31382 20100906 130742 aula 3 nomeros reais parte 2 de 2 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
 
 
Matemática Básica 2010/2
Gabarito da aula 3
Atividade 5: 
Solução: 
a) Nada podemos afirmar. Se 
b) 
1. 2x + 1 ≤ x + 6 ⇔
Assim, S = {x ∈ | 
 
2. 2 − 3x ≥ x + 14 
Assim, S = {x ∈ | 
 
3. 
23
1
2
⇔
−
−
≤
−
xxx
Assim, S = {x ∈ | 
 
4. 2(x + 3) > 3(1 − 
Assim, S = {x ∈ | 
 
5. 3(1 − 2x) < 2(x 
9
8
−
−
 ⇔ x > 
9
8
 . 
Assim, S = {x ∈ | 
 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
 
Coordenadores da disciplina
 Cristiane Argento
Matemática Básica 2010/2- 
Gabarito da aula 3-2ª parte 
 
 
Nada podemos afirmar. Se a > 0 então –a < 0. Mas, se a < 0 então 
⇔ 2x − x ≤ 6 − 1 ⇔ x ≤ 5. 
| x ≤ 5}. 
14 ⇔ −x − 3x ≥ 14 − 2 ⇔ −4x ≥ 12 ⇔ x ≤ 
4
12
−
 
| x ≤ −3}. 
2223
3
1
2
−≥⇔−≥⇔
−
≥ xxx
xx
. 
| x ≥ −2}. 
 x) ⇔ 2x + 6 > 3 – 3 x ⇔ 5x > −3 ⇔ x > −3/5.
| x > −3/5}. 
+ 1) + x − 7 ⇔ 3 − 6x < 2x + 2 + x − 7 ⇔ −
 
| x > 8/9}. 
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
 
0 então –a > 0. 
 ⇔ x ≤ −3. 
3/5. 
−9x < −8 ⇔ x > 
6. ����� � � � �	� 
 ����� �
�
	 � � �� 
 � ���� ��
�
	
 � �� 
 � �
��
��	�����
� �
�����	
� 	��	�	, (note que a mudança de sinal ocorreu porque ��� < 
�
	). Assim, � � ������ �
	
��	�	� 
 
c) Temos que 179
3
<+
x
⇔ 
3
x
 < 8 ⇔ x < 24. Assim, o maior número inteiro que é 
solução da inequação 179
3
<+
x
 é o maior número inteiro x tal que x < 24. Ou 
seja, x = 23. No entanto, não existe um maior número real no interior do 
intervalo (−�, 24), que seja solução desta desigualdade. (Isso é uma 
curiosidade, por enquanto. Em outras disciplinas mais para frente do curso você 
irá ver o porquê. É consequência de uma propriedade do conjunto dos números 
reais. Sempre existirá um número real maior do que qualquer outro que você 
imaginar e menor que um outro que você imaginar no interior de um intervalo 
aberto.) 
 
d) Note que a − b < x − y � � � � � � � � � � � � � � � �. Portanto, se 
tomarmos a < x, tal que a distância de x a a, x − a, seja menor ou igual à 
distância de y a b, y − b, teremos � � � � � � � � � � � � � � �, portanto a 
desigualdade do enunciado é falsa, pois não vale em geral. 
Tome por exemplo a = 2, x = 3, b = 1 e y = 4, então a < x, b < y, porém 1= a − 
b > x − y = −1. Há uma infinidade de outros exemplos, encontre outros. 
Acompanhe a explicação a partir do desenho a seguir. 
 
 
e) Observe que �	 !, "� # �, logo não existe x real cujo quadrado seja 
negativo. Assim a equação dada não tem solução no conjunto dos números 
reais. 
 
 
Atividade 6: 
Solução: 
a b x y 
 a)(a,b) 
 
 [a,b) 
 
 [a,b] 
 
$�%�& 
 
'�%�& 
 
'��% �( 
�
'��% �&� 
 
� � '��%�& 
 
 
 b) 
 
• A afirmação é verdadeira. Bom, isto considerando o caso em que a interseção é 
diferente do conjunto vazio, é claro. Neste caso, a interseção de intervalos (a, b) 
e (c, d) é o intervalo (m, n), onde m = máximo{a, c} e n = mínimo{b, d}. Faça 
um desenho para ilustrar o narrado aqui. Para os outros tipos de intervalos a 
afirmativa também é verdadeira. Faça esboços. 
• Esta afirmação é falsa. Por exemplo, a união de (−2, 0) e (1, 5) não é um 
intervalo. Verifique isto com um desenho. 
 
 
c) Basta fazer X = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). 
 
Desafio: 
Solução: 
Considerando o intervalo (a, b), está implícito que a < b. Assim, �� � � � � �
� � � � � � � � ��, logo dividindo por 2 obtemos que � � )*+	 � �. 
 
Atividade 7: 
Solução: 
1. '��% ,( 
 
2. (-�,-3] 
 
3. [-2,�) 
 
4. '� �- % �& 
 
5. ( ./ % �& 
 
6. ' 	��	�	 % �) 
 
 
Atividade 8: 
Solução: 
1. �� � 0 
 � � 1 e �1� � 2 
 � � �1. Fazendo a interseção entre os dois 
intervalos, obtemos � � '��% 1( 3 '�1%�& � '�1%1(4 
 
2. 5� � � � 2 
 5� � 6 
 � � � e 1� � � �5 � �� ��5 � � �7. 
Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos � � '��% �( 3
$�7%�& � $�7%�(4 
 
3. �� � � � � � 0 � � � , e � � 1� � � �5 � ��� 5� � �1 �. 
Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos � � '��% ,( 3
'��%�1( � '��%�1(. 
 
4. ��� � � � ! � �� � � � � � �	 e �1� � 5 
 � � �
8
�. Fazendo a 
interseção entre os dois intervalos, obtemos � � ���% �	9 3 ��
8
� % �
 � '�
8
� %
�
	(. 
 
5. �5� � 6 � ! � 5� � �6� � � �� e �1� � � � ! � �1� � �� �
� ��. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos � � :. 
 
 
Atividade 9: 
a) Represente graficamente, sobre a reta, o conjunto solução da inequação: 
i) |x − 3| < 5 ii) |x − 1| ≥ 1 
b) determine uma inequação envolvendo módulo que seja representada graficamente 
pelo conjunto de pontos destacado a seguir. 
 
Solução: 
a-i) � � '��%6& 
 
a-ii) � � '��%0]; $�%�& 
 
 
b) |x − (−2)| < 3, isto é, |x + 2| < 3. 
 
Desafio: 
 
 
Solução: 
Dados �% � # �, temos que ! � '� � �&	 � �	 � ��� � �	� ��� � �	 � �	�
�� � )
�*+�
	 . Em particular, para �% � !%� temos para � � �� e � � <� a 
desigualdade <�� � ��<� � '�=&
�*'�>&�
	 �
=*>
	 . 
 
 
OBS: A desigualdade acima significa que a média geométrica entre dois números reais 
não negativos é menor do que ou igual à média aritmética entre os dois. Seguindo a 
demonstração acima, veja que a igualdade só vale quando a=b, isto é quando �� � <�, 
donde quando x=y. 
 
 
 
 
−1 +1 = 0 1 2 = 1 + 1 
0 3 8 = 5 + 3 −2 = 3 − 5 
0