Técnicas de primitivação

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4– TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO
Uma técnica de primitivação consiste numa transformação adequada de uma integral para que esta fique naforma da tabela de primitivas imediatas. Portanto, todas as técnicas pressupõem a aplicação da TABELA DEPRIMITIVAS IMEDIATAS.
4.1 – TÉCNICA DE PRIMITIVAÇÃO PARA INTEGRAL INDEFINIDA ò ¢ dx)x(g))x(g(f ou aindaTÉCNICA DE PRIMITIVAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO .
De maneira geral consiste em mudar a variável fazendo-se u = g(x) e diferenciando-se temos du = g ‘(x) dx ,se F é uma primitiva de f teremos :
òò +=+==¢ k))x(g(Fk)u(Fdu)u(fdx)x(g))x(g(f
A seguinte transformação é muito importante : para todo aÎ , com a 0 tem-se :
òò = ádxf(x)á1f(x)dx
o que significa que, multiplicando o integrando por uma constante a 0 , e em seguida dividindo-se tudo pora , nada muda . Agora vamos exemplificar a técnica .
Exemplo -1 Calcular ò dx xcosx 2
Fazendo-se 2xdxduque temos,xu 2 == . Mas olhando o integrando percebemos que falta o fator 2
multiplicando a integranda , e assim usamos a observação . Isto é :
kxsen2
1kusen2
1du ucos2
1xdx2. xcos2
1dx xcosx 222 +=+=== òòò
Exemplo – 2 Calcular : òòò cos(3x)dxc)(3x)dxsen )bdxea) 3xSoluçãoFaçamos u = 3x e assim du = 3dx. Logo
ke3
1ke3
1due3
1dx.3.e3
1dxe)a x3uux3x3 +=+=== òò ò
k)x3cos(3
1-k ucos3
1dusenu3
1dx.3)x3(sen3
1sen(3x)dx)b +=+-=== òòò
k)x3sen(3
1kusen3
1uducos3
1dx3)x3cos(3
1cos(3x)dx)c +=+=== òòò
Observe que já sabíamos resolver as três integrais, usando o fato que já demonstramos:
aÎ e a 0
k)x(sen1dx)xcos(
k)xcos(1dx)x(senke1dxe xx
+aa=a
+aa-=a+a=
ò
òò aa
Vamos então aproveitar para mostrar a primitivação de ( ) òò = xdxsendxsenx 22 e ò dxxcos 2
Para isto vamos usar duas transformações trigonométricas e recair nas integrais trigonométricas antes citadas:
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TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES:
Para todo xÎ vale as relações :
)x2(sen2
1
2
1xsene)x2cos(2
1
2
1xcos
:seguintesasproduzemcombinadasquexsenxcoscos(2x)e1xcosxsen
22
2222
-=+=
-==+
Assim temos:
k)x2(sen4
1x2
1dx)x2cos(2
1
2
1xdxcos
k)x2(sen4
1x2
1dx)x2cos(2
1
2
1xdxsen
2
2
++=÷ø
öçè
æ +=
+-=÷ø
öçè
æ -=
ò ò
ò ò
Exemplo - 3 – Calcular ( ) dx1x2 7ò +Solução
Façamos u = 2x+1. Daí , [ ] dx2dx1x2du =¢+= . Assim temos :
( ) ( ) ( ) k1x2161ku161duu21dx21x221dx1x2 88777 ++=+==+=+ òòò
Exemplo – 4 – Calcular dxx1
x
2ò +
Solução ;
Façamos [ ] : temosassime.xdx2dx1xdu,Daí.x1u 2 =¢+=+=
( ) kx1ln21kuln21duu121dx2x x1 121dxx1 x 222 ++=+==+=+ òòò
Exemplo – 5 – Calcule dx 2x3
1ò +Solução:
Façamos , :Portanto3dx.du,Daí.2x3u =+=
k|1x3|ln3
1k |u|ln3
1du u
1
3
13dx 2x3
1
3
1dx 2x3
1 ++=+==+=+ òòò
Exemplo – 6 – Calcular dxx1
x
4ò +Solução :
Observe que ( )224 xx = . Façamos então , 2xdxdu,Dai.xu 2 == assim temos :
( ) kgxarct21kugarct21duu1 121dx2xx1 121dxx1 x 22224 +=+=+=+=+ òòò
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Exemplo – 7 – Calcule dxx1x 2ò +
Solução:
Façamos :queentãosegue2xdx du,Daí.x1u 2 =+=
( ) kx131ku31ku32.21duu21xdx2x121dxx1x 3232322 ++=+=+==+=+ òòò
Exemplo – 8 – Calcule dxx1x 23ò +Solução:
Façamos :queentãosegue2xdx du,Daí.x1u 2 =+=
( )
( ) ( ) kx131x151u32u5221
duuu2
1duu1u2
1dx2x x1x2
1dxx1x
32522
3
2
5
2
1
2
32223
++-+=úû
ùêë
é -=
=÷÷ø
öççè
æ -=-=+=+ òòòò
Exemplo – 9 – Calcule ò xdxcosxsen 3Solução:
Façamos cosxdxdu,Daí.senxu == . Temos então que:
kxsen4
1ku4
1duuxdxcosxsen 4433 +=+== òò
Exemplo –10 – Calcule dxxcos
senx
3ò
Solução:Faça u = cos x. Daí tem du= - senxdx. Assim:
kxcos2
1ku2
1k2
uduuduu
1)senxdx-(xcos
1dxxcos
senx
22
23
333 +=+=+--=-=-=-= òòòò --
Exemplo –11 – Calcule ò xdxcosxsen 34Solução: xcos)xsen1(xsenxcosxcosxsenxcosxsen 242434 -==
Fazendo u = sen x, temos que du= cosx dx.
( )
kxsen7
1xsen5
1ku7
1u5
1
duuudu)u1(uxdxcos)xsen1(xsenxdxcosxsen
7575
64242434
+-=+-=
=-=-=-= òò òò
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Exemplo –12 – Calcule ( ) dxx1 xb)dxx1 x)a 23
2
3
2ò ò ++
Solução:
Façamos dx3xdu,Daí.x1u 23 =+= . Temos então:
k|x1|ln3
1k|u|ln3
1duu
1
3
1dxx3x1
1
3
1dxx1
xa) 3233
2 ++=+==+=+ òòò
( ) ( ) ( )
k)x1(3
1
ku3
1k1
u
3
1duu3
1duu
1
3
1dxx3x1
1
3
1dxx1
x)b
3
12222323
2
++=
=+-=+-===+=+
--òòò ò
Exemplo –13 – Calcule dxx4
5)a 2ò + dxx23 2)b 2ò +
a) ÷÷ø
ö
ççè
æ ÷ø
öçè
æ+=+ 22 2
x1.4x4queobserve e fazendo-se dx2
1duse- tem,2
xu ==
k2
xarctg4
5karctgu4
5duu1
1
4
5dx
2
x1
1
4
5dxx4
5
222 +÷ø
öçè
æ=+=+=÷ø
öçè
æ+
=+ òòò
b) Observe que 3
x21.3)3
x21.(3x23
222 ÷÷ø
ö
ççè
æ
÷÷ø
öççè
æ+=+=+
Fazendo-se du2
3dxsejaou dx3
2du quese- tem3
x2u === .
kx3
2arctg23
32karctgu23
32duu1
1
23
32dx
3
x21
1
3
2dxx23
2
222 +=+=+=
÷÷ø
öççè
æ+
=+ òòò
4.2 – TÉCNICA DE PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
Sejam u = f(x) e v = g(x) funções deriváveis. Então temos:[ ] )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g).x(f ¢+¢=¢
Portando f(x).g(x) é uma primitiva de )x(g)x(f)x(g)x(f ¢+¢ . Assim:[ ]
( )I(x)g(x)dxf-f(x)g(x)(x)dxgf(x)
f(x).g(x)(x)dxgf(x)dx)x(g)x(f
f(x).g(x)dx)x(g)x(f)x(g)x(f
ò ò
òò
ò
¢=¢
=¢+¢
=¢+¢
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Mas temos que : (x)dxgdvedx)x(fdu ¢=¢= e assim substituindo em ( )I vem :
)II(vduuvudvò ò-=
As fórmulas ( ) ( )IIeI são equivalentes e são chamadas : Integração por Partes . Nós por comodidade
estaremos usando ( )I .
Exemplo – 1 – Calcule ò - xdxcos)5x2(
Façamos, f (x) =2x-5 e g’(x)=cosx. Daí, f’(x)=2 e g(x)=ò cosx dx = senx. Então( ) ( ) k)xcos2(senx5x2dxsenx.2senx.5x2dxxcos)5x2(
gfgfgf
+---=--=- òò ------ ¢¢
Portanto : ( ) ( ) kcosx 2senx 5-2xxdxcos5x2 ++=-ò
Exemplo – 2 – Calcule ò dxarctgx 
k)x1ln(2
1arctgxdxx1
xarctgxdxarctgx 
: temosassim,dxxx1
1x.arctgxdx1.arctgxdxarctgx 
2
2
2
f
ggfgf
++-=+-=
+-==
òò
òòò
¢
¢ ¯
-----
Exemplo – 3 – Calcule ò senxdxx 2
òòò ---=¢-=
¢--
dx)xcos(x2)xcos(xdx)x(g)x(f)x(g)x(fdxsenxx 22
gf
Portanto ,
( )
ò ò+-= 43421 1
22 xdxcosx2xcosxsenxdxx ( )2
Vamos aplicar partes novamente em ( 1 ) e retornar a ( 2 ) .òò ++=+--=-= ¢---- ¢ kxcos2xsenx2k)xcos(2xsenx2dxsenx2senx.x2dxxcosx2 gfgfgf (3)Substituindo (3) em (2) vem:ò +++-= kxcos2xsenx2xcosxxdxcosx 22
Exemplo – 4 – Calcule ò xdxcose x
Fazendo ò ò=¢=¢= senxdxe(x)g(x)dxfobtremos,cosx (x)gee)x(f xx cujo o cálculo apresenta
as mesmas dificuldades que ò xdxcosex . Se fizermos xe(x)gexcos)x(f =¢= , o problema é omesmo. Aparentemente , não vale a pena aplicar a regra da integração por partes .Mas veja:
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( )
( ) ( )
( )òò
ò ò
ò òò
òòò
++=Þ+=
-+=
+-=---=
-=
¢--
kxcossenx2
exdxcosexcosesenxexdxcose2
xdxcosexcosesenxexdxcose: vem(I)em(II)se-osubsituind,Agora
II)(xdxcosexcosedxxcosexcosesenxdxe
: vemsenxdxeapartesaplicando,ladooutropor eIsenxdxesenxedxxcose
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxx
gf
Como ficaria a integração por partes na integral definida?
[ ] òò ¢-=¢ ba
b
a
b
a
dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f
Exemplo – 5 – Calcule dxxlnx2
1òFaçamos f(x) = lnx e g’(x) = x.
( ) ( )
4
32ln2dx2
x.x
1xln2
xxdxlnx
: vem(I)em voltando,4
3
4
114
xdx2
xdx2
x.x
1
2ln21ln2
12ln2
2xln2
x
: temosnteseparadamecalculandoe)I(dx2
x.x
1xln2
xxdxlnx
2
1
22
1
2
1
2
2
1
2
1
22
1
2
222
1
2
2
1
22
1
2
1
2
-=-úû
ùêë
é=
=-=úû
ùêë
é==
=÷÷ø
öççè
æ-÷÷ø
öççè
æ=úû
ùêë
é
-úû
ùêë
é=
òò
òò
òò
Exemplo – 6 – Calcule dxxcos2ò
Façamos senxg(x),osx c(x)geosxcf(x):assimxdxcos.xcosdxxcos2 ==¢== òò
( )
( ) kxxcossenx21dxxcos:então temos,xxcossenxdxxcos2
: temosassim,xdxcos-dx-senxcosxdxxcos1xcossenxdxxcos
xcos1xsenfaçamosintegralultimanadxsenxcossenxdxxcos22
222
2222
+-=-=
=-+=
-=+=
òò
òòòò
òò
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