C5_CURSO_A_PROF_FISICA

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1. COMPONENTES 
DA FORÇA PESO
Da figura:
Pt Pnsen θ = ––– cos θ = –––
P P
• Pt = P sen θ: componente
tan gencial do peso; é a componente
que solicita o bloco para baixo; na
ausên cia de atrito faz o papel de
resultante que acelera o bloco.
• Pn = P cos θ: componente
nor mal do peso; é a componente de
com pressão que aperta o bloco con -
tra o pla no inclinado; é equili bra da
pela rea ção normal de apoio e só tem
inte res se em problemas com atrito.
2. ACELERAÇÃO NO PLANO
INCLINADO SEM ATRITO
Quando um corpo se move livre -
mente em um plano inclinado, sem
atri to, a força resultante responsável
por sua aceleração é a componente
tan gencial de seu peso:
2a. Lei de Newton (PFD): Pt = m a
m g sen θ = m a ⇒
Observe que a intensidade da
ace le ração (g sen θ) é independente
da massa do corpo.
3. ACELERAÇÃO NO PLANO
INCLINADO COM ATRITO
Quando um corpo se move livre -
mente em um plano inclinado, com
atrito, a força resultante, responsável
pela sua aceleração, é a soma ve -
to rial da componente tangencial de
seu peso (Pt = m g sen θ) com a força
de atrito dinâmica (Fat = µd m g cos θ).
• Se o corpo for lançado para ci -
ma, teremos:
2a. Lei de Newton (PFD):
Pt + Fat = m a
m g sen θ + µd m g cos θ = m a
• Se o corpo for abandonado do
repouso ou lançado para baixo, tere -
mos:
2a. Lei de Newton (PFD):
Pt – Fat = m a
m g sen θ – µd m g cos θ = m a
4. ÂNGULO DE ATRITO
q Estático
Se o corpo permanecer em re pou -
 so no plano inclinado, porém na imi -
nência de deslizar, isto é, a força de
atri to so licitada ao máximo, teremos:
µe m g cos θE = m g sen θE
O ângulo θE, tal que µE = tg θE, é
chamado “ângulo de atrito es tá -
tico”.
q Dinâmico
Se o corpo for lançado para bai -
xo no plano inclinado e descer em
movi mento retilíneo e uniforme (ace -
leração nula), teremos:
µd m g cos θd = m g sen θd
O ângulo θd, tal que µd = tg θd, é
chamado “ângulo de atrito dinâ -
mico”. 
a = g sen θ
a = g(sen θ + μd cos θ)
a = g(sen θ – μd cos θ)
FatD
= Pt
μE = tg θE
Fatdin = Pt
μd = tg θd
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FRENTE 1 Mecânica
MÓDULO 37 Plano Inclinado
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1. FORÇA RESULTANTE
Admitamos que sobre um corpo
atuem as forças 
→
F1, 
→
F2, ..., 
→
Fn em rela -
ção a um sistema de referência iner -
cial (para nossos estudos, ligado à
su per fície terrestre).
A força resultante sobre o corpo
é a soma vetorial das forças atuan -
tes.
Portanto, a força resultante é uma
for ça imaginária (hipotéti ca) que
po deria substituir as forças reais e
pro duzir no corpo a mesma acelera -
ção ve torial.
2. COMPONENTES DA FORÇA
RESULTANTE
Para facilitar seu estudo, a for ça
→
FR costuma ser separada em duas
com ponentes. 
→
Ft: componente tangencial de 
→
FR
→
Fcp: componente centrípeta de 
→
FR
Cumpre ressaltar que 
→
Ft e 
→
Fcp
não são forças que realmente atuam
no cor po, mas apenas componentes
da força resultante (que é uma força
ima ginária).
A força resultante é a soma ve to -
rial de suas componentes tangen cial
e centrípeta.
A intensidade da força resultante
é obtida pela aplicação do Teorema
de Pitágoras.
3. COMPONENTE
TANGENCIAL 
DA FORÇA RESULTANTE
q Função
A componente tangencial da for -
ça re sultante 
→
Ft está ligada à ace le ra -
ção tangencial 
→
at e, portanto, pro -
voca va ria ção na intensidade da ve -
lo cidade ve torial.
A resultante tangencial é
nu la nos mo vi mentos unifor -
mes (�
→
V � é cons tan te) e está
pre sente nos movimentos va -
ria dos ( �
→
V � varia), não impor -
tan do a traje tória do móvel.
Características vetoriais
• Intensidade
m = massa do corpo.
γ = aceleração escalar.
• Direção
tangente à trajetória (// a 
→
V).
• Sentido
O mesmo da velocidade vetorial
nos movimentos acelerados.
Oposto ao da velocidade vetorial
nos movimentos retardados.
4. COMPONENTE CENTRÍPETA
DA FORÇA RESULTANTE
q Função
A componente centrípeta da for -
ça re sultante 
→
Fcp está ligada à ace -
lera ção centrípeta →acp e, por tan to,
pro vo ca va riação na direção da ve lo -
ci da de veto rial, tornando a trajetória
curva.
A resultante centrípeta é
nu la nos mo vimentos retilí neos
(direção de 
→
V é constante) e
es tá presente nos movi men tos
curvilíneos (direção de 
→
V varia).
Características vetoriais
• Intensidade
m = massa do corpo.
V = intensidade da velocidade
li near.
ω = intensidade da velocidade
an gular.
R = raio de curvatura da traje tó -
ria.
• Direção
Normal à trajetória ( a V
→
).
• Sentido
Dirigido para o interior da curva
des crita.
5. FORÇA RESULTANTE NOS
PRINCIPAIS MOVIMENTOS
q MRU
→
Ft =
→
0 porque o movimento é uni -
forme.
→ → →
Ft ⇒ at ⇒ variação de | V |
FR
2 = F
t
2 + Fcp
2
→
FR = 
→
Ft + 
→
Fcp
→
FR = 
→
F1 + 
→
F2 + .... + 
→
Fn
→ → mV2
|Fcp | = m | acp| = –––––– = m ω2RR
→
Fcp ⇒
→
acp ⇒ variação na direção de
→
V
→ →
� Ft � = m � at � = m � γ �
MÓDULOS 38 a 40 Componentes da Resultante
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→
Fcp = 
→
0 porque o movimento é re -
ti líneo.
q MRUV
→
Ft ≠
→
0 porque o movimento é va -
ria do.
→
Fcp = 
→
0 porque o movimento é
re tilíneo.
q MCU
→
Ft = 
→
0 porque o movimento é
uni forme.
→
Fcp ≠
→
0 porque o movimento é
cur vilíneo.
q MCUV
→
Ft ≠
→
0 porque o movimento é va -
riado.
→
Fcp ≠
→
0 porque o movimento é
cur vilíneo.
6. EXEMPLO
Consideremos uma pequena es -
fe ra percorrendo um trilho circular
sem atrito, em posição vertical, sob a
ação ex clusiva de seu peso e da
força nor mal aplicada pelo trilho.
Consideremos os pontos A, B, C
e D indicados na figura e analisemos
as forças em cada uma dessas
posições:
q Ponto A
No ponto A, a resultante tangen -
cial é nula e a resultante centrípeta
tem in tensidade dada por:
q Ponto B
No ponto B, a resultante tangen -
cial é nula e a resultante centrípeta
tem in ten sidade dada por:
q Ponto D
No ponto D, o peso faz o papel
de resultante tangencial e a força
normal, aplicada pelo trilho, faz o
papel de re sul tante centrípeta:
q Ponto C
No ponto C, o peso é decom -
posto em uma componente tangen -
cial 
→
Pt e uma componente normal 
→
Pn.
No ponto C, a componente tan -
gencial do peso (Pt = P sen θ) faz o
papel de resultante tangencial:
No ponto C, a resultante entre a
for ça normal (NC) e a componente
normal do peso (Pn = P cos θ) faz o
papel de resultante centrípeta:
7. FORÇA CENTRÍFUGA
As leis de Newton só podem ser
apli cadas em relação a certos sis te -
mas de referência privilegiados, cha -
ma dos sistemas inerciais.
Em nossos estudos, considera -
mos como inerciais os sistemas de
refe rên cia em repouso ou em
trans lação retilí nea e unifor me
em re lação à superfície ter res -
tre.
FcpA
= NA + P
→
FR = 
→
Ft + 
→
Fcp
→
FR = 
→
Fcp
→
FR = 
→
Ft
→
FR = 
→
0
FcpD
= ND
FcpB
= NB – P
FcpC
= NC – Pn = NC – P cos θ
FtC
= Pt = P sen θ ⇒ | γ | = g sen θ
FtD
= P ⇔ | γ | = g
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Consideremos uma plataforma ho rizontal, com
movimento de rota ção uniforme em relação ao solo ter -
res tre e velocidade angular de mó dulo ω.
Consideremos um bloco de mas sa m, em repouso
em relação à plata forma.
Para um referencial fixo no solo terrestre, o
bloco está em mo vi mento circular e uniforme sob
ação de duas forças:
1) força de gravidade
→
P aplicada pela Terra;
2) força de contato 
→
Faplicada pe lo apoio.
Esta força
→
F admite uma com ponente normal 
→
FN,
que equilibra o pe so 
→
P, e uma componente de atrito 
→
Fat,
que faz o papel de resultante centrí peta.
Para um referencial fixo na pla taforma, o
bloco está em re pou so e, além das forças 
→
F e 
→
P, o
bloco estará sujeito a uma terceira força, diri gida para
fora, com a mesma inten sidade e direção da força de
atrito, de modo que a re sul tante de 
→
F, 
→
P e des ta terceira
força seja nula.
Esta força dirigida para fora e de intensidade mω2R
não é aplicada por nenhum agente físico; não é uma força
real, do tipo ação-reação e é mo tivada pelo fato de o
referencial ado tado estar em movi men to de rotação em
relação ao solo terrestre. Tal força é chamada de for ça
de inércia centrífuga ou sim plesmente força cen -
trífu ga.
Portanto, quando surge a per gun ta:
“Força centrífuga existe ou não?”, a
resposta é simples: de pende do referencial
adotado.
Para um referencial ligado ao solo terres -
tre (sistema de referência iner cial), não
existe força centrífuga.
Para um referencial ligado a um sis tema em
rotação ou des crevendo uma curva, em re lação
ao solo terrestre, exis te a força centrífuga (força
de inér cia, for ça fictícia, pseudoforça ou for ça
de correção de referen cial) que tende a lan çar o
corpo “pa ra fora da curva”.
Referencial na plataforma:
bloco em repouso
→
F +
→
P + 
→
Fcf = 
→
0
Referencial no solo terres tre:
|
→
FN| = |
→
P|
|
→
Fat| = Fcp = mω
2R
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1. CONCEITO
Uma força
→
F realiza trabalho
quan do
(I) transfere energia mecânica
de um corpo para outro;
(II) transforma energia cinética
em potencial ou vice-versa;
(III) transforma energia mecâ ni -
ca em outra forma de energia (por
exem plo, em térmica).
Portanto, na conceituação de tra -
ba lho, deve estar sempre presente
um agente físico força e uma trans -
fe rên cia ou transformação de ener gia
me câ nica.
2. DEFINIÇÃO
Quando a força ( 
→
F ) é constante
e o seu ponto de aplicação sofre um
deslocamento ( 
→
d ), tal que o ângulo
en tre 
→
d e 
→
F vale θ, o trabalho é dado
por:
• Quando a força é variável, a
de fi nição de trabalho é feita com o
uso da função matemática integral e
do pro duto escalar entre dois vetores
e, por tanto, foge ao nível do Ensino
Mé dio.
• No caso de forças variáveis, o
cál culo do trabalho pode ser feito
com o auxílio do teorema da energia
ciné tica ou do método gráfico.
• O trabalho de uma força
constante não depende da tra -
jetória do móvel entre os pon -
tos A e B.
τF = |
→
F | | 
→
d | cos θ
MÓDULO 41 Trabalho
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3. CÁLCULO DO TRABALHO
PELAS PROJEÇÕES
Quando dois vetores formam en -
tre si um ângulo θ, o produto do mó -
dulo de um deles pelo cos θ corres -
ponde à projeção desse vetor na
direção do outro:
Assim:
A definição de trabalho de uma
for ça constante nos conduz a:
O cálculo do trabalho pelo mé -
todo das projeções nos revela que
apenas a componente da força na
direção do deslocamento realiza
trabalho, isto é, transfere ou trans -
forma energia mecâ ni ca.
4. CÁLCULO DO 
TRABALHO DO PESO
τp = | 
→
P | | 
→
d | cos θ
|
→
P | = m g } Daí: H cos θ = ––––| →d |
5. SINAL DO TRABALHO
Quando a força 
→
F favorece o des -
lo camento, temos:
e o trabalho de 
→
F é 
positivo.
Quando a força 
→
F se opõe ao
des locamento, temos:
e o trabalho de 
→
F 
é negativo.
No caso da força peso, temos:
Na subida do corpo, o trabalho
do peso é negativo e corresponde
à trans formação de energia cinética
em energia potencial:
Na descida do corpo, o trabalho
do peso é positivo e corresponde à
trans formação de energia potencial
em energia cinética.
6. FORÇA CONSERVATIVA
Quando o trabalho de uma
força 
→
F, entre dois pontos A e
B, não depende da trajetó ria, a
força
→
F é chamada conserva -
tiva.
Uma força constante é um exem -
plo de força conservativa.
A força peso e a força eletros -
tática são exemplos importantes de
forças con servativas.
7. TRABALHO NULO
O trabalho é nulo quando não há
transferência ou transformação de
energia mecânica. Isso acontece em
três casos:
q Força nula
Sem força, não há realização de
trabalho.
q Deslocamento nulo
Se o ponto de aplicação da força
não sofre deslocamento, não há tra -
ba lho, porque não há transferên cia,
nem transformação de energia me -
cânica.
q Força perpendicular ao
deslocamento
Quando a força
→
F e o desloca men -
 to 
→
d forem perpendiculares (θ = 90°),
temos:
Exemplos
Quando o deslocamento é ho -
rizontal, a força peso não realiza tra -
ba lho.
A reação normal de apoio não
realiza trabalho quando é perpen di -
cular à tra jetória.
A componente centrípeta da for -
ça resultante nunca realiza traba lho
por ser perpendicular à trajetória.
8. UNIDADES E DIMENSÕES
q Unidade
Da definição de trabalho, temos:
τ = | 
→
F | | 
→
d | cos θ
A unidade de trabalho no SI é de -
nominada joule (J).
q Dimensões
Da definição de trabalho, temos:
τ = | 
→
F | | 
→
d | cos θ
[ τ ] = [ 
→
F ] [ 
→
d ]
[ τ ] = M L T –2 . L
|
→
d | cos θ = proj. 
→
d
| 
→
F | cos θ = proj. 
→
F
τF = | 
→
F | proj. 
→
d
τF = | 
→
d | proj. 
→
F
τp = m g H
O trabalho do peso não 
depende da trajetória
cos θ > 0
cos θ < 0
cos θ = 0 ⇒ τF = 0
u(τ) = N . m
joule (J) = N . m
[ τ ] = M L2 T–2
τp = + m g H
τp = – m g H
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1. TEOREMA DA 
ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética (Ec) ou de
mo vimento de um corpo de massa m
e velocidade escalar V é dada por:
O teorema da energia cinética
per mite calcular o trabalho total reali -
za do so bre um corpo:
A soma dos trabalhos de
to das as forças atuantes em
um corpo (internas e exter -
nas) mede a variação de sua
ener gia cinética:
O TEC pode ser usado para
qual quer tipo de força resultante:
cons tan te ou variável, conservativa
ou dissi pa tiva.
Podemos demonstrar o TEC para
o caso particular de uma força resul -
tante constante que atua em uma
par tí cula que se move em trajetória
retilí nea.
τF = | 
→
F | | 
→
d | cos θ
τF = m γ Δs cos 0° �
Da Equação de Torricelli:
V2
f
= V2
0 
+ 2 γ Δs
V2
f
– V2
0γ Δs = ––––––––– �
2
Substituindo-se � em �, vem:
V2f – V
2
0
τF = m –––––––––
2
mV
2
f mV
2
0
τF = ––––– – –––––
2 2
2. MÉTODO GRÁFICO
Seja o gráfico do valor da com -
po nente tangencial da força resul -
tante Ft em um corpo, em função da
dis tân cia percorrida d pelo corpo, ao
lon go de sua trajetória.
A área sob o gráfico da fun ção
Ft = f(d) mede o trabalho realizado no
deslocamento consi derado.
Note que apenas a componente
tangencial da força resultante realiza
trabalho sobre o corpo.
Quando o gráfico indicar valor
po si tivo para Ft, o deslocamento
(su posto crescente) se dá no senti -
do de 
→
Ft e o trabalho é positivo.
Quan do o gráfico indica valor ne ga -
tivo para Ft, o deslocamento (suposto
crescente) se dá em sentido contrá -
rio ao de Ft e o trabalho é negativo.
3. TRABALHO NO
LEVANTAMENTO 
DE UM CORPO
Considere um corpo levantado
com velocidade escalar constante
(ou partindo do repouso e voltando
ao re pouso) de uma altura H, sob
ação exclusiva de seu peso
→
P e de
uma força motriz
→
F.
Aplicando-se o TEC, temos:
τF + τP = ΔEcin
Sendo τP = – m g H (subida) e
ΔEcin = 0 (movimento uniforme ou
Vf = V0 = 0), temos:
τF – m g H = 0
4. TRABALHO INTERNO
O trabalho total,que mede a va -
ria ção da energia cinética, é a soma
dos tra balhos de todas as forças ex -
ternas e internas ligadas ao sistema
físico em es tudo.
m V2
Ec = –––––––2
τF1 + 
τF2 + ... + 
τFn =
m V2f m V
2
0
= ––––––– – –––––––
2 2
τF = ΔEcin
ÁREA (FORÇA x DISTÂNCIA)
MEDE O TRABALHO
REALIZADO
τ0B
N
= área (A1)
τBC
N
= – área (A2)
τ0C
N
= área (A1) – área (A2)
τF = m g H = PH
O trabalho de
→
F não depen -
derá da trajetória ou do
tem po de trajeto.
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MÓDULO 42 Teorema da Energia Cinética e Método Gráfico
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Por vezes, o trabalho da força
re sultante externa é nu lo e o
tra balho interno é res ponsável
pe la variação da ener gia ciné -
ti ca do sistema estudado.
Considere os seguintes exem plos:
Exemplo 1: um rapaz sobre pa -
t ins, em um plano horizontal sem atri -
to, aplica sobre a parede vertical
uma for ça horizontal e passa a se
mo ver so bre o plano horizontal.
As forças externas atuantes no
ra paz, durante a interação com a pa -
re de, são:
1) o peso do rapaz;
2) as reações normais do chão;
3) uma força horizontal 
→
F apli ca -
da pela parede.
A resultante externa responsável
pela aceleração do rapaz é a força 
ho ri zontal 
→
F aplicada pela parede,
po rém seu trabalho é nulo,
porque não há des lo camento
de seu pon to de aplica ção.
A energia cinética adquirida pela
pes soa é proveniente do trabalho
interno realizado pelas forças mus -
cu lares da pessoa.
Note que estas forças in ter -
nas não têm nenhum papel no
pro cesso de ace le ração da
pes soa, porém seus pontos de
apli cação deslocam-se de mo -
do a realizar trabalho e trans -
for mar energia interna da pes -
soa em energia cinética.
Exemplo 2: considere uma
pes soa andando com movimento
ace le ra do em um plano horizontal,
des preze o efei to do ar e admita que
os pés da pessoa não escorreguem
em relação ao chão.
As forças externas que agem na
pes soa são:
a) o peso 
→
P;
b) a reação normal do chão;
c) a força de atrito aplicada pelo
chão.
A resultante externa responsável
pela aceleração da pessoa é a força
de atrito aplicada pelo chão, porém
seu trabalho é nulo, pois o atrito entre
o pé e o chão é estático, uma vez
que os pontos de contato entre o pé
e o chão têm ve lo cidade nula como
con di ção para que não haja escorre -
ga men to entre eles.
O trabalho nulo do atrito pode ser
interpretado pelo fato de não haver
transferência de energia mecânica
do chão para a pessoa.
A variação da energia cinética
da pessoa é proveniente do tra -
balho in terno realizado pelas for -
ças mus cu lares da pessoa.
Observe mais uma vez que a
for ça de atrito é a resultante
ex ter na res ponsável pela ace -
 le ra ção da pessoa, porém a
va riação da energia cinética é
proveniente do trabalho in ter -
no das for ças muscu lares.
Exemplo 3: considere um au to -
 móvel, em movimento acelerado, em
um plano horizontal, despreze o
efeito do ar, admita que os pneus não
der rapem e que as rodas traseiras
sejam as ro das motrizes.
As forças externas que agem no
carro são:
a) o peso 
→
P;
b) as reações normais do chão;
c) as forças de atrito que o chão
aplica nos pneus.
A resultante externa responsável
pela aceleração do carro é a resul -
tante das forças de atrito que o chão
aplicou nos pneus, porém o trabalho
dessa resultante externa é nulo, pois
o atrito entre os pneus e o chão é
está tico, uma vez que os pontos de
con tato entre os pneus e o chão têm
velo cidade nula como condição para
que os pneus não derrapem.
A variação da energia ci né -
ti ca do carro é proveniente do
tra balho in terno: a expansão dos
ga ses nos ci lindros do motor origi -
nam for ças in ternas, algumas das
quais rea lizam tra balho.
A força de atrito é a re sul -
tante externa respon sável pe -
la aceleração do carro, porém
a variação da energia cinética
é proveniente do trabalho in -
ter no das forças ligadas à ex -
pan são dos gases nos cilin -
dros do motor.
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1. CONCEITO
A potência mecânica de uma
força mede a rapidez de realização
de tra ba lho, isto é, a velocidade com
que a energia mecânica está sendo
trans fe ri da ou transformada.
2. POTÊNCIA MÉDIA
Consideremos uma força 
→
F que
rea liza um trabalho τ em um intervalo
de tempo Δt.
Define-se potência média da 
for ça 
→
F pela relação:
3. POTÊNCIA INSTANTÂNEA
Da definição de trabalho, vem:
τ = | 
→
F | | 
→
d | cos θ
Dividindo-se toda a expressão
por Δt:
= | 
→
F | cos θ
Potm = | 
→
F | | 
→
Vm | cos θ
Fazendo Δt → 0, chegamos aos
valores instantâneos:
θ é o ângulo formado entre 
→
F e 
→
V.
4. UNIDADES E DIMENSÕES
q Unidade no SI
Da definição de potência média,
temos: 
u(τ) J
u(Pot) = –––– = –– (joule por segundo)
u(t) s
A unidade de potência no SI é
cha mada de watt (W).
q São também usados alguns múl -
ti plos e submúltiplos do watt.
1MW (megawatt) = 106W
1kW (quilowatt) = 103W
1mW (miliwatt) = 10–3W
1µW (microwatt) = 10–6W
q Existem ainda unidades práticas
de potência.
q Dimensões
Da definição de potência média,
vem:
[ τ ] ML2T–2
[ Pot ] = –––– = ––––––––
[Δt ] T
A potência tem dimensão 1 em
re lação à massa, dimensão 2 em re -
la ção ao comprimento e dimensão –3
em re lação ao tempo.
q Método gráfico
No gráfico da potência instan tâ -
nea de uma força 
→
F, em função do
tem po, a área sob o gráfico Pot = f(t)
mede o trabalho realizado por 
→
F no
intervalo de tem po considerado.
q Potência em 
uma queda d'água
Considere um rio com vazão Z e
uma cachoeira, nesse rio, de altura H.
Admitamos que a água no ponto
mais alto da cachoeira tenha veloci -
da de desprezível.
A potência média do peso da
água que cai é dada por:
em que m g é o peso da água que es -
tá caindo e Δt é o tempo em que o tra -
ba lho do peso é realizado. Sendo µ a
densidade da água e Vol o volume de
água escoado no tempo Δt, temos:
μ Vol g H
m = μ Vol e Potm = ––––––––– Δt
Vol 
A razão –––– corresponde à va-
Δt
zão do rio, indicada por Z.
Portanto: 
Essa é a potência teórica (des -
pre za mos as perdas) que podemos
retirar de uma queda-d'água para
aprovei tamento hidroelétrico.
τ
Potm = ––––Δt
τ
––––
Δt
| 
→
d |
––––
Δt
Pot = | 
→
F | | 
→
V | cos θ
τ
Potm = ––––Δt
J
1 watt (W) = ––– = J . s–1
s
1cv = 735W
1hp = 746W
τ
Potm = ––––Δt
[ Pot ] = ML2T–3
ÁREA (POTÊNCIA x TEMPO)
MEDE O TRABALHO
REALIZADO
τP m g HPotm = –––– = –––––––Δt Δt
Potm = µ Z g H
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MÓDULO 43 Potência
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1. CONCEITUAÇÃO
Um corpo ou um sistema físico
qual quer tem energia mecânica, em
relação a um certo referencial, quan do
tiver possibilidade de se modificar es -
pon taneamente realizando traba lho.
Em outras palavras: um corpo
tem energia mecânica, em relação a
um cer to referencial, quando esti -
ver em mo vimento ou quando ti -
ver possi bi lidade de entrar em
mo vi men to.
2. MODALIDADES DE 
ENERGIA MECÂNICA
A energia mecânica pode-se ma -
ni festar sob duas formas:
q Energia potencial
Está ligada à posição do corpo,
que lhe dá a possibilidade de entrar
em movimento.
A energia mecânica, na forma
po tencial, pode ser de dois tipos:
• Energia potencial de gra -
vidade: está associada à posição
do corpo no campo de gravidade
criado pela Terra.
• Energia potencial elásti -
ca: está associada à deformação de
um sistema elástico, como, por
exem plo, uma mola elástica ou a
borracha de um estilingue.
q Energiacinética
Está associada ao movimento
do corpo e, portanto, depende de
sua velocidade escalar.
3. ENERGIA CINÉTICA
Para medirmos a energia ciné ti -
ca de um corpo de massa m, ani -
mado de ve locidade escalar V, ad -
mi tamos que o corpo partiu do re -
pouso (V0 = 0) e foi sujeito a uma for -
ça resultante cons tante até atingir a
velocidade es ca lar V, movendo-se
em um plano hori zon tal.
O trabalho realizado por essa for -
ça resultante corresponde à energia
me câ nica transferida para o corpo na
for ma de energia cinética (no plano
ho ri zontal, a energia potencial não se
al tera).
(1)
Usando a Equação de Torricelli:
, temos:
V2 = 2γ |
→
d | ⇒ (2)
Usando a 2.a Lei de Newton, te -
mos:
(3)
Substituindo-se (2) e (3) em (1),
vem:
V2
Ecin = m . γ . ––– ⇒2γ
Notas
1) A energia cinética nunca
será negativa, pois m > 0 e V2 ≥ 0.
2) A energia cinética de pen -
de da velocidade e, portanto, de -
pen de do referencial adotado.
Por exemplo: um passageiro sen -
ta do no banco de um ônibus a
50km/h, em relação ao solo, tem
ener gia ciné tica nula para um refe -
rencial ligado ao ônibus e energia
cinética não nu la para um refe ren -
cial ligado ao solo.
3) Gráficos da energia cinética.
4) A energia cinética é uma
gran deza escalar e, para um cor -
po de massa constante, ela será
constante se o movimento do corpo
for uniforme, não importando a tra je -
tória descrita.
4. ENERGIA 
POTENCIAL DE GRAVIDADE
Para medirmos a energia poten -
cial de gravidade de um corpo de
mas sa m, situado a uma altura H,
ENERGIA MECÂNICA
TRADUZ CAPACIDADE PARA
REALIZAR TRABALHO
Ecin = τF = |
→
F | |
→
d | cos 0°
V2f = V
2
0 + 2γ Δs
V2
|
→
d | = ––––
2γ
| 
→
F | = m γ
m V2
Ecin = ––––––2
MU ⇒ ENERGIA CINÉTICA
CONSTANTE
MÓDULO 44 Energias Potencial e Cinética
C5_CURSO_FIS_TEO_A_Alelex 13/04/12 12:10 Página 101
aci ma do plano horizontal de referên -
cia, basta calcular o trabalho do peso
do cor po, de sua posição inicial até o
plano de re ferência.
Ep = τp ⇒
Notas
1)
Ep > 0: acima do plano de refe -
rência.
Ep = 0: no nível do plano de refe -
rên cia.
Ep < 0: abaixo do plano de refe -
rência.
2) O valor da energia potencial
de gravidade depende do plano de
refe rência, porém a variação de
energia potencial entre dois
pontos não depende do plano
de referência.
ΔH é a distância entre os pontos
A e B e não depende do plano de
refe rên cia adotado.
3) Gráfico da função
Para um corpo de peso cons tan -
te, a energia potencial de gravidade
é di retamente proporcional à dis tân -
cia H até o plano de referência.
Note que, para posições abaixo
do plano de referência adotado, te -
mos:
4) Quando se trata de um corpo
ex tenso, a altura H refere-se ao cen -
tro de gravidade do corpo.
Por exemplo, consideremos um
pos te homogêneo de altura H e peso
P.
A energia potencial de gravidade
do poste, em relação ao solo, será
da da por:
5. UNIDADES E DIMENSÕES
Todas as manifestações de ener -
gia têm as mesmas unidades e di -
men sões.
Portanto, a energia mecânica te -
rá as mesmas dimensões e as mes -
mas unidades de trabalho.
Também se usam, além do joule,
as seguintes unidades:
Ep = m g H
ΔEp = m g ΔH
A VARIAÇÃO DE ENERGIA
POTENCIAL NÃO DEPENDE
DO PLANO DE REFERÊNCIA
ADOTADO
Ep = f(H)
tg θ N= P
H < 0 ⇒ Ep < 0
P H
Ep = ––––2
PARA CORPOS EXTENSOS,
INTERESSA A ALTURA DO
CENTRO DE GRAVIDADE
DO CORPO PARA
MEDIRMOS A ENERGIA
POTENCIAL
[ Em ] = [ τ ] = ML
2T–2
u(Em) = u(τ) = joule (J) = N . m
cal = 4,2J
erg = dyn . cm = 1,0 . 10–7J
102 –
FÍS
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1. ENERGIA
POTENCIAL ELÁSTICA
q Lei de Hooke
Consideremos uma mola elástica
ideal submetida a uma força defor -
ma dora de intensidade F.
Seja x a deformação sofrida pela
mo la (alongamento ou encurtamento
da mola).
A Lei de Hooke estabelece que:
A intensidade da força de -
for madora (F) e a deformação
produzida (x) são diretamente
proporcionais.
A constante de proporcio nalida -
de k é uma medida da rigidez da
mola e é chamada de constan te
elástica da mola.
q Gráfico da Lei de Hooke
Sendo F diretamente proporcio -
nal a x, temos:
No SIU, a constante elás ti -
ca é medida em N/m.
q Energia Elástica
Para medirmos a energia elás -
tica, armazenada em uma mola de -
for mada, basta calcular o traba lho
rea lizado por um operador, na tarefa
de defor mar a mola.
O cálculo do trabalho é feito pela
medida da área sob o gráfico F = f(x).
Ee = τop
N
= área (F x d)
x . k x
Ee = ––––––– ⇒2
Observe que, à semelhança da
ener gia cinética, a energia elástica
nun ca será negativa, pois k > 0 e 
x2 ≥ 0.
2. ENERGIA MECÂNICA
A energia mecânica de um corpo
é a soma das energias potencial e ci -
né tica.
A energia mecânica depende
do referencial adotado e pode
ser positiva, negativa ou nula.
3. SISTEMA DE 
FORÇAS CONSERVATIVO
Um sistema de forças, aplicado a
um corpo, é dito conservativo
quan do não altera a energia mecâ ni -
ca do cor po.
Exemplos de sistemas conserva -
ti vos:
Exemplo 1: Quando um corpo
es tá sob ação exclusiva da força de
gravidade, sua energia mecânica
per manece constante.
O corpo pode estar
a) em queda livre vertical;
b) subindo verticalmente;
c) em trajetória parabólica (movi -
men to balístico);
d) em movimento orbital em torno
da Terra (órbita circular ou elíptica).
Exemplo 2: Quando um corpo
desliza livremente ao longo de uma
tra jetória sem atrito, ele fica sob a
ação exclusiva de seu peso e da
reação nor mal de apoio, e sua ener -
gia mecânica permanece constante.
Exemplo 3: Quando um pên -
du lo ideal está oscilando, a esfera
pen dular fica sob a ação exclusiva
de seu peso e da força aplicada pelo
fio ideal, e sua energia mecânica
per ma nece cons tante.
Exemplo 4: Em uma Máquina
de Atwood, ideal, os blocos ficam sob
a ação exclusiva de seus pesos e das
for ças aplicadas pelo fio, e a energia
me cânica total do conjunto dos dois
blo cos permanece constan te.
F = k x
tg α =N k
kx2
Ee = –––––2
EM = Epot + Ecin
SISTEMA CONSERVATIVO
⇑⇓
ENERGIA MECÂNICA
CONSTANTE
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MÓDULOS 45 e 46 Energia Elástica e Sistema de Forças Conservativo
C5_CURSO_FIS_TEO_A_Alelex 13/04/12 12:10 Página 103
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
4. GRÁFICO DE 
ENERGIAS EM UM
SISTEMA CONSERVATIVO
Os gráficos da energia potencial
e da energia cinética de um corpo,
em fun ção do tempo ou da posição
(defi nida por uma coordenada de
posição x), são simétricos em rela -
ção a um ei xo correspondente à
metade da ener gia me cânica total.
Exemplo
E1 = Energia Cinética
E2 = Energia Potencial
Em = Energia Mecânica
A demonstração dessa proprie -
da de é imediata, pois:
E1 + E2 = Em e
E1 + E2 Em–––––––– = –––––
2 2
é a equação que traduz a simetria
citada, porque a posição do eixo de
simetria é dada pela média aritmética
entre as ordenadas E1 e E2.
5. SISTEMAS NÃO 
CONSERVATIVOS
Um sistema de forças é dito não
CONSERVATIVO quando, ao ser
aplicado a um corpo, provoca au -
mento ou diminuição da energia me -
cânica do corpo.
Exemplo 1: Força de resis -
tên cia do ar
Quando um corpo está em movi -
mento sob a ação de seu peso e da
resistência do ar, sua energia mecâ -
nica diminui, pois a força de resis -
tência do ar realiza um trabalho
ne gativo, transformando ener -
gia mecâ nica em térmica.
Exemplo 2: Força de atrito
Quando um corpo está mo ven -
do-se ao longo de uma trajetória com
atrito, sob a ação exclusiva de seu
pe so e da força do apoio, sua ener -
gia mecânica diminui, pois a força de
atrito realiza um trabalho ne ga -
tivo, transformando ener gia
mecâ ni caem térmica.
Nos exemplos (1) e (2), o traba lho
das forças dissipativas (atrito e/ou re -
sistência do ar) é medido pela va ria -
 ção da energia mecânica do cor po:
Exemplo 3: Colisões não
elás ticas
Nas colisões não elásticas (tam -
bém chamadas de inelásticas ou
ane lás ticas), há diminuição de ener -
gia me cânica com a consequente
produ ção de energia térmica, ener -
gia so nora e trabalho em deforma -
ções per manentes.
Exemplo 4: Explosões
Em uma explosão, as forças in ter -
nas provocam aumento de ener -
 gia mecânica, transformando outra
forma de energia (potencial quí mica
ou nuclear) em energia mecâ nica.
EA = EB = EC = ED
E = EpotA
+ EcinA
+ EpotB
+ 
+ EcinB
= constante
τForças dissipativas = ΔEmecânica
NAS EXPLOSÕES, HÁ
AUMENTO DE ENERGIA
MECÂNICA.
EA = EB = EC = ED
EA = EB = EC
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1. DEFINIÇÃO
Denomina-se lente esférica
uma associação de dois dioptros
esféricos ou um dioptro esférico e
outro plano.
Em geral, n3 = n1.
Os elementos geométricos im -
por tan tes de uma lente esférica são:
O1 e O2 : centros de curva -
tu ra.
R1 e R2 : raios de curvatura.
e: espessura da lente.
O eixo definido pelos centros de
curvatura O1 e O2 constitui o eixo
principal da lente.
Feixes de luz atravessando uma lente
de vidro imersa no ar.
2. NOMENCLATURA E TIPOS
Nomearemos as faces voltadas
para o meio exterior assinalando em
primeiro lugar a face de maior raio de
curvatura.
Assim, temos os seguintes tipos
de lentes:
As três primeiras lentes
são denominadas lentes de
bordos finos e as três últimas,
lentes de bordos espessos.
3. COMPORTAMENTO
ÓPTICO DAS LENTES
Quando um feixe de luz cilíndrico
incide em uma lente esférica, ele
pode ter dois comportamentos óp ti -
cos distintos:
• O feixe emergente é do tipo
cônico convergente. A lente, neste
caso, é denominada convergente;
• O feixe emergente é do tipo
cônico divergente. A lente é diver -
gente.
Sendo n2 o índice de refração ab -
soluto do material com que a lente é
feita e n1 o índice de refração ab soluto
do meio onde a lente está imersa,
temos os casos resumidos na tabela:
O caso mais comum é n2 > n1:
len tes de vidro e imersas no ar.
4. LENTE DELGADA
Se a espessura da lente for
desprezível quando comparada com
os raios de curvatura R1 e R2, ela será
chamada lente delgada. Na figura
a seguir, representamos as lentes del -
gadas convergentes e diver gen tes.
Lentes de
bordos finos
Lentes de
bordos
espessos
n2 > n1 convergentes divergentes
n2 < n1 divergentes convergentes
FRENTE 2 Óptica e Ondas
MÓDULO 19 Lentes Esféricas I
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106 –
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 A
A intersecção do eixo principal
com a lente delgada é um ponto O
denominado centro óptico da
lente delgada.
Além do centro óptico O, são
importantes os seguintes pontos:
F : foco principal objeto.
F': foco principal imagem.
A distância de F a O é igual à
distância de F' a O e é chamada
distância focal f.
A : ponto antiprincipal objeto.
A': ponto antiprincipal imagem.
A distância de A a O é igual à
distância de A' a O e é igual a 2f.
Observação: Sempre que ne -
ces sário, consideraremos obe de ci -
das as condições de nitidez de
Gauss.
5. RAIOS NOTÁVEIS
a) Todo raio de luz que incide nu -
ma lente paralelamente ao eixo prin -
cipal emerge numa direção que pas -
sa pelo foco principal F'.
F’ tem natureza real nas lentes conver -
gentes.
F’ tem natureza virtual nas lentes diver -
gentes.
b) Todo raio de luz que incide na
lente numa direção que passa pelo
foco principal objeto F emerge
paralelamente ao eixo principal.
F tem natureza real nas lentes conver -
gentes.
F tem natureza virtual nas lentes diver -
gentes.
c) Todo raio de luz que incide,
passando pelo centro óptico O, atra -
vessa a lente sem desviar.
d) Todo raio de luz que incide na
lente numa direção que passa por A
emerge numa direção que passa por
A'.
e) Todo raio de luz que incide
obliquamente ao eixo principal emer -
ge numa direção que passa pelo
foco secundário (F's).
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6. CONSTRUÇÃO GRÁFICA
DA IMAGEM DE UM
PEQUENO OBJETO
FRONTAL
q Lente convergente
Imagem: real, invertida e menor
do que o objeto (máquina foto -
grá fica).
Imagem: real, invertida e do
mesmo tamanho do objeto.
Imagem: real, invertida e maior
do que o objeto (projetor de sli -
des).
Imagem: imprópria.
Imagem: virtual, direita e maior
do que o objeto (lupa ou lente de
aumento).
q Lente divergente
Imagem: virtual, direita e menor
do que o objeto.
Objeto antes de A
Objeto em A
Objeto entre A e F
Objeto em F
Objeto entre F e O
MÓDULO 20 Lentes Esféricas II – Estudo Analítico
1. EQUAÇÃO DE GAUSS
Sejam p e p' as abscissas do
objeto e da imagem, respec ti va men -
te. A Equação de Gauss relaciona
p, p' e f.
De acordo com o sistema de ei -
xos adotado, temos a seguinte con -
ven ção de sinais:
1 1 1
––– = ––– + –––
f p p'
p > 0 : objeto real
p < 0 : objeto virtual
p' > 0 : imagem real
p' < 0 : imagem virtual
f > 0 : lente convergente
f < 0 : lente divergente
Observações
a) Nos sistemas ópticos refra tores, quando objeto e ima gem são de mesma natureza, estão posicio nados em dife -
ren tes semiespaços defini dos pelo sistema.
b) Nos sistemas ópticos refra tores, quando objeto e ima gem são de natureza dife rente, estão posi cio nados no
mesmo semiespaço definido pelo sis tema.
C5_CURSO_FIS_TEO_A_Alelex 13/04/12 12:10 Página 107
2. AUMENTO LINEAR TRANSVERSAL
Sejam i e o as medidas algé bri cas das dimensões
lineares da ima gem e do objeto, respec ti va men te, com
orientação positiva para cima.
Desenhando o objeto sempre para ci ma, o será
posi tivo. Se a imagem re sultar para cima, temos i > 0:
ima gem direita. Se a imagem resultar para baixo,
temos i < 0: imagem in vertida.
A exemplo dos espelhos es fé ri cos, valem as
fórmulas:
e
O aumento linear transver sal é, por defini 
i
ção, o quo ciente ––– .
o
i p’
––– = – ––– 
o p 
i f
––– = ––––––
o f – p
108 –
FÍS
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108 –
1. INTRODUÇÃO
É sabido que quanto menor é a distância focal de
uma lente, mais abruptamente ela converge ou diver ge
raios de luz paralelos, isto é, "quan to menor sua
distância focal, maior é seu poder de convergir ou
divergir raios de luz".
A lente L2 é mais convergente que a lente L1, pois,
tendo menor distância focal, converge mais abrup ta -
mente os raios de luz.
Para medir o poder de uma lente em convergir raios
de luz, define-se uma nova grandeza, que será deno mi -
nada vergência ou conver gên cia da lente.
Define-se vergência (V) de uma lente como o
inverso de sua dis tân cia focal.
2. UNIDADE DE VERGÊNCIA
Sendo a distância focal f um com primento, a
vergência tem dimensão do inverso do comprimen to.
Sua unidade de medida é o cm–1 ou o m–1.
Esta última unidade, m–1 (inverso do metro), é a
usual na prática, rece bendo a denominação de
dioptria e sendo representada por di.
3. EQUAÇÃO DE HALLEY OU 
DOS "FABRICANTES DE LENTES"
A distância focal de uma lente depende
• do material de que a lente é feita, representado
por seu índice de refra ção absoluto (n2);
• do meio externo que envolve a lente,
representado por seu índice de refra ção absoluto (n1);
• da geometria da lente, repre sentada pelos raios
de curvatura R1 e R2.
O valor da distância focal (f) é calculado pela
Equação de Halley ou dos "fabricantes das lentes":
Convenção de sinais:
face convexa: R > 0
face côncava: R < 0
1
face plana: –––– → 0
R4. LENTES JUSTAPOSTAS
Para uma associação de lentes del gadas justapostas,
a vergência da associação é igual à soma al gébrica das
vergências das lentes associa das.
Por exemplo, para duas lentes justapostas, escre ve -
mos:
1
V = –––
f
1 n2 1 1
––– = (–––– – 1 ) (–––– + ––––)f n1 R1 R2
V = V1 + V2
1 1 1
––– = ––– + –––
f f1 f2
MÓDULO 21 Lentes Esféricas III – Vergência de uma Lente
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– 109
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1. REPRESENTAÇÃO 
ESQUEMÁTICA DO OLHO
Vista lateral de uma
córnea humana.
Nesta representação, des ta ca mos apenas as par -
tes mais im por tan tes na formação das imagens, in di -
cando sua função óptica.
O esquema apresentado é deno minado "olho
reduzido".
a) Cristalino: é uma lente con vergente, do tipo
bicon vexa.
De um objeto real, esta lente deve produzir uma
imagem real sobre a retina.
b) Pupila: comporta-se como um diafragma,
controlan do a quan ti dade de luz que penetra no olho.
c) Retina: é a parte sensível à luz, onde deve
formar-se a imagem. Comporta-se como um anteparo
sen sí vel à luz.
d) Músculos ciliares: com pri mem conveniente -
mente o cristalino, alterando sua distância focal.
A distância da retina ao cristalino é constante e da
ordem de 1,5cm e cor res ponde à abscissa da imagem p'.
Os cones e bas to netes
são as células senso riais
da visão. Situa das na
retina, essas células
trans formam a infor ma -
ção lumi no sa sobre elas
inci den te em infor mação
elétrica que es coa pa ra o
cérebro atra vés do nervo
óp tico. 
Na foto acima, tem-se um aspecto de cones e bas tonetes
vistos ao microscópio com am pliação de 1600 ve zes.
2. ACOMODAÇÃO VISUAL
Como já ressaltamos, a abscissa p' da imagem
(distância do cristalino à retina) é constante e, como a
abs cis sa p do objeto assume valores dis tin tos, con -
forme a particular posição do objeto visado, a equação 
+ = mostra-nos que a dis tância focal do
cris talino deve ser variável.
Para cada valor de p, a distância focal f assume um
valor conveniente, para que a ima gem se forme exa ta -
mente sobre a retina.
A variação da distância focal do cristalino é feita
com a intervenção dos músculos ci lia res.
Sendo p' = cons tante, per ce be mos pela Equação
de Gauss que quanto menor for p (objeto mais pró xi mo
da vista), menor deverá ser a cor respondente distância
focal f.
Assim, à medida que apro xi ma mos o objeto do
olho, os músculos ciliares comprimem o cristalino, di mi -
nuin do o raio de curvatura das faces e também a
distância focal f.
O trabalho realizado pelos mús cu los ciliares, de
variação da dis tân cia focal do cristalino, é denominado
"acomodação visual".
3. PONTO REMOTO E PONTO PRÓXIMO
Ponto remoto (PR) é o ponto mais afastado que
o olho vê com nitidez, estando os músculos ciliares
relaxados.
1––f
1––p
1––p’
MÓDULO 22 Óptica da Visão
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Ponto próximo (PP) é o ponto
mais próximo da vista para a qual a
ima gem é nítida, estando os mús cu -
los ciliares com máxima contração.
Para que um objeto possa ser
visto com nitidez, ele deve situar-se
entre o ponto próximo e o ponto re mo -
to do olho. A região do espaço com -
preendida entre tais pontos é de -
nominada zona de acomoda ção.
d: distância mínima de visão distinta.
D: distância máxima de visão distinta.
Para o olho normal, o ponto re -
mo to está no infinito (D → ∞) e o
pon to pró ximo está a uma distância
con ven cional d = 25cm.
4. MIOPIA
A miopia é um defeito da visão
que consiste em um alongamento do
globo ocular.
Há um afastamento da retina em
relação ao cristalino, e com isso a
imagem de um objeto impróprio se
forma aquém da retina, e portan to
não é nítida.
Para o míope, o ponto remoto es -
tá a uma distância finita, maior ou
menor, conforme o grau de miopia.
Quando o objeto está no ponto
remoto do míope, a imagem forma-se
nítida na retina, com os músculos ci -
lia res relaxados (condições de visão
mais cômoda).
PRM = ponto remoto do olho mío -
pe.
D = distância máxima de visão
distinta do olho míope.
P' = imagem nítida do ponto re -
mo to sobre a retina.
Como a distância focal máxima
do cristalino está sendo demasiado
pequena, isto é, sua vergência é
maior do que a ideal, a correção é
feita com o uso de uma lente di ver -
gente.
Tal lente divergente deve for ne -
cer, de um objeto impróprio, uma
ima gem virtual no ponto remoto do
olho. Esta imagem virtual se com por -
ta como objeto real para o olho,
dando uma imagem final real e nítida
sobre a retina.
De um objeto impróprio, a lente
cor retiva divergente dá uma imagem
em seu foco imagem; como tal ima -
gem vai ser objeto para o olho, ela
de verá coincidir com o ponto re moto
do olho míope (PRM ≡ F').
A lente corretiva tem distância fo-
cal , em que D é a distân -
cia máxima da visão distinta para o
olho míope.
5. HIPERMETROPIA
A hipermetropia é um defeito da
visão que consiste num encur ta men -
to do globo ocular.
O problema do hipermetrope não
é a visão de objetos distantes, pois,
com uma acomodação con ve niente,
a distância focal do sistema é re du zi -
da, possibilitando a visão níti da do
obje to impróprio.
A dificuldade reside no afas ta -
men to do ponto próximo.
A distância focal mínima do sis te -
ma é maior do que deveria ser, fa zen -
do com que a visão de objetos pró xi -
mos não seja possível com ni ti dez.
Nesse caso, a vergência do sis -
tema deve ser aumentada, com o uso
de uma lente corretiva con ver -
gente. Tal lente convergente deve
for necer, de um objeto real, situado
no ponto próximo do olho normal,
uma imagem virtual, no ponto pró xi -
mo do olho hipermetrope. Esta ima -
gem se comporta como objeto real
para o olho, dando uma imagem
final nítida sobre a retina.
PPN = ponto próximo do olho
nor mal (emetrope).
PPH = ponto próximo do olho hi -
per metrope.
Sendo d = 25cm a distância míni -
ma de visão distinta para o olho nor -
mal, dH a distância mínima de visão
distinta para o olho hi per me tro pe e f
a distância focal da lente cor retiva,
te re mos:
p = d = 25cm
p' = -dH (imagem virtual)
(CGS)
f = – D 
1 1 1–– = ––– – ––– 
f 25 dH
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1. PERÍODO, FREQUÊNCIA, AMPLITUDE E
COMPRIMENTO DE ONDA
Suponhamos que um homem, se gurando uma das
extremidades de uma corda tensa, passe a movi men tar
ritmadamente sua mão para cima e para baixo.
Admitamos que o intervalo de tem po decorrido em
um sobe e des ce da mão seja sempre constante e que
a altura da posição mais alta da mão em relação à
posição mais baixa seja invariável.
Esses movimentos cadenciados da mão do homem
produzirão uma sucessão de ondas senoidais que
percorrerão a corda com velocidade de intensidade V,
conforme ilustra o esquema acima.
No caso do exemplo, o período da onda é igual ao
intervalo de tempo gasto pela mão do homem para exe -
cutar uma oscilação, isto é, um sobe e desce completo.
Matematicamente:
Se n = 1 ciclo, teremos Δt = T. As sim:
Se a unidade de tempo for o segundo (s), decorrerá
que:
Recordemos que:
1kHz = 103Hz, 1MHz = 106Hz e 1GHz = 109Hz
Referindo-nos ao exemplo da cor da, podemos dizer
que o com pri mento de onda λ é a distância entre duas
cristas ou entre dois vales consecutivos.
É evidente que a distância entre uma crista e um va le
consecutivos equi vale a meio comprimento de on da (λ/2).
2. RELAÇÃO 
FUNDAMENTAL DA ONDULATÓRIA
Geralmente, uma onda pro pa ga-se em movi mento
uniforme, valendo a relação:
Recordando que durante um pe río do (T) a per tur ba ção
percorre um comprimento de onda (λ) e que a frequên cia
(f) é o inverso do período, podemos escrever que:
Chama-se período (T) da on da o intervalo
de tempo necessário para que um ponto
vibrante rea lize um ciclo completo.
Chama-se frequência (f) da on da o número de
ciclos rea li za dos por um ponto vi brante numa
uni dade de tempo.
n
f = ––––
Δt
1 1f = ––– ou T = –––
T f
1
unid (f) = –– = s–1 = hertz (Hz)
s
Chama-se amplitude (A) da onda a distân -
cia de uma crista ou um vale ao nível de
equilíbrio.
Chama-se comprimento de onda (λ) a dis -
tância per cor rida pela perturbação du ran -
te um pe ríodo.
Δs
V = ––––
Δt
λ
V = –––– = λ f
T
MÓDULO 23 Equação Fundamental da Ondulatória
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FRENTE 3 Eletricidade
MÓDULOS 37 e 38 Força Eletrostática – Lei de Coulomb
1. INTRODUÇÃO
Consideremos duas cargas punti -
 for mes q e Q separadas uma da outra
por uma distância d e situadas no vá -
cuo.
Entre elas, existe uma força ele -
trostática que pode ser de atração ou
de repulsão, conforme os sinais das
car gas (Fig. 1).
Fig. 1 – Entre as cargas, existe a força
ele trostática.
2. LEI DE COULOMB
A intensidade da força eletrostá -
tica depende dos seguintes fatores:
1.o) da distância que separa as
par tículas;
2.o) das quantidades de eletri -
cida de q e Q;
3.o) do meio em que as partícu -
las se encontram.
Geralmente, o meio é o vácuo, a
menos que se mencione o contrário.
A Lei de Coulomb diz:
| q | . | Q |
F = K0 –––––––––––– (1)
d2
Na expressão anterior, K0 é uma
constante de proporcionalidade, de -
no minada constante eletros tá ti -
ca do vácuo.
No SI, o seu valor é
K0 = 9,0 . 109 N.m2/C2
Em outros meios, a constante ele -
 trostática será indicada apenas por K
e seu valor é menor do que K0.
Neste caso, temos
| q | . | Q |
F’ = K –––––––––––– (2)
d2
Mantidos os valores de q, Q e d
e sendo K < K0, resulta de (1) e (2):
F’ < F.
3. UNIDADES IMPORTANTES
DO SI
4. GRÁFICO DA FORÇA
ELETROSTÁTICA
Mantidos os valores de q e Q e
supondo o meio o vácuo, vamos
cons truir uma tabela, variando o valor
de d.
Assim, temos o gráfico.
A intensidade da força ele -
tros tática entre as duas
car gas é dire tamente pro -
por cio nal ao produto delas
e inver sa mente propor cio -
nal ao qua drado da distân -
cia que as se pa ra.
d F
2d F/4
3d F/9
4d F/16
q Q d F K
unidades 
do SI C C m N N . m
2/C2
MÓDULO 39 Campo Elétrico
1. INTRODUÇÃO
Chamamos de carga de prova
(q) a uma partícula eletrizada ou cor -
po puntiforme eletrizado que se uti li -
za para verificações e obser vações
(son dagens).
Fig.1 – O pesquisador e a carga de pro -
va (q).
2. CONCEITO DE CAMPO
ELÉTRICO
Dizemos que numa região do
espaço há um campo elétrico quan -
do, ao sondarmos a região com a
car ga de prova, notamos o apa re ci -
mento de uma força eletrostática
agin do na carga de prova.
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Fig.2 – Na região R, há um campo elé -
trico.
3. ONDE ENCONTRAMOS 
O CAMPO ELÉTRICO
Os campos elétricos são en con -
tra dos em torno dos corpos ele tri za -
dos.
Por exemplo: fixemos uma esfera
de alumínio, eletrizada, sobre um
pedestal. Em torno dela, haverá um
campo elétrico e isso se confirma na
sondagem com a carga de prova.
Fig.3 – Na região que envolve a esfera
fixa, há um campo elétrico.
4. ANALOGIA
O campo elétrico de uma esfera
é análogo ao campo gravitacional de
um planeta.
Envolvendo o planeta, há um
cam po de forças dito "campo gravi ta -
cio nal". Se usarmos um objeto qual -
 quer como "corpo de prova", o pla ne -
ta o atrairá, transmitindo-lhe uma for -
ça gravitacional.
Envolvendo uma esfera ele tri za -
da, há um campo eletrostático. Se
apro ximarmos dela uma carga de
pro va, a esfera a atrairá (ou a repe -
lirá), trans mitindo-lhe uma força ele -
tros tá ti ca.
Tanto o gravitacional como o
cam po elétrico são campos de
for ça.
5. VETOR CAMPO ELÉTRICO: 
→
E
Para melhor definir a direção, o
sentido e a intensidade do campo
elé trico, definimos um vetor E
→
, deno-
minado vetor campo elétrico.
Para tanto, seja F
→
a força ele tros -
 tá tica do campo elétrico sobre a car -
ga de prova q nele colocada (Fig. 4).
Fig. 4 – Carga de prova no campo elé -
trico.
q Definição
ou 
Convém observar que
1.o) F
→
e E
→
são vetores de mes ma
direção.
2.o) Quando a carga de prova 
(q) for positiva, F
→
e E
→
têm o mesmo
sentido.
3.o) Quando a carga de prova (q)
for negativa, F
→
e E
→
têm sen ti dos
opos tos.
Fig.5 – Sentido de F
→
e de E
→
com relação
ao sinal de (q).
6. MÓDULO OU
INTENSIDADE DO VETOR
CAMPO ELÉ TRI CO
Fixemos uma carga puntiforme
Q. Em sua volta, há um campo elé tri -
co. 
Coloquemos uma carga pontual
q a uma distância d de Q.
Sobre (q), bem como sobre (Q),
aparece uma força eletrostática.
Temos
→
F F
E
→
= –––– ⇒ E = ––––– (1)
q | q |
Sendo
| q | . | Q |
F = K0 –––––––––– (2)
d2
Vamos substituir (2) na (1):
|q| |Q|
K0 –––––––
d2
E = ––––––––––––– 
|q|
Por cancelarmos q, afirmamos
que o módulo do vetor campo in de -
pen de da carga de prova. Restará
Observação
A unidade provisória do campo
ele trostático, no SI, é newton por
cou lomb.
7. SENTIDO DO VETOR
CAMPO ELÉTRICO
O seu sentido dependerá exclu -
si va mente do sinal da "carga-fonte"
(Q).
a) Quando a "carga-fonte" Q for
positiva, o campo elétrico será de
afastamento. Os vetores campo
elétrico apontarão "para fora", isto é,
são centrífugos em relação à carga-
fonte.
F
→
= q . E
→F
→
E
→
= ––––
q
|Q|
E = K0 ––––––d2
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Fig.6 – Campo de afastamento para 
Q > 0.
b) Quando a "carga-fonte" Q for
negativa, o campo elétrico será de
aproximação. Os vetores campo
elétrico apontarão para o centro da
carga-fonte.
Fig. 7 – Campo de aproximação para 
Q < 0.
Observações
1.a) Quando representamos um
ponto P e um vetor E
→
, é bom res sal tar
que, mesmo não havendo carga em P,
há um campo elétrico no local.
2.a) Não devemos dizer que os
ve tores E
→
da Fig. 6 estão "repelindo"
os pontos P. Analogamente, eles não
os estão atraindo na Fig. 7.
3.a) O vetor campo elétrico E
→
não
é uma força, mas apenas uma re pre -
sen tação simbólica de uma direção e
um sentido de um agente trans mis sor
de força.
8. GRÁFICO DO CAMPO
ELÉTRICO
Variando-se a distância d, varia a
intensidade E do vetor campo elétri -
co. O gráfico de E em função de d é
um ramo de uma hipérbole cúbica,
conforme indica a Fig. 8.
Fig. 8.
Já o gráfico de E em função de
d2 é um ramo de “hipérbole equilá -
tera” (Fig. 9).
Fig. 9.
Quando várias cargas são gera do ras de um mesmo
campo elétrico, então, em cada ponto do campo, o ve -
tor campo elétrico resultante será a so ma dos vetores
produzidos pelas car gas individualmente.
1. CAMPO ELÉTRICO GERADO POR DUAS
CARGAS PUNTIFORMES
Sejam as cargas puntiformes Q1 e Q2, de sinais
opostos, criando cam po elétrico em P.
A carga positiva (Q1) gera em P um vetor campo
elétrico (E
→
1) de afas ta mento.
A carga negativa (Q2) gera em P um vetor
campo elétrico (E
→
2 ) de aproximação.
O vetor campo elétrico re sul tan te em P (E
→
res) será
dado pela so ma ve to rial de E
→
1 e E
→
2.
Cada campo parcial tem inten si da de dada por
E
→
res = E
→
1 + E
→
2
|Q2|E2 = K . ––––
d22
|Q1|E1 = K . ––––
d21
MÓDULO 40 Campo Elétrico Resultante – Diversas Cargas
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O módulo do vetor campo elé tri co resultante é dado
pela expressão
Observação: se as cargas fos sem ambas posi -
tivas ou ambas ne ga tivas, apenas mudariam a direção
e o sentido do vetor E
→
res.
Na figura (a) a seguir, temos duas partículas ele -
trizadas com car gas elétricas positivas e iguais a + Q e
na figura (b) as partículas es tão eletri zadas com cargas
elétri cas +Q (posi tiva) e –Q (negativa). Elas estão si -
tuadas nos vértices A e B de um triân gulo equilátero.
Nas fi gu ras re pre sentamos os vetores campo par ciais
→
EA e
→
EB, ambos de mesmo mó dulo E e o vetor campo
resultante 
→
Eres.
Fig a.
EA = EB = E
Eres = E . ��3
Fig b.
EA = EB = E
Eres = E
2. CAMPO ELÉTRICO GERADO POR N
CARGAS PUNTIFORMES
Sejam agora n cargas punti for mes, Q1, Q2, Q3, …,
Qn, criando campo elétrico em um ponto P.
As cargas negativas criarão, indi vi dualmente,
vetores (E
→
j) de apro ximação.
As cargas positivas criarão, indi vidualmente,
vetores (E
→
i) de afasta men to.
O vetor campo elétrico resultante será dado pela
soma vetorial de todos os vetores parciais.
E
→
res = E
→
1 + E
→
2 + E
→
3 + ... + E
→
n
Eres = �������������� E21 + E22 + 2 . E1 . E2 cos α
MÓDULO 41 Potencial Elétrico e Energia Potencial
1. DEFINIÇÃO
Potencial elétrico é a me di da do nível de ener -
gia potencial elétrica as so ciada a um ponto do cam po
elé tri co.
Tomemos uma carga de prova (q) e a coloquemos
em um ponto P de um campo elétrico. Ela adquire uma
ener gia potencial elétrica (εpot). De fi nimos o potencial
elétrico (V) as so cia do ao ponto P como a gran deza
escalar dada por
⇒ εpot = q . V
εpot
V = ––––––
q
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2. UNIDADES DO SI
3. ENERGIA POTENCIAL
Consideremos o campo elétrico gerado pela carga
Q e o ponto P a uma distância d, no vácuo (Fig. 1)
Fig.1.
A energia potencial elétrica que a carga
elétrica puntiforme q adquire ao ser colocada em P é
dada por
O referencial adotado para a me di da da energia
potencial que q ad qui re é o infinito.
4. POTENCIAL ELÉTRICO
Para calcular o potencial elétrico em P, retomemos
as equações se guin tes.
q Q
εpot = K0 –––––– (1)d
εpot
V = –––––– (2)
q
Substituindo (1) em (2), vem
q . Q
K0 –––––––d
V = –––––––––––––––
q
Ao cancelarmos q, podemos di zer que o potencial
em P não de pen de rá do valor da carga de prova.
5. OBSERVAÇÕES SOBRE O POTENCIAL
1.a) Trata-se de uma grandeza es calar.
2 .a) Seu valor em P não de pen de de uma eventual
carga de prova ali colocada.
3 .a) O sinal do potencial elétrico acom panha o da
carga-fonte.
Q > 0 → V > 0
Q < 0 → V < 0
4.a) Agora temos em P duas gran dezas asso cia -
das: uma vetorial, o campo elétrico (E
→
), e a outra es ca -
lar, o potencial elétrico (V).
5 .a) Se o meio não for o vácuo, a cons tante
eletrostática (K) assume um valor diferente de K0.
6. GRÁFICO DO POTENCIAL
Obedecendo à equação:
o potencial colocado em gráfico em função da distância
d nos dará uma hipérbole equilátera.
Fig.2.
Q
V = K0 ––––d
q . Q
εpot = K0 –––––––d
Q
V = K0 ––––d
unid. (εpot) = joule (J)
unid. (V) = volt (V)
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1. INTRODUÇÃO
Considere dois pontos, A e B, de um campo elétrico
onde
VA = potencial resultante no pon to A.
VB = potencial resultante no pon to B.
Uma carga de prova (q) é transportada de A para
B por um operador (Fig. 2).
Durante este transporte, as for ças elétricas do
campo que atuam em (q) executam um trabalho τAB,
dado pela equação: 
Esta equação pode ser demons tra da pela diferença
entre as ener gias potenciais da carga de prova (q) nos
pontos A e B.
Fig. 2.
τAB = q(VA – VB)
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7. ENERGIA POTENCIAL DE 
UM PAR DE CARGAS PUNTIFORMES
O sistema de duas cargas pun ti for mes, Q1 e Q2, no
vácuo, co lo ca das pró ximas uma da outra, con for me a
Fig. 3, adquire a energia poten cial elétrica igual a
Fig.3 – Par de cargas puntiformes.
Q1 . Q2εpot = K0 –––––––––d
Consideremos um campo elé trico gerado por n
cargas elétricas punti for mes: Q1, Q2 … Qn. Neste
campo, fixemos, ainda, um ponto P.
Fig. 1.
Para calcular o potencial elétrico resultante (Vres) no
ponto P, proce de mos da seguinte maneira:
1.o) Calculamos, isoladamente, o po ten cial gerado por
cada carga elé trica em P, usando a fórmula an terior:
Q1V1 = K0 ––––d1
Q2V2 = K0 ––––d2
QnVn = K0 ––––dn
2.o) O potencial resultante no ponto P é dado pela
soma algébrica dos potenciais parciais. O po -
ten cial é uma grandeza escalar e "cu mu la tiva".
Observação
Podemos, ainda, substituir as ex pres sões parciais
na equação acima.
Q1 Q2 QnVres = K0 ––– + K0 ––– + … + K0 –––d1 d2 dn
Vres = V1 + V2 + V3 + … + Vn
Q1 Q2 QnVres = K0 (––– + ––– + ... + –––)d1 d2 dn
MÓDULOS 42 e 43 Potencial Elétrico Gerado por Diversas Cargas
MÓDULO 44 Trabalho da Força Elétrica
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2. TEOREMA DE ENERGIA CINÉTICA
"O trabalho de todas as forças que atuam em q é
igual à variação de sua energia cinética ao passar do
ponto A para o ponto B."
Sendo apenas duas as forças atuantes em q, a
do operador e a do campo elétrico, teremos
Caso particular
A partícula é tirada do repouso em (A) e levada até
(B), onde foi colocada em repouso.
Neste caso, teremos:
εcinA
= 0 e εcinB 
= 0
τoper + τAB = 0
τres = εcinB
– εcinA
τoper + τAB = εcinB
– εcinA
τoper = – τAB
MÓDULO 45 Propriedades do Campo Elétrico
1. LINHA DE FORÇA
A fim de representar a direção e o sentido de um
campo elétrico, foram cria das as "linhas de força".
Elas são linhas imaginárias que de senhamos com o
intuito de vi sua li zar melhor o campo elétrico. 
Uma linha de força tangencia sem pre um conjunto
de vetores cam po elétrico.
Fig. 1 – Linha de força (LF).
2. CARGA PUNTIFORME ISOLADA
Recordemos:
a) Se Q > 0, o campo é de afas ta mento;
b) Se Q < 0, o campo é de apro xi mação.
As linhas de força serão radiais e o sentido obedece
à regra anterior.
Fig. 2 – Linhas de força de uma carga puntiforme positiva.
Fig. 3 – Linhas de força de uma carga pun tiforme negativa.
3. DUAS CARGAS PUNTIFORMES
Fig. 4 – Linhas de força de duas cargas puntiformes positivas
idênticas.
Fig. 5 – Linhas de força de duas cargas puntiformes de sinais
contrários. "A linha nasce na carga positiva e morre na carga
negativa."
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4. EQUIPOTENCIAIS
As equipotenciais são linhas ou superfícies imagi -
nárias nas quais seus pontos possuem um mesmo
poten cial.
Fig. 6 – A superfície esférica imaginária de raio r é uma
equipotencial em torno da carga puntiforme Q.
q Propriedades
As linhas de força são per pen di cu lares às linhas ou
superfícies equi po tenciais quando ambas se cru zarem.
Fig. 7 – Linhas cheias – linhas de força.
Linhas pontilhadas – linhas equipo ten ciais.
5. CAMPO ELÉTRICO UNIFORME
Um campo elétrico se diz uni for me quando suas
linhas de força fo rem re tas, paralelas e unifor me men te
dis tri buí das. As superfícies equi po ten ciais serão planos
para le los entre si. Cada pla no é per pen di cu lar às li nhas
de força.
Fig. 8 – Campo elétrico uniforme.
Linhas pontilhadas = equipotenciais.
Linhas cheias = linhas de força.
6. PROPRIEDADES IMPORTANTES
1.a) As linhas de força são abertas.
2.a) Duas linhas de força nunca se cru zam.
3.a) As equipotenciais podem ser aber tas ou fechadas.
4.a) Ao percorrermos uma linha de força, no sentido
dela, notaremos que o potencial vai decrescendo.5.a) Linha de força e linha equi po ten cial jamais pode -
riam ser coin ci den tes.
1. DEFINIÇÃO DE CONDUTOR ISOLADO
Um condutor isolado, eletrizado ou não, está em
equilíbrio ele tros tá ti co quando não existe nele nenhum
mo vi mento ordenado de cargas elé tri cas.
2. PROPRIEDADES
Para um condutor isolado em equi líbrio eletros -
tático, são válidas as propriedades que se seguem.
1.a) É nulo o campo elétrico no seu interior.
Fig.1 – Condutor em equilíbrio eletros tá ti co.
2.a) É constante o potencial elétrico em todos os seus
pontos (in ter nos e da superfície). 
MÓDULO 46 Condutor Isolado
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Fig. 2.
Vint = constante
Vsup = constante
3.a) As cargas elétricas em excesso de um condutor em
equilíbrio eletrostático distribuem-se pela sua
superfície externa.
Fig. 3 – Cilindro oco de alumínio. As car gas elétricas em
excesso estão na su per fí cie externa.
4.a) O vetor elétrico tem direção perpendicular à su per -
fície con du to ra.
Fig. 4 – Condutor em equilíbrio eletros tá ti co-eletrizado.
5.a) Há maior densidade superficial de cargas elétricas
nas regiões de maior curvatura (pontas).
Fig. 5 –d1 = densidade superficial de car gas da região 1.
d2 = densidade superficial de car gas da região 2.
d3 = densidade superficial de car gas da região 3.
d1 > d3 > d2
6.a) A intensidade do campo elétrico nas proximidades
do condutor é proporcional à densidade de cargas
da respectiva região.
|E
→
1| > |E
→
3| > |E
→
2|
7.a) Numa esfera condutora, em equi l í brio eletrostático,
as cargas elé tri cas têm distribuição uniforme e o
cam po elétrico tem intensidade cons tante em sua
volta (para pontos infi ni ta mente próximos dela).
Fig. 6 – Esfera em equilíbrio eletrostático; eletrizada positi -
vamente.
Vint = Vsup
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