Apostila geometria plana Áreas (7 páginas, 35 questões, com gabarito parcial)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
GEOMETRIA PLANA 
ÁREAS E MEDIDAS DE SUPERFÍCIES 
 
1 . ÁREA DO RETÂNGULO 
A área do retângulo cuja base é b e cuja al-
tura é h é dada por b ∙ h unidades de área: 
 
 
 
 
 
 
 A = bh 
 
 
 
 
Observações: 
 Tem lados opostos com medidas iguais e para-
lelos; 
 Todos os ângulos internos são retos (medida 
de 90°); 
 Teorema de Pitágoras: d2 = b2 + h2; 
 Algumas biografias chamam os lados do retân-
gulo de comprimento e largura. 
 
2 . ÁREA DO QUADRADO 
O quadrado é um caso particular de retân-
gulo de lados iguais, logo a área do quadrado cujo 
lado mede 𝓁 é igual a 𝓁 ∙ 𝓁 = 𝓁2 unidades de área: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 𝓁 ∙ 𝓁 = 𝓁2 
 
 
 
 
Observações: 
 Todos os lados têm medidas iguais e os lados 
opostos paralelos; 
 Todos os ângulos internos são retos; 
 Teorema de Pitágoras: d2 = 𝓁2 + 𝓁2; 
 É um caso particular de losango e retângulo; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 4𝓁. 
 
3 . ÁREA DO PARALELOGRAMO 
A área do paralelogramo é encontrada mul-
tiplicando-se a sua base b pela sua altura h: 
 
 
 
 
 
 
 A = bh 
 
 
 
 
Observações: 
 Tem lados opostos com medidas iguais e para-
lelos; 
 Tem ângulos opostos com medidas iguais. 
 
 
 
4 . ÁREA DO LOSANGO 
A área de um losango é igual à metade do 
produto das medidas de suas diagonais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = 
Dd
2
 
 
 
 
; sendo 
A – área do losango; 
D – diagonal maior; 
d – diagonal menor. 
 
 
Observações: 
 Todos os lados têm medidas iguais e os lados 
opostos paralelos; 
 Tem ângulos opostos com medidas iguais; 
 As diagonais são perpendiculares; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 4𝓁. 
 
5 . ÁREA DO TRAPÉZIO 
A área da região limitada por um trapézio é 
igual à metade do produto da altura h pela soma 
das bases maior e menor B + b. 
 
 
 
 
 
A =
(B + b)h
2
 
; sendo 
 
 
A – área do trapézio; 
B – base maior; 
b – base menor; 
h – altura do trapézio. 
 
Observações: 
 Num trapézio as bases são paralelas; 
 Trapézio reto-retângulo: um dos lados coincide 
com a altura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
6 . ÁREA DO TRIÂNGULO 
 
A área do triangulo conhecidos um lado 
(base) b e a altura correspondente h é igual à me-
tade do produto da base b pela altura h, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = 
bh
2
 
 
 
 
6.1 Área do Triângulo Isósceles 
 
 
 
 
 A = 
bh
2
 
 
 
 
Observações: 
 Dois lados têm medidas iguais; 
 Os ângulos da base têm medidas iguais; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + b; 
 A altura é também mediana e bissetriz, obser-
ve nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
6.2 Área do Triângulo Equilátero 
 
 
 
 
 
 A =
𝓁2√3
4
 
 
Observações: 
 Todos os lados têm medidas iguais; 
 Todos os ângulos internos têm medidas iguais; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 3𝓁; 
 O triângulo equilátero também é triângulo isós-
celes, portanto, a altura é também mediana e 
bissetriz; 
 Triângulo equilátero inscrito numa circunferên-
cia e teorema de Pitágoras: 
 
 
 
sen 30° = 
a
R
 ⟹ 
1
2
 = 
a
R
 ⟹ 2a = R ⟹ 
 
⟹ a = 
R
2
 
 
cos 30° = 
𝓁/2
R
 ⟹ 
√3
2
 = 
𝓁
2R
 ⟹ 𝓁 = R√3 
 
7 . ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR 
O hexágono regular é um polígono especial, 
pois é formado por seis triângulos equiláteros. 
Sendo o 𝓁 lado do triângulo equilátero, então a 
área do hexágono regular será igual a: 
 
 
 
 
AH = 6 ∙ AT.E. = 6 ∙ 
𝓁2√3
4
 
 
 
Observações: 
 Como em todo polígono regular os lados e ân-
gulos internos tem medidas iguais; 
 Perímetro: P = 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 + 𝓁 ⟹ P = 6𝓁 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Um terreno tem a forma de um trapézio de 
bases 20 m e 14 m e altura 11 m. Nesse terreno, 
construiu-se uma piscina retangular de 8 m por 5 
m. No restante do terreno foram colocadas pedras 
mineiras. Responda, com os cálculos necessários: 
a) Qual é a área do terreno? R: 187 m2 
b) Qual é a área da piscina? R: 40 m2 
c) Qual é a área onde se colocou pedra? R: 147 m2 
 
2) Na figura ao lado 
DM̅̅̅̅̅ = MN̅̅̅̅̅ = NC̅̅ ̅̅ . Calcu-
le a área da região 
colorida dessa figura. 
R: 40 cm2 
 
3) De uma placa de alumínio foi recortada uma 
região triangular equilátera de lado 20 cm. Qual é 
a área dessa região que foi recortada? (Considere 
√3 = 1,7) R: 170 cm2 
3 
4) O Perímetro de um triângulo equilátero é 30 
cm. Calcule a área desse triângulo (Considere √3 = 
1,7). R: 42,5 cm2 
 
5) Qual é a área da bandeirinha abaixo, formado 
por quatro triângulos equiláteros? (Considere √3 = 
1,7) 
 
R: 6,8 cm2 
6) Calcule a área: 
a) De toda parte colorida 
da figura ao lado. R: 8 cm2 
b) Da região não colori-
da. R: 8 cm2 
 
7) Baseado na figura do triângulo isóscele abaixo, 
determine, mostrando os cálculos necessários: 
 
a) a área do triângulo. R: 12 cm2 
b) o lado 𝓁 do triângulo. R: 5 cm 
 
8) Determine, mostrando os cálculos necessários: 
 
 
a) a altura do triângulo ao lado; R: 8 cm 
b) a área do triângulo. R: 48 cm2 
 
9)(Gilberto-2018) Na planta de um imóvel o 
comprimento e a largura da sala 1 são dadas na 
figura abaixo, a escala do projeto é 
1
100
. Respon-
da: 
 
 
 
a) Qual o comprimento real da sala 1, em metros? 
b) E a largura real, da sala 1, em metros? 
c) Qual será a área da sala 1, quando o imóvel 
estiver pronto? 
10) Feito o levantamen-
to de um terreno, foram 
determinados os dados 
indicados na figura ao 
lado. Nessas condições, 
qual é a área do terreno? 
(Veja a resolução dessa questão ) 
R: 2 320 m2 
 
11) Calcule a área da região poligonal de uma 
cartolina limitada por um hexágono regular de 
lado 10 cm (Considere √3 = 1,7). R: 255 cm2 
 
12) Um piso de cerâmica tem forma hexagonal 
regular. O lado do piso mede 8 cm. Considerando 
√3 = 1,7, qual é a área desse piso? R: 163,2 cm2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
13)(Enem-2017) A imagem apresentada na fi-
gura é uma cópia em preto e branco da tela qua-
drada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi 
colocada em uma parede para exposição e fixada 
nos pontos A e B. 
Por um problema na fixação de um dos 
pontos, a tela se desprendeu, girando rente à pa-
rede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilus-
trado a figura, formando um ângulo de 45° com a 
linha do horizonte. 
 
 
 
 
 
 
Para recolocar a tela na sua posição origi-
nal, deve-se girá-la, rente à parede, no menor 
ângulo possível inferior a 360°. 
 A forma de recolocar a tela na posição ori-
ginal, obedecendo ao que foi estabelecido, é gi-
rando-a em um ângulo de 
4 
(a) 90° no sentido horário. 
(b) 135° no sentido horário. 
(c) 180° no sentido anti-horário. 
(d) 270° no sentido anti-horário. 
(e) 315° no sentido horário. 
 
14)(Enem-2016) Um senhor, pai de dois filhos, 
deseja comprar dois terrenos, com áreas de mes-
ma medida, um para cada filho. Um dos terrenos 
visitados já está demarcado e, embora não tenha 
um formato convencional (como se observa na 
figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, 
foi comprado. O filho mais novo possui um projeto 
arquitetônico de uma casa que quer construir, 
mas, para isso, precisa de um terreno na forma 
retangular (como mostrado na figura A) cujo com-
primento seja 7 m maior do que a largura. 
 
 
 
Para satisfazer o filho mais novo, esse se-
nhor precisa encontrar um terrenoretangular cu-
jas medidas, em metros, do comprimento e da 
largura sejam iguais, respectivamente, a 
 
(a) 7,5 e 14,5 (c) 9,3 e 16,3 (e) 13,5 e 20,5 
 (b) 9,0 e 16,0 (d) 10,0 e 17,0 
 
15)(Enem-2015) O prefeito de uma cidade de-
seja promover uma festa popular no parque muni-
cipal para comemorar o aniversário de fundação 
do município. Sabe-se que esse parque possui 
formato retangular, com 120 m de comprimento 
por 150 m de largura. Além disso, para segurança 
das pessoas presentes no local, a polícia recomen-
da que a densidade média, num evento dessa na-
tureza, não supere quatro pessoas por metro qua-
drado. 
Seguindo as recomendações de segurança 
estabelecidas pela polícia, qual é o número máxi-
mo de pessoas que poderão estar presentes na 
festa? 
 
(a) 1 000 (c) 18 000 (e) 120 000 
 
(b) 4 500 (d) 72 000 
 
16)(Enem-2015) Uma família fez uma festa de 
aniversário e enfeitou o local da festa com bandei-
rinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas 
da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as 
folhas de papel em forma de quadrado, como 
mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as fo-
lhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e 
AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo 
ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. 
Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e 
AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de 
modo que AM seja igual a um quarto de AD. A se-
guir, fizeram corte sobre as linhas pontilhadas ao 
longo da folha dobrada. 
 
 
 
Após os cortes, a folha é aberta e a bandei-
rinha está pronta. 
A figura que representa a forma da bandeirinha é 
(a) (c) (e) 
 
 
 
(b) (d) 
 
 
 
17)(Enem-2013) Um programa de edição de 
imagem possibilita transformar figuras em outras 
mais complexas. Deseja-se construir uma nova 
figura a partir da original. A nova figura deve 
apresentar simetria em relação ao ponto O. 
 
 
Figura original 
 
A imagem que representa a nova figura é 
 
(a) 
 
 
(d) 
 
 
(b) 
 
 
(e) 
 
 
5 
(c) 
 
 
 
 
(Resolução em videoaula ) 
 
18)(Enem-2012) Um forro retangular de tecido 
traz em sua etiqueta a informação de que encolhe-
rá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, 
seu formato. A figura a seguir mostra as medidas 
originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) 
no comprimento e (y) na largura. A expressão al-
gébrica que representa a área do forro após ser 
lavado é (5 – x)(3 – y). 
 
 
 
Nestas condições, a área perdida do forro, 
após a primeira lavagem, será expressa por 
 
(a) 2xy (c) 15 – 5y (e) 5y + 3x ‒ xy 
 
(b) 15 – 3x (d) ‒ 5y – 3x 
 
19)(Enem-2015) A maior piscina do mundo, 
registrada no livro Guiness, está localizada no Chi-
le, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno 
de 8 hectares de área. 
Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 
hectômetro quadrado. 
Qual é o valor, em metros quadrados, da 
área coberta pelo terreno da piscina? 
 
(a) 8 (b) 80 (c) 800 (d) 8 000 (e) 80 000 
 
8 . CÍRCULO 
8.1 Área do Círculo 
 
 
 
 
 
 
 A = R2 
 
; sendo 
A – área do círculo; 
 – o número irracional 3,141592 …; 
R – raio. 
 
Observações: 
a) Isto não é uma prova, mas é pelo menos uma 
maneira de tentar justificar a fórmula da área do 
círculo: 
 
 
A = 
2R
2
R = R2 
 
b) A medida do diâmetro do círculo é igual à me-
dida de dois raios, observe a figura abaixo: 
 
 
 
 
D = 2R 
 
; sendo 
D – diâmetro; 
R – raio. 
 
8.2 Comprimento do Círculo 
 
 
 
Comprimento do círculo: C = 2R 
 
; sendo 
C – comprimento do círculo; 
 – o número irracional 3,141592 …; 
R – raio. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
20) Seja 20 cm o raio de uma circunferência. Cal-
cule seu comprimento (Considere  = 3,1). 
 
21) Se a corda pela qual o cavalo está amarrado 
mede 4,3 m, quantos metros tem o cercado? (Con-
sidere  = 3) 
 
22) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas 
grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para aten-
der alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a 
seus clientes pizzas médias, também de forma 
circular. Sabendo que o raio da pizza grande é de 
18 cm, raio da pizza média é de 12 cm e que os 
preços das pizzas são proporcionais as suas áreas, 
qual deverá ser o preço da pizza média? 
 
23) O piso (fundo) de uma piscina circular tem 
2,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área 
do piso dessa piscina? (use  = 3,1) 
6 
24) Qual é a área da região 
colorida da figura ao lado? 
(Considere  = 3) 
 
25) Uma praça tem a forma da 
figura abaixo. A prefeitura quer 
revestir o piso dessa praça com 
um tipo de pedra. Na figura 
estão registrados alguns dados 
da praça, considere a aproxi-
mação de  igual a 3. Calcule a 
área dessa praça. 
 
26) O perímetro do qua-
drado ABCD da figura ao 
lado é 32 cm. Calcule a área 
da região colorida da figura 
(Considere  = 3,1). 
(Veja a resolução dessa questão ) 
 
 
27) Quantos cm2 de alumínio 
são necessários para se fazer 
uma arruela cujas dimensões 
r1 = 3 cm e r2 = 1 cm, confor-
me a figura ao lado (Conside-
re  = 3). 
 
28) A figura ao lado mostra 
uma folha circular de zinco, 
de onde foi recortado a regi-
ão triangular equilátera colo-
rida. Calcule a área dessa 
região colorida (Considere √3 
= 1,7). 
 
29) O lado de um triângulo equilátero inscrito 
numa circunferência mede 18 cm. Calcule a medi-
da do seu apótema. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
30)(Enem-2017) Pivô é um sistema de irrigação 
muito usado na agricultura, em que uma área cir-
cular é projetada para receber uma estrutura sus-
pensa. No centro dessa área, há uma tubulação 
vertical que transmite água através de um cano 
horizontal longo, apoiado em torres de sustenta-
ção, as quais giram, sobre rodas, em torno do 
centro do pivô, também chamado de base, con-
forme mostram as figuras. Cada torre move-se 
com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será ins-
talado em uma fazenda, sendo que as distâncias 
entre torres consecutivas bem como da base a 
torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende 
ajustar as velocidades das torres, de tal forma que 
o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. 
Use 3 como aproximação para . 
Para atingir seu objetivo, as velocidades 
das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metros por 
hora, de 
 
(a) 12, 24 e 36 (d) 300, 1 200 e 2 700 
 
(b) 6, 12 e 18 (e) 600, 2 400 e 5 400 
 
(c) 2, 4 e 6 
 
31)(Enem-2017) Uma manchete demonstra que 
o transporte de grandes cargas representa cada 
vez mais preocupação quando feito em vias urba-
nas. 
 
Caminhão entala em viaduto no centro 
 
Um caminhão de grande porte entalou em-
baixo do viaduto no cruzamento das avenidas Bor-
ges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido 
Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capi-
tal. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto 
Alegre e transportava três grandes tubos, confor-
me ilustrado na foto. 
 
 
Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado). 
 
7 
Considere que cada raio externo de cada 
cano da imagem seja 0,6 cm e que eles estejam 
em cima de uma carroceria cuja parte superior 
está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vis-
ta traseira do empilhamento dos canos. 
 
 
 
 A margem de segurança recomendada para 
que um veículo passe sob um viaduto é a altura 
total do veículo com carga seja, no mínimo, 0,50 
cm menor do que a altura do vão do viaduto. 
 Considere 1,7 como aproximação para √3. 
Qual deveria ser a altura mínimado viaduto, em 
metros, para que esse caminhão pudesse passar 
com segurança sob seu vão. 
 
(a) 2,82 (b) 3,52 (c) 3,70 (d) 4,02 (e) 4,20 
 
32)(Enem-2017) Um garçom precisa escolher 
uma bandeja de base retangular para servir qua-
tro taças de espumante que precisam ser disposta 
em uma única fileira, paralela ao lado maior da 
bandeja. A base e a borda superior das taças são 
círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente. 
 
 
 
 A bandeja a ser escolha deverá ter uma 
área mínima, em centímetro quadrado, igual a 
 
(a) 192 (b) 300 (c) 304 (d) 320 (e) 400 
 
33)(Enem-2015) O tampo de vidro de uma me-
sa quebrou-se e deverá ser substituído por outro 
que tenha a forma de um círculo. O suporte de 
apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, 
de base em forma de triângulo equilátero com 
lados medindo 30 cm. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tam-
pos de vidros circulares com cortes já padroniza-
dos, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 
cm e 60 cm. 
O proprietário da mesa deseja adquirir nes-
sa loja o tampo de menor diâmetro que seja sufi-
ciente para cobrir a base superior do suporte da 
mesa. 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em 
centímetros, é igual a (Resolução em videoaula ) 
 
(a) 18 (b) 26 (c) 30 (d) 35 (e) 60 
 
34)(Enem-2015) Uma empresa de telefonia 
celular possui duas antenas que serão substituídas 
por uma nova, mais potente. As áreas de cobertu-
ra das antenas que serão substituídas são círculos 
de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam 
no ponto O, como mostra a figura. 
 
 
 O ponto O indica a posição da nova antena, 
e sua região de cobertura será um círculo cuja 
circunferência tangenciará externamente as cir-
cunferências das áreas de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, a medida 
da área de cobertura, em quilômetros quadrados, 
foi ampliada em 
 
(a) 8 (b) 12 (c) 16 (d) 32 (e) 64 
 
35)(UEPA-2010) A larga experiência tem levado 
profissionais ligados às diversas áreas de produção 
de conhecimento tecnológico a escreverem manu-
ais técnicos com a finalidade de 
orientar estudantes, projetistas 
de máquinas e professores de 
cursos técnicos. A figura ao lado 
ilustra o desenho técnico planifi-
cado de uma peça que será pro-
duzida em escala industrial. 
Fonte: Elementos de máquina, Sarkis Melconian – edição atualizada e revisada, São Paulo: Érica, 2000. 
Com base nessa figura, a área delimitada 
pelo desenho planificado da peça é: 
 
(a) r2 (
3+1
4
) unidades de área. 
 
(b) r2 (
3+4
4
) unidades de área. 
 
(c) r2 (
3
4
+ 4) unidades de área. 
 
(d) r (
3+4
4
) unidades de área. 
 
(e) r2 (3 +
1
4
) unidades de área. 
 
 
 
“A perseverança alimenta a esperança.” 
 
Atualizada em 5/8/2018 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.2.