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Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 1 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r Geometria Plana Exercícios de Áreas e Razão entre Áreas 01 - As figuras abaixo representam, respectivamente, um terreno com área de 4.000 m 2 e uma maquete do mesmo terreno que está na escala de 1:50. A área da maquete é de: Figura 1 - Terreno Figura 2 - Maquete a) 2,2 m 2 b) 2,0 m 2 c) 1,8 m 2 d) 1,6 m 2 e) 1,4 m 2 02 - Na figura abaixo tem-se o triângulo ABC, inscrito em um semi-círculo de centro O e raio de medida 4 cm. A razão entre as áreas dos triângulos ABO e AOC, nessa ordem, é a) 2 3 b) 3 4 c) 4 5 d) 5 6 e) 1 03 - Num triângulo ABC, M é ponto médio de AC e N, ponto médio de BC . A razão entre a área do triângulo MNC e do quadrilátero ABNM será: a) 2/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 2/5 e) 1/3 04 - No triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D e E dividem o lado AB em três partes iguais e os pontos F, G e H dividem o lado BC em quatro partes iguais. A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale: a) 1/3 b) 1/4 c) 1/7 d) 1/12 e) 1/15 05 - O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a sua diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}. A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD). A seqüência de operações que representa essa fração está indicada na seguinte alternativa: a) 3 1 . 3 1 . 2 1 b) 3 1 . 3 1 2 1 c) 3 1 3 1 . 2 1 d) 3 1 3 1 2 1 06 - A figura abaixo representa o brinquedo Piramix. Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida em 9 triângulos equiláteros congruentes. Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 2 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido. A razão entre as superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a: a) 4/9 b) 5/9 c) 7/9 d) 8/9 07 - Observe as figuras seguintes. A figura 1 foi ampliada para a figura 2 e esta também foi ampliada para a figura 3. O fator de ampliação da figura 2 para a figura 3 é a) 4 7 b) 2 3 c) 3 4 d) 4 5 e) 6 7 08 - Sendo ABCD um quadrado, podemos afirmar que: A B DC S2 S1 a) S1 = 4 S2 b) S1 = 2 3 S2 c) S1 = 2 S2 d) S1 = S2 e) nenhuma das respostas anteriores 9 - Considere o trapézio ao lado onde se tem m10AB e m6DC . Sabe-se que a área do trapézio é 32m 2 . Nessas condições a área do triângulo ADC será: a) 10m 2 b) 12 m 2 c) 8 m 2 d) 6 m 2 e) 16 m 2 10 - No círculo abaixo, a figura é formada a partir de semi- circunferências e AC = CD = DE = EB. S1 DC E BA S2 Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas. 11 -Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é . Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de , pela expressão: a) 2cos 2 b) 2sen 2 2 c) cos2sen 2 2 d) 2cossen 2 e) 2cos2sen 2 Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 3 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r 13 - Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função xlogy a , com 1a (figura abaixo). Suponha que )0 ,x(B e )0 ,1x(C e )0 ,1x(A . Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é: a) 2 5 2 1 b) 2 5 1 c) 5 2 1 d) 51 e) 52 2 1 14 - A base de um triângulo mede 132m e sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22m e a altura, em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h. 15- O mosaico da figura foi desenhado em papel quadriculado 1 x 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a: a) 3 1 b) 3 c) 3 2 d) 2 1 e) 4 1 16 - Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA. Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é A Q D C B P a) .dm 3 2 b) .dm 5 2 c) .dm 5 3 d) .dm 2 1 e) .dm 7 4 17 - Na figura a seguir, a razão entre as áreas do triângulo AED e do quadrado ABCD é igual a: a) 2 3 b) 2 1 c) 3 2 d) 4 3 Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 4 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r e) 5 3 18 - O quadrado maior da figura 1 tem 9 cm de lado. Utilizando partes da figura 1, constrói-se a figura 2, que recebe o nome de coração partido. Considerando a figura 2, marque a alternativa INCORRETA: a) A soma das áreas das regiões 1, 2, 3 e 5 é a metade da soma das áreas das regiões 4, 6, 7 e 8. b) A área da região 7 é igual à área da região 4. c) O coração partido tem perímetro cm)2(6 . d) A área do coração partido é 2cm)4(9 . e) O perímetro da região 8 é cm)24(3 . 19 - Em um trapézio ABCD, os pontos P , Q , M e N são médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. A razão entre a área do quadrilátero PQMN e a área do trapézio é a) 4 1 b) 2 1 c) 3 1 d) 3 2 e) 5 4 20 - a) Calcule a área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 1. b) Denotando por An a área do polígno regular de n lados (n 3) inscrito em uma circunferência de raio 1, prove que n º360 2 n n sen.A . 21 - Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a razão A1 / A2 é igual a a) 8/5 b) 16/29 c) )12(2 d) 8/)124( e) 4/)22( 22 - Um televisor comum tem tela retangular plana com base e altura proporcionais a 4 e 3. Um televisor de tela larga (widescreen) tem tela retangular plana com base e altura proporcionais a 16 e 9. a) Tomando-se um televisor comum e um de tela larga, ambos com telas de mesma altura, obtenha a razão da área da tela do widescreen pela área da tela do comum. b) Um televisor de p polegadas (p in) tem a diagonal da sua tela medindo p polegadas. Obtenha a área, em polegadas quadradas (in 2 ), de um televisor comum de 20 polegadas. 23 - Na circunferência de centro C,indicada a seguir, DE e EF são cordas congruentes, e o menor arco é igual à sexta parte da circunferência. A razão entre a área do triângulo DEF e a área do triângulo BCA é a) 4. b) 32 . c) 3 34 d) 3 e) 3 32 24 - No triângulo ao lado, 3 34 yx e x . y = 1. A razão entre a área do triângulo e a área do círculo de diâmetro Z é igual a: Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 5 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r a) 36 39 . b) 21 39 . c) 9 313 . d) 13 312 . e) 4 3 . 25 - Um retângulo de base x está inscrito numa circunferência de raio 2. A medida da área desse retângulo, em função de x, é: a) 24 xx b) xx 22 c) 216 xx d) x2 26 -Internamente ao quadrado ABCD foram construídos dois triângulos eqüiláteros de lados iguais a 4, conforme figura. A B CD E A área do triângulo BCE é: a) 8 b) 34 c) 2 d) 22 e) 3 34 27 -Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em vários lotes retangulares de mesma área, correspondente a 156 m 2 . Em cada lote, será construída uma casa retangular que ocupará uma área de 54 m 2 , atendendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja construída mantendo 3 m de afastamento da frente e 3 m do fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma das laterais. Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de modo que cada lote tenha o menor perímetro possível. 28 - Miguel pintará um painel retangular com motivos geométricos. As duas regiões destacadas, a região 1 (FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 (HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme figura abaixo, serão pintadas de vermelho. Sabe-se que a tinta utilizada para pintar uma região qualquer depende proporcionalmente de sua área. Se Miguel gastasse na pintura da região 1, 3/7 da tinta vermelha de que dispõe, poderíamos afirmar que a) o restante de tinta vermelha daria , exatamente, para a pintura da região 2. b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente para a pintura da região 2. c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam 3/7 de tinta vermelha. d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria 1/7 de tinta vermelha. 29 - Um comício deverá ocorrer num ginásio de esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura. Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m 2 de área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da partem preto na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento? Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 6 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r a) 2 700. b) 1 620. c) 1 350. d) 1 125. e) 1 050. 30 - A figura ao lado representa três círculos concêntricos de raios 3m, 4m e 5m, respectivamente. Que porcentagem da área do círculo maior representa a área cinza? a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 31 - Uma empresa tem o seguinte logotipo: Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm 2 , de toda a região pintada de preto é: a) 4 9 9 b) 4 9 18 c) 2 9 18 d) 4 9 36 e) 2 9 36 32 - Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está completamente cheio com 30 m 3 de água e 42m 3 de petróleo. Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é: a) 2 b) 7 c) 3 7 d) 8 e) 3 8 33 - Nesta figura, o triângulo eqüilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2: Então, a área da região hachurada é: a) 3 334 b) 3 332 c) 3 343 d) 3 323 34 - Um círculo de centro O e cujo diâmetro AB é um dos lados do triângulo eqüilátero ABC intercepta os outros dois lados desse triângulo nos pontos D e E, conforme ilustra a figura abaixo. Sabendo que o diâmetro AB mede 16 cm, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desconsiderando, para a marcação na folha de respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados. A B D E C O a) Calcule a medida, em graus, do ângulo AÔD. b) Calcule o comprimento, em mm, do segmento DE. c) Determine a porcentagem da área do triângulo ABC ocupada pelo quadrilátero ABED. Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 7 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r 35 - Se desejarmos duplicar a área de um quadrado de lado ‘a’ é necessário: a) acrescentar uma unidade à medida do lado do quadrado original. b) considerar um quadrado de lado igual à diagonal do quadrado original. c) triplicar a medida do lado do quadrado original. d) duplicar a medida do lado do quadrado original. e) quadruplicar a medida do lado do quadrado original. “Ainda que os teus passos pareçam inúteis, vai abrindo caminhos, como a água que desce cantando da montanha. Outros te seguirão...” (Saint-Exupéry) Prof. Marcelo Campos Silva - marcelocs500@gmail.com 8 | P r o j e t o F u t u r o M i l i t a r – w w w . f u t u r o m i l i t a r . c o m . b r Gabarito 1 - D 2 - E 3 - E 4 - D 5 - A 6 - D 7 - C 8 - D 9 - B 10 - 1 2 1 S S 11 - E 13 - A 14 - 77 15 - D 16 - B 17 - B 18 - A 19 - B 20 - a) ua 4 33 b) Demonstração 22 a) 3 4 b) 192 n 2 23 - C 24 - B 25 - C 26 - E 27 - x = 6 m e y = 9 m 28 - D 29 - D 30 - B 31 - B 32 - B 33 - A 34 - a) 060 b) 080 c) 075 35 - B
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