Metodos Diretos

Prévia do material em texto

Métodos Diretos
Análise de Estabilidade 
Transitória
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
Estabilidade Transitória - Grandes 
Perturbações
Exemplo Simples:


DPPM em )(

   sen
x
VV
P Ge
Pêndulo com Torque cte
aplicado al eixo
Função de Lyapunov ou Função Energia:
  )(
2
,
2


 pVMV
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
2
Divisão do Problema:


DPPM prem )(



DPPM fem )(



DPPM pfem )(

Pré-Falta:
• Situação de Equilíbrio
Falta:
• Curto-Circuito
• 0t tab
Pós-Falta:
• Disjuntor Aberto
• tabt 
Tem
p
o
Estabilidade Transitória - Grandes 
Perturbações
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
3
Estabilidade Transitória - Grandes 
Perturbações
tab=0,30s
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
4
Estabilidade Transitória - Grandes 
Perturbações
tab=0,37s
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
5
Motivação para o Desenvolvimento 
de Métodos Diretos
• Necessidade de Monitoramento e 
Avaliação de Segurança Dinâmica em 
Tempo Real
– Incertezas: 
• Gerações Intermitentes
Motivação
Normal
Emergência
AlertaRestaurativo
Blecaute
Análise de Segurança Dinâmica em 
Tempo Real
• Número de Contingências Elevado
• Método Clássico não atende os requisitos de 
tempo para avaliação de estabilidade em tempo 
real.
Dimensão do Problema: Sistema 1000 barras, 3000 linhas de 
transmissão e 100 geradores:
Curto em barra + elimina linha: 6000 contingências a serem analisadas 
para cada ponto de operação.
Método Clássico (Integração Numérica): 1 min. p/ cada contingência: 
100 horas (Inapropriado p/ aplicações em tempo real).
Motivação
Motivação para o Desenvolvimento 
de Métodos Diretos
• Informações de 
Estabilidade s/ a Resolução 
das Equações Diferenciais 
(Velocidade)
• Métodos Baseados em 
Função Energia
Motivação
Motivação para o Desenvolvimento 
de Métodos Diretos
• Método Clássico
Não há limite de 
modelagem (Exato); 
Esforço Computacional 
Elevado;
• Métodos Diretos
Modelagem -> Existência 
de Função Energia
Esforço Computacional 
Baixo a Médio
Energia (Medida de 
Margem)
Classificação
Controle
Funções Energia Generalizadas
IEEE TPWRS 2003 e 2005 – Função Energia para Sistemas com Perdas
Classificação e Filtragem de 
Contingências
Modelo Simples
Métodos Rápidos
Modelos Detalhados
Métodos Lentos
Relação Custo - Benefício: 
Custo Computacional x Detalhes do Modelo
Motivação
11
Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade
 Integração Numérica
Não há limite de modelagem (Precisão); 
Esforço Computacional Elevado;
Última Etapa de Filtragem
Sistemas Inteligentes, Redes Neurais
Esforço Computacional Pequeno; 
Requer retreinamento em caso de Mudança de Topologia
Métodos Diretos
Energia (Medida de Margem Indireta)
Esforço Computacional Baixo a Médio
Primeiras etapas de filtragem
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
12
Requisitos de Filtros Classificadores:
1. Confiabilidade 
2. Eficiência
3. Adaptabilidade en tempo real
4. Velocidade
5. Robustez 
Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade
 Integração Numérica
Não há limite de modelagem (Precisão); 
Esforço Computacional Elevado;
Última Etapa de Filtragem




×
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
13
Sistemas Inteligentes, Redes Neurais
Esforço Computacional Pequeno; 
Requer retreinamento em caso de Mudança de Topologia
Requisitos de Filtros Classificadores:
1. Confiabilidade 
2. Eficiência
3. Adaptabilidade em tempo real
4. Velocidade
5. Robustez 

×
×
×
Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
14
Métodos Diretos
Energia (Medida de Margem Indireta)
Esforço Computacional Baixo a Médio
Primeiras etapas de filtragem
Requisitos de Filtros Classificadores:
1. Confiabilidade 
2. Eficiência 
3. Adaptabilidade em tempo real
4. Velocidade
5. Robustez 




×
Métodos para Avaliação da Margem de Estabilidade
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
Fundamentos dos Métodos Diretos
• Apoiam-se na teoria da 
região de estabilidade
de sistemas dinâmicos 
não lineares
Fundamentos
• Histórico:
– (1947) Magnusson; (1958) Aylett
• Aplicação dos resultados de Lyapunov 
em SEP
• Critério das Áreas Iguais
– (Década de 60) 
• Busca por Funções de Lyapunov
– (1978~1984) Naoto Kakimoto
• PEBS, Ponto de Equilíbrio de Controle
– (Anos 90) H.-D. Chiang 
• Fundamentos dos Métodos Diretos
• Caracterização da Região de 
Estabilidade
Pontos de equilíbrio assintoticamente estáveis de 
sistemas não lineares não são, em geral, 
globalmente assintoticamente estáveis.
Região de Estabilidade
Fundamentos
Região de Estabilidade
Fundamentos
  1 CfRxxfx n 
sx
ponto de eq. assint. estável
Região de estabilidade:
)()( ARAxA ns  
Aberto, conexo e invariante
Fechado e invariante
Fronteira da Região de Estabilidade:
  txxtRxxA sns as ),(:)( 
Fundamentos
Região de Estabilidade
Região de Estabilidade
• Região de Estabilidade
– Área de Atração
– Bacia de Atração
– Região de Atração
• Fronteira da Região de Estabilidade
– Separatriz
Fundamentos
Região de Estabilidade e o Problema 
de Estabilidade Transitória
Algoritmo Conceitual:
• Verificar a existência de um ponto de
equilíbrio assintoticamente estável xs do
sistema pós-falta.
• Calcular/Estimar a região de estabilidade
A(xs) do p.e. xs do sistema pós-falta.
• Verificar se a trajetória do sistema em
falta, no tempo de abertura tab, xf(tab)
pertence a A(xs).
ab
ab
t t)(
tt0 )(
0 t)(



xfx
xfx
xfx
pos
f
pre



Para cada contingência:
Fundamentos
21
Função Energia
Estimativa da Região de Estabilidade
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
22
Função Energia
Estimativa da Região de Estabilidade
Algoritmo Numérico
Calcular a Energia Crítica 
Vcr;
Integrar numericamente o 
sistema em falta, xf(t);
Se V(xf(tab))<Vcr , então 
o sistema é estável;
Algoritmo Conceitual
Calcular/Estimar a Região 
de Estabilidade A(xs);
Integrar numericamente o 
sistema em falta, xf(t);
Se xf(tab) pertence à região 
de estabilidade A(xs), 
então o sistema é estável;
Como calcular a Energia Crítica Vcr?
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
23
Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade
Pontos de Equilíbrio Hiperbólicos:
x Ax
( ), ( ) 0ox f x f x 
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
24
Suposições:
 Os Pontos de Equilíbrio são hiperbólicos;
 Condição de Transversalidade;
 Todas as Trajetórias na fronteira da região de estabilidade 
convergem para um ponto de equilíbrio.
( )
( ) ( )
i s
s
s i
x A x
A xW x

 
Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
25
( )
( ) ( )
i s
s
s i
x A x
A x W x

 
Pontos de Eq. Hiperb. Do Tipo 1
Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
26
Função Energia e a Fronteira da Região de Estabilidade
( ) 0V x 
V(x(t)) limitado para t>0 x(t) é limitado para t>0
( ( )) 0V x t 
Se em um intervalo de tempo, então x(t)=xeq
Os pontos de equilíbrio hiperbólicos do tipo 1 são mínimos locais 
da função energia na fronteira.
Existe um mínimo global da função energia na fronteira
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
27
CLOSEST UNSTABLE EQUILIBRIUM POINT METHOD
Algoritmo Closest:
Calcular todos os 
equilíbrios instáveis xi, 
i=1,2,....,neq na fronteira 
da região de estabilidade;
Vcr=min V(xi)
Integrar numericamente o 
sistema em falta, xf(t);
Se V(xf(tab))<Vcr , então 
o sistema é estável;
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
28
As Desvantagens do Closest Method:
Número de Equilíbrios Instáveis é 
Muito Grande
Quantos equil. existem?
Qual é a localização aproximada 
destes equilíbrios?
Resultados Muito Conservadores.
CLOSEST UNSTABLE EQUILIBRIUM POINT METHOD
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
29
Ponto de Equilíbrio Instável de Controle - CUEP
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
30
Ponto de Equilíbrio Instável de Controle - CUEP
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
31
Método BCU – Algoritmo para o Cálculo do CUEP
Algoritmo BCU:
Calcular o primeiro ponto de máxima energia potencial, xex, na
trajetória do sistema em falta;
Integrar numericamente o sistema gradiente com condição
inicial xex;
Calcular uma aproximação do CUEP;
Calcular o CUEP, denotado xco;
Vcr=V(xco)
Integrar numericamente o sistema em falta, xf(t);
Se V(xf(tab))<Vcr , então o sistema é estável;
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
32
Método BCU – Algoritmo para o Cálculo do CUEP
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
1
3
2
Pm1=2.49
Pm3=8.20
Pm2=4.21
j0.26
j0.0806
j0.46
j0.015
j0.088
j0.05
12.4+j2.5
1.0+j0.3
1.5+j0.45
1 0
o
1 15
o
1 15
o
M=0.318
M=0.079
M=0.053
Sistema 3 geradores:
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
34
PEBS – Potential Energy Boundary Surface
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
35
Bacia de Energia – Sistema 3 Geradores
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
36
Método PEBS – Potential Energy Boundary Surface
Algoritmo PEBS:
Calcular o primeiro ponto de máxima energia potencial xex na 
trajetória do sistema em falta;
Vcr=V(xex)
Integrar numericamente o sistema em falta, xf(t);
Se V(xf(tab))<Vcr , entâo o sistema é estável;
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
37
Método PEBS – Potential Energy Boundary Surface
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
38
Dados em tempo real
Topologia
da
rede
Lista 
de
Contingências
Estimador de Estados
Filtros
Preliminares
Filtros
PEBS e BCU
Contingências
estáveis
Contingências
instáveis
Contingências instáveis
e
Casos incertos
Simulação 
Computacional
no domínio
do tempo
Classificadores PEBS e BCU para Análise de Contingências
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
39
Sistema Sul Brasileiro - 45 barras, no qual 35 do tipo PQ, 9 do tipo PV e uma barra slack.
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
Divisão do Problema:


DPPM prem )(



DPPM fem )(



DPPM pfem )(

Pré-Falta:
• Situação de Equilíbrio
Falta:
• Curto-Circuito
• 0t tab
Pós-Falta:
• Disjuntor Aberto
• tabt 
T
e
m
p
o
Aplicações
Sistema de Uma Máquina versus 
Barramento Infinito
Aplicações
tab=300ms
Sistema de Uma Máquina versus 
Barramento Infinito
Aplicações
tab=370ms
Sistema de Uma Máquina versus 
Barramento Infinito
1
3
2
Pm1=2.49
Pm3=8.20
Pm2=4.21
j0.26
j0.0806
j0.46
j0.015
j0.088
j0.05
12.4+j2.5
1.0+j0.3
1.5+j0.45
1 0
o
1 15
o
1 15
o
M=0.318
M=0.079
M=0.053
Ponto de Saída
Ponto Eq. de Controle
Método BCU 
tca=197ms
Aplicações
Sistema de 3 Geradores
39 barras
10 geradores
46 linhas de transmissão
92 contingências
Aplicações
Sistema New England
Método Tempo (s)
Clássico (Int. Numérica) 324.942
Classificadores BCU 26.392
Software Desenvolvido no LACOSEP
Edson Theodoro – Mestrado (2009)
Raphael Fortulan – IC (Em andamento)
45
Referencias Bibliográficas
Livros:
N. G. Bretas, L. F. C. Alberto, “Estabilidade Transitória em Sistemas Eletroenergéticos”, 
Projeto Reenge, Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 2000
H.-D. Chiang, “Direct Methods for Stability Analysis of Electric Power Systems: 
Theoretical Foundations, BCU Methodologies and Applications” Wiley, 2011
Teses:
L. F. C. Alberto, “O Princípio de Invariância de LaSalle Estendido Aplicado ao Estudo 
de Coerência de Geradores e à Análise de Estabilidade Transitória Multi-Swing”, Tese de 
Doutorado – Universidade de São Paulo – Escola de Engenharia de São Carlos, 2000
L. F. C. Alberto, “Characterization and Estimates of the Stability Region of Nonlinear 
Dynamical Systems (in portuguese)”, Livre-Docencia Thesis at EESC-University of Sao 
Paulo (USP), Brazil, 2006.
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
46
Referências Bibliográficas
Artigos na Área:
L. F. C. Alberto, H. D. Chiang, “Uniform Approach for Stability Analysis of Fast 
Subsystem of Two-Time Scale Nonlinear Systems”, International Journal of Bifurcation 
and Chaos in Applied Sciences and Engineering. , v.17, p.4195 - 4203, 2007.
R. B. L. Guedes, L. F. C. Alberto, N. G. Bretas, “Power System Low-Voltage Solutions 
Using an Auxiliary Gradient System for Voltage Collapse Purposes”, IEEE Transactions 
on Power Systems. , v.20, p.1528 - 1537, 2005.
F. H. J. R. Silva, L. F. C. Alberto, J. B. A. London Jr, N. G. Bretas, “Smooth perturbation on 
a classical energy function for lossy power system stability analysis”, IEEE Transactions 
on Circuits and Systems I-Fundamental Theory and Applications. , v.52, p.222 - 229, 
2005.
N. G. Bretas, L. F. C. Alberto, “Lyapunov Function for Power System with Transfer 
Conductances: Extension of the Invariance Principle”, IEEE Transactions on Power 
Systems. , v.18, p.769 - 777, 2003.
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo
47
Papers Chiang:
 H. D. Chiang, M. W. Hirsch and F. F. Wu, “Stability region of nonlinear autonomousdynamical systems”, IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 33, n. 1, pp. 16-27, Jan 1988.
 H. D. Chiang, F. F. Wu and P. P. Varaya, “Foundations of direct methods for power
system transient stability analysis”, IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. CAS-34, n.2,
Feb 1987.
 H.-D. Chiang, F. F. Wu, and P. P. Varaiya, “A bcu method for direct analysis of power
systems transient stability”, IEEE Trans. on Power Systems, 9(3):1194–1208, August
1994.
 H. D. Chiang, C. S. Wang, A. J. Flueck, “Look-Ahead Voltage and Look Margin
Contingency Selection Function for Large Scale Power Systems”, IEEE Trans. on Power
Systems, v.12, n.1, Feb. 1997
Referências Bibliográficas
Prof. Luís Fernando Costa Alberto – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo