31382 20100822 172444 aula 2 parte 2 de 2 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a 
Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio 
de Janeiro 
 
Coordenadores da disciplina 
 Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
 
Matemática Básica 2010/2  Gabarito da aula2-2ªparte 
 
Atividade 10: 
Se a  ℚ e a ≠ 0, o que podemos dizer de a, temos que a  ℚ+ ou a  ℚ? 
Solução: 
Nada podemos afirmar. Observe que se a<0, então –a>0, isto é −𝑎 ∈ ℚ+ . Porém, se a>0, 
então 𝑎  ∈ ℚ−. Veja o caso particular: se a =  3 então a=3  ℚ+ . 
Atividade 11 
Lembrando que podemos fazer conversões como 1 = 
9
9
5
5
4
4 
 e etc., efetue as seguintes 
soma de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para confirmar a resposta). 
a) 
8
3
1
; b) 
6
5
1
; c) 
7
1
1
. 
Solução: 
a) 
8
11
8
3
8
8
8
3
1 
; b) 
6
11
6
5
6
6
6
5
1 
; 
c) 
7
8
7
1
7
7
7
1
1 
. 
 
Atividade 12 
Utilizando as propriedades associativa e comutativa acima, efetue as seguintes somas de 
cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para confirmar a resposta). 
a) 
4
3
4
1
5
1







, b) 







4
1
6
2
6
4
, c) 
5
1
3
2
5
4







, d) 







3
2
7
5
3
1
. 
Solução: 
a) 
4
3
4
1
5
1







 = 
5
6
5
5
5
1
1
5
1
4
3
4
1
5
1







. 
b) 







4
1
6
2
6
4
 = 
4
5
4
1
1
4
1
6
2
6
4







. 
c) 
5
1
3
2
5
4







 = 
3
5
5
1
5
4
3
2
5
1
5
4
3
2













. 
d) 







3
2
7
5
3
1
 = 
7
12
7
5
3
2
3
1
7
5
3
2
3
1













. 
Atividade 13 
a) Efetue as multiplicações a seguir. 
1) 
5
2
.
4
3
; 2) 
5
3
.
4
1
; 3) 
4
1
.2
; 4) 
3
1
.3
; 
5) 
15
7
.
7
15
; 6)
 111
321
.0
; 7) 
7.
4
3
; 8) 
9
16
.
4
3
. 
b) Tenho 
4
3
 de um terreno de 100 metros quadrados. Quantos metros quadrados de terreno 
eu tenho? 
c) Quanto é a metade de 
5
2
 de 500? 
Solução:a) 
1)
 10
3
5.2
3
5.2.2
2.3
5
2
.
4
3

; 2) 
20
3
5
3
.
4
1

; 3) 
2
1
2.2
1.2
4
1
.2 
; 
4) 
1
3.1
1.3
3
1
.
1
3
3
1
.3 
; 5) 
1
15.7
7.15
15
7
.
7
15

; 6)
 
0
111
321
.0 
; 
7) 
4
21
1.4
7.3
1
7
.
4
3
7.
4
3

; 8) 
3
4
3.3.4
4.4.3
9
16
.
4
3

. 
 
b) 
275
4
25.4.3
100.
4
3
m
; c) 
200
5
100.5.2
500.
5
2

 e a metade é 100. 
Ou diretamente, temos que a metade de 2/5 de 500 é 
100
5.2
100.5.2.1
500.
5
2
.
2
1

; 
 
Atividade 14
 
a) Calcule o valor das seguintes expressões. 
1. 
)12(
2
1
2
1

 2. 
3
2
:3
 3. 
5
3
.5
 4. 
3:
3
2
 
5. 







4
23
4
23
11
3
11
3
 6. 







5
1
3
1
2
5
3
 7. 
3
1
1
1

 8. 
3
5
−
2
3
1
2
+1+
4
9
 
b) Efetue a expressão: 1. 
5
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1






; 2. 
4
1
1
4
1
1
:
2
1
1
2
1
1




. 
Solução: 
a) 
1. 
1
2
2
2
3
2
1
3.
2
1
2
1
)12(
2
1
2
1



 
2. 
2
9
2
3.3
2
3
.3
3
2
:3  
 
3. 
3
1
3
5
3.5
5
3
.5 
 
4. 
9
2
3
1
.
3
2
3:
3
2

 
5. 
11
3
0
11
3
0.
11
3
11
3
4
23
4
23
11
3
11
3







 
6. 
3
1
3
2
1
5
1
.2
3
1
.2
5
3
5
1
3
1
2
5
3







 
Observação: Note como as propriedades operacionais foram utilizadas no desenvolvimento 
das contas no item (6). Este item também pode ser resolvido diretamente, sem uso de 
propriedades operacionais, por 
 
3
1
15
5
15
4
15
9
15
2
2
5
3
15
3
15
5
2
5
3
5
1
3
1
2
5
3













. 
Mas, resoluções através de propriedades às vezes podem tornar os cálculos mais simples. 
7. 
4
3
3
4
1
3
1
3
3
1
3
1
1
1




. (Esta conta, por exemplo, poderia ser feita toda de cabeça, 
vide atividade 11.) 
 8. 
175
6
35
18
.
15
1
18
35
15
1
18
8
18
18
18
9
15
10
15
9
9
4
1
2
1
3
2
5
3











 
 
b) 1. 
 
105
32
5
1
.
21
32
5
21
32
41
21
11
1
4
1
1
1
11
21
1
1
4
5
1
1
1
11
10
1
1
1
5
4
1
1
1
1
10
11
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
























 
 2. 
5
9
5
4
.
4
3
.
1
2
.
2
3
4
3
4
5
2
1
2
3
4
1
1
4
1
1
2
1
1
2
1
1






. 
 
 
 
Atividade 15 
A noção de porcentagem é simplesmente um tipo especial de fração, mais precisamente, 
representa uma fração cujo denominador é 100. Assim, n por cento, ou n%, representa a 
fração 
100
n
. Resolva os itens a seguir. 
i) Represente a porcentagem dada em forma de fração simplificada. 
a) 25% b) 30% c) 50% d) 75% e) 44% f) 10% 
Solução: 
i) 
a) 25% = 
4
1
100
25

. b) 30% = 
10
3
100
30

 
c) 50% = 
2
1
100
50

 d) 75% = 
4
3
100
75

 
e) 44% = 
25
11
50
22
100
44

 f) 10% = 
10
1
100
10

 
 
ii) Transforme o número dado para a notação de porcentagem. 
a) 
2
1
 b) 
4
3
 c) 
5
3
 d) 
20
14
 e) 1 f) 2 
Solução: 
a) 
100
50
50.2
50.1
2
1

= 50% b) 
100
75
25.4
25.3
4
3

 = 75% 
c) 
100
60
20.5
20.3
5
3

 = 60% d) 
100
70
5.20
5.14
20
14

= 70% 
e) 1 = 
100
100
1
1

 = 100% f) 2 = 
100
200
100.1
100.2
1
2

= 200% 
 
iii) Calcule: 
a) 50% de 20 b) 150% de 20 c) 25% de 16 d) 30% de 
9
80
 
Solução: 
a) 50% de 20 = 50%.20 = 
1020.
2
1
20.
100
50

 
b) 150% de 20 = 150%.20 = 
302.15
10
20.15
20.
10
15
20.
100
150

 
c) 25% de 16 = 25%.16 = 
4
4
16
16.
4
1
16.
100
25

 
d) 30% de 
9
80
= 30%.
9
80
=
3
8
9
80
.
10
3
9
80
.
100
30

 
 
iv) Efetue: 
a) 
5
4
  10%  28 b) 32%10%
12
5
 c)
%50
%20
 d) 







21
1
1 e) 
17
23
12
3
45
11

 
Solução: 
a) 
5
4
  10%  28 = 
24,2
100
224
4.25
4.56
25
56
5.5
28.2
10.5
28.4
28.
100
10
.
5
4

= 224% 
Observação: As últimas simplificações no item (a) foram apenas por gosto. Não existe 
nenhuma obrigação em converter a resposta para alguma notação específica (a menos que 
seja pedido). Assim, a resposta poderia ter terminado com 
25
56
, com 
100
224
, com 2,24 ou com 
224%, tanto faz. 
b) 32%10%
12
5
 = 
75
1
100.3
4
12.100.2
32
12
5
.
100
10
.
100
32

. 
Observação: A resposta 
75
1
 pode ser colocada em notação de decimal ou de porcentagem, 
mas não será uma resposta simplificada, com números mais “bonitos”. O que não pode ser 
feito em hipótese alguma é escrever a resposta arredondada, ou aproximada, como 
75
1
 ≈ 
0,133, por exemplo. 
c) 
%404,0
10
4
5
2
50
100
.
100
20
100
50
100
20
%50%20
%50
%20

 
d) 
4140
17
23
17
.
180
1
17
23
180
45
180
44
17
23
12
3
45
11







 
Atividade 16 
 Resolva as equações a seguir. 
a) 2x + 1 = 9 b) x  3 = 1 c) 3x + 1 = 3 
d) 15x = 5 e) 9x + 27 = 45 f) 3x + 1 = 0 
g) 
3
1
x + 1= 
2
5
 h) x + 
2
1
 = 
3
1
 i) 3x  
11
4
 = 
7
3
 
j) 3x + 2 = x  2 k) 2  x + 3x = x + 1 l) x + 
5
3
 
2
1
x + x2 = 1 + x2 
Solução: 
a) 2𝑥 + 1 = 9 ⟺ 2𝑥 = 8 ⟺ 𝑥 = 4 
b) 𝑥  3 = 1 ⟺ 𝑥 = 4 
c) 3𝑥 + 1 = 3 ⟺ 3𝑥 = 2 ⟺ 𝑥 =
2
3
 
d) 15𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 =
5
15
=
1
3
 
e) 9𝑥 + 27 = 45 ⟺ 9𝑥 = 18 ⟺ 𝑥 = 2 
f) 3𝑥 + 1 = 0 ⟺ 3𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 =
−1
 3
 
g) 
1
3
1
x
= 
2
21
3.
2
7
2
7
1
2
5
3
1
2
5 








xx
 
h) x + 
2
1
 = 
6
1
6
32
2
1
3
1
3
1 


 x
 
i) 3𝑥 −
−4
11
=
3
7
⟺ 3𝑥 +
4
11
=
3
7
⟺ 3𝑥 = −
4
11
+
3
7
=
−28+33
77
=
5
77
⟺ 𝑥 =
5
77
3
=
5
77
.
1
3
⟺ 𝑥 =
5
231
 
j) 
 
 
3𝑥 + 2 = 𝑥  2 ⟺ 3𝑥 − 𝑥 = −2 − 2 ⟺ 2𝑥 = −4 ⟺ 𝑥 = −2 
k) 2  𝑥 + 3𝑥 = 𝑥 + 1 ⟺ 2 + 2𝑥 = 𝑥 + 1 ⟺ 2𝑥 − 𝑥 = 1 − 2 ⟺ 𝑥 = −1 
l) 𝑥 + 
5
3
 
2
1
𝑥 + 𝑥2 = 1 + 𝑥2 ⟺ 𝑥 −
2
1
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2 = 1 −
3
5
⟺
2𝑥−𝑥
2
=
5−3
5
 
⟺
𝑥
2
=
2
5
⟺ 𝑥 =
2
5
. 2 ⟺ 𝑥=
4
5
 . 
Atividade 17 
i) Determine x sabendo que: 
a) 10% de x é 15 b) 200% de x é 30 c) 60% de x é 
5
9
 
Solução: 
a) 10% de x é 15  
10
1
.x = 15  x = 15.10  x = 150 
b) 200% de x é 30  2x = 30  x = 15 
c) 60% de x é 
5
9
  
5
3
x = 
5
9
  x = 3 
 
ii) Resolva a equação 
20
500
x = 
3
1
. 
Solução: 
20
500
x = 
3
1
  x = 
75
1
50.3
2

 (note que não tem como simplificar mais esta fração) 
iii) Determine os valores racionais de 𝑥 para os quais a fração 
2𝑥−1
5
𝑥−1
𝑥
 não está bem definida. 
Calcule essa fração para 𝑥 igual a 
1
3
 . 
Solução: Uma fração não está bem definida quando o denominador é zero, já que a divisão por 
0 não existe. Logo, a fração 
𝑥−1
𝑥
 não está bem definida para x=0 e como a própria 
𝑥−1
𝑥
 é 
denominador da fração dada, esta não está bem definida para x=1. Portanto a fração dada não 
está bem definida para x=0 e x=1. 
Se x=
1
3
, a fração vale 
2
1
3
−1
5
1
3
−1
1
3
=
2−3
3
5
1−3
3
1
3
=
2−3
3
5
1
3
−2
3
=
−1
9
−10
3
=
−1
9
3
−10
=
1
30
. 
Atividade 18 
a) A equação de estado de um gás ideal é dada por 
pV = nRT, 
onde p é a pressão, V é o volume e T é a temperatura de uma dada massa gasosa, contendo n 
moles do gás. A variável R representa a constante 0,082 
mol.K
atm.litro
. Um recipiente de volume 
igual a 8,0 litros contém um gás à temperatura de 300 K sob uma pressão de 5,0 atm. 
Determine o número de moles do gás colocados no recipiente. 
b) Na atividade 10, item (b), da aula 1, foi pedido para prever quando a piscina ficaria cheia, 
levando-se em consideração que entrava 6 litros de água a cada 2 minutos e vazava 1 litro de 
água a cada 10 minutos.Este tipo de questão, do ponto de vista dos números naturais, é um 
tanto complicado, pois é difícil comparar as informações. 
 Os números racionais também são úteis neste tipo de problema, pois eles permitem 
“normalizar” as informações. Por exemplo, considerando quocientes, temos que a piscina 
recebe 
2
6
 = 3 litros por minutos, enquanto perde 
10
1
 litros por minuto. Assim, a piscina 
recebe ao todo 
2
6
  
10
1
 = 
10
29
10
130


 litros por minuto. 
 Com esta última informação não é difícil deduzir que a expressão matemática que dá o 
voluma da piscina, V, em função do tempo, t, é dada por 
V = 
10
29
t. 
(Ainda vamos discutir no neste curso como deduzir este tipo de fórmula.) 
 De posse desta expressão matemática, não precisamos perder tempo com contagens. 
Basta resolver a equação acima com V = 1000 litros. Faça isto (coloque a resposta na forma de 
representação mista e confira a resposta (exata) com a resposta obtida na atividade 10). 
 
c) Em uma competição, o prêmio de mil reais é dividido entre os três primeiros colocados. 
Mas, a divisão não é proporcional. A organização tinha definido que o terceiro ficaria com o 
menor prêmio, o segundo receberia 100 reais a mais e o primeiro colocado ficaria com metade 
do prêmio. Quanto deve receber o segundo e o terceiro colocados? 
d) A cada minuto que passa, a temperatura da água dentro de uma panela no fogo aumenta 
12°C. A panela com água, quando foi para o fogo, tinha a temperatura de 15°C. Determine 
quanto tempo levará para a água ferver (ela deve ferver quando atingir 100°C). 
 
Solução: 
a) 
63,1
6,24
40
300082,0
85




RT
pV
n
. 
Observação: Como este é um problema prático, faz sentido arredondar o valor da 
resposta (pois, sendo um problema prático, todas as medidas envolvidas estão sujeitas 
a erros e, portanto, não se pode garantir o valor exato da resposta, só aproximações). 
b) Quando V = 1000, temos 
 1000 = 
10
29
t  t = 
29
10000
  344 minutos (uma informação bem mais precisa do que a 
obtida na aula 1) 
 
c) Como o 1º colocado recebe 500 reais, sobram 500 reais para serem divididos entre o 
2º e o 3º colocados. Seja x a quantia recebida pelo 3º colocado, então o 2º receberá 
x+100 e sabemos que x+x+100=500. Logo, 2𝑥 + 100 = 500 ⟺ 2𝑥 = 400 ⟺ 𝑥 =
200. Portanto, o 3º receberá 200 reais e o 2º 300 reais. 
d) A temperatura da água na panela pode ser representada por 𝑇 = 15 + 12𝑡, onde o 
tempo t é dado em minutos. Portanto, atingirá 100° quando 100 = 15 + 12𝑡 ⟺ 85 =
12𝑡 ⟺ 𝑡 =
85
12
 𝑚𝑖𝑛 = 7𝑚𝑖𝑛 5𝑠.