lista_de_exercicios_SL_Eng_Civil (3)

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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Rafael Alves Figueiredo
Assunto: Resolução Numérica de Sistemas Lineares
Autor: Alessandro Alves Santana
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Responda os itens a seguir justificando com detalhes cada resposta. Para responder algumas
dessas perguntas é fundamental dar exemplos para justificar sua resposta:
(a) Quais são os problemas que podem surgir quando se aplica o Método de Eliminação de
Gauss sem o Pivoteamente Parcial para resolver um sistema linear Ax = b ?
(b) Se um sistema linear Ax = b vai ser resolvido via Método de Eliminação de Gauss, por que
é importante aplicar a estratégia do pivoteamento parcial ? Dê um exemplo de um sistema
linear de duas equações e duas incógnitas que ilustre essa importância.
(c) Supondo garantida a convergência do Método de Jacobi (MJ) e do Método de Gauss-Seidel
(MGS) para um sistema linear Ax = b, qual desses dois métodos irá convergir mais rápido
para solução desse sistema a partir de uma mesma aproximação inicial ?
(d) Se a matriz dos coeficientes de um sistema linear Ax = b não é diagonal dominante então
podemos garantir que tanto o MJ como o MGS não irão gerar uma seqüência de vetores
convergentes para solução desse sistema ?
(e) Se um sistema linear Ax = b não é diagonal dominante, existe alguma estratégia para
torná-lo, se for possível, diagonal dominante ? Se existir mais de uma estratégia, explique
e dê exemplos.
(f) Suponha que você tenha que resolver um sistema linear onde a matriz dos coeficientes
tenha 80% de seus elementos nulos, isto é, 80% dos seus números são iguais a zero. Para
resolver esse sistema linear, você utilizaria um método direto ou um método iterativo ?
(g) Com relação ao critério das linhas, se em um sistema linear Ax = b tivermos que α > 1,
podemos afirmar que não haverá convergência se utilizarmos o MJ ou o MGS ? Justifique
sua resposta.
(h) Seja Ax = b um sistema linear onde A é uma matriz diagonal dominante. Considerando o
critério das linhas, o valor de α = max
1≤i≤n
αi será um valor menor ou maior que 1?
(i) Seja Ax = b um sistema linear onde A satisfaz todas as condições de convergência para o
MJ e o MGS. Usando uma mesma aproximação inicial e o mesmo critério de parada, qual
dos dois métodos irá convergir mais rápido para a solução do sistema linear Ax = b se os
referidos métodos forem aplicados sobre esse sistema?
2. Considere o seguinte sistema linear
7 −7 7
−9 7 −8
−2.001 0.001 −1


x1
x2
x3
 =

20
40
60

e responda aos itens a seguir:
(a) Trabalhando com apenas 3 casas decimais (configure sua calculadora para esse número
de casas decimais), obtenha uma aproximação para a solução desse sistema linear utili-
zando o Método de Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial.
(b) De posse da solução do item anterior, calcule o resíduo r = b − Ax, sendo A e b dados
obtidos do sistema linear original. Depois disso, resolva o sistema linear Ae = r para obter
uma aproximação para o vetor erro cometido ao aplicar o MEGPP para resolver o sistema
linear Ax = b. De posse do erro, calcule xnew = xold + e para obter uma aproximação
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
mais refinada. O vetor xold é a aproximação obtida no item anterior e xnew a aproximação
melhorada. Em todo a resolução desse item aplique o MEGPP e trabalhe também com 3
casas decimais.
(c) A solução exata do sistema linear desse exercício é x1 = −220/7, x2 = −220/7 e x3 =
20/7. Calcule o erro sem o refinamento e com o refinamento usando a norma 2 (norma
euclidiana). Trabalhe também com 3 casas decimais.
3. Considere as matrizes
A1 =

8 7 7
−7 −6 −5
3 1 5
 A2 =

7 −4 −6
0 4 9
1 −1 −7

e responda aos seguintes itens:
(a) Haverá garantia de convergência via Método de Gauss-Seidel (MGS) se aplicarmos esse
método sobre um sistema linear que tenha A1 como matriz dos coeficientes ? Justifique
sua resposta.
(b) Se a resposta do item (a) for positiva, obtenha uma aproximação para segunda coluna da
inversa da matriz A1 via MGS tomando ε = 10−3 como critério de parada. Tome o vetor
nulo como aproximação inicial e trabalhe com 3 casas decimais.
(c) Haverá garantia de convergência via Método de Jacobi (MJ) se aplicarmos esse método
sobre um sistema linear que tenha A2 como matriz dos coeficientes ? Justifique sua res-
posta. Obs: Para resolver essa questão, será necessário aplicar o Método de Newton para
encontrar um dos autovalores para daí achar os demais analiticamente. Assim sendo,
para aplicar o Método de Newton, tome λ0 = −0.85, critério de parada ε = 10−5 e trabalhe
com 6 casas decimais.
(d) Se a resposta do item (c) for positiva, obtenha uma aproximação para terceira coluna da
inversa da matriz A2 via MGS tomando ε = 10−3 como critério de parada. Tome o vetor
nulo como aproximação inicial e trabalhe com 3 casas decimais.
(e) Haverá garantia de convergência via Método de Gauss-Seidel se aplicarmos esse método
sobre um sistema linear que tenha A2 como matriz dos coeficientes ? Justifique sua
resposta.
(f) Se a resposta do item (d) for positiva, obtenha uma aproximação para primeira coluna da
inversa da matriz A1 via MGS tomando ε = 10−3 como critério de parada. Tome o vetor
nulo como aproximação inicial e trabalhe com 3 casas decimais.
4. Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4800, 5800 e 5700 m3 de areia,
cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para terminar a construção. Existem três
minas de onde esses minerais podem ser obtidos. A composição dessas minas é:
Areia (%)
Cascalho Cascalho
Fino (%) Grosso (%)
Mina 1 55 30 15
Mina 2 25 45 30
Mina 3 25 20 55
Deseja-se obter quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para as necessi-
dades do engenheiro. Assim sendo, responda agora aos seguintes itens:
(a) Faça a modelagem do problema montando o sistema linear que o engenheiro terá que
resolver para saber a quantidade de metros cúbicos de cada mina que ele precisará para
atender suas necessidades ? Faça aqui nesse item apenas a modelagem.
(b) Considerando a matriz dos coeficientes do sistema linear obtido no item (a), obtenha as
matrizes de iteração BMJ do MJ e BMGS do MGS.
(c) Obtenha os polinômios característicos das matrizes de iteração BMJ e BMGS.
(d) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MJ ao sistema linear ? Justifique sua
resposta.
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
Rafael
(e) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MJ se aplicado ao sistema
linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método to-
mando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada ε = 10−2. Trabalhe com
4 casas decimais.
(f) Haverá garantia de convergência se aplicarmos o MGS ao sistema linear ? Justifique sua
resposta.
(g) Se a resposta do item anterior garantir convergência para o MGS se aplicado ao sistema
linear, então obtenha uma aproximação para a solução do mesmo por esse método to-
mando o vetor nulo como aproximação inicial e critério de parada ε = 10−2. Trabalhe com
4 casas decimais.
5. Seja Ax = b um sistema linear onde ρ(BMJ) < 1 e ρ(BMGS) < 1. A função ρ calcula o raio
espectral (maior autovalor em módulo) de uma matriz. Sabendo que raio espectral da matriz
de iteração, tanto do MJ como MGS, é um parâmetro que mede a velocidade de convergência de
ambos os métodos e que quanto mais próximo de zero estiver o raio espectral mais rápido é a
convergência, que relação podemos esperar entre ρ(BMJ) e ρ(BMGS) ? Justifique sua resposta.
6. Considere um sistema linear Ax = b onde
A =

−2 −1 α
5 −2 −1
0 5 −2
 .
Para que valores de α haverá convergência se aplicarmos o MGS sobre esse sistema linear ?
7. Considere um sistema linear Ax = b onde
A =

e−2β 0 β2
e−βsen(2β) 5 3
0 1− β2 2
 .
Para que valores de β a matriz A irá satisfazer o critério das linhas ?
Rafael
Rafael
Rafael
RafaelRafael