Matemática - Ensino Médio - Lista de Exercícios com gabarito - Cones e Esferas

Exercícios Ext ras-Cones e Es feras 1) (Unesp )Uma quitanda vend e fatias de melancia emb aladas em plástico t ransparente. Uma melancia com for ma esférica de rai o de medida Rc m foi cortada e m 12 fatias igu ais, onde cada fatia tem a forma de uma cun ha esférica, como r epresentado na figura. Sabendo-se que a áre a de uma superfíci e esférica de raio R cm é 4 \u03c0R 2 cm 2 , deter mine, em função de \u03c0 e de R : a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico) ; b) quantos cm 2 de plá stico foram nec essários para e mbalar cada fatia (sem nenh uma perda e sem sobrepor ca madas de plástico), ou seja, qual é a área da superfície t otal de cada fatia. Respostas: a) 2 R 3 \u03c0 cm 2 b) 2 4R 3 \u03c0 cm 2 2) (Mackenzie )No sólido d a figura, ABCD é u m quadr ado de lado 2 e AE = BE = 10 . O volume desse sólido é: a) 5 2 \u03c0 b) 4 3 \u03c0 c) 4\u03c0 d ) 5\u03c0 e) 3\u03c0 Alternativa E 3) (Ufscar ) E m uma lancho nete, um casal de na morad os resolve dividir u ma taça de milk shak e com as dimensõe s mostrad as no desenho. a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles bebera m tod o o milk shake, calcule qual foi o volume, e m mL, ingerido p elo casal. Ad ote \u03c0 = 3. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, qu anto do volum e total, em porcentagem, ter á bebido? Respostas: a) 500 ml b) 87,5% 4) (Ufv ) U m chapéu, no format o de um cone circular r eto, é feito de u ma folha circular de raio 30 cm, recortand o- se um setor circular de ân gulo \u03b8 = 2\u03c0/3 radian os e juntando os lados. A área da base do chapéu, em cm 2 , é: a) 140\u03c0 b) 110\u03c0 c) 130\u03c0 d) 100 \u03c0 e) 120 \u03c0 Alternativa D 5) (Unesp ) O trato respira tório de u ma pessoa é co mposto de várias partes, den tre elas os alvéolos pulmonares, pequeni nos sacos de ar onde ocorre a tr oca de oxigênio po r gás carbônico. Vamos supor que cada al véolo tem forma e sférica e que, nu m adult o, o diâmetro médio de um al véolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume t otal dos alvéolos de u m adulto é igual a 1 6 18 cm 3 , o número apro ximado de a lvéolos dessa pess oa, consideran do \u03c0 = 3, é: a) 1 618 × 10 3 . b) 1 618 × 10 4 . c) 5 39 3 × 10 2 . d) 4 045 × 10 4 . e) 4 045 × 10 5 . Alternativa E 6) ( Pucsp ) Considere o triângulo isóscele s ABC, tal q ue AB = BC = 1 0 cm e CA = 12 cm. A rotação desse triân gulo em torn o de um eixo que contém o lado AB gera um sólido cujo volume, em c entímetros cúb icos, é : a) 256\u03c0 b) 298,6 \u03c0 c) 307,2\u03c0 d) 316\u03c0 e) 328,4\u03c0 Alternativa C 7) (Unesp ) U m paciente r ecebe por via intravenosa u m medicamen to à taxa con stante de 1, 5 ml/min. O frasc o do medicament o é formado p or uma parte cilíndrica e u ma parte cônica, cujas medidas são dadas n a figura, e esta va cheio qua ndo se iniciou a m edicação. Após 4h de ad ministração contínua, a medicação f oi interrompida. D ado que 1 c m 3 = 1 ml, e usando a aproxi mação \u03c0 = 3, o volu me, em ml, do medicament o restante n o frasco após a interrupção da medi cação é, apro ximadamente, a) 120. b) 150. c) 160. d) 240. e) 360. Alternativa A 8) Um reservat ório de form a cônica para ar mazenamento de água tem capacid ade para atender às necessid ades de uma comunidade por 8 1 dias. Esse res ervatório p ossui uma marca a uma altura h para indicar q ue a partir desse ní vel a qu antidade de água é sufi ciente para abastecer a comun idade por mais 24 dias. O val or de h é a) h = 2 9 \uf0e6\uf0f6 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 H b) h = 2 3 \uf0e6\uf0f6 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 H c) h = 8 H 27 \uf0e6\uf0f6 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 d) h = 3 1 H 10 \uf0e6\uf0f6 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 e) h = 1 2 \uf0e6\uf0f6 \uf0e7\uf0f7 \uf0e8\uf0f8 H Alternativa B 9) (Ufjf 2007) U m reservatório de água tem a f orma de um hemisfério ac oplado a um cilind ro circular como m ostra a figu ra a seguir. A medida do raio d o hemisfério é a mesma do raio da base do cili ndro e igual a r = 3 m. S e a altura do reservat ório é h = 6 m, a capacidade máxima de água c omportada por esse reservatório é: a) 9\u03c0 m 3 . b) 18\u03c0 m 3 . c) 27\u03c0 m 3 . d) 36\u03c0 m 3 . e) 45\u03c0 m 3 . Alternativa E 1 0) (Ufc 2008) Duas esfe ras de rai os iguais a r sã o colocadas no int erior de u m tubo de ensaio sob a forma de um cilindro circu lar reto de rai o da base r e altura 4r. No espaço vazio compreendido entr e as esferas, a superfície lateral e as bases, sup erior e inferior, do tubo de ensaio, coloca-se u m líquido. Então, o volume dess e líquid o é: a) (2/3) \u03c0r 3 b) (3 /4) \u03c0r 3 c) ( 4/3) \u03c0r 3 d) 2 \u03c0r 3 e) 4 \u03c0r 3 Alternativa C 1 1) (Fuvest 2006) Um to rneiro mecânico disp õe de uma pe ça de metal maciça na for ma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base B tem rai o 8 cm (Figura 1). Ele deverá fura r o cone, a partir de sua bas e, usan do uma broca, cujo ei xo central c oincide com o eixo do cone. A broca perfurará a pe ça até atrave ssá-la completam ente, abrindo u ma cavidade cilíndrica, d e modo a obter-se o sólido da Fig ura 2. Se a área da bas e deste nov o sólido é 2 3 da área de B, determine seu v olume. Resposta : [640( 3 ) ] 9 \u03c0 cm 3 1 2) Dado um copo em f orma de cilind ro e outro de f orma cônica, de mesma base e altura. Se eu encher comple tamente copo cônico com ág ua e derramar toda essa água no c opo cilíndrico, quantas vez es terei qu e fazê-lo para ench er completamen te esse cop o? a) Apenas uma vez. b) Duas veze s. c) Três veze s. d) Uma v ez e meia. e) É impossív el saber, pois não se sabe o v olume de ca da sólido. Alternativa C 1 3) (Fuvest 2009) Um fabr icante de cristais produz trê s tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o boj o no formato de u ma semiesfera de raio r; a outra, no for mato de um cone r eto de base circular de r aio 2r e altura h ; e a últi ma, no format o de um cilind ro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as ta ças dos três tip os, quando completam ente cheias, c omportam a mes ma quantidade de vinh o, é correto afi rmar que a razão x/h é igual a: a ) ( ) 3 6 b) ( ) 3 3 c) ( ) 23 3 d) 3 e) ( ) 43 3 Alternativa E 1 4) (Udesc 2009) Um cilin dro circular reto e um c one reto possue m a mesma alt ura h e o mesmo raio r da base. Uma se miesfera é retirada do interior do cilindro e é acrescentad a no topo do cone, gerand o os sólidos S 1 e S 2 , c onforme mostra a figu ra. Se os volumes de sses sólidos são r epresentados, resp ectivamente, por Vol(S 1 ) e Vol(S 2 ), é correto afirmar que: a) Vol(S 1 ) = Vo(S 2 ) se e s omente se h = 2r. b) Vol(S 1 ) = Vo(S 2 ) se e s omente se r = 2h. c) Vol(S 1 ) = Vo(S 2 ) para qu aisquer val ores de r e h. d) Vol(S 1 ) > Vo(S 2 ) para qu aisquer valores de r e h. e) Vol(S 1 ) 2 ) para qu aisquer val ores de r e h. Alternativa A r h S V S V r h r r h r S V r h r r h r S V 2 ) ( ) ( 3 2 3 4 2 1 ) ( ) 2 ( 3 1 3 4 2 1 3 1 ) ( 2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 = \uf0db = \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 \u2212 = \uf0d7 \u2212 = + = \uf0d7 + = \uf070 \uf070 \uf070 \uf070 \uf070 \uf070 1 5) (Uel 2009) Uma chapa com forma de u m setor de rai o 20 cm e ângulo de x gr aus é manuseada para se transformar nu m cone. Se o raio da base do c one obtido é r = 5 cm então o valor de x é: a) 60 ° b) 75 ° c) 80 ° d) 85 ° e) 90 ° Alternativa E 1 6) (Enem cancelado 2009) Um vasilhame na f orma de um cilindro circular reto d e raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcial mente ocup ado por 625 \uf070 cm 3 de álcool. Suponha que sobre o vasilha me seja fixado u m funil na for ma de um cone circular reto de raio da bas e de 5 cm e altura de 6 cm, c onforme ilustra a figura 1. O conjunt o, como mostra a figura 2, é virado para baix o, sendo H a distância da sup erfície d o álcool até o fundo do vasil hame. Volume do cone: V cone = 2 rh 3 \uf070 Considerando-se essas informações, qual é o val or da distância H? a) 5 cm. b) 7 c m. c) 8 cm. d) 12 cm. e) 18 cm. Alternativa B Volume do cone = 2 3 .5 .6 50 cm 3 \uf070 \uf070 = Volume do líquid o do cilindro da fig ura 2 = 6 25 \uf070 - 50 \uf070 = 575 \uf070 Altura do líquido do cilindro da figura 2. \uf070 .5 2 .h = 575 \uf070 \uf0db h = 23 cm. Na figura 2, te mos: H = 30 \u2013 h logo H = 7 cm 17) (Enem cancelad o 2009) Um artista p lástico cons truiu, com c erta quantidade de massa modeladora, um cilindro ci rcular reto cuj o diâmetro da base mede 24 cm e cuja a ltura mede 15 cm. Antes que a massa s ecasse, ele res olveu transf ormar aquele cilin dro em u ma esfera. Volume da esfera : V esfera = 3 4r 3 \uf070 Analisando as caract erísticas das figu ras geométri cas envolvidas, conclui-se que o rai o R da esfera assim c onstruída é ig ual a a) 15 b) 12 c) 24 d) 3 60 e) 3 6 30 [D] Volume do cilindro = \uf070 12 2 . 15 3 2 3 60 . 3 15 . 12 . 3 . 4 = \uf0db = R R \uf070 \uf070 18) (Ufpr 2010) A pa rte su perior de uma ta ça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na f igura. a) Qual o volume d e líquido que essa taça comporta quando está comple tamen te cheia? b) Obtenha uma expressão para o v olume V de líqu ido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. Respostas: a) \uf070 \uf070 16 12 2 3 1 2 = = r V b) 108 12 16 3 3 \uf070 \uf070 x V x V l í q u i d o l í q u i d o = \uf0db \uf0f7 \uf0f8 \uf0f6 \uf0e7 \uf0e8 \uf0e6 =

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