CTM III Cristalografia planos e direes cristalogrficas JOCA 2018.2

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Fundamentos de CristalografiaFundamentos de Cristalografia
(Direções e Planos (Direções e Planos CristalográficosCristalográficos))
Prof. Dr. Jorge Pereira
Cristalografia
⇒ A cristalografia consiste na ciência que estuda a
disposição interatômica da matéria sólida, as suas
causas, a sua natureza e as suas consequências.
⇒ A cristalografia não é somente a ciência que
estuda os cristais limitados por faces planas mas
⇒
estuda os cristais limitados por faces planas mas
também a ciência que estuda o estado cristalino e a
disposição atômica em substâncias amorfas, líquidos,
gases, assim como a estrutura da matéria viva.
⇒ Em 1912 foi descoberto que se poderia determinar
nos cristais a forma e o tamanho do padrão de
repetição dos seus átomos (células unitárias) através
da passagem de raios-X pela amostra.
Cristalografia
⇒ A cristalografia encontra-se dividida nos seguintes ramos:
�cristalografia geométrica (estudo da forma dos cristais),
�cristalografia química (estudo das relações entre a forma dos
cristais e a sua composição química),
�cristalografia física (relaciona a forma cristalina e as suas
propriedades físicas e óticas),
� cristalografia estrutural (estudo da disposição dos átomos no
interior dos cristais).
� Lembrar cristal: um sólido homogêneo que 
possui ordem interna tridimensional, que sob 
condições favoráveis, pode manifestar-se 
externamente por superfícies limitante, planas e lisas.
Sistemas Cristalinos
� No século XIX Auguste Bravais identificou 7 sistemas
cristalinos e 14 células unitárias (ou 14 retículos de
Bravais), que se forem repetidas periodicamente no
espaço, produziriam as possíveis estruturas ou
reticulados cristalinos de átomos.
� A teoria de Bravais foi confirmada no início do século XX
com os experimentos de difração de raios-X de Bragg.
� Os sistemas cristalinos incluem todas as possíveis
geometrias de divisão do espaço por superfícies planas
contínuas.
� Definem as relação entre os parâmetros de rede e a
geometria das células unitárias
Os 7 Sistemas Cristalinos
Cúbico
a = b = c 
Tetragonal
a = b ≠ c 
Hexagonal
a = b ≠ c 
Monoclínico
a ≠ b ≠ c a = b = c α = β = γ = 90o a = b ≠ c α = β = γ = 90o a = b ≠ c α = β = 90o, γ = 120o a ≠ b ≠ c α = γ = 90o ≠ β
Ortorrômbico
a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90o
Romboédrico
a = b = c α = β = γ ≠ 90o
Triclínico
a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
As 14 Redes de Bravais
• Dos 7 sistemas cristalinos 
podemos identificar 14
tipos diferentes de células 
unitárias, conhecidas 
como redes de Bravais.como redes de Bravais.
• Cada uma destas células 
unitárias tem certas 
características que ajudam 
a diferenciá-las das outras 
células unitárias.
Por que estudar cristalografia?
•• MóduloMódulo dede elasticidadeelasticidade � Fe ccc (E) � na direção da diagonal do
cubo do que na direção da aresta.
⇒ As propriedades de muitos materiais são direcionais, 
como por exemplo, o módulo de elasticidade (E)
Deformação plástica em metais envolve deslizamento 
de planos atômicos. 
O deslizamento está mais facilitado nos planos e 
direções de maior densidade atômica.
•• PermeabilidadePermeabilidade magnéticamagnética..
•• ÍndiceÍndice dede refraçãorefração..
Variam com a direção cristalográfica!
- Devido à variação de empacotamento 
dos átomos
Monocristais vs Policristais
• Monocristais (um só grão)
- Propriedades variam com a direção:
anisotrópico
Ex: os módulos de elasticidade (E) no Ferro CCC
E (diagonal) = 273 GPa
E (aresta) = 125 GPa
• Policristais
- propriedades não variam com a direção (no geral).
- se os grãos estão randomicamente orientados, 
isotrópico.
(EFerro policristalinos = 210 GPa)
- se os grãos estão texturados: anisotrópico.
(apresentam um orientação preferencial)
200 µm
E (aresta) = 125 GPa
Grãos laminados
Coordenadas cristalinas
� A adoção de um sistema de 
eixos permite a localização de 
átomos na rede cristalina, bem 
como a identificação de direções 
e planos cristalinos.e planos cristalinos.
� Um átomo ou um ponto 
qualquer da rede é localizado 
através de suas coordenadas em 
relação ao referencial (sistema de 
eixos adotado).
Posições Atômicas
� Para poder descrever a estrutura cristalina é necessário 
adotar uma notação para posições, direções e planos.
� Posições (coordenadas atômicas)
� No sistema cúbico, são definidas dentro de um cubo
com lado unitário
Determinar as posições atômicas
• As posições
são representadas 
por números 
inteiros ou não, 
separados por 
1
separados por 
vírgulas.
• Célula cúbica de lado unitário
1
10,0,0
Determinar as posições atômicas
• As posições
são representadas 
por números 
inteiros ou não, 
separados por 
0, 0, 1
1, 0, 1
0, 1, 1
1, 1, 1
1/2, 1/2, 1
1/2, 1, 1/2 separados por 
vírgulas.0, 0, 0
1, 0, 0
0, 1, 0
1, 1, 0
1/2, 1/2, 0
1/2, 0, 1/2
1/2, 1, 1/2
1/2, 1/2, 1/2
Direção cristalográfica
� Devido à regularidade da estrutura 
cristalina formam-se colunas de átomos.
� Estas colunas atômicas podem ser 
identificadas por uma direção.
�A dependência que as propriedades �A dependência que as propriedades 
exibem com a direção cristalina em que 
são medidas dá-se o nome de 
anisotropia.
� Uma direção cristalina é identificada 
por três índices entre colchetes [ u v w ].
�Os índíces são números inteiros.
� Estes índices representam um vetor.
Direção cristalográfica
• Algoritmo: Como determinar os índices de uma direção
cristalográfica?
1. Definir as coordenadas dois pontos por 
onde passa o vetor.
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: 
• http://www.youtube.com/watch?v=9UYZSa_ftBU
2. Definir o ponto alvo e origem, fazendo-se: 
ALVO - ORIGEM
3. Eliminar as frações e reduzir ao m.m.c.
4. Escrever entre colchetes, e se houver nº 
negativo é colocado sobre o índice
5. [ u v w ]
EXEMPLOS:
• São representadas 
entre colchetes = [uvw]
Para indicar uma direção cristalográfica
• Se a subtração for
negativa, coloca-se 
uma barra sobre o 
número
EXEMPLOS:
• São representadas 
entre colchetes = [uvw]
Para indicar uma direção cristalográfica
• Quando passa pela 
origem:
EXEMPLOS:
• São representadas entre 
colchetes = [uvw]
Para indicar uma direção cristalográfica
• Os números devem ser 
divididos ou multiplicados 
por um fator comum para 
dar números inteiros
EXERCÍCIO:
• Determinar os índices das direções cristalográfica A, B e C
Determinar as direções cristalográficas
z
y
x
Determinar as direções cristalográficas
Família de direções - <uvw>
• Quando ao longo das direções o espaçamento entre
os átomos e o número de átomos forem os mesmos,
(i.e. o empacotamento atômico for o mesmo) tem-se
direções cristalograficamente equivalentes. Estas são
designadas por FAMÍLIA.
<100> = [100], [010], [001], [010], [001], [100]<100> = [100], [010], [001], [010], [001], [100]
z
y
x
• Direções 
correspondentes 
ao eixos 
cristalográficos:
x, -x, y,-y, z e -z.
Ex: CS
Família de direções - <uvw>
Direções para o sistema CCC
• No sistema CCC os 
átomos se tocam ao longo 
da diagonal do cubo, que 
corresponde a família de 
direções <111>.direções <111>.
• Então, a direção [111] é a 
de maior empacotamento 
atômico, isto é, maior número de átomos cujos 
centros são interceptados 
pelo vetor.
• No sistema CFC os 
átomos se tocam ao 
longo da diagonal da face, que 
Direções para o sistema CFC
da face, que 
corresponde a família 
de direções <110>.
• Então, a direção 
[110] é a de maior
empacotamento 
atômico. 
• DAL = Comprimento do vetor
Número de átomos cujos centros são interceptados no vetor
[110] Ex: Calcule a DAL do alumíniona direção [110] 
(em átomos de Al/nm) ???
Densidade Atômica Linear “DAL”
a
(em átomos de Al/nm) ???
Dados: a = 0.405 nm , estrutura CFC
Número de átomos
Comprimento
3,5 átomos Al
a2
2DAL ==
nm
Nota - ver a intercepção dos átomos numa perspectiva unidimensional
Densidade Atômica Linear “DAL”
� Calcule a DAL (em %) da direção [100] na rede CFC
� Comprimento total de átomos = 2R
� Comprimento da direção = a0 e a0 CFC =4R/√2
� DAL = 2R/(4R/√2) = √2 /2 = 0,707 ou 70,7%
<100 > - qualquer uma direção da aresta do cubo!
METAIS
CERÂMICAS
Densidade Atômica e Iônica Linear 
“DAL” e “DIL”
EXERCÍCIO:
1. Calcular a DAL (em %) para as direções [100], [011] e [111],
considerando as estruturas CS, CCC e CFC.
CERÂMICAS
[100]
[111]
[011]
NOTA: na estrutura CS , ao = 2R
Direção mais compacta para a CS = <100>
[011] = [110] = [101]
[111]
[100]
Direção mais compacta 
para a CCC = [111]
[101]
NOTA: na estrutura CCC , ao = 4R/√3 
[100]
[111]
[100]
[101] = [110]
Direção mais compacta 
para a CFC = [110]
NOTA: na estrutura CFC , ao = 4R/√2 
• Em cristais hexagonais algumas direções cristalográficas 
equivalentes não terão o mesmo conjunto de índices. Isto é 
resolvido com a utilização de um sistema de coordenadas com 
quatro eixos, ou de Miller-Bravais.
]uvtw[]'w'v'uConversão: →[
Direções no Sistema Hexagonal
=
=
=
'ww
t
v
u
)vu( +-
)'u'v2(
3
1 -
)'v'u2(
3
1 -=
a2
z Algoritmo:
1. Reposicionar vetor (se necessário) para 
passar na origem.
2. Ler as projeções do vetor em termos de 
dimensões a1, a2, a3 ou c da célula 
unitária.
3. Ajustar para os menores valores 
Direções no Sistema Hexagonal
-
a3
a1
Linhas pontilhadas em vermelho indicam 
as projeções sobre os eixos a1 e a2 a1
a2
a3
-a3
2
a2
2
a1
3. Ajustar para os menores valores 
inteiros possíveis. 
4. Apresentar os números inteiros entre 
colchetes: [uvtw]
ex: ½, ½, -1, 0 � [ 1 1 2 0 ]
Planos cristalográficosPlanos cristalográficos
� A regularidade da estrutura 
cristalina também forma planos de 
átomos. Estes planos são 
representados por índices, 
denominados índices de Miller.
� Um cristal possui planos de � Um cristal possui planos de 
átomos que influenciam as 
propriedades e o comportamento de 
um material. Por exemplo, a clivagem 
de certos minerais ocorre em 
determinados planos atômicos
� A identificação de um plano 
cristalino segue a notação (hkl).
Plano atômico (001) em rede cubica 
simples.
Planos cristalográficos: importânciaimportância
� Para a determinação da estrutura cristalina
Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de 
pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros 
do reticulado de um cristal. 
Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado. Estes 
são usados para determinar os ângulos interaxiais de um cristal. 
� Para a deformação plástica � Para a deformação plástica 
A deformação plástica (permanente) dos metais ocorre pelo deslizamento dos átomos, 
escorregando uns sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a acontecer 
preferencialmente ao longo de planos direções específicos do cristal. 
� Para as propriedades de transporte 
Em certos materiais, a estrutura atômica em determinados planos causa o transporte de 
elétrons e/ou acelera a condução nestes planos, e, relativamente, reduz a velocidade em 
planos distantes destes. 
Exemplo 1: Grafita 
A condução de calor é mais rápida nos planos unidos covalentemente sp2 do que nas 
direções perpendiculares a esses planos. 
Planos cristalográficos
• Para identificar planos cristalográficos utilizamos os índices de Miller (hkl).
• Os índices de Miller são representados entre parênteses, sem vírgulas: ( ).
• Índices de Miller são definidos como sendo os inversos das interseções fracionárias que o plano faz com os eixos cristalográficos x, y e zcoincidentes com 3 arestas não paralelas da célula unitária cúbica.
parênteses, sem vírgulas: ( ).
z
Plano yz ► intercepta 
perpendicularmente o eixo xPlano xz ► intercepta 
perpendicularmente o eixo y
Planos cristalográficos
x
y
Plano xy ► intercepta 
perpendicularmente o eixo z
Planos cristalográficos
Planos cristalográficos
�Notação para definir os planos de rede utiliza os índices 
de Miller, os quais são obtidos da seguinte maneira:
� Obtém-se as intersecções do plano com os eixos. 
� Obtém-se o inverso das intersecções fracionárias
� Multiplica-se para obter os menores números inteiros.
Intersecções: 1/2, ∞, 1
Inversos: 2, 0 ,1 
Índices de Miller: (201) 
1/2
1
y
x
z
h = 1/x
k = 1/y
l = 1/z
Parâmetros de rede
z
(i) Esse plano intercepta os eixos 
x,y e z às distâncias 1, ∞, ∞.
Planos cristalográficos: 
como determinar os índices de Miller
y
x
x,y e z às distâncias 1, ∞, ∞.
(ii) Vamos tomar os inversos 
dessas interseções que são 
1, 0, 0.
(iii) Logo, os índices de Miller 
deste plano são (100).Plano (100)
1/3, ∞, ∞
1/(1/3), 1/∞, 1/ ∞
3, 0, 0
(3 0 0)
Planos cristalográficos
1, ∞, ∞
1/1, 1/∞, 1/ ∞
1, 0, 0
(1 0 0)
1/3
1
∞, ½, ∞
1/∞, 1/(½), 1/∞
0, 2, 0
(0 2 0)
Planos cristalográficos
(0 2 0)
∞, 1, ∞
1/∞, 1/1, 1/∞
0, 1, 0
(0 1 0)
½ 1
∞, ∞, 1
1/∞, 1/∞, 1/1
0, 0, 1
(0 0 1)
Planos cristalográficos
1
(0 0 1)
∞, ∞, 1/3
1/∞, 1/∞, 1/(1/3)
0, 0, 3
(0 0 3)
1/3
2/3, 1/2, ∞
1/(2/3), 1/(1/2), 1/ ∞
3/2, 2, 0
3, 4, 0
Planos cristalográficos
(3 4 0)
1, 1, ∞
1/1, 1/1, 1/ ∞
1, 1, 0
(1 1 0)
2/3
1/2
1/2, 1/2, 1/2
2/1, 2/1, 2/1
2, 2, 2
Planos cristalográficos
2, 2, 2
(2 2 2)
1, 1, 1
(1 1 1)
1/2
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
1. Interseções 1 1 ∞
2. Inversos 1/1 1/1 1/∞
1 1 0
3. Reduções 1 1 0
Exemplo 1 a b c
Planos cristalográficos
x4. Índices de Miller (110)
Exemplo 2 a b c z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (200)
1. Interseções 1/2 ∞ ∞
2. Inversos 1/½ 1/∞ 1/∞
2 0 0
3. Reduções 2 0 0 ½
z
y
a b
c
•
•
•
Exemplo 3
1. Interseções 1/2 1 3/4
a b c
2. Inversos 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Reduções 6 3 4 1/2
3/4
Planos cristalográficos
x
a b
4. Índices de Miller (634)
3. Reduções 6 3 4
• http://www.youtube.com/watch?v=EIneDZrrL-Y
Planos cristalográficos
0,0,0
0,0,0
0’,0’,0’
Planos cristalográficos
Planos cristalográficos
�Ex: desenhe o plano (013) na célula cúbica
z
2/3
1
x
y
1/3
1/2
2/3
1
1
Questão retirada do exame final “December 2010 MSE101” da Universidade de Toronto-Canadá
Planos cristalográficos
�Ex: desenhe o plano (321) na célula cúbica
z
1
x
y1
1
1/21/3
1/2
Planos cristalográficos
� Encontrar os índices Miller dos planos
Planos cristalográficos
Planos cristalográficos
• Da mesma forma que temos uma 
família de direções, temos também 
uma família de planos. 
• Família de planos – contém todos os 
Familia de Planos cristalográficos
• Família de planos – contém todos os 
planos que são cristalograficamente 
equivalentes, ou seja, que possuem 
o mesmo empacotamento atômico.
• Família de planos – representam-se 
por { }
Sistema CS
� A família de planos 
{100} é a de maior densidade atômica. Conhecido por plano compacto ou denso.compacto ou denso.� Isto porque os planos contêm o maior número de átomos.
• Compreende planos sempre paralelos a dois dos eixos;
Sistema CCC
� A família de planos 
{110} é a de maior densidade atômica. Conhecido por plano compacto ou denso.compacto ou denso.
� Isto porque os planos contêm o maior número de átomos.
• Compreende planos sempre paralelos à um dos eixos;
Sistema CFC
� A família de planos 
{111} é a de maior densidade atômica.
� Isto porque os planos� Isto porque os planoscontêm o maior númerode átomos.
Posições atômicas = , , 
Direções atômicas = [ ] 
Resumo: posições, direções e planos 
cristalográficos
Família de direções = < > 
Plano = ( ) 
Família de planos = { } 
Densidade Planar: Atômica e Iônica
METAIS
CERÂMICAS

= 2 nm
íons
planodoárea
planonoíonsdenúmeroDIP
 
 
planodoárea
planonoátomosdetotaláreaDAP =
• DAP =
Área Total do Plano
Número de átomos cujos centros estão no plano 
(100)
Densidade Atômica Planar “DAP”
Ex: Calcule a DAP do alumínio no plano (100) 
(em átomos de Al/nm2) ???
a
(100)
Número de átomos
Área do Plano
12,2 átomos Al
a2
2DP ==
nm2
(em átomos de Al/nm ) ???
Dados: a = 0.405 nm , estrutura CFC
planodoárea
planonoátomosdetotaláreaDAP =
Densidade Atômica Planar “DAP”
� Calcule a DAP (em %) dos planos {100} na rede CFC
� Número total de átomos = 1 + 4*1/4 = 2
� Área total de átomos = 2 * área 1 átomo = 2*piR2
� Área do plano = a02 e a0= 4R/√2 ♣ a02 = (4R/√2)2
� DAP = 2*piR2 / (4R/√2)2 = 0,785 ou 78,5%
Densidade Atômica Linear e Planar
Estrutura CS
Densidade Atômica Planar “DAP”
� Exercício: Compare as DAP no plano (110)
para as estruturas CFC e CCC do Fe.
CFC
CCC
Densidade Atômica Planar “DAP”
� Exercício: Compare as DAP no plano (111)
para as estruturas CFC e CCC do Fe.
CFC
CCC
Densidade Atômica Planar “DAP”
DAP(010) cs = 78% DAP(010) ccc = 59% DAP
(010)
CFC = 78%
DAP(101) cs = 55% DAP(101) ccc = 83% DAP
(101)
CFC = 55%
Planos Cristalográficos: 
Sistema Hexagonal 
Planos Cristalográficos: 
Sistema Hexagonal 
Planos Cristalográficos: 
Sistema Hexagonal 
Planos Cristalográficos: 
Sistema Hexagonal 
• No sistema hexagonal a mesma idéia é usada:
exemplo a1 a2 a3 c1. Interseções 1 ∞ -1 1
z
Planos Cristalográficos: 
Sistema Hexagonal 
4. Índices Miller-Bravais (1011)
1. Interseções 1 ∞ -1 1
2. Inversos 1 1/∞
1 0 
-1
-1
1
1
3. Redução 1 0 -1 1
a2
a3
a1
Planos Cristalográficos: 
Sistema Hexagonal 
Planos e direções compactas: Resumo
Sistemas de Deslizamento
Sistemas de Deslizamento
Sistemas de Deslizamento
Sistemas de Deslizamento
Sistemas de Deslizamento
Distância Interplanar “dhkl”
1
d2
=
h2 + k2 + l2
a2
Cúbico:
1
d2
=
h2 + k2
a2
+
l2
c2
1
d2
= 4
3
h2 + hk + k2
a2



 +
l2
c2
Tetragonal:
Hexagonal:
Distância Interplanar “dhkl”
d 3 a  c
1
d2
=
h2 + k2 + l2( )sin2α + 2 hk + kl + hl( ) cos2α − cosα( )
a2 1− 3cos2α + 2cos3α( )Romboédrico:
1
d2
=
h2
a2
+
k2
b2
+
l2
c2
1
d2
= 1
sin2 β
h2
a2
+ k
2 sin2 β
b2
+ l
2
c2
− 2hlcosβ
ac




Ortorrômbico:
Monoclínico:
1
d2
=
1
V2
S11h
2 + S22k
2 + S33l
2 + 2S12hk + 2S23kl + 2S13hl( )Triclínico:
Distância Interplanar “dhkl”
Exemplo: Calcule a distância interplanar (em Å) entre dois planos 
adjacentes da familia {111} no ouro, que tem ao= 4,0786 Å 
1. A 20ºC, o polônio (Po) apresenta a estrutura CS, sendo
o parâmetro de rede, a, de 0.3352 nm.
a) Calcule a DAL nas direções [100]; [110] e [111] em
átomos de Po/nm.
b) Calcule a DAP nos planos (100); (110) e (111) em átomos
de Po/nm2 .
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Dados: A (Po) = 209,0 g/mol ; NAv = 6,0230*1023
átomos/mol ; 
1 nm = 10*10-7 cm a = 2R
2. A 20ºC, o cromo (Cr) apresenta uma massa atômica de
52,0 g/mol, raio atômico de 1,27Å e estrutura cristalina
cúbica de corpo centrada (CCC).
a) Calcule a DAL nas direções [100]; [110] e [111] em átomos
de Cr/nm.
b) Calcule a DAP nos planos (100); (110); (111) e (200) em
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
átomos de Cr/nm2 .
Dados: A (Cr) = 52,0 g/mol ; NAv = 6,0230*1023 átomos/mol 
; 
1 nm = 10-7cm
1A = 10 nm
a = 4R/√3
3. A 20ºC, o ouro (Au) apresenta uma massa atômica de
196,97 g/mol, raio atômico de 1,46Å e estrutura cristalina
cúbica de faces centradas (CFC).
a) Calcule a DAL nas direções [100]; [110] e [111] em átomos
de Au/nm.
b) Calcule a DAP nos planos (100); (110); (111); (200) e
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
(220) em átomos de Au/nm2 .
Dados: A (Cr) = 196,97 g/mol ; NAv = 6,0230*1023
átomos/mol ; 
1 nm = 10-7cm
1A = 10 nm
a = 4R/√2
4. Calcule o D.I.L. na direção [110] para cerâmica NaCl,
em íons Cl-/nm
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
Dados: RCl- = 0,181 nm 
rNa
+
= 0,102 nm
Cl
Na
a
a = 2Rcloro + 2rsódio
[110]
DIL[110] = 2 íons Cl- /a.√2
= 2,5 íons Cl- / nm = 0,566 nm
a
5. Calcule o D.I.P. no plano (110) para os íons Cl- da NaCl,
em íons Cl-/nm2
Cl
Na
Dados: RCl- = 0,181 nm e 
rNa
+ 
= 0,102 nm 
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
a
a
a = 2Rcloro + 2rsódio
(110)
DIP(110) = 2 íons Cl- /a*a.√2
= 4,4 íons Cl- / nm2
a
6. Calcule o D.I.P. no plano (111) para os íons Cl- da NaCl,
em íons Cl-/nm2
Dados: RCl- = 0,181 nm e rNa+ = 0,102 nm 
Cl
Na h2 = (a.√2)2-(a.√2/2)2
h = (a.√2.√3)
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
a
(111)
DIP(111) = 2 íons Cl /[(a.√2).(a.√2.√3)] = 1,8 íons Cl-/nm2
A = (b.h) /2
a = 0,566 nm
a
7. Calcule o D.I.P. no plano (200) para os íons Cl- da NaCl,
em íons Cl-/nm2
Dados: RCl- = 0,181 nm e rNa+ = 0,102 nm 
Cl
Na
EXERCÍCIOEXERCÍCIO
aNa+
Cl-
a
(200)
DIP(111) = 4*1/2 íons Cl /(a)2 = 6,24 íons Cl-/nm2
a = 0,566 nm
aNa+
Prof. Dr. Jorge Carlos Pereira
jocabuzo@gmail.com