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Livro Eletrônico Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Conceitos básicos .................................................................................................................. 2 Diagrama de Venn e propriedades ........................................................................................ 5 Obs. Propriedades ....................................................................................................................... 13 Probabilidade Condicional .................................................................................................. 15 Teorema de Bayes ............................................................................................................... 20 Exercícios ............................................................................................................................. 24 Lista de exercícios resolvidos .............................................................................................. 83 Gabarito ............................................................................................................................ 102 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 34821 CONCEITOS BÁSICOS 0XLWDV�YH]HV�QRV�GHSDUDPRV�FRP�DV�VHJXLQWHV�H[SUHVV}HV�QR�GLD�D�GLD��³D�SUREDELOLGDGH�GH�FDLU� XP�SLDQR�QD�VXD�FDEHoD�p�SHTXHQD´�� ³D�SUREDELOLGDGH�GH� UHHOHLomR�p�JUDQGH´��HWF��0DV��R�TXH� queremos dizer com isso? Na verdade, isso está muitR�UHODFLRQDGR�FRP�R�FRQFHLWR�GH�³IUHTXrQFLD´��4XDQGR�VH�DILUPD�TXH�D� probabilidade de algo ocorrer é pequena, está sendo dito que, dado um determinado conjunto de resultados possíveis, o evento em questão ocorre em poucas das realizações deste. Não entendeu? Vamos a um exemplo. Suponha o lançamento de uma moeda não viciada, isso é, TXH�SRVVXL�XPD�FDUD�H�XPD�FRURD��4XDO�D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUHU�³FDUD´��SRU�H[HPSOR" Com efeito, há duas possibilidades de realização deste evento: cara ou coroa, entretanto nós só HVWDPRV� LQWHUHVVDGRV� QR� UHVXOWDGR� ³FDUD´�� RX� VHMD�� HP� XPD� GHVWDV� SRVVLELOLGDGHV�� 3RUWDQWR�� D� SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�HP�XP�ODQoDPHQWR�p� ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��ݑ� ?ܿݎܽ ?ൌ -Professor, então, ao lançar uma moeda não viciada, na metade dos lançamentos eu obterei ³FDUD´" Não é bem assim! Veja, antes GH�ODQoDU�D�PRHGD��D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�p�GH� ? , porém pode ser que isso não ocorra. Suponha a realização de três lançamentos seguidos, pode ser que o resultado seja: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ? ?ൌ ܿݎܽ ? ?ൌ ܿݎܽ ? ?ൌ ܿܽݎܽ Isso quer dizer que a moeda é viciada? Pode ser, mas só com esse resultado não há como saber, pois este resultado é possível em uma moeda não viciada. A partir deste resultado você poderia LQIHULU�HUURQHDPHQWH�LQIHULU�TXH�D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´�QmR�p�GH�ò��PDV�GH� ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��ݑ� ?ܿݎܽ ?ൌ Se você pensou assim, pense de novo! A forma correta de definir a probabilidade de ocorrência de um evento é encontrar qual a frequência de sua ocorrência com relação a todas as outras ocorrências possíveis quando o número de experimentos tende ao infinito. No nosso caso: ܲሺܿܽݎܽሻB?ஶ ൌ ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ�݀݁�݀ܽݎ� ?ܿܽݎܽ ?��ݑ� ?ܿݎܽ ?ൌ Sendo ݊ o número de vezes que você realiza o experimento e a expressão B? ? significando que o mesmo tende para o infinito. Portanto, se você realizar um experimento infinitas vezes, sendo o nosso experimento o lançamento da moeda, a probabilidade de ocorrência dH�XP�GHWHUPLQDGR�HYHQWR��QR�FDVR�H[HPSOR��GDU�³FDUD´�� será dada pela relação à priori entre a quantidade de vezes em que é possível sua ocorrência dividida pela quantidade de vezes que todos os outros eventos são possíveis (no caso, quantas ³FDUDV´� H� ³FRURDV´� H[LVWHP� HP� XPD� PRHGD��� Aí sim, se você jogar a moeda infinitas vezes, PHWDGH�GDV�YH]HV�D�IDFH�³FDUD´�VHUi�R�UHVXOWDGR�� Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Nós podemos aprofundar este conceito de forma mais teórica, de forma a facilitar o entendimento. Se você lançar a moeda uma vez, quais são todos os resultados possíveis? Ȱ ൌ ሺܥܽݎܽሻǢ ሺܥݎܽሻ E se você lançar duas vezes? Ȱ ൌ ሺܥܽݎܽǡ ܥݎܽሻǢ ሺܥݎܽǡ ܥܽݎܽሻǢ ሺܥܽݎܽǡ ܥܽݎܽሻǢ ሺܥݎܽǡ ܥݎܽሻ Este conjunto formado por todas as realizações possíveis (que, no caso, chamamos de Ȱ) chama- se espaço amostral. Com base neste espaço amostral podemos atribuir uma probabilidade para um determinado evento, sendo este dado por um subconjunto de ሺȰሻ. 3RU�H[HPSOR��QR�FDVR�GH�XP�ODQoDPHQWR�~QLFR�GD�PRHGD��TXDO�D�SUREDELOLGDGH�GH�GDU�³FDUD´"�1yV� já vimos esta resposta e sabemos que se trata da probabilidade de ocorrência do subconjunto dado por ሺܿܽݎܽሻ do espaço amostral ሺܿܽݎܽǡ ܿݎܽሻ. Belezinha? Mas, e a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em dois lançamentos? Bom, olhando nosso espaço amostral definido acima para este caso mostra que isso ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíveis. Neste caso, cada um daqueles parênteses tem ቀଵସ ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ?ቁ de chance de ocorrer. Mas, nossa pergunta abrange 3 (três) daqueles casos, isso é, três daquelas realizações atendem ao nosso Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br requisito. Portanto, a probabilidade de ocorrência do subconjunto do espaço amostral composto pelos resultados nos quais ocorrem pelo menos uma cara é de: ܲሺ ?�ܿܽݎܽ�ܽ �݉݁݊ݏሻ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ Assim, teoricamente, para um determinado evento A qualquer, sua probabilidade de ocorrência é de: ࡼሺሻ ൌ ࡽ࢛ࢇ࢚ࢊࢇࢊࢋ�ࢊࢋ�࢜ࢋࢠࢋ࢙�࢛ࢋ�ࢉ࢘࢘ࢋ�ࡽ࢛ࢇ࢚ࢊࢇࢊࢋ�ࢊࢋ�ࢋࢋࢋ࢚࢙��ࢋ࢙ࢇ�ࢇ࢙࢚࢘ࢇ Maravilha? Vá comer um chocolate e relaxar um pouco, mas volte logo em seguida! DIAGRAMA DE VENN E PROPRIEDADES Gente, a primeira coisa e mais óbvia é que toda probabilidade se situa entre 0 e 1. Não há como um evento ocorrer mais de 100% das vezes ou menos de 0% das vezes. Essa é a própria ideia da IUHTXrQFLD�UHODWLYD�TXH�Mi�HVWXGDPRV��3RUWDQWR��GDGR�TXDOTXHU�HYHQWR�³$´� ? ሺܲܣሻ ? Assim, a ideia de probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência relativa, haja vista estarmos considerando que o experimento poderia ser realizado várias vezes e que o resultado sempre seria o mesmo. ,VVR�p�FKDPDGR�GH�³$ERUGDJHP�)UHTXHQWLVWD�GD�3UREDELOLGDGH´� Uma forma interessante de vocês visualizarem probabilidades é pelo diagrama de Venn: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Olhem pessoal, aquele círculo no meio representa o evento A no espaço amostral representado SHOD�³FDL[D�8´��3HUFHED�TXH�R�FtUFXOR�QmR�RFXSD�PDLV�GR�TXH�D�FDL[D�WRGD�Qem menos do 0% da FDL[D��LVVR�p��D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�³$´�HVWi�HQWUH���H���� Obs. Muitas vezes você irá me ver referir a probabilidades como números entre 0 e 1 ou 0% e 100%. Não é loucura do teacher! Toda probabilidade, com o intuito de facilitar a visualização, pode ser multiplicada por 100 de forma que obtenhamos o resultado em percentual. Por exemplo, uma probabilidade de 0,5 é equivalente à 50%. Retornando! Então, outros dois casos interessantes, mas diametralmente opostos,são os casos de eventos certos e eventos impossíveis. (YHQWR�FHUWR�p�DTXHOH�TXH�FRLQFLGH�FRP�R�HVSDoR�DPRVWUDO��3RU�H[HPSOR��QR�QRVVR�FDVR�GH�³FDUD´� H�³FRURD´��XP�HYHQWR�FHUWR�VHULD�DTXHOH�FRPSRVWR�SRU�WRGRV�RV�UHVXOWDGRV�QRV�TXDLV�RFRUUHP��DR� menos, uma cara ou uma coroa. Ou seja, todo o espaço amostral! Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Evento impossível é o caso oposto! Este evento seria composto por elementos não constantes no espaço amostral, por exemplo, o caso de um lançamento em que não ocorresse nem cara nem coroa! Outro conceito importanWH� p� R� GH� ³FRPSOHPHQWDU´�� 'DGD� XPD� SUREDELOLGDGH� GH� XP� HYHQWR� ³$´� qualquer, a probabilidade de seu complementar ሺܣሻ é dada por: ܲሺܣሻ ൌ ? െ ܲሺܣሻ Entendeu? O complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a probabilidade de sua não ocorrência! Para ficar bem legal e fácil, olhe o Diagrama de Venn abaixo: 'DGR�XP�HYHQWR�³$´�TXDOTXHU��UHSUHVHQWDGR�SHOR�FtUFXOR�DFLPD��R�VHX�FRPSOHPHQWDU�p�WRGD�D�SDUWH� vermelha da figura! Simples! Mas, agora que complica. Vamos a um exemplo para facilitar! Suponha dois grupos de pessoas concurseiras dentro de uma amostra com bacharéis em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e que outras não passaram em concurso público. Podemos expressar os resultados da seguinte forma: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Passou Não Passou Total Engenharia 20 10 30 Direito 40 70 110 Economia 30 60 90 Total 90 140 230 Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso a partir desta amostra ter sido estudante de Economia? O total de estudantes, ou seja, nosso espaço amostral é composto por 230 pessoas, sabendo-se que, desse total, 90 são economistas, temos que: ܲሺ݁ܿ݊݉݅ݏݐܽሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Mas, e se eu te perguntar qual a probabilidade da pessoa ser formada em Economia e ter passado em concurso? Neste caso, estamos falando de intersecção destes dois subconjuntos. Em termos de Diagrama de Venn: Viram do que estamos falando? Trata-se de um evento que necessita que as duas condições sejam verdade (ser economista e ter passado em concurso), refere-se à intersecção entre os dois subconjuntos (parte vermelha). Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada para LGHQWLILFDU�D�LQWHUVHFomR�HQWUH�GRLV�VXEFRQMXQWRV�p�³B?´��1R�QRVVR�FDVR��VH�FKDPDUPRV�RV� subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a intersecção entre os mesmos como B? . -³(�GH�TXDQWR�p�HVVD�SUREDELOLGDGH��SURIHVVRU´" B? ൌࢋࢉ࢙࢚ࢇ࢙�࢛ࢋ�ࢇ࢙࢙ࢇ࢘ࢇ࢚࢚ࢇ�ࢊࢇ�ࢇ࢙࢚࢘ࢇ ൌ ؆ ǡ E se eu te perguntar qual a probabilidade de encontrarmos economistas ou pessoas que passaram? Agora a coisa é diferente! Veja no diagrama para entender bem: Veja como aumentou a parte vermelha! Se uma ou outra condição for verdadeira, devemos computá-OD��&KDPDPRV�D�LVVR�GH�³UHXQLmR´�HQWUH�GRLV�VXEFRQMXQWRV� Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Vocês têm de saber que a expressão usualmente utilizada para LGHQWLILFDU� D� UHXQLmR� HQWUH� GRLV� VXEFRQMXQWRV� p� ³B?´�� 1R� QRVVR� FDVR�� VH� FKDPDUPRV� RV� subconjuntos de Economistas e pessoas que passaram em concurso respectivamente de A e B, pode-se representar a reunião entre os mesmos como B? . Como você encontraria tal probabilidade? -³2UD�SURIHVVRU��IDULD�FRPR�YRFr�IH]�DQWHULRUPHQWH��VRPDQGR�DV�SUREDELOLGDGHV´� ܲሺ݁ܿ݊݉݅ݏݐܽ�ݑ�ܽݏݏݑሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Então, meu amigo, tem um erro aí! Você percebeu que você está contando o economista que passou duas vezes? Por exemplo, dos 90 que passaram, 30 já são economistas, podendo ser feito o mesmo raciocínio inverso. Em termos de Diagrama de Venn, seria o mesmo que somar: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br + 1HVWH�FDVR��YRFr�HVWDUi�FRQWDQGR�GXDV�YH]HV�DTXHOD�³SDUWH]LQKD´�TXH�p�D�LQWHUVHFomR�HQWUH�DPERV� Assim, o certo seria: ܲሺ݁ܿ݊݉݅ݏݐܽ�ݑ�ܽݏݏݑሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?െ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Genericamente, para dois eventos A e B quaisquer, podemos afirmar que: ࡼሺ B? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺሻ െ ࡼሺ B? ሻ Mas, cuidado com o caso especial dos eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos! A fim de exemplificar este conceito, imagine o lançamento de um dado honesto de forma que nosso espaço amostral seja dado por: ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?ሽ Assim, somente uma destas realizações é possível, ou seja, o resultado só pode ser uma das faces do dado. Qual é a probabilidade de o resultado do lançamento gerar os números 4 ou 5? Ora: ܲሺ ? B? ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ܲሺ ?ሻ െ ܲሺ ? B? ?ሻ Vamos começar com o mais fácil, qual é a probabilidade de cair qualquer das faces de um dado? O dado tem 6 faces no total, de forma que a probabilidade de que qualquer delas seja o resultado é de: ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ܲሺ ?ሻ ൌ ? ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Assim: ܲሺ ? B? ?ሻ ൌ ? ? ? ?െ ܲሺ ? B? ?ሻ E o último componente que se refere à intersecção entre os dois eventos? Qual é a probabilidade de ocorrer como resultado do experimento uma face do dado com número 4 e 5? É claro que é zero! Veja como seria a representação no Diagrama de Venn: Estes eventos não tem intersecção! Ou seja, quando um ocorre o outro não pode ocorrer! Assim, neste caso, aquele último componente de nossa fórmula será igual à zero, de forma que: ܲሺ ? B? ?ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ? ?ൌ Entendeu? Então, vamos adiante! Mas, antes, vamos tratar de um tópico bem especifico. OBS. PROPRIEDADES Pessoal, este tópico é muito pouco cobrado em concursos públicos, porém é importante passarmos por ele, afinal não se sabe o que será pedido! Uma forma de ajudar a decorar tais propriedades é pensando que quando você tira o complemento de B? ou B?��R�UHVXOWDGR�p�LQYHUWHU�D�³EDUULJXLQKD´�GD�RSHUDomR��$VVLP��em termos nem um pouco formais, você deve pensar que: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ሺB?ሻ ൌB? ሺB?ሻ ൌB? $VVLP�� SDUD� WUrV� FRQMXQWRV� TXDLVTXHU� FKDPDGRV� GH� ³$´�� ³%´� H� ³&´�� destacam-se as seguintes propriedades: ሻ�ሺ B? ሻࢉ ൌ ࢉ B? ࢉ �����ሻ�ሺ B? ሻࢉ ൌ ࢉ B? ࢉ Beleza? Esta é a menos intuitiva das propriedades, assim, decore! Agora, as outras são bem mais fáceis de serem entendidas, tais como: ሻ� B? B? ൌ B? Sendo (B?) um conjunto vazio, ou seja, sem nenhum elemento. Isso faz todo o sentido, dado que a LQWHUVHFomR� GH� XP� FRQMXQWR� ³$´� TXDOTXHU� FRP� RXWUR� FRQMXQWR� YD]LR� QmR� SRGH� FRQWHU� QHQKXP� elemento. ሻ� B? ൌ ۯ Sendo () representativo do espDoR�DPRVWUDO��$�LQWHUVHFomR�GH�XP�FRQMXQWR�³$´�TXDOTXHU�FRP�R� HVSDoR�DPRVWUDO�p�R�SUySULR�FRQMXQWR�³$´� Com base nestes dois últimos, fica fácil visualizar que: ሻ� B?B? ൌ �ሻ� B? ൌ Outras propriedades intuitivas relacionam um determinado conjunto com seu complementar, assim, sabendo-se que ܲሺܣሻ ܲሺܣሻ ൌ ?, tem-se que: ૠሻ� B? ࢉ ൌ ૡሻ� B? ࢉ ൌ B? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Para finalizar, devemos tratar de uma propriedade que relaciona intersecções e reuniões entre conjuntos: ૢሻ� B?ሺ B? ሻ ൌ ሺ B? ሻ B? ሺ B? ሻ Com base nestes três conjuntos, pode-se desenhar o seguinte Diagrama de Venn: ³(VWD� SURSULHGDGH� HVWi� GL]HQGR� TXH� D� LQWHUVHFomR� GH� XP� FRQMXQWR� FRP� XPD� UHXQLmR� GH� RXWURV�GRLV�p�HTXLYDOHQWH�j�UHXQLmR�GD�LQWHUVHFomR�GHVWH�FRQMXQWR�FRP�HVWHV�RXWURV�GRLV´�� Isso não está a coisa mais bem escrita do mundo, mas, lendo o texto e olhando o gráfico, vocês conseguirão entender o conceito. PROBABILIDADE CONDICIONAL Voltemos a nosso exemplo da pesquisa sobre qual a formação superior que mais aprova em concurso público. Só relembrando a tabela: Passou Não Passou Total Engenharia 20 10 30 Direito 40 70 110 Economia 30 60 90 Total 90 140 230 Anteriormente, havíamos realizado o cálculo para a probabilidade de que alguém na nossa amostra fosse economista. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br E se tivéssemos a informação a priori de que os economistas em questão se restringiriam àqueles que já passaram em concurso público? Ou seja, qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o mesmo passou em concurso público? Você entende o que estou falando? A forma de avaliação não é a mesma, pois, neste caso, temos mais informações do que tínhamos anteriormente e, portanto, devemos nos utilizar dela! Essa é a ideia de probabilidade condicional! A forma usual de representarmos uma probabilidade condicional GH�XP�HYHQWR�TXDOTXHU�³$´��GDGR�RXWUR�HYHQWR�TXDOTXHU�³%´�p� ܲሺܣȁܤሻ E como poderíamos incorporar esta informação, ou seja, de que forma este cálculo pode ser realizado? Vamos pensar intuitivamente para podermos chegar à fórmula! Veja o Diagrama de Venn abaixo: (X�WH�SHUJXQWR��GDGR�TXH�RFRUUHX�³%´��TXDO�SDUWH�GD�ILJXUD�UHSUHVHQWD�D�SRUomR�GH�³$´�TXH�SRGH� ocorrer? Exatamente, a intersecção entre os dois conjuntos! Esta parte laranja representa a parcela GR�HYHQWR�³$´�TXH�p compatível com a informação a priori. Mas, você já sabe que probabilidades são calculadas com base na divisão da quantidade de HOHPHQWRV� ³IDYRUiYHLV´� SHOR� HVSDoR� DPRVWUDO�� 4XDO� p� R� HVSDoR� DPRVWUDO� QR� QRVVR� H[HPSOR"�2� WDPDQKR�GH�³%´�� Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ࡼሺȁሻ ൌ ࡼሺ B? ሻࡼሺሻ Esta fórmula é muito importante, assim vocês devem decorá-la, mas não deixem de entender de onde ela vem, ok? Nesse caso, ܲሺܣሻ é a probabilidade a priori GH�³$´��R�TXH�SRGH�VHU�³DWXDOL]DGR´� FRP�DV�QRYDV�LQIRUPDo}HV�GH�³%´��SHUPLWLQGR�D�REWHQomR�GD�probabilidade a posteriori, ܲሺܣȁܤሻ. ³%HOH]D�SURIHVVRU��PDV�PH�Gr�XP�H[HPSOR��HVWi�WXGR�PXLWR�WHyULFR´� Claro, é para já! Retornando ao exemplo do nosso quadro acima, eu quero saber: ࡼሺࢋࢉ࢙࢚ࢇȁࢇ࢙࢙࢛ሻ ൌ�ǫ Ou seja, eu quero saber qual a probabilidade de um indivíduo ser economista, dado que ele passou. Vamos aplicar a fórmula? O numerador nós já temos calculado: ܣ B? ܤ ൌ݁ ܿ݊݉݅ݏݐܽݏ�ݍݑ݁�ܽݏݏܽݎܽ݉ݐݐ݈ܽ�݀ܽ�ܽ݉ݏݐݎܽ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? Ótimo! E o denominador? Trata-se da probabilidade de encontrar alguém que passou, o que não é difícil: ܲሺܽݏݏݑሻ ൌ ? ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? ? Pronto: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ࡼሺࢋࢉ࢙࢚ࢇȁࢇ࢙࢙࢛ሻ ൌ ቀ ? ? ? ? ?ቁቀ ? ? ? ? ?ቁ ؆ ǡ Viram? A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do que encontrar um economista dado que estamos tratando só com os que passaram. A informação adicional nos ajudou a ter uma previsão com mais acurácia! Retornando à parte mais teórica, algo muito importante em termos de prova é o conceito de independência estatística! -³2�TXH�p�LVVR��SURIHVVRU´" Dois eventos são ditos independentes se: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ Isso não te lembra nada? Boa! O lançamento da moeda! Imagine que foram feitos dois lDQoDPHQWRV��TXDO�D�SUREDELOLGDGH�GH�³FDUD´�QR�SUy[LPR�ODQoDPHQWR� GDGR�TXH�³FRURD´�RFRUUHX�QR�SULPHLUR"�2UD��D�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�GH�³FDUD´�FRQWLQXD�LJXDO� à ?ǡ ?, pois o resultado do primeiro lançamento não afeta o segundo. Assim: ܲሺܿܽݎܽ�݊� ? ?ȁܿݎܽ�݊� ? ?ሻ ൌ ܲሺܿܽݎܽሻ ൌ ?ǡ ? Este é um exemplo de eventos independentes! A definição de eventos independentes perpassa pela necessidade de que a ocorrência de um não afete a probabilidade de ocorrência do outro. No caso de eventos independentes, podemos reescrever nossa fórmula da seguinte maneira: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ B? ࡼሺሻ ڄ ࡼሺሻ ൌ ࡼሺ B? ሻ Quer mais um exemplo? Suponha que você esteja desmanchando sua árvore de natal e que a mesma só possua bolas vermelha e prata. Sabendo-se que há 10 bolas vermelhas e 10 prateadas, se você fechar os olhos e tirar uma bola, qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha? Há 20 bolas no total, sendo que 10 são vermelhas, assim: ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? Suponha que você tirou uma bola vermelha! Agora, você decide tirar outra bola com os olhos vendados, repondo a que você já tirou. Qual a probabilidade de que a mesma seja vermelha? Ora, o evento relacionado à retirada da segunda bola independe do que houve da primeira vez, pois a bola foi reposta na árvore! Ou seja: ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽ� ? ?ȁݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽ� ? ?ሻ ൌ ܲሺݒ݁ݎ݈݄݉݁ܽሻ ൌ ?ǡ ? Entendeu? Este é um caso de eventos independentes! Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br TEOREMA DE BAYES À primeira vista você vai pensar que o Teorema de Byes não tem nada demais, pois ele é tão somente uma decorrência do que estudamos na seção anterior. Porém, preciso detalhá-lo para você, pois ele cai muito. Então, a maior parte dos exercícios de concurso você não vai precisar da fórmula por si só, porém, se estudarmos este tópico de uma maneira um pouco mais aprofundada, você saberá responder os exercícios de forma mais rápida! 8PD�FRLVLQKD�EiVLFD�TXH�HX�TXHUR�TXH�YRFrV�HQWHQGDP��VXSRQKD�GRLV�HYHQWRV�TXDLVTXHU�³$´�H�³%´� H� DSOLTXH� DTXHOD� ³IRUPXOD]LQKD´� GH� SUREDELOLGDGH� FRQGLFLRQDO� TXH� Mi� HVWXGDPos de forma a HQFRQWUDU�D�SUREDELOLGDGH�GH�³$´�GDGR�³%´�H�D�SUREDELOLGDGH�GH�³%´�GDGR�³$´��9RFr�YDL�FKHJDU�QLVVR� ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܣሻ O que estas duas fórmulas têm em comum? Exatamente, o termo ࡼሺ B? ሻ! Sabendo desta fórmula, qual o valor de ܲሺܣȁܤሻ? Multiplique invertido na segunda equação e você terá: ܲሺܤȁܣሻ ڄ ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻ Se você substituir este resultado na primeira equação, obterá: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܤȁܣሻ ڄ ܲሺܣሻܲሺܤሻ Entretanto, não conhecemos o denominador (essa é a premissa). Assim, queremos saber a probabilidade condicional de ܣ dado ܤ, mas suponha que o resultado ܣ não é o único possível, sendo que poderia ter ocorrido ܥ, com ܲሺܥሻ ് ?. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Não entendeu? Vamos a um exemplo concreto que você vai ver mais facilmente. Por exemplo,suponha que você tenha as probabilidades do time de futebol do Brasil ganhar se o Neymar jogar ou não. E se você quiser saber a probabilidade de o Neymar ter jogado, dado que o time ganhou? Para isso o Teorema de Bayes é perfeito! Veja: ܲሺܤሻ ൌ ݎܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀�ܤݎܽݏ݈݅�݄݃ܽ݊ܽݎ ܲሺܣሻ ൌ ݎܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀�ܰ݁ݕ݉ܽݎ�݆݃ܽݎ ܲሺܥሻ ൌ ݎܾܾ݈ܽ݅݅݀ܽ݀݁�݀�ܰ݁ݕ݉ܽݎ�݊ �݆݃ܽݎ Assim, o Teorema de Bayes garante que: ࡼሺȁሻ ൌ ࡼሺȁሻ ڄ ࡼሺሻࡼሺȁሻ ڄ ࡼሺሻ ࡼሺȁሻ ڄ ࡼሺሻ -³3URIHVVRU��HVWH�p�R�IDPRVR�H�WHPtYHO�7HRUHPD�GH�%D\HV´" É isso aí! A ideia deste teorema é que, a partir de informações das probabilidades a priori GH�³$´�H� GH�³%´�H�GD�SUREDELOLGDGH�FRQGLFLRQDO�GH�³%´�GDGR�³$´�SRGHPRV�REWHU�D�UHODomR�GHVHMDGD��Perceba que o numerador é ࡼሺ B? ሻ, enquanto que o denominador é a própria probabilidade de o time ganhar! Este teorema é muito usado em exercícios que não fornecem ࡼሺሻ diretamente, mas pela sua relação com demais eventos, no exemplo, o jogador jogar ou não. Muitos exercícios costumam dar estas informações para que você calcule a probabilidade condicional. Isso chove em concurso público. Mas, dá para resolver sem a fórmula, basta pensar um pouquinho, ok? Não tem nada demais mesmo, você só tem que entender o mecanismo de funcionamento do mesmo para responder alguns exercícios, tal como este: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 1 - Analista Judiciário ± FCC/2001) Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se que entre n famílias: 160 assinam o jornal A, 35 assinam os dois jornais, 201 não assinam B e 155 assinam apenas um jornal. O valor de n e a probabilidade de que uma família selecionada ao acaso assinar A dado que assina B são dados respectivamente por: a) 180 e 160/266 b) 250 e 35/75 c) 266 e 7/13 d) 266 e 35/76 e) 266 e 35/266 Resolução: Vamos lá pessoal! A ideia básica deste tipo de exercício é utilizar o Diagrama de Venn para podermos encontrar algum valor faltante, tal como n. Conselho, comece preenchendo a intersecção! Veja: O raciocínio é assim: 1) Se 160 assinam o jornal A e 35 assinam os dois, 125 pessoas assinam só A. 2) 155 pessoas assinam só 1 jornal, como há 125 pessoas que assinam só A, 30 pessoas assinam só B 3) Como 201 pessoas não assinam B e 125 pessoas assinam só A, 76 pessoas não assinam nenhum. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Portanto, o total de famílias é: ݊ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ Isso não resolveu seu problema, pois há mais três alternativas com esta possibilidade. O que eles querem saber é: qual a probabilidade de assinar A dado que assina B. Isso foi só para te confundir. Uma maneira mais direta de perguntar a mesma coisa é: qual a probabilidade assinar os dois jornais, dado que assina B! Assim: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ Você já tem ambas as definições a partir do diagrama de Venn, basta substituir: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ ൌ ? ?ሺ ? ? ? ?ሻ ൌ ? ? ? ?ൌ ૠ Gabarito: c Boa pessoal! Vamos praticar, porque essa é a maneira mais fácil de aprender sobre probabilidades! Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br EXERCÍCIOS 2 - BACEN ± FCC/2005) Uma pessoa poderá investir seu dinheiro em três setores (A, B e C) da economia. Sabe-se que a probabilidade de uma empresa apresentar lucro é de 0,70 sendo empresa do setor A; 0,8 sendo empresa do setor B e 0,9 sendo empresa do setor C. Tem-se ainda que nesta economia existem 750 empresas do setor A, 300 do setor B e 150 do setor C. Escolhendo aleatoriamente uma empresa pertencente a esses 3 setores e detectando-se que ela não apresenta lucro, a probabilidade dela pertencer ao setor A é de: a) 30% b) 40% c) 50% d) 75% e) 80% Resolução: Isso é um caso típico de probabilidade condicional. Voltemos novamente ao Teorema de Bayes: ܲሺܣȁ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ܲሺܣ B? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻܲሺ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ Vamos começar a calcular! O exercício nos deu as probabilidades de que as empresas tenham lucro, assim a probabilidade de que elas não tenham é o complementar destas últimas: ܲሺܣ B? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ܲሺܤ B? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ܲሺܥ B? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? Agora vamos encontrar a quantas empresas este valor corresponde, basta multiplicar a probabilidade pela quantidade de empresas: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܧ݉ݎ݁ݏܽݏ�ܣ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? ? ܧ݉ݎ݁ݏܽݏ�ܤ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? ܧ݉ݎ݁ݏܽݏ�ܥ�ݏ݁݉�݈ݑܿݎ ൌ ?ǡ ? ڄ ? ? ?ൌ ? ? Agora ficou fácil! No total nós temos ( ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?) empresas. Deste total, ( ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ?). Portanto, a probabilidade de uma empresa não ter lucro é de: ܲሺ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? No caso, a probabilidade de ser uma empresa A e não ter lucro é de: ܲሺܣ B? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? Agora aplique na fórmula: ܲሺܣȁ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ܲሺܣ B? ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻܲሺ݊ �ݐ݁ݒ݁�݈ݑܿݎሻ ൌ ? ? ?Ȁ ? ? ? ? ? ? ?Ȁ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ?ൌ ૠ ? Gabarito: d 3 - CGU ± ESAF/2008) Dois eventos são independentes se: a) ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ b) ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൊ ܲሺܤሻ c) ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ െ ܲሺܤሻ d) ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܤሻ ܲሺܤȁܣሻ e) ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: 4XHVWmR� FRQFHLWXDO�� %DVWD� QRV� OHPEUDU� GDTXHOH� ³PDQWUD´�� DVVLP� SDUD� GRLV� HYHQWRV� ³$´� H� ³%´� quaisquer: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ Se os eventos são independentes a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A, assim: ܲሺܣሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ Multiplicando invertido: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ Gabarito: e 4 - CGU ± ESAF/2008) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Agora vamos nos utilizar de análise combinatória! O que nós temos de fazer é o seguinte, encontrar quantas combinações (pois a ordem em que os indivíduos forem escolhidos não importa) de três pessoas são possíveis em que o sexo de todas seja igual e dividir o resultado por todas as combinações possíveis! Iremos fazer isso para os dois sexos. No caso dos homens, queremos saber quantas combinações de 3 homens são possíveis, dado que há 6 pessoas do sexo masculino: ܥǡଷ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ Realizando a mesma operação para as mulheres: ܥସǡଷ ൌ ?Ǩሺ ? െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ൌ Ótimo! Agora temos de encontrar todas as combinações possíveis, independentemente da disposição do grupo pelo sexo dos indivíduos. Neste caso, temos uma combinação de 10 elementos três a três: ܥଵǡଷ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ڄ ? ? ڄ ? ڄ ?ൌ Para encontrarmos a probabilidade do que é pedido na questão precisamos calcular o quanto aquelas combinações representam do total: ܲሺ݉݁ݏ݉�ݏ݁ݔሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ?ൌ ǡ Gabarito: d Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br (TELEBRAS ± CESPE/2015) Exercício 5 Resolução: Pessoal, o que o exercício quer é: ܲሺݏ݁ݎ�݈ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�ܥȁ݁ݏݐ�݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻ Portanto, sabemos que: ܲሺݏ݁ݎ�݈ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�ܥȁ݁ݏݐ�݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻ ൌ ܲሺ݈ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�ܥ�݁�݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻܲሺ݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻ 3DUD�UHVROYHU�HVWD�TXHVWmR�LUHPRV�QRV�XWLOL]DU�GH�XPD�³YHOKD�WiWLFD´�QRVVD��YDPRV�VXSRU�TXH�R�WRWDO� de clientes na economia é 100. Portanto, vamos encontrar o total de pessoas insatisfeitas multiplicando o total de clientes de cada companhia pela quantidade de pessoas insatisfeitas em cada uma: ܫ݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐݏ ൌ ? ?ൈ ?ǡ ? ? ?ൈ ?ǡ ? ? ? ?ൈ ?ǡ ? ?ൌ ? ?ǡ ? ? ? ൌ ? ?ǡ ? ? Não se preocupe com a quantidade não inteira, ok? Continue com a solução! Agora, sabendo que há 11,25 pessoas, em um total de 100, que estão insatisfeitas, trata-se de 11,25%! Qual a Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br probabilidade de um cliente de C insatisfeito? Não é 0,08, pois esta é a probabilidade de um cliente dentro de C estar insatisfeito. O que você quer é saber é, quantas pessoas de C estão insatisfeitas. ?ǡ ? ?ൈ ? ?ൌ ? Portanto: ܲሺݏ݁ݎ�݈ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�ܥȁ݁ݏݐ�݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻ ൌ ܲሺ݈ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�ܥ�݁�݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻܲሺ݅݊ݏܽݐ݅ݏ݂݁݅ݐሻ ൌ ቀ ? ? ? ?ቁቀ ? ?ǡ ? ? ? ? ?ቁ ؆ ?ǡ ? ? ? Gabarito: Falsa Exercício 6 Resolução: Já calculamos isso! A probabilidade de estar insatisfeito é de: ? ?ǡ ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ?ൌ ? ?ǡ ? ? ? Gabarito: Verdadeiro Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br (ANATEL ± CESPE/2015) Julgue os itens a seguir. Exercício 7 Resolução: Esta questão é um pouco mais complexa, sendo que vamos resolvê-la por meio de uma forma mais simples. A definição de eventos independentes é que a probabilidade condicional é igual à probabilidade incondicional, portanto: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣሻ E: ܲሺܤȁܣሻ ൌ ܲሺܤሻ A relação exposta pelo exercício implica que: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܤȁܣሻ B?ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܤሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܣሻ Dividindo ambos os lados pela probabilidade de intersecção: ?ܲሺܤሻ ൌ ?ܲሺܣሻ B? ሺܲܣሻ ൌ ܲሺܤሻ Ou seja, não implica em independência. Gabarito: Falsa Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 8 Resolução: Nós já conhecemos esta fórmula de probabilidade condicional: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ�݁�ܤሻܲሺܤሻ ൌ ? Se P(B)>0, então isso implica que: ܲሺܣ�݁�ܤሻ ൌ ? Ou seja, são eventos disjuntos. Gabarito: Verdadeira 9 - CESPE ʹ SEDF ʹ 2017) Um estudo estatístico será realizado para avaliar a condição socioambiental de estudantes do 5.º ano do ensino fundamental das escolas da rede pública do DF. A partir de uma lista que contempla todas as turmas do 5.º ano do ensino fundamental das escolas da rede pública do DF, serão selecionadas aleatoriamente 50 turmas. Em seguida, os entrevistadores aplicarão questionários para todos os estudantes matriculados nessas 50 turmas. Com base nessas informações, julgue o seguinte item. ( ) A escola é considerada a unidade amostral desse estudo estatístico. RESOLUÇÃO: Observe que serão selecionadas 50 turmas e, nessas turmas, serão aplicados questionários aos estudantes. Portanto, a nossa unidade amostral é o ESTUDANTE. Vale lembrar que unidade amostral Ġ� Ă� ŵĞŶŽƌ� ƐƵďĚŝǀŝƐĆŽ� ƋƵĞ� ƉŽĚĞŵŽƐ� ĨĂnjĞƌ� Ğŵ� ŶŽƐƐĂ� ĂŵŽƐƚƌĂ ?� EĆŽ� Ġ� ƉŽƐƐşǀĞů� ĂŶĂůŝƐĂƌ� ?ŵĞŝŽ� ĞƐƚƵĚĂŶƚĞ ? ?�ĐŽŶĐŽƌĚĂ ?�/ƚĞŵ��ZZ��K ? Resposta: E Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 10 - ICMS\RJ ± FGV\2007) A tabela abaixo representa a distribuição de 1000 pessoas classificadas por sexo e Estado Civil: Uma pessoa é selecionada ao acaso, a probabilidade de a mesma ser uma mulher ou viúva é de: a) 0,6 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,7 e) 0,5 Resolução: Vamos à nossa fórmula de reunião de probabilidades: ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ B?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ܲሺݒ݅ïݒܽሻ െ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ B?ݒ݅ïݒܽሻ Agora fica bem fácil! Dado que nosso espaço amostra é de 1000 indivíduos e que há 400 mulheres e 200 viúvos: ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ܲሺݒ݅ïݒሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Agora temos de encontrar a probabilidade de intersecção, com vistas a excluir a dupla contagem. No caso, há 100 mulheres e viúvas, o que representa 10% do total. Assim: ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ B?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎሻ ܲሺݒ݅ïݒܽሻ െ ܲሺ݉ݑ݈݄݁ݎ B?ݒ݅ïݒܽሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ? ൌ ǡ Gabarito: e 11- ATA\MF ± ESAF\2012) Uma caixa contém 3 bolas brancas e 2 pretas. Duas bolas são retiradas desta caixa, uma a uma e sem reposição, qual a probabilidade de serem da mesma cor? a) 55% b) 50% c) 40% d) 45% e) 35% Resolução: Este tipo de questão sem muitas alternativas de combinações, eu sempre aconselho a vocês resolverem com base em raciocínio. Vamos a dois casos possíveis, duas bolas brancas ou duas bolas pretas. 1) 2 bolas pretas: na primeira extração haviam 5 bolas na caixa, sendo que destas duas eram pretas. Portanto, na 1ª extração a chance era de 2 para 5 de vir uma bola preta, enquanto que, na segunda, a chance era de 1 para 4, dado que uma bola preta já foi extraída. Portanto: ܲሺݎ݁ݐܽሻ ൌ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 2) 2 bolas brancas: por raciocínio análogo, pode-se inferir que a chance de extrair uma bola branca na primeira vez era de 3 para 5, enquanto que na segunda era de 2 para 4. Assim: ܲሺܾݎܽ݊ܿܽሻ ൌ ? ?ڄ ? ?ൌ ? ? ? Não há como os dois casos ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, os eventos são mutuamente exclusivos. Assim: ܲሺܾݎܽ݊ܿܽ B? ݎ݁ݐ ሻܽ ൌ ܲሺܾݎܽ݊ܿܽሻ ܲሺݎ݁ݐܽሻ െ ܲሺܾݎܽ݊ܿܽ B? ݎ݁ݐ ሻܽ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ?ൌ ǡ ൌ ? Gabarito: c 12 - BACEN ± FCC/2006) A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um pagar sua mensalidade sem atraso é de: a) ? െ ?ǡ ? ?ହ b) ?ǡ ? ?ହ c) ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ହ d) ? ڄ ?ǡ ? ?ହ e) ? െ ?ǡ ? ?ହ Resolução: A resolução desta questão parece complicada, mas não é! A primeira coisa que vocês têm de perceber é que os eventos de diferentes associados atrasarem sua mensalidade são independentes. Portanto, a probabilidade de ocorrência de todos ao mesmo tempo é igual ao SURGXWR�GDV�SUREDELOLGDGHV��9DPRV�FKDPDU�D�SUREDELOLGDGH�GR�LQGLYtGXR�³L´�DWUDVDU�R�SDJDPHQWR� de (ܣ), assim: ܲሺܣଵ B? ܣଶ B? ܣଷ B? ܣସ B? ܣହሻ ൌ ܲሺܣଵሻ ڄ ܲሺܣଶሻ ڄ ܲሺܣଷሻ ڄ ܲሺܣସሻ ڄ ܲሺܣହሻ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Portanto: ܲሺܣଵሻ ڄ ܲሺܣଶሻ ڄ ܲሺܣଷሻ ڄ ܲሺܣସሻ ڄ ܲሺܣହሻ ൌ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ڄ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ?ହ Esta é a probabilidade de que todos atrasem o pagamento! Então, ? െ ?ǡ ? ?ହ é a probabilidade de que ao menos um associado não atrase o pagamento. Gabarito: e 13 - Integração Nacional ± ESAF/2012) Uma turma de escola de 1º grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas e 10 são meninos. Ao se escolher, ao acaso, três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilidade de 2 dos 3 escolhidos serem meninas? a) ½ b) 12/27c) 45/91 d) 95/203 e) 2/3 Resolução: Bom, nós temos de escolher combinações possíveis das meninas de forma a preencher duas das vagas que precisamos preencher. A ordem não importa, assim: ܥଶǡଶ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ൌ ૢ Como temos 10 meninos na escola, podemos encontrar o número de possibilidades apenas multiplicando estes dois números (tal como no exemplo do macho e da fêmea): ܲݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ݏ ൌ ? ? ?ڄ ? ?ൌ ૢ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Agora basta dividir este número pelo total de possibilidades! Isso será dado por todas as combinações possíveis, ou seja a combinação dos 30 elementos em conjuntos de três: ܥଷǡଷ ൌ ? ?Ǩሺ ? ?െ ?ሻǨ ?Ǩൌ ? ?ڄ ? ?ڄ ? ? ? ڄ ? ڄ ? ൌ Assim, a probabilidade desejada é de: ܲሺ ?݉݁݊݅݊ܽݏǡ ?݉݁݊݅݊ሻ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ૢ Alternativa: d 14 - ATA ± ESAF/2012) Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8? a) 41% b) 44% c) 42% d) 45% e) 43% Resolução: Primeira coisa é encontrar quantos números entre 1 e 100 são divisíveis por 3 e 8. Ora, pense comigo, quantos números que são múltiplos de 3 estão entre 1 e 100? Você precisa encontrar o maior valor possível de um múltiplo de 3 (ݔ) que seja menor do que 100, pois, neste caso, você encontrará quantos múltiplos de 3 existem neste intervalo. Se você calcular, verá que: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ݔ ൌ ? ? Pois, ? ൈ ? ?ൌ ? ?, enquanto que ? ൈ ? ?ൌ ? ? ?, o que é maior do que 100. Assim, existem 33 múltiplos de 3 que estão entre 1 e 100. E múltiplos de 8? Se você pensar da mesma forma, vai perceber que: ݔ ൌ ? ? Pois, ? ൈ ? ?ൌ ? ?, enquanto que ? ൈ ? ?ൌ ? ? ?, o que é maior do que 100. Assim, existem 12 múltiplos de 8 que estão entre 1 e 100. Entretanto, existem números repetidos nesta lista, pois há números que são divisíveis por 3 e 8. Assim, qual é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC, lembra do 2º grau?) entre 3 e 8? Assim, para encontrar os números que são múltiplos de ambos, precisamos multiplicar um pelo outro, o que nos dá o valor de 24. Agora, temos de encontrar a quantidade de múltiplos de 24 no intervalo de 1 a 100. Este é bem mais fácil: ݔ ൌ ? Assim, a quantidade de múltiplos de 3 e 8 entre 1 e 100 é igual à quantidade de múltiplos de 3 mais os de 8, menos os valores conjuntos de ambos: ܯï݈ݐ݈݅ݏ ൌ ? ? ? ?െ ? ൌ ? ? No caso, temos 100 possibilidades ao todo: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺ݉ݑ݈ݐ݈݅ݏ�݀݁� ?�݁� ?ሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? Gabarito: a Essa próxima questão vai trazer conteúdo novo, portanto resolvam comigo primeiro. 15- STN ± ESAF/2012) Com relação à teoria da Probabilidade, pode-se afirmar que: a) se A e B são eventos independentes, então P(A U B) = P(A) + P(B). E��VH�$��%�H�&�VmR�HYHQWRV�TXDLVTXHU�FRP�3�&������HQWmR�P(A U B|C) = P (A|C) + P(B|C). c) a definição frequentista de probabilidade é fundamentada na ideia de repetição do experimento. d) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, P($ŀ�%�ŀC) = P(A). P(B). P(C). e) P(ܣ) + P(ܣA?) = 0. Resolução: Esta é muito difícil, vamos uma por uma! Letra (a). Se os eventos são independentes, a probabilidade condicional é que muda, de forma que: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ Errada. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Letra (b) Vamos substituir a equação: ܲሺܣ B? ܤȁܥሻ ൌ ܲሺሺܣ B? ܤሻ B? ܥሻܲሺܥሻ Pelas propriedades vistas em aula, sabemos que: ܲሺሺܣ B? ܤሻ B? ܥሻܲሺܥሻ ൌ ܲሺሺܣ B? ܥሻ B?ሺܤ B? ܥሻሻܲሺܥሻ ൌ ܲሺܣ B? ܥሻ ܲሺܤ B? ܥሻ െ ܲሺሺܣ B? ܥሻ B?ሺܣ B? ܤሻሻܲሺܥሻ Substituindo a probabilidade condicional: ܲሺܣ B? ܤȁܥሻ ൌ ܲሺܣ B? ܥሻ ܲሺܤ B? ܥሻ െ ܲሺሺܣ B? ܥሻ B?ሺܣ B? ܤሻሻܲሺܥሻൌ ܲሺܣȁܥሻ ܲሺܤȁܥሻ െ ܲሺሺܣ B? ܥሻ B?ሺܣ B? ܤሻሻܲሺܥሻ Alternativa errada. Letra (c). Esta está correta por definição. Já discutimos isso na aula. Letra (d). Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Esta é a mais complicada. Para que três eventos sejam independentes, é preciso que eles sejam independentes conjuntamente e entre si. Portanto, as condições necessárias e suficientes para que isso ocorra são: ࡼሺ B? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ࡼሺ B? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ࡼሺ B? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ࡼሺ B? B? ሻ ൌ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ ൈ ࡼሺሻ Todas devem ocorrer conjuntamente. Alternativa falsa. Letra (e). $TXHOH�³WUDFLQKR´�HP�FLPD�GR�A significa o seu complemento. A soma de um conjunto com seu complemento é sempre igual à 1. Alternativa errada. Gabarito: c Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 16 - MPOG ± ESAF/2012) Um jogo consiste em jogar uma moeda viciada cuja probabilidade de ocorrer coroa é igual a 1/6. Se ocorrer cara, seleciona-se, ao acaso, um número z do conjunto Z GDGR�SHOR�LQWHUYDOR�^]�İ�N _����]����`��6H�RFRUUHU�FRURD��VHOHFLRQD-se, ao acaso, um número p do LQWHUYDOR�3� �^S�İ�N _����S����`��HP�TXH�N representa o conjunto dos números naturais. Maria lança uma moeda e observa o resultado. Após verificar o resultado, Maria retira, aleatoriamente, um número do conjunto que atende ao resultado obtido com o lançamento da moeda, ou seja: do conjunto Z se ocorreu cara ou do conjunto P se ocorreu coroa. Sabendo-se que o número selecionado por Maria é ímpar, então a probabilidade de ter ocorrido coroa no lançamento da moeda é igual a: a) 6/31 b) 1/2 c) 1/12 d) 1/7 e) 5/6 Resolução Trata-se de um exercício com o uso da Regra de Bayes. Qual a probabilidade de ter dado coroa dado que o número encontrado é ímpar. ܲሺܿݎܽȁ݅݉ܽݎሻ ൌ ܲሺ݅݉ܽݎȁܿݎܽሻ ڄ ܲሺܿݎܽሻܲሺ݅݉ܽݎȁܿݎܽሻ ڄ ܲሺܿݎܽሻ ܲሺ݅݉ܽݎȁܿܽݎܽሻ ڄ ܲሺܿܽݎܽሻ Bom, a probabilidade de termos um valor ímpar, dado que tiramos coroa é de 0,5, pois trata-se da metade dos casos do espaço amostral do evento coroa: ܿݎܽ ൌ ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ?ሽ Já, a probabilidade de ser cara é de 0,6, pois o espaço amostral é: ܿݎܽ ൌ ሼ ?Ǣ ?Ǣ ?Ǣ ? ?Ǣ ? ?ሽ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Assim, vamos substituir: ܲሺܿݎܽȁ݅݉ܽݎሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ? ?ቀ ?ǡ ? ൈ ? ?ቁ ቀ ?ǡ ? ൈ ? ?ቁ ൌ ? ? Gabarito: d 17 - ICMS-RJ ± 2014/FCC) Um lote de determinado artigo é formado por 8 bons e 4 defeituosos. Desse lote, é extraída uma amostra aleatória, sem reposição, de 3 artigos. A probabilidade dessa amostra conter no máximo um artigo bom é a) 13/100 b) 13/55 c) 7/55 d) 9/110 e) 9/55 Resolução: O total de combinações possíveis que podemos formar é: ܥଵଶǡଷ ൌ ? ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ?ൈ ? ?ൈ ? ? ? ൈ ? ൌ ? ൈ ? ?ൈ ? ൌ A partir daí, precisamos encontrar a quantidade de combinações possíveis compostas só de artigos ruins e todas que seriam possíveis só com 1 artigo bom. ܵ×�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ܥସǡଷ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ൈ ? ? ൈ ? ൌ Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Assim, há 4 combinações possíveis de só escolhermos 4 itens ruins. No caso de 1 item bom e outros 2ruins, precisamos encontrar o total de combinações possíveis de itens ruins primeiro: ?�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ܥସǡଶ ൌ ?Ǩ ?Ǩ ?Ǩൌ ? ൈ ? ? ൌ Bom, nós temos 6 possibilidades de escolhermos 2 ruins primeiro, seguindo-se a escolha de um item bom. É fácil perceber que o total de possibilidades será dado pela multiplicação deste total de combinações pelo total de itens bons ainda presentes na amostra. Assim: ?�݅ݐ݁݉�ܾ݉�݁� ?�ݎݑ݅݊ݏ ൌ ? ൈ ? ൌૡ Portanto, a probabilidade de encontrarmos a combinação pedida no enunciado é: ܲሺ݊�݉ݔ݅݉� ?�ܾ ሻ݉ ൌ ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Gabarito: b 18 - ALESP ± 2010\FCC) Numa pesquisa respondida por todos os funcionários de uma empresa, 75% declararam praticar exercícios físicos regularmente, 68% disseram que fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos e 17% informaram que não possuem nenhum dos dois hábitos. Em relação ao total, os funcionários desta empresa que afirmaram que praticam exercícios físicos regularmente e fazem todos os exames de rotina recomendados pelos médicos representam a) 43% b) 60% c) 68% d) 83% e) 100% Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Questão que a gente usa para testar conhecimentos de Diagrama de Venn. Vamos supor, para fins de simplificação que haja 100 funcionários na empresa. Quantas pessoas não preenchem nenhum dos requisitos (exercícios e exames regulares)? ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ?�݂ݑ݊ܿ݅݊ݎ݅ݏ Portanto há 83 funcionários (83%) que preenchem um ou dois dos requisitos. Mas, o exercício quer os funcionários que preenchem os dois. Portanto, vamos usar um diagrama de Venn: Como encontrar a parte amarela? Vamos usar nossa fórmula: ࡼሺ B? ሻ ൌ ࡼሺሻ ࡼሺሻ െ ࡼሺ B? ሻ Rearranjando: ࡼሺሻ ࡼሺሻ െ ࡼሺ B? ሻ ൌ ࡼሺ B? ሻ Esta fórmula nos permite encontrar a probabilidade da intersecção! Aí é só substituir: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ࡼሺ B? ሻ ൌ ૠ ? ૡ ? െ ૡ ? ൌ ? Gabarito: b 19 - INFRAERO ± 2011\FCC) Em uma comunidade 10% de todos os adultos com mais de 60 anos têm certa doença. Um teste diagnostica corretamente 90% de todos os adultos com mais de 60 anos, como portadores da mesma e incorretamente 5% de todos aqueles que não têm a doença, como portadores da mesma. A probabilidade de um adulto com mais de 60 anos ter de fato a doença, sabendo que ele foi diagnosticado como portador da mesma é a) 1/3 b) 2/3 c) 1/5 d) 2/5 e) 3/5 Resolução: Vamos fazer assim (sem Teorema de Bayes, só no raciocínio mesmo), imagine que essa população tenha 1000 indivíduos. Assim: ? ? ?�ݏܽݑ݀ݒ݁݅ݏ ൌ ? ? ?�݁ݏݏܽݏ ? ? ?�ܿ݉�ܽ�݀݁݊ܽ ൌ ? ? ?�݁ݏݏܽݏ Como o teste diagnosticaria essa população? Ora, ele vai diagnosticar corretamente 90% da população com a doença e 5% de pessoas sem doença: ݏܽݑ݀ݒ݁݅ݏ�݀݅ܽ݃݊ݏݐ݅ܿܽ݀ݏ�ܿ݉�ܽ�݀݁݊ܽ ൌ ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? ݀݁݊ݐ݁ݏ�݀݅ܽ݃݊ݏݐ݅ܿܽ݀ݏ�ܿ݉�ܽ�݀݁݊ܽ ൌ ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Portanto, 135 (90+45) foram diagnosticadas com a doença. Porém, só 90 realmente a possui. Assim: ܲሺ݀݁݊ܽȁ݀݅ܽ݃݊×ݏݐ݅ܿ�ݏ݅ݐ݅ݒሻ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? Gabarito: b (TCE ES ± CESPE\2012) Suponha que 70% das pessoas que integrem um plenário sejam do sexo feminino e 30%, do sexo masculino, e que 20% das mulheres e 10% dos homens sejam favoráveis a determinada proposta, sendo todos os demais integrantes contrários a ela. A partir dessas informações, julgue os próximos itens. Exercício 20 A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele ser do sexo feminino ou ser favorável à proposta é superior a 0,80. Resolução Ora, trata-se de uma questão em que temos de avaliar a probabilidade conjunta dos dois eventos ³VHU�GR�VH[R�IHPLQLQR´��YDPRV�FKDPDU�GH�HYHQWR�³$´��H�³VHU�IDYRUiYHO�j�SURSRVWD´��YDPRV�Fhamar GH�HYHQWR�³%´���$VVLP��TXHUHPRV�VDEHU� ܲሺܣ B? ܤሻ Nós já sabemos que: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ Para calcular as probabilidades vamos supor que o plenário tenha 100 pessoas, afinal isso facilitará os cálculos. Portanto: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺܣሻ ൌ ݐݐ݈ܽ�݀݁�݉ݑ݈݄݁ݎ݁ݏݐݐ݈ܽ�݀݁�݁ݏݏܽݏ�݊�݈݁݊ݎ݅ ൌ ? ? ? ܲሺܤሻ ൌ ݐݐ݈ܽ�݀݁�݁ݏݏܽݏ�݂ܽݒݎݒ݁݅ݏ��ݎݏݐܽݐݐ݈ܽ�݀݁�݁ݏݏܽݏ�݊�݈݁݊ݎ݅ ൌ ? ?ൈ ? ? ? ? ?ൈ ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ݉ݑ݈݄݁ݎ݁ݏ�݂ܽݒݎݒ݁݅ݏ��ݎݏݐܽݐݐ݈ܽ�݀݁�݁ݏݏܽݏ�݊�݈݁݊ݎ݅ ൌ ? ? ?ൈ ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? Portanto: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? Gabarito: Falsa Exercício 21 A probabilidade de se selecionar aleatoriamente um indivíduo no plenário e ele ser um homem não favorável à proposta é igual a 0,27. Resolução: Utilizando a aproximação que fizemos, considerando que há 100 pessoas no plenário, fica fácil calcular! O percentual de homens não favoráveis à proposta é de 100% - 10% = 90%. ܲሺ݄݉݁݉ B? ݊ �݂ܽݒݎݒ݁ሻ݈ ൌ ݄݉݁݉�݁�݊ �݂ܽݒݎݒ݈݁��ݎݏݐܽݐݐ݈ܽ�݀݁�݁ݏݏܽݏ�݊�݈݁݊ݎ݅ ൌ ? ? ?ൈ ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? Gabarito: Verdadeira Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ==8805== (AFT ± CESPE/2013) Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de seguranca no trabalho, 7 a respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que esses processos sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma pilha, julgue os itens que se seguem. Exercício 22 Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a probabilidade de o processo que esta na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será superior a 0,3. Resolução Neste caso, temos 20 possibilidades no total e queremos saber qual a probabilidade de que um processo escolhido ao acaso, que esteja no topo da pilha, seja de FGTS. Assim: ܲሺܨܩܶܵሻ ൌ ݊ ?�݀݁�ݎܿ݁ݏݏݏ�݀݁�ܨܩܶܵ݊ ?�݀݁�ݎܿ݁ݏݏݏ�ݐݐܽ݅ݏ ൌ ? ? ?ൌ ǡ Gabarito: Verdadeira Exercício 23 Se os processos relativos a FGTS ficarem sempre na parte superior da pilha, então uma pilha com essa característica poderá ser formada de 13! × 7! maneiras distintas. Resolução: Se isso acontecer, nós temos que reorganizar 13 processos (20 ± 7), pois os outros 7 estão no topo da pilha. Assim, as possibilidades que temos são: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Ǩ Mas, além dessa reorganização, nós também podemos trocar os 7 processos de FGTS de lugar, de forma a mantê-los no topo da pilha. Assim, os processos de FGTS podem ser reorganizados de ( ?Ǩ) formas diferentes. Portanto, o total de formas que podemos organizar a pilha é: ૠǨ ൈ Ǩ Gabarito: Verdadeira (CNJ ± CESPE\2013) Considerando os dados da tabela acima, que mostra a quantidade e situação de processos, nos anos 2010, 2011 e 2012, em um tribunal, julgue os itens subsequentes. Exercício 24 Se, em 2011, 5 juízes atuavam no referido tribunal, então a relação juiz/processo era de, aproximadamente, 1:170. Resolução: O total de processos em 2011 é a soma dos processos em tramite, para parecer e julgados. Assim, a relação de juiz\processo é: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatísticap/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ݎ݈݁ܽ �݆ݑ݅ݖ ?ݎܿ݁ݏݏ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Gabarito: Verdadeira Exercício 25 $�YDULiYHO�³DQR´�H�XPD�YDULiYHO�TXDOLWDWLYD�RUGLQDO��XPD�YH]�TXH�H�SRVVtYHO�GHILQLU�XPD�RUGHP�HQWUH� os anos. Resolução: A variável ano é uma variável quantitativa e não qualitativa. Hora de lembrar dos conceitos da aula 00, ok? Gabarito: Falsa Exercício 26 Se determinado processo esta em tramite, a probabilidade de ele ser do ano de 2012 é superior a 30%. Resolução: Veja que o total de processos em tramite nos anos de 2010 a 2012 é: ? ? ? ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? Assim, a probabilidade de que um processo em tramite escolhido ao acaso seja do ano de 2012 é: ܲሺ ? ? ? ?ሻ ൌ ? ? ? ? ? ?؆ ? ?ǡ ? ? ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Gabarito: Verdadeira 27 - BNDES ± CESGRANRIO/2013) A Figura abaixo representa um histograma. Em relação às medidas de centralidade do histograma, considere as afirmativas abaixo. I ± A média é maior que a mediana. II ± A distribuição dos dados é unimodal. III ± A moda é menor que a média. É correto o que se afirma em (A) II, apenas (B) III, apenas (C) I e II, apenas (D) II e III, apenas (E) I, II e III Resolução: O que está ocorrendo aqui? Trata-se de uma distribuição assimétrica à direita! Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Neste caso, com base no tipo de assimetria, podemos inferir sobre as posições da média, mediana e moda: Assim, as alternativas I e III são verdadeiras. Além disso, perceba que há uma única coluna que é a mais alta de todas! Ou seja, só há um valor (ou intervalo de valores) que é o mais alto possível, assim, há uma única moda (unimodal). Gabarito: e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 28 - BNDES ± CESGRANRIO/2013) Cinco pessoas devem ficar em fila, sendo que duas delas (João e Maria) precisam ficar sempre juntas. De quantas formas diferentes essas pessoas podem- se enfileirar? (A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) 56 Resolução: Basta considerar João e Maria como uma pessoa só, calcular a quantidade de combinações possíveis e multiplicar por 2, afinal, os dois juntos pode significar primeiro o João e depois a Maria ou vice versa. Vamos lá, calcular quantas combinações são possíveis com 4 indivíduos. Isso é uma permutação de 4: ?Ǩ ൌ ? ൈ ? ൈ ? ൈ ? ൌ ? ? Multiplicando por 2: ܥܾ݉݅݊ܽÙ݁ݏ ൌ ? ?ൈ ? ൌ ? ? Gabarito: a 29 - BNDES ± CESGRANRIO/2013) Compareceram a uma festa exatamente 20 homens com suas respectivas esposas. Quantos pares (A, B) podem ser formados, de maneira que A é um homem, B é uma mulher e A não é casado com B? (A) 20 (B) 40 (C) 210 (D) 380 (E) 400 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Cada homem pode estar com 19 mulheres diferentes, dado que ele não pode formar par com sua própria esposa. Neste caso, o total de combinações é dado pelo total de homens multiplicado pela quantidade de combinações que podem ser formadas com cada um: ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? ? Gabarito: d 30 - BNDES ± CESGRANRIO/2011) Resolução: Olhe no gráfico! Trata-se de uma distribuição assimétrica à direita! Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Assim: Neste caso, a média é maior do que a mediana, que é maior do que a moda. Gabarito: e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 31 - BNDES ± CESGRANRIO/2011) Resolução: Vamos considerar que o total de fichas é 100, com o intuito de facilitar os cálculos. Neste caso, temos: x 70 fichas brancas e 30 fichas vermelhas, com base na primeira afirmação. Se 60% das fichas vermelhas são redondas: x Há 18 fichas vermelhas e redondas e 12 fichas vermelhas e quadradas. Se 25% das fichas quadradas são vermelhas, basta fazer uma regra de três: ? ?ݔ ൌ ? ? ? ? ? ? ?B? ݔ ൌ ? ? O total de fichas quadradas é de 48! Sendo que 12 são vermelhas, temos 36 fichas brancas e quadradas. Como nós temos 70 fichas brancas no total, sedo que 36 são quadradas, temos 34 fichas redondas e brancas. Isso é 34% do total de 100 fichas. Gabarito: c Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 32 - BNDES ± CESGRANRIO/2013) Dentro de um pote, há 5 bombons embrulhados em papel azul, 6 embrulhados em papel vermelho, e 7 embrulhados em papel verde. Quantos bombons, no mínimo, devem ser retirados do pote, sem que se veja a cor do papel, para se ter certeza de haver retirado dois bombons embrulhados em papéis de cores diferentes? (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 8 Resolução: Questão de lógica muito fácil! Neste tipo de questão apenas verifique o tipo de objeto a ser sorteado que tem o maior número, no nosso caso, 7 bombons embrulhados em papel verde. Para ter certeza que você terá, pelo menos, 2 bombons com cores diferentes, você deverá retirar o total de bombons da cor mais comum e mais 1! Assim, se você retirar 8 bombons, com certeza, você já terá 2 bombons de cores diferentes. Gabarito: e 33 - SUDENE ± 2013/FGV/alterada) Dada a população: 2,0; 3,0; 1,0; 2,0; 2,0, o valor observado da variância populacional é igual a: (A) 0,4. (B) 0,45. (C) 0,5. (D) 1,0. (E) 1,25. Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Bom, vamos calcular a média: ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ൌ ? Assim: ܸܽݎ ൌ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻ ? ? ൌ ? ?ൌ ?ǡ ? Gabarito: a 34 - SEAD-PA ± 2010/FGV) Os dados a seguir são as quantidades de empregados de cinco pequenas empresas: 6, 5, 8, 5, 6. A variância da quantidade de empregados dessas cinco empresas é igual a: (A) 0,8. (B) 1,2. (C) 1,6. (D) 2,0. (E) 2,4. Resolução: Cuidado! Estamos não estamos falando de uma amostra de empresas, mas da população. Curiosidade sobre a FGV, quando ela não falar que é amostra, não é, mesmo neste tipo de exercício que costuma ser tratado como amostra. Assim a fórmula para a variância não viesada é: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ܵଶ ൌ ȭሺݔ െ ݔA?ሻଶ݊ Assim, precisamos da média amostral: ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ൌ ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Portanto, a variância é: ݏ ? ൌሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻ ? ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻ ? ? ൌ ? ? ? ? ൌ ? ?ൌ ?ǡ ? Gabarito: b 35 - Ass. Leg. Maranhão ± FGV/2013) Resolução: A escolha de representantes será uma permutação de 5 elementos para dois lugares: Assim: ?ሺ ? ?݈ݑ݃ܽݎሻ ൈ ?ሺ ? ?݈ݑ݃ܽݎሻ ൌ ? ? Gabarito: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 36 - TJ ± BA ± FGV/2015)Resolução: A partir destas informações pode-se perceber que a moda é inferior ao valor da média. Ora, só daí podemos inferir que se trata de uma distribuição assimétrica à direita! Neste caso: ܯ݀ܽ ൏ ܯ݁݀݅ܽ݊ܽ ൏ ܯ±݀݅ܽ Assim, podemos avaliar as afirmativas: (a) Não, ela é assimétrica à direita. (b) Não há como dizer que a Mediana (o exercício não falou, mas Me(X) ele considera como mediana de X) é menor do que 15 mil. (c) Não há como afirmar isso. (d) Não há como afirmar isso. (e) Isso é verdade! Veja, a moda é de 7mil e nós sabemos que a distribuição destes dados é assimétrica à direita, o que faz com que a mediana seja superior a 7 mil. Se a mediana é maior do que 7 mil, o 3º quartil também o é! Afinal, o 3º quartil é a observação que não é superada por 75% das observações. Gabarito: e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 37 - Controle Interno de Recife ± FGV/2014) A seguinte amostra de idades foi obtida: 19; 25; 39; 20; 16; 27; 40; 38; 28; 32; 30. Assinale a opção que indica a mediana dessas idades. (A) 27 (B) 28 (C) 29 (D) 30 (E) 31 Resolução: Ordene: 16;19;20;25;27;28;30;32;38;39;40 Dado que há um número ímpar de elementos, a mediana será o elemento que coincide com o seguinte: ݊ ? ? ൌ ? ? ? ൌ ? O sexto elemento é o 28. Gabarito: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br 38 - Controle Interno de Recife ± FGV/2014) Uma variável aleatória X tem média igual a 2 e desvio padrão igual a 2. Se Y = 6 ± 2X, então a média de Y, a variância de Y e o coeficiente de correlação entre X e Y valem, respectivamente, �$��í�����H��� �%��í������H��� �&��������H�í�� �'��������H�í�� (E) 2, ��H�í�� Resolução: Lembrem-se das propriedades da média e variância! Média: 1) Se somarmos (subtrairmos) todas as observações com um determinado valor fixo, tal como x, toda a média terá resultado igual ao anterior à operação mais (menos) x. 2) Se multiplicarmos (dividirmos) todas as observações de uma amostra por um determinado valor fixo, tal como x, a média terá resultado igual ao anterior à operação vezes (dividido por) x. Variância: 1) Ao somar (diminuir) qualquer valor fixo das observações utilizadas para cálculo da variância (ࢂࢇ࢘) ou de seu respectivo desvio padrão (ࡰࡼ), o resultado ficará inalterado. 2) Ao multiplicar (dividir) todas as observações de uma série por um determinado valor fixo, tal como x, a variância resultante ficará multiplicada (dividida) por x², enquanto que o desvio padrão resultante ficará multiplicado (dividido) por x. Ora, para quem fez o curso, basta aplicar os operadores de Média e Variância. Mas, vamos pensar de uma forma mais intuitiva! Veja a fórmula: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܻ ൌ ? െ ? ܺ Qual a média de Y? ܯ±݀݅ܽሺܻሻ ൌ ܯ±݀݅ܽሺ ? െ ?ܺሻ Já que a média de um número fixo é igual a ele mesmo, podemos reescrever: ܯ±݀݅ܽሺܻሻ ൌ ? െ ܯ±݀݅ܽሺ ?ܺሻ Veja a propriedade (2) da média e perceba que: ܯ±݀݅ܽሺܻሻ ൌ ? െ ? ൈ ܯ±݀݅ ሺܽܺሻ ൌ ? െ ? ൈ ? ൌ E a variância? ܻ ൌ ? െ ? ܺ Se você soma ou diminui alguma coisa de sua variável, isso não afeta a variância, conforme propriedade 1 da variância. Assim, a variância de Y dependerá somente de: ܸܽݎሺܻሻ ൌ ܸܽݎሺ ? െ ? ሻܺ ൌ ܸܽݎሺെ ?ܺሻ Conforme estudamos no curso, o valor que multiplica a variável sairá do operador variância ao quadrado: ܸܽݎሺܻሻ ൌ ܸܽݎሺെ ? ሻܺ ൌ ? ?ܸܽݎሺܺሻ Como o exercício fala que o desvio padrão de X é igual à 2, a variância é igual a 4. Assim: ܸܽݎሺܻሻ ൌ ܸܽݎሺെ ? ሻܺ ൌ ?ଶܸܽݎሺܺሻ ൌ ? ൈ ? ൌ ? ? Só com essas resoluções você já chega na alternativa correta, que é a letra (c). Gabarito: c Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br (TELEBRAS ± CESPE/2014) Nunca se assuste com enunciados! Dê uma olhada nas questões, primeiro, ainda mais com a CESPE. Exercício 39 Resolução: Pessoal, se os eventos são independentes: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ൈ ܲሺܤሻ Portanto, para nosso exercício: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ?ǡ ? ൈ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? Nós sabemos que: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ܲሺܣሻ ܲሺܤሻ െ ܲሺܣ B? ܤሻ Assim, basta substituir o valor da intersecção (que já encontramos) e das probabilidades de A e B para que possamos encontrar a probabilidade de união: ܲሺܣ B? ܤሻ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? െ ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ? Este valor é menor do que que 0,2. Gabarito: Verdadeiro Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 40 Resolução: O fato de uma probabilidade de um evento qualquer (A) ser menor ou igual à probabilidade de outro evento qualquer (B), mesmo quando ambos pertencem ao mesmo espaço de eventos, não implica que A está contido em B. Ambos podem ser mutuamente exclusivos, por exemplo. Gabarito: Falsa (TJ-SE ± CESPE/2014) Exercício 41 Resolução: Ora, nós sabemos que: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ Pelo enunciado nós sabemos que P(B) = 0,1, portanto a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de intersecção dos eventos A e B dividida por 0,1! Mas, pense, se você dividir Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br qualquer número por 0,1, o que acontece? Vamos supor que a probabilidade de intersecção fosse de 10: ܲሺܣȁܤሻ ൌ ܲሺܣ B? ܤሻܲሺܤሻ ൌ ? ? ?ǡ ?ൌ ? ? ? Entendeu? Assim, a probabilidade de A dado B tem de ser maior do que a probabilidade de intersecção. Gabarito: Falsa Exercício 42 (ICMS-RJ - FGV/2015) Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Resolução: Vamos para o jeito que sempre fazemos, vamos supor que o total de rubricas de despesas na Administração é 100, pois isso facilita visualizar os cálculos. Assim, temos 80 aquisições e 20 prestações. Veja, ¼ das aquisições são superfaturadas, portanto: ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? No caso das prestações, a probabilidade de encontrar superfaturamento é o dobro da anterior, assim: ? ൈ ? ?ൈ ? ?ൌ ? ? Assim, a probabilidade que queremos é a de que o contrato seja aquisição, dado que foi superfaturado. Ora, sabemos que: ܲሺܽݍݑ݅ݏ݅ ȁݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻ ൌ ܲሺܽݍݑ݅ݏ݅ �݁�ݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻܲሺݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻ A probabilidade de ser aquisição e superfaturado é de: ܲሺܽݍݑ݅ݏ݅ �݁�ݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻ ൌ ሺݐݐ݈ܽ�݀݁�ܽݍݑ݅ݏ݅Ù݁ݏ�݁�ݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻݐݐ݈ܽ ൌ ? ? ? ? ? Já a probabilidade de ser superfaturado: ܲሺݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻ ൌ ሺݐݐ݈ܽ�ݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻݐݐ݈ܽ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ? Assim, a probabilidade buscada é de: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ܲሺܽݍݑ݅ݏ݅ ȁݏݑ݁ݎ݂ܽݐݑݎܽ݀ሻ ൌ ቀ ? ? ? ? ?ቁቀ ? ? ? ? ?ቁ ൌ ? ? Gabarito: a Exercício 43 (ICMS-RJ ± FGV/2015) Resolução: Pessoal, vamos analisar alternativa por alternativa. Para começar, vamos reescrever a tabela com a distribuição acumulada. Intervalo Frequência Frequência acumulada 0 a 2 2 2 2 a 4 6 8 4 a 6 9 17 6 a 8 12 29 8 a 10 3 32 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.bra)Dado que o total de frequências é 32, a mediana será dada pela observação de número: ? ? ? ? ൌ ? ?ǡ ? Já sabemos que a mediana está na terceira classe! Vamos usar a interpolação da ogiva para encontrar o valor. Esta classe tem amplitude de 2 e frequência de 9, assim precisamos saber qual a amplitude correspondente à frequência de 8,5 (pois já acumulamos 8 até a classe anterior): ? ?ൌ ݔ ?ǡ ?B? ݔ ؆ ?ǡ ? ? Assim, a mediana será igual ao limite inferior da terceira classe mais este valor x encontrado: ݉݁݀݅ܽ݊ܽ ൌ ? ?ǡ ? ?؆ ?ǡ ? ? Portanto, alternativa errada. b)Para calcular a média a melhor forma é encontrando os pontos médios de cada classe: Intervalo Ponto Médio Frequência Frequência acumulada 0 a 2 1 2 2 2 a 4 3 6 8 4 a 6 5 9 17 6 a 8 7 12 29 8 a 10 9 3 32 Assim, basta somar o produto dos pontos médios de cada classe por sua frequência e dividir pelo somatório das frequências: ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ൈ ? ? ൈ ? ? ൈ ? ? ൈ ? ? ? ൈ ? ? ? ൌ ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Assim, alternativa errada. c)Basta olhar os dados e pensar no formato de nossa distribuição: Isso se aproxima de uma distribuição assimétrica à esquerda. Alternativa errada. d)Alternativa correta, conforme visto na alternativa (a). e)Essa alternativa deve ser resolvida de um jeito mais fácil e rápido! Pense, em uma distribuição de frequências cujo total é 32, quantas observações deve acumular 1 decil? Ora, 3,2, certo? O percentil de ordem 90 acumula 9 decis, ou seja, está a apenas 1 decil do total de observações. A última classe acumula 3 observações, portanto o percentil de ordem 90 é acumulado a partir da classe anterior, pois a última classe não tem 3,2 unidades de frequência. Assim, o percentil de ordem 90 é inferior a 8 meses. Alternativa errada. Gabarito: d 0 2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 44 (Analista Judiciário TRE/RR ± Estatística ± 2015/FCC) Resolução Lembre-se da nossa fórmula de densidade de frequência, apesar que ele fala como é no enunciado: ݀݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁�݀݁�݂ݎ݁ݍݑ݁݊ܿ݅ܽ ൌ ݂ݎ݁ݍݑ݈݁݊ܿ݅ܽܽ݉݅ݐݑ݀݁ Portanto, vamos encontrar as frequências de todos os intervalos menores do que 6, com base na fórmula: ݂ݎ݁ݍݑ݁݊ܿ݅ܽ ൌ ݀݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁�݀݁�݂ݎ݁ݍݑ݁݊ܿ݅ܽ ൈ ݈ܽ݉݅ݐݑ݀݁ De 4 a 6: ݂ݎ݁ݍݑ݁݊ܿ݅ܽ ൌ ?ǡ ? ൈሺ ? െ ?ሻ ൌ ?ǡ ? De 1 a 4: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ݂ݎ݁ݍݑ݁݊ܿ݅ܽ ൌ ?ǡ ? ?ൈ ሺ ? െ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? Portanto, o total e frequências até 6 é de: ܨݎ݁ݍݑ²݊ܿ݅ܽ�݀݁� ?�ܽ� ? ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? ?ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? Sabendo que 105 valores estão neste intervalo, isso significa que 35% do total é 105, portanto 100% é: ? ? ? ? ?ൌ ݔ ? ? ?B? ݔ ൌ ? ? ? Isso significa que o total e observações é 300. O total de observações com valores maiores do que 4 é a mesma coisa do que: ܶݐ݈ܽ�݀݁�ܾݏ݁ݎݒܽÙ݁ݏ െ ݒ݈ܽݎ݁ݏ�݉݁݊ݎ݁ݏ�݀�ݍݑ݁� ? O número de observações menores do que 4 é: ? ? ?ൈ ? ? ?ൌ ? ? Portanto: ? ? ?െ ? ?ൌ ? ? ? Gabarito: e Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 45 (Analista Judiciário TRE/RR ± Estatística ± 2015/FCC) Resolução: Vamos relembrar? No caso, uma distribuição assimétrica à direita tem o seguinte formato: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Portanto, a mediana é superior à moda e é inferior à média. Gabarito: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 46 (CETAN ± FCC/2014) Resolução: Temos que calcular a mediana, a média e a moda. Vamos começar pela mais difícil, a mediana. A primeira classe acumula 10% das observações, a segunda 35% (10+25) e a terceira 75%, indicando que a mediana está nesta classe que vai de 155 a 165. Portanto vamos utilizar a interpolação da ogiva para encontrar o valor desejado. Se a segunda classe acumula 35%, faltam 15% para chegarmos em 50%, assim, para uma classe de frequência relativa de 40%, queremos saber o intervalo correspondente a 15%. Portanto: ݔ െ ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ?െ ? ? ? ? ? ? Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br ?ǡ ? ൈ ሺݔ െ ? ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ?ൈ ሺ ? ? ?െ ? ? ?ሻ ?ǡ ?ݔ െ ? ?ൌ ?ǡ ? ݔ ൌ ? ?ǡ ? ?ǡ ? ൌ ? ? ?ǡ ? ? Esta é a mediana! A média aritmética é mais fácil, pois basta somar a multiplicação de cada ponto médio de classe por sua frequência relativa: ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ? ?ൈ ? ? ? ? ?ൈ ? ? ? ? ?ൈ ? ? ? ? ?ൈ ? ? ? ? ?ൈ ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ?ǡ ?� Pela fórmula do enunciado, fica fácil encontrar a moda: ܯ ൌ ? ൈ ? ? ?ǡ ? ?െ ? ൈ ? ? ?ǡ ? ൌ ? ? ?ǡ ? ? Portanto: ܯ ܯ݁ ܯ݀ ൌ ? ? ?ǡ ? ? ? ? ?ǡ ? ? ? ?ǡ ? ?ൌ ? ? ?ǡ ? Gabarito: d Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 47 (Analista do CNMP - Estatística ± 2015/FCC) Resolução Não é uma questão difícil, mas é bem trabalhosa. Primeiramente, temos que calcular as frequências absolutas dadas pela fórmula disposta no enunciado da questão, ݂ ൌ െ݅ଶ ? ?݅ ?. Acompanhe abaixo: ଵ݂ ൌ െ ?ଶ ? ?Ǥ ? ? ൌ �ଵ݂ ൌ ? ? ଶ݂ ൌ െ ?ଶ ? ?Ǥ ? ? ൌ � ଶ݂ ൌ ? ? ଷ݂ ൌ െ ?ଶ ? ?Ǥ ? ? ൌ � ଷ݂ ൌ ? ? ସ݂ ൌ െ ?ଶ ? ?Ǥ ? ? ൌ �ସ݂ ൌ ? ? ହ݂ ൌ െ ?ଶ ? ?Ǥ ? ? ൌ � ହ݂ ൌ ? ? ݂ ൌ െ ?ଶ ? ?Ǥ ? ? ൌ � ݂ ൌ ? ? O exercício quer saber qual o valor da mediana, ou seja, qual o valor que não é superado por 50% da amostra. Para isso, devemos calcular a frequência relativa de cada classe: Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Classe Frequência absoluta Frequência relativa Frequência acumulada (%) 1500 -| 2500 10 8% 8% 2500 -| 3500 17 13,6% 21,6% 3500 -| 4500 22 17,6% 39,2% 4500 -| 5500 25 20% 59,2% 5500 -| 6500 26 20,8% 80% 6500 -| 7500 25 20% 100% Total 125 100% Com o auxílio desta tabela, fica claro que a mediana está na classe 4. Também podia-se supor pelas alternativas da questão, pois todas as alternativas indicavam apenas esta classe. Agora, utilizando uma regra de 3 fica simples chegar ao resultado: se o intervalo de 4500 -| 5500 é equivalente a 20%, e precisamos saber o valor, dentro desse intervalo, que completa os 50% da tabela de frequência, ou seja, 10,8%. Veja o cálculo: ? ? ? ?െ ? ? ? ? ? ? ? ൌ ܯ݁݀݅ܽ݊ܽ െ ? ? ? ? ? ?ǡ ? ? Resolvendo a equação, temos que a mediana é igual a 5040. Gabarito: b Jeronymo Marcondes, Arthur Lima Aula 03 Estatística p/ ISS Manaus (Auditor Fiscal) Com videoaulas www.estrategiaconcursos.com.br Exercício 48 (Analista do CNMP - Estatística ± 2015/FCC) Resolução: Essa é mais tranquila, mas tem pegadinha! Precisamos saber os valores da mediana, da moda e da média aritmética dos
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