Cálculo numérico

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Cálculo Numérico
Ajuste de Curvas
Alessandro Alves Santana
Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
13 de outubro de 2017
Alessandro Alves Santana Cálculo Numérico
Ajuste de Curvas
O que é o ajuste de curvas ?
Assim como a interpolação polinomial, a técnica de ajuste de curvas é um método de aproximação
de funções. Essa técnica segue um procedimento diferente da técnica de interpolação polinomial.
A metodologia do ajuste de curvas também é chamado Método dos Mínimos Quadrados
(MMQ). Normalmente é aplicada sobre valores de uma função tabelada, com lei de formação
desconhecida, sendo essa função aproximada por uma outra função a qual é escrita como uma
combinação linear de outras funções cujas expressões são conhecidas.
Essa técnica tem muita aplicação ?
Sim. É massivamente utilizada em experiências laboratoriais de física para estudar fenômenos
físicos cujas leis que a definem são desconhecidas.
Alessandro Alves Santana Cálculo Numérico
Ajuste de Curvas
O que é o ajuste de curvas ?
Assim como a interpolação polinomial, a técnica de ajuste de curvas é um método de aproximação
de funções. Essa técnica segue um procedimento diferente da técnica de interpolação polinomial.
A metodologia do ajuste de curvas também é chamado Método dos Mínimos Quadrados
(MMQ). Normalmente é aplicada sobre valores de uma função tabelada, com lei de formação
desconhecida, sendo essa função aproximada por uma outra função a qual é escrita como uma
combinação linear de outras funções cujas expressões são conhecidas.
Essa técnica tem muita aplicação ?
Sim. É massivamente utilizada em experiências laboratoriais de física para estudar fenômenos
físicos cujas leis que a definem são desconhecidas.
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Ajuste de Curvas
Qual é o princípio do Método dos Mínimos Quadrados ?
A essência do MMQ consiste é aproximar uma função com n valores tabelados
x x1 x2 x3 · · · xn
f (x) f (x1) f (x2) f (x3) · · · f (xn)
por uma outra função g(x) definida como
g(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + α3φ3(x) + · · ·+ αmφm(x) (1)
sendo φi(x), i = 1, 2, . . . ,m, funções previamente escolhidas, de tal forma que
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]2 (2)
tenha o menor valor. Esse método recebe o nome de Método dos Mínimos Quadrados justamente
por que ele busca determinar os valores de αi de tal modo que o somatório dos quadrados dos
desvios seja mínimo. Uma vez escolhida as funções φi(x), o processo de resume em
determinar os parâmetros αi que minimiza F(α1, α2, . . . , αm) e que define a função
aproximadora g(x).
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Ajuste de Curvas
-0.4
 0
 0.4
 0.8
 1.2
 1.6
 2
 2.4
 2.8
 3.2
 3.6
 4
 4.4
 4.8
 5.2
 5.6
 6
 6.4
 6.8
 7.2
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
y
x
(x,y) tabelados
g(x)
desvios
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Ajuste de Curvas
Dedução do Método dos Mínimos Quadrados
Como posso determinar os parâmetros αi ?
Para obter αi precisamos minimizar F(α1, α2, . . . , αm) derivando essa função em relação a cada
αi , i = 1, 2, . . . ,m e igualando a zero cada uma dessas derivadas. Isso irá gerar no final um
sistema linear cujas incógnitas são os parâmetros a serem determinados.
Processo de Determinação dos Parâmetros
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]2
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]2
Fαi = −2
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]φi(xk)
com i = 1, 2, 3, . . . ,m.
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Dedução do Método dos Mínimos Quadrados
Como posso determinar os parâmetros αi ?
Para obter αi precisamos minimizar F(α1, α2, . . . , αm) derivando essa função em relação a cada
αi , i = 1, 2, . . . ,m e igualando a zero cada uma dessas derivadas. Isso irá gerar no final um
sistema linear cujas incógnitas são os parâmetros a serem determinados.
Processo de Determinação dos Parâmetros
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]2
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]2
Fαi = −2
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]φi(xk)
com i = 1, 2, 3, . . . ,m.
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Dedução do Método dos Mínimos Quadrados
Como posso determinar os parâmetros αi ?
Para obter αi precisamos minimizar F(α1, α2, . . . , αm) derivando essa função em relação a cada
αi , i = 1, 2, . . . ,m e igualando a zero cada uma dessas derivadas. Isso irá gerar no final um
sistema linear cujas incógnitas são os parâmetros a serem determinados.
Processo de Determinação dos Parâmetros
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]2
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]2
Fαi = −2
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]φi(xk)
com i = 1, 2, 3, . . . ,m.
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Dedução do Método dos Mínimos Quadrados
Como posso determinar os parâmetros αi ?
Para obter αi precisamos minimizar F(α1, α2, . . . , αm) derivando essa função em relação a cada
αi , i = 1, 2, . . . ,m e igualando a zero cada uma dessas derivadas. Isso irá gerar no final um
sistema linear cujas incógnitas são os parâmetros a serem determinados.
Processo de Determinação dos Parâmetros
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]2
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]2
Fαi = −2
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]φi(xk)
com i = 1, 2, 3, . . . ,m.
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Dedução do Método dos Mínimos Quadrados
Como posso determinar os parâmetros αi ?
Para obter αi precisamos minimizar F(α1, α2, . . . , αm) derivando essa função em relação a cada
αi , i = 1, 2, . . . ,m e igualando a zero cada uma dessas derivadas. Isso irá gerar no final um
sistema linear cujas incógnitas são os parâmetros a serem determinados.
Processo de Determinação dos Parâmetros
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]2
F(α1, α2, α3, . . . , αm) =
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]2
Fαi = −2
n∑
k=1
[f (xk)− α1φ1(xk)− α2φ2(xk)− α3φ3(xk)− · · · − αmφm(xk)]φi(xk)
com i = 1, 2, 3, . . . ,m.
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Dedução do Método dos Mínimos Quadrados
Fαi = −2
{ n∑
k=1
f (xk)φi(xk)−
[ n∑
k=1
φ1(xk)φi(xk)
]
α1 −
[ n∑
k=1
φ2(xk)φi(xk)
]
α2−[ n∑
k=1
φ3(xk)φi(xk)
]
α3 − · · · −
[ n∑
k=1
φm(xk)φi(xk)
]
αm
}
Fazendo Fαi = 0 para cada i = 1, 2, . . . ,m iremos montar um sistema linear onde cada equação
linear tem a seguinte forma geral
[ n∑
k=1
φ1(xk)φi(xk)
]
α1 +
[ n∑
k=1
φ2(xk)φi(xk)
]
α2+[ n∑
k=1
φ3(xk)φi(xk)
]
α3 + · · ·+
[ n∑
k=1
φm(xk)φi(xk)
]
αm =
n∑
k=1
f (xk)φi(xk).
Fazendo i = 1, 2, . . . ,m o resultado será um sistema linear Aα = b com apresentado a seguir
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Ajuste de Curvas
Dedução do Método dos Mínimos Quadrados

a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · · a2m
a31 a32 a33 · · · a3m
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 · · · amm


α1
α2
α3
...
αm
 =

b1
b2
b3
...
bm

aij =
n∑
k=1
φi(xk)φj(xk)
bi =
n∑
k=1
f (xk)φi(xk)
Note que a matriz dos coeficientes A é uma matriz simétrica, isto é, aij = aji . Isso facilita
os cálculos de montagem da matriz dos coeficientes. Osistema linear pode ser resolvido por
MEGPP ou por outro método mais conveniente. As equações que produzem o sistema linear
Aα = b chamadas Equações Normais.
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Ajuste de Curvas
Dedução do Método dos Mínimos Quadrados

a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · · a2m
a31 a32 a33 · · · a3m
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 · · · amm


α1
α2
α3
...
αm
 =

b1
b2
b3
...
bm

aij =
n∑
k=1
φi(xk)φj(xk)
bi =
n∑
k=1
f (xk)φi(xk)
Note que a matriz dos coeficientes A é uma matriz simétrica, isto é, aij = aji . Isso facilita
os cálculos de montagem da matriz dos coeficientes. O sistema linear pode ser resolvido por
MEGPP ou por outro método mais conveniente. As equações que produzem o sistema linear
Aα = b chamadas Equações Normais.
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Ajuste de Curvas
Exemplo
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (x) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por uma função da forma
g(x) = α1 x + α2 sen(x) + α2 sen(2x).
Resolução
Da tabela temos n = 6 dados sobre a função f (x). Da função de ajuste temos que φ1(x) = x,
φ2(x) = sen(x) e φ3(x) = sen(2x). Para obter o ajuste são necessários m = 3 parâmetros que
são os valores de αi , i = 1, . . . , 3. São esses parâmetros que fornecerão os parâmetros de ajuste
via Método dos Mínimos Quadrados.
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Ajuste de Curvas
Exemplo
Calculando os termos do sistema linear, temos que:
a11 =
6∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
6∑
k=1
x2k
a12 =
6∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
6∑
k=1
xksen(xk)
a13 =
6∑
k=1
φ1(xk)φ3(xk) =
6∑
k=1
xksen(2xk)
a22 =
6∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
6∑
k=1
sen2(xk)
a23 =
6∑
k=1
φ2(xk)φ3(xk) =
6∑
k=1
sen(xk)sen(2xk)
a33 =
6∑
k=1
φ3(xk)φ3(xk) =
6∑
k=1
sen2(2xk)
a21 = a12
a31 = a13
a32 = a23
b1 =
6∑
k=1
f (xk)φ1(xk) =
6∑
k=1
f (xk)xk
b2 =
6∑
k=1
f (xk)φ2(xk) =
6∑
k=1
f (xk)sen(xk)
b3 =
6∑
k=1
f (xk)φ3(xk) =
6∑
k=1
f (xk)sen(2xk)
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Ajuste de Curvas
Exemplo
Montando o sistema linear,
 55.00000 −4.73841 −0.20523−4.73841 3.04710 −0.18952
−0.20523 −0.18952 2.75243
 α1α2
α3
 =
 50.05637−1.88083
2.35769

⇒
 α1α2
α3
 =
 1.000001.00000
1.00000

Exercício
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (x) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por um polinômio de grau 3 p3(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3. Trabalhe com 5 casas decimais.
Resolva o sistema linear associado ao problema via MEGPP.
α1= 0.27778 α2= 2.04237 α3=-0.46756 α4= 0.03959
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Ajuste de Curvas
Exemplo
Montando o sistema linear,
 55.00000 −4.73841 −0.20523−4.73841 3.04710 −0.18952
−0.20523 −0.18952 2.75243
 α1α2
α3
 =
 50.05637−1.88083
2.35769
 ⇒
 α1α2
α3
 =
 1.000001.00000
1.00000

Exercício
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (x) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por um polinômio de grau 3 p3(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3. Trabalhe com 5 casas decimais.
Resolva o sistema linear associado ao problema via MEGPP.
α1= 0.27778 α2= 2.04237 α3=-0.46756 α4= 0.03959
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Ajuste de Curvas
Exemplo
Montando o sistema linear,
 55.00000 −4.73841 −0.20523−4.73841 3.04710 −0.18952
−0.20523 −0.18952 2.75243
 α1α2
α3
 =
 50.05637−1.88083
2.35769
 ⇒
 α1α2
α3
 =
 1.000001.00000
1.00000

Exercício
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (x) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por um polinômio de grau 3 p3(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3. Trabalhe com 5 casas decimais.
Resolva o sistema linear associado ao problema via MEGPP.
α1= 0.27778 α2= 2.04237 α3=-0.46756 α4= 0.03959
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Ajuste de Curvas
Exemplo
Montando o sistema linear,
 55.00000 −4.73841 −0.20523−4.73841 3.04710 −0.18952
−0.20523 −0.18952 2.75243
 α1α2
α3
 =
 50.05637−1.88083
2.35769
 ⇒
 α1α2
α3
 =
 1.000001.00000
1.00000

Exercício
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (x) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por um polinômio de grau 3 p3(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3. Trabalhe com 5 casas decimais.
Resolva o sistema linear associado ao problema via MEGPP.
α1= 0.27778 α2= 2.04237 α3=-0.46756 α4= 0.03959
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear
Quando se ajusta uma curva via MMQ uma função f (x) com valores tabelados por uma função
g(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + α3φ3(x) + · · ·+ αmφm(x)
dizemos estamos lidando com um caso linear pois os parâmetros αi , i = 1, 2, . . . ,m, a serem
estimados aparecem linearmente na expressão de g(x) e φi(x), i = 1, 2, . . . ,m, só depende da
variável independente x. Agora, quando o φi(x), i = 1, 2, . . . ,m, depende também do parâmetro
a ser estimado, dizemos que o caso é não-linear.
Por exemplo, se os dados de uma função f (x)
tabelada é melhor ajustada por uma função da forma
g(x) = α1φ1(α2 x) + α3φ2(α4 x)
estamos diante de um caso não linear pois φ1(x) e φ2(x) dependem, respectivamente, dos
parâmetros α2 e α4 que precisam serem estimados. Nessa situação, para aplicar o MMQ é
necessário antes linearizar a função de ajuste.
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear
Quando se ajusta uma curva via MMQ uma função f (x) com valores tabelados por uma função
g(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + α3φ3(x) + · · ·+ αmφm(x)
dizemos estamos lidando com um caso linear pois os parâmetros αi , i = 1, 2, . . . ,m, a serem
estimados aparecem linearmente na expressão de g(x) e φi(x), i = 1, 2, . . . ,m, só depende da
variável independente x. Agora, quando o φi(x), i = 1, 2, . . . ,m, depende também do parâmetro
a ser estimado, dizemos que o caso é não-linear. Por exemplo, se os dados de uma função f (x)
tabelada é melhor ajustada por uma função da forma
g(x) = α1φ1(α2 x) + α3φ2(α4 x)
estamos diante de um caso não linear pois φ1(x) e φ2(x) dependem, respectivamente, dos
parâmetros α2 e α4 que precisam serem estimados. Nessa situação, para aplicar o MMQ é
necessário antes linearizar a função de ajuste.
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 1: f (x) = aeb x :
f (x) = aeb x ⇒
ln[f (x)] = ln
(
aeb x
)⇒ F(x)︷ ︸︸ ︷ln[f (x)] = α1︷ ︸︸ ︷ln(a) · φ1(x)︷︸︸︷1 + α2︷︸︸︷b · φ2(x)︷︸︸︷x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 1: f (x) = aeb x :
f (x) = aeb x ⇒ ln[f (x)] = ln (aeb x)⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
ln[f (x)] =
α1︷ ︸︸ ︷
ln(a) ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 1: f (x) = aeb x :
f (x) = aeb x ⇒ ln[f (x)] = ln (aeb x)⇒ F(x)︷ ︸︸ ︷ln[f (x)] = α1︷ ︸︸ ︷ln(a) · φ1(x)︷︸︸︷1 + α2︷︸︸︷b · φ2(x)︷︸︸︷x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 2: f (x) = abx :
f (x) = abx ⇒
ln[f (x)] = ln (abx)⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
ln[f (x)] =
α1︷ ︸︸ ︷
ln(a) ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷ ︸︸ ︷
ln(b) ·
φ2(x)︷︸︸︷x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) φ1(x) = 1
α2 = ln(b) φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 2: f (x) = abx :
f (x) = abx ⇒ ln[f (x)] = ln (abx)⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
ln[f (x)] =
α1︷ ︸︸ ︷
ln(a) ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷ ︸︸ ︷
ln(b) ·
φ2(x)︷︸︸︷
x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) φ1(x) = 1
α2 = ln(b) φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 2: f (x) = abx :
f (x) = abx ⇒ ln[f (x)] = ln (abx)⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
ln[f (x)] =
α1︷ ︸︸ ︷
ln(a) ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷ ︸︸ ︷
ln(b) ·
φ2(x)︷︸︸︷
x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) φ1(x) = 1
α2 = ln(b) φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 3: f (x) =
√
a + bx :
f (x) =
√
a + bx ⇒
[f (x)]2 = a + bx ⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
[f (x)]2 =
α1︷︸︸︷
a ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = [f (x)]2
α1 = a φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 3: f (x) =
√
a + bx :
f (x) =
√
a + bx ⇒ [f (x)]2 = a + bx ⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
[f (x)]2 =
α1︷︸︸︷
a ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = [f (x)]2
α1 = a φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 3: f (x) =
√
a + bx :
f (x) =
√
a + bx ⇒ [f (x)]2 = a + bx ⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
[f (x)]2 =
α1︷︸︸︷
a ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) onde
F(x) = [f (x)]2
α1 = a φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 4: f (x) = a + bxc + x2 :
f (x) = a + bxc + x2 ⇒
cf (x) + x2f (x) = a + bx ⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
x2f (x) =
α1︷︸︸︷
a ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x +
α3︷︸︸︷
(−c) ·
φ3(x)︷︸︸︷
f (x)
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + α3φ3(x) onde
F(x) = x2f (x)
α1 = a φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x2
α3 = −c φ3(x) = f (x)
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 4: f (x) = a + bxc + x2 :
f (x) = a + bxc + x2 ⇒ cf (x) + x
2f (x) = a + bx ⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
x2f (x) =
α1︷︸︸︷
a ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x +
α3︷︸︸︷
(−c) ·
φ3(x)︷︸︸︷
f (x)
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + α3φ3(x) onde
F(x) = x2f (x)
α1 = a φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x2
α3 = −c φ3(x) = f (x)
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 4: f (x) = a + bxc + x2 :
f (x) = a + bxc + x2 ⇒ cf (x) + x
2f (x) = a + bx ⇒
F(x)︷ ︸︸ ︷
x2f (x) =
α1︷︸︸︷
a ·
φ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
φ2(x)︷︸︸︷
x +
α3︷︸︸︷
(−c) ·
φ3(x)︷︸︸︷
f (x)
F(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + α3φ3(x) onde
F(x) = x2f (x)
α1 = a φ1(x) = 1
α2 = b φ2(x) = x2
α3 = −c φ3(x) = f (x)
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Não existe uma única forma de linearização, mas os parâmetros na função original no final
são os mesmos.
Tome cuidado!!! Após obter os parâmetros da função linearizada, deve se aos parâmetros
da função original. Para ilustrar isso, no exemplo 1, depois de obter α1 e α2, deve se obter
a e b da função original. Naquele exemplo, temos que a = eα1 e b = α2.
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.15 0.55 0.66 0.70 0.79 1.26 3.24 4.82
f (x) 0.34611 0.65147 0.70619 0.72289 0.75454 0.81391 0.55051 0.39790
por uma função da forma
f (x) = a + x1+ bx2 .
Resolução
É um caso não linear e portanto é necessário antes linearizar para aplicar o MMQ. Linearizando,
temos que
f (x) = a + x1+ bx2 ⇒ f (x)+bx
2f (x) = a+x ⇒ f (x)−x = a−bx2f (x)⇒ F(x) = α1φ1(x)+α2φ2(x)
onde F(x) = f (x)− x, α1 = a, φ1(x) = 1, α2 = −b e φ2(x) = x2f (x).
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.15 0.55 0.66 0.70 0.79 1.26 3.24 4.82
f (x) 0.34611 0.65147 0.70619 0.72289 0.75454 0.81391 0.55051 0.39790
por uma função da forma
f (x) = a + x1+ bx2 .
Resolução
É um caso não linear e portanto é necessário antes linearizar para aplicar o MMQ. Linearizando,
temos que
f (x) = a + x1+ bx2 ⇒
f (x)+bx2f (x) = a+x ⇒ f (x)−x = a−bx2f (x)⇒ F(x) = α1φ1(x)+α2φ2(x)
onde F(x) = f (x)− x, α1 = a, φ1(x) = 1, α2 = −b e φ2(x) = x2f (x).
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.15 0.55 0.66 0.70 0.79 1.26 3.24 4.82
f (x) 0.34611 0.65147 0.70619 0.72289 0.75454 0.81391 0.55051 0.39790
por uma função da forma
f (x) = a + x1+ bx2 .
Resolução
É um caso não linear e portanto é necessário antes linearizar para aplicar o MMQ. Linearizando,
temos que
f (x) = a + x1+ bx2 ⇒ f (x)+bx
2f (x) = a+x ⇒
f (x)−x = a−bx2f (x)⇒ F(x) = α1φ1(x)+α2φ2(x)
onde F(x) = f (x)− x, α1 = a, φ1(x) = 1, α2 = −b e φ2(x) = x2f (x).
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.15 0.55 0.66 0.70 0.79 1.26 3.24 4.82
f (x) 0.34611 0.65147 0.70619 0.72289 0.75454 0.81391 0.55051 0.39790
por uma função da forma
f (x) = a + x1+ bx2 .
Resolução
É um caso não linear e portanto é necessário antes linearizar para aplicar o MMQ. Linearizando,
temos que
f (x) = a + x1+ bx2 ⇒ f (x)+bx
2f (x) = a+x ⇒ f (x)−x = a−bx2f (x)⇒ F(x) = α1φ1(x)+α2φ2(x)
onde F(x) = f (x)− x, α1 = a, φ1(x) = 1, α2 = −b e φ2(x) = x2f (x).
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistemalinear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o sistema linear a ser
montando para obter esses parâmetros é um sistema de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
a11 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
φ1(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
φ2(xk)φ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
φ1(xk)F(xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
φ2(xk)F(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Calculando os dados do sistema linear e em seguida a solução deste, temos que:[
8 17.65296
17.65296 121.00236
] [
α1
α2
]
=
[ −7.22647
−56.97059
]
⇒

α1 =
(−7.22647)(121.00236)− (−56.97059)(17.65296)
656.391944 = 0.20000
α2 =
(−56.97059)(8)− (−7.22647)(17.65296)
656.391944 = −0.50000
Como α1 = a ⇒ a = 0.2 e α2 = −b ⇒ b = 0.5. Logo, a função de ajuste para os dados
tabelados é
f (x) = 0.2+ x1+ 0.5x2 .
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Calculando os dados do sistema linear e em seguida a solução deste, temos que:[
8 17.65296
17.65296 121.00236
] [
α1
α2
]
=
[ −7.22647
−56.97059
]
⇒

α1 =
(−7.22647)(121.00236)− (−56.97059)(17.65296)
656.391944 = 0.20000
α2 =
(−56.97059)(8)− (−7.22647)(17.65296)
656.391944 = −0.50000
Como α1 = a ⇒ a = 0.2 e α2 = −b ⇒ b = 0.5. Logo, a função de ajuste para os dados
tabelados é
f (x) = 0.2+ x1+ 0.5x2 .
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Ajuste de Curvas
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Calculando os dados do sistema linear e em seguida a solução deste, temos que:[
8 17.65296
17.65296 121.00236
] [
α1
α2
]
=
[ −7.22647
−56.97059
]
⇒

α1 =
(−7.22647)(121.00236)− (−56.97059)(17.65296)
656.391944 = 0.20000
α2 =
(−56.97059)(8)− (−7.22647)(17.65296)
656.391944 = −0.50000
Como α1 = a ⇒ a = 0.2 e α2 = −b ⇒ b = 0.5. Logo, a função de ajuste para os dados
tabelados é
f (x) = 0.2+ x1+ 0.5x2 .
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Ajuste de Curvas
Exercício
Mr. K. P. Lear (1609, Way of Astronomy) teve a idéia de que a Terra se move ao redor do Sol
em orbita elıptica, com o Sol em um dos focos. Depois de muitas observações e cálculos, ele
obteve a tabela a seguir, onde r é a distância da Terra ao Sol, (em milhões de Km) e x é o
ângulo (em graus) entre a linha Terra-Sol e o eixo principal da elipse.
x 0 45 90 135 180
r(x) 147 148 150 151 152
Mr. Lear sabe que uma elipse pode ser escrita pela fórmula
r = ρ1+ ε cos(x)
com os valores da tabela pode se estimar ρ e ε. Assim sendo, faça o ajuste da função dada
usando os dados da tabela. Trabalhe com 5 casas decimais. Antes de começar a resolver leia
bem o enunciado e olhe bem os dados da tabela.
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