Petrobras 2011 1 CPOAJUSE

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Curso Prático & Objetivo / Prof. Gilvan Júnior 
 
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Prova de Matemática - Petrobras - 2011-1 
 
11. (Petrobras - 2011-1) Brincando de arremessar uma bola em uma cesta de basquete, Pedro e João 
combinaram que cada um faria 10 arremessos, ganhando 2 pontos por acerto e perdendo um ponto a cada 
erro. Quando terminaram, João falou: “Eu acertei dois arremessos a mais que você, mas minha pontuação 
foi o quádruplo da sua.” De acordo com o que disse João, quantos arremessos Pedro errou? 
 
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 
 
Resolução 
 
Total de ACERTOS de Pedro = X 
Total de ERROS de Pedro = Y = ??? 
Total de Pontos de Pedro = X.2 + Y(-1) = 2X - Y 
 
... ganha 2 pontos por acerto e perde um ponto a cada erro ... 
 
Total de ACERTOS de João = X + 2 
Total de ERROS de João = Y - 2 
Total de Pontos de João = (X + 2).2 + (Y - 2).(-1) = 2X + 4 - Y + 2 = 2X - Y + 6 
 
Observe a lógica em relação ao total de erros de João. Se João acertou dois arremessos a mais que 
Pedro, logicamente errou dois arremessos a menos que Pedro 
 
Pontuação de João foi o quádruplo da pontuação de Pedro 
 
(Pontuação de João) = 4 . (Pontuação de Pedro) 
 2X - Y + 6 = 4 . (2X - Y) 
2X - Y + 6 = 8X - 4Y 
2X - Y - 8X + 4Y = - 6 
 
- 6X + 3Y = - 6 
 
Lembre-se: Somando-se o total de acertos (Pedro ou João) teremos um total de 10. Dessa forma: 
 
X + Y = 10 
 
Através das duas equações acima poderemos facilmente determinar o valor de Y, que corresponde ao total 
de erros de Pedro. 
 
�−6X + 3Y = - 6X + Y = 10
 
 
Resolveremos o sistema pelo método da substituição, isolando o valor de X na segunda equação e 
substituindo-o na primeira equação. 
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X + Y = 10 
X = 10 - Y 
 
Substituindo o valor de X na primeira equação teremos: 
 
- 6X + 3Y = - 6 
- 6.(10 - Y) + 3Y = - 6 
- 60 + 6Y + 3Y = -6 
9Y = - 6 + 60 
7Y = 54 
Y = 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. (Petrobras - 2011-1) Uma torta de chocolate foi dividida em 12 fatias iguais, das quais foram 
consumidas 4 fatias. Sendo a torta um cilindro reto de 30 cm de diâmetro e 6 cm de altura, qual é, em cm3, o 
volume correspondente às fatias que sobraram? 
 
(A) 450π (B) 900π (C) 1.350π (D) 1.800π (E) 3.600π 
 
Resolução 
 
Inicialmente determinamos o raio do cilindro (pizza). O raio corresponde à metade do diâmetro. 
 
D = 2 . r 
r = D / 2 
r = 30 / 2 = 15 cm 
 
Conhecendo-se o raio e a altura do cilindro (pizza) determinamos facilmente o volume da pizza. 
 
V = π . r2 . h 
V = π . (15)2 . 6 
V = π . 225 . 6 
V = 1350 π cm3 (volume da pizza) 
 
Calculamos o volume de cada fatia dividindo o volume da pizza por 12. 
 
Vfatia = Vpizza / 12 = 1350 π / 12 = 112,5 π cm3 
 
Cilindro 
 
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Logicamente, se a pizza tinha 12 fatias e 4 fatias foram consumida, sobram 8 fatias. O volume da pizza que 
sobra será: 
 
Vpizza sobra = 8 x 112,5 π = 900 π cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13. (Petrobras - 2011-1) O gráfico abaixo apresenta o desenvolvimento do refino de petróleo no Brasil, de 
2003 a 2009. 
 
 
 
 
 
Considerando que o aumento observado de 2007 a 2009 seja linear e que assim se mantenha pelos próximos 
anos, quantos milhões de barris diários serão refinados em 2013? 
 
(A) 1.978 (B) 1.994 (C) 2.026 (D) 2.095 (E) 2.228 
 
Resolução 
 
O que significa aumento linear na quantidade de barris refinados observado de 2007 a 2009 e que estenderá 
nos próximos anos??? 
 
Resposta: significa que a cada dois anos a quantidade de barris refinados irá aumentar na mesma quantidade. 
 
Primeiramente vamos determinar o aumento de barris refinado entre 2007 e 2009. 
 
Milhões de barris refinados / dia em 2007 = 1946 
Milhões de barris refinados / dia em 2009 = 1962 
 
Aumento de 2007 a 2009 = 1962 - 1946 = 16 milhões de barris 
 
Vamos detalhar ainda mais!!! 
 
A cada dois anos o número de barris refinados aumenta em 16 milhões de barris. 
 
Usando o raciocínio acima podemos determinar o número de barris que serão refinados em 2011 e 2013 
 
Nª de barris em 2011 = Nª de barris em 2009 + 16 milhões de barris = 1962 + 16 = 1978 milhões de barris 
Nª de barris em 2013 = Nª de barris em 2011 + 16 milhões de barris = 1978 + 16 = 1994 milhões de barris 
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14. (Petrobras - 2011-1) Um cartucho para impressoras, com 5 mL de tinta, custa R$ 45,00. Já um cartucho 
com 11 mL de tinta, para o mesmo tipo de impressora, é vendido a R$ 70,40. A empresa X comprou 11 
cartuchos de 5 mL, enquanto que a empresa Y comprou 5 de 11 mL. Desse modo, as duas empresas 
adquiriram a mesma quantidade de tinta para impressão, mas não gastaram o mesmo valor nas compras. Em 
relação ao valor gasto pela empresa X, a empresa Y economizou, aproximadamente, 
 
(A) 50,8% (B) 42,4% (C) 35,2% (D) 28,9% (E) 25,4% 
 
Resolução 
 
Empresa X = 11 cartuchos a R$ 45,00 = 11 x 45,00 = R$ 495,00 
Empresa Y = 05 cartuchos a R$ 70,40 = 05 x 70,40 = R$ 352,00 
 
Economia da empresa Y = R$ 495,00 - R$ 352,00 = R$ 143,00 
 
Observe que a empresa Y economizou R$ 143,00 em cima do gasto da empresa X que gastou R$ 495,00. 
 
A pergunta: qual a economia (em porcentagem) da empresa Y em relação ao gasto da empresa X??? 
 
Para calcular a porcentagem de uma parte em relação ao todo aplicamos a fórmula abaixo. 
 
parte
todo x 100 
 
Dessa forma determinaremos quanto representa em porcentagem o valor de R$ 143,00 em relação a R$ 
495,00 
 
 parte 
 
Economia = 
143
495 x 100 = 0,2888 x 100 = 28,88% ≅ 28,9% 
 
 todo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15. (Petrobras - 2011-1) Na igualdade 2x-2 = 1.300, x é um número real compreendido entre 
 
(A) 8 e 9 (B) 9 e 10 (C) 10 e 11 (D) 11 e 12 (E) 12 e 13 
 
Resolução 
 
Prepare-se, vamos utilizar o raciocínio contínuo na resolução dessa questão. 
 
1) Imagine qual seria o valor de X para que 2X = 4 
 
 Logicamente X = 2, pois 22 = 4 Lembre: 22 = 2 x 2 = 4 
 
2) Imagine qual seria o valor de X para que 2X = 8 
 
 Logicamente X = 3, pois 23 = 8 Lembre: 23 = 2 x 2 x 2 = 8 
 
3) Imagine qual seria o valor de X para que 2X = 64 
 
 Logicamente X = 6, pois 26 = 64 Lembre: 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 
 
4) Imagine qualseria o valor de X para que 2X = 1024 
 
 Logicamente X = 10, pois 210 = 1024 Lembre: 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 
 
5) Imagine qual seria o valor de X para que 2X = 2048 
 
 Logicamente X = 11, pois 211 = 2048 Lembre: 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2048 
 
Pois bem, e qual seria o valor de X para que 2X = 1300 
 
Logicamente X estaria compreendido entre 10 e 11, mas por quê? 
 
Porque 210 = 1024 e 211 = 2048 
 
210 < 2X < 211 
 
 1024 1300 2048 
 
Agora ficou claro, veja que o valor de X para que 2X = 1300 estaria compreendido entre 10 e 11. 
 
Matematicamente falando teríamos a seguinte representação: 10 < X < 11 
 
Agora que você compreendeu o raciocínio, vamos a resolução da nossa questão, determinar entre que 
valores X estará para que 2X - 2 = 1.300. 
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210 < 2X < 211 
 
 1024 1300 2048 
 
 
210 < 2X - 2 < 211 
 
 1024 1300 2048 
 
Observe que X - 2 também deverá está compreendido entre 10 e 11. Dessa forma teremos: 
 
10 < X - 2 < 11 
 
Acima temos uma equação simultânea na sua forma mais simples, onde para resolvê-la passamos o valor de 
- 2 para a esquerda e direita da desigualdade mudando logicamente o sinal de ( - ) para ( + ). 
 
10 < X - 2 < 11 
10 + 2 < X < + 2 + 11 
12 < X < 13 
 
Dessa forma X estaria compreendido entre 12 e 13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16. (Petrobras - 2011-1) Em uma loja, trabalham 8 funcionárias, dentre as quais Diana e Sandra. O gerente 
da loja precisa escolher duas funcionárias para trabalharem no próximo feriado. Sandra e Diana trabalharam 
no último feriado e, por isso, não podem ser escolhidas. Sendo assim, de quantos modos distintos esse 
gerente poderá fazer a escolha? 
 
(A) 15 (B) 28 (C) 32 (D) 45 (E) 56 
 
Resolução 
 
 
 
 
Vamos deixar de lado Diana e Sandra, pois já trabalharam no 
último feriado e não poderão trabalhar no próximo. 
 
O número de objetos (funcionárias) é igual ao número de 
posições (escolhidas duas funcionárias de um total de 6)? NÃO 
 
A ordem importa? NÃO, pois tanto faz a funcionária Maria e 
Carla ou Carla e Maria. 
 
Dessa forma aplicaremos a COMBINAÇÃO de 6 funcionárias 
(já excluídas Diana e Sandra) tomadas 2 a 2, pois das 6 
funcionárias serão escolhidas somente duas para trabalhar no 
próximo feriado. 
 
C6,2 = 
6!
2!.(6 - 2)! = 
6!
2! . 4! =
6 . 5 . 4! 
2 . 1 . 4! = 
30
2 = !" 
 
 
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17. (Petrobras - 2011-1) Voltando do trabalho, Maria comprou balas para seus quatro filhos. No caminho, 
pensou: “Se eu der 8 balas para cada um, sobrarão 2 balas”. Mas, ao chegar a casa, ela encontrou seus filhos 
brincando com dois amigos. Então, Maria dividiu as balas igualmente entre as crianças presentes, e comeu 
as restantes. Quantas balas Maria comeu? 
 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
Resolução 
 
O procedimento inicial é determinar o número de balas. 
 
Total de filhos = 4 (cada filho ganha 2 balas e ainda sobram 2 balas) 
 
 
 Total de balas = 4 x 2 + 2 = 10 balas 
 
... ao chegar a casa, ela (Maria) encontrou seus filhos brincando com dois amigos ... 
 
Dessa forma teremos agora 6 crianças para dividir as 10 balas 
 
Como Maria dividiu as balas igualmente entre as crianças presentes concluímos que cada criança receberá 
somente 1 bala (totalizando 6 balas = 6 crianças) restando 4 balas que serão comidas por Maria. 
 
Observação: cada criança não poderá receber duas balas, pois nesse caso totalizaria 12 balas e temos 
somente 10 balas para serem distribuídas de forma igualitária entre as crianças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Probabilidade 
 
18. (Petrobras - 2011-1) Dentro de uma urna há bolas brancas e bolas pretas. Retirando-se uma bola ao 
acaso, a probabilidade de que ela seja preta é 2/3. Se fossem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 
bolas brancas, a probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passaria a ser 4/7. Quantas bolas há 
nessa urna? 
 
(A) 30 (B) 35 (C) 42 (D) 45 (E) 56 
 
Resolução 
 
Total de bolas brancas = X 
Total de bolas pretas = Y 
 
... retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de que ela seja preta é 2/3 ... 
 
n(A) = número de elementos do evento desejado = total de bolas pretas = Y 
n(B) = número de elementos do espaço amostral = total de bolas = X + Y 
 
P(A) = n(A)n(B) 
 
2
3 = 
Y
X + Y 
 
3Y = 2.(X + Y) 
3Y = 2X + 2Y 
3Y - 2Y = 2X 
 
Y = 2X 
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... se fossem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas ... 
 
Total de bolas brancas = X + 10 
Total de bolas pretas = Y - 5 
 
... a probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passaria a ser 4/7 ... 
 
n(A) = número de elementos do evento desejado = total de bolas brancas = X + 10 
n(B) = número de elementos do espaço amostral = total de bolas = X + 10 + Y - 5 = X + Y + 5 
 
 
P(A) = n(A)n(B) 
 
4
7 = 
X + 10
X + Y + 5 
 
7.(X + 10) = 4.(X + Y + 5) 
7X + 70 = 4X + 4Y + 20 
7X - 4X - 4Y = 20 - 70 
 
3X - 4Y = - 50 
 
Com as duas equações que temos equações X = 2Y e 3X - 4Y = - 50 determinamos o valor de X e Y. 
 
3X - 4Y = - 50 
3X - 4 . 2X = - 50 
3X - 8X = -50 
 - 5Y = - 50 x(-1) 
5Y = 50 
Y = 50 / 5 
Y = 10 (total de bolas pretas) 
 
Y = 2X 
Y = 2 . 10 
X = 20 (total de bolas brancas) 
 
Total de bolas na urna = X + Y = 20 + 10 = 30 bolas 
 
 
 
 
 
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19. (Petrobras - 2011-1) 
 
Ação global contra petróleo caro 
 
A Agência Internacional de Energia (AIE), formada por 28 países, anunciou ontem a liberação de 60 
milhões de barris de petróleo de reservas estratégicas [...]. Os EUA vão entrar com metade do volume, [...] a 
Europa irá colaborar com 3/10, e o restante virá de Austrália, Japão, Coreia e Nova Zelândia. 
 
O Globo, Rio de Janeiro, p. 17. 24 jun. 2011. Adaptado. 
 
Suponha que os países asiáticos (Japão e Coreia) contribuam juntos com 1,8 milhão de barris a mais do quea contribuição total dos países da Oceania (Austrália e Nova Zelândia). Desse modo, quantos milhões de 
barris serão disponibilizados pelos países asiáticos? 
 
(A) 5,2 (B) 5,6 (C) 6,9 (D) 7,4 (E) 8,2 
 
Resolução 
 
Total de barris liberados = 60 milhões 
 
Estados Unidos da América (EUA) = metade do total de barris liberados = 60 / 2 = 30 milhões 
 
Europa = 3/10 do total de barris liberados = 3/10 de 60 = 
(
)* x 60 = 
( .+*
)* = 180 / 10 = 18 milhões 
 
Dessa forma Austrália, Japão, Coreia e Nova Zelândia irão contribuir com 12 milhões (60 - 30 - 18 = 12) 
 
Japão e Coreia = X + 1,8 = ??? 
Austrália e Nova Zelândia = X 
 
(Japão e Coreia) + (Austrália e Nova Zelândia) = 12 
X + 1,8 + X = 12 
2X = 12 - 1,8 
2X = 10,2 
X = 10,2 / 2 
X = 5,1 milhões de barris 
 
Japão e Coreia = X + 1,8 = 5,1 + 1,8 = 6,9 milhões de barris 
 
 
 
 
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20. (Petrobras - 2011-1) Na figura abaixo, temos o triângulo equilátero MAR, de área S, e o retângulo 
ABCH, de área 11S/6. 
 
 
 
Observe que o segmento AH é uma das alturas do triângulo MAR. A área do trapézio ABCR é 
 
(A) 2S/3 (B) 3S/5 (C) 7S/4 (D) 5S/2 (E) 4S/3 
 
Resolução 
 
Triângulo Equilátero = Triângulo com os 3 lados iguais. 
 
Observação: o segmento AH (alturas do triângulo equilátero MAR) divide o triângulo MAR em dois outros 
triângulos iguais, que são os triângulos AMH e ARH. 
 
Como o triângulo MAR tem área igual a S os outros dois triângulos terão áreas iguais a S/2. Veja a figura 
abaixo. 
 
 
 
Pois bem, a área do trapézio ABCR será a diferença entre a área do retângulo ABCR menos a área do 
triângulo ARH, veja abaixo. 
 
ÁreaABCR = ÁreaABCH - ÁreaARH = 
11S
+ − 
S
- = 
22S - 6S
12 = 
16S
12 = 
16S ÷4
12 ÷ 4 = 
4S
3 
 
 
Bons Estudos e Boa Sorte!!! 
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