Métodos da Física-Matemática. Parte I: Equações Diferenciais Ordinárias

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Métodos da F́ısica-Matemática.
Parte I: Equações Diferenciais
Ordinárias
Viatcheslav I. Priimenko
7 de dezembro de 2014
Prefácio
O presente livro tem o objetivo de servir como um complimento bibliográfico
para a disciplina Métodos da F́ısica-Matemática I&II, ministrada no Curso de
Engenharia de Petróleo do Laboratório de Engenharia e Exploração de Petróleo
- LENEP do Centro de Ciencia e Tecnologia - CCT da Universidade Estadual do
Norte Fluminense Darcy Ribeiro - UENF. Além disso, acredito que ele também
possa ser um suporte bastante didático para várias outras disciplinas ministra-
das na UENF, bem como em outras instituições de ensino superior.
1
Caṕıtulo 1
Introdução
Neste livro tratam-se equações diferenciais ordinárias, ou seja, relações entre
uma função não conhecida, suas derivadas e variaveis independentes. Equação
constrúıda usando derivadas com respeito de várias variáveis, chama-se equação
diferençial parcial. Equação constrúıda usando derivadas com respeito de uma
variável independente somente, chama-se equação diferencial ordinária. Estudo
das propriedades e métodos da solução das equações diferenciais ordinárias é o
objeto principal deste livro.
1.1 Conceitos básicos
A variável independente, usada na construção de uma diferencial, usualmente
marca-se com letra x (ou letra t , porque em vários casos a variável independente
caracteriza o tempo). A funçào desconhecida é marcada como y(x).
Uma equação diferencial ordinária pode ser escrita na seguinte forma
F (x, y,
dy
dx
, . . . ,
dny
dxn
) = 0 . (1.1)
Ordem de mais alta derivada que aparece na Eq.(1.1) determina ordem de
equação diferencial. Uma equação diferencial ordinária da primeira ordem tem
a seguinte forma
F (x, y,
dy
dx
) = 0 (1.2)
e é uma relação entre uma função desconhecida y(x), sua derivada dydx e a variável
independente x. As vezes Eq.(1.2) pode ser escrita na seguinte forma
dy
dx
= f(x, y) , (1.3)
onde f é uma função de duas variáveis dada. A Eq.(1.3) chama-se equação
diferencial da primeira ordem, resolvida com respeito à primeira derivada.
3
4
Além das Eqs.(1.1)-(1.3) para funções de uma variável só, consideram-se sis-
temas de equações diferenciais ordinárias. Um sistema de equações da primeira
ordem, resololvidas com respeito às primeiras derivadas
dyi
dx
= fi(x, y1, . . . , yn) , i = 1, . . . , n , (1.4)
chama-se sistema normal. Em termos de funções vetoriais y = (y1, . . . , yn),
f = (f1, . . . , fn), podemos re-escrever o sistema (1.4) na forma vetorial
dy
dx
= f(x,y) . (1.5)
Fácil mostrar, que a equação de ordem n (1.1) resolvida com respeito a derivada
de ordem mais alta
dny
dxn
= f(x, y,
dy
dx
, . . . ,
dn−1y
dxn−1
) , (1.6)
pode ser representada na forma vetorial. Realmente, introduzimos as seguintes
notações
y(x) = y1(x) ,
dy
dx
=
dy1
dx
= y2(x) , . . . ,
dn−1y
dxn−1
=
dyn−1
dx
= yn(x) . (1.7)
Então, usando (1.7), a Eq.(1.6) pode ser representada na forma de um sistema
vetorial (1.5) com funções vetoriais
y = (y1, . . . , yn) , f = (y2, . . . , f) . (1.8)
Em Eqs.(1.1)-(1.5) a variavel independente considera-se real, embora as funções
desconhecidas podem ser como reais tanto complexas.
Qualquer função vetorial y(x) = (y1, . . . , yn), que depois de substituição no
sistema (1.5) torna ele numa igualdade, chama-se solução deste sistema. Como
uma regra, se uma equação (sistema) diferencial ordinária é resolvivel, então ela
possui um número infinito das soluções.
Exemplo 1.1. Se C for uma constante e y(x) = Ce2x, então
dy
dx
= C(2e2x) = 2(Ce2x) = 2y .
Assim, cada função y(x) desta forma é uma solução da equação diferencial
dy
dx
= 2y
para qualquer x ∈ R. Então a função y(x) = Ce2x define um conjunto infinito de
soluções diferentes para esta equação diferencial, uma para escolha da ”constante
arbitrária”C, ver Fig.1.1.
5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
X
Y
 
 
C=1
C=2
C=3
C=4
Figura 1.1: Gráficos da solução y(x) para C=1,2,3 e 4.
Usualmente consideram-se sistemas (1.5) com função vetorial f(x,y)=(f1, . . . , fn)
cont́ınua num domı́nio D ⊆ Rn+1. É óbvio, que neste caso a solução y é uma
função vetorial cont́ınua com primeira derivada cont́ınua também, ou seja, os
componentes da solução yi ∈ C1, i = 1, . . . , n. Mas as vezes em aplicações
é preciso considerar equações diferenciais, onde partes direitas delas (funções
fi) possuem discontinuidades, portanto as soluções também terão derivadas dis-
cont́ınuas. Então é natural considerar, como solução do sistema (1.5), funções
vetoriais cont́ınuas com derivadas cont́ınuas por partes. Tal solução natural-
mente chamar solução generalizada.
Qualquer solução y do sistema (1.5) pode ser interpretada geometricamente
como uma curva em espaço (n + 1)-dimensional de variáveis x, y1, . . . , yn, cha-
mada curva integral. O subespaço de variáveis y1, . . . , yn chama-se espaço de
fase, e a projeção da curva integral no espaço de fase chama-se trajectoria de
fase.
Em qualquer ponto D o sistema (1.5) (Eqs.(1.4)) defina uma direção, deter-
minada pelo vetor τ = (1, f1, . . . , fn). Tal domı́nio com a direção definida em
cada ponto, chama-se campo de direções. A solução do sistema (1.5) geometrica-
mente interpreta-se como construção das curvas com direção de linhas tangentes
iguais em cada ponto à direção τ , definida pela parte direita do sistema.
Exemplo 1.2. Consideremos a equação diferencial ordinária da primeira ordem
dy
dx
= 2y .
Neste caso f(x, y) = 2y e o campo de direções é definido pelo vetor τ = (1, 2y)
em qualquer ponto (x, y) ∈ R2. Usando MATLAB podemos plotar o seguinte
campo de direções, ver Fig.1.2.
Como podemos ver no Ex.1.1, a solução de uma equação diferencial ordinária
da primeira ordem depende de uma constante arbitrária C. De modo geral,
podemos dizer, que a solução de um sistema de n equações diferenciais ordinárias
da primeira ordem (1.5) depende de n constantes arbitrárias C1, . . . , Cn
y = y(x,C1, . . . , Cn) . (1.9)
6
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
X
Y
Figura 1.2: Campo de direções.
Tal solução chama-se solução geral do sistema (1.5). Portanto, uma equação
diferencial tem, de modo geral, um número infinito das soluções. Por isso, in-
tegrando (resolvendo) sistema (1.5), achamos um número infinito das curvas
integrais (soluções), que pertençam ao domı́nio de definição de parte direita
do sistema (1.5)). Para separar uma certa curva integral, que representa as-
sim chamada solução particular do sistema (1.5)), é necessário definir algumas
condições adicionais. Em vários casos tais condições são as condições iniciais,
definidas pelas seguintes fórmulas
y(x0) = y0 ≡ (y01 , . . . , y0n) , (1.10)
definindo tal ponto do espaço (n + 1)-dimensional das variáveis x, y1, . . . , yn
através qual passa dada curva integral (solução).
O problema de construção da solução do sistema (1.4) com as condições
iniciais (1.10) chama-se problema de valor inicial ou problema de Cauchy.
No caso mais simples de uma equação só (1.3) a função f(x, y), (x, y) ∈
D ⊆ R2, determina o campo de direções neste domı́nio D. Este campo em
qualquer ponto (x, y) ∈ D é definido pelo vetor τ = (1, f(x, y)) com ângulo de
inclinação α : tanα = f(x, y). Neste caso, a solução do problema de Cauchy
com a condição inicial y(x0) = y0 consiste em construção no domı́nio D de uma
curva integral y = y(x), que sai do ponto inicial (x0, y0) e para qual o valor
f(x, y) determina o ângulo de inclinação da linha tangente constrúıda em cada
ponto (x, y) ∈ D.
Exemplo 1.3. Dada a solução geral y = 1C−x , onde C é uma constante, da
equação diferencial dydx = y
2, resolva o problema de valor inicial
dy
dx
= y2 , y(1) = 2 .
Solução. Só precisamos encontrar um valor de C para que a soluçãoy = 1C−x
satisfaça a condição inicial y(1) = 2. A substituição dos valores x = 1, y = 2 na
solução forneçe
2 = y(1) =
1
C − 1
,
7
de modo que 2C − 2 = 1, e logo C = 3/2. Com este valor de C obtemos a
solução desejada
y(x) =
2
3− 2x
.
Existem outras condições adicionais que permitem definir uma certa solução
do sistema (1.5). Tais condições são: assim chamados problemas de valores
de contorno, onde a solução particular satisfaz condições formuladas em pon-
tos diferentes do domı́nio de definição da solução; problemas de autovalores;
problemas de busca das soluções periódicas, etc.
1.2 Problemas da f́ısica e equações diferenciais
ordinárias
Neste seção serão considerados alguns exemplos t́ıpicos da F́ısica e Mecânica,
quais estudo usando métodos da F́ısica-Matemática leva até investigação de
equações diferenciais.
Decaimento radioativo
Radioatividade é uma propriedade caracteŕıstica de substâncias cujos átomos
experimentam decomposição expontânea. Tais substâncias podem existir em
isótopos, ”radioativos”instáveis ou na forma estável. O decaimento usualmente
ocorre em uma taxa de variação constante. Como os átomos diminuem, a taxa
de variação da massa do isótopo radioativo é simplesmente proporcional a massa
presente.
Inicialmente definimos as variáveis do problema e forneçemos alguns dados
relevantes. Seja t = tempo desde de ińıcio do experimento, e m(t) = massa do
isótopo radioativo.
A massa do isótopo radioativo é sempre um número positivo mas, como o
tempo, ele torna-se pequeno quanto mais e mais a substância é convertida em
material não radioativo estável. Recorde o fato de que a taxa de variação da
massa dmdt do isótopo radioativo é proporcional a massa m em um dado tempo.
Aqui temos que a massa é decrescente. Isto significa que a derivada, dmdt é
negativa, o que implica que a constante de proporcionalidade deve ser negativa.
Escrevemos:
dm
dt
= −km . (1.11)
A solução da Eq.(1.11) é:
m(t) = m0e
−kt , (1.12)
onde a constante m0 > 0 caracteriza a massa do isótopo radiativo no tempo
inicial t = 0. Observe que quando t→∞ a função m(t)→ 0. Alguns membros
desta famı́lia de funções (para vários valores de m0) são mostrados na Fig.1.3 a
seguir.
8
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Tempo
 
 
m0=0.1
m0=0.2
m0=0.3
m0=0.4
Figura 1.3: Solução da Eq.(1.11) para vários valores de m0.
Oscilação de uma mola
Um corpo de massa m é conectado a uma mola de comprimento l e constante
elástica k > 0, provocando um deslocamento s na mola, atingindo o equiĺıbrio.
Após o equiĺıbrio, se a massa for deslocada de uma distância x e solta, teremos
um movimento harmônico simples, ver a Fig.1.4. Pela segunda Lei de Newton
F = ma. Como a = d
2x
dt2 teremos:
m
d2x
dt2
= −ks− kx+mg .
Mas como na posição de equiĺıbrio mg = ks, vem:
m
d2x
dt2
+ kx = 0 , (1.13)
Sujeito às condições iniciais
x(0) = x0,
dx
dt
(0) = x1 . (1.14)
Resolvendo as equações (1.13)-(1.14), teremos a equação do movimento
x(t) = x0 cos(
√
k
m
t) + x1
√
m
k
sin(
√
k
m
t) .
Observação 1.1. Quando tivermos uma força de resistência ao movimento,
devida ao meio ambiente, por exemplo, vamos supor que esta força seja propor-
cional à velocidade. Assim a equação (1.13) acima ficará:
m
d2x
dt2
+ α
dx
dt
+ kx = 0 , (1.15)
onde α > 0 é uma constante de proporcionalidade.
9
 
Figura 1.4: Oscilação de uma mola.
10
Caṕıtulo 2
Equações Diferenciais
Ordinárias de Primeira
Ordem (n = 1)
Este caṕıtulo trata de equações diferenciais de primeira ordem,
F (x, y,
dy
dx
) = 0 , (2.1)
onde F é uma função de três variáveis. De acordo com a definição, qualquer
função diferenciavel y(x), que satisfaça essa equação para todo x em algum
intervalo I ∈ R é dita uma solução, e nosso objetivo é determinar se tais funções
existem e, caso existam, desenvolver métodos para encontrará-las. Infelizmente,
para uma função arbitrária F não existe método geral para resolver a equação em
termos de funções elementares. Em vez disso, desenvolveremos vários métodos,
cada um dos quais é aplicável a determinado tipo de equaão de primeira ordem.
Neste caṕıtulo nos consideremos alguns mais simples e que tem ampla aplicação
na prática.
2.1 Métodos elementares da solução
Suponhamos que a Eq.(2.1) pode ser resolvida em relaço a derivada da primeira
ordem
dy
dx
= f(x, y) . (2.2)
Em vários casos em Eq.(2.2) as variáveis x, y são equivalentes. Isso explica o
fato de alguns estudiosos considerarem a equação
dx
dy
=
1
f(x, y)
(2.3)
11
12
e, também, a equação diferencial de primeira ordem, representada na seguinte
forma
f1(x, y)dy + f2(x, y)dx = 0 .
Equações separáveis
Definição 2.1. A equação
dy
dx
=
f1(x)
f2(y)
(2.4)
ou
f1(x)dx+ f2(y)dy = 0 (2.5)
chama-se equação separável.
Suponhamos que, por exemplo, a Eq.(2.5) tenha uma solução num domı́nio
D = {(x, y) ∈ R2 : |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}. As funções f1(x), f2(y) são
definidas e cont́ınuas em |x−x0| ≤ a e |y−y0| ≤ b respectivamente. Substituindo
essa solução em Eq.(2.5), obteremos uma igualdade que, após aplicarmos a
integração, transforma-se em∫
f1(x)dx+
∫
f2(y)dy = constante . (2.6)
Eq.(2.6) podemos re-escrever na seguinte forma
Φ(x, y) = C . (2.7)
A função Φ(x, y) tem valores constantes diferentes para as diferentes soluções
da Eq.(2.7).
Para cada constante C fixa, a Eq.(2.7) define uma solução impĺıcita y =
y(x) da Eq.(2.5). Se considerarmos C como um parâmetro, então a Eq.(2.7)
determina uma famı́lia de soluções y = y(x,C). A Eq.(2.7) chama-se integral de
uma equação correspondente. Se a Eq.(2.7) ou, ainda mais geral Φ(x, y, C) = 0,
onde a constante C é considerada como parâmetro, determina todas as soluções
da equação diferencial correspondente, então essa expressão chama-se integral
geral da equação diferencial, e a solução y = y(x,C) obtida usando esta equação
e que representa todas as soluções posśıveis, chama-se solução geral da equação
diferencial dada.
A expressão (2.6), obviamente, é a integral geral da Eq.(2.5). Para separar
uma solução particular da Eq.(2.5) determinada pela condição contorno
y(x0) = y0 , (2.8)
é suficiente na expressão da integral geral (2.6), representada da seguinte ma-
neira
x∫
x0
f1(x)dx+
y∫
y0
f2(y)dy = C1 ,
13
definir a constante C1. Usando o dado inicial (2.8) achamos o valor C1 = 0. Por
isso, determina-se a solução particular desejada implicitamente pela integral
x∫
x0
f1(x)dx+
y∫
y0
f2(y)dy = 0 . (2.9)
Várias equações diferenciais ordinárias de primeira ordem podem ser represen-
tadas como uma equação separavel. Por exemplo, a equação
f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy = 0 (2.10)
após a divisão por g1(y)f2(x) transforma-se na Eq.(2.5). É necessário saber, que
neste caso, podem ser perdidas soluções particulares x̃, ỹ: f2(x̃) = 0, g2(ỹ) = 0.
Exemplo 2.1. Resolva o problema de valor inicial
dy
dx
= −2xy , y(0) = 5 .
Solução Dividimos cada lado da equação diferencial por y (y 6= 0) e multipla-
camos cada lado por dx para obter
1
y
dy = −2xdx .
Então,
y∫
y0
dy
y
=
x∫
x0
(−2x)dx ⇒ ln | y
y0
| = −x2 + x20 ,
ou y = C exp (−x2), onde C = y0 exp (x20) (podemos ver que a solução y = 0
é incluida nesta representação com C = 0). Por isso esta função é a solução
geral da equação diferencial considerada. A condição y(0) = 5 fornece C = 5,
e, portanto, a solução desejada é
y(x) = 5 exp (−x2) .
Equações homogêneas
Consideremos agora equação
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 , (2.11)
onde as funções M(x, y), N(x, y) são funções homogêneas de mesmo grau.
Definição 2.2. Uma função f(x, y) chama-se homogênea de grau k, se f(tx, ty) =
tkf(x, y).
14
Observemos, que f(y/x) é uma função homogênea de grau zero. Represen-
tando a Eq.(2.11) na seguinte forma
dy
dx
= −M(x, y)
N(x, y), (2.12)
podemos ver que dadas as suposições sobre as funções M(x, y), N(x, y) a ex-
pressão à direita do sinal de igualdade na Eq.(2.12) é uma função homogênea de
grau zero e, consequentemente, fazendo a mudança z = y/x podemos reescrever
esta equação na forma (2.10).
Exemplo 2.2. Consideremos a equação
dy
dx
=
y − 4x
x− y
.
Podemos ver que a função f(x, y) = (y−4x/(x−y) é uma função homogênea de
ordem zero. Definindo uma nova variável independente z = y/x e substituindo-a
na equação diferencial, obtemos a seguinte equação diferencial resultante
z + x
dz
dx
=
z − 4
1− z
⇒ xdz
dx
=
z2 − 4
1− z
.
A última equação é separável.
Equações exatas e fatores de integração
A solução geral y(x) de uma equação diferencial de primeira ordem é frequen-
temente definida implicitamente por uma equação da forma
Φ(x, y) = C , (2.13)
onde C é uma constante. Por outro lado, dada a identidade em (2.13), podemos
construir a equação diferencial original diferenciando cada lado em relação a x
∂Φ
∂x
+
∂Φ
∂y
dy
dx
= 0 . (2.14)
A equação diferencial obtida é a equação cuja solução geral é dada pela formula
(2.13).
Exemplo 2.3. Consideremos uma função y(x) dada na forma impĺıcita
Φ(x, y, C) ≡ (x− 1)2 + (y + 2)2 − C = 0 , (2.15)
onde C = r20. Tal função representa um ćırculo com centro no ponto (x0, y0) =
(1,−2) e com raio r0. Diferenciando esta equação obteremos a seguinte equação
diferencial de primeira ordem
(x− 1) + (y + 2)dy
dx
= 0 ⇒ (x− 1)dx+ (y + 2)dy = 0 .
A última equação pode ser representada na seguinte forma d
(
(x−1)2+(y+2)2
)
=
0, quja solução geral é (x− 1)2 + (y + 2)2 = C. Considerando C = r20 obtemos
(2.15).
15
No caso de uma função impĺıcita y = y(x) dada na forma geral Φ(x, y, C) =
0, constroi-se a equação diferencial associada por meio da exclusão da constante
C do seguinte sistema
Φ(x, y, C) = 0 ,
∂Φ
∂x
+
∂Φ
∂y
dy
dx
= 0 .
Exemplo 2.4. Consideremos uma função y = y(x) dada na forma impĺıcita
Φ(x, y, C) ≡ x2−exp (Cy2) = 0. Diferenciando esta função em relação a variável
x, obteremos o seguinte sistema
x2 − exp (Cy2) = 0 , 2x− 2Cy exp (Cy2)dy
dx
= 0 .
Excluindo a constante C obteremos a equação
xy
dy
dx
= 1 ,
cuja solução geral justamente é Φ(x, y, C) ≡ x2 − exp (Cy2) = 0.
O exemplo (2.3) ilustra o fato que, se existe uma função Φ(x, y) tal que
∂Φ
∂x
= M(x, y) ,
∂Φ
∂y
= N(x, y) , (2.16)
então a equação diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.17)
tem a solução geral dada na forma impĺıcita Φ(x, y) = C. Neste caso a Eq.(2.17)
é chamada a equação diferencial exata - a diferencial
dΦ = Φxdx+ Φydy
de Φ(x, y) é exatamente Mdx+Ndy .
Uma forma sistemática de determinar se uma EDO é exata é proporcionada
pelo teorema seguinte:
Teorema 2.1. Sejam M,N ∈ C1(D), D = {(x, y) ∈ R2 : |x−x0| < a, |y−y0| <
b}. Então, a EDO (2.17), é uma EDO exata em D se, e somente se,
∂M
∂y
=
∂N
∂x
(2.18)
em cada ponto de D. Isto é, existe uma função Φ, que satisfaz as equações
(2.17) se, e somente se, M e N satisfizerem à Eq.(2.18).
Demonstração. A prova do teorema divide-se um duas partes. Primeiro,
mostraremos que se houver uma função Φ tal que as Eqs.(2.16) sejam obedeci-
das, então segue-se que as Eqs.(2.17) também serão. Calculando My e Mx pelas
Eqs.(2.16), obtemos
My(x, y) = Φxy, Nx(x, y) = Φyx . (2.19)
16
Uma vez que My e Nx são cont́ınuas, segue-se que Φxy e Φyx são cont́ınuas
também; isto garante a igualdade entre as duas e a Eq.(2.18) é consequência
imediata.
Agora mostraremos que se M e N satisfazem à Eq.(2.18), então a EDO
(2.17) é exata. A prova envolve a construção de uma função Φ que obedece às
Eqs.(2.16).
∂Φ
∂x
= M(x, y) ,
∂Φ
∂y
= N(x, y) .
Integrando a primeira Eq.(2.16) em relação a x, com y constante, encontramos
Φ(x, y) =
∫
M(x, y)dx+ h(y) . (2.20)
A função h é uma função arbitrária de y, que tem papel de constante arbitrária.
Agora, precisamos mostrar que é sempre posśıvel escolher h(y) de modo que
Φy = N . Da Eq.(2.20)
Φy(x, y) =
∫
My(x, y)dx+ h
′(y) .
Fazendo Φy = N e resolvendo em h
′(y) temos
h′(y) = N(x, y)−
∫
My(x, y)dx . (2.21)
A fim de determinar h(y) pela Eq.(2.21) é essencial que, apesar da sua aparência,
o segundo membro da equação seja uma função exclusiva de y. A fim de demons-
trar que isto é uma verdade, podemos derivar o segundo membro em relação a
x, obtendo
Nx(x, y)−My(x, y) ,
o que é zero em virtude da Eq.(2.18). Assim, apesar da sua aparência, o segundo
membro da (2.21) não depende, na realidade, de x e uma simples integração leva
a h(y). Substituindo a expressão encontrada para h(y) na Eq.(2.20), obtemos
como solução das Eqs.(2.16)
Φ(x, y) =
∫
M(x, y)dx+
∫ [
N(x, y)−
∫
My(x, y)dx
]
dy . (2.22)
Deve-se observar que esta prova contém o método de cálculo de Φ(x, y) o que
leva à resolução da EDO original (2.17). Usualmente é melhor repetir todo o
procedimento, cada vez que for necessário, ao invés de tentar lembrar o resul-
tado expresso na Eq.(2.22). Observe, também, que a solução aparece em forma
impĺıcita; pode ou não ser posśıvel encontrar a solução expĺıcita.
Fatores de integração
Algumas vezes é posśıvel converter uma equação diferencial que não seja exata
numa equação exata, multiplicando-a por um fator integrante apropriado. Para
17
investigar a possibilidade de efetivar, com maior generalidade, multiplicaremos
a EDO
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.23)
por uma função µ(x, y) e tentaremos encontrar µ de modo que a equação resul-
tante
µ(x, y)M(x, y)dx+ µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (2.24)
seja exata. Pelo Teorema 2.1, a EDO (2.24) será exata se e somente se
(µM)y = (µN)x . (2.25)
Uma vez que M e N são funções dadas, a Eq.(2.24) afirma que o fator integrante
µ deve obedecer à equação diferencial da primeira ordem
Mµy −Nµx + (My −Nx)µ = 0 . (2.26)
Se uma função µ satisfazer à Eq.(2.26), então a Eq.(2.24) será exata. A solução
da Eq.(2.24) poderá então ser obtida pelo método descrito na primeira parte
desta seção. A solução assim encontrada também satisfaz à Eq.(2.23), pois o
fator integrante µ pode ser cancelado na Eq.(2.24).
Infelizmente, a Eq.(2.26) (equação diferencial parcial) que determina o fa-
tor integrante µ, é ordinariamente pelo menos tão dif́ıcil de resolver quanto a
equação original (2.23). Assim, embora a prinćıpio os fatores integrantes sejam
instrumentos poderosos para a resolução de equações diferenciais, na prática
só podem ser encontrados em casos especiais. As situações mais importantes
nas quais fatores integrantes simples podem ser encontrados ocorrem quando
µ é uma função exclusiva de uma das variáveis x ou y, e não das duas. Por
exemplo, vamos determinar as condições necessárias de M e de N , para que na
Eq.(2.23), o fator integrante dependa somente de x. Considerando a hipótese
de µ ser uma função exclusiva de x, temos
(µM)y = µMy, (µN)x = µNx +N
dµ
dx
.
Assim, se (µM)y for igual a (µN)x, é necessário que
dµ
dx
=
My −Nx
N
µ . (2.27)
Se (My − Nx)/N for uma função exclusiva de x, então há um fator integrante
µ que também só depende de x; além disso, µ(x) pode ser encontrado pela
resolução da EDO (2.27).
No caso de um fator integrante que depende somente de y o procedimento é
similar.
Exemplo 2.5. Achar um fator integrante da equação
(3xy + y2)dx+ (x2 + xy)dy = 0 (2.28)
18
e resolver a equação.
Podemos mostrar que esta EDO não é exata. Vamos determinar se tem
um fator integrante que dependa exclusivamente de x. Ao determinarmos a
expressão (My −Nx)/N , encontramos
My −Nx
N
=
3x+ 2y − (2x+ y)
x2 + xy
=
1
x
. (2.29)
Assim, há um fator integrante µ que é função exclusiva de x e que satisfaz à
equação diferencial
dµ
dx
=
µ
x
.
Então,
µ(x) = x .
Multiplicando a Eq.(2.28) por este fator integrante, obtemos
(3x2y + xy2)dx+ (x3 + x2y)dy = 0 .
Esta última equação é exata e a sua solução é dadana forma implicita
x3y +
1
2
x2y2 = C .
2.2 Equações lineares
Definição 2.3. Uma equação diferencial chama-se linear se ela depender line-
armente das função desconhecida y ≡ y(x) e suas derivadas.
Uma equação diferencial linear de primeira ordem é dada pela seguinte ex-
pressão
dy
dx
+ p(x)y = f(x) , (2.30)
onde p(x), f(x) são funções dadas. Se a função f(x) ≡ 0, então a equação
(2.30) chama-se homogênea. Quando p(x) = p0 = const e f(x) = f0 = const, a
Eq.(2.30) pode ser resolvida usando integração direta. Infelizmente, a integração
direta não pode ser usada para resolver a Eq.(2.30) no caso geral. Mas é fácil
perceber que a equação linear homogênea
dy
dx
+ p(x)y = 0 , (2.31)
pode ser representada como uma equação com variáveis separáveis,
dy
y
+ p(x)dx = 0 , (2.32)
cuja integral geral é
ln |y|+
∫
p(x)dx = C1 , (2.33)
19
e a solução geral -
y = Ce−
∫
p(x)dx , (2.34)
onde C 6= 0. É obvio, que a solução particular y(x) = 0 da Eq.(2.32), a qual foi
perdida dividindo (2.32) por y, faz parte da solução geral (2.34) com C = 0. Por
esta razão, a função y(x) definida pela fórmula (2.34), onde C é uma constante
real qualquer, é solução geral da equação diferencial (2.32).
Da fórmula (2.34), representando a integral indefinida
∫
p(x)dx como in-
tegral definida
∫ x
x0
p(x)dx, obtemos uma solução particular da Eq.(2.32), que
satisfaz à condição inicial y(x0) = y0, na seguinte forma:
y = y0e
−
∫ x
x0
p(x)dx
. (2.35)
Observação 2.1. A maneira como foi construida a fórmula (2.35) é a demons-
tração da unicidade da solução do problema de valor inicial para a Eq.(2.32), su-
pondo que esta solução existe. Para provar a existência da solução do problema
dado, é suficiente verificar que a função (2.35) satisfaz a equação diferencial
(2.32) e ao dado inicial y(x0) = y0.
A solução da equação diferencial linear não homogênea (2.30) é constrúıda
usando o método de variação de constante, supondo que esta solução é procurada
na seguinte forma:
y = C(x)e−
∫
p(x)dx , (2.36)
onde C(x) é a função que precisa achar. Substituindo (2.36) na equação dife-
rencial (2.30), obtemos
dC
dx
e−
∫
p(x)dx − C(x)p(x)e−
∫
p(x)dx + p(x)C(x)e−
∫
p(x)dx = f(x) ,
de onde
dC
dx
= f(x)e−
∫
p(x)dx .
Integrando esta igualdade, obtemos
C(x) =
∫
f(x)e
∫
p(x)dxdx+ C1 ,
e finalmente
y(x) = C1e
−
∫
p(x)dx + e−
∫
p(x)dx
∫
f(x)e
∫
p(x)dxdx . (2.37)
A fórmula (2.37) mostra que a solução geral da equação linear não homogênea
(2.30) representa-se na forma de uma soma da solução geral (2.36) da equação
linear homogênea (2.31) e uma solução particular, definida pelo segundo termo
na parte direita da fórmula (2.37), da equação não homogênea (2.30).
20
A solução do problema de valor inicial y(x0) = y0 para a Eq.(2.30) obtemos
usando a condição inicial a constante C1 na fórmula (2.37). Neste caso como
primitivas de (2.37) melhor considerar integrais definidas
∫ x
x0
. Então C1 = y0 e
y(x) = y0e
−
∫ x
x0
p(ξ)dξ
+ e
−
∫ x
x0
p(ξ)dξ
∫ x
x0
f(ξ)e
∫ ξ
x0
p(ζ)dζ
dξ ,
isto é
y(x) = y0e
−
∫ x
x0
p(ξ)dξ
+
∫ x
x0
f(ξ)e−
∫ x
ξ
p(ζ)dζdξ , (2.38)
Exemplo 2.6. Resolva o problema de valor inicial
dy
dx
+ 2xy = x , y(0) = 5 .
Solução Neste caso p(x) = 2x, f(x) = x e x0 = 0, y(0) = 5. Assim, de acordo
com a fórmula (2.38), a solução é
y(x) =
1
2
+
9
2
e−x
2
.
2.3 Equação de Bernoulli
Definição 2.4. A equação de Bernoulli é uma equação diferencial não linear
da primeira ordem, dada pela seguinte fórmula
dy
dx
+ p(x)y = f(x)yn , (2.39)
onde n 6= 0, 1 não é necessaramente inteiro.
Este equação pode ser transformada numa linear depois de substituação
w = y1−n. Multiplicando-se a equação (2.39) por y−n obtemos
y−n
dy
dx
+ p(x)y1−n = f(x) . (2.40)
Derivando w = g1−n em relação a x obtemos pela regra de cadeia
dw
dx
= (1− n)y−n dy
dx
,
de onde obtemos que
y−n
dy
dx
=
1
1− n
dw
dx
.
Fazendo as substituições y−n dydx =
1
1−n
dw
dx e y
1−n = w em (2.40) obtemos
1
1− n
dw
dx
+ p(x)w = f(x)
que é uma equação linear. Depois de encontrar a solução geral desta equação,
devemos substituir w = y1−n para encontrar a solução geral de (2.40).
21
Exemplo 2.7. Vamos encontrar a soluçãoo geral da equação
dy
dx
+
1
x
y = xy2
fazendo a mudança de variáveis w = y−1 (n = 2). Então
dw
dx
= −y−2 dy
dx
.
Multiplicando-se a equação diferencial por y−2 obtemos
y−2
dy
dx
+
1
x
y−1 = x .
Fazendo as substituições y−2 dydx = −
dw
dx e y
−1 = w obtemos
−dw
dx
+
1
x
w = x .
Multiplicando esta equação por −1 obtemos
dw
dx
− 1
x
w = −x ,
que é uma equação linear e tem solução
w(x) = −x2 + Cx ,
onde C é uma constante real qualquer. Assim a solução da equação dada é
y(x) =
1
−x2 + Cx
.
2.4 Equação de Ricatti
Definição 2.5. A equação de Ricatti é uma equação da seguinte forma
dy
dx
+ p(x)y(x) + q(x)y2(x) = f(x) . (2.41)
Ela não resolve-se em quadraturas no caso geral, mas tem uma proprie-
dade muito importante: sendo conhecida uma solução particular y1(x), a
equação de Ricatti pode ser resolvida fazendo a substituição
y(x) = y1(x) + w(x) . (2.42)
Substuindo (2.42) em (2.41) obtemos
dw
dx
+ [p(x)y(x) + 2q(x)y1(x)]w(x) + q(x)w
2(x) = 0 ,
que é uma equação de Bernoulli com n = 2.
22
Exemplo 2.8. Considere a equação
dy
dx
− (1 + 2ex)y − y2 = e2x .
Deixamos como exerćıcio para o leitor verificar que y1(x) = −ex é uma soluço
desta equação. Fazendo a substituição y(x) = −ex + w(x), obtemos a equação
dw
dx
− w = w2 ,
que pode ser resolvida como uma equação separável
1
w2 + w
dw
dx
= 1 . (2.43)
Mas
1
w2 + w
=
1
w
− 1
w + 1
.
Assim a equação (2.43) pode ser escrita como
d
dx
(
ln |w| − ln |w + 1|
)
= 1 .
Integrando-se obtemos
ln
∣∣∣ w
w + 1
∣∣∣ = x+ C1 ,
onde C1 é uma constante real arbitrária. Aplicando-se a exponencial, obtemos
w
w + 1
= ±eC1ex = Cex .
Substituindo-se w = y + ex, obtemos qua a solução da equação original é dada
na forma impĺıcita por
y + ex
1 + y + ex
= Cex .
2.5 Teorema de existência e unicidade
Na seção 2.2 com base nas fórmulas expĺıcitas foi demonstrada a existência e
unicidade da solução do problema de valor inicial y(x0) = y0 para a equação
diferencial linear da primeira ordem (2.30). Mas, o conjunto de equações dife-
renciais para quais podemos construir de forma efetiva, uma solução, é bastante
pequeno. Por exemplo, a solução da equação diferencial
dy
dx
= x2 + y2 ,
não pode ser reduzida até quadraturas (integrais). Por isso, na maioria de
casos a solução pode ser construida somente na forma numérica. Mas, antes de
aplicar qualquer método numérico, é importante saber se existe na verdade uma
solução, e se ela existir, sverificar sua unicidade, etc. Como mostra o próximo
exemplo, nem sempre equação diferencial tem uma única solução .
23
Exemplo 2.9. Considere o problema de valor de valor inicial
dy
dx
=
√
y , y(0) = 0 .
Este problema tem duas soluções (verifique!)
y1(x) =
x2
4
, para x ≥ 0
e
y2(x) = 0 .
Vamos formular as condições que garantem a existência e a unicidade do
seguinte problema de valor inicial
dy
dx
= f(x, y) , y(x0) = 0 . (2.44)
Teorema 2.2. Se as funções f(x, y), ∂f∂y são cont́ınuas no retângulo
D = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (α, β) , y ∈ (δ, γ)}
contendo (x0, y0), então o problema (2.44) tem uma solução única em um inter-
valo contendo x0.
Demonstração (a) Existência: Defina a sequência de funções yn(x) por
y0(x) = y0 , yn(x) = y0 +
∫ x
x0
f(s, yn−1(s))ds , n = 1, 2, 3, . . . .
Como as funções f, f ′y são cont́ınuas no retângulo D, existe uma constante po-
sitiva M
M = max
(x,y)∈D
{|f(x, y)|, |∂f(x, y)
∂y
|} ,
tal que
|f(x, y)| ≤M , para (x, y) ∈ D
e
|f(x, y)− f(x, z)| ≤M |y − z| , para (x, y) ∈ D .
Assim
|y1(x)− y0| ≤M |x− x0| , para x ∈ (α, β) ,
|y2(x)− y1(x)| ≤
∫ x
x0
|f(s, y1(s))− f(s, y0(s))|ds
≤M∫ x
x0
|y1(s)− y0|ds ≤M2
∫ x
x0
|s− x0|ds = M2
|x− x0|2
2
24
e
|y3(x)− y2(x)| ≤
∫ x
x0
|f(s, y2(s))− f(s, y1(s))|ds
≤M
∫ x
x0
|y2(s)− y1(s)|ds ≤M3
∫ x
x0
|s− x0|2
2
ds = M3
|x− x0|3
6
.
Vamos supor por indução que
|yn−1(x)− yn−2(x)| ≤Mn−1
|x− x0|n−1
(n− 1)!
.
Então,
|yn(x)− yn−1(x)| ≤
∫ x
x0
|f(s, yn−1(s))− f(s, yn−2(s))|ds
≤M
∫ x
x0
|yn−1(s)− yn−2(s)|ds
≤M
∫ x
x0
Mn−1
|s− x0|n−1
(n− 1)!
ds = Mn
|x− x0|n
n!
.
(2.45)
Estas desigualdades são válidas para α ≤ α′ < x < β′ ≤ β em que α′ e β′ são
tais que δ < yn(x) < γ sempre que α
′
< x < β
′
(porque existem α
′
e β
′
?).
Segue-se de (2.45) que
∞∑
n=1
|yn(x)− yn−1(x)| ≤
∞∑
n=1
Mn|β − α|n
n!
que é convergente. Como
yn(x) = y0 +
n∑
n=1
(yk(x)− yk−1(x)) ,
então {yn(x)}n=∞n=1 é convergente. Seja
y(x) = lim
n→∞
yn(x) .
Como
|ym(x)− yn(x)| ≤
m∑
k=n+1
|yk(x)− yk−1(x)| ≤
m∑
k=n+1
Mk(β − α)k
k!
,
então, passando ao limite quando m→∞ obtemos que
|y(x)− yn(x)| ≤
∞∑
k=n+1
Mk(β − α)k
k!
, (2.46)
25
Logo, dado um � > 0, para n suficiente grande, |y(x) − yn(x)| < �/3, para
x ∈ (α′ , β′). Dáı segue-se que y(x) é cont́ınua, pois dado um � > 0, para s
suficiente próximo de x, temos que |yn(x)−yn(s)| < �/3 e para n suficientemente
grande |y(x)− yn(x)| < �/3 e |y(s)− yn(s)| < �/3, o que implica em
|y(x)− y(s)| ≤ |y(x)− yn(x)|+ |yn(x)− yn(s)|+ |yn(s)− y(s)| < � .
Além disso para x ∈ (α′ , β′), temos que
lim
n→∞
∫ x
x0
f(s, yn(s))ds =
∫ x
x0
f(s, lim
n→∞
yn(s))ds =
∫ x
x0
f(s, y(s))ds ,
pois, por (2.46), temos que
|
∫ x
x0
f(s, yn(s))ds−
∫ x
x0
f(s, y(s))ds| ≤
∫ x
x0
|f(s, yn(s))− f(s, y(s))|ds
≤M
∫ x
x0
|yn(s)− y(s)|ds ≤M(x− x0)
∞∑
k=n+1
Mk(β − α)k
k!
,
que tende a zero quando n→∞. Portanto
y(x) = lim
n→∞
yn(x) =y0(x) + lim
n→∞
∫ x
x0
f(s, yn−1(s))ds
= y0 +
∫ x
x0
f(s, lim
n→∞
yn−1(s))ds =
∫ x
x0
f(s, f(s))ds .
Derivando em relação a x esta equação vemos que y(x) é solução do problema
de valor inicial.
(b)Unicidade: Vamos supor que y(x) e z(x) sejam soluções do problema de valor
inicial. Seja
u(x) =
∫ x
x0
|y(s)− z(s)|ds .
Assim, como
y(x) =
∫ x
x0
y′(s)ds+y0 =
∫ x
x0
f(s, y(s))ds ; z(x) =
∫ x
x0
z′(s)ds+y0 =
∫ x
x0
f(s, z(s))ds ,
então,
u′(x) = |y(x)−z(x)|
≤
∫ x
x0
|y′(s)− z′(s)|ds =
∫ x
x0
|f(s, y(s))− f(s, z(s))|ds
≤M
∫ x
x0
|y(s)− z(s)|ds ,
ou seja,
u′(x) ≤Mu(x) .
26
Subtraindo-se Mu(x) e multiplicando-se por e−Mx obtemos
d
dx
(
e−Mxu(x)
)
≤ 0 , com u(x0) = 0 .
Isto implica que e−Mxu(x) = 0 (lembre-se que u(x) ≥ 0)) e portanto que u(x) ≡
0, para todo x. Assim y(x) ≡ z(x), para todo x.
2.6 Método de Euler
Consideremos uma equação diferencial
dy
dx
= f(x, y) . (2.47)
Suponhamos qua a função f(x, y) numa vizinhança do ponto (x0, y0) satisfaz
condições do teorema de existência e unicidade 2.2. De acordo com as condições
do teorema, existe um intervalo (x0−δ, x0+δ), δ > 0, e uma solução y = y(x) da
Eq.(2.47), que satisfaz ao dado inicial y(x0) = y0. O método de Euler permite
construir a solução aproximada com qualquer precisão.
Suponhamos que preciso achar o valor y(d), onde, por exemplo, x0 < d <
x0 + δ (caso x0 − δ < d < x0 é similar). Dividimos o intervalo [x0, d] em
n subintervalos iguais, usando os pontos x0, x1, . . . , xn = d. O comprimento
de cada intervalo (xi, xi+1), h = xi+1 − xi, chama-se passo de discretização.
Valores aproximados da solução calculados em pontos xi marcamos como yi.
No intervalo [x0, x1] em vez da Eq.(2.47) consideremos a seguinte equação com
dado inicial (problema de Cauchy)
Y ′n(x) = f(x0, y0) (x ∈ [x0, x1]) , Yn(x0) = y0 .
A solução deste problema é
Yn(x) = y0 + f(x0, y0)(x− x0) . (2.48)
Esta função linear nos vamos tratar como a solução aproximada da Eq.(2.37)
no intervalo [x0, x1]. Geometricamente isso significa que o gráfico da solução
exata y = y(x) nos substituimos por um segmento de linha tangente ao gráfico
no ponto (x0, y0). Da fórmula (2.48) obtemos
y1 = Yn(x1) = y0 + hf(x0, y0) .
Em seguida aplicamos o método de indução. Se os valores aproximados da
solução y1, y2, . . . , yk são calculados, então no intervalo [xk, xk+1] em vez da
Eq.(2.47) consideramos a seguinte equação
Y ′n(x) = f(xk, yk) (x ∈ [xk, xk+1]) , Yn(xk) = yk .
A solução desta equação é
Yn(x) = yk + f(xk, yk)(x− xk) (k = 0, 1, . . . , n− 1) (2.49)
27
consideramos como a solução aproximada da Eq.(2.47) no intervalo [xk, xk+1].
Considerando x = xk+1, obtemos
yk+1 = Yn(xk+1) = yk + hf(xk, yk) (k = 0, 1, . . . , n− 1) . (2.50)
A fórmula (2.50) define o método de Euler. A função Yn(x), determinada no
intervalo fechado [x0, d] com ajuda da igualdade (2.49), chama-se linhas poligo-
nais de Euler. Podemos provar que nas condições da teorema 2.2, a sequência
de linhas poligonais de Euler {Yn(x)}n=∞n=1 converge uniformamente à solução
exata do problema de valor inicial, quando n→∞.
2.7 Equações não resolvidas em relação à deri-
vada
Para resolver a equação diferencial
F (x, y, y′) = 0 , (2.51)
podemos tentar inicialmente resolvê-la em relação à derivada y′. Se isso for
posśıvel, então obteremos uma ou mais equações diferenciais na seguinte forma
dy
dx
= f(x, y) . (2.52)
É óbvio que qualquer solução de cada uma das equações (2.52) será solução da
(2.51). Mas é importante entender se essas são todas as soluções da Eq.(2.51).
Exemplo 2.10. Para resolver a equação
(y′)2 − (2x+ y)y′ + 2xy = 0 , (2.53)
podemos, usando as transformações equivalentes, representá-la na seguinte forma
(y′ − 2x)(y′ − y) = 0 . (2.54)
Agora, consideremos duas equações diferenciais da primeira ordem:
y′ = 2x , y′ = y .
Elas tem as seguintes soluções gerais
y = x2 + C1 , y = C2e
x , (2.55)
onde Ck, k = 1, 2, são constantes arbitrárias. Para valores particulares C1, C2
as funções (2.55) são soluções particulares da Eq.(2.53).
Mas usando as funções (2.55) podemos construir outras soluções particulares
da Eq.(2.53) também. Por exemplo, a função
y =
{
x2 + 1, x ≤ 1
2ex−1, x > 1
,
é uma solução da Eq.(2.53).
28
A existência e a unicidade da solução de Eq.(2.51) são ligadas com a possibili-
dade de resolvê-la em relação à y′ e com a existência das soluções da Eq.(2.52).
Assim, as condições suficientes para solução da Eq.(2.51) são definidas pelas
condições de existência de uma função impĺıcita e sua continuidade junto com
sua derivada. Podemos formular o seguinte teorema (sem demonstração).
Teorema 2.3. Se emum paraleleṕıpido fechado D ⊂ R3 com centro num ponto
(x0, y0, y
′
0), onde y
′
0 é uma raiz real da equação F (x0, y0, y
′
0) = 0, são válidas as
seguintes condições:
• F (x, y, y′) é cont́ınua em relação às suas variáveis junto com as derivadas
parciais ∂F/∂y e ∂F/∂y′,
• ∂F∂y′ (x0, y0, y
′
0) 6= 0,
então, numa vizinhança do ponto x = x0, existe uma única solução y = y(x) da
Eq.(2.51), que satisfaz as condições
y(x0) = y0 , y
′(x0) = y
′
0 .
A seguir, consideram-se dois tipos particulares da Eq.(2.51), para quais po-
demos indicar outros caminhos da sua solução.
1. Se a parte esquerda da Eq.(2.51) não depende de x e y:
F (y′) = 0 . (2.56)
Suponhamos que a função F é cont́ınua e tem um número finito de zeros. Seja
y = y(x) a solução da Eq.(2.56), que tem primeira derivada cont́ınua. Então
y′(x) é igual a uma das raizes da Eq.(2.56), a qual marcamos como k. Assim,
y′ = k, de onde obtemos y = kx+ C, onde C é uma constante real qualquer, e
F (
y − C
x
) = 0 . (2.57)
Ao contrário, da Eq.(2.57) temos, que
y − C
x
= k (∀x 6= 0) ,
onde k é uma raiz da função F . Mas isso significa que y = kx+C, ∀x, y′ = k e
F (y′) = 0.
Nós provamos que solução geral (qualquer) da Eq.(2.56) é definida pela
fórmula (2.57), onde C é uma constante real qualquer.
2. Se a parte esquerda da Eq.(2.51) não depende de x:
F (y, y′) = 0 . (2.58)
Se a Eq.(2.58) pode ser resolvida em relação à derivada y′, então y′ = φ(y) -
equação com variáveis separáveis,qual nos já sabemos como resolver.
29
Suponhamos que a Eq.(2.58) seja imposśıvel (ou muito dif́ıcil) de resolver
em relação à derivada y′, mas, por outro lado, é fácil resolver em relação à
y : y = φ(y′).
Introduzimos um parámetro p = dydx , então
y = φ(p) , dy = φ′(p)dp , dx =
dy
p
=
φ′(p)dp
p
,
de onde
x =
∫
φ′(p)dp
p
+ C ,
ou
x = ψ(p) + C ,
onde C é uma constante real qualquer. Agora, excluindo do sistema
x = ψ(p) + C , y = φ(p) (2.59)
o parâmetro p, obtemos uma integral geral (solução geral) Φ(x, y, C) = 0 da
Eq.(2.58). O sistema (2.59) pode ser considerado como solução paramétrica da
Eq.(2.58). O parâmetro p podemos introduzir na forma arbitrária y′ = ω(p),
mas de forma, para que a Eq.(2.58) possa ser resolvida mais fácil em relação à
y′, y = φ(p), e, também, para que a sua corespondente integral
x =
∫
φ′(p)dp
ω(p)
+ C
seja mais fácil de resolver.
Exemplo 2.11. Resolver a equação
x
√
1 + (y′)2 = 2y′ . (2.60)
Se diretamente introduzirmos o parâmetro p = y′, obteremos integrais bas-
tante complexas. Aqui é melhor considerar a seguinte relação y′ = tan p (p ∈
(−π/2, π/2)). Assim, obtemos
x =
2 tan p√
1 + tan2 p
= 2 sin p , dx = 2 cos pdp ,
dy = tan pdx = 2 sin pdp , y = − cos p+ C .
Do sistema temos
x = 2 sin p , y = −2 cos p+ C
obtemos então
x2 + (y − C)2 = 4 , (2.61)
ou seja, qualquer solução da Eq.(2.60) é solução da Eq.(2.61), onde C é uma
constante real. A Eq.(2.61) define uma famı́lia de ćırculos com raio 2 e com
centro em pontos (0, C). Podemos provar que a igualdade (2.61) é solução geral
da Eq.(2.60).
Observação 2.2. A equação diferencial F (x, y′) = 0 pode ser resolvida da
mesma maneira.
30
2.8 Soluções especiais
Seja f(x, y, C) = 0 uma famı́lia de curvas dependentes do parâmetro C.
Definição 2.6. Define-se como envoltória a curva que é tangente à todas as
linhas que constituem a famı́lia de curvas.
Pode-se existir uma ou mais envoltórias para uma mesma famı́lia de curvas,
como também poderá não haver nenhuma. As curvas que formam a famı́lia são
chamadas envolvidas.
Geralmente a envoltória é definida pelo sistema
f(x, y, C) = 0 ,
∂f(x, y, C)
∂C
= 0 , (2.62)
cuja solução pode ser obtida pela eliminação do parâmetro C. Também podemos
obter a equação da envoltória sob a forma paramétrica, resolvendo o sistema
para x e y.
Considere a equação
dy
dx
= f(x, y) . (2.63)
Se numa vizinhança do ponto (x0, y0) as condições do teorema de existência
e unicidade 2.2 são válidas, então através deste ponto passa uma única curva
integral (solução).
Se pelo menos uma das condições não é válida, então podemos ter casos
diferentes. Através do ponto (x0, y0) pode-se ainda passar: uma curva inte-
gral, várias curvas, um número infinito de curvas, ou nenhuma curva integral.
É interessante o caso quando a Eq.(2.63) tem uma solução chamada especial
(singular).
Definição 2.7. Suponhamos que Eq.(2.63) possua a solução geral f(x, y, C) =
0, onde C é uma constante qualquer. A envoltória dessa famı́lia de curvas
integrais (caso existe) chama-se solução especial (singular) da equação original.
De fato, o coeficiente angular da reta tangente em um ponto de coordenadas
(x0, y0) da envoltória e da curva integral coresponde a y
′(x0). Além disso, tem-
se que os elementos x0, y0, y
′(x0) de cada ponto da envoltória satisfazem à EDO
(2.63), pois são elementos de uma curva integral. Portanto a envoltória é uma
solução da (2.63) que não resulta na fixação da constante C, e por esta razão,
é uma solução especial (singular).
Às vezes trabalhamos com equações diferenciais do tipo (2.63), onde a função
f(x, y) é cont́ınua num domı́nio Ω, e a sua derivada ∂f/∂y é finita e cont́ınua
somente numa parte do domı́nio. Existem em Ω tais pontos, onde ∂f/∂y =∞.
Nestes pontos as condições do teorema de existência e unicidade são violadas,
e, se estes pontos formam curvas suaves , então estas curvas podem representar
soluções especiais da equação diferencial.
Exemplo 2.12. Consideremos a equação de Bernoulli y′ = yα, α ∈ (0, 1).
Aqui f(x, y) = yα é uma função cont́ınua no semi-plano y ≥ 0. A sua derivada
31
∂f/∂y = αyα−1 para 0 < α < 1 é não limitada na vizinhança do ponto y = 0.
A função y = 0 é uma solução da equação diferencial. Mas, para o dado inicial
y(x0) = 0 existe mais uma solução
y = [(x− x0)(1− α)]1/(1−α) ,
qua satisfaz esta equação diferencial e passa através do ponto (x0, 0). A linha
tangente à esta curva no ponto é o eixo X(y ≡ 0). Por isso y ≡ 0 é a solução
especial.
Exemplo 2.13. Consideremos a equação y′ = yα + 1, y ≥ 0. Aqui ∂f/∂y =
αyα−1 e para 0 < α < 1 esta função é não limitada numa vizinhança do ponto
y = 0. Mas a função y ≡ 0 não é solução da equação. A solução da equação,
por exemplo para α = 1/2, determina-se na forma implicita
x+ C = 2
(√
y − ln(√y + 1)
)
(y ≥ 0) ,
ou seja, através de qualquer ponto (x0, 0) passa uma única curva integral x−x0 =
2
(√
y − ln(√y + 1)
)
.
Exemplo 2.14. As funções y = C(x − C)2 para qualquer C são soluções da
equação diferencial F (x, y, y′) ≡ 4xyy′ − (y′)3 − 8y2 = 0. A função y ≡ 0 é
solução especial desta equação.
32
Problemas
1. Nos problemas, resolver a EDO proposta.
1. y′ = x2/y ,
2. y′ + y2 sinx = 0 ,
3. y′ = (cos2 x)(cos2 2y) ,
4. y′ = x2/y(3 + 2y) ,
5. y′ = x−exp(−x)y+exp(y) ,
6. y′ = x
2
1+y2 .
2. Para cada um dos problemas:
• determinar a solução do problema de Cauchy (problema de valor inicial)
na forma expĺıcita,
• desenhar, usando o MatLab, o gráfico da solução.
1. y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6 ,
2. drdθ = r
2/θ, r(1) = 2 ,
3. sin 2xdx+ cos 3ydy = 0, y(π/2) = π/3 .
3. Resolver a EDO
y′ =
ay + b
cy + d
,
onde a, b, c e d são constantes.
4. Resolver a EDO
y′ =
y − 4x
x− y
.
5. Para curvas, construir as correspondentes ODE’s.
1. y2 = 2Cx ,
2. x2 + y2 = C2 .
6. Construir campo de direções e desenhar as correspondentes curvas integrais.
1. y′ = x ,
2. y′ = 1 + y2 ,
3. y′ = −x .
7. Resolver as seguintes equações de Bernoulli
1. y′ + xy = x3y3 ,
33
2. xy′ + y = y2 lnx ,
3. y′ = 4xy + x
√
y .
8. Sabendo que y = 1 é solução particuar da equação de Ricatti
y′ + (2x− 1)y − xy2 = x− 1 ,
calcular a sua solução geral.
9. Sabendo que y = −1 é solução particular, dar solução geral da seguinte
equação de Ricatti
y′ + y2 + 3y + 2 = 0 .
10. Dar a envoltória das seguintes famı́lias de curvas (C - uma constante)
1. y = 4C2x+ C−1 ,
2. x2 + y2 + 2(C + 2)y + C2 = 0 .
11. Obter a solução especial (singular) da EDO
y2(y′)2 + y2 = 1 .
12. Achar a solução geral e a especial da EDO
y − xy′ = (y′)2 .
34
Caṕıtulo 3
Equações Diferenciais
Ordinárias de Ordem
Superior (n ≥ 2)
3.1 Equação diferencial da segunda ordem
Definição 3.1. Equação
F (x, y, y′, y′′) = 0 (3.1)
chama-se equação diferencial da segunda ordem.
Suponha-se que F (u, v, w, g) ∈ C1(Ω), onde Ω ⊆ R4.
Definição 3.2. Qualquer função y = y(x) ∈ C2(I), I ⊆ R, e qual satisfaz à
Eq.(3.1), chama-se a solução desta equação ou sua curva integral.
Cada solução y = y(x) é definida num intervalo I = (a, b). É obvio, que
para qualquer x ∈ (a, b) o ponto (x, y(x), y′(x), y′′(x)) ∈ Ω. As vezes a solução
satisfaz algumas condições adicionais. O caso especial são as condições que
garantem uma solução única de equação. Usualmente essas condições tem a
seguinte forma:
y(x0) = y0 , y
′(x0) = y1 (3.2)
e chamam-se dados iniciais.
Definição 3.3. O problema de construção da solução da Eq.(3.1), que satisfaz
aos dados iniciais (3.2), chama-se problema de Cauchy.
Do ponto de vista geometrico as condições (3.2) significam que da toda
famı́lia de curvas integrais, que passam o ponto (x0, y0), nos indicamos uma
curva integral com tangente do ângulo de inclinação (tanα = y′(x0)) igual a y1.
Suponhamos que a Eq.(3.1) pode ser resolvida com respeito a derivada y′′.
Da teoriadas funções impĺıcitas é conhecido que se uma função F (u, v, w, g)
35
36
é igual ao zero num ponto (u0, v0, w0, g0), tem derivadas cont́ınuas numa vi-
zinhança deste ponto e a derivada parcial ∂F/∂g 6= 0 neste ponto, então a
equação F (u, v, w, g) = 0 tem numa vizinhança do ponto indicado a única
solução g = f(u, v, w).
Então a Eq.(3.1) transforma-se em
y′′ = f(x, y, y′) , (3.3)
onde a função f(u, v, w) ∈ C1(Ω), Ω ⊆ R3.
Consideremos uma curva integral y = y(x), que passa através de um ponto
(x0, y0) e tem neste ponto a linha tangente com coeficiente angular igual ao
dado número y′0, ou seja, y(x0) = y0, y
′(x0) = y
′
0. Assim a segunda derivada da
função y no ponto x0 é definida na forma única:
y′′0 = f(x0, y0, y
′
0) , (y
′′
0 = y
′′(x0)) .
Mas aparece a seguinte questão: se especificar x = x0 e numeros arbitrários
y0, y
′
0, então existiria ou não de fato uma curva integral y = y(x) da Eq.(3.3),
para qual y(x0) = y0 e y
′(x0) = y
′
0? E quantas dessas curvas integrais po-
dem ser? Teorema a seguir mostra, que se a função f é bastante suave numa
vizinhança do ponto (x0, y0, y
′
0), então existe uma única curva integral.
Teorema 3.1. Seja a função f da Eq.(3.3), considerada como uma função de
três variáveis (x, y, y′), definida num domı́nio Ω ⊆ R3, cont́ınua e tem neste
domı́nio as derivadas parciais ∂f/∂y, ∂f/∂y′ cont́ınuas também.
Então, para qualquer ponto (x0, y0, y
′
0) ∈ Ω existe um intervalo I = (a, b)
e uma única função y(x) ∈ C2(a, b), que satisfaz à Eq.(3.3) e os dados iniciais
y(x0) = y0 e y
′(x0) = y
′
0.
Exemplo 3.1. Achar uma curva integral da equação y′′ + y = 0, que passa o
ponto (0, 1) e tem o coeficiente angular de linha tangente y′(0) = 0.
É fácil verificar que a função y = C1 cosx+C2 sinx é a solução desta equação
para quasquer constantes C1, C2. Além disso temos que y(0) = C1, y
′(0) = C2.
Para satisfazer os dados iniciais é necessário C1 = 1, C2 = 0. Portanto a curva
integral é definida pela seguinte equação: y = cosx.
3.2 Sistema de duas equações diferenciais da pri-
meira ordem
Na equação
y′′ = f(x, y, y′) (3.4)
além da solução y = y(x), x ∈ I ⊆ R, introduzimos uma função z = z(x) :
y′ = z. É fácil verificar que a Eq.(3.4) é equivalente ao seguinte sistema de duas
equações diferenciais da primeira ordem
y′ = z, z′ = f(x, y, z) (3.5)
37
em relação a duas funções desconhecidas y, z.
De fato, seja y(x), x ∈ I, uma solução da EDO(3.4). Esta função tem a
segunda derivada cont́ınua no intervalo I. Então z(x) = y′(x) tem a primeira
derivada cont́ınua em I. Portanto, as funções y(x), z(x) ∈ C1(I) e satisfazem o
sistema de equações diferenciais (3.5).
E ao contrário, se as duas funções y(x), z(x), x ∈ I, tem derivadas cont́ınuas
em (a, b) e satisfazem ao sistema (3.5), então da primeira equação do sistema
(3.5) temos que y(x) tem a segunda derivada cont́ınua em I; substituindo a
função z da primeira equação em segunda, obtemos, que a função y(x) é uma
solução da EDO(3.4). O sistema (3.5) é um caso particular do seguinte sistema
dy
dx
= φ(x, y, z) ,
dz
dx
= ψ(x, y, z) , (3.6)
em relação às duas funções conhecidas y, z. Este último, obviamente, é um caso
particular do sistema
F (x, y, z, y′, z′) = 0 , Φ(x, y, z, y′, z′) = 0 , (3.7)
onde nos vamos supor , que as funções F,Φ são cont́ınuas e tem primeiras deri-
vadas cont́ınuas com respeito de y, y′, z, z′ num domı́nio de pontos x, y, y′, z, z′.
Definição 3.4. Duas funções y(x), z(x), x ∈ I ⊆ R, chamam-se solução do
sistema de equações diferencias (3.7), se elas possuem derivadas cont́ınuas e
satisfazem em I sistema (3.7).
Se resolver sistema (3.7) em relação às y′, z′, então obtemos um sistema
de tipo (3.6). Usualmente esta possibilidade é ligada com a condição que o
Jacobiano do sistema (3.7) é diferente do zero. i.e.,
D(F,Φ)
D(y′, z′)
6= 0 .
As equações (3.6) ou (3.7) formam um sistema de duas equações diferenciais da
primeira ordem com respeito a duas funções desconhecidas y, z.
Definição 3.5. Sistema (3.6), resolvido com respeito das derividas y′, z′ chama-
se normal.
Para um sistema normal (3.6) é válido o seguinte teorema de existência e
unicidade.
Teorema 3.2. Sejam funções φ(x, y, z) e ψ(x, y, z) cont́ınuas e possuem cont́ınuas
derivadas parcias com respeito de y, z num domı́nio Ω ⊆ R3 de pontos (x, y, z),
e seja (x0, y0, z0) ∈ Ω um ponto qualquer.
Então existe um intervalo I ⊆ R e as funções y = y(x), z = z(x), diferencia-
das continualmente, que satisfazem sistema (3.5) e as seguintes dados inicias
y(x0) = y0 , z(x0) = z0 . (3.8)
Tais funções são únicas.
Nesse caso, se as funções φ, ψ possuem derivadas parciais cont́ınuas até ordem
p, então a solução y(x), z(x) tem derivadas cont́ınuas até ordem p+1 no intervalo
I.
38
3.3 Equação diferencial de ordem n
Primeiramente vamos definir o que significa equação diferencial de ordem n.
Definição 3.6. Uma equação
F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 (3.9)
chama-se equação diferencial ordinária de ordem n.
Aqui F (u, v0, v1, . . . , vn) é uma função cont́ınua junto com suas derivadas
parcias F ′v0 , F
′
v1 , . . . , F
′
vn num domı́nio Ω ⊆ R
n+1. Resolvendo (3.9) com respeito
à y(n), obtemos
y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) . (3.10)
Está valido o seguinte teorema de existência e unicidade.
Teorema 3.3. Suponhamos que a função f(x, y, y′, . . . , y(n−1)), considerada
como função de n + 1 variáveis, é cont́ınua e possua numa vizinhança Ω de
ponto (x0, y0, y
′
0, . . . , y
(n−1)
0 ) derivadas parciais cont́ınuas
∂f
∂y
,
∂f
∂y′
, . . . ,
∂n−1f
∂yn−1
.
Então existe um intervalo I ⊆ R e definida nele uma função y = y(x),
continualmente diferenciavel, que satisfaz EDO (3.10) e dados iniciais
y(x0) = y0, y
′(x0) = y
′
1, . . . , y
(n−1)(x0) = y
(n−1)
0 . (3.11)
Tal função y = y(x) é única. Portanto, y = y(x) é a solução da EDO (3.10),
que satisfaz aos dados iniciais (3.11).
Se fixar o ponto x0, então para cada sistema de números
C1 = y0, C2 = y
′
0, . . . , Cn = y
(n−1)
0 ,
tais que
(x0, C1, . . . , Cn) ∈ Ω ,
corresponderá uma solução da EDO (3.10), qual (para x0 fixo!) pode ser repre-
sentado como
y = y(x,C1, . . . , Cn) . (3.12)
Como resultado, obtemos uma famı́lia das soluções da nossa equação diferen-
cial, dependentes de n parâmetros C1, . . . , Cn. Para cada sistema determi-
nado (C1, C2, . . . , Cn) dos parâmetros ((x0, C1, . . . , Cn) ∈ Ω) corresponde uma
solução da equação diferencial.
Podemos introduzir funções novas na EDO (3.10)
y1(x) = y, y2(x) = y
′, . . . , yn(x) = y
(n−1).
39
Todas as funções possuem pelo menos primeira derivada cont́ınua. Portanto,
a EDO (3.10) é equivalente a seguinte sistema de n equações diferenciais da
primeira ordem 
y′1 = y2 ,
y′2 = y3 ,
..............
y′n = f(x, y1, y2, . . . , yn) .
(3.13)
Sistema (3.13) é um caso particular do sistema
y′1 = φ1(x, y1, . . . , yn) ,
y′2 = φ2(x, y1, . . . , yn) ,
...........................
y′n = φn(x, y1, . . . , yn) ,
(3.14)
de n equações diferenciais da primeira ordem com respeito de n funções deco-
nhecidas y1, y2, . . . , yn.
O sistema (3.14) chama-se normal e é um caso particular do sistema geral
Φ1(x, y1, y
′
1, . . . , yn, y
′
n) = 0 ,
Φ2(x, y1, y
′
1, . . . , yn, y
′
n) = 0 ,
........................................
Φn(x, y1, y
′
1, . . . , yn, y
′
n) = 0 .
(3.15)
Está valido o seguinte teorema de existência e unicidade.
Teorema 3.4. Suponhamos que as funções φi(x, y1, . . . , yn) (i = 1, 2, . . . , n)
são cont́ınuas e possuem primeiras derivadas parciais (com respeito de variáveis
y1, y2, . . . , yn) cont́ınuas num domı́nio Ω ⊆ Rn+1 de pontos (x, y1, . . . , yn); e seja
(x0, y10, . . . , yn0) um ponto dado deste domı́nio.
Então existem um intervalo I ⊆ R e definidas neste intervalo continualmente
diferenciaveis (únicas) funções y1(x), y2(x),. . . , yn(x), que satisfazem sistema
(3.14) e dados iniciais
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0 . (3.16)
Se as funções φi(x, y1, . . . , yn) (i = 1, 2, . . . , n) possuem derivadas cont́ınuas até
ordem p no domı́nio Ω, então a solução correspondente yi(x) (i = 1, 2, . . . , n)
possua derivadas cont́ınuas até ordem p+ 1.
Se fixar o ponto x0, então para cada sistema de números
C1 = y10, C2 = y
′
20, . . . , Cn = yn0 ,
tal que
(x0, C1, . . . , Cn) ∈ Ω ,
40
corresponde uma solução do sistema (3.14), qual (para x0 fixo!) pode ser repre-
sentado como
yi = y(x,C1, . . . , Cn), i = 1, . . . , n , (3.17)
onde C1, C2, . . . , Cn são parâmetros arbitrários.
3.4 Redução de ordem de equação diferencial
Em vários casos é possivel reduzir uma EDO de ordem n
F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 (3.18)
até ume EDO de ordem inferior, introduzindo uma nova função desconhecida.
Consideremos alguns tipos de EDO’s, para quais tal redução é posśıvel.
1. Seja parte esquerda da EDO (3.18) não depende (explicitamente) da
função y, i.e., esta EDO tem a seguinte forma
F (x, y′, . . . , y(n)) = 0 . (3.19)
Introduzimos uma função nova z(x) = y′(x), então z′ = y′′, . . . , z(n−1) = y(n) e
EDO (3.19) reescreve-se assim:
F (x, z, z, . . . , z(n−1)) = 0 , (3.20)
i.e., em relação à função z(x) esta EDO é da ordem n− 1.
Qualquer solução z(x), x ∈ I, dessa equação podemos substituir em equação
diferencial y′ = z(x) e resolver a última em relação à y:
y =
∫
z(x)dx+ C .
Apareceu uma constante arbitrária. Muitas vezes, soluções da EDO (3.20), mas
não necessariamente as todas, formam uma famı́lia de funções
z = φ(x,C1, . . . , Cn−1) (x ∈ I) ,
dependentes de n−1 parâmetros C1, . . . , Cn−1. A esta famı́lia corresponde uma
famı́lia das soluções y da EDO (3.19)
y =
∫
φ(x,C1, . . . , Cn−1)dx+ Cn ,
dependentes de n parâmetros arbitrários C1, . . . , Cn (Cn = C).
Exemplo 3.2.
y′′ =
√
1 + (y′)2 .
Aqui, a função y(x) não se encontra (explicitamente) na EDO. Introduzindo
z = y′ podemos representar esta equação na seguinte forma
z′ =
√
1 + z2 .
41
Separando as variáveis, temos
dz√
1 + z2
= dx , x+ C1 =
∫
dz√
1 + z2
= ln(z +
√
1 + z2) ,
i.e.,
z =
1
2
(
ex+C1 − ex+C1
)
= sh(x+ C1) .
Mas z = y′, isto significa que dy = sh(x+ C1)dx, y = ch(x+ C1) + C2.
2. Consideremos o caso quando a parte esquerda da EDO (3.18) não depende
(explicitamente) da variável independente x:
F (y, y′, . . . , y(n)) = 0 . (3.21)
Vamos tratar y como a variável independente e y′ - função desconhecida, mar-
cando y′ = z(y). Então
y′′ = dy
′
dx =
dz(y)
dx =
dz
dy ·
dy
dx = z
′
y · z ,
y′′′ = dy
′′
dx =
d(zz′y)
dx =
d(zz′y)
dy ·
dy
dx = z
(
(z′y)
2 + z · z′′y
)
,
........................................
y(n) = ω(z, z′, . . . , z
(n−1)
y .
Substituindo estes valores em (3.21), obtemos uma EDO de ordem n − 1 em
relação à z. Seja z = z(y) uma solução desta EDO diferente de zero num
intervalo (α, β). Pela razão de z(y) = y′, temos
dx =
dy
z(y)
, x =
∫
dy
z(y)
+ C (y ∈ (α, β)) .
Nos obtemos a solução y(x) da EDO (3.21) dada na forma impĺıcita, que depende
de uma constante arbitrária C.
Frequentemente z = z(y) obtem-se como famı́lia de funções
z = z(y, C1, . . . , Cn−1) ,
dependentes de n − 1 parâmetros C1, . . . , Cn−1. As soluções corespondentes
y = y(x), em sua vez, formam uma famı́lia
y = y(x,C1, . . . , Cn)
das funções, dependentes de n parâmetros C1, . . . , Cn (Cn = C).
Exemplo 3.3.
(y′)2 + 2yy′′ = 0 .
Aqui a variável x não está presente (na forma expĺıcita), por isso, marcando
y′x = z(y), obtemos y
′′ = z · z′y. Substituindo estes valores em equação, temos
z2 + 2yzz′y = 0 ou z(z + 2yz
′
y) = 0. Daqui temos z = 0 e z + 2yz
′
y = 0.
42
Se z = 0, então y′ = 0 e y = const. Se z + 2yz′y = 0, assim separando as
variáveis, obtemos
dz
dx
= −dy
2y
, ln | z
C1
| = ln 1√
y
;
dy
dx
=
C1√
y
,
√
ydy = C1dx ,
2
3
y3/2 = C1x+ C2 .
3.5 Equações lineares de ordem superior
Definição 3.7. Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da
forma
y(n) + pn−1(x)y
(n−1) + · · ·+ p1(x)y′ + p0(x)y = f(x) , (3.22)
onde as funções f(x), p0(x), . . . , pn−1(x) são funções reais e cont́ınuas num in-
tervalo aberto I = (a, b).
A parte esquerda da EDO (3.22) marcamos como Ln[y] ≡ L[y]. Ela chama-se
operador diferencial linear de ordem n.
O operador L[y] possuem as seguintes propriedades:
1. L[Cy] = CL[y] - homogeneidade do operador (C - constante arbitrária);
2. L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2] - aditividade do operador.
Observamos, que um operador homogêneo e additivo chama-se linear. Com
base nestes propriedades, facilmente obtemos que
L[
m∑
k=1
Ckyk] =
m∑
k=1
CkL[yk] , (3.23)
onde Ck - constantes arbitrárias.
Exemplo 3.4. Seja L[y] = y′′ + y e y1 = sinx, y2 = x
2. É fácil observar que
L[C1y1 + C2y2] = C1L[y1] + C2L[y2].
EDO (3.22) pode ser escrita na seguinte forma
L[y] ≡ Ln[y] = f(x0) , (x ∈ I) (3.24)
Se f(x) ≡ 0, então EDO
Ln[y] = 0 , (x ∈ I) (3.25)
chama-se equação diferencial linear homogênea de ordem n.
Nos consideramos, que as funções f(x), p0(x), . . . , pn−1(x) são funções reais
e cont́ınuas num intervalo aberto I = (a, b). Podemos provar, que para tais
funções EDO (3.22) tem uma única solução, definida no mesmo intervalo, que
satisfaz os seguintes dados iniciais
y(x0) = 0, y
′(x0) = y
′
0, . . . , y
(n−1) = y
(n−1)
0 .
Ao mesmo tempo, se as funções f(x), pi(x), i = 1, 2, . . . , n − 1, possuem num
intervalo aberto I derivadas cont́ınuas de ordem q, então a solução construida
y(x) tem derivadas cont́ınuas no intervalo I até ordem q também.
43
Teorema 3.5. Se y1, y2, . . . , ym são soluções da EDO homogênea (3.23), então
a combinação linears delas
m∑
k=1
Ckyk
também é uma solução da mesma equação.
Esta teorema é uma consequência direta da igualdade (3.22).
Vamos introduzir a noção de dependência linear de funções, em analogia com
definição correspondente para uma sistema de vetores.
Definição 3.8. Funções y1(x), y2(x), . . . , ym(x) chamam-se linearmente depen-
dentes num intervalo I, se pelo menos uma delas é a combinação linear das outras
para ∀x ∈ I. Pelos outras palavras, as funções y1(x), y2(x), . . . , ym(x) chamam-
se linearmente dependentes no intervalo I, se existem números α1, α2, . . . , αm
de quais pelo menos um é diferente do zero, tais que
α1y1(x) + · · ·+ αmym(x) ≡ 0 , ∀x ∈ I . (3.26)
Se igualdade (3.26) é válida somente no caso quando todos os αi = 0, então as
funções y1(x), y2(x), . . . , ym(x) chamam-se linearmente independentes no inter-
valo I.
Definição 3.9. Sistema de n linearmente independentes num intervalo I das
soluções
y1(x), y2(x), . . . , yn(x)
da equação diferencial homogênea de ordem n (3.25) com continuas no intervalo
I coeficientes pi(x), i = 1, 2, . . . , n, chama-se sistema (conjunto) fundamental
de soluções desta equação.
Para resolver uma EDO linear homogênea de ordem n (3.25) com coeficiente
cont́ınuas pi(x) é necessário achar o sistema fundamental de suas soluções. De
acordo com Teorema 3.5 uma combinação linear qualquer das soluções yi(x),
i.e., a soma
y =
n∑
k=1
Ckyk(x) , (3.27)
onde Ck - constantes arbitrárias, é, em sua vez, uma solução da EDO (3.25)
no intervalo aberto I = (a, b). Mas posśıvel mostrar e ao contrário, qualquer
solução da EDO (3.25) no intervalo aberto I é uma combinação linear das in-
dicadas (independentes entre si) suas particulares soluções yi(x), que formam o
sistema fundamental de soluções.
Portanto, a solução geral de uma EDO homogênea (3.25) tem representação
(3.27), onde Ck - constantes arbitrárias, e yk(x) - soluções particulares da EDO
homogênea (3.25), que formam o sistema fundamental desta equação.
44
Observamos, que a solução geral da EDO não-homogênea (3.22) é a soma de
uma sua solução particular y0(x) e da solução geral da EDO homogênea(3.25)
y(x) = y0(x) +
n∑
k=1
Ckyk(x) . (3.28)
De fato,
Ln[y] = Ln[y0] +
n∑
k=1
Ckyk(x) = f(x) + 0 = f(x) .
De outro lado, se y é uma solução qualquer da EDO (3.22), então
Ln[y − y0] = Ln[y0]− Ln[y0] = f(x)− f(x) = 0 ,
e, consequente, y−y0 é uma solução da EDO homogênea; mas neste caso existem
tais números Ck, k = 1, . . . , n, que
y(x)− y0(x) =
n∑
k=1
Ckyk(x) ,
i.e., para todos estes números é válida a igualdade (3.28).
Teorema 3.6. Se as funções y1(x), . . . , ym(x) são linearmente dependente num
intervalo aberto I e possuem derivadas até ordem m− 1, então o determinante
det

y1(x) . . . ym(x)
y′1(x) . . . y
′
m(x)
. . . . .
y
(m−1)
1 (x) . . . y
(m−1)
m (x)
 = 0 (∀x ∈ I) . (3.29)
O determinante (3.29) chama-se wronskiano e marca-se como śımbolo W (x) ≡
W [y1, . . . , ym].
Demonstração. Por cáusa de dependência linear das funções y1(x), . . . , ym(x)
no intervalo I, existem tais números α1, . . . , αm (não todos iguais ao zero), para
quais a igualdade (3.26) é válida no intervalo I. Diferenciando esta igualdade
m− 1 vezes, obtemos
α1y1(x)+ · · ·+ αmym(x) ≡ 0 ,
α1y
′
1(x)+ · · ·+ αmy′m(x) ≡ 0 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
α1y
(m−1)
1 (x)+ · · ·+ αmy(m−1)m (x) ≡ 0 .
Pelas condições da teorema, este sistema (homogêneo) tem solução não-trivial
α1, . . . , αm (i.e. pelo menos um número α 6= 0) para ∀x ∈ I. A última é posśıvel
quando o determinante do sistema, que é um wronskiano, é igual identicamente
ao zero. Isto prova a teorema.
45
Observação 3.1. Da Teorema 3.6 temos que se W (x) 6= 0 pelo menos num
ponto de intervalo I, então o sistema de funções y1, . . . , ym é linearmente inde-
pendente no intervalo I.
Exemplo 3.5. As funções 1, x, . . . , x(m−1) são linearmente independentes em
qualquer intervalo I, porque
W [1, x, . . . , x(m−1)] = det

1 x . . xm−1
0 1! . . (m− 1)xm−2
. . . . .
0 0 . . (m− 1)!
 = 1!2! . . . (m−1)! 6= 0 .
Exemplo 3.6. As funções ek1x, . . . , ekmx são linearmente independentes em
qualquer intervalo I, se k1, . . . , km são os números diferentes (reais ou comple-
xos).
De fato,
W [ek1x, . . . , ekmx] = e(k1+···+km)xdet

1 1 . . 1
k1 . . . km
. . . . .
km−11 . . . k
m−1
m
 6= 0 ,
porque o último determinante é o determinante de Vandermonde, que para
diferentes k1, . . . , km é diferente de zero.
Exemplo 3.7. As funções ekx, xekx, . . . , xm−1ekx são linearmente independen-
tes em qualquer intervalo I.
Por causa que ekx 6= 0 e
α1e
kx + α2xe
kx + · · ·+ αmxm−1ekx = ekx
[
α1 + α2x+ · · ·+ αmxm−1
]
,
então a independência linear é uma subsequência do exemplo anterior.
Teorema 3.7. Para que as soluções y1(x), . . . , yn(x) de uma EDO linear Ln[y] =
0 com os coeficientes cont́ınuos fossem linearmente independentes num intervalo
aberto I, é necessário e suficiente, que W [y1, . . . , yn] 6= 0 para todos os pontos
x ∈ I.
Demonstração. 1. Se W (x) 6= 0 em I, então as funções y1(x), . . . , yn(x)
são linearmente independentes, ver Observação 3.1.
2. Sejam y1(x), . . . , yn(x) linearmente independentes no intervalo I e são as
soluções da EDO Ln[y] = 0.
Vamos provar que W (x) 6= 0 em qualquer ponto do intervalo I. Suponhamos
que, ao contrário, existe pelo menos um ponto x = x) ∈ I, tal que W (x0) = 0.
Escolhemos números α1, . . . , αn, diferentes de zero, tal que eles fossem soluções
do sistema 
α1y1(x0) + · · ·+ αnyn(x0) = 0 ,
α1y
′
1(x0) + · · ·+ αny′n(x0) = 0 ,
........................................
α1y
(n−1)
1 (x0) + · · ·+ α
(n−1)
n yn(x0) = 0 .
(3.30)
46
é possivel fazer isso, pois o determinate do sistema (3.30) é W (x0) = 0. Então
em virtudide do Teorema 3.5 a função y =
∑n
k=1 αkyk(x) será uma solução da
equação Ln[y] = 0 com os dados iniciais nulos
y1(x0) = 0 , y
′
1(x0) = 0 , . . . , y
(n−1)
1 (x0) = 0 .
Mas as mesmas condições satisfaz também a solução trivial y ≡ 0. Em
virtude da teorema de existência e unicidade a solução, que satisfaz essas n dados
iniciais, pode ser somente única e, como consequencia, y =
∑n
k=1 αkyk(x) = 0
no intervalo I; i.e. as funções y1(x), . . . , yn(x) são linearmente dependentes
neste intervalo, em contradição com o que foi suposto. O teorema está provado.
Agora vamos analizar a estrutura da solução geral. Está válido o seguinte
teorema.
Teorema 3.8. Se y1(x), . . . , yn(x) são soluções da EDO linear de ordem n
Ln[y] = 0, linearmente independentes num intervalo aberto I, com os coeficien-
tes cont́ınuas pk(x) neste intervalo, então a função
y(x) =
n∑
k=1
Ckyk(x) , x ∈ I , (3.31)
onde Ck são constantes arbitrárias, é a solução geral da EDO Ln[y] = 0, i.e.
a soma (3.31) para quasquer Ck é uma solução desta equação e, ao contrário,
qualquer solução desta equação é representada na forma (3.31) com os constantes
Ck apropriados.
Demonstração. Sabemos, que a soma (3.31) para quasquer Ck é uma
solução da EDO Ln[y] = 0. Seja, ao contrário, z = z(x) uma solução qualquer
desta equação, e
z(x0) = z0 , z
′(x0) = z
′
0 , . . . , z
(n−1)(x0) = z
(n−1)
0 . (3.32)
Para os números z0, z
′
0 , . . . , z
(n−1)
0 criaremos um sistema de equações lineares
à relação de números desconhecidos Ck
∑n
k=1 Ckyk(x0) = z0 ,∑n
k=1 Cky
′
k(x) = z
′
0 ,
........................................∑n
k=1 Cky
(n−1)
k (x) = z
(n−1)
0 .
(3.33)
O determinante do sistema (3.33) W (x0) é diferente de zero, porque as funções
y1(x), . . . , yn(x) são as soluções, linearmente independentes no intervalo I, da
EDO Ln[y] = 0. Por isso, existe um única sistema de números C
0
1 , . . . , C
0
n, que
satisfaz as equações (3.33). Substituindo eles em (3.31), obtemos a solução da
nossa equação na forma
n∑
k=1
C0kyk(x) ,
47
que satisfaz os mesmos dados iniciais (3.32) da função z(x). Aplicando o Te-
orema de existência e unicidade 3.3, obtemos z(x) ≡ y(x) no intevalo I. Isto
prova o teorema.
Sumário
1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Problemas da f́ısica e equações diferenciais ordinárias . . . . . . . 7
2 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem (n = 1) 11
2.1 Métodos elementares da solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Equação de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Teorema de existência e unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.6 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Equações não resolvidas em relação à derivada . . . . . . . . . . 27
2.8 Soluções especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior (n ≥ 2) . 35
3.1 Equação diferencial da segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Sistema de duas equações diferenciais da primeira ordem . . . . . 36
3.3 Equação diferencial de ordem n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Redução de ordem de equação diferencial . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Equações lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . 42
48