Do curso 65822 aula 01 v1

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Livro Eletrônico
Aula 01
Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas
Jeronymo Marcondes, Arthur Lima
 
 
 
Medidas de Posição Central (ou locação) ............................................................................. 2 
Propriedades das medidas de posição central ...................................................................... 8 
Medidas de Dispersão ......................................................................................................... 11 
Propriedades da variância e do desvio padrão ................................................................... 15 
Medidas separatrizes e assimetria ...................................................................................... 18 
Tabelas de Frequências e medidas de posição e dispersão ................................................ 29 
Caso da média ..................................................................................................................... 32 
Caso da variância, desvio padrão e desvio médio ............................................................... 33 
Caso da moda ...................................................................................................................... 34 
Caso das medidas separatrizes ............................................................................................ 38 
Exercícios ............................................................................................................................. 41 
Lista de Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 93 
Gabarito ............................................................................................................................ 115 
 
 
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34821
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL (OU LOCAÇÃO) 
Na última aula nós estudamos como resumir dados por meio de tabelas, gráficos e diagramas. 
Porém, muitas vezes, pode ser útil resumir todas as informações que temos em um número. 
 
Uma forma utilizada para tanto, são as famosas medidas de posição! No nosso caso, vamos estudar 
as medidas de tendência central. 
 
Olha, as medidas de tendência central vão te dar uma ideia dos valores aproximados em torno do 
qual as observações se agrupam. Há diversos tipos de medidas de tendência central, tais como a 
mediana, a moda, a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica. 
 
Para estudarmos estas medidas, vamos nos basear no seguinte rol exemplificativo: 
 D?D?D?ǣ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ? 
 
Vamos começar com a média! Mais especificamente, a média aritmética. 
 
Pessoal, todo mundo já deve ter ouvido falar na média aritmética, sendo que a maior parte das 
pessoas refere-se a mesma como, simplesmente, média. Isso não é à toa, pois essa é a forma mais 
comum de expressar uma média. 
Mais simples, impossível! Voltando ao nosso exemplo, para calcularmos a 
média, basta somarmos todas as observações e dividirmos este somatório pelo número total de 
observações (no nosso exemplo, 11). 
 
 
No nosso exemplo: 
 
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D?±D?D?D? ൌ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ? ? ? ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Viram como é fácil? Outra forma de apresentar esta mesma média é por meio da atribuição de pesos 
às observações, ou melhor, levando-se em conta suas respectivas frequências. 
 
Como? Bom, para começar vamos colocar nosso rol em forma de uma tabela de frequências. 
 
Observação Frequência 
10 1 
15 1 
24 3 
29 2 
36 2 
45 1 
65 1 
 
Ao ponderarmos os valores da tabela pelas suas frequências absolutas, o que estamos fazendo é 
atribuir pesos a cada uma das observações, de forma que indiquemos quantas vezes cada 
observação aparece em nossa série. Neste caso, multiplique cada uma das observações pela sua 
respectiva frequência e divida este total pelo somatório do total de frequências: 
 D?±D?D?D? ൌሺ ? ? ? ?ሻ ൅ ሺ ? ? ? ?ሻ ൅ ሺ ? ? ? ?ሻ ൅ ሺ ? ? ? ?ሻ ൅ ሺ ? ? ? ?ሻ ൅ ? ?൅ ? ? ? ? ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Dá para ver que dá na mesma? Claro que dá, ao invés de somarmos todas as observações, só 
estamos multiplicando cada uma delas pelo total de vezes que ela aparece na série, o que é a mesma 
coisa! 
 
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Vamos deixar bonito! Se chamarmos a i-ésima observação de uma série de D?௜, de D? o total de 
observações e considerarmos ȭ como símbolo de somatório de um conjunto de dados, a média 
aritmética será dada por: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?±D?D?D?D? ൌȭD?௜D? 
 
Se quisermos uma fórmula para o caso da média aritmética calculada com as frequências: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?±D?D?D?D? ൌȭሺD?௜ ? D?௜ሻD? ൌ ȭሺD?௜ ? D?௜ሻȭD?௜ 
 
Vou deixar a cargo de vocês encontrarem a fórmula para o caso em que estivermos usando 
frequências relativas. 
 
Beleza? Mas, este não é o único tipo de média! 
 
Outra média, mas que nos dá resultados diferentes da anterior é a média geométrica. 
 
Você calcula a média geométrica do nosso exemplo assim: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?±D?D?D?D?D? ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?భభ 
 
Ou, de forma mais genérica, no caso de D? observações: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?±D?D?D?D?D? ൌඥD?ଵ ? D?ଶ ? ǥ D?௡೙ 
 
Percebe? Você vai tirar uma raiz n-ésima do produto de uma série de n elementos. Isso é média 
geométrica. 
 
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Mais uma? A média harmônica. 
 
Para o nosso exemplo: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?ØD?D?D?D? ൌ ? ? ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ? 
 
 
Já que vocês gostam tanto de generalizações: 
 D?±D?D?D?�D⨇?D?D?ØD?D?D?D? ൌ D? ?D?ଵ ൅ ?D?ଶ ൅ C? ?D?௡ 
 
-à“WƌŽĨĞƐƐŽƌà?�ĞƵ�ĞŶƚĞŶĚŝà?�ŵĂƐ�ƉŽƌƋƵĞ�ǀŽĐġ�ĞƐƚĄ�ĨĂůĂŶĚŽ�Ɛſ�ƐƵƉĞƌĨŝĐŝĂůŵĞŶƚĞ�ĚĂƐ�ŵĠĚŝĂƐ�ŐĞŽŵĠƚƌŝĐĂ�
Ğ�ŚĂƌŵƀŶŝĐĂà?à? 
 
Pelo seguinte, meu querido aluno: não cai muito em prova! 
 
Obs. Relação entre as médias 
 
Uma das coisas mais cobradas com relação aos tipos de médias é a relação entre elas no que se 
refere à magnitude de cada resultado. 
 
Pode-se provar que, para um determinado rol de valores: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?±D?D?D?D? ൒ D?±D?D?D?�D?D?D?D?±D?D?D?D?D? ൒ D?±D?D?D?�D?D?D?D?ØD?D?D?D? 
 
Calcule cada uma das médias para o nosso exemplo, você perceberá que isso é verdade. 
 
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Ok? Vamos partir para outra medida de posição central: a moda! 
A moda é definida como a realização mais frequente do conjunto de 
valores observados. 
 
Voltemos ao nosso exemplo. Perceba que a observação que tem valor igual à 24 é a que aparece a 
maior quantidade de vezes ao longo da série. Essa é a moda! 
 
Uma forma que facilita enxergar a moda é com base em tabelas de frequência, tal como construímos 
acima. Isso porque, basta verificar qual é a observação que mais ocorre. 
'ƵĂƌĚĞ� ĂƐƐŝŵà?� ƋƵĂŶĚŽ� ǀŽĐġ� ƉĞŶƐĂ� Ğŵ� à?ŵŽĚĂà?à?� ǀŽĐġà?�
provavelmente, pensa em algo que todo mundo está fazendo ou usando, certo? Então, a moda de 
ƵŵĂ�ƐĠƌŝĞ�Ġ�Ă�à?ƌŽƵƉĂà?�ƋƵĞ�as observações mais gostam de usar, ou seja, é a realização que mais 
ocorre. 
 
Beleza? E a mediana? 
A mediana é a realização que ocupa a posição central da sériede 
observações. 
 
Vamos voltar ao nosso exemplo acima. Naquele caso temos 11 observações, portanto a mediana da 
série é aquela observação que separa a série em duas partes iguais. 
 
É a sexta observação, certo? Pois neste caso, haverá cinco observações antes e depois da mesma. 
No exemplo, a mediana será a primeira observação de número igual à 29. 
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Se considerarmos que o número de observações pode ser chamado de ࢔, 
a mediana será a observação da amostra número 
࢔ା૚૛ . 
 
Portanto, como temos 11 observações em nosso exemplo, a mediana será a observação número ૚૚ା૚૛ ൌ ૟. 
 
-à?dƵĚŽ�ďĞŵ�ƉƌŽĨĞƐƐŽƌà?�ŵĂƐ�Ğ�ƐĞ�Ž�ŶƷŵĞƌŽ�ĚĞ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ�ĨŽƌ�ƉĂƌà?à? 
 
Boa pergunta! Se o número de observações for par, não há observação que divide a série em duas 
partes iguais! Neste caso, você vai tirar uma média aritmética das duas que dividem! 
 
Não entendeu? Vamos lá, suponha que nosso rol contenha mais uma observação: 
 D?D?D?ǣ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ? 
 
Neste caso, temos 12 observações, portanto não há uma única variável que divida o rol em duas 
partes iguais. Assim, para encontrar a observação: 
 ࢔ ൅ ૚૛ 
No nosso exemplo: 
 ૚૛ ൅ ૚૛ ൌ ૟ǡ ૞ 
 
Portanto, a nossa mediana está em algum ponto entre a sexta e a sétima observação. 
 
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-à?DĂƐà?�ĞƐƚĞ�ƉŽŶƚŽ�ŶĆŽ�ĞdžŝƐƚĞà?à? 
 
Existe sim! Trata-se do ponto médio entre a sexta e a sétima observação! No nosso caso, a sexta e a 
sétima observação tem valor igual à 29, assim: 
 ? ?൅ ? ? ? ൌ ? ? 
 
 
Então, nossa mediana tem valor igual à 29. 
 
Certo? Vamos estudar agora algumas propriedades destas medidas de posição. 
 
PROPRIEDADES DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO CENTRAL 
A ideia desta seção consiste no conceito de operador estatístico. 
 
Por meio de um operador estatístico pode-se aplicar determinada operação a um conjunto de 
dados. 
 
WŽƌ�ĞdžĞŵƉůŽà?�ƉŽĚĞŵŽƐ�ĂƉůŝĐĂƌ�Ž�ŽƉĞƌĂĚŽƌ�à?ŵĠĚŝĂ�ĂƌŝƚŵĠƚŝĐĂà?�Ğŵ�Ƶŵ�ĐŽŶũƵŶƚŽ�ĚĞ�ĚĂĚŽƐ�Ž�ƋƵĞ�ŶŽƐ�
dará como resultado a aplicação da seguinte operação no rol: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?±D?D?D?D? ൌ D?ത ൌ ȭD?௜D? 
 
Percebe como funciona? Chame o conjunto de dados de D?à?�ĂƐƐŝŵà?�ƐĞ�ĂƉůŝĐĂƌŵŽƐ�Ž�ŽƉĞƌĂĚŽƌ�à?ŵĠĚŝĂ�
ĂƌŝƚŵĠƚŝĐĂà?àP 
 D?±D?D?D?ሺD?ሻ ൌ ? ?ǡ ? ? 
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Trata-se tão somente de uma forma simplificada de representar a aplicação de uma determinada 
operação a um conjunto de dados. Isso nos será muito útil em explicações posteriores. 
 
Nesta seção, iremos estudar como o operador média responde a determinadas operações, tal como 
a multiplicação de todas as observações por um valor fixo qualquer, por exemplo. 
 
Assim, vamos a estas propriedades. 
 
1) Se somarmos (subtrairmos) todas as observações com um determinado valor fixo, tal como 
x, toda a média terá resultado igual ao anterior à operação mais (menos) x. 
 
Entendeu? Vamos a um exemplo, com base no nosso rol de dados: 
 D?D?D?ǣ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ? 
 
Vamos somar 10 em cada uma das observações, de forma que o novo rol seja: 
 D?D?D?ǣ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ? 
 
Tire a média: 
 D?±D?D?D? ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Ora, este é o mesmo resultado anterior mais 10! Essa é a propriedade. Isso vale para uma subtração 
também. 
 
Para uma constante D?: 
 
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D?±D?D?D?ሺD? ൅ D?ሻ ൌ D?ത ൅ D? 
 
2) Se multiplicarmos (dividirmos) todas as observações de uma amostra por um determinado 
valor fixo, tal como x, a média terá resultado igual ao anterior à operação vezes (dividido 
por) x. 
 
Mesma coisa. Multiplique cada uma das observações do rol por 2: 
 D?D?D?ǣ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ? ? 
 
 
Qual é a média? 
 D?±D?D?D? ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Que é o mesmo resultado anterior multiplicado por 2. 
 
Para uma constante D?: 
 D?±D?D?D?ሺD? Cb D?ሻ ൌ D?ത Cb D? 
 
O mesmo vale para o caso da divisão! 
 
 
 
 
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MEDIDAS DE DISPERSÃO 
A simples observação da média não nos diz muita coisa sobre um conjunto de dados, a título de 
ilustração, observe o seguinte rol de dados: 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? D?D?D?ǣ ? ?Ǣ ? ? 
 
A média para ambos os rols será de 23. 
 
Suponha que você não consiga visualizar o rol, mas só o resultado da média. Você acha que esta 
medida resumo explica bem como os dados estão dispostos? 
 
Claro que não! Isso porque há uma intensa variabilidade dentro do conjunto de dados no primeiro 
rol, o que não ocorre no segundo. 
 
Um exemplo bem fácil pode ser detido da análise de um caso de tiro ao alvo! Suponha que você dê 
dois tiros, se você acertar ambos no alvo, na média, você acertou no alvo. Agora, se você der dois 
tiros e um deles ficar 50 metros acima do alvo, enquanto o segundo ficar 50 metros abaixo, na média, 
você acertou no alvo, na média. Qual o problema do argumento? Você não levou em conta a 
variabilidade! 
 
-à?�Žŵà?�ĞŶƚĆŽ�ĞƵ�ĚĞǀŽ�ĞŶĐŽŶƚƌĂƌ�ƵŵĂ�ŵĞĚŝĚĂ�ƋƵĞ�ŵŽƐƚƌĂ�Ž�ƋƵĂŶƚŽ�ĂƐ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ�ĞƐƚĆŽ�desviando 
ĚĂ�ŵĠĚŝĂà?à? 
 
�ƐƐĂ�Ġ�Ă�ŝĚĞŝĂà?�sŽĐġ�ƉŽĚĞ�ƉĞŶƐĂƌ�ƋƵĞ�ƵŵĂ�à?ŵĠĚŝĂ�ĚŽƐ�ĚĞƐǀŝŽƐ�ĚĞ�ĐĂĚĂ�ŽďƐĞƌǀĂĕĆŽ�ĐŽŵ�ƌĞůĂĕĆŽ�ă�
ŵĠĚŝĂà?�ƉŽĚĞ�ŶŽƐ�ĂũƵĚĂƌ�Ă�identificar quando há uma intensa variabilidade nos dados. 
 
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Porém, isso não é possível. Pois, a soma dos desvios de uma série com relação à média sempre é 
igual à zero! 
 
Vamos ao exemplo do nosso primeiro rol de dados: 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? 
 
Agora, chamando cada observação de D?௜ e a média da série de D?A?, calculemos o somatório dos desvios 
com relação à média, de forma que: 
 ȭሺD?௜ െ D?A?ሻ ൌ ሺ ? െ ? ?ሻ ൅ ሺ ? ?െ ? ?ሻ ൅ ሺ ? ?െ ? ?ሻ ൌ ૙ 
 
Viram? Isso não é uma coincidência. Isso ocorre sempre! 
 
-à?K�ƋƵĞ�ĨĂnjĞƌ�ĞŶƚĆŽà?à? 
 
Bom, podeŵŽƐ�à?ƚƌĂƉĂĐĞĂƌà?à?�ĐƌŝĂŶĚŽ� ĨŽƌŵĂƐ�ĂůƚĞƌŶĂƚŝǀĂƐ�ĚĞ�ŵĞŶƐƵƌĂƌ�ĞƐƚĞ�ĚĞƐǀŝŽà?�hŵĂ�ĚĞůĂƐ�Ġ�Ă�
ŵĞĚŝĚĂ�à?ĚĞƐǀŝŽ�ŵĠĚŝŽà?àP 
 D?D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌȭȁD?௜ െ D?A?ȁD? 
 
Para o caso de n observações. 
 
�ƐƚĞ� à?ƚƌĂĕŽà?� ǀĞƌƚŝĐĂů� ƋƵĞ� ĨŝĐĂ� Ğŵ� ǀŽůƚĂ� ĚŽ� ĚĞƐǀŝŽ� Ġ� ĐŚĂŵĂĚŽ� ĚĞ� módulo. Qualquer número em 
módulo retorna um valor positivo. Ou seja, aqueles desvios negativos no exemplo serão somados 
como se fossem positivos, assim: 
 D?D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌȭȁD?௜ െ D?A?ȁD? ൌ ȁ ? െ ? ?ȁ ൅ ȁ ? ?െ ? ?ȁ ൅ ȁ ? ?െ ? ?ȁ ? ൌ ? ?൅ ? ?൅ ? ? ? ൌ ૚ૡ 
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Percebeu? Este número 18 seria representativo do desvio médio nas observações! 
 
Outra possibilidade é a medida de dispersão variância: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌȭሺD?௜ െ D?A?ሻଶD? 
 
sŽĐġ�ƉŽĚĞ�ƉĞƌĐĞďĞƌ�ƋƵĞ�ĞƐƚĂ�ŵĞĚŝĚĂ�ƚĂŵďĠŵ�à?ƌĞƐŽůǀĞà?�Ž�ƉƌŽďůĞŵĂ�ĚŽ�ƐŽŵĂƚſƌŝŽ�ƐĞƌ�ŝŐƵĂů�ă�njĞƌŽà?�
pois os valores serão elevados ao quadrado. Veja: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌȭሺD?௜ െ D?A?ሻଶD? ൌ ሺ ? െ ? ?ሻ ? ൅ሺ ? ?െ ? ?ሻ ? ൅ሺ ? ?െ ? ?ሻ ? ? ൌ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ? ? ൌ ? ? ?ǡ ? ? 
 
Mas, isso pode causar um problema de interpretação, pois as variáveis resultantes estão elevadas 
ao quadrado. Nosso resultado, 364,66,mostra o desvio ao quadrado com relação à média! Isso não 
diz muita coisa, então, o que fazer? Uma medida muito útil é o desvio padrão, que nada mais é do 
que a raiz quadrada da variância: 
 
D?D?D?D?D?D?�D?D?D?D? D? ൌඨȭሺD?௜ െ D?A?ሻଶD? 
 
No nosso caso: 
 
D?D?D?D?D?D?�D?D?D?D? D? ൌඨȭሺD?௜ െ D?A?ሻଶD? ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Perceba que o valor fica mais próximo do desvio médio, permitindo uma comparação mais acurada. 
 
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Pessoal, muitas vezes fica difícil calcular a variância em uma prova, já 
que você tem pouco tempo. Portanto, precisamos de uma maneira mais fácil e direta, assim, pode-
se provar que: 
 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌ D?±D?D?D?�D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D?D? െ D?D?D?D?D?D?D?D?�D?D?�D?±D?D?D? 
 
-à“EĆŽ�ĞŶƚĞŶĚŝà?à? 
 
Bom, vamos ao nosso famoso exemplo. Primeira coisa, vamos fazer uma tabela com as observações 
e seus valores ao quadrado: 
 
 Observações Quadrados 
 9 81 
 10 100 
 50 2500 
Média 23 893,66 
 
Agora use nossa fórmula: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌ D?±D?D?D?�D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D?D? െ D?D?D?D?D?D?D?D?�D?D?�D?±D?D?D? ൌ ? ? ?ǡ ? ?െ ? ? ?ൌ ? ? ?ǡ ? ? 
 
Ora, mas esta não é a variância? Exatamente! Dá na mesma, mas, vai por mim, isso vai te ajudar 
demais na resolução de provas. 
 
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PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO 
Pessoal, tal como eu fiz no caso da média, não vou ficar derivando as propriedades da variância e do 
desvio padrão. Vejam quais são: 
 
1) Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para cálculo da variância 
(ࢂࢇ࢘) ou de seu respectivo desvio padrão (ࡰࡼ), o resultado ficará inalterado. 
 
Veja pessoal, vamos pegar nosso exemplo: 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? 
 
Agora vamos diminuir 3 de cada observação: 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ?Ǣ ? ? 
 
Agora, calcule a variância (nova média igual à 20): 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌȭሺD?௜ െ D?A?ሻଶD? ൌ ሺ ? െ ? ?ሻ ? ൅ሺ ? െ ? ?ሻ ? ൅ሺ ? ?െ ? ?ሻ ? ? ൌ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ? ? ൌ ? ? ?ǡ ? ? 
 
Ora, deu na mesma! O mesmo pode-se dizer do desvio padrão, pois se trata de raiz quadrada do 
mesmo número. Isso também vale sempre! 
 
Para quem gostou de analisar as propriedades com base em operadores, para um dado valor fixo D?: D?D?D?ሺD? ൅ D?ሻ ൌ D?D?D?ሺD?ሻ D?D?ሺD? ൅ D?ሻ ൌ D?D?ሺD?ሻ 
 
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2) Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um determinado valor fixo, 
tal como x, a variância resultante ficará multiplicada (dividida) por x², enquanto que o 
desvio padrão resultante ficará multiplicado (dividido) por x. 
 
Olha, um jeiƚŽ�ůĞŐĂů�ĚĞ�ƉĞŶƐĂƌ�Ġ�ƋƵĞ�à?ǀĂƌŝąŶĐŝĂ�ůĞŵďƌĂ�ƋƵĂĚƌĂĚŽƐà?à?�ĞŶƋƵĂŶƚŽ�ƋƵĞ�Ž�ĚĞƐǀŝŽ�ƉĂĚƌĆŽ�
é a raiz da mesma, portanto o resultado será com a variável em nível, isso é sem estar elevada a 
nada. Vamos ao nosso exemplo, vamos multiplicar todas as observações por 2: 
 D?D?D?ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? ? 
 
Agora, calcule a variância (nova média igual à 46): 
 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌȭሺD?௜ െ D?A?ሻଶD? ൌ ሺ ? ?െ ? ?ሻ ? ൅ሺ ? ?െ ? ?ሻ ? ൅ሺ ? ? ?െ ? ?ሻ ? ? ൌ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ?ǡ ? ? 
 
Ora, divida este valor por ? ? ൌ ? que você vai encontrar a variância original. 
 
E o desvio padrão? Neste caso o fator não multiplica ao quadrado. 
 D?D?D?D?D?D?�D?D?D?D? D? ൌඥ ? ? ? ?ǡ ? ?ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Perceba que este valor é igual ao resultado original 19,09 multiplicado por 2. 
 
Para quem quiser um jeitinho fácil de lembrar, ao multiplicar as observações de uma série por x, a 
variância ficará multiplicada por x² e o desvio padrão por x porque: 
 ࢞ Cb ࡰࢋ࢙࢜࢏࢕�ࡼࢇࢊ࢘ ࢕ ൌඥ࢞ ? ? ࢂࢇ࢘࢏Ÿ࢔ࢉ࢏ࢇ 
 
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Não está satisfeito? Então veja em forma de operadores: D?D?D?ሺD? Cb D?ሻ ൌ D? ? Cb D?D?D?ሺD?ሻ D?D?ሺD? Cb D?ሻ ൌ D? CbD?D?ሺD?ሻ 
 
Obs. Coeficiente de Variação 
 
Conceito simples e que sempre cai em prova. Pessoal, o desvio padrão é muito afetado pelo valor 
absoluto dos dados analisados, o que dificulta a comparação de duas séries com valores muito 
diferentes. Assim, costuma-se utilizar o conceito de coeficiente de variação (D㼇?): 
 D?D?ൌ D?D?ሺD?ሻD?ത 
 
Entenderam? Divida o desvio padrão calculado de cada série pela sua respectiva média aritmética. 
Este conceito permite comparações entre os desvios padrões de séries com valores muito 
diferentes. 
 
Para que serve isso? Veja aquele um exemplo: D?D?D?� ?ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? D?D?D?� ?ǣ ? ?Ǣ ? ? ?;150 
 
Qual é o rol com maior variabilidade? Ora, se você calcular o desvio padrão para cada uma delas, 
você vai obter 19,09 para o rol 1 e 26,24 para o rol 2. Entretanto, fica claro que não dá para comparar 
os dois rols. Isso porque os valores absolutos de cada um são muito diferentes, por exemplo, o rol 2 
tem cada um de seus membros valendo quase 10 vezes os do rol 1. Então, é claro, o desvio padrão 
do Rol 2 será maior do que o do 1! Para permitir esta comparação, usamos o coeficiente de variação: 
D?D?ሺD?D?D?� ?ሻ ൌ ? ?ǡ ? ? ? ? ൌ ?ǡ ? ? 
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D?D?ሺD?D?D?� ?ሻ ൌ ? ?ǡ ? ? ? ? ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? 
Veja que o coeficiente de variação do rol 2 é menor, ou seja, em termos relativos, o rol 2 tem menor 
variabilidade do que o rol 1! 
 
Beleza pessoal? Vão tomar uma água e voltem logo para continuarmos com as medidas 
separatrizes. 
MEDIDAS SEPARATRIZES E ASSIMETRIA 
Outra forma de visualizar uma distribuição e de podermos representa-la é por meio de suas medidas 
separatrizes, isso é observações quĞ�à?ƐĞƉĂƌĂŵà?�ŽƐ�ĚĂĚŽƐ�ĚĞ�ƵŵĂ�ƐĠƌŝĞ�ĚĞ�ĨŽƌŵĂ�ďĞŵ�ĞƐƉĞĐşĨŝĐĂà?�/ƐƐŽ�
é feito por meio dos percentis. 
Percentil de ordem p significa o valor da observação que não é superado 
por p% das observações da série. 
 
Nós já estudamos uma medida deste tipo: a mediana. Ela divide o conjunto de dados em duas partes 
iguais, tal que metade das observações possuirá valores menores do que ela e metade terá valores 
maiores. Na verdade, ela é um percentil de ordem 50. 
 
Outro exemplo de medida separatriz é o quartil. Os quartis são as observações que dividem a série 
em quatro partes iguais. 
 
Os quartis separam uma série de dados em quatro partes iguais, de forma que o primeiro quartil é 
o valor que não é superado por 25% das observações. Na mesma linha, o segundo quartil coincide 
com a mediana, possuindo valor que não é superado por 50% das observações, enquanto que o 
terceiro quartil tem valor superior a 75% das observações. 
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Outro exemplo: os decis. Estes dividem a série de dados em 10 partes iguais! Por exemplo, o 1º decil 
possui valor que não é superado por 10% das observações. E por, aí vai. 
 
Mas, apesar de existirem infinitas possibilidades de percentis, o que nos interessa, para fins de 
prova, são a mediana e os quartis. Já estudamos a mediana, portanto, vamos nos aprofundar nos 
quartis. Olhem o exemplo abaixo: 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? 
 
Veja quais são as observações que dividem a série em quatro partes iguais: 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ?Ǣ ૟Ǣ ?Ǣ ?Ǣ૚૙Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ૚ૡǢ ? ?Ǣ ? ? 
Assim: 
1º quartil: 6 
2º quartil: 10 
3º quartil: 18 
 
Neste caso específicoconseguimos determinar os números da série que representam a divisão do 
conjunto em 4 partes iguais, mas, tal como no caso da mediana, isso nem sempre é possível. E se o 
nosso rol fosse composto de 8 elementos? 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ? ? 
 
Aí você vai pensar da seguinte forma: já que há 8 elementos, a divisão da série em 4 partes deverá 
ser feita de forma que cada parcela tenha 2 valores. Mas, como fazer isso? Da mesma forma que no 
caso da mediana, encontre o ponto médio que cumpra tal função! 
 D?D?D?ǣ ?Ǣ ?ǢD?D?D?D?D?�D?±D?D?D?�ሺ ?�D?� ?ሻǢ ?Ǣ ?ǢD?D?D?D?D?�D?±D?D?D?�ሺ ?�D?� ? ?ሻǢ ? ?Ǣ ? ?Ǣ D?D?D?D?D?�D?±D?D?D?�ሺ ? ?�D?� ? ?ሻǢ ? ?Ǣ ? ? 
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 D?D?D?ǣ ?Ǣ ?Ǣ ૞ǡ ૞Ǣ ?Ǣ ?Ǣ૚૚Ǣ ? ?Ǣ ? ?Ǣ ૚ૡǢ ? ?Ǣ ? ? 
 
Gente, se cair na prova, o que não é comum, encontre a mediana geral! Após encontrar a mediana, 
encontre as medianas para cada parcela da mediana geral. Por que isso? Porque a mediana de 
cada metade dos dados corresponde ao 1º e 3º quartil. 
 
Como fazer isso? Tal como fizemos no exemplo acima, encontramos o ponto médio entre 9 e 13, 
restando duas partes iguais de cada lado. A partir daí o ponto médio da primeira parcela, entre 3 e 
8, corresponde ao primeiro quartil, enquanto que o ponto médio entre 15 e 21, corresponde ao 3º 
quartil. 
O que é interessante é que o conceito de quartil é comumente utilizado 
com o intuito de averiguar o grau de simetria de uma distribuição! 
 
Para que isso fique claro precisamos estudar o conceito de distância interquartil ou amplitude 
interquartil. 
 
A distância interquartil (D?௤) é uma medida da diferença de valores entre o terceiro (D?ଷ) e o primeiro 
quartil (D?ଵ): 
 D?௤ ൌ D?ଷ െ D?ଵ 
 
Esta medida nos dá uma ideia do grau de dispersão de uma série, pois quanto maior este resultado 
menor é a concentração dos valores da série ao redor da mediana. 
 
A ideia de distribuição simétrica tem a ver com a distância entre os diversos quartis e as observações 
extremas das séries estudadas. 
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-à?�ŽŵŽ�ĂƐƐŝŵà?�ƉƌŽĨĞƐƐŽƌà?à? 
 
Simples. O que nós queremos dizer com distribuição simétrica é que o que ocorre com os valores à 
ĚŝƌĞŝƚĂ�ĚĂ�ŵĞĚŝĂŶĂ�ĚĞǀĞ�ƐĞƌ�à“ƐĞŵĞůŚĂŶƚĞà?�ĂŽ�ƋƵĞ�ŽĐŽƌƌĞ�ĐŽŵ�ŽƐ�ǀĂůŽƌĞƐ�ă�ƐƵĂ�ĞƐƋƵĞƌĚĂà?� 
 
Um exemplo de distribuição simétrica é a distribuição normal ou gaussiana (tem a forma de um 
à“ƐŝŶŽà?à?àP 
 
 
 
Olha só, divida o gráfico em duas partes iguais. Como? Encontre o valor da mediana. 
 
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Perceba que o lado esquerdo é muito semelhante ao esquerdo. Essa é a ideia de simetria. 
 
Assim, para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica as observações devem 
respeitar as seguintes condições: 
 
1) D?ଶ െ ? ?�D?D?D?D?D?D?D?­ D? ൌ ïD?D?D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?­ D? െ D?ଶ 
2) D?ଶ െ D?ଵ ൌ D?ଷ െ D?ଶ 
3) D?ଵ െ ? ?�D?D?D?D?D?D?D?­ D? ൌ ïD?D?D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?­ D? െ D?ଷ 
4) Distâncias entre a mediana (D?ଶ) e D?ଵ e D?ଷmenores do que as distâncias entre os extremos (1ª 
e última observação) e D?ଵ e D?ଷ 
 
Percebam que estou usando o sinal de igual nas expressões acima, mas o correto é 
à“ĂƉƌŽdžŝŵĂĚĂŵĞŶƚĞ�ŝŐƵĂůà?à?�Ɛſ�ĞƐƚŽƵ�ƚĞŶƚĂŶĚŽ�ĨĂĐŝůŝƚĂƌ�ƉĂƌĂ�ǀŽĐġƐ�ŶĂ�ŶŽƚĂĕĆŽà?�ŽŬà? 
 
-à“EŽƐƐĂà?�ƉƌĞĐŝƐŽ�ĚĞĐŽƌĂƌ�ƚƵĚŽ�ŝƐƐŽà?à? 
 
Não! Isso não costuma cair em prova. Eu apenas desejo que vocês entendam a ideia de distribuição 
simétrica. Olhem para as condições e vejam que a distribuição normal tende a se encaixar no 
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conceito. Pensem de forma abstrata, pois iremos estudar mais da distribuição normal em aulas 
futuras. 
 
Se quiser decorar uma propriedade, guarde a número (2), pois, na maior parte dos casos, esta é 
resolve o seu problema! 
Agora, o que cai muito em prova são as formas de distribuição não 
simétricas! Viu porque você tinha que saber o conceito anterior? 
 
Perceba que se os quantis da direita estiverem mais afastados da mediana do que os da esquerda 
o gráfico representativo desta distribuição seria: 
 
 
 
Esta distribuição tem dados que são assimétricos à direita. 
 
�ŶƚĞŶĚĞƌĂŵ�Ž�ŐƌĄĨŝĐŽà?����ĐŽŶĐĞŶƚƌĂĕĆŽ�ĚĂ�ĚŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽ�ŽĐŽƌƌĞ�ŶĂ�à?ƉĂƌƚĞ�ŐŽƌĚŝŶŚĂà?�ĚŽ�ŐƌĄĨŝĐŽà?�ĐŽŵ�
ǀĂůŽƌĞƐ�ŵĂŝƐ�ďĂŝdžŽƐ�ƉĂƌĂ�ĂƐ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ�à?ŵĂŝƐ�ĐŽŵƵŶƐà?à?�ĞŶƚƌĞƚĂŶƚŽ�ŚĄ�ĂůŐƵŵĂƐ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ�ƋƵĞ�
têm valores muito altos com relação a todo o rol de dados. Estas observações destoam das demais 
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por serem de valores muito diferentes da maior parte da amostra. Como estes pontos extremos 
ocorrem à sua direita, ela é assimétrica à direita! 
 
E se for o contrário? E se os quantis da esquerda estiverem mais afastados da mediana do que os da 
direita? 
 
 
Neste caso, os dados têm comportamento assimétrico à esquerda! 
 
Pessoal, o que é interessante e que cai em prova é o posicionamento da média, mediana e moda 
a depender da assimetria da distribuição! 
 
As relações que você vai ter que guardar são: 
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Vamos pensar de forma intuitiva a fim de que não tenhamos que ficar decorando sem pensar! 
 
Pessoal, a moda é o mais fácil, pois ela ocorre no ponto de maior frequencia, ou seja, no topo da 
curva! 
 
 
E a média? Se a distribuição é assimétrica à direita isso significa que há observações com valores 
muito altos e que destoam do resto da série, essaƐ�ŝƌĆŽ�à?ƉƵdžĂƌà?�Ž�ǀĂůŽƌ�ĚĂ�ŵĠĚŝĂ�ƉĂƌĂ�ĐŝŵĂà?�WŽƌƚĂŶƚŽà?�
a média será o valor mais alto neste caso, pois trata-se da medida de posição central mais sensível 
a valores extremos (moda e mediana não são afetadas por pontos extremos). Se a distribuição for 
assimétrica à esquerda faz-ƐĞ�Ž�ƌĂĐŝŽĐşŶŝŽ�ŝŶǀĞƌƐŽà?�ƐĞŶĚŽ�ƋƵĞ�Ă�ŵĠĚŝĂ�ƐĞƌĄ�à?ƉƵdžĂĚĂà?�ƉĂƌĂ�ƚƌĄƐà? 
 
E a mediana? Ora, sempre ficará entre a média e a moda. 
 
-à“��ƐĞ�Ă�ĚŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽ�ĨŽƌ�ƐŝŵĠƚƌŝĐĂà?à? 
 
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Exatamente, a média terá o mesmo valor da mediana e da moda da série. 
 
Beleza pessoal? Antes de encerrarmos este tópico, vamos fazer uma observação! 
 
 
 
 
Obs. Box-plots ou gráficos em caixa 
 
Este é um assunto cobrado em concursos, portanto precisamos abordar. Trata-se de uma forma 
gráfica de representar uma distribuição com base nos quartis e mediana de uma série de dados. 
 
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Veja, no eixo vertical dispomos os valores da série de dados e nos utilizamos da caixa para que 
possamos saber o posicionamento da mediana e dos quartis de uma determinada sequência de 
dados. Assim, este gráfico nos ajuda a verificar a simetria da distribuição de dados em estudo. 
 
Além disso, nós podemos verificar a possibilidade de existência de outliers ou valores atípicos na 
ŶŽƐƐĂ�ƐĠƌŝĞà?�sĞũĂ�ƋƵĞ�ĚŽ�ƌĞƚąŶŐƵůŽ�ƐĂĞŵ�ĚƵĂƐ�à?ƉĞƌŶŝŶŚĂƐà?à?�ƵŵĂ�ƉĂƌĂ�ďĂŝdžŽ e outra para cima! Essas 
ƉĞƌŶŝŶŚĂƐ�ƐĆŽ�ŝŶĚŝĐĂƚŝǀĂƐ�ĚŽ�ƋƵĞ�Ġ�ĐŽŶƐŝĚĞƌĂĚŽ�ĐŽŵŽ�ĚĞƐǀŝŽƐ�à?ĚĞŶƚƌŽ�ĚŽ�ĞƐƉĞƌĂĚŽà?à?�ƋƵĞ�Ġ�ĚĂĚĂ�ƉŽƌàPD?D?D?D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D? ൌ D?ଷ ൅ ?ǡ ? Cb D?௤ D?D?D?D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D? ൌ D?ଵ െ ?ǡ ? Cb D?௤ 
 
Ora, o que isso está dizendo é que qualquer observação que esteja em um intervalo de 1,5 vezes a 
ĚŝƐƚąŶĐŝĂ�ŝŶƚĞƌƋƵĂƌƚŝůà?�ĐŽŶƚĂĚĂ�Ă�ƉĂƌƚŝƌ�ĚŽ�à?Ǒ�ŽƵ�à?Ǒ�ƋƵĂƌƚŝůà?�Ġ�ĐŽŶƐŝĚĞƌĂĚĂ�à?ĚĞŶƚƌŽ�ĚŽ�ŶŽƌŵĂůà?à?� 
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-à“dƵĚŽ�ďĞŵ�ƉƌŽĨĞƐƐŽƌà?�ŵĂƐ�Ğ�ƐĞ�ƵŵĂ�ŽďƐĞƌǀĂĕĆŽ�ƐƵƉĞƌĂƌ�Ž�ůŝŵŝƚĞ�ƐƵƉĞƌŝŽƌ�ŽƵ�ŝŶĨĞƌŝŽƌà?à? 
 
Ótima pergunta! Ela é considerada um valor atípico ou outlier! 
 
Se você ainda não entendeu, calma, nós vamos resolver alguns exercícios no fim da aula que vão te 
ajudar, ok? 
 
 
 
 
 
 
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TABELAS DE FREQUÊNCIAS E MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO 
Bom pessoal, até agora estudamos os conceitos de medidas de posição e dispersão, mas, para fins 
de prova, o que realmente importa é a aplicação destes conceitos em dados contínuos agrupados 
em classes. 
 
Primeira coisa que vocês tem que aprender é o conceito de frequência acumulada, pois isso está 
em quase todas as questões de concurso. 
 
Pessoal, a ideia de frequência acumulada é melhor entendida com base em um exemplo, suponha 
uma pesquisa feita sobre a altura de uma determinada população em uma região: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada ૚ǡ ૞C? ૚ǡ ૟ 10 10 ૚ǡ ૟C? ૚ǡ ૠ 10 20 ૚ǡ ૠC? ૚ǡ ૡ 5 25 ૚ǡ ૡC? ૚ǡ ૢ 5 30 
Total 30 x 
 
Veja o que a informação de frequência acumulada está te dizendo. Ela indica quantos elementos 
estão abaixo de um determinado valor. 
 
Perceba que para o grupo que vai de 1,5 m até 1,6 m há 10 indivíduos e que há 10 indivíduos com 
altura entre 1,6 m e 1,7 m. Assim, uma classe que agrupe todos os indivíduos com altura entre 1,5 
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m até 1,7 m terá 20 indivíduos. WĞƌĐĞďĞ�ĐŽŵŽ�ĨƵŶĐŝŽŶĂ�Ž�ĐŽŶĐĞŝƚŽ�ĚĞ�à“ĂĐƵŵƵůĂĚŽà?à?�Assim, como 
há 30 indivíduos pesquisados no total, a frequência acumulada na última classe coincide com o 
tamanho da amostra, ou seja, o total de observações! 
 
Atenção! O conceito de frequência acumulada pode ser feito com base 
nas frequências relativas calculadas para uma série. Neste caso, a frequência acumulada irá 
identificar qual a porcentagem de elementos que estão abaixo de um determinado valor. 
 
Muitas vezes a banca vai te dar as frequências acumuladas e, a partir daí, será necessário você 
calcular as frequências absolutas ou relativas. 
 
-à?�ŽŵŽ�ĨĂĕŽ�ŝƐƐŽà?à? 
 
Vamos voltar no nosso exemplo: 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada ૚ǡ ૞C? ૚ǡ ૟ x 10 ૚ǡ ૟C? ૚ǡ ૠ Y 20 ૚ǡ ૠC? ૚ǡ ૡ Z 25 ૚ǡ ૡC? ૚ǡ ૢ k 30 
Total j x 
 
Bom, a frequência absoluta total você já sabe: a frequência acumulada da última classe. Assim: 
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 D? ൌ ? ? 
 
E a frequência da última classe? Ora, basta realizar uma subtração da frequência acumulada da 
última classe menos a da penúltima: 
 D? ൌ ? ?െ ? ?ൌ ? 
 
E a da penúltima? 
 D? ൌ ? ?െ ? ?ൌ ? 
 
Assim: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Acumulada ૚ǡ ૞C? ૚ǡ ૟ 10 10 ૚ǡ ૟C? ૚ǡ ૠ 20-10=10 20 ૚ǡ ૠC? ૚ǡ ૡ 25-20=5 25 ૚ǡ ૡC? ૚ǡ ૢ 30-25=5 30 
Total 30 x 
 
Viram como se faz? Isso é muito comum em provas. 
 
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Beleza? Então, vamos ao que interessa: as medidas de posição e dispersão calculadas para dados 
agrupados em classes. 
CASO DA MÉDIA 
Bom, a média é um dos casos mais fáceis. Você vai ƚĞƌ� ƋƵĞ� ĚĂƌ� Ƶŵ� à?ĐŚƵƚĞà?� ƉĂƌĂ� Ž� ǀĂůŽƌ�
representativo de cada classe. 
Calcule o ponto médio de cada classe e considere que a classe é 
representada por este valor! 
 
Entenderam? Você calcula o ponto médio do intervalo com base na seguinte fórmula: 
 D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌD?௜ ൅ D?௦ ? 
 
Sendo D?௦ o limite superior da classe e D?௜ o limite inferior. 
 
Assim, calculamos: 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta ૚ǡ ૞૞ 10 ૚ǡ ૟૞ 10 ૚ǡ ૠ૞ 5 ૚ǡ ૡ૞ 5 
Total 30 
 
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sŽĐġ�ƉĞƌĐĞďĞ�ƋƵĞ�ŝƐƐŽ�Ġ�Ƶŵ�à?ĐŚƵƚĞà?à?��ůĂƌŽ�ƋƵĞ�Ɛŝŵà?�ƉŽŝƐ�ƉŽĚĞ�ƐĞƌ�ƋƵĞ�ŶĞŶŚƵŵĂ�ĚĂƐ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ�
da classe coincida com seu ponto médio. Para o cálculo iremos nos utilizar das frequências 
absolutas ou relativas. 
 
Esta é a metodologia mais comum para calcular a média de uma série agrupada em classes. Portanto, 
agora temos uma tabela de frequências simples, o que torna o cálculo bem simples: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?±D?D?D?D? ൌȭሺD?௜ ? D?௜ሻD? ൌ ȭሺD?௜ ? D?௜ሻȭD?௜ ൌ ?ǡ ? ?Cb ? ?൅ ?ǡ ? ?Cb ? ?൅ ?ǡ ? ?Cb ? ൅ ?ǡ ? ?Cb ? ? ? CC ?ǡ ? ? 
 
 
CASO DA VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO E DESVIO MÉDIO 
Da mesma forma que o cálculo da média, precisamos calcular os pontos médios de cada intervalo e 
nos utilizarmos do mesmo como se fosse a observação representativa da classe em questão. Ao 
obtermos os pontos médios, é só calcular a variância e o desvio médio com base nas fórmulas: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌȭሾD?௜ CbሺD?௜ െ D?A?ሻଶሿD? 
 D?D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌȭሾD?௜ CbȁD?௜ െ D?A?ȁሿD? 
 
Sendo D?௜ a frequência absoluta da classe. 
 
Bom, a média nós já calculamos, então: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌ ? ?Cbሺ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ሻଶ ൅ ? ?Cbሺ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ሻଶ ൅ ? Cbሺ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ሻଶ ൅ ? Cbሺ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ሻ ? ? ?CC ?ǡ ? ? 
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 D?D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌ ? ?Cbȁ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ȁ ൅ ? ?Cbȁ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ȁ ൅ ? Cbȁ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ȁ ൅ ? Cbȁ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ȁ ? ?CC ?ǡ ? ? ? 
 
Entendeu? Você deve encontrar o ponto médio de cada classe, calcular a média e calcular as medidas 
de dispersão como se os pontos médios fossem as próprias observações da série. Tal como no caso 
ĚĂ�ŵĠĚŝĂà?�ŝƐƐŽ�Ġ�Ƶŵ�à?ĐŚƵƚĞà?à? 
CASO DA MODA 
Vamos modificar nosso exemplo a fim de que tenhamos uma classe modal: 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta ૚ǡ ૞C? ૚ǡ ૟ 10 ૚ǡ ૟C? ૚ǡ ૠ 20 ૚ǡ ૠC? ૚ǡ ૡ 5 ૚ǡ ૡC? ૚ǡ ૢ 5 
Total 40 
 
-à?�ůĂƐƐĞ�ŵŽĚĂůà?�ƉƌŽĨĞƐƐŽƌà?à? 
 
Exatamente! �ůĂƐƐĞ�ŵŽĚĂů�Ġ�ĂƋƵĞůĂ�ƋƵĞ� ?ĂƉĂƌĞĐĞ�ŵĂŝƐ�ǀĞnjĞƐ ? ? tal como o conceito de moda no caso 
de observações não agrupadas em classe. 
 
Então, uma primeira forma simples de se encontrar a moda é por meio da moda bruta. 
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O cálculo da moda bruta é feito de forma a representarmos um intervalo com base em seu ponto 
médio, tal como nos casos anteriormente estudados. Neste caso: 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta ૚ǡ ૞૞ 10 ૚ǡ ૟૞ 20 ૚ǡ ૠ૞ 5 ૚ǡ ૡ૞ 5 
Total 40 
 
A moda é 1,65m, pois é a observação que mais ocorre. 
 
�ůŐƵŶƐ�ĚĞ�ǀŽĐġƐ�ũĄ�ĚĞǀĞŵ�ĞƐƚĂƌ�ĂĐŚĂŶĚŽ�ƋƵĞ�ƚƵĚŽ�Ġ�ŝŐƵĂůàP�à?Ġ�Ɛſ�ĨŝĐĂƌ�ĐŚƵƚĂŶĚŽà?à?�DĂƐà?�ĞƐƚĂ�ŶĆŽ�Ġ�Ă�
única forma, nem a mais comumente cobrada em prova. 
O cálculo da moda que mais aparece em concursos é por meio da 
fórmula de Czuber: 
 ࡹ࢕ࢊࢇ�࡯ࢠ࢛࢈ࢋ࢘ ൌ ࢒࢏ ൅ ࢎ Cb ቆ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ െ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�ࢇ࢔࢚ሺࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ െ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�ࢇ࢔࢚ሻ ൅ ൫ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ െ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�࢖࢕࢙࢚൯ቇ 
 
Sendo: 
 ࢒࢏: limite inferior da classe modal ࢎ: amplitude da classe modalࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ: frequência da classe modal 
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ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�ࢇ࢔࢚: frequência da classe anterior à modal ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�࢖࢕࢙࢚: frequência da classe posterior à classe modal 
 
É isso aí, não tem jeito, você tem que decorar esta fórmula! 
 
Algumas vezes a banca fornece a fórmula para você, mas não conte com isso. 
Exercício 1 
 
(FCC à? Analista Bacen\2005) Considere a distribuição de frequências a seguir para resolver a 
questão abaixo. 
 
 
Salário 
(R$) 
Frequência 
Absoluta 
Simples ? ? ? ?C? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?C? ? ? ? ? 8 ? ? ? ?C? ? ? ? ? 16 ? ? ? ?C? ? ? ? ? 10 ? ? ? ?C? ? ? ? ? 4 
 
 
O valor da moda, obtida com a utilização da fórmula de Czuber é (despreze os centavos) 
a) 3201,00 
b) 3307,00 
c) 3404,00 
d) 3483,00 
e) 3571,00 
 
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ࡹ࢕ࢊࢇ�࡯ࢠ࢛࢈ࢋ࢘ ൌ ࢒࢏ ൅ ࢎ Cb ቆ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ െ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�ࢇ࢔࢚૛ Cb ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ െ ൫ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�ࢇ࢔࢚ ൅ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�࢖࢕࢙࢚൯ቇ 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Pessoal, vou deixar para vocês comprovarem que esta fórmula é exatamente igual à que eu ensinei. 
 
Bom, sabendo que a classe modal é a terceira, é só substituir: 
 
 D?D?D?D? ൌ ? ? ? ?൅ ? ? ? ?Cb ? ?െ ? ? Cb ? ?െ ሺ ? ൅ ? ?ሻ CC ? ? ? ? 
 
Gabarito: e 
 
Continuando. 
 
Beleza, mas este ainda não é o único jeito de calcular a moda! Tem mais 2 jeitos, mas que não 
caem muito. Entretanto, por via das dúvidas, é bom saber. 
 
Bom, outra fórmula é a de King: 
 ࡹ࢕ࢊࢇ�ࡷ࢏࢔ࢍ ൌ ࢒࢏ ൅ ࢎ Cb ቆ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�࢖࢕࢙࢚ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�࢖࢕࢙࢚ ൅ ࢌࢉ࢒ࢇ࢙࢙ࢋ�ࢇ࢔࢚ቇ 
 
Quer mais um método? Método de Pearson! 
 
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ࡹ࢕ࢊࢇ�ࢊࢋ�ࡼࢋࢇ࢙࢘࢕࢔ CC ૜ Cbሺࡹࢋࢊ࢏ࢇ࢔ࢇሻ െ ૛ Cb ሺ࢓±ࢊ࢏ࢇሻ 
 
Como eu disse, as que caem mesmo são as modas de Czuber e a bruta, mas não custa dar uma 
olhada nestas. 
 
CASO DAS MEDIDAS SEPARATRIZES 
Este é o assunto mais importante da aula! Para encontrar tais valores iremos nos utilizar de 
interpolação linear. 
 
Para o uso desta metodologia precisamos das frequências acumuladas e você precisa entender o 
que na verdade elas estão te dizendo. Vamos ao exemplo, mas vamos modifica-lo a fim de facilitar 
os cálculos: 
 
Altura 
(metros) 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Relativa*100(%) 
Frequência 
Acumulada ૚ǡ ૞C? ૚ǡ ૟ 20 20% 20 ૚ǡ ૟C? ૚ǡ ૠ 30 30% 50 ૚ǡ ૠC? ૚ǡ ૡ 25 25% 75 ૚ǡ ૡC? ૚ǡ ૢ 25 25% 100 
Total 100 100% x 
 
O que eu quero que vocês entendam é o seguinte: qual é a observação que não é superada por 50% 
da amostra? 
 
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1,7! Olhe, até 1,7 acumularam-se 50% das observações existentes na série, portanto, esta é nossa 
mediana, pois este número não é superado por 50% dos valores. 
 
E qual a observação correspondente ao 3º quartil? Exatamente! O 3º quartil está em 1,8, pois esta 
observação não é superada por 75% da série. 
 
Mas, neste exercício a coisa está muito fácil e não é isso que geralmente cai na sua prova. No caso, 
eu modifiquei o exercício para que a mediana e o terceiro quartil fossem facilmente visualizáveis e 
não fossem necessários cálculos para encontra-los, apesar de estarmos tratando com frequências 
absolutas. Entretanto, nem sempre é tão fácil! 
 
Quer ter uma noção? Vamos mudar a pergunta, qual a observação que corresponde ao 1º decil, ou 
seja, que não é superada por 10% da série? 
 
Veja que isso não pode ser respondido diretamente, pois a primeira classe já acumula 20 
observações, que coincide com 20% da série. A única coisa que você sabe é que o 1º decil deve 
estar naquela classe, pois o valor que não é superado por 10% dos valores deve estar alí! 
 
-à?K�ƋƵĞ�ƉŽƐƐŽ�ĨĂnjĞƌà?à? 
 
Há toda uma teoria que explica como encontrar este valor por meio da metodologia de interpolação 
da ogiva. A ideia da teoria se baseia no fato de que há uma regularidade da distribuição dos dados 
dentro de uma classe, de forma que a quantidade de dados dispostos em uma determinada seção 
da classe seja proporcional à sua amplitude. Por exemplo, se uma determinada classe acumula 
50% das observações em uma amplitude de 10, 25% do total da série estará acumulado em uma 
observação que corresponde à amplitude de 5 nesta classe. 
 
�ĂůŵĂà?�K�ƋƵĞ�ǀŽĐġ�ĚĞǀĞ�ĨĂnjĞƌ�Ġ�ƵƚŝůŝnjĂƌ�ĂƋƵĞůĂ�ĨĂŵŽƐĂ�à?ƌĞŐƌĂ�ĚĞ�ƚƌġƐà?�ƋƵĞ�ǀŽĐġ�ĂƉƌĞŶĚĞƵ�ŶĂ�ĞƐĐŽůĂà?�
Veja, no nosso exemplo, 20% das observações, ou o segundo decil, corresponde a uma amplitude 
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de 10 cm ( ?ǡ ? െ ?ǡ ?), aí fica a pergunta: qual a amplitude após o limite inferior corresponde ao 
acúmulo de 10% das observações? Para isso, uma regra de três: 
 ?ǡ ? െ ?ǡ ? ? ? ? ൌ ? ?D?D?D?D?D? െ ?ǡ ? ? ? ? 
 ?ǡ ? Cb ൬ ? ? ? ?൰ ൌ ? ?D?D?D?D?D? െ ?ǡ ? 
 ? ?D?D?D?D?D? ൌ ?ǡ ? Cb ?ǡ ? ൅ ?ǡ ? ൌ ૚ǡ૞૞ 
 
Este é o primeiro decil. Entendeu como funciona? Você identifica a classe em que está a observação 
que você deseja e faz uma regra de três de forma que você relacione a amplitude da classe dividida 
pela sua frequência com o percentual acumulado que você deseja. 
 
EĆŽ�ĞŶƚĞŶĚĞƵà?�,Ą�ĂůŐƵŵĂƐ� ĨŽƌŵĂƐ�ĚĞ� à“ĚĞĐŽƌĂƌà?� Ă�ŵĞƚŽĚŽůŽŐŝĂà?�ŵĂƐ�ĞƵ�ŶĆŽ�ĂĐŚŽ�ĚŝĚĄƚŝĐŽà?���
melhor forma de aprender é com exercícios e prática. 
 
Vamos fazer mais um exemplo, mas, agora, com base na tabela acima, encontre o valor 
correspondente ao 6º decil! O que estamos procurando é a observação que não é superada por 60% 
da série. 
 
Com certeza, esta observação está na 3ª classe, pois a segunda só acumula 50% das observações, 
enquanto que a terceira acumula 75%. Portanto, estamos procurando a observação que 
corresponde a 10% do total da série na terceira classe, pois esta observação acumularia os 50% das 
classes anteriores mais os 10% desta, resultando em 60% acumulado. 
 
Neste caso, a regra de três que temos de realizar é a seguinte: a terceira classe tem amplitude de 
0,1 cm para uma frequência relativa de 25%, tal como uma amplitude de ሺ ? ?�D?D?D?D?D? െ � ?ǡ ?ሻ está para 
10%. Assim: 
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 ?ǡ ? െ ?ǡ ? ? ? ? ൌ ? ?�D?D?D?D?D? െ ?ǡ ? ? ? ? ?ǡ ? Cb ? ? ? ? ? ?ൌ ? ?�D?D?D?D?D? െ ?ǡ ? ?ǡ ? Cb ?ǡ ? ?ǡ ? ?൅ ?ǡ ? ൌ ? ?�D?D?D?D?D? ૟ ?�ࢊࢋࢉ࢏࢒ ൌ ૚ǡૠ૝ 
 
Bom pessoal, o que eu quero é que vocês tenham entendido a ideia. Por isso vamos fazer muitos 
exercícios, assim vocês poderão treinar! 
EXERCÍCIOS 
 
2 - FCC à? TRT/11 à? 2017) Analisando a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa 
em número de salários mínimos (SM), obteve-se o histograma de frequências absolutas abaixo 
com os intervalos de classe fechados à esquerda e abertos à direita. Considere que: 
I. Me é a média aritmética dos salários, calculada levando em conta que todos os valores incluídos 
num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 
II. Md é a mediana dos salários, calculada por meio do método da interpolação linear. 
III. Mo é a moda dos salários, calculada com a utilização da fórmula de King*. 
 em que L é o limite inferior da classe modal (classe em que se verifica, no 
caso, a maior frequência), f* é a frequência da classe anterior à classe modal, f** é a frequência 
da classe posterior à classe modal e h é a amplitude do intervalo de classe correspondente.Jeronymo Marcondes, Arthur Lima
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O valor de (Me + Md + Mo) é, em SM, igual a 
 a) 18,6 
 b) 19,7 
 c) 19,2 
 d) 18,7 
 e) 18,5 
RESOLUÇÃO 
 A partir do histograma, podemos montar a seguinte tabela: 
Classes Ponto médio Classes Freq Absoluta Freq Acumulada 
1 à? 3 2 5 5 
3 à? 5 4 10 15 
5 à? 7 6 20 35 
7 à? 9 8 15 50 
9 à? 11 10 10 60 
 
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�‡ ൌ ? ? ? ൅ ? ? ? ? ൅ ? ? ? ? ൅ ? ? ? ? ൅ ? ? ? ? ? ? ൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ?൅ ? ? �‡ ൌ ? ?൅ ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ? ? ? �‡ ൌ ? ? ? ? ? ൌ ?ǡ ? 
 Agora vamos calcular a mediana Md por interpolação linear: 
 Sabemos que há um total de 60 salários e que até a segunda classe (3 a 5 S.M.) estão 
acumulados 15 salários e que até a terceira classe (5 a 7 S.M.) estão acumulados 35 salários. 
Portanto, podemos concluir que a observação de posição 60/2 = 30, ou seja, a mediana, pertence à 
terceira classe. Assim, temos: �† െ ? ? ?െ ? ?ൌ ? െ ? ? ? �† െ ? ? ? ൌ ? ? ? �† െ ? ? ? ൌ ?ǡ ? �† െ ? ൌ ?ǡ ? �† ൌ ?ǡ ? ൅ ? ൌ ?ǡ ? 
 A terceira classe é a classe modal, pois é a classe de maior frequência absoluta (20). Assim, 
para o cálculo de Mo temos que: 
L = 5 
f * = 10 
f ** = 15 
h = 2 �‘ ൌ � ൅ ˆ� B?B?ˆ� B? ൅ˆ� B?B? ? Š �‘ ൌ ? ൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ? 
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�‘ ൌ ? ൅ ? ? ? ?ൌ ? ൅ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? 
 Finalmente, temos que: 
 Me + Md + Mo = 6,5 + 6,5 + 6,2 = 19,2 
 Portanto, a alternativa C é o gabarito da questão. 
Gabarito: C 
 
3 - Técnico da Receita Federal à? ESAF/2005) Sobre a moda de uma variável, é correto afirmar que: 
a) para toda variável existe uma e apenas uma moda. 
b) a moda é uma medida de dispersão relativa. 
c) a moda é uma medida não afetada por valores extremos. 
d) em distribuições assimétricas, o valor da moda encontra-se entre o valor da média e o da 
mediana. 
e) sendo o valor mais provável de distribuição, a moda, tal como a probabilidade, pode assumir 
valores somente no intervalo entre zero e a unidade. 
RESOLUÇÃO: 
Vamos analisar: 
a) Errado! Algumas distribuições têm mais de uma moda, são chamadas de multimodais. 
b) Não, é uma medida de posição e não dispersão. 
c) Perfeito! Os valores extremos não afetam o valor da moda nem da mediana. 
d) Errado. O da mediana sempre se encontra entre as duas medidas. 
e) Errado, isso não tem anda a ver com o conceito. 
Gabarito: c 
 
 
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4 - FCC à? ARTESP à? 2017) Considere as seguintes informações: 
 I. (A) = média harmônica dos números 4, 6 e 12. 
II. (B) = média geométrica dos números 4, 6 e 12. 
A média aritmética de (A) + (B) é igual a 
a) 6,81. 
b) 5,68. 
c) 6,30. 
d) 5,41. 
e) 6,93. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo A a média harmônica e B a média geométrica dos números 4, 6 e 12, temos que: � ൌ ? ? ?൅ ? ?൅ ? ? ? � ൌ ? ? ൅ ? ൅ ? ? ? ൌ ? ? ? ?ൌ ? ? ? � ൌ ? ? ? ൌ ? � ൌ ? ? ? ? ? ? ?య � ൌ ? ? ? ?య ൌ ?ǡ ? 
 A média de A e B é dada por: � ൅ � ? ൌ ? ൅ ?ǡ ? ? ൌ ? ?ǡ ? ? ൌ ?ǡ ? 
 Portanto, a alternativa C é o gabarito da questão. 
Gabarito: C 
 
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5 - AFRFB à? ESAF/2005) Para dados agrupados representados por uma curva de frequências, as 
diferenças entre os valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da 
curva. Indique a relação entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente 
assimétrica. 
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. 
c) A média apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. 
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. 
RESOLUÇÃO: 
Bom, no caso de uma distribuição assimétrica à esquerda: ࡹ࢕ࢊࢇ ൐ ࡹࢋࢊ࢏ࢇ࢔ࢇ ൐ ࡹ±ࢊ࢏ࢇ 
Perceba que tanto as alternativas (b) e (c) acabam por falar a mesma coisa. Assim, a questão deveria 
ter sido anulada. 
Alternativa (c). (gabarito oficial: nula) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 - Técnico da Receita Federal à? ESAF/2005) Considere a seguinte distribuição de frequências 
absolutas dos salários mensais, em R$, referente a 200 trabalhadores de uma indústria (os 
intervalos são fechados à esquerda e abertos à direita: 
Classes de salários Frequências absolutas 
De R$400 até R$500 50 
De R$500 até R$600 70 
De R$600 até R$700 40 
De R$700 até R$800 30 
De R$800 até R$900 10 
 
Sobre essa distribuição de salários é correto afirmar que: 
a) O salário modal encontra-se na classe de R$800 até R$900. 
b) O salário mediano encontra-se na classe de R$600 até R$700. 
c) O salário modal encontra-se na classe de R$600 até R$700. 
d) O salário modal encontra-se na classe de R$700 até R$800. 
e) O salário mediano encontra-se na classe de R$500 até R$600. 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
Vamos fazer uma tabela com frequência acumulada: 
Classes de salários Frequências absolutas Frequência Acumulada 
De R$400 até R$500 50 50 
De R$500 até R$600 70 120 
De R$600 até R$700 40 160 
De R$700 até R$800 30 190 
De R$800 até R$900 10 200 
 
Olhe, a moda ocorre na classe de R$ 500 a R$ 600, pois a frequência absoluta é mais alta nesta classe. 
Portanto, o salário modal está na segunda classe. 
 
Quanto à mediana, é fácil ver que ela deve estar na segunda classe, pois, como a frequência total é 
de 200 observações, estamos procurando a 100ª observação. 
 
Portanto, tanto o salário mediano como modal estão na segunda classe. 
 
Gabarito: e 
 
 
 
 
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7 - AFRFB à? ESAF/2005) Assinale a opção que expresse a relação entre as médias aritmética (ࢄഥ), 
geométrica (G) e harmônica (H), para um conjunto de n valores positivos (ࢄ૚ǡ ࢄ૛ ǥ ǡ ࢄ࢔ሻ: 
Ăà?�'�á?�,�á?�ࢄഥ , com G=H=ࢄഥ somente se os n valores forem todos iguais. 
ďà?�'�á?�ࢄഥ á?�,, com G=ࢄഥ=H somente se os n valores forem todos iguais. 
c) ࢄഥ á?�'�á?�,�, com ࢄഥ=G=H somente se os n valores forem todos iguais. 
Ěà?�,�á?�'�á?�ࢄഥ , com H=G=ࢄഥ somente se os n valores forem todos iguais. 
e) ࢄഥ á?�,�á?�'�, com ࢄഥ=H=G somente se os n valores forem todos iguais. 
 
RESOLUÇÃO: 
Essa questão é puramente conceitual. D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?±D?D?D?D? ൒ D?±D?D?D?�D?D?D?D?±D?D?D?D?D? ൒ D?±D?D?D?�D?D?D?D?ØD?D?D?D? 
A possibilidade de que todas sejam iguais é quando todas as observações são iguais. 
 
Gabarito: d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8- FCC à? TRT/11 à? 2017) O conjunto {Xá?, Xá?, Xá?, ... , Xá?á? } refere-se a uma população de tamanho 10 
de elementos estritamente positivos, em que 
 
Observação: log(N) é o logaritmo de N na base 10. 
Considereas seguintes afirmações com relação a esta população: 
I. O coeficiente de variação é igual a 1/7. 
II. A média geométrica é igual a raiz quadrada de 109,185. 
III. Multiplicando todos os elementos da população por 2, o coeficiente de variação da nova 
população formada não se altera. 
IV. Dividindo todos os elementos da população por 2, a variância da nova população formada é 
igual a 25% da variância anterior. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
 a) I, II e III. 
 b) III e IV. 
 c) I e III. 
 d) II e IV. 
 e) I, III e IV. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos analisar os itens: 
I) O coeficiente de variação (CV) é a razão entre o desvio padrão e a média de uma variável aleatória. 
Chamando a média de X de �ഥ, a variância de X de D?ଶ, e seu desvio padrão de D?, temos que: �ഥ ൌ ? �୧ଵ଴୧ୀଵ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
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ɐଶ ൌ ? �୧ଶ െ  ? �ഥଶଵ଴୧ୀଵ  ɐଶ ൌ ? ? ?െ ? ? ? ?ǡ ?ଶ ? ? ɐଶ ൌ ? ? ?െ ? ? ?ǡ ? ? ? ൌ ?ǡ ? ? ɐ ൌ ඥ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? 
 Por fim, temos que: �� ൌ ɐ�ഥ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ?ൌ ? ? 
 Portanto, o item I está correto. 
II) A média geométrica de X (vamos chama-la de MG), é dada por: 
 
D?D?ൌ ඩෑ D?௜ଵ଴௜ୀଵభబ 
D?D?ൌ ? ? ? ௟௢௚௑೔భబ೔సభଵ଴ D?D?ൌ ? ?ଽǡଵ଼ହଵ଴ ൌ ? ?଴ǡଽଵ଼ହ 
Temos que ? ?଴ǡଽଵ଼ହ é diferente de ඥ ? ? ?ǡ ? ? ? e nem é necessário efetuar o cálculo exato para 
chegar a essa conclusão, pois sabemos que ? ?଴ǡଽଵ଼ହ é algum número menor que 10, pois seu 
expoente 0,9185 é menor que 1, e se 10¹ é igual a 10, sabemos que 10 elevado a um valor menor 
que 1 resulta em um valor menor que 10. Já 109,185 é um número maior que 100, portanto sua raiz 
quadrada é maior que 10 (já que a raiz quadrada de 100 é 10). Assim, se sabemos que ? ?଴ǡଽଵ଼ହ 
certamente é menor que 10, e que ඥ ? ? ?ǡ ? ? ? com certeza é maior que 10, podemos concluir que 
são números diferentes. Portanto, o item II está incorreto. 
III) Ao multiplicar todos os elementos de X por 2, temos que: 
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�±†‹ƒሺ ?�ሻ ൌ ? ? �±†‹ƒሺ�ሻ ൌ ? ? �ഥ �ƒ”‹Ÿ…‹ƒሺ ?�ሻ ൌ ?ଶ ? �ƒ”‹Ÿ…‹ƒሺ�ሻ ൌ ? ? ɐଶ �‡•˜‹‘�’ƒ†” ‘ሺ ?�ሻ ൌ ඥ ? ? ɐଶ ൌ ?ɐ� ��ሺ ?�ሻ ൌ ?ɐ ?�ഥ ൌ ɐ�ഥ ൌ ? ? 
 Logo, de fato o coeficiente de variação não se altera ao multiplicar todos os termos por 2, 
portanto o item III também está correto. 
 
IV) Dividindo todos os elementos da população por 2, temos que: 
�ƒ”‹Ÿ…‹ƒ ൬� ?൰ ൌ ൬ ? ?൰ଶ ? ��ƒ”‹Ÿ…‹ƒሺ�ሻ ൌ ? ? ? ɐଶ ൌ ?ǡ ? ?ɐଶ 
 Portanto, de fato a variância da nova população é igual a 25% da variância anterior, logo o 
item IV também está correto. 
 
 Por fim, apenas os itens I, III e IV estão corretos, assim a alternativa E é o gabarito da questão. 
 
Gabarito: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(MPU à? CESPE/2013) 
 
 
Exercício 9 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A distância interquartil (D?௤) é uma medida da diferença de valores entre o terceiro (D?ଷ) e o primeiro 
quartil (D?ଵ): 
 
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D?௤ ൌ D?ଷ െ D?ଵ 
 
Esta medida nos dá uma ideia do grau de dispersão de uma série, pois quanto maior este resultado 
menor é a concentração dos valores da série ao redor da mediana. 
 
Assim, com base no nosso enunciado: 
 D?௤ ൌ ? ?െ ? ൌ ? 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 10 
 
Resolução 
 
Pessoal, vamos nos lembrar do que aprendemos sobre simetria de uma distribuição na aula 01: 
 
Perceba que se os quantis da direita estiverem mais afastados da mediana do que os da esquerda 
o gráfico representativo desta distribuição seria: 
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Esta distribuição tem dados que são assimétricos à direita. 
�ŶƚĞŶĚĞƌĂŵ�Ž�ŐƌĄĨŝĐŽ ?����ĐŽŶĐĞŶƚƌĂĕĆŽ�ĚĂ�ĚŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽ�ŽĐŽƌƌĞ�ŶĂ� ?ƉĂƌƚĞ�ŐŽƌĚŝŶŚĂ ?�ĚŽ�ŐƌĄĨŝĐŽ ?�ĐŽŵ�
ǀĂůŽƌĞƐ�ŵĂŝƐ�ďĂŝdžŽƐ�ƉĂƌĂ�ĂƐ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ� ?ŵĂŝƐ�ĐŽŵƵŶƐ ? ?�ĞŶƚƌĞƚĂŶƚŽ�ŚĄ�ĂůŐƵŵĂƐ�ŽďƐĞƌǀĂĕƁĞƐ�ƋƵĞ�
têm valores muito altos com relação a todo o rol de dados. Estas observações destoam das demais 
por serem de valores muito diferentes da maior parte da amostra. Como estes pontos extremos 
ocorrem à sua direita, ela é assimétrica à direita! 
 
E se for o contrário? E se os quantis da esquerda estiverem mais afastados da mediana do que os da 
direita? 
 
 
Neste caso os dados tem comportamento assimétrico à esquerda! 
 
Pessoal, o que é interessante e que cai em prova é o posicionamento da média, mediana e moda 
a depender da assimetria da distribuição! 
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As relações que você vai ter que guardar são: 
 
 
Vamos pensar de forma intuitiva a fim de que não tenhamos que ficar decorando sem pensar! 
 
Pessoal, a moda é o mais fácil, pois ela ocorre no ponto de maior frequencia, ou seja, no topo da 
curva! 
 
E a média? Se a distribuição é assimétrica à direita isso significa que há observações com valores 
muito alƚŽƐ�Ğ�ƋƵĞ�ĚĞƐƚŽĂŵ�ĚŽ�ƌĞƐƚŽ�ĚĂ�ƐĠƌŝĞ ?�ĞƐƐĂƐ�ŝƌĆŽ� ?ƉƵdžĂƌ ?�Ž�ǀĂůŽƌ�ĚĂ�ŵĠĚŝĂ�ƉĂƌĂ�ĐŝŵĂ ?�WŽƌƚĂŶƚŽ ?�
a média será o valor mais alto neste caso, pois trata-se da medida de posição central mais sensível 
a valores extremos (moda e mediana não são afetadas por pontos extremos). Se a distribuição for 
assimétrica à esquerda faz-ƐĞ�Ž�ƌĂĐŝŽĐşŶŝŽ�ŝŶǀĞƌƐŽ ?�ƐĞŶĚŽ�ƋƵĞ�Ă�ŵĠĚŝĂ�ƐĞƌĄ� ?ƉƵdžĂĚĂ ?�ƉĂƌĂ�ƚƌĄƐ ? 
 
E a mediana? Ora, sempre ficará entre a média e a moda. 
 
- ?��ƐĞ�Ă�ĚŝƐƚƌŝďƵŝĕĆŽ�ĨŽƌ�ƐŝŵĠƚƌŝĐĂ ? ? 
 
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Exatamente, a média terá o mesmo valor da mediana e da moda da série. 
 
Voltando! 
 
Como a distribuição mostrada no enunciado não é simétrica, sendo que a distância da mediana 
(segundo quartil) para o ponto máximo da série é muito maior do que sua distância para o ponto 
mínimo, trata-se de uma distribuição assimétrica à direita. Se isso é verdade, pelo nosso gráfico 
acima, a média deve ser maior do que a mediana, que é 4! 
 
Alternativa falsa. 
 
Exercício 11 (adaptado) 
A distribuição em questão é assimétrica à direita. 
 
Resolução: 
Tal com vimos na questão anterior, isso é verdade. 
 
Alternativa verdadeira. 
 
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12 - AFRFB à? ESAF/2013) A expectância ĚĞ� ƵŵĂ� ǀĂƌŝĄǀĞů� ĂůĞĂƚſƌŝĂ� dž� ൞� ŵĠĚŝĂ� ŽƵ� ĞƐƉĞƌĂŶĕĂ�
ŵĂƚĞŵĄƚŝĐĂ�ĐŽŵŽ�ƚĂŵďĠŵ�Ġ�ĐŚĂŵĂĚĂ�൞�Ġ�ŝŐƵĂů�Ă�à?à?�ŽƵ�ƐĞũĂàP��à?džà?�á?�à?à?�^ĂďĞŶĚŽ-se que a média dos 
quadrados de x é igual a 9, então os valores da variância e do coeficiente de variação de x são, 
respectivamente, 
iguais a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
RESOLUÇÃO: 
Para resolvermos esta questão precisamos nos lembrar de que: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌ D?±D?D?D?�D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D?D? െ D?D?D?D?D?D?D?D?�D?D?�D?±D?D?D? 
 
Com base no enunciado, sabemos que: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌ D?±D?D?D?ሺD?ଶሻ െ ሾD?±D?D?D?ሺD?ሻሿଶ ൌ D?ሺD?ଶሻ െ ሾD?ሺD?ሻሿ ? 
 
Assim: 
 D?D?D?ሺD?ሻ ൌ ? െሺ ?ሻଶ ൌ ૞ 
 
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Agora, fica fácil achar ocoeficiente de variação: 
 
D?D?ൌ ඥD?D?D?ሺD?ሻD?ሺD?ሻൌ ?૞૛ 
 
Gabarito: a 
 
13 - MPE à? VUNESP/2013) Foi delineado um experimento separando três grupos escolhidos 
aleatoriamente de 5 homens em cada um, para medir seus níveis alcoólicos após beberem certa 
quantidade de bebida alcoólica. Os componentes do grupo A após uma hora, o grupo B após duas 
horas, e o grupo C após 3 horas. A quantidade de mg por grama de álcool foi multiplicada por 10 
para facilitar os cálculos. Os resultados observados foram: 
Grupo A Grupo B Grupo C 
11 5 4 
10 8 4 
9 6 5 
8 6 6 
12 5 6 
Calculando-se as três médias, a soma delas vale 
a) 19. 
b) 20. 
c) 21. 
d) 22. 
e) 23. 
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RESOLUÇÃO: D?±D?D?D?�D? ൌ ? ?൅ ? ?൅ ? ൅ ? ൅ ? ? ? ൌ ? ? D?±D?D?D?�D? ൌ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ? ൌ ? D?±D?D?D?�D? ൌ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ? ൌ ? 
 
Portanto, D?D?D?D? ൌ ? ?൅ ? ൅ ? ൌ૛૚. Alternativa (c). 
 
O próximo exercício é bom você acompanhar comigo. Vamos treinar a aplicação das propriedades 
da média e variância. 
 
14 - STN à? ESAF/2013) Suponha que X seja uma variável aleatória com valor esperado 10 e 
variância 25. Para que a variável Y dada por Y = p à? q x, com p e q positivos, tenha valor esperado 
0 e variância 625, é necessário que p + q seja igual a: 
a) 50 
b) 250 
c) 55 
d) 100 
e) 350 
 
RESOLUÇÃO: 
Bom, vamos aplicar as propriedades de média e variância que já estudamos. Primeira coisa, vamos 
tirar a média de Y: 
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 D?±D?D?D?ሺD?ሻ ൌ ? ൌ D?±D?D?D?ሺD? െD?D?ሻ ൌ D?±D?D?D?ሺD?ሻ െ D?±D?D?D?ሺD?D?ሻ 
 
Como D? e D? são constantes: D? െ D? ൈ D?±D?D?D?ሺD?ሻ ൌ ࢖ െ ૚૙ࢗ ൌ ૙ 
 
E no caso da variância? Lembre-ƐĞ�ĚĞ�ƋƵĞ�ǀĂƌŝąŶĐŝĂ�à?ůĞŵďƌĂ�ƋƵĂĚƌĂĚŽƐà?àP 
 D?D?D?ሺD?ሻ ൌ ? ? ?ൌ D?D?D?ሺD? െD?D?ሻ ൌ D?D?D?ሺD?D?ሻ 
 
Isso decorre do fato de que se você tirar a variância de uma constante essa é igual à zero, portanto, 
a variância da parte constante nem conta, portanto, pode descartar. Assim: 
 
 D?D?D?ሺD?D?ሻ ൌ D?ଶD?D?D?ሺD?ሻ ൌ D? ? ? ? ?ൌ ? ? ? 
 
Assim: 
 ࢗ ൌ ૞ 
 
Substituindo isso na expressão que obtivemos a partir da esperança: 
 ࢖ െ ૚૙ࢗ ൌ ૙ B? ࢖ െ૚૙ ? ૞ ൌ ૙ B? ࢖ ൌ૞૙ 
 
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Portanto: 
 D? ൅ D? ൌ ? ? 
 
Gabarito: c 
15 - AFRFB à? ESAF/2009) A tabela mostra a distribuição ĚĞ�ĨƌĞƋƵġŶĐŝĂƐ�ƌĞůĂƚŝǀĂƐ�ƉŽƉƵůĂĐŝŽŶĂŝƐ�à?Ĩà?à?�
de uma variável X: 
 
X f' 
-2 6a 
1 1a 
2 3a 
 
^ĂďĞŶĚŽ�ƋƵĞ�à“Ăà?�Ġ�Ƶŵ�ŶƷŵĞƌŽ�ƌĞĂůà?�ĞŶƚĆŽ�Ă�ŵĠĚŝĂ�Ğ�Ă�ǀĂƌŝąŶĐŝĂ�ĚĞ�y�ƐĆŽà?�ƌĞƐƉĞĐƚŝǀĂŵĞŶƚĞàP 
a) Média = - 0,5 e variância = 3,45 
b) Média = 0,5 e variância = - 3,45 
c) Média = 0 e variância = 1 
d) Média = - 0,5 e variância = - 3,7 
e) Média = 0,5 e variância = 3,7 
 
RESOLUÇÃO: 
WƌŝŵĞŝƌĂ�ĐŽŝƐĂ�ƋƵĞ�ƚĞŵŽƐ�ĚĞ�ĨĂnjĞƌ�Ġ�ĚĞƚĞƌŵŝŶĂƌ�Ž�ǀĂůŽƌ�ĚĞ�à?D?à?à?�KƌĂà?�Ž�ƋƵĞ�ŶſƐ�ƐĂďĞŵŽƐ�ĚĞ�ĨƌĞƋƵġŶĐŝĂ�
relativa? A soma de todas deve ser igual a 1. Portanto: 
 
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 ?D? ൅ ?D? ൅ ?D? ൌ ? B? ࢇ ൌ ૙ǡ ૚ 
 
Agora reescreva a tabela 
X f' 
-2 0,6 
1 0,1 
2 0,3 
 
Calcular a média: 
 D?±D?D?D? ൌሺെ ?ሻ ? ?ǡ ? ൅ሺ ?ሻ ? ?ǡ ? ൅ ሺ ?ሻ ? ?ǡ ? ? ൌ െ૙ǡ ૞ 
 
E a variância? Vamos encontrar a média dos quadrados, porque fica mais fácil: 
 D?±D?D?D? ൌሺെ ?ሻ ? ? ?ǡ ? ൅ሺ ?ሻ ? ? ?ǡ ? ൅ ሺ ?ሻ ? ? ?ǡ ? ? ൌ ૜ǡ ૠ 
 
Assim: 
 D?D?D?D?ŸD?D?D?D? ൌ D?±D?D?D?�D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D?D? െ D?D?D?D?D?D?D?D?�D?D?�D?±D?D?D? ൌ ?ǡ ? െሺെ ?ǡ ?ሻଶ ൌ ૜ǡ ૝૞ 
 
Gabarito: a 
 
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16 - CETESB à? VUNESP/2013) Numa classe, as notas de uma prova ficaram assim distribuídas: 1 
aluno tirou 10, 13 tiraram 8, 6 tiraram 6, 4 tiraram 5, 10 tiraram 1 e 6 tiraram zero. A média e a 
moda desta classe foram, respectivamente, 
a) 5,3 e 8. 
b) 5,3 e 5. 
c) 5,3 e 8. 
d) 4,5 e 1. 
e) 4,5 e 8 
 
Resolução 
 
Para responder esta questão, vamos construir a tabela de frequência para o modelo: 
Nota Frequência 
10 1 
8 13 
6 6 
5 4 
1 10 
0 6 
 
A moda é o mais fácil: nota 8, pois basta ver qual é a observação que mais ocorre. 
 
Para calcularmos a média: D?±D?D?D? ൌ ? ? ? ? ൅ ? ? ? ?൅ ? ? ? ൅ ? ? ? ൅ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ ૝ǡ ૞ 
Gabarito: e 
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17 - ICMS-RJ à? FCC\2014) O Departamento de Pessoal de certo órgão público fez um levantamento 
dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos seus 
400 funcionários, obtendo os seguintes resultados: 
 
Sabe-se que a mediana dos salários desses funcionários calculada por meio dessa tabela pelo 
método da interpolação linear é igual a 8,8 SM. Nessas condições, o salário médio desses 400 
funcionários, em número de salários mínimos, considerando que todos os valores incluídos em 
um intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é igual a 
a) 8,93 
b) 8,72 
c) 8,54 
d) 8,83 
e) 8,62 
Resolução 
Essa questão não é difícil pessoal, mas também não é fácil. 
 
Veja, você tem informação sobre qual o valor da mediana pelo método de interpolação, mas, agora, 
o raciocínio é inverso, o exercício pede que você encontre o tamanho do intervalo. 
 
Ora, o que você tem de fazer é encontrar os valores de x e y e, a partir daí, calcular a média com os 
pontos médios de cada classe. Então, vamos lá. 
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Se a mediana é 8,8 SM, isso significa que, até 8,8, ficaram acumuladas 50% das observações, ou seja, 
200. Então, como até a classe anterior já tinham sido acumuladas 148 observações, isso significa 
que, na classe x, foram necessárias 52 observações para encontrar a mediana. Então: 
 D?D?D?D?D?�D?D?�D?D?D?D?D?D? ൌ ? ?െ ? ൌ ?D? ൌ ?ǡ ? ? ? ?െ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Assim: 
 ?ǡ ?D? ൌ ? ? ?B? ࢞ ൌ૚૜૙ 
 
Agora, o y fica fácil: 
 ? ?൅ ? ? ?൅ ? ? ?൅ D? ൅ ? ?ൌ ? ? ?B? D? ൌ ? ? 
Agora, vamos calcular a média com base nos pontos médios. Bom, os pontos médios são fáceis de 
achar, certo? 
 
Assim: D?±D?D?D? ൌ ? ൈ ? ?൅ ? ൈ ? ? ?൅ ? ൈ ? ? ?൅ ? ?ൈ ? ?൅ ? ?ൈ ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? 
 
Gabarito: a 
Ponto Médio Frequência Absoluta
5 48
7 100
9 130
11 82
14 40
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18 - TRT à? FCC\2013) Em uma tabela de distribuição de frequências relativas, representando a 
distribuição dos salários dos funcionários em um órgão público, obteve-se pelo método da 
interpolação linear que o valor da mediana foi igual a R$ 4.400,00 e pertencente ao intervalo de 
classe [4.000,00; 5.000,00), em R$. Se 35% dos funcionários possuem um salário maior ou igual a 
R$ 5.000,00, então a respectiva frequência relativa correspondente ao intervalo em que pertence 
a mediana é, em %, igual a 
a) 15. 
b) 40. 
c) 20. 
d) 25. 
e) 18. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Se 35% dos funcionário têm salários superiores a R$ 5.000 e a mediana é de R$ 4.400, isso significa 
que a amplitude de R$ 600,00 (5.000 à? 4.400) nesta classe corresponde a 15%de toda a amostra. 
Agora, fica fácil calcular a frequência relativa da classe: 
 ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?D? ? B? ࢞ ൌ૛૞ ? 
 
Gabarito: (d) 
 
 
 
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19 - TRT à? FCC\2013) A quantidade de determinadas ocorrências por dia em uma fábrica, durante 
um período de 80 dias, pode ser observada pelo quadro abaixo. 
 
Dado que a média aritmética, ponderada pelo número de dias, de ocorrências por dia é igual a 2,5, 
verifica-se que a soma da moda e da mediana é igual a 
a) 4,25. 
b) 5,00. 
c) 4,50. 
d) 5,50. 
e) 4,00. 
 
RESOLUÇÃO: 
Esse exercício exige que você monte um sistema de equações, afinal há duas informações 
(quantidade total de dias e média ponderada) e duas variáveis (m e n). Veja, você sabe que: 
 ? ൅ ? ?൅ D? ൅ ? ?൅ D? ൅ ? ൌ ? ?B? ࢓ ൅ ࢔ ൌ૝૙ 
 
Você sabe também que: 
 D?±D?D?D?�D?D?D?D?D?D?D?D?D? ൌ ? ൈ ? ൅ ? ?ൈ ? ൅ D? ൈ ? ൅ ? ?ൈ ? ൅ D? ൈ ? ൅ ? ൈ ? ? ? ൌ ?ǡ ? 
 
Então: 
 
Jeronymo Marcondes, Arthur Lima
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 ? ൅ ? ?൅ ?D? ൅ ? ?൅ ?D? ൅ ? ? ? ? ൌ ?ǡ ? B? ? ?൅ ?D? ൅ ? ?൅ ?D? ൅ ? ?ൌ ? ? ? 
 ?D? ൅ ?D? ൌ ? ? ? 
 
Agora basta resolver o sistema, com base na primeira equação: 
 D? ൌ ? ?െ D? 
 
Substituindo na última: 
 ?ሺ ? ?െ D?ሻ ൅ ?D? ൌ ? ? ?B? ? ?െ ?D? ൅ ?D? ൌ ? ? ? 
 ?D? ൌ ? ?B? D? ൌ ? ? 
 
Assim: 
 D? ൌ ? ?െ ? ?ൌ ? ? 
 
A moda é 2, pois esta classe é a que tem a maior frequência (25).A mediana também está nesta 
classe, pois é nela que esta concentrada a observação número 40. Assim, a moda mais mediana: D?D?D?D? ൅ D?D?D?D?D?D?D? ൌ ? ൅ ? ൌ ? 
Gabarito: e 
 
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(ANALISTA MPU à? CESPE\2013) 
 
A figura acima mostra a dispersão dos valores previstos (X, em R$ milhões) e dos valores 
efetivamente gastos (Y, em R$ milhões) em 200 obras de pavimentação em determinado estado, 
e os respectivos histogramas das distribuições dos valores X e Y. Com base nessas informações, 
julgue os itens a seguir. 
 
Exercício 20 
 
A distribuição de X apresentou assimetria positiva, enquanto a de Y exibiu assimetria negativa. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Pessoal, isso é importante em algumas provas! Assimetria positiva e negativa: 
 
- comportamento assimétrico à esquerda = assimetria negativa 
- comportamento assimétrico à direita = assimetria positiva 
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Pessoal, vocês ainda não aprenderam o que é diagrama de dispersão, mas dá para fazer a questão! 
 
Veja que, no nosso exercício, os valores de X aumentam da esquerda para a direita, com seu 
respectivo histograma na parte superior da figura. No caso de Y, os valores aumentam de baixo para 
cima, com o gráfico na parte direita da figura. Os dois tem assimetria positiva! Os dois têm os valores 
mais baixos como mais comuns. 
 
Alternativa errada. 
 
21 - FCC à? SABESP à? 2017) A média aritmética de três números a, b e c é 20. A média aritmética de 
a e b é 16. O valor de c é igual a 
a) 24. 
b) 26. 
c) 30. 
d) 28. 
e) 32. 
RESOLUÇÃO 
 Se a média aritmética de a e b é 16, temos que: ƒ ൅ „ ? ൌ ? ? ƒ ൅ „ ൌ ? ? ? ? ൌ ? ? 
Se a média aritmética de a, b e c é 20, temos que: ƒ ൅ „ ൅ … ? ൌ ? ? 
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Sabemos que a + b = 32, portanto: ? ?൅ … ൌ ? ? ? ? … ൌ ? ?െ ? ?ൌ ? ? 
 Portanto, a alternativa D é o gabarito da questão. 
Gabarito: D 
 
(STF à? CESPE\2013\alterada) 
 
 
Com referencia a figura acima, que mostra a distribuição da renda mensal à? x, em quantidades 
de salários mínimos (sm) à? das pessoas que residem em determinada região, julgue os itens 
subsequentes. 
 
Exercício 22 
Considerando a forma de calculo para dados agrupados, a distribuição da renda mensal x possui 
media igual a 9,75 sm. 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
A melhor forma de realizar este exercício é encontrando o ponto médio de cada uma destas classes 
e calculando a média com base neste ponto. ? ?�D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌ � ? ?൅ ? ? ൌ ?ǡ ? 
 ? ?�D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌ � ? ?൅ ? ? ? ൌ ? ?ǡ ? 
 ? ?�D?D?D?D?D?�D?±D?D?D? ൌ � ? ?൅ ? ? ? ൌ ? ?ǡ ? 
 
Assim: 
 D?±D?D?D? ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ?൅ ? ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ?൅ ? ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ? ൌ ?ǡ ? ? 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 23 
A variável x, por possuir quatro níveis de respostas, e do tipo qualitativa ordinal. 
 
RESOLUÇÃO: 
Pessoal, a própria resolução mostra que a forma de calcular a média é de uma variável quantitativa 
contínua. Essa variável se distribui em 3 intervalos e assume valores (números), ela é quantitativa. 
Alternativa falsa. 
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Exercício 24 
A mediana da variável x é superior a 8 sm e inferior a 9 sm. 
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos calcular. A mediana, com certeza, está na primeira classe, pois a mesma acumula 65% das 
observações, portanto, a observação que divide a mostra em duas partes iguais (50%) está nesta 
classe. 
 
Veja que a amplitude desta classe é de 5 (10 à? 5) e ela acumula 65% das observações. Qual é a 
amplitude que corresponde a 50%? Basta fazer uma regra de 3: 
 ? ?െ ? ? ? ? ൌ D? ? ? ?B? D? ൌሺ ? ൈ ?ǡ ?ሻ ?ǡ ? ? CC ?ǡ ? ? 
 
Portanto, a mediana é de 5 + este valor calculado que acumula 50% das observações: 
 D?D?D?D?D?D?D? ൌ ? ൅ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? 
 
A mediana está entre 8 e 9 sm. 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 25 
Esta distribuição é assimétrica à esquerda. 
 
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Resolução 
 
Uma distribuição assimétrica à esquerda se comporta da seguinte forma: 
 
 
 
Essa é exatamente ao contrário da apresentada no exercício, que é assimétrica à direita! 
 
Alternativa errada. 
 
26 - CGE MA à? 2014\FGV) Sobre uma amostra com uma quantidade ímpar de valores, todos 
diferentes de uma variável aleatória, sabe-se que a média é maior que a mediana. 
Com relação aos valores dessa amostra é necessariamente verdade que 
(A) há mais valores acima da média do que abaixo da média. 
(B) há mais valores abaixo da média do que acima da média. 
(C) há mais valores acima da média do que abaixo da mediana. 
(D) há mais valores acima da mediana do que abaixo da média. 
(E) a quantidade de valores acima da média é igual à quantidade de valores abaixo da média. 
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RESOLUÇÃO: 
Pela definição de que a média é maior do que a mediana, nós sabemos que se trata de uma 
distribuição assimétrica à direita: 
 
 
 
Neste caso, há mais valores abaixo da média do que acima da mesma, pois, como ela fica à direita 
da mediana, ela acumula mais de 50% dos valores à sua esquerda. 
 
Gabarito: (b) 
 
27 - ALBA à? 2014/FGV) A média das idades de um grupo de 4 amigos é de 36 anos, e o desvio 
padrão é igual a 2. Daqui a cinco anos, a média e a variância das idades desse grupo serão iguais