POS EDO lista5

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5
a
Lista de exerc´ıcios
(1) Achar Mλ(A) onde
A =


0 −1 1
2 −3 1
1 −1 −1

 e A =


−1 1 0
0 −1 0
1 −1 −1

 ,
para cada λ = autovalor de A.
(2) Considere o sistema 
x˙ = −x + yy˙ = −x− y.
(a). Analise a estabilidade via autovalores
(b). Prove o mesmo fato ajustando uma func¸a˜o de Liapunov para o sistema
(c). Use a mesma func¸a˜o de Liapunov para estudar a estabilidade da origem de
x˙ = −x+ y + xyy˙ = −x− y − x2 − y3.
(3) Demonstrar que a soluc¸a˜o (x, x˙) = (0, 0) de x¨ + αx˙ + βx = 0 e´ assintoticamente
esta´vel, usando funcionais de Liapunov, onde β, α > 0.
(4) Seja
x˙ =
(
−1 0
0 1
)
x+
(
x21
0
)
+ f(x),
onde f(x) = O(|x|3). Calcule a variedade esta´vel ate termo de ordem dois.
(5) Encontre os pontos cr´ıticos e discuta a estabilidade dos mesmos, para
x˙ = y − xy˙ = −x− x2.
(6) Dada a equac¸a˜o x˙ = Ax encontrar as variedades esta´vel e insta´vel da origem onde,
A =


−2 1 −1
0 −7 10
0 −5 8


(7) Sejam A matriz real n× n, tal que A na˜o tem autovalores com parte real zero e
f : R → Rn cont´ınua e limitada em R. Mostre que a equac¸a˜o x˙ = Ax+ f(t) tem
uma u´nica soluc¸a˜o limitada em R e essa soluc¸a˜o e´ dada por
x(t) =
∫
t
−∞
eA(t−s)Π
−
f(s)ds+
∫
t
∞
eA(t−s)Π+f(s)ds
1
2
onde Π
−
, Π+ sa˜o, respectivamente, as projec¸o˜es sobre a variedade esta´vel e insta´vel
de x˙ = Ax.
(8) Mostrar que a origem do sistema
x˙ = −x− 2y
2
y˙ = xy − y3
e´ assintoticamente esta´vel.
(Sugesta˜o: Ajustar a func¸a˜o de Liapunov da forma V (x, y) = x2 + ay2.)
(9) Ajustar a func¸a˜o V (x, y) = x2 − xy + by2 de modo a provar a instabilidade da
origem para 
x˙ = −x+ yy˙ = −4x+ 3y.
c©German Lozada-Cruz
Departamento de Matema´tica
IBILCE-UNESP-SJRP
4 de novembro de 2008