mecanica teorica

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Faculdade de Ciências Naturais e Matemática
Departamento de Física
Seminários de Mecânica teóricaijk 
Cinemática
Métodos de determinação do movimento do ponto:
Método vectorial, Método de coordenadas e Método Natural
 
 
 
z
 
 
 o
 
y
xNo método vectorial: é dado o vector -posição como função de tempo: 
Método das Coordenadas:
No método de coordenadas: As coordenadas de posição do ponto são dadas como funções de tempo.
 
 
 
z
 
 
 
 
 o
 y
 
 x yCoordenadas cartesianas:
 
y
 
o
θ
 
xCoordenadas Polares:
 
z
 
 
 o
 y
 
 
 Coordenadas Cilíndricas:
z
 
 
 
r 
 
 
Θ 
 y
 
 
 
 
xCoordenadas Esféricas:
 e 
 Método Natural: 
 
 
z
o
y
xNo método natural são dadas a equação da trajectória na forma geométrica e a lei de movimento do ponto pela trajectória. A trajectória aparece como a intersecção de duas superfícies:
Grandezas Cinemáticas
A razão entre vector do deslocamento e o acréscimo do tempo denomina-se vector velocidade média para o intervalo de tempo 
O limite do vector de velocidade média, quando o intervalo de tempo tende para zero, Chama-se vector velocidade instantânea :
 ou ou ainda 
A velocidade instantânea é igual a derivada do raio vector segundo o tempo no instante estudado. 
As projecções da velocidade sobre os eixos das coordenadas são dadas por:
.
O módulo do vector velocidade é:
 O comprimento do percurso ou do arco descrito pelo ponto em movimento é dado pela expressão: 
A trajectória do ponto que coincide com a extremidade do vector velocidade é chamada hodógrafo da velocidade. 
Como as projecções do vector velocidade sobre os eixos. Oxyz são , as coordenadas do ponto que avança pelo hodógrafo são iguais a:
. 
Estas são as equações do hodógrafo da velocidade na forma paramétrica
Quando a velocidade do móvel varia com o correr do tempo, introduz-se a grandeza física aceleração.
Aceleração média: 
Aceleração Instantânea: 
Em coordenadas cartesianas: 
Aceleração no Movimento curvilíneo: 
Cinemática do Ponto Material em coordenadas curvilíneas:
Coordenadas Generalizadas 
 ; 
Seja a projecção do vector velocidade pela i-ésima coordenada generalizada , então:
Onde é o coeficiente de Lame pela i-ésima coordenada.
O vector velocidade da partícula será dado pela expressão:
 ; em que é o versor.
O quadrado do módulo da velocidade será é dado pela expressão: e o módulo da velocidade é dado pela expressão: 
As projecções do vector aceleração em coordenadas generalizadas são dadas pela relação:
 com 
Assim a velocidade no sistema cilíndrico de coordenadas é dada pelas expressões:
Vector-posição: onde e 
Vector Módulo da velocidade 
A aceleração em coordenadas cilíndricas é dada pela expressão:
Vector ; Módulo da aceleração: 
A velocidade no sistema de coordenadas esféricas:
Vector-posição: onde 
Vector 
O seu módulo é dado por : 
A aceleração em coordenadas esféricas é dada pela expressão 
 
 O módulo da aceleração será: 
Onde ; 
Seminário-1
O movimento de um ponto material é dado pelas seguintes funções . Em que método está determinado esse movimento? Determine-o pelo método vectorial.
Um ponto material percorre uma trajectória de raio R, cuja equação é dada pela expressão , obedecendo a seguinte equação horária 
Em que método está dado este movimento?
Determine o movimento do ponto em coordenadas cartesianas.
Sejam dadas as equações do movimento do ponto ; onde a e k são constantes positivas.Determine as equações do movimento do ponto em coordenadas polares.
Um ponto se movimenta por uma linha helicoidal de acordo com as equações .
Em que método está dado o movimento do ponto?
Exprima-o em coordenadas cilíndricas.
Componha o vector-posição no sistema cilíndrico de coordenadas.
Sejam dadas as equações do movimento do ponto ; onde a e k são constantes positivas.
Determinar a trajectória e a lei do movimento do ponto pela trajectória, contando a distância a partir da posição inicial do ponto.
Determinar as equações do movimento do ponto em coordenadas polares.
Usando as equações do movimento do ponto, achar a trajectória e a lei do movimento deste ao longo da trajectória, contando a distância a partir da posição inicial do mesmo.
 e 
 e 
 e 
 e 
Usando as equações dadas do movimento do ponto, achar as equações de sua trajectória em forma de coordenadas cartesianas e assinalar no desenho a direcção do movimento:
a. 
b. 
c. e 
d. e 
e. e 
. Um ponto participa simultaneamente de duas oscilações amortecidas mutuamente perpendiculares, cujas formas são ; ; onde A> 0; h> 0; k> 0 e ε são determinadas constantes. Determinar as equações do movimento em coordenadas polares e achar a trajectória do ponto.
Um ponto se movimenta por uma linha helicoidal de acordo com as equações . Se por unidade de comprimento foi adoptado o metro,determinar o raio de curvatura ρ da trajectória.
Um ponto M move-se numa parábola segundo a lei como vem na figura de modo que a ordenada é dada pela fórmula com C = constante. Determinar a velocidade do ponto.
A equação do movimento é dada em coordenadas polares por: ρ = b.t ; φ = k.t onde b e k são constantes. Encontrar a equação da trajectória e a lei do movimento sobre a trajectória.
Um ponto participou simultaneamente em duas oscilações amortecidas mutuamente perpendiculares de acordo com as equações
Determinar as projecções da velocidade do ponto nos eixos das coordenadas cartesianas e polares.
Achar o módulo da velocidade.
As equações do mvoimento do ponto M no sistema cilíndrico de coordenadas tem a forma r = a; φ = k.t, z = v.t.
Achar as equações da velocidade do ponto M nos eixos do sistema cilíndrico de coordenadas.
Achar as equações do movimento do ponto M1 que descreve o hodógrafo da velocidade.
Achar as projecções da velocidade do M1.
Achar as projecções da aceleração do ponto nos do sistema cilíndrico de coordenadas.
Achar as componentes tangencial e normal da aceleração e o raio da curvatura da linha helicoidal.
O ponto M se movimenta por uma circunferência segundo as equações: ; onde r e φ são coordenadas polares.
Achar as projecções da velocidade do ponto M nos eixos do sistema polar de coordenadas.
Achar as equações do movimento do ponto ponto M1 que descreve o hodógrafo da velocidade.
Achar as projecções da velocidade do ponto M1.
Um ponto se movimenta ao longo da linha de intersecção de uma esfera e um cilíndro seguindo as equações r = R; ; . Onde r, e são coordenadas esféricas.
Achar o módulo e as projecções da velocidade do ponto nos eixos do sistema esférico de coordenadas.
Achar as projecções e o módulo da aceleração do ponto usando as coordenadas esféricas.
Movimento composto. Cinemática do Movimento Relativo e Dinâmica do Ponto Material
Consideremos dois sistemas: O´xý´z´que se move relativamente ao sitema fixo Oxyz, Seja M um ponto que se move em relação ao sistema O´xý´z´.
O movimento do ponto M em relação ao sistema fixo Oxyz chama-se movimento absoluto.
O movimento de M em relação ao sistema móvel O´xý´z´chama-se movimento relativo.
O movimento de M relativo a Oxyz devido ao movimento do sistema O´xý´z´chama-se movimento de transporte.
O vector da velocidade de transporte do ponto é dado pela expressão:
A velocidade relativa do ponto é a velocidade do ponto no espaço do sistema móvel de coordenadas e é determinada
pela fórmula: 
A expressão que exprime o teorema da combinação das velocidades no movimento complexo do ponto é dada por:
O vector aceleração de transporte do ponto é dado por:
A aceleração relativa do ponto é a aceleração do ponto no espaço do sistema móvel de coordenadas . Seu vector é determinado mediante a expressão:
 A parcela da formula do vector denomina-se aceleração de Coriolis do ponto que pode ser escrita da seguinte forma:
Desta feita o teorema de Coriolis sobre a combinação das acelerações é enunciado da seguinte forma:
A aceleração do movimento absoluto do ponto, é a soma geométrica de três acelerações; a de transporte, a relativa e a de Coriolis, ou seja:
Onde é a aceleração de Coriolis do ponto.
Lei fundamental da dinâmica do ponto Material:
A variação da quantidade de movimento dum ponto é proporcional à força aplicada e transcorre na direcção e sentido desta.
 
A equação da 2ª lei de Newton é a equação fundamental do movimento para a partícula sujeita à acção de uma força resultante que é a soma de todas as forças que actuam sobre a partícula.
O problema usual da dinâmica consiste em:
Dada a massa do ponto material e as equações do movimento do mesmo no sistema de referência inercial (SRI) cartesiano x=f(t), y=f(t) e z=f(t), achar a resultante das forças que actuam sobre o ponto material. Isto resulta num processo de diferenciação das equações do movimento e depois compor as projecções da equação da 2ª lei.
Dado o sistema de forças que actuam sobre a partícula e sua massa, determinar o movimento do ponto. Isto resulta num processo de integração do sistema de equações diferenciaias de 2ª ordem do movimento.
A sua solução completa requer o conhecimento das condições iniciais do problema, isto é, a velocidade e a posição para t = 0 s.
No caso mais geral 
Feitas as substituições e integrações das equações da 2ª lei, obtém-se as equações do movimento 
Seminário - 2
 1000 m
 30º1. Um holofóte acompanha um avião, que voa a 1000 metros de altura. Sabe-se que a velocidade angular do feixe luminoso é 0,2 rad/s na posição indicada na figura. Determinar a velocidade do avião.						(R: 961 km/h)
2. Um ponto se move sobre a parábola y2 = 2.x , de tal modo que a projecção da sua velocidade sobre o eixo dos x é constante e igual a 8 m/s. Ao iniciar a contagem do tempo, o móvel está na origem das coordenadas. Determinar a velocidade no fim de 1 s. 
								(R: v = 8,3 m/s; φ = 14º 12’)
3. A barra AB, representada na figura, está apoiada num plano horizontal e gira em torno de um eixo vertical passando por B com uma aceleração angular constante de 1 rad/s2. Enquanto a barra gira, o cursor C se desloca de B para A, de tal forma que a distância do ponto B ao ponto C aumenta regularmente à razão de 0,5 m/s. Quando o cursor esta na posição indicada na figura, a velocidade angular da barra é de 3 rad/s no sentido horário. Determinar, para a posição indicada, a aceleração do cursor.		(a = 5,7 m/s2)
BC = 50 cm
 
 A C B
4. Um ponto M se move em um plano, de tal modo que sua velocidade apresenta, a cada instante, duas componentes de intensidades constantes das quais uma de direcção fixa a e outra, sempre perpendicular ao raio vector b. Determinar a trajectória e a aceleração.
 
 
 
 
 
θ
 O x						(R: ; a = ar= -)
 
5. Um ponto M percorre a cardióide r = a. (1 + cos Ө), de modo que a sua aceleração total fica sempre dirigida para o pólo O. Determinar, em função do raio vector r, a velocidade, a aceleração total e a normal.
 
M
 
 O 
x(R: = c.; ; )
6. O triângulo OAB gira em torno do eixo OA, que ocupa o plano da figura, à velocidade angular ω = 6.t2 no SI. O ponto M avança pela hipotenusa do triângulo, partindo do vértice A rumo ao vértice B, sendo a lei do movimento S = AM = 12.t2 + 4 no sistema c.g.s; o ângulo BAO mede 30º. Considerando que o plano do triângulo coincide com o plano da figura; para t = 1 s, achar a aceleração absoluta do ponto M neste instante.
 A
 30º 
y
 
x
 
 M
 
 
O 
 
 
 z
 B		(R: a = 3,66 m/s2, cos(a , x) = 0,745, cos(a , y) = 0,656; cos(a , z) = 0,057)
7. Um avião está voando ao longo de um meridiano da terra, do equador para o pólo, desenvolvendo a velocidade constante e igual, segundo o módulo, a 300 m/s. Quais são as componentes do vector da aceleração absoluta do avião no equador e no pólo; e qual é o módulo da aceleração total do avião? O raio da terra é de 6370 km.
(R: No equador: ae= 0,0337 m/s2, ar=0,0141 m/s2, ac= 0, aabs= 0,0478 m/s2; no pólo: ae= 0, ar= 0,0141 m/s2, ac= 0,0436 m/s2 , aabs= 0,0458 m/s2).
8. Um corpo rígido tem uma velocidade de rotação de 100 rad/s, em torno de um eixo, situado no plano xoz e fazendo o ângulo de 45º com o eixo dos x. Determinar a velocidade do ponto P do sólido, na ocasião em que suas coordenadas são P (3,4,5) em dm. (R: v = (28,28; -56,56; 28,28), v = 69,3 m/s)
9. Um corpo rígido gira, com velocidade de 500 r.p.m, em torno de um eixo fixo coincidente com o vector . Determinar a velocidade do ponto P (1, -2, -1) dm.·						(R: v = (5,6; -14; -11,2) no SI)
 C B
 M
 O
 D A10. O rectângulo ABCD gira em torno do lado CD à velocidade angular rad/s. O ponto M movimenta-se ao longo do lado AB seguindo a lei ) no SI. Sejam as dimensões DA=CB=a m. Determinar o valor da aceleração absoluta que o ponto possui no instante t = 1s.					 (R: aabs= m/s2)
 P C
 
X
 r11. Enquanto o disco representado na figura, gira em torno de C com velocidade angular constante ω, o ponto P percorre o seu diâmetro com movimento harmónico simples dado por x = r.cos(ω.t), onde x é a coordenada de P em relação a C. Determinar a aceleração absoluta do ponto P, quando este ocupar a extremidade do disco.
12. O êmbolo de um motor a combustão interna oscila horizontalmente segundo a lei
cm, onde r é o comprimento da manivela, Lé o comprimento da biela e ω é a velocidade angular da árvore (constante). Determinar a força máxima que actua sobre o êmbolo, se a sua massa é M. 
[R: ]
13. Um corpo cuja massa é 2,04 kg oscila ao longo de uma recta horizontal. A distância entre o corpo e o ponto fixo é determinada pela equação no S.I. Achar a força F que actua sobre o corpo em função da distância x, assim como o valor máximo da força.							(R: F= -5,033.x; Fmáx=50,33 N)
14. As equações x = 3.cos (2.π.t) cm e y = 4. sen(2.π.t) cm, onde t é contado em segundos, expressam o movimento de um ponto material cuja massa
é 0,2 kg. Determinar as projecções da força que actua sobre o ponto em função das coordenadas.
15. A esfera, cuja massa é 100 g, cai sob a acção da força de gravidade enfrentando a resistência do ar. O movimento da esfera é expresso pela equação x=4,9.t –2,45.(1 – e-2.t), onde x é dado em metros, t em segundos e o eixo aponta verticalmente para baixo. Determinar a força de resistência do ar R que a esfera experimenta em função de sua velocidade v.							(R: R = 0,2.v no S.I)
16 Um corpo cai no ar sem velocidade inicial. A resistência do ar é dada por R = k2.p.v2, onde v é a velocidade do corpo, p é o seu peso. Que velocidade o corpo desenvolverá passado o período de tempo t após o início do movimento? Qual é o valor limite da velocidade?
Um navio, cuja a massa é 1,5.106 kg, vence a resistência da àgua que é igual a R = α.v2 no S.I, onde v é o valor da velocidade do navio em m/s e α é um coeficiente constante igual a 1200. O empuxo das hélices possui o sentido do avanço , alinha-se à velocidade e se modifica de acordo com a lei no S.I.
Achar a relação entre a velocidade do navio e o tempo sabendo que a velocidade inicial é igual a vo m/s.
Achar a relação entre a distância percorrida e o tempo.
 
 18. Um corpo cuja massa é 1 kg avança sob a acção da força variável F = 10. (1 – t) no S.I. Quanto tempo é necessário para que o corpo se detenha, se no instante inicial a sua velocidade é igual a 20 m/s e a direcção da força coincide com a velocidade? Que distância o corpo percorre até parar?				(R: t = 3,236 s, S = 60,6 m)
A partícula de massa m que é portadora de carga eléctrica q, se encontra num campo eléctrico homogêneo cujo valor varia de acordo com a lei E = A.sen (k.t) onde A e k são constantes dadas. Determinar o movimento que a partícula realiza se é sabido que sobre esta, actua no campo eléctrico, a força F = q.E que aponta no mesmo sentido de E. Menosprezar a força de gravidade. Adotar a posição inicial da partícula por origem das coordenadas. A velocidade inicial da partícula é igual a zero.
Determinar o movimento de uma esfera pesada que avança ao longo de um canal rectilíneo imaginário que passa pelo centro da terra se sabemos que a força de gravidade no interior do globo terrestre é proporcional à distância existente entre o ponto em movimento e o centro da Terra e aponta para este centro. A esfera foi introduzida no canal com velocidade inicial nula. Achar também a velocidade que a esfera possui ao passar pelo centro da Terra e o tempo que ela gasta para chegar até este local. O raio da Terra é igual a R = 6,37.106 m. Adotar a aceleração da gravidade a superfície da Terra igual a 9,8 m/s2.
[R: ; v = 7,9.103 m/s; t = 21,1 s]
21. A força de resistência ao avanço de um corpo por um meio heterogêneo varia de acordo com a lei no S.I, onde v é a velocidade do corpo e s é a distância percorrida. Determinar a distância percorrida em função do tempo sabendo que a velocidade inicial é de 5 m/s.		[R: s = 3. [(5.t + 1)1/3- 1] no S.I
22. O ponto de massa m avança desde o ponto fixo O sob a acção da força de repulsão que varia de acordo com a lei F = k2.m.r, onde r é o raio-vector do ponto. No instante inicial o ponto ocupava a posição Mo(a , 0) e possuia a velocidade vo cujo sentido é paralelo ao do eixo y. Determinar a trajectória do ponto.		(R: Uma hipérbole)
23. O ponto M de massa m sofre a acção de duas forças de atracção que apontam para os centros fixos O1 e O2. O valor destas forças é proporcional à distância entre M e os pontos O1 e O2. O coeficiente de proporcionalidade é o mesmo para as duas forças e igual a c. O movimento começa no ponto Ao à velocidade vo que é perpendicular à recta O1O2. Determinar a trajectória que o ponto M descreve. Achar também os instantes em que este cruza a recta O1O2 e calcular suas coordenadas nestes instantes.
 M 
y
 
 
 
 
 a 2a x						
24. O ponto de massa m inicia o avanço rectilíneo partindo do estado de repouso e saindo da posição xo = a. Este avanço ocorre graças a acção da força de atracção Fx= -c1.m.x que é proporcional à distância da origem das coordenadas e à acção da força de repulsão Qx= c2.m.x3 que é proporcional ao cubo da distância. A que correlação entre c1, c2 e a o ponto atinge a origem das coordenadas e pára?
 
 
 
 O 
 
x 
 25. O ponto A de massa m começa a movimentar-se, partindo da posição (onde é o raio-vector do ponto) à velocidade que é perpendicular a , graças à acção da força de atracção que aponta para o centro O e é proporcional à distância entre este centro e o ponto. O coeficiente de proporcionalidade é igual a . Além disto, o ponto sofre a acção da força constante . Achar a equação do movimento e a trajectória que o ponto descreve. Que relação faz com que a trajectória do movimento passe pelo centro O? Qual é a velocidade que o ponto desenvolve quando cruza o centro?
R: ; 
Dinâmica do sistema de Partículas e fundamentos da estática analítica
Dinâmica de sistema de partículas:
O momento linear do sistema de partículas é igual ao produto entre a velocidade do centro de massa e a massa total do sistema, 
A aceleração do centro de massa do sistema é a mesma que a de uma partícula de massa igual a M (massa do sistema) sujeita a acção duma força igual a , .
Se o sistema não está sujeito a acção de forças externas (sistema isolado), ou está sujeito a um conjunto de forças cuja resultante é nula, = 0, então a velocidade do centro de massa (o momento linear do centro de massa) do sistema de partículas permanece constante com o correr do tempo: 
O momento angular dum sistema de partículas, em relação a um ponto fixo, é igual à soma do momento angular que teria o sistema, em relação ao referido ponto, se toda a massa estivesse concentrada no centro de massa com o momento angular do sistema em relação ao centro de massa. 
A derivada com respeito ao tempo do momento angular do sistema é igual a resultante de todos os torques das forças externas agindo sobre o sistema: 
Para um sistema isolado ou um sistema sujeito à forças externas centrais, 
A energia cinética dum sistema de partículas é a soma da energia cinética de translação do centro de massa com a energia cinética do sistema relativa ao centro de massa:
Fundamentos de Estática analítica
Um conjunto de pontos materiais restrito tanto pela presença de forças internas de interacção mútua, como pela aplicação de ligações ao sistema
Chamam-se ligações às limitações que são impostas à posição ou ao movimento dos pontos materiais do sistema.
As ligações podem ser realizadas sob a forma de superfícies, hastes, fios, etc
Um sistema no qual não existem ligações chama-se sistema livre.
Chama-se deslocamento possível ou virtual a todo o deslocamento infinitesimal dos pontos do sistema permitido pelas ligações impostas ao sistema e que transcorrem em um mesmo instante de tempo.
Todo o corpo ligado (preso) pode ser liberto das ligações, substituindo estas pelas reacções.
Feito isto, o corpo pode ser tratado como um corpo livre que sofre a acção das forças dadas e das reacções das ligações
Chamam-se ligações ideais àquelas em que a soma dos trabalhos elementares das reacções das ligações, no caso de qualquer deslocamento virtual dos pontos do sistema é igual a zero
A Condição necessária e suficiente do equilíbrio do sistema de pontos materiais que se encontram sujeitos à ligações geométricas, estacionárias, não-liberativas e ideais é a anulação da soma dos trabalhos elementares das forças activas em qualquer deslocamento virtual do sistema
a partir da posição de equilíbrio em estudo (desde que o sistema esteja imobilizado no instante inicial).
Na posição de equilíbrio do sistema cujos constituintes estão sujeitos a acção da força de gravidade e restringidos por ligações geométricas, estacionárias, não-liberativas e ideais, a coordenada z do centro de gravidade possui um valor extremo: 
3º Seminário
Uma bola A, de massa 4,0 kg cuja velocidade é , choca com uma outra bola B, de massa 8,0 kg, inicialmente em repouso. Depois da colisão, a velocidade de A em relação ao centro de massa do sistema A+B é . Considere desprezível o atrito. Determine a velocidade da bola B depois da colisão. (R: )
Um bloco, de massa igual a 10 kg, desloca-se sem atrito sobre o plano horizontal, com velocidade constante . Num dado instante o bloco explode, dividindo-se em três fragmentos A, B e C, sendo . Verifica-se que, imediatamente após a explosão, e é igual à velocidade do centro de massa do sistema. Determine, logo após a explosão, a velocidade do terceiro fragmento. (R: )
Uma barra fina e longa de comprimento L e massa m está pendurada através dum ponto em torno do qual pode oscilar livremente no plano vertical como um pêndulo simples.
Determinar o momento angular da barra como função da velocidade instantânea ω. (R: )
Mostre a validade do teorema do momento angular do sistema.
Obtenha o resultado através de cálculos directos. (R: )
Um disco D de raio 10 cm é posto a girar sem atrito, em torno de um eixo vertical com uma velocidade angular . Em seguida, um anel A de raio e massa é colocado simetricamente sobre o disco, conforme mostra a fig. Sabe-se que a velocidade angular do conjunto passa a ser .
Determinar a massa do disco D.			(R: )
Como varia a energia cinética quando se passa da primeira situação (disco D) para a para a segunda situação (D+A).
 
 A
 D 
Uma plataforma horizontal na forma de um disco circular gira no plano horizontal em torno de um eixo vertical, sem atrito.A plataforma tem uma massa e raio . Um estudante cuja massa é caminha lentamente a partir da periferia do disco em direcção ao centro. Se a velocidade angular do sistema é de quando o estudante está na periferia, qual é a velocidade angular do sistema quando o estudante tiver alcançado um ponto que está à do centro? (R: )
Calcule a energia cinética total da barra do exercício 3. Use o teorema da T dum sistema.
Mostre que o resultado obtido com o uso do teorema é igual ao obtido por cálculos directos.
A energia cinética de uma molécula de oxigénio à temperatura ambiente é de cerca de . A massa do átomo de Oxigénio é e a distância média entre os dois átomos à temperatura ambiente é . Suponha que, em relação ao referencial do centro de massa, o movimento da molécula é apenas de rotação em torno do eixo.
Calcule a energia cinética de rotação da molécula em função do momento de inércia e da velocidade angular. Determine o momento de inércia.
Sabendo que a energia cinética de rotação é de , calcule a velocidade angular de rotação e o momento angular.
(R: ;)
Num modelo grosseiro duma molécula diatómica de Cloro , em rotação, os dois átomos de estão à uma da outra e giram em torno do seu centro de massa com uma velocidade angular . Determine a energia cinética rotacional duma molécula de Cloro sabendo que a sua massa molar é de . (R: )
A prensa à alavanca articulada OAB consiste das hastes e que ocupam o plano vertical, conforme a figura. A força foi aplicada à articulação A. Esta força fica no plano OAB. Que força de resistência do corpo comprimido compensa a força ? (R: )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. A extremidade A da haste lisa e homogénea AB, de comprimento igual a e cujo peso é , se apoia na parede vertical lisa, enquanto um dos seus pontos se apoia sobre a extremidade D de uma mesa fixa que se encontra à distância da parede, conforme a figura. Determinar o ângulo que é formado entre a haste e a mesa quando existe o equilíbrio. (R: )
Fig.8.11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11. As duas hastes idênticas e , as quais pesam e medem l de comprimento cada uma, podem girar livremente nas articulações A e B, conforme a figura. Elas foram unidas à terceira haste CD, disposta horizontalmente, através das articulações C e D. Esta terceira haste pesa e mede L de comprimento. Todo o sistema está em equilíbrio no plano vertical. Achar a reacção da articulação B, conhecendo o ângulo .
(R: 
 
 fig.8.12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ;)
12. Determinar a relação que existirá entre as forças e aplicadas ao sistema de duas barras articuladas de igual comprimento L que a figura a seguir representa, para que este fique em equilíbrio na posição mostrada na figura.
(R: )
 
Formalismos de Lagrange e de Hamilton:
Os formalismos de Lagrange e de Hamilton representam outras formas de analisar e descrever os sistemas mecânicos.
Estes formalismos diferem do formalismo de Newton pelo facto destes analisarem e descreverem sistemas mecânicos, exclusivamente, pela manipulação de grandezas escalares (funções escalares) num espaço configuracional (fictício), enquanto que o formalismo de Newton procura discutir e solucionar problemas mecânicos baseando-se no uso de grandezas vectoriais (força, momento linear, aceleração).
Os aspectos mais importantes deste capítulo são:
Número de graus de liberdade dum sistema de pontos materiais é o número de coordenadas independentes necessárias para determinar completa e univocamente a posição do sistema no espaço.
Para um sistema composto por N pontos materiais e sujeito à m ligações, o número de graus de liberdade k, é dado por: 
Chamam-se coordenadas generalizadas à quaisquer k grandezas independentes, que caracterizam completa e univocamente a posição de um sistema com k graus de liberdade.
De todos os caminhos possíveis entre as posições , o sistema move-se de tal modo que a integral possui um menor valor possível, ou seja , onde onde a função é o lagrangeano ou função de Lagrange para o sistema.
O integral escrito à cima chama-se acção.
O lagrangeano é dado pela diferença entre a energia cinética T do sistema e a sua energia potencial V, .
Fisicamente, a função de Lagrange representa o excesso de energia cinética do sistema.
Para os casos mais simples o princípio variacional conduz-nos à formulação da 2ª lei de Newton.
O princípio variacional pode ser usado para a dedução das equações de movimento de Lagrange para sistemas conservativos.
Para um sistema conservativo de k-graus de liberdade, as equações são obtidas através da relação:
Primeiras Integrais do Movimento:
Durante o movimento do sistema, as coordenadas
e velocidades generalizadas podem variar. Existem, no entanto grandezas que mantém o seu valor constante que são as integrais de movimento. A conservação de algumas dessas grandezas está ligada à certas propriedades do espaço e do tempo.
A lei de conservação de energia está relacionada à homogeneidade do tempo. De acordo com esta propriedade, se a função de Lagrange do sistema não depende explicitamente do tempo, então a energia mecânica do sistema se conserva: 
A lei de conservação do impulso está relacionada à homogeneidade do espaço. De acordo com esta propriedade, para uma translação do sistema, o lagrangeano (as propriedades mecânicas) do sistema físico permanece constante (não variam).
= constante
A lei de conservação do momento angular (momento do impulso) está relacionada à isotropia do espaço. De acordo com esta propriedade, para uma rotação do sistema como um todo no espaço, o lagrangeano (as propriedades mecânicas) do sistema não se altera (não se alteram): 
O formalismo de Lagrange nos dá k equações diferenciais do 2º grau.
Equações de Lagrange e Forças de Ligação:
Quando estamos interessados em determinar as forças de ligação que agem sobre o sistema é necessário incorporar multiplicadores de Lagrange nas equações de movimento de Lagrange.
Nesta perspectiva, o movimento dum sistema mecânico caracterizado por n coordenadas generalizadas e sujeito à m ligações será descrito pelo seguinte sistema de n equações:
As equações das ligações podem aparecer em uma ou combinação das seguintes formas:
No entanto, é mais frequente aparecerem na seguinte forma diferencial
As forças de ligação são dadas por: 
Equações de Lagrange para sistemas Gerais:
As equações de Lagrange para sistemas gerais (incluindo os não conservativos) podem ser deduzidas a partir do princípio de D´Alembert com auxilio do princípio dos deslocamentos virtuais.
As equações resultantes, incorporam as forças generalizadas e assumem o aspecto seguinte:
. Onde .
Se inclui tanto forças conservativas como não conservativas, as equações de Lagrange tomam a forma F
Onde F é a resultante das forças não conservativas.
Formalismo de Hamilton:
O método da determinação das equações de movimento através de coordenadas e impulsos generalizados chama-se formalismo de Hamilton.
A passagem dum sistema de coordenadas e velocidades generalizadas para o sistema de coordenadas e impulsos generalizados é feita através da transformação de Legendre
Isto significa que a função de Hamilton resulta da transformação de Legendre da função de Lagrange; na qual as velocidades generalizadas são substituidas pelos impulsos generalizados.
A função de Hamilton para um sistema de k graus de liberdade é dada por: 
A partir do Hamiltoniano são obtidas as equações de movimento de Hamilton, também chamadas equações canónicas:
Das duas equações, a 2ª é que nos dá a equação de movimento pois a 1ª não traz nada de novo.
Para um sistema de k-graus de liberdade, o formalismo de Hamilton nos dá 2.k equações diferenciais do 1º grau.
Se o Hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, a energia mecânica do sistema se conserva: 
.
4º Seminário
Considere um oscilador harmónico que realiza movimento unidimensional na horizontal. Determine a equação diferencial para o movimento do oscilador, usando:						(Sol. )
O princípio variacional de Hamilton (ou princípio de acção mínima).
O formalismo de Lagrange.
Uma máquina de atwood consiste de duas massas m1 e m2 (m1 > m2) ligadas por uma corda ideal inextensível e de massa desprezível de comprimento l que passa pela gola duma roldana de raio a e momento de inércia I. 
N.B o sistema tem um grau de liberdade e as coordenadas das massas satisfazem a equação de ligação 
										
Considere um pêndulo de massa m cujo ponto de suspensão, de massa M, se desloca sobre uma recta horizontal ao longo duma superfície sem atrito. 
a. Construa o lagrangeano para o sistema.
b. Determine as equações do movimento pelo formalismo de Lagrange.
 
 
 
 
O 
 
 M 
 
 
 x 
 
 
X 
 
 
φ
 
 
 
 
l
 
 
 y 
 
 m 
 
 
 
y
 ; 
Considere um objecto de massa m que se move sobre uma mesa, preso por um fio de comprimento l a outro objecto de massa M. Este último desloca-se na vertical. Considere o fio inextensível. 
 
 
 
 
 
 
Quantos graus de liberdade tem o sistema?
Construa o lagrangeano.
Como varia o lagrangeano do sistema quando o sistema gira em torno da vertical?
Escreva as equações de Lagrange do sistema.
Determine as integrais do movimento do sistema.
Sol: b.; d) 
 e 
Quando o carrinho da grua A se choca com o topo elástico B, a carga D, suspensa por uma barra, começa a oscilar. Escrever as equações diferenciais do movimento do sistema material, se é a massa do carrinho, é a massa da carga, l é o comprimento da barra, c é o coeficiente de rigidez da mola do topo B. Menosprezar as massas das rodas e todas as forças de resistência. Tomar por origem do eixo x a extremidade esquerda da mola deformada. Determinar o período das pequenas oscilações da carga quando o topo B está ausente. Menosprezar a massa da haste.
 
 
 
x
 
 
 
 
Solução: 
; 
Escrever a equação do movimento do pêndulo composto pelo ponto material de massa m suspenso por um fio, cujo comprimento varia segundo uma lei arbitrariamente dada .
Solução: 
O ponto de suspensão do pêndulo composto pelo ponto material de massa m, suspenso por um fio inextensível que mede l de comprimento, se desloca de acordo com a lei dada por uma recta inclinada que forma um ângulo α com o horizonte. Escrever a equação do movimento do pêndulo.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sol: 
Construa a função de Hamilton para uma partícula em queda livre num campo gravitacional uniforme e a partir dela obtenha as equações canónicas do movimento da partícula.
O ponto material que possui a massa m foi suspenso, mediante a haste imponderável de comprimento l, de uma articulação plana, cujo eixo horizontal gira em torno da vertical à velocidade angular ω, conforme ilustrado na figura. Escrever a função de Hamilton e as equações canónicas do movimento do ponto.
 
 
 O
 
 
 
 
Solução: 
Um disco homogéneo que possui o raio R e a massa M pode girar em torno de seu eixo horizontal O. O ponto material que possui a massa m foi suspenso do disco com a ajuda do fio AB que mede l de comprimento.
Escrever as equações do movimento do sistema 1º usando o formalismo de Lagrange, 2º usando o formalismo de Hamilton
Escreva as equações do movimento do sistema, pelos formalismos anteriores, considerando
que o disco gira à uma velocidade angular constante . 
Dinâmica de pequenas oscilações
Estabilidade do equilíbrio:
Para que um sistema de um grau de liberdade esteja em equilíbrio é necessário que 
O equilíbrio dum sistema de vários graus de liberdade é garantido se onde -
A estabilidade do equilíbrio dum sistema com um grau de liberdade é obtida discutindo-se o sinal .
Se a segunda derivada da energia potencial é positiva quando avaliada na posição de equilíbrio, então esta posição é de equilíbrio estável, e nela possui o valor mínimo.
Para um sistema de vários graus de liberdade é necessário analizar o sinal da forma quádrica:
Se a forma quadrática for positiva definida (zero ou positiva) para todos os valores das coordenadas generalizadas, então a configuração de equilíbrio é estável.
Equação do movimento;
Para um sistema com um grau de liberdade, que oscila em torno da sua posição de equilíbrio estável, a equação que descreve o movimento do sistema pode ser obtida a partir do formalismo de Lagrange usando a expressão:
Por conseguinte, a equação do movimento assume a forma:
A frequência angular das osclações é dada por: 
Para um sistema de n graus de liberdade a energia potencial e a energia cinética são formas quadráticas das coordenadas generalizadas e velocidades generalizadas, respectivamente:
 e 
A equação do movimento é obtida na forma; que corresponde à equação na forma de matrizes 
Para obter os auto-vectores e os autovalores é preciso resolver a equação aos auto-valores ou seja 
A solução não trivial se obtém quando 
Seminário 5
1.Uma partícula de massa m realiza um movimento unidimensional com as seguintes funções de energia potencial:
Onde todas as constantes são reais e positivas. Determine a posição de equilíbrio para cada caso e classique o tipo de estabilidade.
Uma partícula se move ao longo do eixo ox com energia potencial , onde todas as constantes são positivas. Determine a posição de equilíbrio e mostre que o equilíbrio é estável.
	
	Considere uma barra de massa desprezível tendo duas esferas nas extremidades, podendo girarem torno de um ponto fixo O, e sujeita à acção da força de gravidade.
 
 
 
 
 O 
 θ 
 
 
Construa a função de Lagrange do sistema.
Determine a equação do movimento do sistema a partir das equações de Lagrange.
Obtenha a equação do movimento do sistemaa partir da relação fundamental da dinâmica de rotação dum sistema, isto é, .
Mostre que existem três pontos de equilíbrio para o sistema e discuta a estabilidade de cada um deles em função das massas das esferas.
Se o sistema efectuar pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estável determine a frequência angular das oscilações.
Escreva as equações do movimento e determine a frequência angular das pequenas oscilações do pêndulo elíptico composto da corrediça de massa , que desliza sem atrito por um plano horizontal , e da esfera de massa , unida à corrediça mediante a barra AB, de massa desprezível, que mede l de comprimento e oscila no plano vertical. 
 0 
 
 
 
 
 Fig.10.7
 
 
 
 
Considere dois osciladores idênticos ligados entre si através de uma mola de constante elástica , conforme ilustra a figura, e cujo movimento se confina a uma linha. Determine as autofrequências correspondentes aos modos de vibração e exprime o m ovimento do sistema em coordenadas normais.
 
 
 
 
 
 ´
´´´
Uma partícula se move em duas dimensões e a sua energia potencial é dada por onde k é uma constante positiva. Mostre que existe uma posição de equilíbrio. Classifique o equilíbrio.
No sistema de dois osciladores idênticos acoplados referidos na actividade da lição 3, um dos osciladores inicia o movimento com amplitude , enquanto o outro está em respouso na posição de equilíbrio, de tal modo que as condições iniciais são . Mostre que a amplitude da componente simétrica é igual a amplitude da componente antisimétrica e que a solução completa pode ser expressa da seguinte forma: 
 onde e . Deste modo, se o acoplamento for fraco de forma que , então será muito menor e igual a e Δ é uma grandeza de valor muito reduzido. Por consequência, sob as condições iniciais referidas à cima, o 1º oscilador irá, eventualmente, se imobilizar enquanto o 2º oscilador oscila com amplitude . Mais tarde, o sistema irá voltar ao estado inicial, e assim por diante. Portanto a energia passa de um oscilador para o outro, entre os dois osciladores, indefinidamente.
Encontre as autofrequências para o sistema de osciladores harmónicos acoplados referidos no problema nº 2, para o caso geral em que as duas partículas têm massas diferentes e as molas têm constantes de elasticidades diferentes. Em particular, encontre as frequências para o caso em que . Exprime o resultado em termos da grandeza .
Solução: As autofrequências são as soluções da equação 
Um pêndulo consiste do dado de massa que desliza sem atrito pelo plano horizontal e da esferinha de massa que foi unida ao dado pela haste de comprimento l que pode girar em torno do eixo que está ligado ao dado. A mola de rigidez C tem uma extreimidade unida ao dado e outra extremidade fixada rigidamente. Determinar as frequências das pequenas oscilações do sistema.
 
C
 
 
 
 l
 
 
 m
Soluções: As autofrequências são as soluções da equação 
Bibliografia
	
	Fowles, G.R.; Cassiday, G.L.(1999). Analytical Mechanics.Brooks/cole Thomson Learning. 6th Edition. Austrália. 
Landau, L; Lifshitz, E. (1978). Física Teórica. Editora Mir. Moscovo
Maia, N. (2000). Introdução à Dinâmica Analítica. IST Press. Lisboa.
Mechtcherski, I.V. (1986). Problemas de Mecânica Teórica. Editora Mir. Moscovo.
Moore, E.N. (1983). Theoretical Mechanics. JohnWiley & Sons. N.Y.
	
	
Noronha, A.; Brogueira, P. (1997). Exercícios de Física. McGraw-Hill. Lisboa
Starjinski, V.M. (1986). Mecânica Teórica. Editora Mir. Moscovo