TaxasdeVariacao_2013_2_Economia

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Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET
Disciplina: Economia Matemática I Curso: Economia
Prof.: Liliane X. Neves
TAXAS DE VARIAÇÃO
Dada uma quantidade y em função de uma quantidade x, podemos expressar a taxa de variação de y por unidade de
variação de x. A discussão é análoga a discussão da inclinação de uma reta tangente ao gráfico, como vimos na aula
anterior.
Se a relação funcional entre y e x for dada por y = f(x) e se x variar do valor x1 até x2, então y variará de f(x1) até
f(x2). Dessa forma, a variação de y, denotada por ∆y, é f(x2)− f(x1) quando a variação de x for x2 − x1, denotada
por ∆x.
Definição 1 Definimos a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, quando x variar de x1
a x2 por
f(x2)− f(x1)
x2 − x1 =
∆y
∆x
.
Exemplo 2 A administração da Companhia de Pneus Titan descobriu que a demanda semanal para seus pneus Super
Titan é dada por
D = f(x) =
√
144− x,
onde D é medido em milhares e x é medido em dólares. Qual a taxa de variação média da demanda do pneu se o valor
estiver entre 108 dólares e 119 dólares?
Se o limite desse quociente existir quando x2 tende a x1, ou seja, quando ∆x→ 0, esse limite será o que intuitivamente
consideramos como a taxa de variação instantânea de y por unidade de variação de x em x1.
De acordo com essas considerações, temos a seguinte definição:
Definição 3 Seja y = f(x), a taxa de variação instantânea de y por unidade de variação de x em x1 é
f ′(x1) ou, equivalentemente, a derivada de y com respeito a x em x1, se ela existir no ponto x1.
Exemplo 4 As perdas (em milhões de dólares) em razão de maus empréstimos feitos pelos Franklin Bank, princi-
palmente aos setores de agricultura, negócios imobiliários, transportes e energia, podem ser estimadas pela função
f(t) = −t2 + 10t+ 30, (0 ≤ t ≤ 10), onde t é o tempo em anos (t = 0 corresponde corresponde ao início de 1994). A
que velocidade se acumulavam os prejuízos se acumulavam no início de 1997? E no início de 1999? A que velocidade
se acumulavam os prejuízos se acumulavam no início de 2001? Interprete seus resultados.
Exemplo 5 O custo total C(x) (em dólares) que a Companhia Aloha tem ao fabricar x pranchas de surfe por dia é
dado por C(x) = (5x+ 2x)3, (0 ≤ x ≤ 15). Qual é a taxa de variação do custo total quando o nível de produção é de
dez pranchas por dia?
Exemplo 6 O lucro trimestral (em milhares de dólares) da Cunningham Realty é dado por P (x) =
log3 x
x+ 1
, (1 ≤ x ≤
50), onde x em milhares de dólares, é a quantidade de dinheiro que a Cunninghan gasta em publicidade por trimestre.
Qual é a taxa de variação do lucro trimestral da Cunninghan se a quantia que ela gasta em publicidade é de 10 mil
dólares por trimestre? E quando o gasto é de 30 mil dólares por trimestre?
Em Economia, a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser descrita pelos conceitos de média e/ou de
marginal.
A análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades econômicas. Por exemplo, um economista está
não apenas interessado no valor do produto interno bruto de uma economia em dado instante de tempo, mas também
está preocupado com a taxa segundo a qual ele está aumentando ou diminuindo.
Definição 7 A função Custo Marginal é dada pela derivada da função Custo Total e corresponde a taxa de variação
da função Custo total em um ponto apropriado.
Exemplo 8 Uma subsidiária da Elektra Eletronics fabrica uma calculadora de bolso programável. A gerência deter-
minou que o custo total diário para produzir essas calculadoras é dado por
C(x) = 0, 0001x3 − 0, 08x2 + 40x+ 5000,
onde x é o número de calculadoras produzidas.
a) Determine a função Custo Marginal.
b) Qual é o custo marginal quando x = 200, x = 300, x = 400 e x = 600?
c) Interprete seus resultados.
Exercício 9 O Custo diário para uma empresa produzir fornos de microondas é de
C(x) = 42x,
onde x denota o número de unidades produzidas. Qual é o custo real para se produzir o 101◦ forno? Qual é o custo
marginal quando x = 100, x = 200 e x = 300? Interprete o resultado.
Definição 10 A função Custo Médio Marginal é dada pela derivada da função Custo Médio (C(x) =
C(x)
x
) e corre-
sponde a taxa de variação da função Custo Médio com relação a um número de unidades produzidas.
Exemplo 11 O Custo total para produzir x unidades de certo bem é dado por C(x) = 400 + 20x
a) Determine a função Custo Médio.
b) Determine a função Custo Médio Marginal.
c) Interprete os resultados obtidos em a) e b).
Exercício 12 Uma subsidiária da Elektra Eletronics fabrica uma calculadora de bolso programável. A gerência deter-
minou que o custo total diário para produzir essas calculadoras é dado por C(x) = 0, 0001x3 − 0, 08x2 + 40x + 5000,
onde x é o número de calculadoras produzidas.
a) Determine a função Custo Médio.
b) Determine a função Custo Médio Marginal. Calcule C(500).
c) Interprete os resultados obtidos em a) e b).
Definição 13 A função Receita Marginal descreve o faturamento conseguido com a venda de uma unidade a mais
de um bem e é determinada por uma aproximação da função Receita. Assim, se R(x) é a função receita, R′(x) é a
função receita marginal, que mede a taxa de variação da função receita.
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Exemplo 14 Suponha que a relação entre o preço unitário p e a quantidade demandada x do sistema de caixas de
som Acrosonic é dada por
p = −0, 02x+ 400, (0 ≤ x ≤ 20000).
a) Determine a função Receita.
b) Determine a função Receita Marginal.
c) Calcule R′(2000) e Interprete os resultados obtidos.
Exercício 15 A empresa de Táxi aéreo Willians tem uma receita mensal de R(x) = 8000x − 100x2 quando o preço
cobrado por passageiro é x dólares.
a) Determine a receita marginal.
b) Calcule R′(39), R′(40), R′(41).
c) Com base nos resultados da parte b), qual preço a empresa deveria cobrar para maximizar sua receita?
Definição 16 A função Lucro Marginal mede a taxa de variação da função Lucro (L(x) = R(x)−C(x)) e nos fornece
uma boa aproximação do lucro ou da perda real em um momento da venda da (x+1)-ésima unidade do bem, assumindo
que a x-ésima unidade já tinha sido vendida.
Exemplo 17 Suponha que o custo de produção de x unidades do sistema de caixas de som Acrosonic seja de C(x) =
100x+ 200000 dólares. Com base no exemplo anterior:
a) Determine a função Lucro.
b) Determine a função Lucro Marginal.
c) Calcule L′(2000) e Interprete os resultados obtidos.
Exercício 18 A empresa de Táxi aéreo Willians tem uma receita mensal de R(x) = 8000x − 100x2 quando o preço
cobrado por passageiro é x dólares.
a) Determine a receita marginal.
b) Calcule R′(39), R′(40), R′(41).
c) Com base nos resultados da parte b), qual preço a empresa deveria cobrar para maximizar sua receita?
Definição 19 A Elasticidade da demanda é uma medida que indica a sensibilidade da procura face a alterações no
preço de um bem, mantendo todas as outras coisas constantes.
Se f é uma função demanda diferenciável definida por x = f(p), então a elasticidade da demanda para o preço p é
dada por
E(p) =
−pf ′(p)
f(p)
.
A lei da oferta e da procura conclui a existência de uma relação inversa entre a quantidade procurada e o preço, ou
seja, quanto menor o preço, maior deve ser a procura do bem. Os principais determinantes da elasticidade preço da
procura são:
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Exemplo 20 Considere a equação de demanda p = −0, 02x + 400, 0 ≤ x ≤ 20000, que descreve a relação entre o
preço unitário e a quantidade demandada x do sistema de caixas de som Acrosonic.
a) Determine a Elasticidade da demanda.
b) Calcule E(100) e interprete o resultado.
c) Calcule E(300) e Interprete o resultado.
d) A demanda é elástica, unitária ou inelástica quando p = 100? E quando p = 300?
e) Quando o preço é de 100 u.m., então um pequeno aumento do preço unitário produz um aumento ou uma diminuição
da receita?
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