado de lado �x e �y. Para isso, imaginando que os lados são in nitesimais, podemos aproxima a integral de linha simplesmente pelo produto (escalar) do valor do campo no meio do percurso pelo comprimento do percurso. Assim, para os percursos horizontais temos Z �x F:dl =Fx (xm; ym; zm)�x Onde Fx (xm; ym; zm) é o valor do campo no meio do intervalo. Na parte inferior Fax (xm; ym; zm) = Fx (x; y; z) + @Fx @x �x 2Z �x F:dl = � Fx (x; y; z) + @Fx @x �x 2 � �x Enquanto na parte superior Fbx (xm; ym; zm) = Fx (x; y; z) + @Fx @x �x 2 + @Fx @y �y 2Z �x F:dl = � � Fx (x; y; z) + @Fx @x �x 2 + @Fx @y �y � �x onde o sinal de menos vem do fato do percurso ser feito na direção de �x^ (F:dl =Fx (�dx)).Para os lados verticais temosZ �y F:dl =Fy (xm; ym; zm)�y 12 Na parte esquerda Fcy (xm; ym; zm) = Fy (x; y; z) + @Fy @y �y 2Z �y F:dl= � � Fy (x; y; z) + @Fy @y �y 2 � �y enquanto na direita Fdy (xm; ym; zm) = Fy (x; y; z) + @Fy @y �y 2 + @Fx @x �xZ �y F:dl = � Fy (x; y; z) + @Fy @y �y 2 + @Fy @x �x 2 � �y Com isso a nossa circuitação se tornaZ C F:dl= � Fx (x; y; z) + @Fx @x �x 2 � �x � � Fx (x; y; z) + @Fx @x �x 2 +@Fx @y �y � �x � � Fy (x; y; z) + @Fy @y �y 2 � �y + � Fy (x; y; z) + @Fy @y �y 2 + @Fy @x �x � �y = � @Fy @x � @Fx @y � �x�y Tomando o limote lim a!0 R C F:ds a = lim �x;�y!0 h @Fy @x � @Fx@y i �x�y �x�y = @Fy @x � @Fx @y Como obviamente a área �x�y aponta na direção z^ (Figura 7) esta é a com- ponente z do rotacional (rotF) z^ = � @Fy @x � @Fx @y � z^ Efetuando o mesmo procedimento para os contornos da Figura 8 temos (rotF) x^ = � @Fz @y � @Fy @z � x^ (rotF) y^ = � @Fx @z � @Fz @x � y^ 13 Figure 8: Figura 8 - Figura retirada do Curso de Física Berkeley Vol.2 Eletromagnetismo Ou, juntando todas as componentes rotF = � @Fz @y � @Fy @z � x^+ � @Fx @z � @Fz @x � y^ + � @Fy @x � @Fx @y � z^ (5) A expressão acima permite calcular o vetor rotacional conhecendo-se as compo- nentes cartesianas do campo. 1.6 O operador Nabla Existe uma forma bastante conveniente de se expressar a equação (1) e (5). Para isso introduzimos o operador vetorial O = x^ @ @x + y^ @ @y + z^ @ @z (6) chamado de nabla. A quantidade acima é um operador diferencial, ou seja, ele só fornece um valor quando aplicado em alguma função. Por exemplo, quando aplicado na função g (x; y; z) temos Og = x^@g @x + y^ @g @y + z^ @g @z onde agora cada uma das componentes do vetor é um número que depende do ponto (x; y; z), ou seja, o operador nabla permitiu contruir um vetor (Og) a partir de uma função escalar (g). Este vetor se chama o gradiente da função. O gradiente de uma função é um vetor que aponta sempre na direção em que a função cresce mais rapidamente com a variação dos parâmetros. 14 O que acontece quando aplicamos o operador nabla num campo vetorial F? Neste caso, como ambos são vetores, podemos de nir a palavra aplicarcomo um produto escalar ou um produto vetorial. Se usarmos o produto escalar temos O�F= � x^ @ @x + y^ @ @y + z^ @ @z � (Fxx^+ Fyy^ + Fz z^) = @Fx @x + @Fy @y + @Fz @z Que podemos reconhecer como o divergente do campo (1). Se escolhermos de nir a aplicação pelo produto vetorial temos O� F= ������ x^ y^ z^ @ @x @ @y @ @z Fx Fy Fz ������ = � @Fz @y � @Fy @z � x^+ � @Fx @z � @Fz @x � y^ + � @Fy @x � @Fx @y � z^ Que podemos reconhecer como o rotacional do campo. É importante notar que apesar de sempre usarmos: Og � gradiente de g O�F � divergente de F O� F � rotacional de F este operador só tem a forma (6) acima em coordenadas cartesianas. Além disso, em coordenadas cartesianas, podemos ainda de nir: x1 � x ; x2 � y ; x3 � z com o que @ @x = @ @x1 � @1 ; @ @y = @ @x2 � @2 ; @ @z = @ @x3 � @3 Usando estas de nições temos (Og) x^i = @ig O�F = 3X i=1 @iFi � @iFi (O� F) x^i = @jFk � @kFj com 1! 2! 3 onde no ultimo caso as componentes i; j; k (nesta ordem) devem seguir a ordem cíclica i = 1; j = 2; k = 3 ! i = 2; j = 3; k = 1 ! i = 3; j = 1; k = 2. Uma forma muito prática (e útil) de evitarmos ter de deixar sempre indicado 15 esta ordem cíclica é usarmos o chamado tensor completamente anti-simétrico de Levi-Civita, ou símbolo de Levi-Civita "ijk que é anti-simétrico nas três componentes "ijk = �"jik = �"ikj com "123 = 1 Como conseqüência esta quantidade vale zero se os índices se repetem (e.g, "112 = 0), muda de sinal para qualquer permutação de dois índices e mantém o sinal para permutações cíclicas. Estas propriedades podem ser expressas na igualdade "ijk = (i� j) (j � k) (k � i) 2 ; i; j; k = 1; 2; 3 : Usando esta quantidade, podemos de nir a componente i do rotacional como (O� F) x^i = 3X j;k=1 "ijk@jFk � "ijk@jFk Vamos calcular, por exemplo, o rotacional do gradiente de uma função O� (Og) = "ijk@j (@kg) = "ijk@j@kg = 1 2 ("ijk + "ijk) @j@kg = 1 4 ("ijk � "ikj) @j@kg = 1 4 ("ijk@j@kg � "ikj@j@kg) Lembrando agora que j e k são índices mudos O� (Og) = 1 4 ("imn@m@ng � "imn@n@mg) = 1 4 "imn (@m@n � @n@m) g Usando agora @n@m = @m@n temos1 O� (Og) = 1 4 "imn (@m@n � @n@m) g = 1 4 "imn (@m@n � @m@n) g = 0 1O produto escalar de um tensor simétrico com um anti-simétrico é sempre nulo. 16 ou seja, o rotacional do gradiente é sempre igual a zero. O símbolo de Levi-Civita se relaciona com o delta de Kronecker através do determinante2 "ijk"lmn = ������ �il �im �in �jl �jm �jn �kl �km �kn ������ : Exercise 3 Usando o mesmo procedimento acima, mostre que o divergente do rotacional é sempre nulo. Exercise 4 Mostre que "ijk"mnk = �im�jn � �in�jm Exercise 5 Usando a propriedade do exercício acima, mostre que O� (O� F) = O (O � F )� O2F O2 � O � O = @i@i 1.7 Teoremas Fundamentais do Cálculo Vetorial Voltando aos nossos teoremas (agora com o operador nabla) temosZ V r�F dV = I S F� da (T. da divergência)Z S r� F da = I C F � ds (T. de Stokes) O primeiro relaciona um volume com a sua fronteita, i.e., uma área. O segundo relaciona uma área com a sua fronteira, i.e., um caminho. Cada um deles diminui de 1 a dimensão do problema. Sabendo que a dimensão mínima que podemos chegar é o ponto, será que podemos diminuir ainda mais a dimensão do nosso problema? Em outras palavras, existe alguma relação entre as extreminades de um camilho (uma linha) e a sua fronteira (dois pontos)? A resposta é sim. Relação entre as extremidades de uma linha dT = @Tx @x dx+ @Ty @y dy + @Tz @z dz = � @Tx @x x^+ @Ty @y y^ + @Tz @z z^ � � (dx x^+ dy y^ + dz z^) = (rT ) � ds �T = T (P 0)� T (P ) = Z C (rT ) � ds 2Veja o livro de Teoria do Campo do Landau. 17 onde C é um caminho que inicia em P e termina em P 0. AssimZ C (rT ) � ds =T (P 0)� T (P ) É importante notar que existem vários caminhos que permiter ligar estes dois pontos. Entretanto, o lado direito da expressão assima não depende do caminho. Ou seja Se F é o gradiente de alguma função (F =rT ) então a integral de caminho de F só depende dois pontos iniciais e nais. Chamamos um campo com esta característica de conservativo. Como consequencia do resultado acima temosI C (rT ) � ds =0 : Mais ainda, como r� (rT ) = 0 Vemos que todo campo conservativo tem rotacional nulo. É possivem mostrar que o contrário também é verdade.I C (rT ) � ds = Z S r� (rT ) da = 0 Como isso tem de ser válido para qualquer área r� (rT ) = 0 Para uma área fechada (sem borda) temos (4)I S r� F da = I C F � ds = 0 Aplicando o teorema do divergenteI S (r� F) � da = Z V r� (r� F) dV = 0 Como isso é válido para qualquer volume r� (r� F) = 0 : 18
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